matematines analizes konspektai

1

Skaičių eilutės

Konverguojančių eilučių savybės

Sakykime, kad 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, … yra realiųjų skaičių seka.

1) Skaičių eilute vadinsime simbolį

∑𝑎𝑘

∞

𝑘=1

= 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 +⋯

2) Skaičiai 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1 yra vadinami eilutės ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 dalinių sumų

seka.

3) Jei dalinių sumų seka 𝑆𝑛, 𝑛 ∈ ℕ turi ribą 𝑆, 𝑆 ∈ ℝ̅, tai S yra vadinama eilutės ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1

suma. Jei 𝑆 ∈ ℝ, tai sakome, kad ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja. Jei 𝑆 = ±∞, sakome, kad ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1

diverguoja. 4) Būtinoji eilutės konvergavimo sąlyga: Jei eilutė ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 konverguoja, tai lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 0.

5) Jei 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑛 ∈ ℕ, tai eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja jos dalinių sumų seka aprėžta.

6) Koši kriterijus:

Eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja ∀휀 > 0, ∃𝑁: |𝑆𝑛 − 𝑆𝑚| = |∑ 𝑎𝑘

𝑛𝑘= 𝑚 + 1 | < 휀, jei 𝑚, 𝑛 >

𝑁, 𝑛 > 𝑚.

Teigiamų eilučių pagrindiniai konvergavimo požymiai

1) Palyginimo požymis: Duota eilutė ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1

a) Jei |𝑎𝑛| ≤ 𝑐𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ ir eilutė ∑ 𝑐𝑘∞𝑘=1 konverguoja, tai ∑ 𝑎𝑘

𝑛𝑘=1 konverguoja.

b) Jei 𝑎𝑛 ≥ 𝑑𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ ℕ ir ∑ 𝑑𝑘∞𝑘=1 = ∞, tai ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 = ∞

c) Jei 𝑎𝑛 ≥ 0 ir ∃𝑏𝑛 > 0, kai 𝑛 ∈ ℕ: lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛= 𝜆, tai ∑ 𝑏𝑘

∞𝑘=1 < ∞ ⇒ ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 < ∞.

Atskiru atveju, jei 𝜆 > 0 , tai ∑ 𝑏𝑘∞𝑘=1 < ∞⟺ ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 < ∞.

Jei 𝜆 = 0 ir bent viena iš eilučių diverguoja, diverguoja ir kita.

2) Išretintos eilutės konvergavimo požymis

Sakykime, kad 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 ≥ 0, 𝑛 ∈ ℕ. Tada eilutė ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 < ∞⟺ ∑ 2𝑛𝑎2𝑛

∞𝑛=0 .

3) Koši požymis:

Duota eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 . Sakykime, kad lim

𝑛→∞√|𝑎𝑛|𝑛 = 𝛼. Tada

a) Jei 𝛼 < 1, tai eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja.

b) Jei 𝛼 > 1, tai eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 diverguoja.

c) Jei 𝛼 = 1, tai eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 gali konverguoti, bet gali ir diverguoti.

4) Dalambero požymis:


𝑛→∞|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| = 𝛼. Tada




2

Absoliučiai ir reliatyviai konverguojančios eilutės (Abelio ir Dirichlė požymis)

1) Kintamo ženklo (arba alternuojančia) eilute vadiname eilutę

𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐4+. . . = ∑(−1)𝑛+1𝑐𝑛 ,

∞

𝑛=1

𝑐𝑛 > 0, 𝑛 ∈ ℕ

2) Kintamo ženklo eilutė ∑ (−1)𝑛+1𝑐𝑛∞𝑛=1 konverguoja, jei yra patenkintos sąlygos:

a) Seka 𝑐𝑛 mažėjanti: 𝑐𝑛+1 ≤ 𝑐𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ b) lim

𝑛→∞𝑐𝑛 = 0

3) Abelio ir Dirichlė požymis:

Sakykime, kad yra patenkintos dvi sąlygos:

a) Eilutės ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 dalinių sumų seka yra aprėžta

b) Seka 𝑏𝑛 yra mažėjanti ir lim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 0

Tada eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 𝑏𝑘 konverguoja

4) Sakome, kad eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja absoliučiai, jei konverguoja eilutė ∑ |𝑎𝑘|

∞𝑘=1 .

Sakome, kad eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja reliatyviai, jei eilutė ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 konverguoja, o

∑ |𝑎𝑘|∞𝑘=1 diverguoja.

Jei eilutė konverguoja absoliučiai, tai ji konverguoja.

Eilučių daugyba ir perstatos 1) Duota eilutė ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 ir 𝑓:ℕ → ℕ bijekcija. Eilutė ∑ 𝑎�̃�

∞𝑘=1 = ∑ 𝑎𝑓(𝑘)

∞𝑘=1 vadinama

eilutės ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 perstata.

2) Jei eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja absoliučiai, tai konverguoja ir bet kuri jos perstata. Be

to, eilutės suma nuo perstatymo nesikeičia.

Jei eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja reliatyviai ir 𝐴 ∈ ℝ, tai ∃𝑓:ℕ → ℕ ∶ ∑ 𝑎𝑓(𝑘)

∞𝑘=1 = 𝐴.

3

Apibrėžtinis integralas

Laiptinės funkcijos integralas 1) Intervalų rinkinį 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑛 vadiname intervalo [𝑎, 𝑏] skaidiniu, jei

[𝑎, 𝑏] =⋃𝐼𝑘

𝑛

𝑘=1

, 𝐼𝑗 ∩ 𝐼𝑘 ∀𝑘 ≠ 𝑗

2) Funkcija 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ vadinama laiptine, jei

∃𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑛 ∶ 𝜑(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑘 , ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛

3) Laiptinės funkcijos 𝜑: [𝑎. 𝑏] → ℝ integralu intervale [𝑎, 𝑏] vadinamas skaičius

𝐼 = 𝑎1|𝐼1| + 𝑎2|𝐼2| + ⋯+ 𝑎𝑛|𝐼𝑛| = ∑𝑎𝑘|𝐼𝑘|

𝑛

𝑘=1

= ∫𝜑(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Čia 𝜑(𝑥) = 𝑎𝑘, kai 𝑥 ∈ 𝐼𝑘, 𝑘 ∈ 1, 2, … , 𝑛. |𝐼𝑘| žymi intervalo 𝐼𝑘 ilgį.

4) Sakykime, kad 𝜑,𝜓 ∈ 𝑆[𝑎, 𝑏], 𝑜 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. Tada:

a) ∫ (𝛼𝜑(𝑥) + 𝛽𝜓(𝑥))𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝛼 ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎+ 𝛽 ∫ 𝜓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

b) Jei 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tai ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎+ ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐

c) Jei 𝜑(𝑥) ≤ 𝜓(𝑥) ∀𝑥, tai ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎≤ ∫ 𝜓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

d) |∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎| ≤ ∫ |𝜑(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Funkcijų sekų konvergavimas 1) Sakome, kad funkcijų seka {𝑓𝑛(𝑥), 𝑛 ∈ ℕ} konverguoja į funkciją 𝑓(𝑥), jei 𝑓𝑛(𝑥) → 𝑓(𝑥),

kai 𝑛 → ∞,∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Šis funkcijų sekų konvergavimas vadinamas kovergavimu pataškiui.

2) Sakome, kad funkcijų seka {𝑓𝑛(𝑥), 𝑛 ∈ ℕ} apibrėžta intervale [𝑎, 𝑏] konverguoja tolygiai

intervale [𝑎, 𝑏] į funkciją 𝑓(𝑥), jei

lim𝑛→∞

𝑠𝑢𝑝𝑥∈[𝑎,𝑏]

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| = 0

Šį faktą žymime 𝑓𝑛(𝑥) ⇉ 𝑓(𝑥).

3) Sakome, kad funkcija 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ priklauso funkcijų klasei 𝐷[𝑎, 𝑏], jei egzistuoja

laiptinių funkcijų seka 𝜌𝑛(𝑥) ∈ 𝑆[𝑎, 𝑏]: 𝜌𝑛 ⇉ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Tokios funkcijos integralu intervale [𝑎, 𝑏] yra vadinamas skaičius

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

∫𝜌𝑛(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

4

4) Integralų savybės: a) Jei 𝑓 ir 𝑔 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑏], tai

∫(𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥))

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝛼∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

+ 𝛽∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

b) Jei 𝑓 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑏] ir 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tai


𝑏

𝑎

= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎

+∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐

c) Jei 𝑓 ir 𝑔 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑏] ir 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], tai ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

d) Jei 𝑓 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑏], tai |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎| ≤ ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏

𝑎

5) Jei funkcija 𝑓(𝑥) yra tolydi intervale [𝑎, 𝑏], tai egzistuoja laiptinių funkcijų seka {𝜌𝑛(𝑥)},

kuri konverguoja tolygiai į funkciją 𝑓(𝑥).

5

Neapibrėžtinis integralas

Pirmykštė funkcija

1) Sakykime, kad duota funkcija 𝑓: 𝐼 → ℝ.

Funkcija 𝐹(𝑥) yra vadinama 𝑓(𝑥) pirmykšte, jei 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

2) Jei 𝐹1(𝑥) 𝑖𝑟 𝐹2(𝑥) yra dvi 𝑓(𝑥) pirmykštės funkcijos, tai 𝐹1(𝑥) − 𝐹2(𝑥) = 𝐶

3) Jei 𝐹(𝑥) yra 𝑓(𝑥) pirmykštė funkcija, tai 𝐹(𝑥) + 𝐶 taip pat 𝑓(𝑥) pirmykštė funkcija

4) Funkcijos 𝑓 visų pirmykščių funkcijų aibė yra vadinama funkcijos 𝑓 neapibrėžtiniu

integralu ir žymima

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Pagrindinės integralo savybės 1) Sakykime, kad funkcijos 𝑓(𝑥) 𝑖𝑟 𝑔(𝑥) turi pirmykštes funkcijas 𝐹(𝑥)𝑖𝑟 𝐺(𝑥) kuriame

nors intervale 𝐼. 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. Teisingos lygybės:

a) ∫(𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝛼 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛽 ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼𝐹(𝑥) + 𝛽𝐺(𝑥) + 𝐶

b) Kintamojo keitimo formulė. Jei 𝜑(𝑡) yra tolydžiai diferencijuojama funkcija su

reikšmėmis intervale 𝐼, tai

∫𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝜑(𝑡)) + 𝐶

c) Integravimo dalimis formulė. Jei 𝑓 𝑖𝑟 𝑔 tolydžiai diferencijuojamos intervale 𝐼, tada

∫𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

d) Funkcijos diferencialu vadinamas reiškinys 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

2) Pagrindiniai neapibrėžtiniai integralai:

a) ∫ 0𝑑𝑥 = 𝐶

b) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

c) ∫ 𝑥𝑝𝑑𝑥 =𝑥𝑝+1

𝑝+1+ 𝐶, 𝑝 ≠ −1

d) ∫ 𝑥−1𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

e) ∫𝑑𝑥

1+𝑥2= arctan 𝑥 + 𝐶

f) ∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 =𝑎𝑥

ln𝑎+ 𝐶, ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

g) ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

h) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

i) ∫𝑑𝑥

sin2 𝑥= −cot 𝑥 + 𝐶

j) ∫𝑑𝑥

cos2 𝑥= tan 𝑥 + 𝐶

3) Niutono ir Leibnico formulė:

Jei 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], o 𝐹 yra jos pirmykštė, tai


𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑥)|𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

4) Sakykime, kad funkcija 𝑓 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑏]. Apibrėžkime 𝐹(𝑥) = ∫𝑓(𝑦)𝑑𝑦 , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

a) 𝐹 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]

b) Jei 𝑓 yra tolydi taške 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏], tai 𝐹′(𝑥0) = 𝑓(𝑥0).

Atskiru atveju, jei 𝑓 yra tolydi intervale [𝑎, 𝑏], tai 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

6

Integralo taikymai:

1) Plotas: Sakykime 𝑓1, 𝑓2: [𝑎, 𝑏] → ℝ. Ir 𝑓1(𝑥) ≤ 𝑓2(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Tada visų taškų tarp šių funkcijų intervale [𝑎, 𝑏] aibė 𝐴 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑓1(𝑥) ≤

𝑦 ≤ 𝑓2(𝑥)}

𝑆(𝐴) = ∫(𝑓2(𝑥) − 𝑓1(𝑥))𝑑𝑥

𝑏

𝑎

2) Tūris:

Sakykime 𝑆(𝐴(𝑥)) – pjūvio 𝐴(𝑥) erdvėje ℝ3 plotas. Tada kūno, apriboto 𝐴(𝑥) pjūviu

intervale [𝑎, 𝑏] tūris

𝑉 = ∫𝑆(𝐴(𝑥))𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Atskiru atveju, kai skaičiuojame funkcijos 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ sukinio tūrį (sukame briauną

𝑦 = 𝑓(𝑥) apie 𝑋 ašį), pjūvio 𝐴(𝑥) plotas 𝑆(𝐴(𝑥)) = 𝜋𝑓2(𝑥), todėl sukinio tūris

𝑉 = ∫𝜋𝑓2(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

3) Lanko ilgis: a) Sakykime kreivė yra apibrėžta Dekarto plokštumoje funkcija 𝑓(𝑥). Tada jos ilgis

𝑙 = ∫√1 + (𝑓′(𝑥))2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

b) Sakykime kreivė yra apibrėžta parametrine lygtimi: {𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡)

. Tada jos ilgis

𝑙 = ∫√(𝑥′(𝑡))2+ (𝑦′(𝑡))

2𝑑𝑡

𝑏

𝑎

c) Sakykime kreivė apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje: 𝑟 = 𝑟(𝜑). Tada jos ilgis

𝑙 = ∫√(𝑟(𝜑))2+ (𝑟′(𝜑))

2𝑑𝜑

𝑏

𝑎

7

Netiesioginis integralas

Pagrindinės savybės

1) Sakykime, kad 𝑓: [𝑎, 𝑏) → ℝ ir 𝑓 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑐], ∀𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Jei ∃ lim𝑥↑𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎∈ ℝ̅, tai ši riba

vadinama funkcijos 𝑓(𝑥) netiesioginiu integralu intervale [𝑎, 𝑏) ir žymima

(𝑁. 𝐼. ) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Jei be to ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎∈ ℝ, tai sakome, kad netiesioginis integralas konverguoja. Jei riba

neegzistuoja arba begalinė, sakome, kad netiesioginis integralas diverguoja.

2) Netiesioginių integralų palyginimas

Sakykime, kad funkcijos 𝑓 𝑖𝑟 𝑔 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑏). Tada teisingi teiginiai:

a) Jei 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏), 𝑡𝑎𝑖


𝑏

𝑎

≤ ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

b) Jei 𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑔(𝑥) ≥ 0, ∃ lim𝑥↑𝑏

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝜇, tai

∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 < ∞ ⟹ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

< ∞

𝑏

𝑎

c) Jei be to 𝜇 > 0, tai integralai konverguoja vienu metu:

∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 < ∞ ⟺ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

< ∞

𝑏

𝑎

Absoliučiai ir reliatyviai konverguojantys netiesioginiai integralai (Abelio ir Dirichlė požymis)

1) Sakome, kad integralas (𝑁. 𝐼. ) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 konverguoja absoliučiai, jei konverguoja

integralas ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝑏

𝑎.

2) Sakome, kad integralas (𝑁. 𝐼. ) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 konverguoja reliatyviai, jei

integralas∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎< ∞, o ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏

𝑎 diverguoja.

3) Jei (𝑁. 𝐼. ) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 konverguoja absoliučiai, jis konverguoja.

4) |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎| ≤ ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏

𝑎

5) Abelio ir Dirichle požymis (integralų konvergavimo)

Sakykime, kad funkcija 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏), 𝑔 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏) ir patenkintos dvi sąlygos:

a) |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎| ≤ 𝑀 < ∞, ∀𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏)

b) 𝑔(𝑥) ↓ 0, 𝑘𝑎𝑖 𝑥 ↑ 𝑏.

Tada ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 konverguoja.

8

Kelių kintamųjų funkcijos

Erdvė ℝ𝑘, 𝑘 ∈ ℕ

1) Erdve ℝ𝑘 vadiname aibę visų rinkinių (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘), 𝑥𝑖 ∈ ℝ, ∀𝑖 = 1,… , 𝑘.

Erdvės ℝ𝑘 elementas 𝕩 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘) vadinamas k-mačiu vektoriumi. Skaičiai

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 vadinami šio vektoriaus koordinatėmis.

Vektoriaus 𝕩 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘) moduliu arba ilgiu vadinamas skaičius

|𝕩| = √∑𝑥𝑖2

𝑘

𝑖=1

2) Veiksmai su vektoriais:

Sakykime 𝕩 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘), 𝕪 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑘). Tada

𝕩 + 𝕪 = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, +⋯+, 𝑥𝑘 + 𝑦𝑘)

𝑐𝕩 = (𝑐𝑥1, 𝑐𝑥2, … , 𝑐𝑥𝑘)

3) Atstumu tarp dviejų vektorių vadinamas skaičius

𝑑(𝕩, 𝕪) = √∑(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)2𝑘

𝑖=1

Atstumo savybės:

a) 𝑑(𝕩, 𝕪) ≥ 0, ∀𝕩, 𝕪 ir 𝑑(𝕩, 𝕪) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦

b) 𝑑(𝕩, 𝕪) = 𝑑(𝕪, 𝕩)

c) 𝑑(𝕩, 𝕪) ≤ 𝑑(𝕩, 𝕫) + 𝑑(𝕫, 𝕪)

Funkcijos riba ir tolydumas

1) Sakome, kad vektorių seka {𝕩𝑛, 𝑛 ∈ ℕ} turi ribą 𝕒, jei |𝕩 − 𝕒| → 0. Tą faktą užrašome

𝕩𝑛 → 𝕒, 𝑛 → ∞ Pastaba: |𝕩 − 𝕒| = 𝑑(𝕩, 𝕒)

2) Sakome, kad funkcijų seka 𝑓: 𝐷 → ℝ,𝐷 ⊂ ℝ𝑘 , turi ribą 𝐴, kai 𝕩 → 𝕒, jei ∀𝕩𝑛 → 𝕒, 𝑛 → ∞

lim𝑛→∞

𝑓(𝕩𝑛) = 𝐴 (lim𝕩→𝕒

𝑓(𝕩) = 𝐴)

3) Sakome, kad funkcija tolydi taške 𝕩 = 𝕒, jei 𝕒 ∈ 𝐷 ir lim𝕩→𝕒

𝑓(𝕩) = 𝑓(𝕒). Jei funkcija yra

tolydi kiekviename aibės (srities) taške, tai sakome, kad ji yra tolydi srityje D

9

Dalinės išvestinės

1) Kelių kintamųjų daline išvestine pagal kintamąjį 𝑥𝑖 taške 𝕩 ∈ 𝐷 yra vadinamas skaičius 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝕩) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖 + ℎ,… , 𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑘)

ℎ

2) Pirmąja dviejų kintamųjų funkcijos 𝑓:ℝ2 → ℝ išvestine vadiname matricą

∆1= 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦)

3) Antrąja dviejų kintamųjų funkcijos 𝑓:ℝ2 → ℝ išvestine vadiname matricą

∆2= 𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦) =

(

𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥2𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦2 )

Pastaba: 𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦𝜕𝑥

Ekstremumai

1) Sakome, kad funkcija 𝑓: 𝐷 → ℝ,𝐷 ⊂ ℝ𝑘, turi lokalųjį maksimumą taške 𝕩0 ∈ 𝐷, jei

∃𝛿 > 0: 𝑓(𝕩) ≤ 𝑓(𝕩0), 𝑘𝑎𝑖 |𝕩 − 𝕩0| < 𝛿

Sakome, kad funkcija 𝑓: 𝐷 → ℝ,𝐷 ⊂ ℝ𝑘, turi lokalųjį minimumą 𝕩0 ∈ 𝐷, jei

∃𝛿 > 0: 𝑓(𝕩) ≥ 𝑓(𝕩0), 𝑘𝑎𝑖 |𝕩 − 𝕩0| < 𝛿

Lokaliojo maksimumo ir lokaliojo minimumo taškai vadinami ekstremumo taškais.

2) Sakykime, kad dviejų kintamųjų funkcija turi dalines išvestines 𝜕𝑓

𝜕𝑥 ir

𝜕𝑓

𝜕𝑦 taške 𝕩0 =

(𝑥0, 𝑦0). Jei taškas 𝕩0 yra ekstremumo taškas, tai

{

𝜕𝑓

𝜕𝑥 (𝕩) = 0

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝕪) = 0

3) Pakankamos ekstremumo sąlygos:

Apibrėžkime du dydžius:

∆1(𝕩) = (𝜕𝑓(𝕩)

𝜕𝑥

𝜕𝑓(𝕩)

𝜕𝑦) , ∆2(𝕩) = |

|

𝜕2𝑓(𝕩)

𝜕𝑥2𝜕2𝑓(𝕩)

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕2𝑓(𝕩)

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕2𝑓(𝕩)

𝜕𝑦2

||

Sakykime, kad ∆1(𝕩) = (0,0).

Jei ∆2(𝕩) > 0, tada taške 𝕩 yra ekstremumas:

Minimumas, jei 𝜕2𝑓(𝕩)

𝜕𝑥2> 0. Maksimumas, jei

𝜕2𝑓(𝕩)

𝜕𝑥2< 0.

Jei ∆2(𝕩) < 0, ekstremumo nėra

Jei ∆2(𝕩) = 0, neaišku.

10

4) Silvesterio kriterijus.

Apibrėžkime determinantą

∆𝑘(𝕩) =

|

|

|

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2⋯

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥𝑘𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥22 ⋯

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥𝑘⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥2⋯

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑘2

|

|

|

Sakykime, kad taškas 𝕩0yra funkcijos 𝑓 stacionarus taškas: 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝕩0) = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑘.

Pažymėkime pagrindinius minorus:

∆1(𝕩) = |𝜕2𝑓

𝜕𝑥12| , ∆2(𝕩) = |

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥22

| , … , ∆𝑘(𝕩) =

|

|

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2⋯

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥𝑘

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥22 ⋯

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥𝑘

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥2⋯

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑘2

|

|

Stacionarus taškas 𝕩0: ∆𝑖(𝕩0) > 0, ∀𝑖 = 1,… , 𝑘 yra minimumas.

Stacionarus taškas 𝕩0: ∆2𝑖(𝕩0) > 0, ∆2𝑖−1(𝕩0) < 0, ∀𝑖 = 1,… , 𝑘 yra maksimumas

Integravimas

1) Aibę 𝐼1 × 𝐼2 ⊂ ℝ2 vadinsime stačiakampiu erdvėje ℝ2.

Skaičių 𝑚(𝐼1 × 𝐼2) = |𝐼1| ∙ |𝐼2| vadinsime stačiakampio matu (plotu).

2) Laiptine funkcija 𝑓(𝕩), 𝕩 ∈ ℝ𝑘 vadinsime funkciją, kuriai egzistuoja toks aibės 𝐷

skaidinys 𝐷 = ∑ 𝐼𝑗𝑚𝑗=1 , kad kiekviename stačiakampyje 𝐼𝑗 funkcija yra pastovi:

𝑓(𝕩) = 𝑦𝑗 , 𝕩 ∈ 𝐼𝑗 , 𝑗 = 1, … ,𝑚

Laiptinės funkcijos integralu aibėje 𝐷 vadinsime skaičių

𝐼 =∑𝑦𝑗𝑚(𝐼𝑗)

𝑚

𝑗=1

= ∫…⏟𝐾𝐷

∫𝑓(𝕩)𝑑𝑥1𝑑𝑥2…𝑑𝑥𝑘

3) Laiptinės funkcijos integralo savybės:

Sakykime, kad 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑆(𝐼), 𝐼 ⊂ ℝ𝑘

a) ∫…∫ (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔)𝑑𝕩 = 𝛼 ∫…∫ 𝑓𝑑𝕩 + 𝛽 ∫…∫ 𝑔𝑑𝕩

b) Jei 𝐼 = 𝐼1 ∪ 𝐼2 ir 𝐼1 ∩ 𝐼2 = ∅, tai

∫…∫𝑓𝑑𝕩𝐼

= ∫ …∫𝑓𝑑𝕩𝐼1

+∫ …∫𝑓𝑑𝕩𝐼2

c) Jei 𝑓 ≤ 𝑔, tai

∫…∫𝑓𝑑𝕩 ≤ ∫…∫𝑔𝑑𝕩

d) |∫…∫𝑓 𝑑𝕩| ≤ ∫…∫|𝑓|𝑑𝕩

11

4) Fubinio teorema laiptinėms funkcijoms

Sakykime, kad 𝑓 ∈ 𝑆(𝐼1 × 𝐼2), 𝐼1 × 𝐼2 ⊂ ℝ2. Tada

∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼1×𝐼2

= ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐼2

)𝑑𝑥𝐼1

= ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝐼1

)𝑑𝑦𝐼2

5) Funkcijos 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼1 × 𝐼2), 𝐼1, 𝐼2 ∈ ℝ2, integralu stačiakampyje 𝐼1 × 𝐼2 yra vadinamas

skaičius


𝐼1×𝐼2

= ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐼1

)𝑑𝑥𝐼2

6) Kintamųjų keitimas dvilypiame integrale

Sakykime, kad funkcija 𝑓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷.

Pažymėjus 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)

Tada


𝐷

=∬𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) ∙ |𝐽(𝑢, 𝑣)| 𝑑𝑢𝑑𝑣

�̃�

|𝐽(𝑢, 𝑣)| – Jakobiano modulis:

𝐽(𝑢, 𝑣) = |

𝜕

𝜕𝑢𝑥(𝑢, 𝑣)

𝜕

𝜕𝑣𝑥(𝑢, 𝑣)

𝜕

𝜕𝑢𝑦(𝑢, 𝑣)

𝜕

𝜕𝑢𝑦(𝑢, 𝑣)

|

12

Įrodymai Eilutės

Koši kriterijus:

Eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja ∀휀 > 0, ∃𝑁: |𝑆𝑛 − 𝑆𝑚| = |∑ 𝑎𝑘

𝑛𝑘= 𝑚 + 1 | < 휀, jei 𝑚, 𝑛 > 𝑁, 𝑛 > 𝑚.

:

∎

Įrodome Koši kriterijui imdami seką 𝑆𝑛, 𝑛 ∈ ℕ:

Būtinumas: Jei 𝑆𝑛 konverguoja, ji tenkina Koši kriterijų

∃ lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = 𝑎 ⟹∀휀 > 0, ∃𝑁: |𝑆𝑛 − 𝑎| ≤ 2.

Tada |𝑆𝑛 − 𝑆𝑚| = |(𝑆𝑛 − 𝑎) + (𝑆𝑚 − 𝑎)| ≤ |𝑆𝑛 − 𝑎| + |𝑆𝑚 − 𝑎| ≤ 2+2= 휀, kai 𝑚, 𝑛 > 𝑁.

Pakankamumas: Jeigu tenkinamas Koši kriterijus, seka konverguoja

Imkime 휀 = 1. Tada ∃𝑁: |𝑆𝑛 − 𝑆𝑚| < 1, 𝑛,𝑚 > 𝑁

Fiksuokime |𝑆𝑛| = |𝑆𝑛 − 𝑆𝑚 + 𝑆𝑚| ≤ |𝑆𝑛 − 𝑆𝑚| + |𝑆𝑚| ≤ 1 + |𝑆𝑚|, 𝑛 > 𝑁

Paėmus 𝑐 = max {|𝑆1|, |𝑆2|, … , |𝑆𝑛|, 1 + |𝑆𝑚|}. Gauname |𝑆𝑛| ≤ 𝑐 ⟹ 𝑠𝑒𝑘𝑎 𝑎𝑝𝑟ėž𝑡𝑎.

Galime išrinkti konverguojantį posekį 𝑆𝑛𝑘 . lim𝑘→∞

𝑆𝑛𝑘 = 𝑐 ⟹ ∀휀 > 0 ∃𝑁: |𝑆𝑛𝑘 − 𝑐| < 2, 𝑛𝑘 < 𝑁

|𝑆𝑛 − 𝑐| = |𝑆𝑛 − 𝑆𝑛𝑘 + 𝑆𝑛𝑘 − 𝑐| ≤ |𝑆𝑛 − 𝑆𝑛𝑘| + |𝑆𝑛𝑘 − 𝑐| < |𝑆𝑛 − 𝑆𝑛𝑘| +휀

2

Pagal Koši kriterijų ∃𝑁1: |𝑆𝑛 − 𝑆𝑚| < 2, 𝑛, 𝑚 > 𝑁1

Paėmus 𝑁2 = max{𝑁1, 𝑁} |𝑆𝑛 − 𝑐| ≤ |𝑆𝑛𝑘 − 𝑆𝑛| + 2<

2+2= 휀

Išvada: seka yra Koši seka.

∎

Būtinoji eilutės konvergavimo sąlyga:

Jei eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja, tai lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 0.

∎

𝑎𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = (𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛) − (𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛−1)

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = lim𝑛→∞

(𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1) = lim𝑛→∞

𝑆𝑛 − lim𝑛→∞

𝑆𝑛−1 = 𝑆 − 𝑆 = 0

∎

13

Jei 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑛 ∈ ℕ, tai eilutė ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 konverguoja jos dalinių sumų seka aprėžta.

∎

Seka 𝑆𝑛 didėjanti: 𝑆𝑛+1 ≥ 𝑆𝑛, todėl Seka 𝑆𝑛 turės ribą tada ir tik tada, kai ji aprėžta:

Didėjanti seka turi ribą ⇔ ji aprėžta iš viršaus:

Būtinumas:

Jei seka turi ribą, tai ji yra aprėžta:

Sakykime, kad lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = 𝑎. Paimkime 휀 ≔ 1.

Tada remiantis sekos ribos apibrėžimu ∃𝑁: |𝑆𝑛 − 𝑎| < 1, 𝑘𝑎𝑖 𝑛 > 𝑁.

|𝑆𝑛| = |𝑆𝑛 − 𝑎 + 𝑎| ≤ |𝑆𝑛 − 𝑎| + |𝑎| < 1 + |𝑎|, 𝑘𝑎𝑖 𝑛 > 𝑁

Paimkime 𝑐 ≔ max {|𝑆1|, |𝑆2|, … , 𝑆𝑛, 1 + |𝑎|}

Tada |𝑆𝑛| ≤ 𝑐, ∀𝑛 ∈ ℕ.

Išvada: seka aprėžta.

Pakankamumas:

Jei seka aprėžta, ji turi ribą:

∃ sup{𝑆𝑛} = 𝑎 ⟹ ∃𝑁: 𝑆𝑁 > 𝑎 − 휀

𝑆𝑛 ≥ 𝑆𝑁 > 𝑎 − 휀, 𝑛 > 𝑁

Gavome, kad 𝑎 − 휀 < 𝑆𝑛 ≤ 𝑎 ⇒ 𝑎 − 휀 < 𝑆𝑛 < 𝑎 + 휀

Išvada: lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = 𝑎

∎

Išretintos eilutės konvergavimo požymis

Sakykime, kad 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 ≥ 0, 𝑛 ∈ ℕ. Tada eilutė ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 < ∞⟺ ∑ 2𝑛𝑎2𝑛

∞𝑛=0 .

∎

Apibrėžkime dalinių sumų sekas: 𝐴𝑛 = ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 , 𝐵𝑛 = ∑ 2𝑛∞

𝑛=0 𝑎2𝑛

Abi sekos didėjančios, todėl, jei jos ir apibrėžtos, konverguoja.

𝐴𝑛 = 𝑎1 +⋯+ 𝑎𝑛 ≥ 𝑎1 +⋯+ 𝑎2𝑚 = 𝑎1 + 𝑎2 + (𝑎3 + 𝑎4) + ⋯+ (𝑎2𝑚−1+1 +⋯+ 𝑎2𝑚)

≥ 𝑎1 + 𝑎2 + (𝑎4 + 𝑎4) +⋯+ (𝑎2𝑚 +⋯+ 𝑎2𝑚) = 𝑎1 + 𝑎2 + 2𝑎4 +⋯+ 2𝑚−1𝑎2𝑚

=1

2(2𝑎1 + 2𝑎2 + 4𝑎4 +⋯+ 2

𝑚𝑎2𝑚) ≥1

2(𝑎1 + 2𝑎2 +⋯+ 2𝑚𝑎2𝑚) =

1

2𝐵𝑚

Gavome, kad 𝐴𝑛 aprėžta, todėl ir 𝐵𝑛 aprėžta. Ir abi sekos turi ribas.

∎

14

Palyginimo požymis: Duota eilutė ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1

a) Jei |𝑎𝑛| ≤ 𝑐𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ ir eilutė ∑ 𝑐𝑘∞𝑘=1 konverguoja, tai ∑ 𝑎𝑘

𝑛𝑘=1 konverguoja.

b) Jei 𝑎𝑛 ≥ 𝑑𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ ℕ ir ∑ 𝑑𝑘∞𝑘=1 = ∞, tai ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 = ∞

c) Jei 𝑎𝑛 ≥ 0 ir ∃𝑏𝑛 > 0, kai 𝑛 ∈ ℕ: lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛= 𝜆, tai ∑ 𝑏𝑘

∞𝑘=1 < ∞ ⇒ ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 < ∞.

Atskiru atveju, jei 𝜆 > 0 , tai ∑ 𝑏𝑘∞𝑘=1 < ∞⟺ ∑ 𝑎𝑘

∞𝑘=1 < ∞.

∎

d) Taikykime Koši kriterijų:

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ: ∑ 𝑐𝑘

𝑛

𝑘=𝑚+1

< 휀, 𝑁 < 𝑚 < 𝑛

| ∑ 𝑎𝑘

𝑛

𝑘=𝑚+1

| ≤ ∑ |𝑎𝑘|

𝑛

𝑘=𝑚+1

≤ ∑ 𝑐𝑘

𝑛

𝑘=𝑚+1

< 휀, 𝑁 < 𝑚 < 𝑛

e) Sakykime, kad ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 konverguoja. Tada pagal a) dalį konverguoja ir ∑ 𝑑𝑘

∞𝑛=1 .

Gauname prieštarą.

f) Pažymėkime dalines sumas:

𝐴𝑛 =∑𝑎𝑘

𝑛

𝑘=1

, 𝐵𝑛 =∑𝑏𝑛

𝑛

𝑘=1

.

∃ lim𝑛→∞

𝐴𝑛 , 𝐴𝑛 ≥ 𝐴𝑛−1 ⟺ ∃𝑐1 > 0: |𝐴𝑛| < 𝑐1, ∀𝑛 ∈ ℕ

lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑏𝑛= 𝜆 ⟹ 0 <

𝑎𝑛𝑏𝑛< 𝜆 + 휀, ∀𝑛 ∈ ℕ

𝑎𝑛 < (𝜆 + 휀)𝑏𝑛

𝐴𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑁 +⋯+ 𝑎𝑛 ≤ 𝐴𝑁 + (𝜆 + 휀)𝑏𝑁+1 +⋯+ (𝜆 + 휀)𝑏𝑛= 𝐴𝑁 + (𝜆 + 휀)(𝑏𝑁+1 +⋯+ 𝑏𝑛) ≤ 𝐴𝑁 + (𝜆 + 휀)(𝐵𝑁 + 𝑏𝑁+1 +⋯+ 𝑏𝑛)

= 𝐴𝑁 + (𝜆 + 휀)𝐵𝑛

∃ lim𝑛→∞

𝐵𝑛 ⟹ ∃𝑐2: 𝐵𝑛 < 𝑐2, ∀𝑛 ∈ ℕ ⟹ ∃𝑐1 ⟹ ∃ lim𝑛→∞

𝐴𝑛 = 𝐴 < ∞

Sakykime 𝜆 > 0. Imkime ribą

lim𝑛→∞

𝑏𝑛𝑎𝑛=

1

lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑏𝑛

=1

𝜆

Todėl galime taikyti teiginį, sukeisdami eilutes vietomis.

∎

15

Eilutės ∑1

𝑛𝑝∞𝑛=1 konvergavimas

∎

Remsimės išretintos eilutės konvergavimo požymiu. Tiriame eilutę

∑2𝑛𝑎2𝑛

∞

𝑛=0

=∑2𝑛

(2𝑛)𝑝

∞

𝑛=0

=∑(1

2𝑝−1)𝑛∞

𝑛=0

Ši eilutė yra geometrinė progresija, todėl konverguos, kai 1 − 𝑝 < 0 ⟹ 𝑝 > 1, ir diverguos,

kai 1 − 𝑝 ≥ 0 ⟹ 𝑝 ≤ 1.

Išvada:

∑1

𝑛𝑝

∞

𝑛=1

< ∞, 𝑘𝑎𝑖 𝑝 > 1, ∑1

𝑛𝑝

∞

𝑛=1

= ∞, 𝑘𝑎𝑖 𝑝 ≤ 1

∎

Koši požymis:


𝑛→∞√|𝑎𝑛|𝑛 = 𝛼. Tada




∎

Imkime 𝛼 = lim𝑛→∞

√|𝑎𝑛|𝑛 < 1.

Remiantis sekos ribos apibrėžimu ∃𝑁: 0 ≤ √|𝑎𝑛|𝑛

< 𝑞 < 1 ⟹ |𝑎𝑛| < 𝑞𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ

∑𝑎𝑛

∞

𝑛=1

=∑𝑎𝑛

𝑁

𝑛=1

+ ∑ 𝑎𝑛

∞

𝑛=𝑁+1

Eilutė ∑ 𝑞𝑛∞𝑛=1 yra geometrinė progresija su 𝑞 < 1, todėl eilutė konverguoja. Remiantis 3

palyginimo požymiu konverguos eilutė ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 .


√|𝑎𝑛|𝑛 > 1.

Remiantis sekos ribos apibrėžimu ∃𝑁: √|𝑎𝑛|𝑛

≥ 𝑞 > 1 ⟹ |𝑎𝑛| ≥ 𝑞𝑛 > 1, 𝑛 > 𝑁

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ≠ 0 ⟹∑𝑎𝑛

∞

𝑛=1

= ∞


√|𝑎𝑛|𝑛 = 1.

Pavyzdžiai: ∑1

𝑛∞𝑛=1 , ∑

1

𝑛2∞𝑛=1 .

∎

16

Dalambero požymis:


𝑛→∞|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| = 𝛼. Tada




∎


|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| < 1.

Remiantis sekos ribos apibrėžimu, ∃𝑁: |𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| < 𝑞 < 1, 𝑘𝑎𝑖 𝑛 > 𝑁.

|𝑎𝑛| = |𝑎1| ∙ |𝑎2𝑎1| ∙ … ∙ |

𝑎𝑛−1𝑎𝑛

| ≤ |𝑎1|𝑞𝑛−1

Eilutė konverguoja pagal palyginimo požymio 1 dalį.


|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| > 1.

Remiantis sekos ribos apibrėžimu,

∃𝑛0: |𝑎𝑛+1𝑎𝑛

| ≥ 1, ∀𝑛 > 𝑛0 ⟹ |𝑎𝑛+1| ≥ |𝑎𝑛| ≥ |𝑎𝑛0| > 0, ∀𝑛 > 𝑛0

Jei ∃ lim𝑛→∞

𝑎𝑛, tai lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛0 > 0 ⟹ ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 = ∞

∎

17

Leibnico kintamo ženklo eilutės konvergavimo požymis Kintamo ženklo eilutė ∑ (−1)𝑛+1𝑐𝑛

∞𝑛=1 konverguoja, jei yra patenkintos sąlygos:

a) Seka 𝑐𝑛 mažėjanti: 𝑐𝑛+1 ≤ 𝑐𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ

b) lim𝑛→∞

𝑐𝑛 = 0

∎

Eilutė konverguoja, jei jos dalinių sumų seka turi ribą

Nagrinėkime dalinių sumų seką:

𝑆2𝑛 = 𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐4 +⋯+ 𝑐2𝑛−1 − 𝑐2𝑛 = (𝑐1 − 𝑐2) + (𝑐3 − 𝑐4) + ⋯+ (𝑐2𝑛−1 − 𝑐2𝑛)

= 𝑐1 − (𝑐2 − 𝑐3) − ⋯− (𝑐2𝑛−2 − 𝑐2𝑛−2) − 𝑐2𝑛 ⟹ 𝑆2𝑛 ≤ 𝑐1, ∀𝑛 ∈ ℕ

Didėjanti seka aprėžta iš viršaus, todėl turi ribą: ∃ lim𝑛→∞

𝑆2𝑛 = 𝑆(2).

𝑆2𝑛−1 = 𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐4 +⋯+ 𝑐2𝑛−1 = (𝑐1 − 𝑐2) + (𝑐3 − 𝑐4) + ⋯+ 𝑐2𝑛−1 ⟹ 𝑆2𝑛−1 ≥ 𝑐2𝑛−1,

∀𝑛 ∈ ℕ

Mažėjanti seka aprėžta iš apačios, todėl turi ribą: ∃ lim𝑛→∞

𝑆2𝑛−1 = 𝑆(1).

Įsitikinsime, kad 𝑆(1) = 𝑆(2)

𝑆(2) = lim𝑛→∞

𝑆2𝑛 = lim𝑛→∞

(𝑆2𝑛 − 𝑆2𝑛−1 + 𝑆2𝑛−1) = lim𝑛→∞

(𝑐2𝑛 + 𝑆2𝑛−1) = 0 + 𝑆(1) = 𝑆(1)

lim𝑛→∞

𝑆2𝑛 = 𝑆 ⟹ ∃𝑁1: |𝑆2𝑛 − 𝑆| < 휀, ∀𝑛 > 𝑁1

lim𝑛→∞

𝑆2𝑛−1 = 𝑆 ⟹ ∃𝑁2: |𝑆2𝑛−1 − 𝑆| < 휀, ∀𝑛 > 𝑁2

Paėmus 𝑁 = max{𝑁1, 𝑁2}

|𝑆𝑛 − 𝑆| < 휀, ∀𝑛 > 𝑁 ⟹ ∃ lim𝑛→∞

𝑆𝑛

∎

18

Apibrėžtinis integralas

Laiptinių funkcijų integralų savybės:

1) ∫ (𝛼𝜑(𝑥) + 𝛽𝜓(𝑥))𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝛼 ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎+ 𝛽 ∫ 𝜓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

2) Jei 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tai ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎+ ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐

3) Jei 𝜑(𝑥) ≤ 𝜓(𝑥) ∀𝑥, tai ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎≤ ∫ 𝜓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

4) |∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎| ≤ ∫ |𝜑(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏

𝑎

∎

1) Galime laikyti, kad 𝜑 ir 𝜓 yra apibrėžtos tame pačiame skaidinyje 𝐼1, … , 𝐼𝑚.

𝜑(𝑥) = 𝑦𝑘, 𝜓(𝑥) = 𝑧𝑘 , 𝑥 ∈ 𝐼𝑘, 𝑘 = 1,… ,𝑚

Tada

∫ (𝛼𝜑(𝑥) + 𝛽𝜓(𝑥))𝑑𝑥𝑏

𝑎

=∑(𝛼𝑦𝑘|𝐼𝑘| + 𝛽𝑧𝑘|𝐼𝑘|)

𝑚

𝑘=1

=∑𝛼𝑦𝑘|𝐼𝑘|

𝑚

𝑘=1

+∑𝛽𝑧𝑘|𝐼𝑘|

𝑚

𝑘=1

= 𝛼∑𝑦𝑘|𝐼𝑘|

𝑚

𝑘=1

+ 𝛽∑𝑧𝑘|𝐼𝑘|

𝑚

𝑘=1

= 𝛼∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

+ 𝛽∫ 𝜓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

2) Pažymėkime 𝐼𝑗′ = 𝐼𝑗 ∩ [𝑎, 𝑐), 𝐼𝑗

′′ = 𝐼𝑗 ∩ [𝑐, 𝑏], 𝜑(𝑥) = 𝑦𝑘, 𝑥 ∈ 𝐼𝑘, 𝑘 = 1,… ,𝑚

Sakykime, kad 𝑐 ∈ 𝐼𝑗 . Tada

∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

=∑𝑦𝑘|𝐼𝑘|

𝑚

𝑘=1


𝑗−1

𝑘=1

+ 𝑦𝑗|𝐼𝑗′| + 𝑦𝑗|𝐼𝑗

′′| + ∑ 𝑦𝑘|𝐼𝑘|

𝑚

𝑘=𝑗+1

= ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎

+∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑐

3) Sakykime, kad 𝜑,𝜓 apibrėžtos tame pačiame skaidinyje. Tada

Duota, kad 𝑦𝑘 ≤ 𝑧𝑘, ∀𝑘 = 1,… ,𝑚

∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎


𝑚

𝑘=1

≤∑𝑧𝑘|𝐼𝑘|

𝑚

𝑘=1

= ∫ 𝜓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

4) Pažymėkime 𝜑(𝑥) = 𝑦𝑘, 𝑥 ∈ 𝐼𝑘, 𝑘 = 1,… ,𝑚

|∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

| = |∑𝑦𝑘|𝐼𝑘|

𝑚

𝑘=1

| ≤ ∑|𝑦𝑘|𝐼𝑘||

𝑚

𝑘=1

= ∫ |𝜑(𝑥)|𝑑𝑥𝑏

𝑎

∎

19

Neapibrėžtinis integralas

Jei 𝐹1(𝑥) 𝑖𝑟 𝐹2(𝑥) yra dvi 𝑓(𝑥) pirmykštės funkcijos, tai 𝐹1(𝑥) − 𝐹2(𝑥) = 𝐶

∎

Imkime 𝐹(𝑥) = 𝐹1(𝑥) − 𝐹2(𝑥), (𝐹(𝑥))′= 𝐹1

′(𝑥) − 𝐹2′(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0.

𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑥0) = 𝐹′(𝑥)(𝑥 − 𝑥0) ⟹ 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥0), ∀𝑥, 𝑥0 ∈ 𝐼

𝐹(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Gauname 𝐹1(𝑥) − 𝐹2(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

∎

Jei 𝐹(𝑥) yra 𝑓(𝑥) pirmykštė funkcija, tai 𝐹(𝑥) + 𝐶 taip pat 𝑓(𝑥) pirmykštė funkcija

∎

(𝐹(𝑥) + 𝐶)′ = 𝐹′(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥)

∎

Kintamojo keitimo formulė.

Jei 𝜑(𝑡) yra tolydžiai diferencijuojama funkcija su reikšmėmis intervale 𝐼, tai

∫𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝜑(𝑡)) + 𝐶

∎

(𝐹(𝜑(𝑡)) + 𝐶)′= 𝐹′(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡) + 0 = 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)

∎

Integravimo dalimis formulė.

Jei 𝑓 𝑖𝑟 𝑔 tolydžiai diferencijuojamos intervale 𝐼, tada

∫𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

∎

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = ∫(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′𝑑𝑥 = ∫(𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥))𝑑𝑥

= ∫𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 +∫𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ ∫𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥

= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∎

20

Niutono ir Leibnico formulė: Jei 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], o 𝐹 yra jos pirmykštė, tai


𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑥)|𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

∎

Funkcija 𝐹1(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦𝑏

𝑎 yra funkcijos 𝑓 pirmykštė.

Imkime bet kurią kitą pirmykštę funkciją 𝐹(𝑥). Tada 𝐹1(𝑥) − 𝐹(𝑥) = 𝐶.

Imkime 𝑥 = 𝑎. Tada

𝐹1(𝑎) − 𝐹(𝑎) = 𝑐 ⟹ 0 − 𝐹(𝑎) = 𝑐 ⟹ 𝑐 = −𝐹(𝑎)

Imkime 𝑥 = 𝑏. Tada

𝐹1(𝑏) − 𝐹(𝑏) = 𝑐 ⟹ ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦𝑏

𝑎

− 𝐹(𝑏) = 𝑐 ⟹ ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑏) + 𝐶

Kadangi 𝑐 = −𝐹(𝑎), tai ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦𝑏

𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

∎

21

Netiesioginis integralas

Netiesioginių integralų palyginimas Sakykime, kad funkcijos 𝑓 𝑖𝑟 𝑔 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑏). Tada teisingi teiginiai:

a) Jei 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏), 𝑡𝑎𝑖


𝑏

𝑎

≤ ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

b) Jei 𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑔(𝑥) ≥ 0, ∃ lim𝑥↑𝑏

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝜇, tai

∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 < ∞ ⟹ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

< ∞

𝑏

𝑎

c) Jei be to 𝜇 > 0, tai integralai konverguoja vienu metu:

∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 < ∞ ⟺ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

< ∞

𝑏

𝑎

∎

i. Imkime 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]. Tada

∫ 𝑓(𝑥)𝑐

𝑎

𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎

Priėję prie ribos, gausime, kad pirmas dalis nelygybių (kai 𝑐 ↑ 𝑏).

ii. lim𝑥↑𝑏

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝜇 ⟺ ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∶ |

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)− 𝜇| < 휀, 𝑘𝑎𝑖 |𝑥 − 𝑏| < 𝛿.

Pažymėkime 휀 = 1. Tada

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)< 𝜇 + 1, 𝑥 > 𝑏 − 𝛿

𝑓(𝑥) < (𝜇 + 1)𝑔(𝑥), 𝑥 > 𝑏 − 𝛿

Imkime 𝑐 ∈ (𝑏 − 𝛿, 𝑏)

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏−𝛿

𝑎

+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑏−𝛿

≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏−𝛿

𝑎

+∫ (𝜇 + 1)𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑏−𝛿


𝑎

+ (𝜇 + 1) (∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏−𝛿

𝑎

+∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑏−𝛿

)


𝑎

+ (𝜇 + 1)∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎

iii. Jei lim𝑥↑𝑏

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝜇 > 0, kai lim

𝑥↑𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)=

1

𝜇> 0. (𝑓 ir 𝑔 sukeičiame vietomis)

∎

22

Kelių kintamųjų funkcijos

Fubinio teorema laiptinėms funkcijoms

Sakykime, kad 𝑓 ∈ 𝑆(𝐼1 × 𝐼2), 𝐼1 × 𝐼2 ⊂ ℝ2. Tada


𝐼1×𝐼2

= ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐼2

)𝑑𝑥𝐼1

= ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝐼1

)𝑑𝑦𝐼2

∎

Apibrėžkime aibės indikatorių funkciją

1𝐴(𝑥, 𝑦) = {1, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴

0, (𝑥, 𝑦) ∉ 𝐴⟹ 1𝐼1×𝐼2(𝑥, 𝑦) = {

1, 𝑥 ∈ 𝐼1, 𝑦 ∈ 𝐼20, 𝑘𝑖𝑡𝑢𝑟

Bet kokią laiptinę funkciją galime užrašyti kaip indikatorių funkcijų sumą

𝑓(𝑥, 𝑦) =∑𝑦𝑗1𝐼𝑗(𝑥, 𝑦)

𝑚

𝑗=1

∬1𝐼1×𝐼2(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 ∙ 𝑚(𝐼1 × 𝐼2) = |𝐼1| ∙ |𝐼2|

∫(∫1𝐼1×𝐼2(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝐼2

)𝑑𝑥

𝐼1

= ∫ (∫ 1𝐼1(𝑥) ∙ 1𝐼2(𝑦)𝐼2

𝑑𝑦)𝑑𝑥𝐼1

= ∫1𝐼1(𝑥)(∫1𝐼2(𝑦)𝑑𝑦

𝐼2

)𝑑𝑥

𝐼1

= ∫1𝐼1(𝑥)

𝐼1

|𝐼2|𝑑𝑥 = |𝐼2| ∫ 1𝐼1(𝑥)𝑑𝑥

𝐼1

= |𝐼1| ∙ |𝐼2|

∎

matematines analizes konspektai

Documents