特色招生──數學素養評量 題型介紹與準備 · 為題組題型...
TRANSCRIPT
National Professional Teacher Team
台北市數學科輔導團員 興雅國中教師
教育部中央課程與教學輔導諮詢教師
數學學習領域 林壽福
特色招生數學素養評量
題型介紹與準備
內容資料引自林福來林素微教授檔案
待答問題之1
bull 為什麼特招要考「數學素養」和「閱讀理解素養」兩科
bull 素養是什麼
bull 數學素養與傳統兩種考題最大的不同(試舉例說明)
bull 有人說「素養評量」是模稜兩可沒有標準答案的問題對嗎
bull 學生可藉由重複演練來提升素養嗎
待答問題之2
bull 目前多數國中老師知道如何協助學生嗎老師的進修管道為何
bull 怎麼考命題方式題型評分標準出題範圍和公平性如何
bull 怎麼因應和準備
bull 國中生如何兼顧段考會考和特招三種不同型態考試
特色招生評量目的與內容
bull 鑑別學生的學習力有多強將檢測學生的思考力探究力統整力創造力問題解決能力
bull 強調素養的評量擁有相當素養的人面對現實問題時能以主動積極的態度及多元開放的精神整合各種相關資訊發揮思辨統整溝通能力以解決問題
評量的比較
5
PISA
bull 十五歲
bull 在真實情
境中應用
習得知能
的程度
TIMSS
bull 四年級
八年級
bull 改善數學
和科學的
教與學
PISLS
bull 四年級
bull 研究世界
各國四年
級兒童的
閱讀力
基測
bull 九年級
bull 入學測驗
評量國中
畢業生的
基本學習
能力
數學評量試題的比較
6
PISA
bull 選擇題 33
bull 建構反應題67
bull 平均字數56 字(sd 32)
bull 41為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程形成應用
詮釋
bull 數學內容數量改變
與關係空間與形狀
不確定性
bull 平均解題時間2分鐘
(60題 120分)
TIMSS
bull 選擇題 66
bull 建構反應題34
bull 平均字數22字 (sd 13)
bull 85為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程知道應用
推理
bull 數學內容數代數
幾何資料與機率
bull 平均解題時間1分鐘
(90題 90分)
基測
bull 選擇題 100
bull 建構反應題0
bull 平均字數 40字
bull 100為獨立試題
bull 認知歷程概念理解
程序執行解題思考
bull 數學內容量與數代
數幾何統計和機率
bull 平均解題時間2分鐘
(35題 70分)
2011217 7
背景
我國PISA評量成績(國際排名)
閱讀 科學 數學
2006 16 4 1
2009 23 12 5
2012
以數學素養(Mathematical Literacy)
為核心的評量成績退步
歷次 PISA 數學調查結果
8
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
數學 排名 暨平均分數
1日本 (557) 1香港 (550) 1臺灣 (549) 1上海(600)
2韓國 (547) 2芬蘭 (544)) 2芬蘭 (548) 2新加坡(562)
3紐西蘭 (537) 3韓國 (542) 3香港 (547) 3香港(555)
4芬蘭 (536) 4荷蘭 (538) 3韓國 (547) 4韓國(546)
5澳大利亞 (533) 5列支敦士登 (536) 5荷蘭 (531) 5臺灣(543)
5加拿大 (533) 6日本 (534) 6瑞士 (530) 6芬蘭(541)
7瑞士 (529) 7加拿大 (533) 7加拿大 (527) 7列支敦士登(536)
7英國 (529) 8比利時 (529) 8澳門 (525) 8瑞士(534)
9比利時 (520) 9澳門 (527) 8列支敦士登 (525) 9日本(529)
10法國 (517) 9瑞士 (527) 10日本 (523) 10加拿大(527)
2011217 9
進入主題
先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
待答問題之1
bull 為什麼特招要考「數學素養」和「閱讀理解素養」兩科
bull 素養是什麼
bull 數學素養與傳統兩種考題最大的不同(試舉例說明)
bull 有人說「素養評量」是模稜兩可沒有標準答案的問題對嗎
bull 學生可藉由重複演練來提升素養嗎
待答問題之2
bull 目前多數國中老師知道如何協助學生嗎老師的進修管道為何
bull 怎麼考命題方式題型評分標準出題範圍和公平性如何
bull 怎麼因應和準備
bull 國中生如何兼顧段考會考和特招三種不同型態考試
特色招生評量目的與內容
bull 鑑別學生的學習力有多強將檢測學生的思考力探究力統整力創造力問題解決能力
bull 強調素養的評量擁有相當素養的人面對現實問題時能以主動積極的態度及多元開放的精神整合各種相關資訊發揮思辨統整溝通能力以解決問題
評量的比較
5
PISA
bull 十五歲
bull 在真實情
境中應用
習得知能
的程度
TIMSS
bull 四年級
八年級
bull 改善數學
和科學的
教與學
PISLS
bull 四年級
bull 研究世界
各國四年
級兒童的
閱讀力
基測
bull 九年級
bull 入學測驗
評量國中
畢業生的
基本學習
能力
數學評量試題的比較
6
PISA
bull 選擇題 33
bull 建構反應題67
bull 平均字數56 字(sd 32)
bull 41為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程形成應用
詮釋
bull 數學內容數量改變
與關係空間與形狀
不確定性
bull 平均解題時間2分鐘
(60題 120分)
TIMSS
bull 選擇題 66
bull 建構反應題34
bull 平均字數22字 (sd 13)
bull 85為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程知道應用
推理
bull 數學內容數代數
幾何資料與機率
bull 平均解題時間1分鐘
(90題 90分)
基測
bull 選擇題 100
bull 建構反應題0
bull 平均字數 40字
bull 100為獨立試題
bull 認知歷程概念理解
程序執行解題思考
bull 數學內容量與數代
數幾何統計和機率
bull 平均解題時間2分鐘
(35題 70分)
2011217 7
背景
我國PISA評量成績(國際排名)
閱讀 科學 數學
2006 16 4 1
2009 23 12 5
2012
以數學素養(Mathematical Literacy)
為核心的評量成績退步
歷次 PISA 數學調查結果
8
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
數學 排名 暨平均分數
1日本 (557) 1香港 (550) 1臺灣 (549) 1上海(600)
2韓國 (547) 2芬蘭 (544)) 2芬蘭 (548) 2新加坡(562)
3紐西蘭 (537) 3韓國 (542) 3香港 (547) 3香港(555)
4芬蘭 (536) 4荷蘭 (538) 3韓國 (547) 4韓國(546)
5澳大利亞 (533) 5列支敦士登 (536) 5荷蘭 (531) 5臺灣(543)
5加拿大 (533) 6日本 (534) 6瑞士 (530) 6芬蘭(541)
7瑞士 (529) 7加拿大 (533) 7加拿大 (527) 7列支敦士登(536)
7英國 (529) 8比利時 (529) 8澳門 (525) 8瑞士(534)
9比利時 (520) 9澳門 (527) 8列支敦士登 (525) 9日本(529)
10法國 (517) 9瑞士 (527) 10日本 (523) 10加拿大(527)
2011217 9
進入主題
先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
待答問題之2
bull 目前多數國中老師知道如何協助學生嗎老師的進修管道為何
bull 怎麼考命題方式題型評分標準出題範圍和公平性如何
bull 怎麼因應和準備
bull 國中生如何兼顧段考會考和特招三種不同型態考試
特色招生評量目的與內容
bull 鑑別學生的學習力有多強將檢測學生的思考力探究力統整力創造力問題解決能力
bull 強調素養的評量擁有相當素養的人面對現實問題時能以主動積極的態度及多元開放的精神整合各種相關資訊發揮思辨統整溝通能力以解決問題
評量的比較
5
PISA
bull 十五歲
bull 在真實情
境中應用
習得知能
的程度
TIMSS
bull 四年級
八年級
bull 改善數學
和科學的
教與學
PISLS
bull 四年級
bull 研究世界
各國四年
級兒童的
閱讀力
基測
bull 九年級
bull 入學測驗
評量國中
畢業生的
基本學習
能力
數學評量試題的比較
6
PISA
bull 選擇題 33
bull 建構反應題67
bull 平均字數56 字(sd 32)
bull 41為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程形成應用
詮釋
bull 數學內容數量改變
與關係空間與形狀
不確定性
bull 平均解題時間2分鐘
(60題 120分)
TIMSS
bull 選擇題 66
bull 建構反應題34
bull 平均字數22字 (sd 13)
bull 85為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程知道應用
推理
bull 數學內容數代數
幾何資料與機率
bull 平均解題時間1分鐘
(90題 90分)
基測
bull 選擇題 100
bull 建構反應題0
bull 平均字數 40字
bull 100為獨立試題
bull 認知歷程概念理解
程序執行解題思考
bull 數學內容量與數代
數幾何統計和機率
bull 平均解題時間2分鐘
(35題 70分)
2011217 7
背景
我國PISA評量成績(國際排名)
閱讀 科學 數學
2006 16 4 1
2009 23 12 5
2012
以數學素養(Mathematical Literacy)
為核心的評量成績退步
歷次 PISA 數學調查結果
8
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
數學 排名 暨平均分數
1日本 (557) 1香港 (550) 1臺灣 (549) 1上海(600)
2韓國 (547) 2芬蘭 (544)) 2芬蘭 (548) 2新加坡(562)
3紐西蘭 (537) 3韓國 (542) 3香港 (547) 3香港(555)
4芬蘭 (536) 4荷蘭 (538) 3韓國 (547) 4韓國(546)
5澳大利亞 (533) 5列支敦士登 (536) 5荷蘭 (531) 5臺灣(543)
5加拿大 (533) 6日本 (534) 6瑞士 (530) 6芬蘭(541)
7瑞士 (529) 7加拿大 (533) 7加拿大 (527) 7列支敦士登(536)
7英國 (529) 8比利時 (529) 8澳門 (525) 8瑞士(534)
9比利時 (520) 9澳門 (527) 8列支敦士登 (525) 9日本(529)
10法國 (517) 9瑞士 (527) 10日本 (523) 10加拿大(527)
2011217 9
進入主題
先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
特色招生評量目的與內容
bull 鑑別學生的學習力有多強將檢測學生的思考力探究力統整力創造力問題解決能力
bull 強調素養的評量擁有相當素養的人面對現實問題時能以主動積極的態度及多元開放的精神整合各種相關資訊發揮思辨統整溝通能力以解決問題
評量的比較
5
PISA
bull 十五歲
bull 在真實情
境中應用
習得知能
的程度
TIMSS
bull 四年級
八年級
bull 改善數學
和科學的
教與學
PISLS
bull 四年級
bull 研究世界
各國四年
級兒童的
閱讀力
基測
bull 九年級
bull 入學測驗
評量國中
畢業生的
基本學習
能力
數學評量試題的比較
6
PISA
bull 選擇題 33
bull 建構反應題67
bull 平均字數56 字(sd 32)
bull 41為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程形成應用
詮釋
bull 數學內容數量改變
與關係空間與形狀
不確定性
bull 平均解題時間2分鐘
(60題 120分)
TIMSS
bull 選擇題 66
bull 建構反應題34
bull 平均字數22字 (sd 13)
bull 85為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程知道應用
推理
bull 數學內容數代數
幾何資料與機率
bull 平均解題時間1分鐘
(90題 90分)
基測
bull 選擇題 100
bull 建構反應題0
bull 平均字數 40字
bull 100為獨立試題
bull 認知歷程概念理解
程序執行解題思考
bull 數學內容量與數代
數幾何統計和機率
bull 平均解題時間2分鐘
(35題 70分)
2011217 7
背景
我國PISA評量成績(國際排名)
閱讀 科學 數學
2006 16 4 1
2009 23 12 5
2012
以數學素養(Mathematical Literacy)
為核心的評量成績退步
歷次 PISA 數學調查結果
8
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
數學 排名 暨平均分數
1日本 (557) 1香港 (550) 1臺灣 (549) 1上海(600)
2韓國 (547) 2芬蘭 (544)) 2芬蘭 (548) 2新加坡(562)
3紐西蘭 (537) 3韓國 (542) 3香港 (547) 3香港(555)
4芬蘭 (536) 4荷蘭 (538) 3韓國 (547) 4韓國(546)
5澳大利亞 (533) 5列支敦士登 (536) 5荷蘭 (531) 5臺灣(543)
5加拿大 (533) 6日本 (534) 6瑞士 (530) 6芬蘭(541)
7瑞士 (529) 7加拿大 (533) 7加拿大 (527) 7列支敦士登(536)
7英國 (529) 8比利時 (529) 8澳門 (525) 8瑞士(534)
9比利時 (520) 9澳門 (527) 8列支敦士登 (525) 9日本(529)
10法國 (517) 9瑞士 (527) 10日本 (523) 10加拿大(527)
2011217 9
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先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
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情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
評量的比較
5
PISA
bull 十五歲
bull 在真實情
境中應用
習得知能
的程度
TIMSS
bull 四年級
八年級
bull 改善數學
和科學的
教與學
PISLS
bull 四年級
bull 研究世界
各國四年
級兒童的
閱讀力
基測
bull 九年級
bull 入學測驗
評量國中
畢業生的
基本學習
能力
數學評量試題的比較
6
PISA
bull 選擇題 33
bull 建構反應題67
bull 平均字數56 字(sd 32)
bull 41為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程形成應用
詮釋
bull 數學內容數量改變
與關係空間與形狀
不確定性
bull 平均解題時間2分鐘
(60題 120分)
TIMSS
bull 選擇題 66
bull 建構反應題34
bull 平均字數22字 (sd 13)
bull 85為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程知道應用
推理
bull 數學內容數代數
幾何資料與機率
bull 平均解題時間1分鐘
(90題 90分)
基測
bull 選擇題 100
bull 建構反應題0
bull 平均字數 40字
bull 100為獨立試題
bull 認知歷程概念理解
程序執行解題思考
bull 數學內容量與數代
數幾何統計和機率
bull 平均解題時間2分鐘
(35題 70分)
2011217 7
背景
我國PISA評量成績(國際排名)
閱讀 科學 數學
2006 16 4 1
2009 23 12 5
2012
以數學素養(Mathematical Literacy)
為核心的評量成績退步
歷次 PISA 數學調查結果
8
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
數學 排名 暨平均分數
1日本 (557) 1香港 (550) 1臺灣 (549) 1上海(600)
2韓國 (547) 2芬蘭 (544)) 2芬蘭 (548) 2新加坡(562)
3紐西蘭 (537) 3韓國 (542) 3香港 (547) 3香港(555)
4芬蘭 (536) 4荷蘭 (538) 3韓國 (547) 4韓國(546)
5澳大利亞 (533) 5列支敦士登 (536) 5荷蘭 (531) 5臺灣(543)
5加拿大 (533) 6日本 (534) 6瑞士 (530) 6芬蘭(541)
7瑞士 (529) 7加拿大 (533) 7加拿大 (527) 7列支敦士登(536)
7英國 (529) 8比利時 (529) 8澳門 (525) 8瑞士(534)
9比利時 (520) 9澳門 (527) 8列支敦士登 (525) 9日本(529)
10法國 (517) 9瑞士 (527) 10日本 (523) 10加拿大(527)
2011217 9
進入主題
先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
數學評量試題的比較
6
PISA
bull 選擇題 33
bull 建構反應題67
bull 平均字數56 字(sd 32)
bull 41為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程形成應用
詮釋
bull 數學內容數量改變
與關係空間與形狀
不確定性
bull 平均解題時間2分鐘
(60題 120分)
TIMSS
bull 選擇題 66
bull 建構反應題34
bull 平均字數22字 (sd 13)
bull 85為獨立試題其餘
為題組題型
bull 認知歷程知道應用
推理
bull 數學內容數代數
幾何資料與機率
bull 平均解題時間1分鐘
(90題 90分)
基測
bull 選擇題 100
bull 建構反應題0
bull 平均字數 40字
bull 100為獨立試題
bull 認知歷程概念理解
程序執行解題思考
bull 數學內容量與數代
數幾何統計和機率
bull 平均解題時間2分鐘
(35題 70分)
2011217 7
背景
我國PISA評量成績(國際排名)
閱讀 科學 數學
2006 16 4 1
2009 23 12 5
2012
以數學素養(Mathematical Literacy)
為核心的評量成績退步
歷次 PISA 數學調查結果
8
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
數學 排名 暨平均分數
1日本 (557) 1香港 (550) 1臺灣 (549) 1上海(600)
2韓國 (547) 2芬蘭 (544)) 2芬蘭 (548) 2新加坡(562)
3紐西蘭 (537) 3韓國 (542) 3香港 (547) 3香港(555)
4芬蘭 (536) 4荷蘭 (538) 3韓國 (547) 4韓國(546)
5澳大利亞 (533) 5列支敦士登 (536) 5荷蘭 (531) 5臺灣(543)
5加拿大 (533) 6日本 (534) 6瑞士 (530) 6芬蘭(541)
7瑞士 (529) 7加拿大 (533) 7加拿大 (527) 7列支敦士登(536)
7英國 (529) 8比利時 (529) 8澳門 (525) 8瑞士(534)
9比利時 (520) 9澳門 (527) 8列支敦士登 (525) 9日本(529)
10法國 (517) 9瑞士 (527) 10日本 (523) 10加拿大(527)
2011217 9
進入主題
先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
2011217 7
背景
我國PISA評量成績(國際排名)
閱讀 科學 數學
2006 16 4 1
2009 23 12 5
2012
以數學素養(Mathematical Literacy)
為核心的評量成績退步
歷次 PISA 數學調查結果
8
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
數學 排名 暨平均分數
1日本 (557) 1香港 (550) 1臺灣 (549) 1上海(600)
2韓國 (547) 2芬蘭 (544)) 2芬蘭 (548) 2新加坡(562)
3紐西蘭 (537) 3韓國 (542) 3香港 (547) 3香港(555)
4芬蘭 (536) 4荷蘭 (538) 3韓國 (547) 4韓國(546)
5澳大利亞 (533) 5列支敦士登 (536) 5荷蘭 (531) 5臺灣(543)
5加拿大 (533) 6日本 (534) 6瑞士 (530) 6芬蘭(541)
7瑞士 (529) 7加拿大 (533) 7加拿大 (527) 7列支敦士登(536)
7英國 (529) 8比利時 (529) 8澳門 (525) 8瑞士(534)
9比利時 (520) 9澳門 (527) 8列支敦士登 (525) 9日本(529)
10法國 (517) 9瑞士 (527) 10日本 (523) 10加拿大(527)
2011217 9
進入主題
先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
歷次 PISA 數學調查結果
8
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
數學 排名 暨平均分數
1日本 (557) 1香港 (550) 1臺灣 (549) 1上海(600)
2韓國 (547) 2芬蘭 (544)) 2芬蘭 (548) 2新加坡(562)
3紐西蘭 (537) 3韓國 (542) 3香港 (547) 3香港(555)
4芬蘭 (536) 4荷蘭 (538) 3韓國 (547) 4韓國(546)
5澳大利亞 (533) 5列支敦士登 (536) 5荷蘭 (531) 5臺灣(543)
5加拿大 (533) 6日本 (534) 6瑞士 (530) 6芬蘭(541)
7瑞士 (529) 7加拿大 (533) 7加拿大 (527) 7列支敦士登(536)
7英國 (529) 8比利時 (529) 8澳門 (525) 8瑞士(534)
9比利時 (520) 9澳門 (527) 8列支敦士登 (525) 9日本(529)
10法國 (517) 9瑞士 (527) 10日本 (523) 10加拿大(527)
2011217 9
進入主題
先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
2011217 9
進入主題
先來素養一下
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
百分比
Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克在Zedland國家是需要外加5的稅店員先將夾克的定價加5的稅後再打八折Carl認為不應該如此他要店員先打八折然後再算5的稅
你覺得哪一種算法對Carl比較划算 請說明你的理由
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
現實問題的體驗打折與加稅
bull 消費者購買東西時
ndash 先打折再加稅
ndash 先加稅再打折
bull 消費者付的錢一樣（數學結果相同）
bull 對商家呢
bull 對政府稅捐機關呢
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
林福來教授的小故事
bull 舉一個最近發生的例子前幾天我要去和信醫院看朋友學生幫我上網用google map找到醫院位置看到和信醫院就在捷運忠義站附近但是因為地圖上沒有比例尺看不出從捷運站出來後要走多久才能到我就說「不然就坐計程車」結果我的博士班學生說「不用坐車走路就好老師你看地圖上捷運站到醫院的距離和和信醫院整棟大樓的大小差不多用走的沒問題」果然醫院就在離捷運站走路五分鐘可到的地方
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
什麼是數學素養了解與見解
bull 了解對一件事情的明白 bull 見解經批判反思後進一步提出個人的看法
bull 不是知道多少數學而是能夠拿知道的數學處理資訊
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
什麼是數學素養OECD派
bull PISA定義的數學素養
ndash 個人能在多樣不同的情境之下將情境問題轉化成數學問題使用數學及詮釋數學的能力這素養包括了數學推理及使用應用數學概念程序事實工具來解釋描述及預測現象
ndash 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色能夠進行有根據的評斷並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動以成為一個有積極的關懷的以及反思的國民
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
什麼是數學素養美國派
bull NRC定義的數學素養
ndash 概念的瞭解 (Conceptual understanding)
ndash 程序的流暢 (Procedural fluency)
ndash 策略的運用 (Strategic competence)
ndash 適當的推理 (Adaptive reasoning)
ndash 建設性的意向 (Productive disposition)
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
數學素養的評量以PISA為例
bull PISA數學素養評量的目的
ndash 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準
ndash 提供政策制定者教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
PISA 評量的特色
17
評量對象
PISA評量
年輕人在未來參與社會時是
否具備所需的基礎知識和技能
學生能在真實情境中應用習得
的知能之程度
PISA 稱之為『素養』 平時考 段考
面對真實生活問題挑戰的能力
完成義務教育
十五歲學生 成就評量
評量學校課程的精熟度
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
PISA 評量的內容
PISA 評量自 2000年開始每三年調查一次
PISA 評量包括 閱讀素養數學素養和科學素養
每次以一個領域為主進行深度的調查另二個領域為輔
18
2000 - 閱讀
2003 - 數學 （問題解決）
2006 - 科學 臺灣第一次參加
2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量
2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學問題解決
2015 ndash 科學 預計 全面電腦化
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
情境脈絡
個人 與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財
職業 職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資會計質量控制調度庫存設計架構以及與工作相關的決策
社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告
科學 有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域
19
必須是15歲學生會接觸到的範圍
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
數學內容知識
(Mathematical content Knowledge)
bull 變化和關係(Change and relationships)
bull 空間和形(Space and shape)
bull 量(Quantity)
bull 不確定性（Uncertainty）
從學生面對的數學物件關係來思考
涵蓋的數學內容包括
ndash 方程式代數坐標系平面及立體幾何測量數與單位比與比例估測資料收集和整理取樣及樣本空間機率hellip
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
情境問題解決的三步驟
bull 將情境問題轉化成數學問題(Formulating
situations mathematically)
bull 使用數學概念事實步驟和推理
(Employing mathematical concepts
facts procedures and reasoning)
bull 詮釋應用及評鑑數學結果 (Interpreting
applying and evaluating mathematical
outcomes)
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
PISA評量數學素養的三維度架構
bull 數學內容知識 (Mathematical content knowledge)
bull 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力
(Mathematical processes and the underlying
mathematical capabilities)
bull 情境與脈絡 (Contexts)
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
情境問題解決內蘊的數學力
1 情境與數學間的溝通 (Communication)
2 問題數學化 (Mathematising)
3 使用及轉換表徵 (Representation)
4 推理和論述 (Reasoning and argument)
5 發展策略 (Devising strategies)
6 使用符號形式及術語與運算 (Using symbolic
formal and technical language and operations)
7 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
Jan de Langersquos Pyramid
2011217 26
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
PISA 2000~2009 數學能力群組
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
能力群組(competency clusters)
1複製(reproduction)
2連結(connection)
3反思(reflection)
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
(1)複製群組reproduction cluster
此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力
如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
解方程式7x-3=13x+15
712814159的平均數是多少
1000元存進銀行年利率是4一年後全部領回多少錢
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M432 反應時間
在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間
跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
1 0147 1009
2 0136 999
3 0197 987
4 0180 沒跑完
5 0210 1017
6 0216 1004
7 0174 1008
8 0193 1013
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題 1 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表
獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
(2)連結群組connection cluster
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題示例
以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以zeds為單位
A大樓
辦公室出租
58-95平方公尺
每個月475zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
B大樓
辦公室出租
35-260平方公尺
每年每平方公尺90zeds
bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
(3)反思群組reflection cluster
此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M479學生身高
______________________________________________________________
問題 1學生身高
某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160 公分女生平均身高 150 公
分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分
那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均
身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變
從這些訊息可以獲得下列何種推論
每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo
推論 是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生 是否
一個學生是男生另一個是女生 是否
兩個學生有相同的身高 是否
所以學生的平均高度沒有改變 是否
丹尼克仍是最矮的 是否
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
數學素養評量
在不同情境脈絡中辨識做及運用數學的能力
藉由描述建模解釋與預測不同現象來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力
38
情境脈絡
個人購物飲食
職業試算表使用
社會選舉經濟
科學醫學天氣
內容領域
改變與關係函數
代數方程式
空間與形狀座標
系統幾何測量
數量數與單位
四則計算百分比
不確定性抽樣
機率資料變異性
溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算
工具使用
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M704年度風雲汽車
某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo
的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示
車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T)
Ca 3 1 2 3
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
評分說明如下
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題1年度風雲汽車
這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分
總分 = ( 3 times S )+ F + E + T
請你計算ldquoCardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處
ldquoCardquo車子的總分rdquo
應用
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
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60
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100
120
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160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題2年度風雲汽車
ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的
請寫出一個可以使 ldquoCardquo車子是贏家的計算加權總分公式
你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式
總分=___timesS +___timesF +___timesE +___timesT
形成
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M537心跳
為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍
數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式
最大心跳速率 = 220 - 年齡
最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下
最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題1心跳
某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」
請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加
應用
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題2心跳
推算最大心跳速率的公式208 - ( 07 times 年齡 )
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的80時此時體能訓練最有效
根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式
形成
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M525減少二氧化碳(CO2)濃度
許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在1990年(白色長條)和1998年(黑色長條)二氧化碳的排放量以及在1990年到1998年之間排放量改變程度的百分比(箭頭代表百分比)
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題1減少二氧化碳(CO2)濃度
上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化碳排放量增加了11
寫出計算過程說明11是如何知道的
應用
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題2減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比(16)大於整個歐洲所減少的百分比(4)這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」
你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案
詮釋
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
問題3減少二氧化碳(CO2)濃度
佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的排放量增加最多
兩個人從上圖產生不同的結論
根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案
詮釋
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M465水箱
問題 1 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示
一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
形成
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
尤拉發現七橋問題就相當於問下圖可否
一筆描繪而且起點等於終點（陸地和
小島點橋線條）
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
判斷校園造型之空間圖形是否可以一
筆畫完成
圖(一)
圖(二)
校園景物取境
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
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I
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D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
圖(三)
圖(四)
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
網絡
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
奇點數
2 4 10 14 2 0 8 6 6 4 10 0 2 2 4 2 2 2 2
偶點數
4 5 6 3 23 12 4 0 1 9 0 6 0 2 4 5 3 2 7
能否一筆畫
能 否 否 否 能 能 否 否 否 否 否 能 能 能 否 能 能 能 能
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎如果辦不到的話至少需要重複幾次最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度（每間教室長約85公尺）
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
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75
25
25
25
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H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
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PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
督學巡堂圖 (泳池 )
(電梯 )
(川堂 )
(特教 )
25
25
25
4
4
4
65
22
7
75
25
25
25
4
H
F
J
I
E
D
C
B A
G
校門口
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎
如果辦不到的話至少需要重複幾次請你幫校
長設計一條巡堂的最短路徑圖並請算出最短的
路徑長度大約需多少間教室的長度路徑參考圖
如下圖中的數字單位是一間教室的長度（約85
公尺）
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
校長巡堂圖 行政大樓
走廊
藝能科教室
8
04
854
44
2525
25
校長室
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
素養水準的描述
61
數學素養 水準六 (669分以上)
hellip 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理他們能藉由符號數學運算關係的洞察和理解也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略hellip
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
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五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
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60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
62
PISA 數學試題命題需知
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
命題須知
1 PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2 試題不可從教科書或參考書中擷取
3 試題開發以單元(Unit)為單位每個單元包含3~5問題(Question)每個問題儘可能相互獨立
4 每個試題的內容必須包含題目題幹試題說明(題旨數學歷程內容領域情境脈落)問題編碼方式
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
5 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試這些結果可用來修正試題且學生作答反應可置入計分規範
6 試題必須符合四種數學內容領域(數量空間與形狀改變與關係不確定性)之一
7 試題類型比例13 選擇題13 封閉式建構反應題13 開放式建構反應題
8 能以常用文具(尺橡皮擦計算機圓規)答題
64
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
9 試題的閱讀層次需詳加考量試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
65
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
試題特徵
10 建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
ldquoaveragerdquo student)
11 每一個單元不應超過15分鐘
12 費時的試題(time-consuming items)應該避免
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
13 避免不當的問題設計例如試題的計分太過於開放
Ex假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱
請你建議一些合適的長寛高尺寸並描述如何你得到這些結果最後再依據你得到值描繪出此水族箱
bull 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題但評分架構太複雜而且在跨國跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性
67
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
14 翻譯問題
因為施測語言超過25種 所試題中包含特定的語言可能不太適合 如下
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
改成如下會較佳
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
15 避免不完整的敘述
bull Line X is shorter than
A Line Y
B Line Z
C Line W
D Line T
bull Instead write ldquoWhich line is longer than Line Xrdquo
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
16 真實的情境
農夫約翰養了許多雞和免子約翰計算得到共有65個頭180隻腳請問約翰有多少隻雞（較人為化）
可改寫成
學校音樂會的成人票每張4元學生票每張2元今天共賣出65張票共得180元請問今天賣了多少張學生票
（較為真實）
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
17 數學化
bull 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價超市A
的優惠方式為「買二條送一條」超市B的優惠方式
為「打七折」
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同哪一間超
市提供的優惠方式較佳 提供理由支持你的答案
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元小明在超市A
買了6條根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
bull 有一位木匠要為花圃建圍欄
圍欄長度的單位為公尺這
位木匠要買多長的圍欄
bull 木匠有32公尺的木材他想要在花圃
周圍做圍欄他考慮將花圃設計成以
下的造型哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成
（需要數學化）
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
18 非數學情境脈落的試題
OECDPISA強調真實的情境但並未排除重要和或有趣的數學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）
列出496的因數 （標準化的教科書問題）
數字6是一個完全數(perfect number)因為它（除了本身之外）的因數123的加總剛好等於6下一個完全數是28因為它的因數有124714再下一個完全數是496請證明496是完全數 （較佳）
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
影響試題難度的因素
75
因素 範例 較易 較難
呈現方式
試題內容 長短
短 長
圖形或表格中的資訊明
顯與否 簡單清楚明顯 複雜包含多餘的資訊
情境
概念的 難易度
簡單僅需基本的概念 複雜需進階的概念
熟悉程度 熟悉的情境 陌生的情境
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
76
因素 範例 較易 較難
資訊處理的歷程
「理解」的需求
簡單容易的資訊 複雜的資訊
公式清楚完整且直接呈現 公式不完備未直接呈
現
不需要詮釋 需要詮釋
「選擇」的需求
明顯的提示清楚的資訊 需要判斷分散的資訊
「轉化」的需求
單一步驟 多重步驟
僅需最少的轉化 需大量的轉化
低階的知識和技巧 高階的知識和技巧
不需要額外的覺察 需要額外的覺察
限制在試題情境中的思考 需要歸納推廣
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
77
因素 範例 較易 較難
數學內容
(部分範例)
比例 能化簡成簡單整數比 不能化簡
方程式
單一未知數 有多個未知數
整數解 分數解
有簡單的解法 沒有簡單的解法
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
圖形的詮釋 尋找最大值（或最小值） 解釋區間的變化
分數和小數 大於1的分數 0-1之間的分數
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
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29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
臺灣參與 PISA 的效益
bull 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
bull 了解臺灣教育成效的趨勢
bull 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
bull 學校與學生方面
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
78
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M037 農場(14)
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M037 農場(24)
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
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01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M037 農場(34)
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M037 農場(44)
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M047 地衣(16)
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M047 地衣(26)
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M047 地衣(36)
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M047 地衣(46)
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M047 地衣(56)
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M047 地衣(66)
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
89
五PISA應試指南
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
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80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
學生常犯錯誤
不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼
沒有仔細閱讀題目
不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式
粗心計算錯誤
主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中的資訊
90
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
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400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
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120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
學生常犯錯誤
比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值
未注意單位不同或忘記換算
未注意xy座標軸的單位及其代表的意義
沒有作答
這些錯誤有時是可以避免的若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數而不會低估了學生的成績
91
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
學生作答常犯錯誤示例
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
未能答對的原因
M148Q0
2
大陸面積
M159Q01
賽車速度
M159Q04
賽車速度
M179Q01
搶劫
國際答對率 019 067 028 026 (030)
此次測驗答對率 018 057 041 033
1 課程未包括已刪除或只有粗淺的介紹
bull 論證式的作答
bull 概數
bull 比例尺
2 有能力但無法答對Why Find outhellip
bull 範例
CHECK
註綠色為PISA 2000的國際答對率藍色為PISA 2003的國際答對率
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M148 大陸面積(14)
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M148 大陸面積(24)
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M148 大陸面積(34)
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M148 大陸面積(44)
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
常見的學生作答方式-1
將不規則面積補成 1個或多個 長方形
公里
孟席斯山
南極
南極洲
公里
孟席斯山
南極
南極洲
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
常見的學生作答方式-2
公里
孟席斯山 南極
南極洲
全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
答題統計
13
144
92
20
92
20 07 0
52
13 0
549
00
100
200
300
400
500
600
01 02 11 12 13 14 21 22 23 24 25 99
M148Q02 大陸面積
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
學生常犯的錯誤
1 計算錯誤比例尺用錯或未使用比例尺
14400km平方以一個矩形把整個南極洲圍住再計算矩
形的面積就大約是整個南極洲的面積
將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)2+(5+2)2+22】400=5000
先畫一個長方形再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述沒有計算過程也沒使用比例尺）
2 沒有作答
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
作答建議 比例尺的問題在真實生活中經常使用在PISA數學試題也很經常出現此類型試題的答案通常是一個範圍或區間因此作答時建議
使用測量工具例如尺
要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值另外因為轉化後的實際值通常比較大建議使用計算機以避免計算錯誤
正確使用比例尺比例尺並不是都以1公分50公里（或100公里）的換算方式在本例題中的比例尺比較特殊是07公分200公里換算時要特別注意
儘量作答多數開放性問題雖然都會要求計算過程但PISA數學試題的評分規準有明確提及答案對但沒有計算過程仍可獲得滿分
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M179 搶劫(14)
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
127
29
98
00
20
40
60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
注意 以下代號中答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子請不要單憑
「是」或「否」來計分而應看看答案解釋是否合理 bull 只有討論搶劫案的實際增加數字但沒有將它與總數比較
bull 不合理搶劫案數目大約增加了10宗用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確搶劫案數目只大約增加了10宗我不會稱之為「巨幅」
bull 不合理須顯示整個圖表
bull 我不認為那是合理的詮釋因為如果顯示全圖的話便能看到搶劫案的數目只是輕微上升
bull 有點不合理由508 至515 是有增加但不是巨幅的增加
bull 主播不應用「巨幅」這個字眼
bull 不這是不合理的主播（記者）經常喜歡誇大
bull 是搶劫案數字差不多雙倍增加
bull 我們不能說增加是否巨幅若1997年的搶劫案數目與1998年的相同那麼我們可以說1999年有巨幅增加
bull 不不合理計算百分比約只有2的增加
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
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29
98
00
20
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60
80
100
120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
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謝謝聆聽
Bye-bye
M179 搶劫(24)
M179 搶劫(34)
M179 搶劫(44)
答題統計
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01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
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M179 搶劫(44)
答題統計
141
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59
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05
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40
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140
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01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M179 搶劫(44)
答題統計
141
122
166
59
161
05
93
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20
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120
140
160
180
01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
答題統計
141
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01 02 03 04 11 12 21 22 23 99
M179Q01 搶劫
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
學生常犯的錯誤
1 主觀的陳述自己對問題的看法忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊
是對我來說超過一個都算多
是現在科技越來越發達
是因為這幾年來經濟不景氣有人為了生活做出做壞的打算所以才會搶劫
合理因為每一年的治安越來越亂了
2 只注意到題目中的部分資訊未能掌握所有（或關鍵）的資訊
當然合理圖表上升那麼多怎麼不合理呢
因為犯罪的長條圖是越長條數量越多
是因為圖表表達得很清楚1999比1998確實多很多
否並沒有巨幅上升
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
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114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
作答建議
利用圖形或表格的資料為依據進行推論獲得結果是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或『請根據表格中的數據』字句提示學生應以圖表的資料做為作答的依據作答時
不要以主觀的意識來回答問題請務必使用圖表中的資訊
運用數學概念觀點回答且精準掌握該問題之核心概念
注意圖形(x軸y軸) 或表格(公里小時或公尺秒)中所使用的單位才不會遺漏資訊
問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
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3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
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121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
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問題 1廢棄物 M505Q01 - 0 1 9
為了做環境的回家功課作業學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料
廢棄物種類 分解時間
香蕉皮 1－3年
橘子皮 1－3年
瓦楞紙箱 05年
口香糖 20－25年
報紙 幾天
塑膠杯 超過100年
有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果
寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果
評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
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評分
你無法驗證這些資料
因為這是不可行的
長條圖中長條長度的差異會很大
假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯代表瓦楞紙箱的長條就只有005公分
因為表內的數字只是近似值
「塑膠杯」長條的長度無法確定
你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25
年的長條
用插圖說明會比較好
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
M552 搖滾音樂會
數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
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121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
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數學素養評量的應試注意事項
114
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
一使用輔助工具 1 善用題本提供的公式
題本（封面內頁）有提供部分公式例如體積面積的公式圓周率（227）
2 運用測量工具與計算機
PISA評量可以使用各種測量工具解決問題例如長度面積等的計算與估測因此作答時建議使用測量工具（例如直尺圓規與量角器）可以提高測量的準確性此外遇到大數或比較繁複的計算可以使用計算機作為輔助以避免計算錯誤或誤差過大
115
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
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指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
二閱讀注意事項
1 仔細讀題洞察題意
情境試題的題幹敍述通常較一般試題長因此要仔細的閱讀題目才能理解題意做出正確的判斷和回答
116
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
二閱讀注意事項
2 面對挑戰勇於嘗試
PISA試題包含「個人」「職業」「社會」與「科學」四種情境脈絡雖然PISA試題是以學生感興趣或生活週遭的情境為主但各國文化風情不同且每位學生的生活歷練也有差異因此作答時可能會遇到不熟悉的情境或挑戰對於特殊的情境PISA試題中都會有概略的介紹至於會影響作答的事物或專有名詞也都會有明確的定義或說明所以不必害怕回答那些陌生的情境試題也不要放棄作答
117
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
Bye-bye
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
118
二閱讀注意事項
3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
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謝謝聆聽
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3 透析圖表正確解讀
PISA試題中通常會附有統計圖形或表格數字答案大部分都可從在圖表中擷取獲得有時需要將數據作進一步的運算或轉換
1) 統計圖中縱軸和橫軸的單位及其代表的意義
2) 表格數據的意義
119
三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
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三作答注意事項 不要留白盡力作答
彈性思考多元解題
計算精確過程詳盡
善用資訊說理有據
評析答案回顧反思
120
教學建議
121
指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
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指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
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指導學生讀題透過錯誤類型的評析進行批判與反思給予學生思考的時間不要太快提供策略或標準答案
嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中或增加開放性試題及非例行性試題提升學生數學思維與溝通能力的訓練
運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試老師可從旁協助學生修正其用語的正確性提升精確和嚴謹表達與說理的能力
提供時事的刺激與批判的實作嘗試運用數學的觀點進行詮釋
122
加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
123
覺察
謝謝聆聽
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加強學生對全球化議題的敏銳度例如全球暖化貨幣兌換時差換算等
增加測量工具（如計算機圓規與直尺等）使用與操作的機會
透過PISA試題的仿作與練習提升學生的解題經驗與老師對學生的瞭解進而調整教與學的策略
加強數學與學生生活的連結例如運用估測活動強化學生的空間感與量感
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