＜第4章強制対流熱伝達＞home.hiroshima-u.ac.jp/.../heat_transfer/ex_chapter4.pdf2649w...

練習問題解答例

＜第４章強制対流熱伝達＞

４.１式 (4.9) を導出せよ。

3

3

2

22

yyxyxy

ν

(4.6)

を変換する。最初に ν

xu

x

y の微分値を整理しておく。

yxu

yxu

x

xu

x

y

xx2

3

2

1

2

1

ννν

(4.A1)

2

1

2

1

x

uyx

u

y

xu

x

y

yy ννν

(4.A2)

これを用いて、 fxu νの微分値を求める。

xd

dfxufxu

xx

fxufxu

xfxu

xx

ννννν 2

1

yxu

d

dfxufxu 2

3

2

1

2

1

2

1

ννν

d

dfyxufxu 12

1

2

1

2

1

ν (4.A3)

d

dfux

u

d

dfxu

yd

dfxu

y

fxufxu

yy

2

1

ννννν

(4.A4)

yxu

d

fdu

xd

fdu

d

df

xu

d

dfu

xyx2

3

2

2

2

22

2

1

ν

2

2

2

33

2

1

d

fdyx

u ν (4.A5)

2

2

2

13

2

1

2

2

2

2

2

2

d

fdx

ux

u

d

fdu

yd

fdu

d

df

yu

d

dfu

yy

νν

(4.A6)

yd

fdx

u

d

fd

yx

u

d

fdx

u

yy

3

3

2

13

2

2

2

13

2

2

2

13

3

3

ννν

3

31

2

2

1

3

3

2

13

d

fdx

ux

u

d

fdx

u

ννν (4.A7)

これらの微分値を式(4.6)に代入する。

2

2

2

1312

1

2

2

2

33

2

1

2

1

2

1

d

fdx

u

d

dfyxufxu

d

fdyx

u

d

dfu

νν

ν

3

31

2

d

fdx

u ν

ν (4.A8)

2

2

2

13

2

1

2

2

2

33

2

1

2

1

d

fdx

ufxu

d

fdyx

u

d

dfu

νν

ν

3

31

2

2

2

2

131

2

1

d

fdx

u

d

fdx

u

d

dfyxu

νν

ν (4.A9)

2

212

2

2

2

35

2

1

2

1

d

fdfxu

d

fd

d

dfyx

u

ν

3

312

2

2

2

35

2

1

d

fdxu

d

fd

d

dfyx

u

ν (4.A10)

3

312

2

212

2

1

d

fdxu

d

fdfxu

(4.A11)

3

3

2

2

2

1

d

fd

d

fdf

(4.A12)

02

12

2

3

3

d

fdf

d

fd

(4.9)

４.２薄い平板が温度 20℃で常圧の水の一様な流れの中に平行に置かれている。流速は

0.5 m/s であり、平板の寸法は流れ方向、直角方向ともに 50 cm である。このときの板の中

心における速度境界層の厚さと、板全面に働く摩擦力を求めよ。

解）式(4.13)を用いる。関係する数値をＳＩ単位の基本単位とその組み立て単位で表してお

く。

バルク流速 m/s.50u

平板の流れ方向の寸法 m.50xL

平板の流れに直角な方向の寸法 m.50yL

境界層の厚みを計算する位置 m.

.250

2

50

2

Lx

20℃の水の動粘性係数 /sm./smm. 22 61000410041

20℃の水の粘性係数 sPa.smPa. 31000210021

よって、求める速度境界層の厚みは

mm.m..

..54310543

50

25010004155 3

6

u

x

また、剪断応力は式(4.16)を用いて

213

33203320 /.. xuxu

x

uw

板全体での摩擦力は剪断力を板の面積に関して積分すればよいので

xxx L

y

L

y

L

yw dxxLu

dxLxu

dxLF0

213

0

213

033203320 // ..

xy

L

y LLu

xLu x

3

021

3

664023320 .. /

mN.N....

... 083103085050

100041

501000216640 2

6

33

４.３ 30℃の空気が、温度 100℃、長さ 2 m の平板に沿って流速 10 m/s で流れている。

層流から乱流への遷移レイノルズ数は 3.2×105とする。このとき、平板単位幅あたりの空

気へ伝わる熱量を求めよ。ただし、乱流部は以下の式を用いて計算せよ。

318.0PrRe0296.0 xxNu

解）バルク温度は、

℃30T

壁面温度は、

℃100wT

膜温度は

℃65

2

10030

mT

関連する物性値をＳＩ単位の基本単位で示しておく。

バルク流速 m/s10u

板の長さ m2L

65℃の空気の動粘性係数

/sm10919.1/smm19.1950100

5065)6.179.22(6.17 252

65℃の空気のプラントル数

11008.7708.050100

5065)708.0708.0(708.0

Pr

65℃の空気の熱伝導率

K)W/(m10879.2K)mW/(m79.2850100

5065)8.271.31(8.27 2

乱流に遷移する位置を板の先端から x [m]とすれば、式(3.42)より

5

5102.3

10919.1

10

xxu

これを解いて

m10141.6 1x

層流部分の平均熱伝達率を求める。式(4.31)より、

312/1

PrRe332.0 xxNu

2/13/1

2/1

3/1

2/1

Pr332.0Pr332.0

x

uxu

xhx

x

xdxhx

h0

1

x

dxxu

x 0

2/13/1

2/1

Pr332.01

x

dxxx

u

0

2/13/1

2/11

Pr332.0

x

x

x

u

0

2/13/1

2/1

2/1

1Pr332.0

3/1

2/1

Pr664.0

x

u

よって層流部分の伝熱量は、

wl TTx

uxQ

3/1

2/1

Pr664.0

21 10879.2664.010141.6

100301008.710141.610919.1

10 3/11

2/1

15

W7.6 7 4

乱流部分の平均熱伝達率を求める。問題の与式より、

315/4

PrRe0296.0 xxNu

5/13/1

5/4

3/1

5/4

Pr0296.0Pr0296.0

x

uxu

xhx

L

xxdxh

xLh

1

L

xdxx

u

xL

5/13/1

5/4

Pr0296.01

L

xdxx

xL

u 5/13/1

5/41

Pr0296.0

L

x

x

xL

u

5/4

1Pr0296.0

5/43/1

5/4

5/45/43/1

5/41

Pr0370.0 xLxL

u

よって乱流部分の伝熱量は、

wt TTxLxL

uxLQ

5/45/43/1

5/41

Pr0370.0)(

wTTxLu

5/45/43/1

5/4

Pr0370.0

5/4

5

2

10919.1

1010879.20370.0

1003010141.621008.75/415/43/11

W2 6 4 9

よって求める伝熱量は

kW32.3W332426497.674 tl QQ

４.４式(4.20)を導出せよ。

解）無次元温度の定義は次の通り。

w

w

TT

TT

-

(4.19)

ここで、ものみの関数であることを仮定する。

T についての微分値を整理する。式(4.19)より、

ww TTTT - (4.1.A28)

なので、

yxu

d

dTT

xd

dTT

xTT

x

Twww

2

3

2

1

ν---

(4.1.A29)

2

1

xu

d

dTT

yd

dTT

yTT

y

Twww

ν---

(4.1.A30)

d

d

yx

uTTx

u

d

dTT

yy

Tww

2

1

2

1

2

2

ν-

ν-

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

xu

d

dx

uTT

yd

dx

uTT ww

νν-

ν-

2

2

d

duTT w

νx-

(4.1.A31)

これらと式(4.11), (4.12)を式(4.3)に代入して

2

1

2

3

2

1

2

1x

u

d

dTTf

d

df

x

uyx

u

d

dTT

d

dfu ww

ν-

ν

ν-

2

2

d

duTT w

νx-

(4.1.A32)

d

df

d

dfxTTu

d

d

d

dfTTyx

uww

12

33

2

1

2

1--

ν

2

2

d

duTT w

νx-

(4.1.A33)

両辺を

νx-

uTT w

で割って

2

2

2

1

2

1

2

1

d

d

d

df

d

df

d

d

d

dfyxu

νν (4.1.A34)

2

2

2

1

2

1

2

1

d

d

d

df

d

d

d

df

d

d

d

df

x

yxu νν

νν

(4.1.A35)

ここで式(4.7)を第１項に代入。

2

2

2

1

2

1

2

1

d

d

d

df

d

d

d

df

d

d

d

df ννν

(4.1.A36)

2

2

2

1

d

d

d

df ν

(4.1.A37)

2

2

2

1

d

d

d

df

ν

(4.1.A38)

02

12

2

d

df

d

d ν

(4.1.A39)

022

2

d

df

Pr

d

d

(4.20)

ここで

νPr

(4.21)

４.５式(4.33)を導出せよ。

解） Lx までの平均熱伝達率は平均の定義から

L

xdxhL

h0

1

(4.32)

これに式(4.28)を代入して

LL

dxxPru

LdxPr

x

u

Lh

0

2131

0

31 33201

33201 /// ..

νν

31

21

21310

2131 66401

233201

233201 /

/

//// ... Pru

LLPr

u

LxPr

u

L

L

ννν

316 6 40 /. Pru

νL

(4.33a)

式(4.29)で Lx とおけば

313320 /. Pr

L

uh

Lxxν

(4.1.A55)

なので、式(4.33a)と比較して

LxxhPrL

uPr

L

uh

2332026640 3131 // ..

νν

(4.33b)

４.６式(4.54)を導出せよ。

解）

21

1644

1644640954

13

280/

...

xx ReRexuxux

(4.53)

xux

644.

これを式(4.51)に代入

3

6442

1

6442

3

xux

y

xux

y

u

u

..

ここで式(4.7)xu

x

yxu

x

y

を導入して

33

3

10005153232706442

1

6442

3

..

..u

u

(4.54)

４.７式(4.63)から式(4.71)までを導出せよ。

解）境界条件（式(4.64)）を満たし得る最も簡単な多項式である３次式を用いて

32 ydycybaT (4.63)

と置く。

0y に関する境界条件は、壁面温度が wT より

wTT (4.64a)

式(4.3)に壁面上での速度ゼロである条件 0u , 0v を代入して

02

2

y

T

(4.64b)

ty に関する境界条件は、バルク温度が T より

TT (4.64c)

境界の外では温度一定より

0

y

T

(4.64d)

式(4.63)より、

232 ydycby

T

ydcy

T

62

2

2

これらを境界条件に代入して

adcbaTw

32000

cdc 20620

32

ttt dcbaT

2

320 tt dcb

上２式より

wTa

0c

これを下２式に代入して

3

ttw dbTT

2

30 tdb

下側の式を t 倍して上式から引くと

3

2 tw dTT

dTT

t

w

32

これを下式に代入

2

32

30 t

t

wTTb

t

wTTb

23

これより温度分布は、

3

3

2

20

23 y

TTyy

TTTT

t

w

t

ww

3

322

3 yTT

yTT

TT

t

w

t

ww

よって、温度境界層の厚み t がわかれば温度分布がわかる。

また、これを変形して

3

322

3 yTT

yTT

TT

t

w

t

ww

3

3

22

3

ttw

w yy

TT

TT

3

2

1

2

3

ttw

w yy

TT

TT

(4.65)

なお、教科書ではここで無次元温度を導入しているが、実際には何にも使っておらず、不

要。

式(4.62)に、式(4.51)と式(4.65)を代入する。式(4.51)より

3

2

1

2

3

yyuu

今、 w

w

TT

TT

より、

ww TTTT

ww TTTT

3

2

1

2

3

tt

ww

yyTTTT

3

2

1

2

3

tt

ww

yyTTTTTT

3

2

1

2

3

tt

ww

yyTTTT

3

2

1

2

31

tt

w

yyTT

3

2

1

2

31

tt

w

yyTT

3

2

1

2

3

tt

ww

yyTTT

yy

T

3

2

1

2

3

tt

w

yyTT

y

y

yyyTT

y

t

tt

w

t

3

2

1

2

3

tt

w

yTT

1

2

3

2

32

tt

w

yTT

11

2

32

よって

t

dyyy

uyy

TTdx

d

tt

w

0

33

2

1

2

3

2

1

2

31

0

21

12

3

ytt

w

yTT

t

dyyyyy

dx

dTTu

tt

w

0

33

2

1

2

3

2

1

2

31

0

21

12

3

ytt

w

yTT

t

dyyyyy

dx

dTTu

tt

w

0

33

2

1

2

3

2

1

2

31

t

wTT

1

2

3

t

dyyyyy

dx

du

tt

0

33

2

1

2

3

2

1

2

31

t

2

3

ここで

t

(4.66)

を導入する。

t

を代入して

t

dyyyyy

dx

du

0

33

2

1

2

3

2

1

2

31

2

3

積分の中を整理する。

33

2

1

2

3

2

1

2

31

yyyy

333

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

yyyyyy

33333

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

2

1

2

3

2

3

2

1

2

3

yyyyyyyyyy

6

3

44

3

23

4

1

4

3

4

3

4

9

2

1

2

3

yyyyyy

6

3

44

3

23

4

1

4

3

4

3

4

9

2

1

2

3

yyyyyy

よって、積分の部分は

t

dyyyyy

0

33

2

1

2

3

2

1

2

31

t

dyyyyyyy

0

6

3

44

3

23

4

1

4

3

4

3

4

9

2

1

2

3

t

yyyyyy

0

7

3

55

3

342

28

1

20

3

20

3

4

3

8

1

4

3

7

3

55

3

342

28

1

20

3

20

3

4

3

8

1

4

3

tttttt

7

3

55

3

342

28

1

20

3

20

3

4

3

8

1

4

3

442242

28

1

20

3

20

3

4

3

8

1

4

3

42

280

3

20

3

ここで

t

を用いている。

最終的に式(4.67)は

2

3

280

3

20

3 42

dx

du

となる。ここで、 1 を仮定すれば、24 より

2

3

20

3 2

dx

du

とおけ、

2

3

20

3 2 dx

du

(4.68)

が得られる。

速度境界層の厚みと xとの関係は式(4.53)で求められている。式(4.53)を変形して

u

x

13

280

としてから代入して

u

xu

x

dx

du

13

2802

3

13

280

20

3 2

xx

dx

d

uuu

2

13

280

3

2

13

280

20

3

xx

dx

d2

13

28

xx

dx

d 1

28

132

xPr

xdx

d 11

28

132

xPrdx

dxx

dx

d 11

28

1322

xPrdx

dx

x

11

28

13

2

1 22

Prdx

dxx

xx

1

28

13

2

1 22

Prdx

dx

1

28

13

2

1 23

Prdx

dx

1

14

132 23

Prdx

dx

1

14

134 23

ここで、

dx

d

dx

d 23 3

に注意して

Prdx

dx

1

14

13

3

4 33 (4.69)

これは線形微分方程式である。

境界条件は、 0xx から伝熱が始まるとして

0xx ： 0 (4.70)

すなわち

0xx ： 03

公式を用いるために微分方程式の両辺をx

3

4

で割って

xPrdx

d

x 4

31

14

13

4

3 33

xPrxdx

d 11

56

39

4

3 33

線形微分方程式 xQyxP

dx

dy

の一般解は CdxdxxPxQdxxPy expexp

ここで、3y 、

x

xP4

3

、

xPrxQ

11

56

39

とおいて

Cdxdx

xxPrdx

x 4

311

56

39

4

33 expexp

Cdxdx

xxPrdx

x

1

4

311

56

391

4

3expexp

Cdxx

xPrx lnexplnexp

4

311

56

39

4

3

Cdxx

xPrx 4343 11

56

39 // lnexplnexp

Cdxx

xPrx 4343 11

56

39 //

CdxxPr

x 4143 1

56

39 //

Cxx

Pr

4343

3

41

56

39 //

434343 1

56

391

56

39

3

4 /// xPr

CxPr

x

431

56

391

14

13 / xPr

CPr

境界条件を代入して

430

1

56

391

14

130

/ x

PrC

Pr

430

1

56

391

14

13 / x

PrC

Pr

430

3

4 /xC

よって

43430

3 1

56

39

3

41

14

13 // xPr

xPr

43430

1

14

131

14

13 // xPr

xPr

4301

14

131

14

13/

x

x

PrPr

4301

1

14

13/

x

x

Pr

3143

011

14

13/

/

x

x

Pr

3143

031

31

114

13/

//

/

x

xPr

3143

031

31

114

13/

//

/

x

xPr

3143

031 1025011

1/

//

.

x

xPr

(4.71)

４.８壁温 50℃、内径 5 cm の円管内に入口温度 20℃の水をで 50 cm3/s で流す。入口か

ら 20 cm の部分でのバルク温度はいくらか。ただし、熱伝達率の計算にはハウゼンの式を

用いよ。

解）関係する数値をＳＩ単位系の基本単位およびその組み合わせによる単位で表しておく。

壁温 K.K. 153231527350 wT

内径 m.050d

入口温度 K.K. 1529315273201 bT

温度測定位置 m.20L

体積流量 sv /m35105

20℃のプラントル数 9916.Pr

20℃の動粘性係数 16100041 sm. 2

20℃の熱伝導率 159950 KmW. -1

20℃の密度 3mkg. 2998

20℃の定圧比熱 11KkgJ. 3101854c

平均流速を求める。

s

d

vum /m.

/./02550

4050

105

4 2

5

2

グレッツ数を求める。

3

6

22

1022220100041

991605002550

.

..

...

// L

Prdu

dL

Prdu

dL

PrReGz m

m

dL

これより、

519102220401

1022206680653

0401

06680653323

3

32.

..

...

.

..//

L

Ld

Gz

GzNu

12233050

59950519 KmW.

..

d

Nuh d

伝わった熱が温度変化分に相当するので、

12

2

4bbm TTcu

dTdLh

21

2

4bwbwm TTTTcu

dTdLh

21

2

21

21

4TTcu

d

TT

TTdLh

lnln

212

4TT

cuddLh lnln

21

4TT

cdu

Lh lnln

cdu

LhTT

412 lnln

cdu

LhTT

412 lnexp

cdu

LhTTT bw

412 lnexp

cdu

LhTTT

cdu

LhTT

cdu

LhTTT wwwwb

4441112 expexplnexp

K.

....

.e x p... 2323

101854299802550050

233204152931532315323

3

なお、ここでは 20℃の物性値を用いて計算したが、出口温度が比較的高いので、20℃とこ

の温度の平均を用いて計算し直すことを繰り返す方が真の値に近づく。

４.９内径 5 cm の円管内を 25℃の水が平均流速 2 cm/s で流れているとき、入口から 20

cm における局所熱伝達率はいくらか。流れが十分に発達している場合の局所ヌッセルト

数分布に関する図 4.8 を用いよ。

解）関係する数値をＳＩ単位系の基本単位およびその組み合わせによる単位で表しておく。

内径 m.050d

平均流速 sum /m.020

熱伝達率決定位置 m.20x

25℃のプラントル数 2056241959916 ./.. Pr

25℃の動粘性係数 1276 10029210800800041 sm./..

25℃の熱伝導率 116073026150059950 KmW./..

グレッツ数を求める。

3

7

22

107212010029

2056050020

.

..

...

// x

Prdu

dx

Prdu

dx

PrReGz m

m

dx

4108251 .

xGz

壁の条件が与えられていないので伝熱面温度一定を仮定して、図 4.8 より11xdNu ,

よって局所熱伝達率は、

12134050

6073011 KmW.

.,

d

Nuh

xd

x

４.１０式(4.161)より、平均のヌッセルト数を求めよ。

解）平板の始まる部分においては層流であるはずなので、位置 xで乱流に遷移したとして、

位置 L までの範囲の乱流部分の平均熱伝達率を求める。式(4.161)より、

315/4

PrRe0296.0 xxNu

5/13/1

5/4

3/1

5/4

Pr0296.0Pr0296.0

x

uxu

xhx

L

xxdxh

xLh

1

L

xdxx

u

xL

5/13/1

5/4

Pr0296.01

L

xdxx

xL

u 5/13/1

5/41

Pr0296.0

L

x

x

xL

u

5/4

1Pr0296.0

5/43/1

5/4

xL

xLu

5/45/43/1

5/4

Pr0370.0

４.１１半径 Rの円管内のある断面での速度分布、温度分布が次式で与えられる場合、そ

こでの平均流速 mu と混合平均温度 bT を求めよ。

2

0

1

R

r

u

u

,

42

0 3

1

3

41

R

r

R

r

TT

TT

w

w

解）

2

0

1

R

r

u

u

より

2

0 1R

ruu

また、

42

0 3

1

3

41

R

r

R

r

TT

TT

w

w

より

42

03

1

3

41

R

r

R

rTTTT ww

定義より、平均流速 mu は、

2

0 2

3

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

212212

R

drR

rru

R

drrR

ru

R

drrR

ru

R

drruu

RRRR

m

24

2

42

2 02

2

0

0

2

42

2

0 uR

R

u

R

rr

R

uR

混合平均温度 bT は、

R

R

ww

R

R

b

drR

rru

drR

rru

R

r

R

rTTT

rudr

rudrTT

0

2

0

0

2

0

42

0

0

0

12

123

1

3

41

2

2

R

R

ww

drR

rru

drR

rr

R

r

R

rTTTu

0

2

0

0

242

00

12

13

1

3

412

R

R

w

R

R

w

drR

rru

drR

rr

R

r

R

rTTu

drR

rru

drR

rrTu

0

2

0

0

242

00

0

2

0

0

2

0

12

13

1

3

412

12

12

R

R

w

R

R

w

drR

rru

drR

rr

R

r

R

rTTu

drR

rru

drR

rruT

0 2

3

0

0 2

342

00

0

2

0

0

2

0

2

3

1

3

412

12

12

R

R

ww

drR

rr

drR

rr

R

r

R

r

TTT

0 2

3

0 2

3

4

4

2

2

0

3

1

3

41

R

R

ww

drR

rr

drR

r

R

r

R

r

R

r

R

rr

TTT

0 2

3

0 6

7

4

5

2

3

4

5

2

3

0

3

1

3

4

3

1

3

4

R

R

ww

drR

rr

drR

r

R

r

R

r

R

r

R

rr

TTT

0 2

3

0 6

7

4

5

2

3

4

5

2

3

0

43433

1

R

R

ww

drR

rr

drR

r

R

r

R

rr

TTT

0 2

3

0 6

7

4

5

2

3

0

5733

1

R

R

ww

R

rr

R

r

R

r

R

rr

TTT

0

2

42

0

6

8

4

6

2

42

0

42

86

5

4

7

2

3

3

1

wwwwww TTT

R

R

TTT

R

R

TTT

02

2

02

2

018

11

4

124

11

3

1

4

124

3204236

3

1

４.１２表面温度 50℃の直径 1 cmの球の周りを 5 cm/s で 20℃の水を流した場合の伝熱

量はいくらか。

解）式(4.166), (4.167)を用いる。

バルク温度 ℃20T

球表面温度 ℃50wT

膜温度 ℃35

2

2050

mT

計算に必要な値をＳＩ単位系の基本単位で表しておく。

球の直径 m01.0d

水の流速 m/s05.0u

35℃の水の動粘性係数

/sm10295.7/sm107295.0/smm2

6581.08008.0 27-26-2

35℃の水の熱伝導率

K) W/(m6218.0K) W/(m

2

6286.06150.0

35℃の水のプラントル数

8 8 0.4

2

3 4 1.44 1 9.5

Pr

レイノルズ数は

4.68510295.7

01.005.07

dRe

よって、式(4.167)を用いて、

64.28880.44.6856.026.02

3/12/13/12/1 PrReNu dd

熱伝達率は、

K)W/(m10781.164.28

01.0

6218.0 23 dNud

h

熱流束は、

243 W/m10343.5502010781.1 wTThq

伝熱量は

W8.1601.01416.310343.5242 dqqAQ

４.１３壁温 50℃、内径 5 cm の円管内に入口温度 20℃の水を 50 dm3/s で流す。入口か

ら 20 cm におけるバルク温度はいくらか。ただし、熱伝達率の計算にはディッタス・ベル

ターの式を用いよ。

解）代表温度として、壁温と入口温度の平均値を用いる。

壁温度 ℃50wT

入口温度 ℃200 T

代表温度 ℃35

2

2050

T


管内径 m05.0d

問題とする位置の入口からの距離 m2.0L

体積流量 /sm105.0/sm1050/sdm50 3-23-33 v

平均流速

m/s46.25405.01416.3

105.0

4 2

-2

2d

v

mu


/sm10295.7/sm107295.0/smm2

6581.08008.0 27-26-2


K) W/(m6218.0K) W/(m

2

6286.06150.0


8 8 0.4

2

3 4 1.44 1 9.5

Pr

35℃の水の密度

3k g / m0.9942

3.9926.995

35℃の水の比熱容量

K) J/(kg10180.4K) kJ/(kg

2

179.4180.4 3

c


6

710745.1

10295.7

05.046.25

dRe

よって、ディッタス・ベルターの式（式(4.168)）を用い、加熱の場合なので指数に 0.4 を用

いて、

34.05/464.05/4

10272.4880.410745.1023.0023.0 PrReNu dd

熱伝達率は、

K)W/(m10312.510272.4

05.0

6218.0 243 dNud

h

求める温度を LT とすれば、伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に

小さくなっていることを踏まえて、温度差には対数平均温度差を用いる必要がある（p79 参

照）ので、伝熱量は、

w

wL

L

w

wL

wwL

TT

TT

TThdL

TT

TT

TTTThdLQ

0

0

0

0

lnln

この伝熱量だけ温度が上昇するので

0TQ LTvc

これらが等しいことを使って、

0

0

0

ln

T

TT

TT

TThdL

w

wL

L

LTvc

vc

w

wL

TT

TThdL

0

ln

1

vc

dLh

TT

TT

w

wL

0

ln

vc

dLh

TT

TT

w

wL exp0

vc

dLhTTTT wwL exp0

vc

dLhTTTT wwL exp0

℃24.2010180.4105.00.994

10312.52.005.01416.3exp502050

32-

4

この結果からは、代表温度は 20℃の方が妥当ではある。より正確な値を得るには、ここで

得られた温度での物性値を用いて計算を繰り返す。

４.１４内径 10 cm、長さ 5 m の管内に常圧で入口温度 50℃の水を流す。水の平均流速

は 50 mm/s であり、管壁は 70℃に加熱されている。加熱部出口における平均温度はいくら

になるか。ただし、熱伝達率の計算にはディッタス・ベルターの式を用いよ。

解）代表温度として、壁温と入口温度の平均値を用いる。

壁温度 ℃70wT


代表温度 ℃60

2

7050

T


管内径 m10.0d

管の長さ m5L

平均流速 m/s100.5m/s1050mm/s50 23 mu


/sm10744.4/sm104744.0/smm4744.0 2-72-62


K) W/(m6508.0


9 9 8.2Pr

60℃の水の密度

3k g / m2.983

60℃の水の比熱容量

K) J/(kg10183.4K) kJ/(kg183.4 3c


4

710054.1

10295.7

05.046.25

dRe

よって、ディッタス・ベルターの式（式(4.168)）を用い、加熱の場合なので指数に 0.4 を用

いて、

98.58998.210054.1023.0023.0

4.05/444.05/4 PrReNu dd

熱伝達率は、

K)W/(m9.38398.58

10.0

6508.0 2 dNud

h

求める温度を LT とすれば、伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に

小さくなっていることを踏まえて、温度差には対数平均温度差を用いる必要がある（p79 参

照）ので、伝熱量は、

w

wL

L

w

wL

wwL

TT

TT

TThdL

TT

TT

TTTThdLQ

0

0

0

0

lnln

この伝熱量だけ温度が上昇するので

0

2

4Tu

dQ m LTc

これらが等しいことを使って、

0

2

0

0

4ln

Tud

TT

TT

TThdL m

w

wL

L

LTc

cm

w

wL

ud

TT

TThdL

4ln

1 2

0

cmw

wL

du

Lh

TT

TT

4ln

0

cmw

wL

du

Lh

TT

TT

4exp

0

cm

wwLdu

LhTTTT

4exp0

cm

wwLdu

LhTTTT

4exp0

℃23.56

10183.4100.51.02.983

9.38354exp705070

32

より正確な値を得るには、ここで得られた温度での物性値を用いて計算を繰り返す。

４.１５内径 20 mm の円管内に 50℃、0.1 MPa の水を流す。水の流速は 1 m/s であり、

円管の内面温度は 80℃である。このときの平均熱伝達係数をディタス・ベルターの式とジ

ーター･テイトの式を用いて求めると、それぞれ、いくらになるか。

解）

代表温度として、壁温と入口温度の平均値を用いる。

壁温度 ℃80wT


代表温度 ℃65

2

8050

T


管内径 m20.0d

平均流速 m/s101cm/s1 2mu


/sm10438.4/sm104438.0/smm2

4131.04744.0 27-26-2


K) W/(m6552.0K) W/(m

2

6596.06508.0


782.2

2

565.2998.2

Pr

70℃の水の粘性係数

sPa10039.4smPa4039.0 -4w


sPa10352.4sPa104352.0smPa2

4039.04664.0 4-3-


3

710507.4

10438.4

2.001.0

dRe

※本来は、両式とも適用範囲外なので望ましくないが、乱流領域でもあり、題意であるので

このまま計算。

＜ディッタス・ベルターの式＞

ディッタス・ベルターの式（式(4.168)）を用い、加熱の場合なので指数に 0.4 を用いて、

01.29782.210507.4023.0023.0

4.05/434.05/4 PrReNu dd

熱伝達率は、

K)W/(m0.9501.29

20.0

6552.0 2 dNud

h

＜ジーター・テイトの式＞

ディッタス・ベルターの式（式(4.168)）を用い、加熱の場合なので指数を 0.4 として、

14.0

3/15/4027.0

w

dd PrReNu

13.3210039.4

10352.4782.210507.4027.0

4

43/15/43

熱伝達率は、

K)W/(m10513.32

20.0

6552.0 2 dNud

h

４.１６内径 20 mm、内壁温度 100℃の円管内に圧力 0.1 MPa の水を毎時 1,000 kg で流

す。管入口で 40℃あった水温を管出口で 80℃に上昇させるためには、管長はいくら必要で

あるか。

解）代表温度として、壁温 100℃と入口出口温度の平均値の中間である 60℃の平均値を用

いる。

壁温度 ℃100wT


出口温度 ℃80LT

代表温度 ℃80

2

60100

T


管内径 m02.0d

質量流量 kg/s10778.2kg/s

3600

1000kg/h000,1 1w

80℃の水の密度 3kg/m8.971

平均流速

m/s10099.98.97102.01416.3

10778.244

4/

/ 1

2

1

22

d

w

d

wum

80℃の水の動粘性係数 /sm10647.3/sm103647.0/smm3647.0 2-72-62

80℃の水の熱伝導率 K) W/(m6670.0

80℃の水のプラントル数 229.2Pr

60℃の水の比熱容量 K) J/(kg10196.4K) kJ/(kg196.4 3c


4

7

1

10990.410647.3

02.010099.9

dRe

よって、ディッタス・ベルターの式（式(4.168)）を用い、加熱の場合なので指数に 0.4 を

用いて、

7.181229.210990.4023.0023.0

4.05/444.05/4 PrReNu dd

熱伝達率は、

K)W/(m10061.67.181

02.0

6670.0 23 dNud

h

伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏

まえて、温度差には対数平均温度差を用いる必要がある（p79 参照）ので、伝熱量は、求め

る管の長さを [m]L として、

w

wL

L

w

wL

wwL

TT

TT

TThdL

TT

TT

TTTThdLQ

0

0

0

0

lnln

]W[10386.1

)10040(

)10080(ln

)4080(10061.602.01416.3 43 LL

一方、伝熱量は、1 kg/h の水を 40℃から 80℃まで加熱するのに必要な熱量でもあるで、

W10662.4408010778.210196.4 413

0 TQ LTcw

よって

44 10662.410386.1 L

を解いて、求める長さは

m36.3L

４.１７ 20℃の水が平均流速 mu =1 m/s で直径 d =20 mm、長さ l =10 m の滑らかな円管内

を流れている。このときの圧力損失と熱伝達率を求めよ。ただし、圧力損失の計算には以下

の式を用い、熱伝達率の計算にはディッタス・ベルターの式（ n =0.4 の場合）を用いよ。

2

2

m

f

u

d

lCp

⊿

ここで、 l は管路長さ、d は管直径、は流体密度、 mu は平均流速、 fCは摩擦抵抗係数で

ある。

解）計算に必要な値をＳＩ単位系の基本単位で表しておく。

管内径 m02.0d

管の長さ m10l

平均流速 m/s1mu

20℃の水の密度 3kg/m2.998

20℃の水の動粘性係数 /sm10004.1/smm004.1 2-62

20℃の水の熱伝導率 K) W/(m5995.0

20℃の水のプラントル数 991.6Pr


4

610992.1

10004.1

02.01

dRe

摩擦係数は教科書の式(4.158)を用いて、

32.042.0

10352.610992.1046.0046.0 df ReC

よって圧力損失は、

2

12.998

02.0

1010352.6

2

2

3

2

m

f

u

d

lCp

⊿

kPa59.1Pa1059.1 3

また、ディッタス・ベルターの式（式(4.168)）を用い、加熱の場合なので指数を 0.4 とし

て、

7.137991.610992.1023.0023.0

4.05/444.05/4 PrReNu dd

熱伝達率は、

K)kW/(m129.4K)W/(m10129.47.137

02.0

5995.0 223 dNud

h

４.１８直径 20 mm の円管内をスピンドル油が平均流速 1 m/s で流れている。この温度

を入口の 80℃から 40℃まで冷却したい。冷却部では壁温を 20℃に保つとすれば、冷却部

の長さはどれだけ必要か。ただし、ジーター・テイトの整理式を用いよ。

解）代表温度として、壁温 20℃と入口出口温度の平均値の中間である 60℃の平均値を用い

る。

壁温度 ℃20wT


出口温度 ℃40LT

代表温度 ℃40

2

6020

T


管内径 m02.0d

平均流速 m/s1mu

伝熱工学資料第４版 P326 より、

300 Kのスピンドル油の動粘性係数 /smm80.11 2

300

320 Kのスピンドル油の動粘性係数 /smm65.6 2

320

これより、40℃=313 K のスピンドル油の動粘性係数は

/sm10453.8/smm453.8

313320

30031380.1165.680.11 262

300 Kのスピンドル油のプラントル数 130300 Pr

320 Kのスピンドル油のプラントル数 2.78320 Pr

これより、40℃=313 K のスピンドル油のプラントル数は

33.96

313320

3003131302.78130

Pr

300 Kのスピンドル油の熱伝導率 K) W/(m144.0300

320 Kのスピンドル油の熱伝導率 K) W/(m143.0320

これより、40℃=313 K のスピンドル油の熱伝導率は

K) W/(m1434.0

313320

300313144.0143.0144.0

300 Kのスピンドル油の密度 3

300 kg/m867

320 Kのスピンドル油の密度 3

320 kg/m854

これより、40℃=313 K のスピンドル油の密度は

3kg/m6.858

313320

300313867854867

300 Kのスピンドル油の比熱容量 K) J/(kg10880.1K) kJ/(kg880.1 3

300 c

320 Kのスピンドル油の比熱容量 K) J/(kg10964.1K) kJ/(kg964.1 3

320 c

これより、40℃=313 K のスピンドル油の比熱容量は

K) J/(kg10935.1K) J/(kg10

313320

300313880.1964.1880.1 33

c

質量流量

kg/s10697.2kg/s6.858

4

0.023.14161

4

1

22

duw m


3

610366.2

10453.8

02.01

dRe

乱流への遷移が起きるかどうかぎりぎりのところだが、題意に従ってディッタス・ベルタ

ーの式（式(4.168)）を用い、冷却の場合なので指数に 0.3 を用いて、

3.459633.010366.2023.0023.0

3.05/443.05/4 PrReNu dd

熱伝達率は、

K)W/(m7.3243.45

02.0

1434.0 2 dNud

h

伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏

まえて、温度差には対数平均温度差を用いる必要がある（p79 参照）ので、伝熱量は、求め

る管の長さを [m]L として、

wL

w

L

wL

w

wLw

TT

TT

TThdL

TT

TT

TTTThdLQ

0

0

0

0

lnln

]W[8.7 4 2

)2040(

)2080(ln

)4080(7.32402.01416.3 LL

一方、伝熱量は、 kg/s10697.2 1 の水を 80℃から 40℃まで冷却するのに必要な熱量でも

あるで、

W10087.2804010697.210935.1 413

0 TQ LTcw

よって

410087.28.742 L

を解いて、求める長さは

m1.28L

＜第4章 強制対流熱伝達＞home.hiroshima-u.ac.jp/.../heat_transfer/ex_chapter4.pdf2649w...

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＜第4章強制対流熱伝達＞home.hiroshima-u.ac.jp/.../heat_transfer/ex_chapter4.pdf2649w...