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不熟的題數 / 總題數 課後回次秒殺 講例 演練 類題 精熟

1.直線方程式

一 直角坐標、距離公式與分點坐標 1 / / / 6 / 6 / 6 / 7

/ 13

1二 函數的基本概念及其圖形 7 / / / 4 / 5 / 5 / 8

三 直線的斜率與斜角 12 / / / 3 / 2 / 2 / 22

四 直線方程式 14 / / / 6 / 6 / 6 / 7

2.三角函數

一 有向角與標準位置角 24 / / / 2 / 1 / 1 / 2

/ 16

3二 銳角三角函數的定義 26 / / / 4 / 2 / 2 / 3

三 三角恆等式 29 / / / 2 / 4 / 4 / 4

四 任意角（廣義角）的三角函數 32 / / / 2 / 3 / 3 / 3

4五 化任意角為銳角三角函數 35 / / / 2 / 3 / 3 / 4

六 三角函數的圖形及週期 38 / / / 5 / 3 / 3 / 3

3.三角函數的應用

一 和差角公式與二倍角公式 47 / / / 3 / 4 / 4 / 9

/ 15

5二 三角函數的極值 51 / / / 2 / 1 / 1 / 2

三 正弦與餘弦定理 53 / / / 5 / 6 / 6 / 9

6四 三角形面積公式 58 / / / 2 / 1 / 1 / 4

五 三角測量 60 / / / 2 / 2 / 2 / 2

4.平面向量

一 向量的概念與基本性質 68 / / / 4 / 3 / 3 / 6

/ 6 7二 兩向量的內積與基本運算 72 / / / 5 / 6 / 6 / 13

三 點到直線的距離 78 / / / 3 / 4 / 4 / 5

5.式的運算

一 多項式 85 / / / 2 / 1 / 1 / 3

/ 10

8二 多項式的四則運算 87 / / / 2 / 4 / 4 / 7

三 餘式定理與因式定理 90 / / / 5 / 7 / 7 / 7

四 分式與根式的運算 95 / / / 3 / 2 / 2 / 39

五 多項方程式的解法 98 / / / 5 / 5 / 5 / 7

6.聯立方程式與行列式

一 行列式的運算及性質 106 / / / 2 / 5 / 5 / 4/ 7 10

二 方程組與克拉瑪公式 111 / / / 1 / 4 / 4 / 4

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7.複 數一 複數的概念及其運算 117 / / / 4 / 5 / 5 / 5

/ 7

11

二 複數極式 122 / / / 3 / 2 / 2 / 212

三 棣美弗定理 125 / / / 2 / 4 / 4 / 4

8.不等式及其應用

一 條件不等式 131 / / / 3 / 7 / 7 / 7

/ 813

二 絕對不等式 137 / / / 2 / 2 / 2 / 2

三 二元一次不等式的圖形與線性規劃 139 / / / 2 / 6 / 6 / 6 14

9.數列與級數

一 數列與級數、Σ的運算 149 / / / 2 / 2 / 2 / 3

/ 7 15二 等差數列與等差級數 151 / / / 5 / 5 / 5 / 6

三 等比數列與等比級數 155 / / / 4 / 3 / 3 / 7

10.指數與對數

一 指數的定義與運算 161 / / / 6 / 4 / 4 / 8

/ 8

16二 指數函數的圖形及其應用 165 / / / 3 / 6 / 6 / 13

三 對數的定義與運算 170 / / / 4 / 5 / 5 / 14

17四 對數函數的圖形及其應用 174 / / / 2 / 4 / 4 / 9

五 常用對數與應用 178 / / / 4 / 2 / 2 / 6

11.排列組合

一 樹狀圖、加法與乘法原理、排列 183 / / / 3 / 10 / 10 / 13

/ 12

18二 重複排列與環狀排列 190 / / / 3 / 2 / 2 / 2

三 組 合 191 / / / 5 / 4 / 4 / 819

四 二項式定理 196 / / / 2 / 2 / 2 / 6

12.機率與統計

一 集 合 202 / / / 1 / 1 / 1 / 0

/ 9

20

二 集合的運算 203 / / / 2 / 2 / 2 / 0

三 古典機率 205 / / / 4 / 4 / 4 / 11

四 條件機率 210 / / / 2 / 2 / 2 / 2

五 獨立事件 212 / / / 3 / 2 / 2 / 4

六 數學期望值 214 / / / 3 / 1 / 1 / 3

七 統計抽樣、資料整理與圖表編製 216 / / / 1 / 4 / 4 / 3

21八

算術平均數、中位數、眾數、加權平

均數與百分等級220 / / / 2 / 3 / 3 / 5

九 差量：全距、四分位距與標準差 223 / / / 1 / 3 / 3 / 6

十 信賴區間與信心水準的解讀 226 / / / 1 / 1 / 1 / 2

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13.二次曲線

一 圓的方程式 231 / / / 4 / 3 / 3 / 3

/ 5

22二 點、直線與圓的關係 234 / / / 4 / 4 / 4 / 6

三 圓的切線方程式與切線段長 238 / / / 1 / 4 / 4 / 5

四 拋物線 242 / / / 3 / 3 / 3 / 3 23

五 橢圓與雙曲線 245 / / / 4 / 6 / 6 / 7 24、25

14.微分及其應用

一 函數的極限 254 / / / 2 / 6 / 6 / 6

/ 11

26二 函數的連續 259 / / / 1 / 1 / 1 / 2

三 導函數的定義 260 / / / 1 / 3 / 3 / 4 27

四 微分公式與高階導函數 264 / / / 1 / 8 / 8 / 8 27、28

五 微分的應用 269 / / / 1 / 2 / 2 / 2 28

15.積分及其應用

一 數列的極限與無窮等比級數 276 / / / 3 / 6 / 6 / 6

/ 9

29

二 不定積分 281 / / / 1 / 2 / 2 / 3

30三 定積分 283 / / / 3 / 7 / 7 / 9

四 兩曲線間的面積 288 / / / 1 / 2 / 2 / 3

近 8 年統測數學 C 出題數

年　度

單　元98 99 100 101 102 103 104 105

1.直線方程式 2 2 3 2 1 1 2 1

2.三角函數 1 1 1 2 2 0 1 2

3.三角函數的應用 2 3 2 2 1 2 3 2

4.平面向量 1 2 2 3 2 2 1 1

5.式的運算 3 1 2 2 2 2 2 2

6.聯立方程式與行列式 0 0 0 0 2 2 2 2

7.複 數 2 2 1 1 1 2 1 1

8.不等式及其應用 1 1 2 2 1 2 2 1

9.數列與級數 2 0 0 1 1 2 1 1

10.指數與對數 2 2 2 1 2 2 2 2

11.排列組合 1 1 2 2 1 2 1 1

12.機率與統計 2 2 1 1 3 2 2 3

13.二次曲線 2 3 3 3 2 1 1 2

14.微分及其應用 2 2 1 2 2 2 2 1

15.積分及其應用 2 3 3 1 2 1 2 3

直線方程式

1

1

直角坐標、距離公式與分點坐標學習透視一

主題 直線坐標系（數線） 直角坐標系（坐標平面）

圖　示

A

20− 1− 2 1 axO

y

(+ ,+ )(− ,+ )

(− ,− ) (+ ,− )

A 點所對應的數為 a，稱為 A 點的坐標，

以 A ( a ) 表示。

將兩條數線互相垂直交於原點 O，形成

直角坐標系，其坐標符號規則如圖示。

距離公式

P Q

a

|b− a |

b

B ( x2 , y2 )

A ( x1 , y1 ) | y2− y1 |

| x2− x1 |

PQ a b b a= − = − 。

小叮嚀嫎： 絕對值 | x | 的幾何意義。

若 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 為平面上相異兩

點，則 ( ) ( )AB x x y y2 12

2 12= − + − 。

內分點坐標公式

BPm nA

a ( x− a ) (b− x ) bx

x

y

B ( x2 , y2 )

P ( x , y )

A ( x1 , y1 )

m

m

x1y1

y2

x2n

n

m

n

設 A ( a )、B ( b ) 為數線上相異兩點，若點

P ( x ) 在 AB 上，且 : :PA PB m n= ，

則 : : :( ) ( )PA PB x a b x m n= − − =

⇒　 ( ) ( )n x a m b x− = −

整理得 x m nna mb=

++ ，即 ( )P m n

na mb++ 。

已知 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 為平面上相異兩

點，若點 P ( x , y ) 在 AB 上（即 A - P - B共線）且 : :AP PB m n= ，

則 ( , ) ( , )x y m nnx mx

m nny my1 2 1 2=

++

++

。 秒殺4

小叮嚀娋：用「交叉分配」來記誦此公式。

中點公式

當 m = n 時，則 P 點為 AB 之中點，即

( )P a b2+

。

當 m = n 時，則 P 點為 AB 之中點，即

( , )Px x y y2 2

1 2 1 2+ +。

CHAPTERCHAPTER 直線方程式

1 命題主軸

直線方程式的斜率與截距

兩直線的平行、垂直性質

分點坐標

二次函數圖形

平均出題：約 1 ～ 2 題

關鍵策略：熟悉直線方程式

與二次函數的圖形與定義，

解題事半功倍。

直線方程式

2

重要應用

鋫平行四邊形的頂點問題（中點公式的應用）

已知一平行四邊形 ABCD 的兩對角線 AC、

BD 相交於 O 點，如右圖所示。

禑可運用 O 點同時為 AC、BD 之中點特性，

　即 ( , ) ( , )Ox x y y

Ox x y y

2 2 2 21 3 1 3 2 4 2 4+ +

=+ +

　⇒　x x x xy y y y1 3 2 4

1 3 2 4

+ = ++ = +

' ，亦即 A + C = B + D

　 （對角頂點坐標和相等）。

禙 D = A + C - B（點坐標），即 ( , ) ( , )x y x x x y y y4 4 1 3 2 1 3 2= + − + − 。 秒殺5

鋳重心坐標公式（分點公式的應用）

TABC 之三中線的交點為重心 G，如右圖所示。

禑性質：嫎 : : : :2 1AG GE BG GF CG GD= = =

　　　 娋等面積：TAGC = TBGC = TAGB

　　　　　　　　　　　　 =31 TABC

禙重心坐標公式：G A B C3= + + ，即 ( , )G x x x y y y

3 31 2 3 1 2 3+ + + +

。 秒殺6

小叮嚀嫎：絕對值 | x | 的幾何意義為「數線上 x 與原點的距離」。基本性質如下：

禑 | x | =x，當 x $ 0- x，當 x < 0

) 。

禙 | x - a | =x - a，當 x - a $ 0- ( x - a )，當 x - a < 0

) 。

小叮嚀娋：可用「交叉分配：P = n mnA mB=

++交叉相乘之和

比例和」來記誦此公式。

Learning Corner

A ( x1 , y1 )

D ( x4 , y4 )

O

C ( x3 , y3 )

B ( x2 , y2 )

A ( x1 , y1 )

EF

GD B ( x2 , y2 )

C ( x3 , y3 )

( , )x x y y2 2

1 2 1 2+ +

直線方程式

1

3

詳答參見詳解本 P1

　　　鋫 在坐標平面上，若 a > 0 且 b < 0，則點 ( ab , b - a ) 在第幾象限內？

一 二 三 四 【96 工】

a > 0　⇒　取 a = 1；而 b < 0　⇒　取 b = - 2，直接代入

　　　鋳 坐標平面上兩點 P ( 1 , 3 ) 和 Q ( 2 , 5 ) 的直線距離為何？

3 5 3 5 【91 工】

距離公式 ( ) ( )PQ x x y y2 12

2 12= − + −

　　　鋴 設 A ( a , 1 ) 與 B ( 0, - 2 ) 為坐標平面上的兩點，若 5AB = 且 a > 0，則 a 之值為何？

1 2 3 4 【105 護】

距離公式 ( ) ( )AB x x y y2 12

2 12= − + −

　　　鋽 設 A ( 0 , 0 )、B ( 2 , 2 ) 為平面上兩點，若點 P ( x , y ) 在線段 AB 上，且 :AP PB

= 3：1，則 x + y 之值為何？

2 2.5 3 3.5 【103 工】

內分點坐標公式 P m nnA mB=

++

　　　鍃 若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，點 A、B、C 的坐標分別為 ( 5 , 2 )、( 1 , 3 )、( - 4 , 3 )，則 D 點之坐標為何？

( 1 , 8 ) ( 0 , 2 ) ( 2 , 7 ) ( 3 , 9 ) 【96 工】

因題目已指定四邊形的四頂點次序，得 D = A + C - B（點坐標）

　　　鎄 設 A ( 0 , 6 )、B ( - 12 , - 24 )、C ( 24 , 12 ) 為坐標平面上之三點，試問 TABC 之重心

坐標為何？

( 2 , 2 ) ( 4 , - 2 ) (9 , )23− ( 18 , - 6 ) 【95 工】

重心坐標公式 G A B C3

= + +

鋫　鋳　鋴　鋽　鍃　鎄

Learning Corner

直線方程式

4

若 a > 0、b < 0，則下列敘述何者正確？

點 ( a , b ) 在第三象限

點 ( a , 0 ) 在 x 軸上

點 ( - a , - b ) 在第三象限

點 ( b - a , ab ) 在第四象限

確認 a、b 值正負情形，可取值代入檢驗

在坐標平面上，若點 P ( a , b ) 在第二象限

，則點 Q ( ab , b - a ) 在第幾象限？

一 二 三 四 【94 補考工】

Paradigm Practice1 1求點所在的象限

★

已知平面上兩定點 A ( 3 , - 1 )、B ( 0 , 3 )，試求：

禑 AB = 　　　　。

禙 若點 P 在 x 軸上，且 PA PB= ，則 P 點

坐標為　　　　。

因 P 點在 x 軸上，可令 P ( k , 0 ) 解題

平面上兩點 A ( 5 , - 1 )、B ( 3 , 4 )。若 C 點

在 y 軸上，且滿足 AC BC= ，則 C 點坐標

為何？

(0 , )101−

(0 , )151−

(0 , )151

(0 , )101 【98 工】

因 C 點在 y 軸上，可令 C ( 0 , k ) 解題

Paradigm Practice2 2距離公式

★★

1 若點 A ( a + b , a ) 在第二象限，則點 P ( ab , b ) 在第幾象限？

一 二 三 四 【93 商】

2 設點 P ( 4 , 2 )、Q ( 3 , k )、R ( k , - 1 ) 為坐標平面上三點，若 PQ PR= ，則 k = ？

1 3 5 7 【94 護】

直線方程式

1

5

已知平面上兩點 A ( 3 , 8 )、B ( - 11 , - 13 )。禑 若 P 點在 AB 上且 : :2 5AP PB = ，則

P 點坐標為　　　　。

禙 若 Q 點在 AB 的延長線上，且 :AQ QB

= 2：9，則 Q 點坐標為　　　　。

只要找到哪一點為內分點，就容易解題

設 A ( - 4 , 4 ) 與 B ( 1 , - 1 ) 為坐標平面上之

兩點，若點 C 在 AB 上且 2 3AC BC= ，則

點 C 的坐標為何？

( - 3 , 3 ) ( - 2 , 2 ) ( - 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) 【94 工】

2 3AC BC= 　⇒　 : :3 2AC BC =

Paradigm Practice3 3分點坐標公式

★★★

設 A ( 3 , - 4 ) 與 B ( - 1 , 0 ) 兩點的中點為 P，則： 【93 工】

禑點 P 坐標為　　　　。

禙 P 與原點 ( 0 , 0 ) 的距離為　　　　。

已知點 M 為 A、B 兩點的中點，若 M 及 B的坐標分別為 ( 2 , 1 ) 及 ( - 1 , 3 )，則點 A到點 ( 3 , 0 ) 的距離為何？

3 2 5 6 【96 商】

可令 A ( a , b ) 解題

Paradigm Practice4 4中點坐標公式與距離公式

★★

3 已知平面上三點 A ( 3 , 4 )、B ( 5 , - 2 )、C ( x , y ) 共線，且 B 在線段 AC 上，若

2AB BC= ，則 x + y = ？

- 5 - 1 1 3 【92 商】

直線方程式

6

4 已知 A ( - 5 , 3 ) 與 B ( 1 , 9 )，若點 P ( x , y ) 在線段 AB 之上，且 : :3 2AB PB = ，則點

P 與點 C ( - 2 , 4 ) 的距離為何？

5 3 2 1 【98 護】

5 已知平面上有三點 A ( 4 , 4 )、B ( 4 , - 1 )、C ( 2 , 3 )，則 BC 之中點與 A 點的距離為何？

10 15 2 5 5 【99 藝】

設 A ( - 1 , 1 )、B ( - 8 , 2 ) 和 C ( 0 , 2 ) 為坐標

平面上三點，且 ABCD 為一平行四邊形，

則：

禑兩對角線交點坐標為　　　　。

禙 D 點的坐標為　　　　。

在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，

若 A、B、C 三點的坐標分別為 ( - 5 , 4 )、( 0 , - 5 )、( 4 , - 8 )，則 D 點應落在下列哪

一個象限？

一 二 三 四 【97 工】

Paradigm Practice5 5平行四邊形的頂點問題

★

已知平面上三角形三頂點的直角坐標分別為

A ( 3 , - 5 )、B ( - 1 , 8 )、C ( 7 , 6 )，則此三角

形的重心坐標為何？

( 3 , 3 ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 3 , 2 ) 【97 護】

TABC 中，已知 A ( 2 , 1 ) 且 A 與 B 中點為

M ( 4 , - 6 )，又三角形重心為 G ( 5 , - 3 )，設 C 的坐標為 ( x , y )，則 x2 - y2 之值為何？

40 50 60 70

可令 B ( a , b ) 解題

Paradigm Practice6 6重心坐標公式

★

詳答參見詳解本 P2

直線方程式

1

7

6 已知平行四邊形 DEFG 的頂點分別為 D ( 3 , h )、E ( 3h , 2 )、F ( - 4 , k )、G ( - k , 7 )，求

2h + 3k = ？

25 23 21 19

7 已知 TABC 之三邊為 AB、BC、CA，若其中點之坐標分別是 ( , )D 25 4 、 (1, )E 2

9

、 ( , )F 211

27

，則 TABC 的重心坐標為何？

( 3 , 5 ) ( 2 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 2 , 4 )

鋫　鋳　鋴　鋽　鍃　鎄　鎭

函數的基本概念及其圖形學習透視二

函數概念

鋫函數的定義：若唯一變數 y 依照某種規則隨著變數 x 的不同而改變，則稱 y 是 x的函數，記為 y = f ( x )，其中 x 稱為自變數（存在於定義域），y 稱為應變數（存

在於值域）。

鋳函數值：在函數 y = f ( x ) 中：

禑若 x = a 時，得 y = f ( a )，則 f ( a ) 稱為函數 f ( x ) 在 x = a 的函數值。 講例7

禙 x 的變數範圍稱為函數的定義域，而函數值的範圍稱為值域。

　　 小叮嚀： 若無特別規定，則其定義域為「使函數值有意義之一切實數所成的集合」。

嫎分式函數 ( )( )g xf x 的條件為 g ( x ) ! 0。

娋根式函數 ( )f x 的條件為 f ( x ) $ 0。

鋴函數圖形的繪製：在函數 y = f ( x ) 中，對於每一個 x 值，恰有

唯一的 y 值與之對應。若將所有 ( x , f ( x ) ) 的點描繪在平面坐

標上，便可得到 y = f ( x ) 的圖形，如右圖示。

線型函數

鋫常數函數：y = f ( x ) = c 的圖形為通過

( 0 , c ) 之水平線。如：f ( x ) = 2。鋳一次函數：y = f ( x ) = ax + b（a ! 0）

的圖形為一斜直線。如：f ( x ) = 2x + 1。

x 0 2 4y 2 2 2

x

y

O

y= 2

( 0 , 2 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 2 ) x - 1 0 1y - 1 1 3

x

y

O

y= 2x+ 1

( 0 , 1 )

( 1 , 3 )

(−1 ,−1 )

y = f ( x ) 圖形

( , ( ))a f a

( , ( ))k f k

( , ( ))b f b

直線方程式

8

二次函數

鋫定義：可簡化成 y = f ( x ) = ax2 + bx + c（a ! 0）形式的函數，稱為二次函數。

鋳函數圖形：圖形為線對稱的拋物線，而 | a | 愈大，其拋物線的開口愈小。

　 小叮嚀：若求二次函數與 x 軸（y = 0）的交點，則解聯立方程式，即解 ax2 + bx + c = 0。

鋴圖形特性：頂點坐標為 ( , )ab

aac b

2 44 2− −

，而其對稱軸為 x ab

2= −，與 y 軸的交點為

( 0 , c )。 講例8

　使用「配方法」： ( ) ( )

( ) ( )

y f x ax bx c a x ab x c

a x ab

ab

aac a x a

ba

ac b2 4 4

42 4

4

2 2

22

22

= = + + = + +

= + + − + = + + −

　得頂點 ( , )ab

aac b

2 44 2− −

。故當 x ab

2= − 時，y = f ( x ) 有極值 ( )f ab

aac b

2 44 2− = −

。

　 小叮嚀：常考 y = ax2 + bx + c（一般式）配方成 y = a ( x - h )2 + k（頂點式）的解題。

( , )ab

aac b

2 44 2− −

x ab2

= −

禑 a > 0（開口向上，有最低點）

( , )ab

aac b

2 44 2− −

x ab2

= −

禙 a < 0（開口向下，有最高點）

　　　鎭 下列哪個函數的圖形為一直線？

f ( x ) = x2 + 1 g ( x ) = - x2 + 2 h ( x ) = - x + 1 k ( x ) = x3 - 1 【91 護】

一次函數 y = f ( x ) = ax + b（a ! 0）的圖形為一斜直線

　　　䥅 若 ,

,( )3 0

5 0f x

x xx <

2$=

+) ，則 f ( 1 ) + f ( - 1 ) = ？

6 7 8 9 【98 示範護】

f ( a ) 稱為函數 f ( x ) 在 x = a 代入後的函數值

　　　䥑 設 a 為實數，若函數 f ( x ) = a ( x + 3 )2 - 9a + 2 在 x = - 3 時有最大值 20，則 a = ？

- 2 - 1 1 2 【97 工】

將 x = - 3 代入，得 f ( - 3 ) = 20，即頂點 ( - 3 , 20 )

　　　麿 下列方程式所對應的圖形中，何者恆在 x 軸的上方？

y = 5x2 - 3x + 1 y = 3x2 + 5x - 1 y = x2 - 5x + 3 y = 3x2 + x - 5 � 【104 工】

二次函數圖形恆在 x 軸上方，表示開口向上且 D < 0（與 x 軸無交點）

鎭　䥅　䥑　麿

直線方程式

1

9

禑若 y = f ( x ) 的函數圖形為通過 ( 1 , - 1 ) 及( 3 , 3 ) 的直線，則 f ( 4 ) = 　　　　。

禙若 ( )f xx x1

2 1 2 3−+ = + ，則 f ( 4 ) =

　　　　。

禑一直線函數可設為 f ( x ) = ax + b

禙函數代換求值：將 4xx1

2 1−+ = 的 x 值求出再

　代入

禑在坐標平面上，設 a、b 為實數，若直線

y = ax + b 通過點 ( 0 , 6 ) 與點 ( 3 , 0 )，則

3a + 2b = ？

　 4 5 6 7 【97 工】

禙若 f ( x ) =,

,1 35 3

x xx x <

2$−

+) ，則

　 f ( 4 ) + 2 f ( - 2 ) - f ( 3 ) = ？

依 x 所在範圍，分別求出函數值

Paradigm Practice7 7函數值

★

已知 y = f ( x ) = x2 - 4x + 3，試求：

禑圖形的頂點坐標為　　　　。

禙圖形的對稱軸方程式為　　　　。

辻圖形與 x 軸的交點為　　　　。

拋物線 y = - x2 - 4x + 8 之頂點至點 ( 3 , 0 )之距離為何？

10 11 12 13

Paradigm Practice8 8二次函數的圖形（拋物線）

★★

8 設點 ( a , b ) 是二次函數 f ( x ) = 2x2 - 4x + 1 之圖形的頂點，則 a + b = 。

【98 護】

9 設 a 為常數，f ( x ) = 2x2 + ax + 5，若 f ( - 2 ) = f ( 1 )，則 a = ？

- 2 - 1 1 2 【100 藝】

詳答參見詳解本 P3

直線方程式

10

已知右圖為二次函數

f ( x ) = - x2 + ax + 15 的

圖形，其最高點 C ( 1 , b )，試求：

禑 a + b = 　　　　。

禙圖形與 x 軸的交點為

　　　　　。

y

xA B

C ( 1 ,b )

x=1

已知二次函數 f ( x ) = 3x2 + ax + b 在 x = 2 時

有最小值 - 1，則 a + b = ？

- 23 - 1 1 23 【98 示範護】

Paradigm Practice9 9二次函數的極值

★★

10 若 f ( x ) = 5x2 + 6x + 1 在 x = a 時有最小值 b，則 a - b = 51 。

11 若函數 f ( x ) = - 4x2 - kx + 6 在 x = - 3 處有最大值 h，求 k + h = 。

已知二次函數 f ( x ) = ax2 + bx + c 通過

( - 1 , 7 )、( 0 , 4 )、( 1 , 5 ) 三點，試求：

禑 f ( x ) = 　　　　。

禙 f ( 2 ) = 　　　　。

設 f ( x ) = ax2 + bx + c，a、b、c 皆為實數， 且 f ( 1 ) = f ( - 1 ) = 0，f ( 0 ) = - 1，則

f ( - 2 ) = ？

- 3 - 1 1 3 【98 護】

Paradigm Practice10 10求過三點的二次函數

★★

直線方程式

1

11

設右圖為二次函數 f ( x )= ax2+ bx + c 的圖形，請

將 >、= 或 < 填入下方空

格。

禑 a　　　　0。禙 b　　　　0。辻 c　　　　0。稆 b2 - 4ac　　　　0。

y

x

設右圖為二次函數 f ( x ) = ax2 + bx + c 之圖形，

則下列何者正確？

a < 0 b < 0 c < 0 a + b + c < 0 【99 藝】

y

x1

12345

0 3 42

Paradigm Practice11 11二次函數圖形的判別

★★

12 設 p ( x ) 為一元二次多項式。若 p ( 1 ) = 1， (2)p21= ， (3)p

31= ，則 p ( 4 ) 之值為何？

32−

21−

21

32 【98 工】

13 已知拋物線 y = ax2 + bx + c 通過 ( - 1 , 4 )、( 1 , 2 )、( 2 , 4 ) 三點，若頂點坐標為 ( m , n )，則 5m - 2n 之值為何？

- 3 - 2 - 1 1

14 設 a、b 為實數，若坐標平面上的拋物線 y = x2 + ax + b 的圖形

與 x 軸的交點為 ( - 1 , 0 )、( 2 , 0 )，如右圖所示，則 a + b =？

2 3 - 2 - 3 【96 工】

15 考慮拋物線函數 y = - 2x2 + 3，則下列何者錯誤？

此圖形開口向下

此圖形之頂點坐標為 ( 0 , 3 ) 通過此圖形頂點之切線為水平線

此函數之最小值為 3

䥅 0　䥑　麿 51 　鐗 66　匁　鐝　鐭　鐾

y

x( 2 , 0 )(−1 , 0 )

詳答參見詳解本 P4

直線方程式

12

直線的斜率與斜角學習透視三

鋫斜率：設坐標平面上兩點 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 且 x1 ! x2，

則稱 m x xy y

x xy y

AB1 2

1 2

2 1

2 1=−−

=−−

為 AB 的斜率，代表該直線在坐

標平面上的傾斜程度。（若 x1 = x2 時，則 AB 與 x 軸垂直

，其斜率不存在） 秒殺11

鋳斜角與斜率：斜角 i（此直線與 x 軸正向所成逆時針方向

的夾角，並規定 0 # i < r）的正切函數值為斜率，即斜率

m = tani。而斜角與斜率的關係如右圖示： 秒殺12

禑水平線：m = 0。（i = 0˚）禙遞增線（左下右上的斜線）：m > 0。（0˚ < i < 90˚）辻鉛垂線：斜率 m 不存在。（i = 90˚）稆遞減線（左上右下的斜線）：m < 0。（90˚ < i < 180˚）

鋴三點共線：若平面上相異三點 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 )、C ( x3 , y3 )

共線，則 mAB = mBC = mAC。 秒殺13　 小叮嚀：若平面上相異三點無法構成一個三角形，表示三點共線情形。

x

y

A ( x1 , y1 )

B ( x2 , y2 )

ix2− x1

| y2− y1 |

L2 y= ax+ b

x

ym

m= 0

m> 0

m< 0

Learning Corner

　　　鐗 設直線 L 過 A ( 1 , 3 ) 與 B ( 2 , 12 ) 兩點，則 L 的斜率為何？

5 8 9 18 【99 藝】

斜率 m x xy y

AB2 1

2 1=−−

　　　匁 若直線之圖形如右圖，則此直線之斜率最接近下列何值？

- 2 21−

21 2 【102 藝】

斜率 m = tani

　　　鐝 若 A ( 1 , - 2 )、B ( 3 , 4 )、C ( 2 , k ) 三點共線，則 k = ？

1 23 2

27 【98 示範商】

三點共線　⇒　mAB = mAC = mBC

鐗　匁　鐝

x

y

O

1

1

直線方程式

1

13

請依據右圖，回答下

列問題：

禑 試求直線 L1 的斜率

m1 = 　　　　。

禙 若 L1、L2、L3 的斜

率為 m1、m2、m3，

　則大小關係為　　　　。

x

yL1

L2L3

O60˚

在直角坐標系中有三

條直線 L1、L2、L3，

斜率分別為 m1、m2

、m3，見右圖，則何

者正確？

m1 > m2 > m3 m1 < m2 < m3 m2m3 < 0 m1m2 < 0

x

yL1 L2

L3

Paradigm Practice12 12直線的斜率與斜角

★★

若 A ( 4 , - 2 )、B ( 1 , 4 )、C ( 3 , a )、D ( 0 , b )四點在一直線上，則：

禑 AB 的斜率 mAB = 　　　　。

禙 a + b = 　　　　。

若三點 A ( - 1 , 3 )、B ( 2 , 5 )、C ( a - 2 , a + 3 )在一直線上，則 a 之值等於？

- 2 2 - 8 8

Paradigm Practice13 13三點共線

★★

16 已知正五邊形 ABCDE 中各邊長斜率分別為 mAB、mBC、mCD、

mDE、mAE，如右圖所示，則斜率何者最大？

mAB mBC mCD mAE

17 在坐標平面上，設 k 為實數，若 ( 2 , 3 )、( 4 , - 5 )、( k , - 3 ) 三點共線，則 k = ？

3 3 21

3 43

4 31 【97 商】

䥪　鑔

x

BC

DE

A ( 2 , 0 )O

y

直線方程式

14

直線方程式學習透視四

直線方程式的表示法

鋫點斜式：已知直線 L 過點 A ( x0 , y0 )：禑若斜率存在為 m，則此直線方程式為 L：y - y0 = m ( x - x0 )。禙若斜率 m 不存在，則此直線方程式為 L：x = x0。

鋳兩點式：已知直線 L 過相異兩點 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 )：

禑若 x1 ! x2，則此直線方程式為 L： x xy y

x xy y

2

2

1 2

1 2

−−

=−−

。

禙若 x1 = x2，則此直線方程式為 L：x = x1。

鋴截距式：若直線 L 之 x 截距為 a、y 截距為 b 且 ab ! 0，則此

直線方程式為 L： 1ax

by+ = 。（注意：截距可為正值或負值）

　 小叮嚀：嫎 x 截距為 a　⇒　過點 ( a , 0 )。 　　　　 娋 y 截距為 b　⇒　過點 ( 0 , b )。

鋽斜截式：若直線 L 的 y 截距為 b，即過 ( 0 , b ) 且斜率存在為 m，則此直線方程式為 L：y = mx + b。

　 小叮嚀： 可設通過原點之直線方程式為 y = mx（斜率為 m），而通過

點 P ( h , k ) 之直線方程式為 y = m ( x - h ) + k。

鍃直線一般式求斜率：二元一次方程式 ax + by + c = 0（a、b 不同時為 0）的圖形

必為一直線，反之亦成立。

禑當 b = 0 時，直線 L 過點 ( , )ac 0− 且垂直 x 軸，其斜率不存在。

禙當 b ! 0 時，其斜率 m ba= − 。

兩直線的平行與垂直

鋫兩相異直線平行、垂直的性質：坐標平面上，兩相異直線 L1：a1x + b1y + c1 = 0、　L2：a2 x + b2 y + c2 = 0，設斜率存在且

　分別為 m ba

11

1=− 、m ba

22

2=− ，可知：

禑若 /L L1 2/ ，則 m1 = m2，

　即 aa

bb

cc

2

1

2

1

2

1!= 。（如圖 1）

禙若 L1 = L2，則 1m m1 2 =−$ ，

　即 a1a2 + b1b2 = 0。（如圖 2）

鋳直線的平行、垂直假設法：設直線 L：ax + by + c = 0：禑若 /L L1 / ，則 L1 之直線方程式可設為 ax + by + k1 = 0（x、y 係數相同），再代

點求 k1 值。

禙若 L2 = L，則 L2 之直線方程式可設為 bx - ay + k2 = 0（x、y 係數對調，y 係數

變號），再代點求 k2 值。

x

A ( x0 , y0 )

y

m

x

B ( x2 , y2 )

y

A ( x1 , y1 )

x

B ( 0 ,b )

A (a , 0 )

y

x

( 0 ,b )

ym

b

x

L1 m1

1

L2 m2

P (a ,b )

P2 (a+ 1 ,b+ m2 )

P1 (a+ 1 ,b+ m1 )

y

圖 2

x

L1 L2

ii

y

圖 1

直線方程式

1

15

　　　鐭 設直線 L 的斜率為 2 且在 x 軸之截距為 3，請問下列哪一點在直線 L 上？

( 5 , 5 ) ( 6 , 6 ) ( 7 , 7 ) ( 8 , 8 ) 【95 工】

依點 ( 3 , 0 ) 斜（斜率為 2）式可得 L 方程式

　　　鐾 已知直線 L 通過 A ( 2011 , 5 )、B ( 2011 , 20 ) 兩點，則此直線方程式為何？

y = 5 x = 2011 y = 20 5x + 20y = 2011 【100 藝】

依兩點式（x1 = x2）得 L 方程式 x = x1

　　　䥪 若 A ( 2 , 5 )、B ( - 1 , 2 )、C ( 3 , 4 ) 為坐標平面上三點，且 D 為 BC 之中點，則 AD的直線方程式為何？

y = 2x + 1 y = 2x - 1 2y = x + 1 2y = x - 1 【97 商】

依兩點式（A 及 D 點）得 L 方程式

　　　鑔 已知一直線的 x 截距與 y 截距分別為 2 與 3，則此直線方程式為何？

3x + 2y = 6 2x + 3y = 6 3x + 2y = 1 2x + 3y = 1 【96 商】

依截距式得解

　　　鑹 若兩直線 y = 3x + 2 與 y = ax + 3 互相垂直，則 a = ？

- 3 31−

31 3 【92 工】

禑 y = mx + b（斜截式）　⇒　斜率為 m　禙互相垂直　⇒　m1 × m2 = - 1

　　　锭 試求過點 ( - 3 , 1 ) 且與直線 x - 2y + 3 = 0 平行的直線方程式？

2x - 4y + 7 = 0 x - y + 4 = 0 x - 2y + 5 = 0 x + 2y - 4 = 0 【90 工】

令與 x - 2y + 3 = 0 平行的直線為 x - 2y + k = 0

鐭　鐾　䥪　鑔　鑹　锭

Learning Corner

直線方程式

16

禑 一直線通過點 ( 1 , 2 ) 且斜率為 - 1，則此

直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為

　　　　。

禙 若一直線通過 A ( 1 , 5 ) 及 B ( 3 , 3 ) 兩點，

則此直線方程式為　　　　。

已知 TABC 三頂點為 A ( - 1 , 3 )、B ( 2 , 1 )

、C ( - 3 , - 1 )，若直線 AD 平分 TABC 的

面積，則直線 AD 之方程式為何？

3x + y = 0 3x - y + 6 = 0 6x - y + 9 = 0 6x + y + 3 = 0 【91 工】

AD 平分 TABC 面積　

⇒　D 為 BC 中點（等底同高）

Paradigm Practice14 14點斜式與兩點式

★★

禑 試求 x 截距為 2 且 y 截距為 - 3 的直線方

程式為　　　　。

禙 試求斜率 m = - 3 且 y 截距為 4 的直線方

程式為　　　　，而此直線的 x 截距為

　　　　。

關於直線 L：x + 4y = 28，下列敘述何者正

確？

斜率為 7 y 截距為 7 通過點 ( 7 , 7 ) x 截距為 7 【99 工】

Paradigm Practice15 15截距式與斜截式

★★

直線方程式

1

17

禑 若直線方程式為 3x - 4y + 12 = 0，則其斜

率為　　　　。

禙 若直線 ax + ( a - 3 ) y + 1 = 0 的斜率為 2，則 a = 　　　　。

詳答參見詳解本 P5

已知 a、b 為實數。若直線 2x + ay + b = 0通過 10x - 2y + 5 = 0 與 6x - y + 7 = 0 之交

點，且斜率為 2，則 a + b = ？

- 12 - 10 10 12 【102 工】

Paradigm Practice16 16直線一般式求斜率

★★

18 若直線 3x - 2y + 6 = 0 的斜率為 a，y 截距為 b，x 截距為 c，且此直線與兩坐標軸所

圍成的封閉區域面積為 d，求 ab - cd 之值。

23

29

215

221 【105 工】

19 設點 A ( - 5 , 2 )、B ( 5 , 7 )，若點 C 在 AB 線段上，且線段長 : :3 2AC CB = ，則下列

何者不正確？

C 點坐標為 ( 1 , 5 ) AB 線段長為 5 5 AB 直線方程式為 x - 2y + 9 = 0 AB 直線之斜角為 45˚ 【98 示範工】

20 若直線 L：ax + by + c = 0 的圖形如右圖，則點 P ( ac , ab ) 在第

幾象限？

一

二

三

四 【93 工】

鑹　锭　関

x

y

L

直線方程式

18

已知直線 L1 通過 A ( - 3 , 0 )、B ( k - 3 , - 1 )兩點，而直線 L2 為 ( k - 2 ) x + 3y - 1 = 0，試求：

禑若 L1 = L2，則 k = 　　　　。

禙若 /L L1 2/ 但不重合，則 k = 　　　　。

平面上四點 A ( 1 , 1 )、B ( a , 2 )、C ( b , - 1 ) 、D ( 0 , - 2 )，其中 b 為正數，若 AB 與

CD 互相平行，且 BD 與 AC 互相垂直，求

a + 2b 之值為何？

7 8 9 10 【101 工】

Paradigm Practice17 17兩直線平行與垂直的性質

★★

如右圖所示，直線 L 為

AB 的垂直平分線，請

回答下列問題：

禑 AB 的中點 M 坐標為　　　　。

禙 AB 的斜率 mAB = 　　　　。

辻直線 L 的方程式為　　　　。

B ( 3 , 3 )

M

L

A ( 1 , − 3 )

設 P ( - 2 , 4 ) 與 Q ( 2 , - 2 )，若直線 L：ax + 3y + b = 0 為 PQ 的垂直平分線，求

a + b 之值為何？

215− - 5 - 1

23 【101 工】

Paradigm Practice18 18垂直平分線（中垂線、線對稱）

★★★

直線方程式

1

19

如右圖，在矩形 ABCD 中

，直線 BC 的方程式為

x - 2y + 3 = 0，試求：

禑 直線 AD 的方程式為

　　　　　。

禙 直線 AB 的方程式為　　　　。

詳答參見詳解本 P6

D

C

B

A ( − 2 , 3 ) 設坐標平面上三直線 L1：x + 3y - 2 = 0，L2：3x + y + 2 = 0，L3：x - y - 2 = 0，且 L1

與 L2 相交於 A 點，則過 A 點且與 L3 平行的

直線，不通過哪一個象限？

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【99 工】

Paradigm Practice19 19直線平行與垂直假設法

★★

21 已知平面上三點 A ( 2 , 1 )、B ( 1 , 3 ) 及 C ( 4 , k )，若線段 AB 及 AC 垂直，則 k = ？

1 2 3 4 【99 商】

22 設線段 AB 的兩端點為 A ( - 1 , 3 ) 與 B ( 1 , 7 )，若直線 x + ay + b = 0 為 AB 的垂直平分

線，則 a + b 之值等於？

7 - 7 8 - 8

23 若兩點 A ( 0 , 0 )、B ( a , b ) 對稱於直線 x - 2y = 5，則 a - b = ？

2 4 6 8 【92 工】

24 已知直線 L 過點 ( 1 , 5 )，且垂直於直線 2x - 3y + 6 = 0，則 L 與 x 軸的交點坐標為何？

( , )213 0−

( , 0)37−

( , 0)313

( , 0)217 【91 工】

䦧　间　阳　䧥

直線方程式

20

I t ' s S h o w T i m e

鋫已知點 P (a - b , ab ) 在坐標平面的第四象限，則下列敘述何者正確？

A (a , - b ) 在第一象限 ( , )B ab b

a 在第二象限

( , )C ba b−

在第三象限 ( , )D b

a b a− 在第四象限 【101 藝】

鋳設平面上三點 A ( 4 , - 3 )、B ( - 2 , 3 )、P ( a , b ) 共線，而 P 點在 AB 的延長線上，又

2 5AP PB= ，則 b - a = ？

17 15 13 11

鋴設平行四邊形四頂點坐標分別為：A ( 0 , 3 )、B ( 3 , 4 )、C ( - 2 , - 3 )、D ( x , y )，則下列哪一

點不可能是 D 點坐標？

( 5 , 10 ) ( 1 , 4 ) ( - 5 , - 4 ) ( 1 , - 2 )

鋽若 ( )f x x

x243+ =

++

，則 ( )f 21 =？

53

32

43

97 【90 商】

鍃若 ( )f x x x4 1 3 2 1= + + − ，則 f ( x ) 的最小值為何？

3 4 6 9 【96 工】

處理「外分點問題」時，可依題 意轉換成「內分點問題」進行解 題

若題目已出現 6ABCD，表示四

頂點須按順序排列，則其答案

只有一個。否則，無頂點順序

應有三個答案

,

,

,

( )f x

x x

x x

x x

10 1 1

2 7 1 21

10 1 21

<

<#

#

=

− − −

− + −

+

*

直線方程式

1

21

鎄二次函數 f ( x ) 的頂點坐標 ( - 1 , 2 )，且 f ( x ) 通過點 ( 2 , - 7 )，則 f ( 3 ) = ？

- 14 14 - 18 18

鎭設 A ( 2 , 3 )、B ( 5 , 5 )，P 為 y 軸上一動點，則 PA PB2 2+ 之最小值為何？

53 31 13 5

䥅已知二次函數 f ( x ) = 9x2 + 12x + 7，則下列敘述何者正確？

f ( x ) 有最大值

f ( x ) 的圖形對稱於方程式 x 34= −

f ( x ) 的圖形與函數 y = 4 的圖形有交點 f ( x ) 的圖形無法經由平移與 g ( x ) = 9x2 - 11x + 3 的圖形重合

䥑設 a、b、c 為實數，且二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖形如右圖

所示，則點 P ( b2 - 4ac , abc ) 在第幾象限？

第一象限 第二象限

第三象限 第四象限 【100 工】

麿已知函數 f ( x ) = a ( x + 1 )2 - 2 的圖形不會經過第四象限，則 a 之值可能為下列哪一數？

- 1 0.4 1.8 3.2 【101 商】

已知二次函數的頂點坐標為

( h , k )，則此函數可假設為

y = a ( x - h )2 + k（頂點式）

x

y

O

鋫 a 由開口方向來判定

鋳 b 由頂點的 x 坐標來判定

鋴 c 由拋物線與 y 軸的交點坐標來判定

鋽 b2 - 4ac 由拋物線與 x 軸交點個數來判定

二次函數 y = a ( x - h )2 + k 的圖

形為拋物線，且頂點為 ( h , k )

直線方程式

22

⇒　ab

10 8 315 6 3− = +=− +

)

⇒　ab

67

=−=

)

故 b - a = 13

鋴依提示：

嫎 D = A + B - C

　　 = ( 0 + 3 - ( - 2 ) , 3 + 4 - ( - 3 ) ) = ( 5 , 10 )

娋 D = A + C - B

　　 = ( 0 + ( - 2 ) - 3 , 3 + ( - 3 ) - 4 ) = ( - 5 , - 4 )

䊼 D = B + C - A

　　 = ( 3 + ( - 2 ) - 0 , 4 + ( - 3 ) - 3 ) = ( 1 , - 2 )

故 ( 1 , 4 ) 非 D 點坐標

鋽嫎取 x 2 21+ = 　⇒　 x 2

3=−

娋 ( ) ( 2)f f21

23

23 4

23 3

2523

53= − + =

− +

− += =

鐗設 a 為實數，且直線 ( 3a - 1 ) x - 2y = a + 1 沒有通過第一象限，則 a 的可能範圍為何？

a < - 1 1 a 31

# #− a31 1< < a $ 1 【96 工】

匁在坐標平面上，若直線 L 與直線 3x - 2y - 1 = 0 垂直，且其 x、y 截距之和 8，則直線 L 之

方程式為何？

10x + 15y + 48 = 0 10x + 15y - 48 = 0 2x - 3y + 48 = 0 2x - 3y - 48 = 0

鐝下列敘述何者錯誤？

直線 L：x + 2y = 4 的斜率為 21−

方程式 x = 4 的圖形是一條通過點 ( 4 , 5 )，且平行 y 軸的直線 通過點 A ( 1 , 2 )、B ( - 2 , 3 ) 的直線方程式為 3x - y - 1 = 0

當點 A ( - 1 , 1 )、B ( 2 , x )、C ( 3 , 11 ) 為共線的三點時，則 x 2

17= 【98 工】

鋫　鋳　鋴　鋽　鍃　鎄　鎭

䥅　䥑　麿　鐗　匁　鐝

鋫嫎 P 點在第四象限

　⇒　a - b > 0 且 ab < 0（a、b 異號）

　⇒　a > 0 > b

娋取 a = 1，b = - 1 代入得

𨭆；A ( 1 , 1 ) !Ⅰ 𨯔；B ( 1 , - 1 ) !Ⅳ　

𨯔；C ( - 1 , 1 ) !Ⅱ 𨯔；D ( - 1 , - 2 ) !Ⅲ

鋳2 5AP PB= 　⇒　 : :5 2AP PB =

⇒　 : : :2 (5 2) 2 3PB BA = − =

得 B 為 AP 內分點（如圖示）

依內分點公式：

:

2 4 3

2 ( 3) 3B

a

b

22 3

32 3

# #

# #

− =++

=+

− +*

P (a ,b )2

：5B (−2 , 3 )

A ( 4 ,−3 )

直線方程式

1

23

鍃依提示

作 f ( x ) 圖形如右

圖形最低點表示

( )f 21 6= 為最小值

鎄嫎 依提示

　 令 f ( x ) = a [ x - ( - 1 ) ] 2 + 2（頂點式），通過

( 2 , - 7 )

　代入得 - 7 = a ( 2 + 1 )2 + 2 = 9a + 2

　⇒　a = - 1

娋 f ( x ) = - ( x + 1 )2 + 2

　∴ f ( 3 ) = - ( 3 + 1 )2 + 2 = - 16 + 2 = - 14

鎭令 P ( 0 , t ) 在 y 軸上　

∴ PA PB2 2+

　

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

t tt t t t

t t t tt

2 0 3 5 0 54 6 9 25 10 252 16 63 2 8 4 312 4 31 31

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2$

= − + − + − + −= + − + + + − += − + = − + += − +

∴所求最小值為 31

䥅𨯔；x2 項係數 = 9 > 0（開口向上）

　　　f ( x ) 有最小值

𨯔；對稱軸 x ab2 2 9

1232

#=− =− =

−

𨭆；交點 …嫎

…娋

y x xy9 12 74

2= + +

=*

　　　娋代入嫎得 3 ( 3x2 + 4x + 1 ) = 0

　　　⇒　3 ( 3x + 1 ) ( x + 1 ) = 0　

　　　⇒　 x 31= −、- 1，即兩交點 ( , )3

1 4−、

　　　　　( - 1 , 4 )

𨯔； f ( x ) 與 g ( x ) 的 x2 項均為 9，表示開口方

向及大小相同，即經平移可使兩者重合

䥑嫎開口向上　∴ a > 0

娋拋物線頂點的 x 坐標為 ab2 0>− ，且 a > 0，則

　b < 0

䊼拋物線與 y 軸交點為 ( 0 , c )，則 c < 0

𤒈拋物線與 x 軸有兩個交點，則 b2 - 4ac > 0

故點 ( b2 - 4ac , abc ) = ( + , + )，在第一象限

麿嫎若 a = 0，f ( x ) = - 2 為通過第四象限的水平線

娋若 a ! 0，f ( x ) = a ( x + 1 )2 - 2 的圖形為拋物線

，頂點 ( - 1 , - 2 ) 在第三象限

　𦵑 先討論 a < 0，開口向下，拋物線圖形必過

第四象限

y1= 10x+ 1y3= −10x− 1

y2= −2x+ 7

(−1 , 9 )

x= −1 x 21=

( , 6)21

　𦲂再討論 a > 0，假設拋物線通過原點 ( 0 , 0 )

　　⇒　0 = a ( 0 + 1 )2 - 2

　　⇒　a = 2，又圖形不通過第四象限

　　∴拋物線開口須更小　⇒　a > 2

故選

鐗嫎∵不通過第一象限　∴此直線截距皆不大於 0

　取截距：x 0 a

a3 1

1−+

y a21

−+ 0

娋 x 截距 0aa3 1

1#−

+ 且 y 截距 0a21

#−+

　⇒　 ( a + 1 ) ( 3a - 1 ) # 0（但 a 31

! ）

　　　且 a + 1 $ 0

　⇒　 1 a 31<#− 且 a $ - 1

　⇒　 1 a 31<#−

而 a 31= 時，此直線 y 3

2= − 為水平線，通過第

三、四象限（符合）

故 1 a 31

# #−

匁嫎令 L 為 2x + 3y + k = 0，取截距：

　x 0 k

2−

y k3− 0

娋 k k2 3 8− + − = 　⇒　 k6

5 8− = 　⇒　k 5

48= −

　∴ L 為 x y2 3 548 0+ − =

　× 5

　10x + 15y - 48 = 0

鐝𨭆；m ba

21=− =−

𨭆；x 4 4y 0 1

（如圖示）

𨯔；AB（兩點式）為 xy

2 13 2

12

− −− =

−−

　　　⇒　x - 1 = - 3y + 6　⇒　x + 3y - 7 = 0

𨭆；∵三點共線　∴ mAB = mAC

　　　⇒　( ) ( )

x2 1

13 111 1

− −− =

− −−

　⇒　 x 217=

( 4 , 1 )

( 4 , 0 )

x= 4

y

x

1

1CHAPTER

1 p.3 7

1a 1 b 2( ab , b a ) ( 2 , 3 )

2

( ) ( )PQ 2 1 5 3 52 2= − + − =

3

( ) ( ) 5AB a0 2 12 2= − + − − = a2 32 25a2 25 9 16 a 4 0

4

Px

y

3 13 2 1 0

23

3 13 2 1 0

23

# #

# #

= ++ =

= ++ =

* x y 3

5D A C B ( 5 ( 4 ) 1 , 2 3 3 ) ( 0 , 2 )

6

G ( ( ) , ( ) ) (4 , 2)3

0 12 243

6 24 12+ − + + − + = −

1a 1 b 2

( a , b ) ( 1 , 2 )( a , 0 ) ( 1 , 0 ) x( a , b ) ( 1 , 2 )( b a , ab ) ( 3 , 2 )

1P ( a , b ) a 0 b 0a 1 b 2

Q ( ab , b a ) ( 2 , 3 )

2

( ) [ ( )] 5AB 0 3 3 12 2= − + − − =

P( k , 0 ) PA PB

( ) [ ( )] ( ) ( )k k3 0 1 0 0 32 2 2 2− + − − = − + −

( k 2 6k 9 ) 1 k 2 9 k61

( , )P61 0

2C ( 0 , k ) AC BC

( ) ( ) ( ) ( )k k5 0 1 3 0 42 2 2 2− + − − = − + −

25 ( 2 1) 9 ( 8 16)k k k k2 2+ + + = + − +

10k 1 k 101=− (0 , )C 10

1

A a b 0 a 0 a 1 b 2P ( ab , b ) ( 2 , 2 )

PQ PR

( ) ( ) ( ) ( )k k3 4 2 4 1 22 2 2 2− + − = − + − −1 ( 4 4) ( 8 16) 9k k k k2 2+ − + = − + +

4k 20 k 5

3

P P B A2 52 5=

++

2 ( 11) 5

2 ( 13) 5 8P

x

y

2 53 1

2 52

# #

# #

=+

− + =−

=+

− + =*

P ( 1 , 2 ) 2 9AQ QBQ AB A BQ BA AQ 7 2

Q ( a , b ) A Q B7 27 2=

++

7 2 ( )

7 2 ( )A

a

b

37 2

11

87 2

13

# #

# #

=+

+ −

=+

+ −*ab

714)

Q ( 7 , 14 )

3

3 2AC BC

3 1 2 ( 4)

3 ( 1) 2 4C

x

y

3 21

3 21

# #

# #

=+

+ −=−

=+

− +=

*

C ( 1 , 1 )

4

AB (( )

,( )

) ( , )P P23 1

24 0

1 2+ − − +

= −

( ) ( )1 0 2 0 1 4 52 2= − + − − = + =

4

AB (( )

, ) ( , )Ma b M2

123 2 1

+ − + =

a 5 b 1 A ( 5 , 1 )

( ) ( )5 3 1 0 4 1 52 2= − + − − = + =

2AB BC 2 1AB BC

2 1 3

2 1 4B

x

y

52 1

22 1

# #

# #

=++

− =++*

xy

15 2 36 2 4= +

− = +)

xy65

==−

) x y 1

B (−11 ,−13 )

Q (a ,b )

A ( 3 , 8 )

P

2

2

5

A (−4 , 4 )

B ( 1 ,−1 )

C3

2

2

8 f ( 1 ) 12 3 4 f ( 1 ) 5 4 5 9

9 f ( 3 ) a 02 9a 2 20

9a 18 a 2

10D ( 3 )2 4 5 1 11 0

7f ( x ) ax b f ( 1 ) 1 f ( 3 ) 3a ba b

13 3+ =−+ =

'ab

23

==−

' f ( x ) 2x 3

f ( 4 ) 2 4 3 5

xx1

2 1 4−+ = x

25

(4) ( ) 2 3f f

25 1

225 1

25 8

#

#=−

+= + =

7( 0 , 6 ) a 0 b 6 b 6

( 3 , 0 ) a 3 b 03a 6 0 a 2

3a 2b 3 ( 2 ) 2 6 6f ( 4 ) 42 1 15 f ( 2 ) ( 2 ) 5 3

f ( 3 ) 32 1 8 15 2 3 8 13

8

y ( x2 4x 22 ) 3 22 ( x 2 )2 1( 2 , 1 )

x 2 0 x 2

y x xy

4 30

2= − +=

)x

x2 4x 3 0( x 1 ) ( x 3 ) 0x 1 3 ( 1 , 0 ) ( 3 , 0 )

8

y ( x2 4x 22 ) 8 22 ( x 2 )2 12V ( 2 , 12 )

( ) ( )2 3 12 0 132 2= − − + − =

2 ( 1)

2x 4#

=−−

− =−

f ( 2 ) ( 2 )2 4 ( 2 ) 8 12V ( 2 , 12 )

0

f ( x ) 2 ( x2 2x 12 ) 1 2 12 2 ( x 1 )2 1( 1 , 1 ) a 1 b 1 a b 0

3 2AB PB(3 2) 2 1 2AP PB = − =

1 1 2 ( 5)

1 9 2 3P

x

y

1 23

1 25

# #

# #

=+

+ −=−

=++ =

*

P ( 3 , 5 )

[ 3 ( 2)] (5 4)PC 22 2= − − − + − =

BC ( , ) ( , )M M24 2

21 3 3 1

+ − + =

( ) ( )AM 4 3 4 1 1 9 102 2= − + − = + =

5

AC ABCD

AC ( , )A C2 2

1 021 2+ = − + + ( , )

2123

A C B D2 2+ = + D A C B

D ( 1 0 ( 8 ) , 1 2 2 ) ( 7 , 1 )

55 D A C B

D ( 5 4 0 , 4 ( 8 ) ( 5 ) ) ( 1 , 1 )D ( 1 , 1 )

6

(( )

,( )

) ( , )G G33 1 7

35 8 6

3 3+ − + − + +

=

6

( , ) ( , )M a b4 6 22

21− = + +

a 6 b 13 B ( 6 , 13 )

(5 , 3) ( ,( )

)G x y3

2 63

1 13− = + + + − +

xy

15 89 12= +

− =− +) x 7 y 3

x2 y2 40

DEFG D F E G( 3 ( 4 ) , h k ) ( 3h ( k ) , 2 7 )

h kh k3 1

9− =−+ =

)

4h 8 h 2 k 9 2 72h 3k 2 2 3 7 25

TABC TDEF

( , ) ( , )G G325 1 2

11

34 2

927

3 4+ + + +

=

p.8 11

7

3

111

a 0

0xab2

<= − a 0 b 0

y ( 0 , c ) c 0x b2 4ac 0

11a 0

x ab2 0>= − a 0

b 0y ( 0 , c )

c 0 A ( 1 , a b c )

a b c 0

p ( x ) ax2 bx c(1) 1

(2) 4 2

( )

p a b c

p a b c

p a b c

21

3 9 3 31

= + + =

= + + =

= + + =

a b

a b

3 21

5 61

+ = −

+ = −*

1a b c61

611= =− =

( )p x x x61

6112= − + ( )p 4 2

1

( ) ( )a b c

a b ca b c

4 1 1

2 1 14 2 2

2

2

2

# #

# #

# #

= − + − +

= + += + +

*

2a b ca b ca b c

4

4 2 4

− + =+ + =+ + =

* 1abc

1

2

==−=

*

( )y x x x2 21

472 2= − + = − + ( , ) ( , )m n2

147

5 2 5 2 1m n 21

47

# #− = − =−

xy x ax by 0

2= + +

=*

x2 ax b 0 x 1 2a ba b

1 04 2 0− + =+ + =

)ab

12

=−=−

)

a b 3( )

( 1) 2

a

b

1 2#

− + =−

− =*

a 1 b 2 a b 3

y

x1

12345

0 3 4

x ab2

= −2

( 0 , c )

A ( 1 ,a+ b+ c )

f ( 2 ) f ( 1 )2 ( 2 )2 a ( 2 ) 5 2 12 a 1 513 2a 7 a13 7 a 2a a 2

9

2 ( 1)

x a 1#

=−

− = f ( 1 ) b

a 2 b 12 2 1 15 16a b 2 16 18

y x xy

2 150

2=− + +=

)x x2 2x 15 0

( x 5 ) ( x 3 ) 0 x 5 3( 5 , 0 ) ( 3 , 0 )

9

2 3( )

2xa#

=−

= a 12

f ( 2 ) 1 3 22 ( 12 ) 2 b 1b 11

a b ( 12 ) 11 1

51 66

2 5( )

x6

53

#=−

= −

( ) 5 ( ) 6 ( ) 1f 53

53

53

59

518 1 5

4

2# #− = − + − +

= + − + = −

a 53= − b 5

4= − a b51− =

2 ( 4)

x k k8 3

#=−

−− = − =− k 24

f ( 3 ) hh 4 ( 3 )2 24 ( 3 ) 6 42

k h 24 42 66

10f ( x ) ax2 bx c

( )( )( )

fff

1 70 41 5

− ===

*

a b cc

a b c

70 0 4

5

− + =+ + =+ + =

*

abc

214

==−=

*

f ( x ) 2x2 x 4f ( 2 ) 2 22 2 4 10

10f ( 1 ) 0 a 12 b 1 c a b c 0 f ( 1 ) 0 a ( 1 )2 b ( 1 ) c

a b c 0 f ( 0 ) 1 a 02 b 0 c c 1

a ba b

1 01 0

+ − =− − =

) a 1 b 0

f ( x ) x2 1 f ( 2 ) ( 2 )2 1 3

4

p.15 19

14L y 0 2 ( x 3 ) y 2x 6

( 6 , 6 )

15L x 2011

16

BC ( , )D 21 3

22 4− + + D ( 1 , 3 )

AD xy

2 15 3

13

−− =

−−

y 3 2 ( x 1 ) y 2x 1

17x y2 3 1+ =

63x 2y 6

18

3 a 1 a 31=−

19( 3 , 1 ) 3 2 1 k 0

k 5 x 2y 5 0

14y 2 ( 1 ) ( x 1 ) y x 3

x 0 3y 3 0 2

1 3 3 29

# #

xy33

1 35 3 1

−− =

−− =−

y 3 ( 1 ) (x 3)y x 6x y 6 0

14

(( )

,( )

)D 22 3

21 1+ − + −

( , 0)D 21

AD

( ) ( )xy

21 1

0 313

− − −

− =− −−

xy

213

13

6− =

+−

=−

y 3 6x 6 6x y 3 0

15x y2 3

1+−

=

3x 2y 6 3x 2y 6 0y ( 3 ) x 4 3x y 4 0

y 0 x 34

154y x 28 7y x4

1=− +

m 41=− m b

a41=− =−

x2 2 0( 0 , 3 )

x 0 y 33

p.12 13

11

m 2 112 3 9AB = −

− =

12

tanm OAOB

21

]i

13( ) ( )k3 14 2

2 12

−− −

=−

− −

k26

12= +3

1k 1

12 60tanm 31 c

L1 L2 L1

m1 m2 0L3 m3 0m1 m2 0 m3

12L2 L3 L2 m2 m3 0L1 m1 0m2 m3 0 m1

13

( ) 2m1 44 2

36

AB = −− − =

−=−

mAB mAC mAD

2 ( ) ( )a b3 4

20 4

2− =−

− − =−

− −

a 0 b 6a b 6

13A B C mAB mAC

( ) ( ) ( )( )

aa

2 15 3

2 13 3

− −− =

− − −+ −

aa

32

1=

−

2a 2 3a a 2

mAE mBC 0 mDE mAB

mCD

k4 25 3

23 3

−− − =

−− −

28

k 26−

=−−

46

k 2− =−−

k 2 23 3 2

1

x

y

AB

Oi

1

1

4

13

2

5

1ac 0 bc 0

a c b c a bP ( ac , ab ) ( , )

( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) Lx y 1 0 a 1 b 1 c 1

17

L1 ( ) ( )

m mk k3 3

1 0 1AB1 = =

− − −− − = −

L2 ( )m k k32

32

2 =−− = −

L1 = L2 m1 m2 1

( ) ( )k

k132 1− − =− k

21

/L L1 2/ m1 m2 kk132− = −

k 2 2k 3 0 ( k 3 ) ( k 1 ) 0k 3 1

17

/AB CD/ mAB mCD( )

a b12 1

02 1

−− =

−− − −

a 1 b a b 1

BD AC= mBD mAC 1( )

1a b02 2

11 1

#−

− −−

− − =− a ( b 1 ) 8

( b 1 ) ( b 1 ) 8b2 9 b 3

a 4 a 2b 10

18

( , ( ) )M23 1

23 3+ + − M ( 2 , 0 )

( )m3 13 3

26 3AB = −

− − = =

L AB= mL mAB 1

L m 31

L =−

L ( ) ( )y x031 2− = − −

3y x 2 x 3y 2 0

18

PQ ( ,( )

)M 22 2

24 2− + + −

M ( 0 , 1 )L m

PQ L= mPQ m 1( ) 1m2 2

4 2#

− −− − =− m

32

L 1 ( 0)y x32

#− = −

2x 3y 3 0a 2 b 3 a b 5

L

P ( − 2 , 4 )

MQ ( 2 , − 2 )

x 0 y 7( 7 , 7 ) 7 4 7 35 ! 28y 0 x 28

16

m 43

43=−

−=

3x 4y 12 0 y x43 3= +

m 43

( )a

a3

2=− −

= a 2a 6 a36 2

162x ay b 0

2m a2=− = a 1

x yx y10 2 5 06 7 0

− + =

− + =*

x

y29

20

= −

=−*

( , )29 20

2 ( ) ( 1) ( 20) 0b29

# #− + − − + = b 11

a b ( 1 ) ( 11 ) 12

3x 2y 6 0 a 23

23=−

−=

x 0 2y 3 0

b 3 c 2

AOB d21 2 3 3# #T = − = =

3 ( 2) 3ab cd23

221

# #− = − − =

C

3 5 2 ( 5)

3 7 2 2

x

y

3 21

3 25

# #

# #

=+

+ −=

=++ =

*

C ( 1 , 5 )

( ) ( )AB 5 5 2 7 125 5 52 2= − − + − = =

AB xy57

5 52 7

105

21

−−

=− −− =

−− =

x 2y 9 0

45 1tan tanm 21

c !i

x 0 ac

y bc 0

ac 0<− 0b

c >−

x

y

O

A ( 0 , 3 )

B ( − 2 , 0 )

x

y

L

(0 , )bc−( , 0)a

c−

6

CHAPTER

2 p.25

1

( 6 ) 36 436040

912# # #

cc

r r r

2

( ) 23 3

22323

623

#r

r r r− − = =

( ) 8 2 432

322

324

#r

r r r r− − = = =

( ) 234

322

326

313

#r r

r r− − = =

( ) 235

322

327 9 2

9#

rr r r r− − = = =

32r 3

22r

1

12 48A r21

21

322 2# #i r r

60 3c

r

( ) 23 35

36r

r r r− − = =

360 3r 3

5r

1i 10 100100 10 90 360

10 10 1 10 ( )180 18

# #c c r r

1r18 18

#ir r

r rr2 ( 2rr ) 2r2 4r 0 r ( r 4 ) 0

r 4 0 i 12 ] 12 57.3 687.6 7

p.27 28

3

sinA 53

4

1 ( )

( )

23

1 23

4147

72

2

=−

+= =

90 7#c

57.6˚

5

A C

B

4

3

19

/AD BC/ AD x 2y k1 0A ( 2 , 3 )

2 2 3 k1 0 k1 8

AD x 2y 8 0

AB BC= AB 2x y k2 0A ( 2 , 3 ) k2 1

AB 2x y 1 019

x yx y3 2 0

3 2 0

+ − =

+ + =*

xy

11

=−=

) A ( 1 , 1 )

x y 2 0 L x y k 0A ( 1 ) 1 k 0

k 2 L x y 2 0

x 0 2y 2 0

AB AC= mAB mAC 1

1k1 23 1

4 21

#−−

−− =− k 1 1 k 2

AB ( , )M 21 1

23 7− + + M ( 0 , 5 )

( )m

1 17 3 2AB = − −− = x ay b 0 m a

1=−

mAB m 1 2 ( )a1 1#

− =− a 2

M x 2y b 00 2 5 b 0b 10

a b 2 ( 10 ) 8

AB ( , )M a b20

20 ( , )M a b

2 2 L

2 5a b2 2

#− = a 2b 10

LAB = AB 2x y k 0 ( 0 , 0 ) ( a , b )

ka b0

2 0=+ =

)

a 2 b 4a b 6L 3x 2y k 0 ( 1 , 5 )

3 1 2 5 k 0 k 13

L 3x 2y 13 0 y 0 x 313

( , )313 0

x

L

( 0 , 2 )

(−2 , 0 )

y

L x− 2y= 5

A ( 0 , 0 )

M

B (a ,b )

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預定

日期

完成

日期

勾選不熟的題號

（★ 表進階題）

詳解

頁次

1直角坐標、分點坐標、函數圖形

配合 CH1 透視一至二1 / /

1 2 3 4 5 6 7 81

9 10 11 12 13 14 15

2直線方程式

配合 CH1 透視三至四3 / /

1 2 3 4 5 6 7 81

9 10 11 12 13 14 15

3標準位置角、三角函數的定義、三

角恆等式

配合 CH2 透視一至三

5 / /1 2 3 4 5 6 7 8

39 10 11 12 13 14 15

4任意角的三角函數、三角函數的圖

形與週期

配合 CH2 透視四至六

7 / /1 2 3 4 5 6 7 8

39 10 11 12 13 14 15

5和差角公式與二倍角公式

配合 CH3 透視一至二9 / /

1 2 3 4 5 6 7 84

9 10 11 12 13 14 15

6正弦與餘弦定理、三角測量

配合 CH3 透視三至五11 / /

1 2 3 4 5 6 7 85

9 10 11 12 13 14 15

7平面向量

配合 CH4 透視一至三13 / /

1 2 3 4 5 6 7 87

9 10 11 12 13 14 15

8多項式、餘式與因式定理

配合 CH5 透視一至三15 / /

1 2 3 4 5 6 7 88

9 10 11 12 13 14 15

9分式與根式運算、多項方程式的解

法

配合 CH5 透視四至五

17 / /1 2 3 4 5 6 7 8

89 10 11 12 13 14 15

10聯立方程式與行列式

配合 CH6 透視一至二19 / /

1 2 3 4 5 6 7 810

9 10 11 12 13 14 15

★ ★ ★

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★

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次

預定

日期

完成

日期

勾選不熟的題號

（★ 表進階題）

詳解

頁次

11複數及其運算

配合 CH7 透視一21 / /

1 2 3 4 5 6 7 810

9 10 11 12 13 14 15

12複數極式與棣美弗定理

配合 CH7 透視二至三23 / /

1 2 3 4 5 6 7 811

9 10 11 12 13 14 15

13不等式

配合 CH8 透視一至二25 / /

1 2 3 4 5 6 7 812

9 10 11 12 13 14 15

14二元一次不等式的圖形與線性規劃

配合 CH8 透視三27 / /

1 2 3 4 5 6 7 813

9 10 11 12 13 14 15

15數列與級數

配合 CH9 透視一至三29 / /

1 2 3 4 5 6 7 814

9 10 11 12 13 14 15

16指數及其應用

配合 CH10 透視一至二31 / /

1 2 3 4 5 6 7 815

9 10 11 12 13 14 15

17對數及其應用

配合 CH10 透視三至五33 / /

1 2 3 4 5 6 7 816

9 10 11 12 13 14 15

18排 列配合 CH11 透視一至二

35 / /1 2 3 4 5 6 7 8

179 10 11 12 13 14 15

19組合與二項式定理

配合 CH11 透視三至四37 / /

1 2 3 4 5 6 7 818

9 10 11 12 13 14 15

20機 率配合 CH12 透視一至六

39 / /1 2 3 4 5 6 7 8

199 10 11 12 13 14 15

21統 計配合 CH12 透視七至十

41 / /1 2 3 4 5 6 7 8

199 10 11 12 13 14 15

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次

預定

日期

完成

日期

勾選不熟的題號

（★ 表進階題）

詳解

頁次

22圓

配合 CH13 透視一至三43 / /

1 2 3 4 5 6 7 820

9 10 11 12 13 14 15

23拋物線

配合 CH13 透視四45 / /

1 2 3 4 5 6 7 821

9 10 11 12 13 14 15

24橢 圓配合 CH13 透視五

47 / /1 2 3 4 5 6 7 8

229 10 11 12 13 14 15

25雙曲線

配合 CH13 透視五49 / /

1 2 3 4 5 6 7 823

9 10 11 12 13 14 15

26函數的極限與連續

配合 CH14 透視一至二51 / /

1 2 3 4 5 6 7 824

9 10 11 12 13 14 15

27多項式函數的導數與導函數、微分

公式

配合 CH14 透視三至四

53 / /1 2 3 4 5 6 7 8

259 10 11 12 13 14 15

28微分的應用

配合 CH14 透視四至五55 / /

1 2 3 4 5 6 7 826

9 10 11 12 13 14 15

29數列的極限與無窮等比級數

配合 CH15 透視一57 / /

1 2 3 4 5 6 7 827

9 10 11 12 13 14 15

30不定積分與定積分

配合 CH15 透視二至四59 / /

1 2 3 4 5 6 7 828

9 10 11 12 13 14 15

★ ★

★

★ ★ ★

★ ★ ★

★

★ ★ ★

★

★ ★ ★

★

★ ★ ★

★

★ ★

★ ★

★ ★

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

�

C 1

A ( a , b ) B ( ab , b )

A ( a , b ) a 0 b 0 a 1 b 2ab 2 0 b 2 0 B ( ab , b ) ( 2 , 2 )

a b ( a b 5 )2 | 2a b 2 | 0 P ( a b , ab )

a ba b

5 02 2 0− + =+ − =

'ab

14

=−=

'a bab

34

+ ==−

' P ( 3 , 4 )

TABC A ( 1 , 2 ) B ( 3 , 3 ) C ( 3 , 1 ) AB

226

271

2101 26

AB ( ( ) ( ) , ( ) )M2

1 32

2 3− + − + − ( , )M 221

[ ( )] [( ) ( )]CM 3 2 121 25

41

4101

21012 2= − − + − − − = + = =

A ( 4 , 6 ) B ( 1 , 9 ) C ( a , 7 ) D ( 2 , b ) ABCD a b7 1 1 7 ABCD A C B D ( 4 a , 6 7 ) ( 1 2 , 9 b ) a 3 b 4

a b 7

TABC G ( 4 , 4 ) B ( 3 , 2 ) C ( 14 , 8 ) AG 17 13 10 5 A ( a , b ) ( ( ) , ) ( , )G a b

33 14

32 8 4 4+ − + + + = A ( a , b ) ( 1 , 2 )

( ) ( )AG 4 1 4 2 132 2= − + − =

A B C A ( 1 , 2 ) B ( 1 , 5 ) C ( 4 , 6 ) TABC 3 5 10 83 8 10 14

( ) ( )AB 1 1 5 2 0 3 32 2 2 2= − + − = + = ( ) ( )BC 4 1 6 5 3 1 102 2 2 2= − + − = + =

( ) ( ) 5AC 4 1 6 2 3 42 2 2 2= − + − = + = 3 5 8 1010= + + = +

A ( 4 , 4 ) B ( a , b ) C ( 1 , 1 ) AB 3 2BC ACB

( , )32

32 ( , )

43

43 ( , )

54

54 (1, 1)

3 2 ( 4)

3 2 4C

a

b

13 2

13 2

# #

# #

− =+

+ −

=++*

ab

5 3 85 3 8− = −= +

)ab

11

==−

) B ( 1 , 1 )

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

a b f ( x ) ax b f ( 1 ) 2 f ( 2 ) 5 f ( 1 )4 3 0 5

f ( 1 ) a 1 b a b 2 f ( 2 ) a 2 b 2a b 52a a 5 2 a 3 b 2 a 2 3 1

f ( x ) ax b 3x 1 f ( 1 ) 3 ( 1 ) 1 4

( )f xxx2 1

3 12− =+

f ( 3 )

73

74

75

76

2x 1 3 x 2 ( )3 2 12 2

74f 3

#

#=+

=

y x2 2x 3 A x B C TABC12 8 6 4 y ( x2 2x 12 ) 3 12 ( x 1 )2 4 A ( 1, 4 )

xy x xy

2 30

2= − −=

) x2 2x 3 0

( x 3 ) ( x 1 ) 0 x 3 x 1 B C ( 3 , 0 ) ( 1 , 0 )

( ) 4 4ABC21 4 3 1

21 8# # # #T = − − − = =

f ( x ) ax2 bx c ( 1 , 3 ) ( 2 , 6 ) a b c f ( x ) a ( x 1 )2 3 ( 2 , 6 ) a ( 2 1 )2 3 9a 3 6 a 1

f ( x ) ( x 1 )2 3 x2 2x 2 a b c 1

k f ( x ) x2 ( k 2 ) x ( 2 k ) x k f ( x ) x f ( x ) x

D 0

2

)1 0 ( k 2 )2 4 1 ( 2 k ) 0

k 2 4 0 ( k 2 ) ( k 2 ) 0 2 k 2 k 1 , 0 , 1

1 # x # 4 y f ( x ) | x 2 | M m

f ( x ) | x 2 |2 2

2x x

x x 2<$−

− +)

f ( 2 ) 0 f ( 4 ) | 4 2 | 2 M 2 m 0

f ( x ) x2 ( k 2 ) x 1 x k k x2 ( k 2 ) x 1 0 D b2 4ac 0 ( k 2 )2 4 ( 1 ) ( 1 ) 0

k 2 4k 0 k ( k 4 ) 0 0 k 4 k 1 2 3

f ( x ) ax2 bx ca 0 b 0 c 0a b c 0 b2 4ac 0 a 0 x

ab2

0>= − a 0 b 0

y ( 0 , c ) x c 0( 1 , f ( 1 ) ) ( 1 , a b c ) a b c 0x ax2 bx c 0 D b2 4ac 0

y

xB ( 3 , 0 )C (−1 , 0 )

A ( 1 ,−4 )

0 1 2 3 4 5x

y

(4 , 2)(1 , 1)(2 , 0)

x

y

1

y= ax2+ bx+ c

0−1

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

�

C 2

L AB L mm

m41

25

# # 4m52

# # m41

52

# # 4m25

# #

OA m4 01 0

41

OA = −− = OB m

2 05 0

25

OB = −− =

L OA OB m41

25

# #

A ( 1 , 0 ) B ( 2 , 1 ) C ( 0 , 1 ) i1 AB i2 AC

i1 90 i2 90 i2 i1 90 i1 i2 90 1 tanm

2 11 0

AB 1i=−− = = i1 45 90 1 tanm

0 11 0

AC 2i=−− =− = i2 135 90

i2 i1 90

A ( 2 , 1 ) B ( 6 , 3 ) C ( k , 5 ) k8 10 12 14 mAB mAC k6 2

3 12

5 1−− =

−−

k42

24=−

k 2 8 k 10

L1 y m1x b1 L2 y m2x b2

m1 0 b1 0 m1 0 b1 0 m2 0 b2 0 m2 0 b2 0 L1 m1 0 L2 m2 0

y b1 b2 0

a b c L ax by c 0 L 6r a b

1 2 12 1 3 3 1 L m

ba

ba=−

−= m tani tan

ba

6 31r 1a b 3

P ( a , 1 ) Q ( 1 , b ) P L 3x 4y 2 PQ L a b7 9 11 13 P ( a , 1 ) 3x 4y 2 3 a 4 1 2 a 2

( )m

ab b1

13

1PQ = − −

− = − L

m4

343=−

−= LPQ = 1m mPQ # =− ( ) ( ) 1b

31

43

#− =− b 5 a b 7

a b A B ( a , 1 ) ( b , 3 ) AB

2x y 4 2a b1 2 1 2 2x y 4 AB m mAB 1 ( 2) ( ) 1

a b1 3

#−−− =− a b 4

AB ( , )M a b2 2

1 3 ( , 2)M a b2

2x y 4 2( ) 4a b2

2+ + = a b 2

a 1 b 3 2a b 2 ( 1 ) 3 1

xO

yB (2 , 5)

A (4 , 1)

x

y

L1L2

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

( 2 , 1 ) 1x y3 4+ =

3x 4y 9 3x 4y 10 4x 3y 9 4x 3y 10 0x y k

41

31− + = ( 2 , 1 ) 2 ( 1) 0k

41

31

# #− − + = k65= −

0x y41

31

65− − =

123x 4y 10

L1 L2 yy m1 x b1 y m2 x b2

m1 m2 b1 b2 m1b1 m2b2 | m1 | b2 | m2 | b1 y b1 b2 0 L1 L2 m1 m2 0

m1 m2 0 b1 b2 0 m1 m2 m1b1 m2b1 m2b2

| m1 | | m2 | 0 | m1 | b2 | m2 | b2 | m2 | b1

L ( 1 , 3 ) x yL

x y 2 x y 2 2x 2y 1 x y 2 TAOB

a 0

La

xay 1

−+ = ( 1 , 3 ) 1

a a1 3−

+ = a2 1 a 2

L x y2 2

1−

+ = x y 2

A ( 1 , 1 ) B ( 2 , 3 ) C ( 4 , 2 ) TABC BC

LA m

L BCA = ( )m4 2

2 325

BC = −− − = 1m mBC =−$ 1m

25 =−$ m

52=−

LA 1 ( ) ( 1)y x52

#− = − − 2x 5y 7 0

L1 ax by 1 L2 3x 2y 1 L1 x 3 a b L1 2x 3y k 0 ( 3 , 0 ) 2 ( 3 ) 3 0 k 0 k 6

L1 2x 3y 6 0 x y31

21 1− + = ( )

61a b

31

21+ = − + =

L 5x 3y 2 0 x y 6 L

L 3x 5y k 0 x k3

y k5

k k3 5

6− + =− k15

2 6− =− k 45 L 3x 5y 45 0

a 4x ( 3 2a ) y a 5 a x y 0

x 0a4

5$ y 0

aa

3 25

$+− ( a 5 ) ( 3 2a ) $ 0 a

23

! a 5 $ 0 a $ 5

k L1 x y 2 0 L2 2x y 4 0 L3 y kxk

L3 L1 L2 Px y

x y2 4 0

2 0+ − =+ + =

) P ( 6 , 8 ) L3 k34= −

/L L3 1/ m3 m1 k11 1=− =− /L L3 2/ m3 m2 k

12 2=− =−

k 1 2

x

y

0

L1

L2

y= m1x+ b1

y= m2x+ b2

a

O

AB

L

x

y

−a

( 1 , 3 )

C

1

1

A ( a , b )a 0 b 0 a 1 b 2ab 2 0 b 2 0B ( ab , b ) ( 2 , 2 )

a ba b

5 02 2 0− + =+ − =

'ab

14

=−=

'a bab

34

+ ==−

'

P ( 3 , 4 )

AB ( ( ) ( ) , ( ) )M2

1 32

2 3− + − + −

( , )M 221

[ ( )] [( ) ( )]CM 3 2 1212 2= − − + − − −

2541

4101

2101= + = =

ABCD A C B D

( 4 a , 6 7 ) ( 1 2 , 9 b ) a 3 b 4a b 7

A ( a , b ) ( ( ) , ) ( , )G a b33 14

32 8 4 4+ − + + + =

A ( a , b ) ( 1 , 2 )

( ) ( )AG 4 1 4 2 132 2= − + − =

( ) ( )AB 1 1 5 2 0 3 32 2 2 2= − + − = + =

( ) ( )BC 4 1 6 5 3 1 102 2 2 2= − + − = + =

( ) ( ) 5AC 4 1 6 2 3 42 2 2 2= − + − = + =

3 5 810 10= + + = +

3 2AC BC

3 2 ( 4)

3 2 4C

a

b

13 2

13 2

# #

# #

− =+

+ −

=++*

ab

5 3 85 3 8− = −= +

)

ab

11

==−

) B ( 1 , 1 )

f ( 1 ) a 1 b a b 2 f ( 2 ) a 2 b 2a b 5

2a a 5 2 a 3b 2 a 2 3 1

f ( x ) ax b 3x 1 f ( 1 ) 3 ( 1 ) 1 4

2x 1 3 x 2 (3)f3 2 12 2

74

#

#=+

=

y ( x2 2x 12 ) 3 12 ( x 1 )2 4

A ( 1, 4 )

xy x xy

2 30

2= − −=

)

x2 2x 3 0( x 3 ) ( x 1 ) 0

x 3 x 1 B C ( 3 , 0 ) ( 1 , 0 )

( ) 4 4 8ABC21 4 3 1

21

# # # #T = − − − = =

1f ( x ) a ( x 1 )2 3 ( 2 , 6 )

a ( 2 1 )2 3 9a 3 6 a 1f ( x ) ( x 1 )2 3 x2 2x 2 a b c 1

1 , 0 , 1f ( x ) x f ( x )

xD 0

2

)1 0 ( k 2 )2 4 1 ( 2 k ) 0

k 2 4 0 ( k 2 ) ( k 2 ) 02 k 2 k 1 , 0 , 1

2 0

f ( x ) | x 2 |2 2

2x x

x x 2<$−

− +)

f ( 2 ) 0f ( 4 ) | 4 2 | 2M 2 m 0

1 2 3x2 ( k 2 ) x 1 0

D b2 4ac 0 ( k 2 )2 4 ( 1 ) ( 1 ) 0k 2 4k 0 k ( k 4 ) 0 0 k 4

k 1 2 3

a 0

xab2

0>= − a 0 b 0

y ( 0 , c ) x c 0( 1 , f ( 1 ) ) ( 1 , a b c )a b c 0xax2 bx c 0D b2 4ac 0

2

OA m4 01 0

41

OA = −− =

OB m2 05 0

25

OB = −− =

L OA OB

m41

25

# #

y

xB ( 3 , 0 )C (−1 , 0 )

A ( 1 ,−4 )

0 1 2 3 4 5x

y

(4 , 2)(1 , 1)(2 , 0)

C

2

m1 m2 0b1 b2 0m1 m2 m1b1 m2b1 m2b2

| m1 | | m2 | 0 | m1 | b2 | m2 | b2 | m2 | b1

TAOB

a 0

La

xay 1

−+ = ( 1 , 3 )

1a a

1 3−

+ = a2 1

a 2

L x y2 2

1−

+ = x y 2

2x 5y 7 0LA m

L BCA = ( )m4 2

2 325

BC = −− − =

1m mBC =−$ 1m25 =−$ m

52=−

LA 1 ( ) ( 1)y x52

#− = − −

2x 5y 7 0

61

L1 2x 3y k 0 ( 3 , 0 )2 ( 3 ) 3 0 k 0 k 6L1 2x 3y 6 0

x y31

21 1− + = ( )a b

31

21

61+ = − + =

3x 5y 45 0L 3x 5y k 0 x k

3y k

5

k k3 5

6− + =− k15

2 6− =− k 45

L 3x 5y 45 0

a $ 5

x y 0

x 0a4

5$ y 0

aa

3 25

$+−

( a 5 ) ( 3 2a ) $ 0 a23

! a 5 $ 0

a $ 5 1 2

L3 L1 L2 Px y

x y2 4 0

2 0+ − =+ + =

)P ( 6 , 8 ) L3 k

34= −

/L L3 1/ m3 m1 k11 1=− =−

/L L3 2/ m3 m2 k12 2=− =−

k 1 2

a

O

AB

L

x

y

−a

( 1 , 3 )

1 tanm

2 11 0

AB 1i=−− = = i1 45 90

1 tanm0 11 0

AC 2i=−− =− = i2 135 90

i2 i1 90

mAB mAC k6 23 1

25 1

−− =

−−

k42

24=−

k 2 8 k 10

L1 m1 0 L2 m2 0

yb1 b2 0

L m

ba

ba=−

−=

m tani tanba

6 31r

1a b 3

P ( a , 1 ) 3x 4y 2 3 a 4 1 2a 2

( )

ma

b b1

13

1PQ = − −

− = − L

m4

343=−

−= LPQ = 1m mPQ # =−

( ) ( ) 1b3

143

#− =− b 5 a b 7

2x y 4 AB m mAB 1

( 2) ( ) 1a b1 3

#−−− =− a b 4

AB ( , )M a b2 2

1 3

( , 2)M a b2

2x y 4

2( ) 4a b2

2+ + = a b 2

a 1 b 3 2a b 2 ( 1 ) 3 1

0x y k41

31− + = ( 2 , 1 )

2 ( 1) 0k41

31

# #− − + = k65= −

0x y41

31

65− − =

123x 4y 10

yb1 b2 0L1 L2

m1 m2 0

x

y

L1L2

( 0 , b2 ) ( 0 , b1 )

x

y

0

L1

L2

y= m1x+ b1

y= m2x+ b2

( 0 , b1 )= ( 0 , b2 )