1 arma model let ε t be white noise process, z t be a stationary series. white noise : 純雜訊 ε...
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ARMA model
Let εt be white noise process, Zt be a stationary series.
white noise : 純雜訊 εt ~ NID( 0, σ2)
ARMA model 又稱為 Box-Jankin model ， 1970 年代推出，用來配適時間序列中的不規則震盪，適用於 Stationary series ，可解釋序列中的自相關現象。
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AR(p), Autoregressive model with order p is defined as
tptptt ZZZ ...11
...11 qtqtttZ
MA(p), Movingaverage model with order q is defined as
ARMA(p,q), Autoregressive and movingaverage with order (p,q) is defined as
...... 1111 qtqttptptt ZZZ
註： δ 是一 constant ， 並不一定是 μ
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註：1 、 AR(p) model 可以下列式表示 (assume δ=0) ：
(B) or Z ,)...1( tt1 tq
qt BBZ
ity)(stationar 0)(
(B) or Z (B)Zor )...1( 1tt1
滿足平穩性之根需在單位圓外，始
B
ZBB ttttp
p
)()(
t Zor, )()( BB
tt BZB
2 、 MA(q) model 可以下列式表示：
3 、 ARMA(p,q) model 可以下列式表示：
)(B
)(B
是 B 的 p 次多項式，
是 B 的 q 次多項式，
lity)(invertibi 0)( 滿足可逆性之根需在單位圓外，始 B
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MA(q) model
),0(~ )(... 2t11 NBZ tqtqttt
qkk
q
q
for ,0)...1(
.............)...1(
...
221
221
12111
Zt 之變異數及自相關係數：222
12 )...1( qZ
Movingaverage with order q:
由此得到參數估計量
註： For MA(q) model ， μ=δ
5
Zt 偏自相關係數 (partial autocorrelation)：
.............
21
212
122
111
For MA model ， ACF cuts off after lag q, PACF dies down.
6
MA(1) model
2for ,0)1(
:ACF
k
21
11
k
0 112
11
1|| ,)1( 1111 tttt BZ
}1/{}1{
:)1(2
12
11 kk
kk
PACF
由此得到估計量
theta 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 -0.1 -0.3 -0.5 -0.7 -0.9
Rho_1 -0.50 -0.47 -0.40 -0.28 -0.10 0.10 0.28 0.40 0.47 0.50
phi_11
-0.50 -0.47 -0.40 -0.28 -0.10 0.10 0.28 0.40 0.47 0.50
phi_22
0.33 0.28 0.19 0.08 0.01 0.01 0.08 0.19 0.28 0.33
phi_33
-0.24 -0.19 -0.09 -0.02 0.00 0.00 0.02 0.09 0.19 0.24
phi_44
0.19 0.13 0.05 0.01 0.00 0.00 0.01 0.05 0.13 0.19
7
8
, 2211 ttttZ MA(2) model
3for ,0)1(
)1(
:
k
22
21
22
22
21
2111
k
ACF
由此得到參數估計
量
9
10
AR(p) model
, ....., kkppkk 21for , ...11
Autoregressive with order p
tt
tptptt
B
ZZZ
)( Z Z(B) ,0
,...1
tt
11
此模式滿足平穩性的條件：係數使得方程式 的根在單位圓外
2221
2 )...1( qZ
Variance for AR(p) model
Autocorrelation for AR(p) model
0)( B
11
Partial Autocorrelation for AR(p) model
...
..........
, ...
, ...
112211
2132112
1231211
ppppp
pp
pp
稱為 Yule-Walker 等
式 , 由此得到估計量
1for ,0 .......
,
22
212
1
22
111
p kkk
For AR model ， ACF dies down, PACF cuts off after lag p.
12
1||
B)Z-(1or , :)1(
1
t111
tttt ZZAR
Stationarity 之條件
ACF 呈指數下降，或波動下降； PACF 在 k=2 處切斷
2for 0 , :
, :
111
1k11
kPACF
ACF
kk
k
11̂ 估計量：
註： AR(1) 過程又稱為馬可夫過程 (Markov process)
........ ,0 ,8.0
,)8.0( ,8.0
2211
1
k
k
例： Zt = 6 - 0.8 Zt-1 + εt
13
14
之根在單位圓外 (B)
B-B-1 (B) , :)2( 2212211
tttt ZZZAR
Stationarity 之條件
Yule-Walker 等式 :2112
1211
2
21
2
1
1
22
1
1
3for ,0 , , 222111 k φkk
例： Zt = Zt-1 - 0.6Zt-2 + εt
...... ,35.0 ,025.0
0 ,66.0 ,625.0
32
22111
kk
15
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ARMA(p,q) model
,...... 1111 ptptqtqttt ZZZ
若 q<= p ，則 ACF 遞減 (damped exponentially or sine-wave) 若 q > p ，前面 q-p+1 個 p 和其它的 p 呈二段式遞減
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1|| 1,|| ,
:)1,1(
111111 tttt ZZ
ARMA
2k ,
,
11
2-1
))(1(1
1
112
1
1111
kk
ACF 與 PACF 皆漸漸消失型 (damped exponentially or sine-wave)
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Table Behavior of the acf and pacf for ARMA model
Model acf Pacf
MA(q) 時差 q 之後切斷 指數或正弦函數式漸漸消失
AR(p) 指數或正弦函數式漸漸消失 時差 p 之後切斷
ARMA(p,q) 指數或正弦函數式漸漸消失 指數或正弦函數式漸漸消失