1. 成比例的数（线段）：叫做四个数成比例。那么或若 ,:: cba ddcba

d

c

b

a , , ,

若 a、 b、 c、 d 为四条线段 ，如果

（或 a： b=c： d），那么这四条线段 a、 b 、 c 、

d

叫做成比例的线段，简称比例线段 .

a cb d

=

其中 ： a、 b、 c、 d 叫做组成比例的项，

a、 d 叫做比例外项，

b、 c 叫做比例内项，

比例的性质：

bcaddc

b

a ;

a b=c d∶ ∶

1.若 a, b, c, d 成比例 ,且 a=2, b=3, c=4, 那么d=

6

2 、下列各组线段的长度成比例的是（ ）

A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5

C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4

练习 :

D

mn

m=

n56

已知 , 求 的值 .

解 : 方法 (1) 由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn

65=

方法 (2) 因为 , 所以 5m=6n

m6

n5= 6m

n =所以5

3 、

4 、已知 (1) x： (x+2)=(2—x)： 3 ，求 x。

(2) 若 ， 求 。

(3) 若 ， 求 ，

2x 3y yx

1

2yx

a+b

b 6

5

a

ba-b

b

1或 -4

7/3

1/5,-4/5

.___________,32

,432

1

zyx

y

zyx

zyxzyx 则5

3

3

1

._______32

,3:4:222

22

yx

yxyxyyx 则已知， 5

11

5

6 已知 1, 2, 3 三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。

6或 2/3或 1.5

2. 比例中项：

.____

82.____82

比例中项是的与线段的比例中项是与数 cmcm4

cm4

当两个比例内项相等时，即 a bb c = ，( 或 a： b=b： c) ，

那么线段 b 叫做 a 和 c 的比例中项 .

2 acb 即：

3. 黄金分割：

线段黄金分割。把这条）的比例中项，就叫做）与较短线段（原线段（）是中较长线段（）分成两条线段，使其把一条线段（

BCAB

ACAB

ABABACBCABAC 618.02

15,2

即：

A C B

.____,2 ACABABC 则的黄金分割点，线段是线段 15

定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。

∽ ABC A’B’C’, 如果 BC=3,B’C’=1.5, 那么 A’B’C’ 与

ABC 的相似比为 _________.

2

1

三角形相似的判定方法有哪几种 ?

预备定理A

B C

D E

DE

A

B C

∵ DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC

相似三角形判定定理 1 ：三边对应成比例的两个三角形相似 .

AA

BB CC

DD

EE FF

ABDE=

ACDF=

BCEF

△ ABC DEF∽△

相似三角形判定定理 2 ：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 .

ABDE=

ACDF

A=D △ ABC DEF∽△

AA

BB CC

DD

EE FF

相似三角形判定定理 3 ：两个角对应相等的两个三角形相似

A=DB=E

△ ABC∽△ DEF

AA

BB CC

DD

EE FF

相似三角形的判定：

（ 1 ）平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或两边的延长线 ) 相交；（ 2 ）两角对应相等；（ 3 ）两边对应成比例且夹角相等；（ 4 ）三边对应成比例；

A

D E

B

A

CB

A

BC

D

△ ADE 绕点 A

旋转

D

CA

DE

B C

A

B C

DE

B C

ADE

点E

移到与C

点重合

∠ACB=Rt∠

CD AB⊥

相似三角形基本图形的回顾：

相似三角形的性质：

1 、相似三角形的对应角相等，对应边成比例

2 、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、对应角平分线，对应中线的比都等于相似比

3 、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形 .

相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等 .

相似多边形的周长之比等于相似比 ; 面积之比等于相似比的平方 .

相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等

1 、 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似 ,点O 叫做位似中心．

2 、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小

3. 如何作位似图形 ( 放大 ).

5. 体会位似图形何时为正像何时为倒像 .

4. 如何作位似图形 ( 缩小 ).

O P

AB GC

ED

F●P

B′

A′

C′

D′E′

F′G′

A′

B′C′

D′ E′

F′G′

AB GC

ED

F●P

1. 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点 , 那么这样的两个图形叫做位似图形 , 这个交点叫做位似中心 , 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比 .

2. 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上, 它们到位似中心的距离之比等于相似比 .

3. 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行 .

位似变换中对应点的坐标变化规律 :

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－ k.

1. 找一找 :

(1) 如图 1, 已知 :DE BC,EF AB,∥ ∥ 则图中共有 _____ 对三角形相似 .

(2) 如图 2, 已知 : ABC△ 中 , ACB=90∠ 0 ,CD AB⊥于 D,DE BC⊥ 于 E, 则图中共有 _____ 个三角形和△ ABC 相似 .

A

B C

D E

F如图 (1)

3

E

A

BC

D

如图 (2)

4

.____

3213

相似三角形的组数为，则图中、如图，

A

D

B

E

C

1

32

4

4.若如图所示，△ ABC∽△ADB，那么下列关系成立的是 ( )

A.∠ADB=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.∠CDB=∠CABD.∠ABD=∠BDC

5.△ABC中， AC=6， BC=4， CA=9，△ ABC∽△A′B′C′ ，△ A′B′C′最短为 12，则它的最长边的长度为 ( ) A.16 B.18 C.27 D.24

B

C

6. 将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子 , 假设图形中的所有点 ,线都在同一平面内 , 试写出一对相似三角形 ( 不全等 ) .

G

A

B CD

E

F

1

△ ADE 、△ BAE 、△ CDA 都相似

7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 8， E是 AB 的中点，点 M， N 分别在BC， CD 上，且 CM=2 ，则当CN=_________ 时，△ CMN 与△ ADE相似。

E

A

B C

D

MN

1或 4

8. 在平面直角坐标系， B（ 1， 0） , A（ 3 ，－ 3） , C（ 3， 0） ,点 P在 y 轴的正半轴上运动，若以 O， B， P 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则点 P 的坐标是__________________.

y

·A

BC

x··O

·P

（ 0， 1.5 ）或（ 0， 2/3）

E

A

B C

.

9 、如图 , 在△ ABC中 ,AB=5,AC=4,E是 AB 上一点 ,AE=2,

在 AC 上取一点 F, 使以 A 、 E 、 F 为顶点的三角形与

△ABC 相似 , 那么 AF=________

F2

F1

2

5

5

8或

10 、 如图 , 在直角梯形中 , ∠BAD=∠D=∠ACB=90 。，

CD= 4, AB= 9, 则 AC=______

D

A B

C

6

11 、如图 , 已知点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD

内的一点，且 PB=3， BF⊥BP. 试问在射线 BF

上是否存在一点 E ，使以点 B 、 E 、 C 为顶点的三角形与△ ABP 相似 ? 若存在 , 请求出 BE 的长 ; 若不存在 , 请说明理由 .

F

C

A

B

D

P

ＥＥ

B

CA

QP8

16

2cm/ 秒

4cm/ 秒

12 、在∆ ABC 中， AB=8cm,BC=16cm,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 2cm/ 秒的速度移动，点Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4cm/ 秒的速度移动，如果 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时出发，经几秒钟∆ BPQ 与∆ BAC 相似？

11

∠ACP=∠B

AA

CCBB

PP22

或∠ APC=∠ACB

或 AP:AC=AC:AB

13 、如图点 P 是△ ABC的 AB 边上的一点 , 要使△ APC∽△ACB, 则需补上哪一个条件 ?

14 、如图 ,点 C,D 在线段 AB上 , △PCD 是等边三角形 .

(1)当 AC,CD,DB 满足怎样关系时 , △PCA∽△BDP.

(2)当△ PCA∽ △BDP时 , 求∠ APB 的度数 .P

BC DA

15 、 如图 D,E 分别 AB,AC 是上的点 ,

∠AED=72o ，∠A=58o ，∠ B=50o, 那么△△ ADEADE 和和△△ ABCABC

相似吗？相似吗？ A

E

B

D

C

若 AE=2,AC=4,则 BC是DE 的 倍 .

A

P

B C

16 、若△ ACP∽△ABC， AP=4， BP=5 ，则

AC=_______ ，△ ACP 与△ ABC 的相似比是

_______ ，周长之比是 _______ ，面积之比是 _______ 。

6

2 : 32 : 3 4 : 9

11 、如图：已知∠ ABC ＝∠ CDB＝ 90°， AC

＝ 5cm， BC=3cm ，当 BD 取多少 cm 时 △ ABC 和△ BDC 相似？

4 D

A

B

C5

3

1 117 , .

3 41 : : ; 2 : .

AF CGABCD

AB CBEF FG GH AE CH

、如图，在正方形 中，

求： 　 　 　

D CH

G

A

E

FB

2:6:3:: GHFGEF

16

27: CHAE

(2) 以正方形的边长等量过渡 .

（ 3 ）请找出图中的相似三角形

18 、在平行四边形 ABCD中 ,AE:BE=1:2.

A B

CD

E

F

若 S△AEF=6cm2,则 S△CDF = cm2

54

S △ADF=____cm218

练一练

19 、如图（６）， △ＡＢＣ中，ＤＥ ＦＧ ＢＣ，⁄⁄ ⁄⁄

ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ : Ｓ四边形ＤＦＧＥ : Ｓ四边形

ＦＢＣＧ =_________

答案：１：３：５

20 、已知梯形 ABCD 中， AD∥BC ，对角线AC、 BD 交于点 O ，若△ AOD 的面积为4cm2, △BOC 的面积为 9cm2, 则梯形ABCD 的面积为 _________cm2

A

B C

D

O

解 :∴△AOD∽△COB S△AOD :S△COB =4:9

∴ OD:OB=2:3

∴ S△AOD : S△AOB =2:3

∴ S△AOB =6cm2

∴ 梯形ＡＢＣＤ的面积为 25cm2

∵ AD∥BC

25

AA

BB CC

画一画1 、 在方格纸中 , 每个小格的顶点叫做格点 , 以格点为顶点的三角形叫做格点三角形 . 在如图 4×4的格纸中 , △ABC是一个格点三角形

(1) 在右图中 , 请你画一个格点三角形 , 使它与△ ABC 相似 ( 相似比不为 1)(2) 在右图中 , 请你再画一个格点三角形 , 使它与△ ABC 相似 ( 相似比不为 1),但与图 1中所画的三角形大小不一样 .

A

B CA

B C

A

B C

2,2 2,2 5 2,2, 10

5, 10,5

25

12

5

11

25

11

例 1 、如图 , 正方形 ABCD中 ,E是DC 中点 ,FC= BC.

求证 : AE⊥EF

1

4

证明 :∵ 四边形 ABCD 是正方形

∴ BC=CD=AD ，∠ D=∠C=90°

∵ E 是 BC 中点， FC= BC1

4

∴ 1

2

DE

AD 1

2

CF

CE

DE CF

AD CE∴

∴△ADE∽△ECF

A

B C

D

E

F

1

2

3

∴∠1=∠2

∵∠D=90°∴∠1+ ∠3=90 °∴∠2+ ∠3=90°∴ AE⊥EF

例 2 、如图 ,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.

求△ ABC 的面积 .A

B C

D E

F

25

36

解：∵DE∥BC， EF∥AB

∴∠A=∠CEF ，∠ AED=∠C∴△ADE∽△EFC

∴5

6

AE

CE

∵ DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∵ S△ADE=25

∴ S △ABC=121

∴S ADE

S EFC

=AE2

AC2=

25

121

∴S ADE

S EFC

=25

36=

AE2

EC2

∴11

5

AC

AE

1 、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 5 米的位置上，求球拍击球的高度 h.

2 、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻 , 有人测得一高为 1.8米的竹竿的影长为 3米 ,某一高楼的影长为 60米 , 那么高楼的高度是多少米 ?

解 : 设高楼的高度为 X 米，则1.8

3 6060 1.8

336

x

x

x

答 : 楼高 36米 .

3 、皮皮欲测楼房高度，他借助一长 5m 的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测出 AB=4cm,AC=12m 。已知皮皮眼睛离地面 1.6m. 请你帮他算出楼房的高度。

A B C

D

E

F

4 、已知左、右两棵并排的大树的高分别是 AB=8m 和 CD=12m,两树的根部的距离 BD=5,一个身高 1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进 ,当他与走边较低的树的距离小于多少时 ,就不能看到右边较高的树的顶端 C?

A

B

C

D

E

F

G H

FG=8米

5 、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为 1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长 2.7米，落在墙壁上的影长1.2米 , 求树的高度 .

1.2m

2.7m

D

Q

A

B CP

1. 如图 , 边长为 4 的正方形 ABCD中 , P 是边 BC 上的一点 , QP AP⊥

交 DC于 Q, 设

BP= x, △ADQ 的面积为 y.

(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式 ,并求自变量 x 的取值范围 ;

(2) 问 P 点在何位置时 ,△ADQ 的面积最小 ? 最小面积是多少 ?

H

P

D

E F

G

A

B C

2. 如图 , AD⊥BC, D 为垂足 , AD=8, BC=10,

EFGH 是△ ABC 内接矩形 ,(H、 G 是 BC 上的两个动点 ,但 H 不到达点 B, G 不到达点 C) 设 EH=x,EF=y

(1)求 y 与 x 之间的函数关系式 ,并求自变量 x 的取值范围 ;

(2)当 EF+EH=9时 , 求矩形 EFGH 的周长和面积 .

相似三角形性质应用

A

P

B CM D

N

相似三角形性质应用,

的面积最大。何处时，

在的函数解析式，且点与，求面积为

高中，如图，

PMN

MxyyPMNxBC

BM

ACPMABMNADBCABC

,

//,//,10,123、

4 、如图 , 在等腰△ ABC中 , ∠BAC=90°,AB=AC=1,点 D 是 BC 边上的一个动点 ( 不与 B 、 C 重合），在 AC 上取一点 E ，使∠ ADE=45°

A

B CD

E

（ 1 ）求证：△ ABD∽△DCE（ 2 ）设 BD=x， AE=y ，求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围，并求出当 BD 为何值时 AE 取得最小值（ 3 ）当△ ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长

拓展提高

1

x

y

如图 , 在等腰△ ABC中 , ∠BAC=90°,AB=AC=1,点 D 是 BC

边上的一个动点 ( 不与 B 、 C 重合），在 AC上取一点 E ，使∠ ADE=45°（ 1 ）求证：△ ABD∽△DCE

∵∠ADC 是△ ABD 的外角∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1

） 2

1

证明：∵ AB=AC ，∠ BAC=90°∴∠B=∠C=45°

又∵∠ ADE=45°∴∠ADE=∠B

∴∠1=∠2∴ △ABD∽△DCE

A

B CD

E

（ 2 ）设 BD=x， AE=y ，求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围，并求出当 BD 为何值时 AE

取得最小值解：∵△ ABD∽△DCE1

x

y

1 y

2 x

∴AB BD

CD CE

1

12

x

yx

即

∴ 1 2y x x

∴ 2 2 1y x x

2

2 1

2 2

0 2

y x

x

当 2

2x 时

1

2y 最小值

如图 , 在等腰△ ABC中 , ∠BAC=90°,AB=AC=1,点 D 是 BC

边上的一个动点 ( 不与 B 、 C 重合），在 AC上取一点 E ，使∠ ADE=45°

A

B CD

E

（ 3 ）当△ ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长

AD=AE

AE=DE

DE=AD

如图 , 在等腰△ ABC中 , ∠BAC=90°,AB=AC=1,点 D 是 BC

边上的一个动点 ( 不与 B 、 C 重合），在 AC上取一点 E ，使∠ ADE=45°

1

x

y

1 y

2 x

A

B CD

E

分类讨论

5 、如图 , 在直角梯形 ABCD中 ,AB∥CD,　

∠A=900,AB=2, AD=5,P是 AD 上一动点 ( 不与 A 、D 重合 ),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ．

（１）△ ABP与△ DPE是否相似？请说明理由；

（２）设ＡＰ＝ x 　ＤＥ =y ，求 y 与 x 之间的函数关系式 ,并指出自变量 x 的取值范围；（ 3 ）请你探索在点 P 运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出 AP的长；如果不能，请说明理由；

（ 4 ）请你探索在点 P 运动的过程中，△ BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出 AP的长，如果不能，请说明理由。

C

A

B

DP

E2

5xy

5-x

拓展提高

6. 如图，梯形 ABCD 中 AD∥BC ，∠ ABC=90°， AD=9， BC=12 ， AB=10 ，在线段 BC 上任取一 P ，作射线 PE⊥PD ，与线段AB 交于点 E.（ 1 ）试确定 CP=5 时点 E 的位置；（ 2 ）若设 CP=x， BE=y ，试写出 y 关于自变量 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围 .

提示：体会这个图形的“模型”作用，将会助你快速解题！

B C

A D

E

P H

CE P

A D

拓展提高

7.如图，已知抛物线与 x 轴交于 A 、B两点，与 y 轴交于 C 点 .（ 1 ）求此抛物线的解析式；（ 2 ）抛物线上有一点 P ，满足∠PBC=90°，求点 P 的坐标；（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，问在 y 轴上是否存在点 E ，使得以 A 、 O 、 E为顶点的三角形与⊿ PBC相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 .

A B

P

C

O x

y

X=4

2

3

Q6

拓展提高

8 、某生活小区的居民筹集资金 1600元 ,计划在一块上、下底分别为10m， 20m 的梯形空地上种植花木（如下图） （ 1 ）他们在△ AMD 和△ BMC地带种植太阳花，单价为 8元 /m2 。当在△ AMD地带 （图中阴影部分）中种满花后，共用去了 160元。请计算种满△ BMC地带所需的费用 是多少元。 （ 2 ）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为 12元 /m2、 10元 /m2 ，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （ 3 ）若梯形 ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图 2 ），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点 P ，使得△ APB DPC≌ △ ，且△ APD 的面积与△ BPC 的面积相等，并说明你的理由。

拓展提高

1. 如图，在平面直角坐标系中， A（ 0， 1）、 B（ 3，0）、 C（ -1， 0） D（ -2， 0），连结 AB、 AC、AD.

(1) AD的长为 ___________；(2) 找出图中相似的一对三角形，并说明相似的理由；(3) ∠ABD+∠ADB=_________度 .

必做题：

选做题：2. 如图，平面直角坐标系中，直线 AB与 x轴 y 轴分别 A（ 3， 0） B（ 0 ， ）两点，点 C 为线段 AB 上的一动点，过点 C作 CD x⊥ 轴于点 D.

(1) 求直线 AB 的解析式；(2) 在第一象限内求作一点 P, 使得以 P， O，

B 为顶点的三角形与⊿ OBA 相似 ,并求出所有符合条件的点 P.

3

AO D

CB

y

x