lenguaje simbólico y ecuaciones

Ecuaciones de primer gradoEcuaciones de primer grado

Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico

Expresiones algébricas

Valor numérico de una expresión algebraica

Suma y resta de expresiones algebraicas. Simplificación

Igualdades y ecuaciones

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

Resolución de ecuaciones. Regla del producto

Problemas: técnicas y estrategias con ecuaciones

Contenidos de desarrollo


Largo

Anc

ho

2x + 10x

El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros

Esta información podría expresarse de otra forma:

Llamamos x al ancho del campo.El doble será 2 · xY el doble más 10 m: 2 · x + 10

Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol.

Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son:

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información.

1. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico


Lenguaje ordinario

Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número)

Un número disminuido en 5

El número natural siguiente al número n

El cuadrado de un número menos el mismo número

Lenguaje algebraico

c – 5 (Llamamos c al número)

El cuadrado de un número x2

Perímetro del cuadrado de lado x

x

xx

x

4x

x2 – x

n + 1

Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12

Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x

Al-Khuwrizmi

2. El lenguaje algebraico: algunos ejemplos


Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras:

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

Observaciones:

1. El factor 1 no se escribe.

a

b

Área del triángulo:2

h · b

b

h

Área de un rectángulo: a · b

La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t

1 · x2 · y1

2. El exponente 1 tampoco se escribe.3. El signo de multiplicación no suele ponerse.

x2 · y1 x2 · y x2 y

5abc3 5 · a · b · c3

(t = tiempo en horas)

3. Expresiones algebraicas


Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.

Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

Ejemplos:

1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6

x

x

Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4:

16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.

para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4

2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es:

x2

A = x2 = 42 = 16

para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4

5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180

4. Valor numérico de una expresión algebraica


Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.

Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.

¿Cómo podríamos expresar su longitud total?

x x x x x x x x

5x 3x

Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:

5xx x x x x x x x

3x5x + 3x = 8x

Suma:

¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?x x x x x

5x 3x2x5x – 3x = 2x

Resta:

Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes.

5. Suma y resta de expresiones algebraicas

No se pueden sumar2x + x2

Se deja indicado


La balanza está equilibrada.

Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas.

10 + 2 = 4 + 8Tenemos una igualdad numérica

Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.

Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=).

10 + 2 = 4 + 8

Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4

1er miembro 2º miembro

Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x

Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.

La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.

La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.

6. Igualdades y ecuaciones


La balanza está equilibrada: el peso de los dos platillos es el mismo.A lo que pesa el trozo de queso le podemos llamar x.Tendremos la igualdad: x + 100 = 350

Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita, porque su valor es desconocido.

Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades:

Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas.

a) x + 3 = 7 b) y – 2 = 4 c) 3 · x = 21

x = 4, pues: 4 + 3 = 7

y = 6, pues: 6 – 2 = 4

x = 7, pues: 7 · 3 = 21

El signo “por”, ×, se sustituye por un

punto: “·”

P a r a p r a c t i c a r

x

7. Ecuaciones


Observa las ecuaciones: x + 5 = 9; 2 · y = 12; 3 · t – 2 = 14Todas tienen una sola incógnita que está elevada a exponente 1. (Lo de menos es que la llamemos x, y o t).Son ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Las siguientes balanzas en equilibrio expresan ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola incógnita con exponente 1.

x x x x x x x x x25

x8

4 1

x + 2 = 5 x + x + x = x + 8 x + 4 = x + x + x + x + 13 · x = x + 8 x + 4 = 4 · x + 1

No son de primer grado las ecuaciones: x2 = 9 6 · t2 + 2 · t + 2 = 0 2 · x3 = 250

8. Ecuaciones de primer grado con una incógnita


¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada.?

La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad.

Platillo izquierdo:

La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700

El valor x = 600 es la solución de la ecuación.

Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.

Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad.

x + 100

Platillo derecho: 500 + 200Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200

Ejemplo La solución de la ecuación 2x – 2 = x + 12 es x = 14

pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26

9. Solución de una ecuación


La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.

Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:

a) 4 + 4x = 25 – 3xSustituyendo:

b) 7x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16

7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro

Ecuación dada:

8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)

2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18

Le sumamos 2 a cada miembro

3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6xRestamos 6x a cada miembro

Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.

10. Ecuaciones equivalentes


Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

x = 10 Luego:

Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas.

Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.

x + 5 = 10 + 5

Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8

Regla de la suma

Primero. Restamos 8: 2x = x + 25Segundo. Restamos x: x = 25

La solución es x = 25

11. Resolución de ecuaciones. Regla de la suma


x = 5

Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Luego:

Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:

Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9

Regla del producto

Primero. Restamos 3: 4x = 2x + 6Segundo. Restamos 2x: 2x = 6

La solución es x = 3

4x = 20Hemos dividido por 4

Tercero. Dividimos por 2 x = 3

–3–2x:2

12. Resolución de ecuaciones. Regla del producto


La utilización de la reglas de la suma y del producto permite simplificar todas las ecuaciones de primer grado, esto es, hacerlas más sencillas. Practiquemos con dos ejemplos:

Restamos 2x:

Ejemplo 1. Resuelve: 5x – 3 = 2x

Dividimos entre 3:

Sumamos 3: 5x = 2x + 3

3x = 3

x = 1

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación:

Dividimos entre 2:

Multiplicamos por 9:

x = 18

Comprobamos:

Nota: El signo de la multiplicaciónno suele ponerse ni entre

las letras ni entrenúmeros y letras.

5 · x 5x

49

2x

4 · 99

2x · 9 2x = 36

49

36

9

18 · 2

13. Aplicación de las reglas. Ejemplos


Ecuaciones con paréntesis

Para resolver ecuaciones:

Sumamos 25:

1.º Suprime los paréntesis.

Nos planteamos la ecuación: 5 · (2 x – 5) = 15

Dividimos entre 10:

Para resolverla se siguen los siguientes pasos:

Suprimir el paréntesis: 10x – 25 = 15

10x = 40

x = 4

2.º Aplica la regla de la suma.3.º Aplica la regla del producto.

Otro ejemplo: Resuelve: 7(2x – 1) = 3(4x + 1)

Sumamos 7:Restamos 12x:

Suprimir el paréntesis: 14x – 7 = 12x + 314x = 12x + 10

2x = 10Dividimos entre 2: x = 5

14. Resolución de ecuaciones (I)


Ejercicio 1 Ecuación con paréntesis: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x

1º. Quitar paréntesis:

2º. Operar 5x – 4x:

3º. Restar x

3x – 21 = 5x – 5 – 4x

3x – 21 = x – 5

2x – 21 = – 5

5º. Dividir por 2

4º. Sumar 21 2x = 16x = 8

Ejercicio 2 Ecuación con denominadores:

1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6):

2º. Restar 30:

3º. Operar 3x – 2x

3x + 30 – 2x = 60

3x – 2x = 30x = 30

56

x

2

5

4

x

15. Resolución de ecuaciones (II)


Número de años que tiene que pasar para que la edad de Iván sea doble que la de hermana: x

PROBLEMA

Iván tiene 12 años y su hermana Rocío tiene 2 años. ¿Cuántos años deberán pasar para que la edad de Iván sea el doble que la de su hermana?

INCÓGNITA

DATOS

Edad de IvánLenguaje algebraico

Edad de Rocío122

Dentro de x años12 + x

12 + x = 2(2 + x)

Actualidad

Edad de IvánEdad de Rocío 2 + x

ECUACIÓN La edad de Iván es doble que la de Rocío:

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Paréntesis: 12 + x = 4 + 2xRestar x: 12 = 4 + xRestar 4: 8 = x

Dentro de 8 años Iván tendrá doble edad que su hermana.

COMPROBACIÓN Dentro de 8 años Iván tendrá 12 + 8 = 20 años, y su hermana Rocío, 2 + 8 = 10 años.

16. Técnicas y estrategias


Interpretación del enunciadoPrimero:

Problema: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?

Edad de Jorge

Plantear la ecuaciónSegundo:

Resolución de la ecuaciónTercero:

Comprobación.Cuarto:

Lenguaje algebraico

La madre de Jorge tiene 39x39

y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge 3x – 6

3x – 6 = 39

Son iguales

Sumar 6 3x = 45x = 15Dividir por 3

3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto

Jorge tiene 15 años

17. Resolución de problemas (I)


LEE Y COMPRENDE EL ENUNCIADO

Hacemos un dibujo para representar la situación.

RESUELVE EL PROBLEMA

PROBLEMA

El largo de un campo de fútbol es el doble que su ancho. Para cercarlo se han necesitado 270 m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del campo?

ELIGE UNA ESTRATEGIA

El largo del campo es doble que el anchoEl perímetro del campo es 270 m.

Hay que calcular el largo y el ancho.

xx

x x

Indicamos el ancho así: x El largo será: 2xLa suma de los cuatro lados, el perímetro, será: x + 2x + x + 2x = 270 m

Hay que resolver la ecuación: x + 2x + x + 2x = 270 mSumamos las x: 6x = 270Dividimos por 6: x = 45 2x = 90

Las dimensiones del campo de fútbol son: 90 m de largo y 45 m de ancho.Comprueba que el resultado es correcto.

2x

18. Resolución de problemas (II)

lenguaje simbólico y ecuaciones

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