บทที่ 12 ทฤษฎีสัมพัทธภาพ

ประวัติ เกิด วันที่ 14 มีนาคม ค.ศ.1879 ที่เมืองอูลม (Ulm) ประเทศเยอรมนี เสียชีวิต วันที่ 18 มิถุนายน ค.ศ.1955 ที่เมืองนิวเจอรซี่ ประเทศสหรัฐอเมริกา ผลงาน - คนพบทฤษฎีสัมพัทธภาพ (Theory of Relativity) - คนพบทฤษฎีการแผรังสี (Photoelectric Effect Theory) - ไดรับรางวัลโนเบล สาขาฟสิกส ในป ค.ศ.1921

ในบรรดานักวิทยาศาสตรในชวงศตวรรษที่ 19-20 ไอนสไตนถือวาเปนนักวิทยาศาสตรที่มีชื่อเสียงมากที่สุด และอาจกลาวไดวา เขาคือผูยุติสงครามโลกครั้งที่ 2 ดวยระเบิดปรมาณูอันทรงอานุภาพแหงการทําลายลาง เมื่อสงครามโลกครั้งที่ 2 เกิดขึ้น ไอนสไตน ไดสงจดหมายฉบับหนึ่งถึงประธานาธิบดี แฟรงคลิน ดี. รูสเวลท คลิกอานตอครับ

12-1 สัจพจนของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

12-1-1 เหตุการณบนกรอบนิ่ง

กรอบเฉื่อยบนเครื่องบิน

กรอบเฉื่อยบนพื้นโลก

นาฬิกา

รูป 12-1 ผูสังเกตบนกรอบเฉื่อยของแตละคน

การปลอยกระสวยอวกาศ ดังรูป 12-1 มีผูสังเกตอยู 2 คน กําลังจองดูการปลอยกระสวย คนแรกยืนอยูที่พ้ืน และอีกคนหนึ่งยืนสังเกตอยูบนเครื่องบินซึ่งกําลังบินดวยความเร็วคงที่เมื่อเทียบกับโลก ผูสังเกตแตละคนจะใชกรอบอางอิงซึ่งประกอบดวย แกน x , y และแกน z (เรียกวา กรอบพิกัดฉาก) และนาฬิกาที่เดินอยูบนกรอบของตนเ

อง

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-2

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษจะสังเกตอยูบนกรอบพิเศษท่ีเรียกวากรอบเฉื่อยหรือกรอบนิ่ง (inertial frame) ซึ่งก็ คือกรอบที่กฎขอท่ีสองของนิวตันยังคงใชอธิบายได เพราะแรงสุทธิที่กระทํากับวัตถุเปนศูนย คือวัตถุอยูนิ่งหรือไมก็เคล่ือนที่ดวยความเร็วคงที่ กรอบที่หมุนหรือเคล่ือนที่โดยมีความเรงจึงไมใชกรอบเฉ่ือย อยางไรก็ตามกรอบที่ใชพ้ืนโลกเปนหลัก ดังรูป 12-1 ไมใชกรอบเฉื่อยที่สมบูรณ เพราะโลกหมุนรอบตัวเองและหมุนรอบดวงอาทิตย จึงมีความเรงเขาสูศูนยกลาง แตความเรงคอนขางนอย และโลกมีขนาดคอนขางใหญ เราสามารถตัดผลของความเรงทิ้งได ดังนั้นถาเราใหโลกเปนกรอบเฉื่อย เครื่องบินที่บินดวยความเร็วคงที่เทียบกับโลกถือวาเปนกรอบเฉื่อยดวย ตอไปเราจะอธิบายความเร็วสัมพัทธในกรอบเฉื่อยอยางละเอียดกัน

12 -1-2 สัจพจนของทฤษฎีสัมพัทธภาพ

ไอนสไตน ไดสรางทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษบนสมมติฐาน 2 ขอ หรือเรียกวา สัจพจน ดังนี้ 1. สัจพจนสัมพัทธ กฎของฟสิกสเปนจริงทุก ๆ กรอบเฉื่อย 2. สัจพจนของความเร็วแสง อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศที่วัดในกรอบเฉื่อย จะมีคา

เทากัน ไมวาสภาวะการเคลื่อนที่จะเปนอยางใดทั้งส้ิน . กฎของฟสิกสใชไดกับกรอบเฉื่อยทุกกรอบ ยังไมมีการทดลองใดที่แยงไดวา การวัดบนกรอบนิ่งหรือกรอบท่ีเคล่ือนที่ดวยความเร็วคงที่สัจจพจนขอท่ีหนึ่งจะไมเปนจริง เมื่อผูสังเกตอยูบนเครื่องบิน จะ รูสึกวาตัวเองอยูนิ่ง เพราะเครื่องบินไมมีความเรง อยางไรก็ตาม เครื่องบินไมใชกรอบเฉื่อยที่สมบูรณ เรา ไมมีทางพูดไดวา กรอบนี้เปนกรอบเฉื่อยที่สมบูรณเมื่อเทียบกับพ้ืนโลก เพราะโลกของเรานั้นก็ยังไมใชกรอบเฉ่ือยหรือกรอบที่อยูนิ่งจริง เราทราบกันดีอยูแลววาโลกของเราหมุนรอบดวงอาทิตย และสุริยจักรวาลของเราก็ยังหมุนอยูรอบกาแลกซี่ และกาแลกซี่ของเรานั้นก็ยังหมุนอยูรอบกาแลกซี่อื่น ไอนสไตนจึงเชื่อวาไมมีความเร็วสมบูรณ มีแตความเร็วสัมพัทธเทานั้น

ผูสังเกตบนพื้นโลก

รูป 12-2 ผูสังเกตยืนอยูบนพ้ืน เห็นรถกระบะกําลังวิ่งเขามา และมคีนสองไฟฉายอยูบนรถ

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-3

พิจารณารูป 12-2 เปนรูปของผูสังเกตยืนอยูบนรถกระบะที่เคล่ือนที่ดวยความเร็วคงที่ 15 m/s เทียบกับพ้ืน สมมติใหคุณยืนอยูบนพ้ืน และคนที่ยืนอยูบนรถกระบะสองไฟฉายมาที่ตัวคุณ คนบนรถกระบะจะวัดอัตราเร็วของแสงไดเทากับ สวนตัวคุณละจะวัดอัตราเร็วของแสงไดเทาไร แนนอนคุณจะตองคิดไปวาอัตราเร็วของแสงควรจะเปน + 15 m/s ถาอยางนั้นสัจพจนขอท่ีสองก็จะไมเปนจริง เพราะสัจพจน ขอท่ีสองเขียนไววา ผูสังเกตทุกคนในกรอบเฉื่อยจะวัดอัตราเร็วของแสงไดเทากันหมดคือ ไมมากหรือนอยกวานี้ เพราะฉะนั้น คุณก็ตองวัดอัตราเร็วของแสงไดเทากับ เชนเดียวกันกับคนที่อยูบนรถกระบะ จาก สัจพจนของแสง การเคลื่อนที่ของไฟฉายไมมีผลอะไรกับความเร็วแสงเลย ซึ่งขัดกับความเขาใจพื้นฐานในเรื่องความเร็วสัมพัทธที่ไดเคยศึกษากันมากอน แตการทดลองไมวาที่ใดก็ตามสามารถพิสูจนสัจพจนนี้วาเปนจริง

cc

cc

การทดลองเสมือนจริง

ตัวกําเนิดแสงเลเซอรตั้งอยูดานหนึ่งของโตะ เหนือจากพื้นโตะประมาณ 8-10 นิ้ว เปดสวิทซใหแสงเลเซอรฉายไปยังกระจกแยกลําแสง (BS) ซึ่งจะแยกลําแสงออกเปน 2 แนว โดยลําแสงลําแรก ทะลุผานไปยังกระจก M2 สวนลําที่สองสะทอนเปนมุม 90 องศาไปยังกระจก M1 ระยะทางจากกระจก BS ไปยังกระจก M1 และ M2 เทากัน คลิกเขาสูการทดลอง

Interferometer ชนิดไมเคลสัน เปนอุปกรณทางแสงใชวัดการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ ได เชนการเลื่อน

ตําแหนงที่นอยมากๆ ซึ่งใชศึกษาการสั่นไหว หรือจะเปนการเปลี่ยนแปลงอยางอื่นก็ได เชนอุณหภูมิ

ความเร็วในการไหลของอากาศ ความหนาของฟลมที่เคลือบกระจก

(Michelson-Morley Experiment)

การทดลองของไมเคิลสัน และมอรเลย

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-4

เพราะวาคล่ืนทุกประเภทไมวาจะเปนคล่ืนน้ําและคล่ืนเสียง ตองการตัวกลางในการกระจายพลังงานออกไป จึงเปนเรื่องธรรมดาที่นักวิทยาศาสตรทั่วไปจะสรุปไดวา คล่ืนแสงก็เปนเชนเดียวกับคล่ืนน้ํา โดยจินตนาการตัวกลางที่คล่ืนแสงใชในการเคลื่อนที่และเรียกวาอีเธอร (ether) ซึ่งเชื่อวามีอยูเต็มในอวกาศ และใหแสงเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็ว เมื่อวัดเทียบกับอีเธอร ภายใตสมมติฐานนี้ ผูสังเกตที่เคล่ือนที่สัมพัทธกับ อีเธอรจะวัดอัตราเร็วของแสงไดชาหรือเร็วกวา ขึ้นอยูวาผูสังเกตคนนั้นจะเคล่ือนที่อยางไรเมื่อเทียบกับแสง ระหวางป ค.ศ. 1883 –1887 นักวิทยาศาสตรชาวอเมริกา เอ เอ. ไมเคิลสัน และ อี.ดับบลิว มอรเลย ไดทําการทดลองที่ยิ่งใหญ และทําใหทานทั้งสองโดงดังไปทั่วโลก ซึ่งผลปรากฎออกมาวาอัตราเร็วของแสงคงที่ทุก ๆ กรอบเฉื่อยไมขึ้นกับการเคลื่อนที่ของผูสังเกต การทดลองนี้ไดทําใหความเชื่อเรื่องอีเธอรคอย ๆ จางหายไป และยอมรับทฤษฎีสัมพัทธภาพมากขึ้น

cc

แนวคิด 1. ชวงเวลา 2. ความยาว 3. โมเมนตัม 4. พลังงานจลน 5. ความเร็วสัมพัทธ

ถา v << c

ยุคใหม

ยุคเกา

ใช

ไมใช

รูป 12-3 ภาพแสดงการเปรียบเทียบความเร็ว กับความเร็วแสง v c เพ่ือหาผลของสัมพัทธภาพที่มีตอวัตถุกําลังเคล่ือนที่

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-5

จากจุดนี้ เราจะเริ่มเขาสูฟสิกสยุคใหมที่แตกตางจากฟสิกสยุคเดิม โดยใชทฤษฎีสัมพัทธภาพ เขาไปอธิบาย เวลา, ความยาว, โมเมนตัม และพลังงาน จากรูป 12-3 แสดงใหเห็นวาเมื่อวัตถุเคล่ือนที่ชา ( ) คือความเร็วของวัตถุนอยกวาความเร็วแสงมาก ๆ ผลของสัมพัทธภาพมีนอยมาก แนวคิดของฟสิกสยุคเดิมยังคงอธิบายไดอยางถูกตอง อยางไรก็ตามเมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ดวยความเร็ว ที่มาก จนเกือบเทากับความเร็วแสง ผลของสัมพัทธภาพจะมีมากตามขึ้นไปดวย ในกรณีนี้รูป 12-3 แสดงใหเห็นถึงสมการตาง ๆ ที่ใชเมื่อมีผลของสัมพัทธภาพเขามาเกี่ยวของ ซึ่งเราจะอธิบายถึงสมการพวกนี้ อีกครั้งในภายหลัง การพิสูจนวาสมการสัมพัทธภาพเปนจริง ไมไดหมายความวาความคิดของนิวตันผิด เพราะความคิดของนิวตันยังคงใชไดที่อัตราเร็วต่ํา ๆ อยางไรก็ตามที่ความเร็วสูงไมสามารถใชได แตสําหรับทฤษีสัมพัทธภาพสามารถอธิบายไดกวางขวางยิ่งกวา คือใชไดตั้งแตวัตถุอยูนิ่งจนถึงความเร็วของแสงเลยทีเดียว

v c<<v

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ทฤษฎีแหงสัมพัทธภาพ มีตนกําเนิดมาจากพฤติกรรมแปลกๆ ของแสง กลาวคือ ในตอนแรกนักวิทยาศาสตรตางพยายามหาอัตราเร็วของแสง เมื่อหาไดแลวก็หันมาพิจารณาถึงตัวกลางที่แสงเดินทางผาน บรรดานักวิทยาศาสตรตองพบกับความฉงน และดวยความฉงนดังกลาวนี้ที่ทําใหเกิดความคิดอันเปนพ้ืนฐานของทฤษฎีแหงสัมพัทธภาพ มีตอ

12-2 การหดสั้นของความยาวและการยืดของชวงเวลา 12-2-1 เวลาที่ยืดยาวขึ้น

เครื่องบันทึกสัญญาณ

กระจก

คล่ืนแสง

แหลงกําเนิดแสง

ดีเทคเตอร

คล่ืนสัญญาณ

รูป 12-4 นาฬิกาแสง

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-6

การทดลองพิสูจนใหเห็นวา เวลาสําหรับผูสังเกตที่ยืนอยูบนพ้ืน เดินไดเร็วกวาเวลาของนักบินอวกาศที่เคล่ือนที่ดวยความเร็วคงที่ ซึ่งตรงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ เพ่ือจะพิสูจนความจริงในขอนี้เราจะใชนาฬิกาแสงดังรูป 12-4 โดยใหคล่ืนแสงถูกปลอยจากแหลงกําเนิดแสงเปนชวงคล่ืนส้ัน ๆ ไปสะทอนกับกระจกดานบนกลับมาที่ตัวดีเทคเตอร แตละครั้งที่ลูกคลื่นของแสงมาถึงดีเทคเตอร เครื่องบันทึกจะทําการบันทึกสัญญาณเอาไว ลูกคลื่นใหมถัดไปจะถูกปลอยออกไปอีก และเครื่องบันทีกจะทําการบันทึกเปนชวง ๆ ไป ชวงเวลาระหวางลูกคลื่นแตละลูกคือเวลาของเหตุการณแรก (ปลอยลูกคลื่นออกจากแหลงกําเนิด) ถึงเหตุการณสุดทาย (ลูกคลื่นกระทบกับดีเทคเตอร) ใหแหลงกําเนิดแสงกับตัวดีเทคเตอรอยูใกลกันและอยูในระดับเดียวกัน จนเหตุการณทั้งสองถือวาเกิดขึ้นที่เดียวกัน นํานาฬิกาแสงตัวแรกไปตั้งไวบนพ้ืนโลก และตัวที่สองไปตั้งไวบนยานอวกาศ ซึ่งกําลังเคล่ือนที่ดวยความเร็วคงที่เทียบกับโลก นักบินบนยานอวกาศใหถือวาอยูนิ่งเมื่อเทียบกับนาฬิกาและยานอวกาศ ดังรูป 12-5a พวกเขาสามารถคํานวณหาชวงเวลา otΔ ไดโดยการหารระยะทาง 2D ดวยความเร็วแสง

; : คือเวลาเริ่มตนและส้ินสุดของเหตุการณบนยานอวกาศ สังเกตจากนักบินอวกาศ c otΔ = 2 /D c otΔ

ขณะเดียวกันผูสังเกตที่อยูบนโลกจะวัดเวลาบนยานอวกาศไมไดเทากับ เพราะวายานอวกาศเคลื่อนที่ ผูสังเกตบนพื้นโลกจะเห็นคลื่นแสงบนยานอวกาศเคลื่อนที่เปนเสนทแยงมุม (เสนสีแดง) ดังรูป 12-5 b เสนทางนี้จะยาวกวาเสนทางการเคลื่อนที่ของแสงที่นักบินอวกาศมองเห็นในยานอวกาศของเขา แตวาแสงเคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ ไมวาผูสังเกตทั้งสองจะเคลื่อนที่ดวยความเร็วเทาไรก็ตาม เปนไปตามสัจพจนขอท่ีสองของไอนสไตน ดังนั้นผูสังเกตบนโลกจะวัดชวงเวลาได

otΔ

ctΔ ซึ่งจะยาวกวา

ที่วัดไดโดยนักบินอวกาศ เมื่อผูสังเกตบนโลกใชนาฬิกาแสงที่ตั้งอยูบนโลกเทียบกับนาฬิกาของนักบินอวกาศ จะพบวานาฬิกาของนักบินอวกาศชาลง ผลอันนี้ทฤษฎีสัมพัทธภาพเรียกวา เวลาที่ยืดยาวขึ้น

otΔ

นักบินอวกาศ

ผูสังเกตบนโลก

เหตุการณเร่ิมตน เหตุการณสุดทาย

รปู 12-5 a) นักบินวัดชวงเวลา otΔ ของนาฬิกาตั้งอยูในยานอวกาศ

b) ผูสังเกตที่อยูบนโลกสังเกตนาฬิกาของนักบินอวกาศจะเห็นคล่ืนแสงเคลื่อนที่ ไดระยะทางไกลกวารูป a) และจะวัดเวลาได tΔ มากกวา otΔ

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-7

ชวงเวลา ดังรูป 12-5b หาไดโดยวิธีทางคณิตศาสตร ในชวงที่ลูกคลื่นเคล่ือนจาก เหตุการณแรกไปส้ินสุดที่เหตุการณสุดทาย ยานอวกาศจะเคลื่อนที่ไดระยะทาง

tΔ= 2L = v tΔ

v คือความเร็วของยานอวกาศเทียบกับโลก คล่ืนแสงจะเคลื่อนที่ไดเปนระยะทาง ในชวงระยะเวลา 2s tΔ จากทฤษฎีพิธากอรัส เราจะได

2 s = 2 22 D L+ = 2 ( )22 2/D v t+ Δ

ระยะทาง 2 เทากับอัตราเร็วของแสงคูณดวย s tΔ จะได 2 เพราะฉะนั้น s = c tΔ

c tΔ 2= ( )22 2/D v t+ Δ

ยกกําลังสองทั้งสองดานของสมการ และยายขางหา tΔ

tΔ =2 2

2 1

1 /Dc v c−

แตวา = แทนลงในสมการบน หาเวลา 2 /D c otΔ tΔ ได

tΔ = 02 21 /t

v cΔ

− (12-1)

ชวงเวลาจริงระหวางเหตุการณทั้งสอง, วัดโดยผูสังเกตที่อยูนิ่งเมื่อเทียบกับ otΔ =

เหตุการณที่เกิดขึ้นจริง ชวงเวลาระหวางเหตุการณทั้งสอง วัดโดยผูสังเกตที่เคล่ือนที่ tΔ =

เมื่อเทียบกับเหตุการณที่เกิดขึ้น v อัตราเร็วสัมพัทธระหวางผูสังเกตทั้งสอง = c อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ =

ถาอัตราเร็ว นอยกวา เทอม v c 2 21 /v c− ในสมการ (12-1) จะนอยกวา 1 และเวลา จะมากกวา tΔ otΔ

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-8

การทดลองเสมือนจริง

เกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณเดินทางดวยความเร็วสูง ทอมกับเจน ผูสมัคร ที่จะชวยคุณคนหาคําตอบ โดยการสงเจนเดินทางไปยังดวงดาวตางๆ หลังจากกลับมายังโลก ใหเทียบอายุของเธอกับทอมที่อยูบนโลก

1. คลิกบนตัวของเจน หรือทอม เพ่ือต้ังอายุเริ่มตน คาเริ่มตนของเครื่องใหไวคือ 7.0000 ป (เจ็ดป) 2. คลิกบนยานอวกาศ เพ่ือต้ังความเร็ว คลิกครับ

วิธีทดลอง

ตัวอยาง 12-1 ยานอวกาศดังรูป 12-5 เคล่ือนที่ผานโลกดวยความเร็ว 0.92 เทาของความเร็วแสง

[ (0.92) × (3 ×10v = 8 m/s)] นิยมเขียนเปน v = 0.92 นักบินอวกาศวัดเวลา 1.0 s จงหาชวงเวลา ที่ผูสังเกตบนโลกวัดเวลาของนักบินอวกาศ

c otΔ =

tΔ

หลักการคํานวณ จากสมการ 12-1

tΔ = 02 21 /t

v cΔ

−

= ( )2

1.0

1 0.92 /

s

c c− = 2.6 s

ผูสังเกตบนโลกจะวัดเวลาได 2.6 s ขณะที่ผูสังเกตบนยานอวกาศจะวัดเวลาได 1.0 s ตัวอยาง 12-1 แสดงใหเห็นวา การยืดยาวของเวลาจะเห็นผลไดเมื่ออัตราเร็วของยานอวกาศมีอัตราเร็วเกือบเทาอัตราเร็วของแสง แตอัตราเร็วที่เราเห็นอยูในชีวิตประจําวันนอยมากเมื่อเทียบกับความเร็วแสง ยกตัวอยางนาฬิกาบนเครื่องบินเจ็ตที่เคล่ือนที่ดวยอัตราเร็ว v = 0.000 000 75 c(ประมาณ 500 ไมลตอชั่วโมง) ชวงเวลา tΔ และ otΔ = 1s จะมคีาแตกตางกันประมาณ 2.8 × 10-13 s ความแตกตางนี้มีคานอยเพียงนิดเดียว ตองใหเครื่องบินเจ็ตลํานี้บินเปนเวลา 110,000 ป จึงจะเห็นความแตกตางของเวลาเปน 1 วินาที

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-9

แผนใสการเรียนการสอน

เร่ือง ฟสิกสของกาลเวลา

เสนอโดย นายศรศิลป รักษสุวรรณ

เวลาคืออะไร เปนคําถามที่นอยคนจะตอบได ไอนสไตนเคยกลาว แบบติดตลกวา เวลาก็คือนาฬิกา ทานคิดวาเปนเชนนั้นหรือไม หาคําตอบ คลิกครับ

เวลาจริง เปนเวลาที่ผูสังเกตวัดไดระหวางเหตุการณ 2 เหตุการณ โดยผูสังเกตอยูนิ่งเทียบกับเหตุการณดวย ในรูป 12-5 นักบินอวกาศอยูนิ่งเทียบกับยานอวกาศ สวนผูสังเกตบนโลกจะเห็นเหตุการณ 2 เหตุการณที่เกิดขึ้นบนยานอวกาศไมไดเกิดขึ้นที่เดียวกัน เพราะยานอวกาศเคลื่อนที่ชวงเวลา

ที่ผูสังเกตวัดไดจะไมใชชวงเวลาจริงตามที่เรานิยามไวต้ังแตเบ้ืองตน

otΔ

tΔ เพ่ือจะใหเขาใจการยืดออกของเวลาไดอยางลึกซึ้ง วิธีดูวาชวงเวลาใดคือ หรือ ใหพิจารณาดังนี้ ถาเหตุการณทั้งสองเกิดขึ้นที่เดียวกันและผูสังเกตอยูบนนั้นดวย ชวงเวลาที่วัดไดคือชวงเวลาจริง แตถาผูสังเกตเห็นเหตุการณเกิดขึ้นตางสถานที่กัน ชวงเวลาที่วัดไดคือชวงเวลา

tΔ otΔ

otΔ tΔดังตัวอยางขางตน ชวงเวลาจริง คือชวงเวลาที่นักบินอวกาศวัดไดจากนาฬิกาของเขา สวนชวงเวลา

คือชวงเวลาที่ผูสังเกตบนโลกเห็นเวลาที่เกิดขึ้นบนยานอวกาศนั่นเอง otΔ

tΔ

12-2-2 การเคลื่อนที่ในอวกาศ การเคลื่อนที่ในอวกาศที่มีระยะทางระหวางดวงดาวหางไกลกันมหาศาล การเคลื่อนที่จากดาวดวงหนึ่งไปยังดาวอีกดวงหนึ่ง ตองใชเวลามากเกินกวาชวงชีวิตของคน แตตัวอยางขางลางนี้เปนตัวอยางการเคลื่อนที่ในอวกาศที่ใชเวลานอยกวาที่คิด

ตัวอยาง 12-2 อัลฟาเซ็นจูรี่ เปนดาวฤกษที่อยูใกลกับกาแลกซี่ของเรา คืออยูหางประมาณ 4.3 ปแสง

( มีความหมายวา แสงตองใชเวลาเดินทาง 4.3 ป ) สมมติวา จรวดออกเดินทางจากโลกดวยความเร็ว v 0.95 c เทียบกับโลก อยากทราบวาผูโดยสารจะมีอายุเพ่ิมขึ้นเทาไร เมื่อถึงที่หมาย โดยกําหนดใหโลกและดาวอัลฟาเซ็นจูรี่อยูนิ่ง

=

เหตุผล ผูโดยสารจะวัดชวงเวลาจริง otΔ ไดบนยานอวกาศของเขา แตสําหรับผูสังเกตบนโลก เหตุการณนี้เกิดตางสถานที่กัน ดังนั้น คนบนโลกจะวัดชวงเวลาบนยานอวกาศ tΔ ไดมากกวาชวงเวลาจริง

เพราะยานอวกาศเคลื่อนที่ดวยความเร็ว otΔ v = 0.95 ดังนั้น c tΔ = 4.3 ป/0.95 4.5 ป =

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-10

หลักการคํานวณ

otΔ = tΔ 2 21 /v c−

(4.5 ป) = 21 0.95( / )c c− 1.4 ป = ผูโดยสารที่อยูบนยานอวกาศจะมีอายุเพ่ิมขึ้น 1.4 ป เมื่อมาถึงดาวอัลฟาเซ็นจูรี แตผูสังเกตบนโลกจะมีอายุเพ่ิมขึ้น 4.5 ป

12-3 พิสูจนการยืดยาวของเวลา

วีดีโอเพื่อการศึกษา ป ค.ศ. 1955 นาฬิกาอะตอมเรือนแรกไดถูกพัฒนาขึ้น มีความเที่ยงตรงมาก ถึงขนาดผิดพลาดไปเพียง 1 วินาที ในระยะเวลา 300 ป นาฬิกาพวกนี้ถูกนําไปใชในดาวเทียม การวัดกระแสน้ํา และการปรับคาเครื่องมือวัดละเอียด การใชนาฬิกาอะตอมยังทําใหเราทราบวา โลกหมุนชาลง คลิกครับ (windows media 2.7 MB)

มีการพิสูจนการยืดของเวลาวาเปนความจริงหรือไม โดยในป ค.ศ. 1971 ผูทดลองคือ เจ.ซี อารเฟจี และ อาร.อี.คีตต้ิง พวกเขาไดนํานาฬิกาอะตอมฮีเลียมขึ้นไปไวบนเครื่องบินเจ็ต และใหเครื่องบินนี้บินรอบโลกหลายรอบ อยางไรก็ตามความเร็วของเครื่องบินเจ็ตนอยกวาความเร็วแสงมาก ดังนั้น ผลของ

เวลาที่ยืดออกจึงนอย อยางไรก็ตามนาฬิกาอะตอมมีความถูกตองประมาณ ± 10-9 s ซึ่งเปนคาที่ละเอียดมากๆ พวกเขาทั้งสองไดนํานาฬิกาอะตอมไปตั้งอยูบนเครื่องบินเจตที่บินอยูประมาณ 45 ชัว่โมง หลังจากนั้นนํามาเทียบกับนาฬิกาอะตอมอีกเครื่องที่ตั้งอยูบนโลก เมื่อตัดคาความผิดพลาดบางประการทิ้ง พบวานาฬิกาทั้ง 2 เครื่องเดินแตกตางกัน นาฬิกาบนเครื่องบินเดินไดชากวา ซึ่งเปนไปตามการคาดการณของทฤษฎีสัมพัทธภาพ มูออนเปนอนุภาคที่เล็กมาก เกิดขึ้นบนบรรยากาศชั้นสูงประมาณ 10,000 เมตร วัดจาก

พ้ืนดิน ถาอนุภาคมูออนอยูนิ่ง ชีวิตของมูออนจะอยูไดประมาณ 2.2 × 10-6 วินาที กอนที่จะแตกสลายไปดวยเวลาชีวิตที่ส้ันมาก ๆ อนุภาคตัวนี้จึงไมนาที่จะมีโอกาสตกลงมาถึงพ้ืนโลก แตในความเปนจริงมีอนุภาคมูออน ตกลงมาที่พ้ืนโลกจํานวนไมนอย ปญหาก็อยูที่วามันมีเวลาพอที่จะตกลงมาหรือ

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-11

ตัวอยาง 12-3 ชีวิตเฉล่ียของอนุภาคมูออนประมาณ 2.2 × 106 s ถาอนุภาคมูออนถูกสรางขึ้นบน

บรรยากาศชั้นสูงเหนือระดับน้ําทะเล 10,000 m และเคล่ือนที่ตกลงมายังโลกดวยอัตราเร็ว 0.998 จงหา v = cก) เวลาที่ผูสังเกตบนโลกวัดได ข) ระยะทางที่มูออนเคล่ือนที่ไดกอนจะแตกตัว

เหตุผล เหตุการณเร่ิมตนคือการเกิดขึ้นของมูออน และเหตุการณสุดทายคือการแตกสลายของมูออน

เมื่อมูออน อยูนิ่งเหตุการณทั้งสองจะเกิดขึ้นในสถานที่เดียวกัน อายุเฉล่ียของมูออนคือ 2.2 × 106 s ใหเปนชวงเวลาจริง แตเมื่ออนุภาคมูออนเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็ว otΔ v = 0.998 c เทียบกับโลก ผูสังเกตบนโลกจะวัดเวลาที่ยืดออกไดเปน ดังสมการ 12-1 และระยะทางเฉลี่ย tΔ x ที่มูออนเคลื่อนที่ไดวัดโดยผูสังเกตบนโลก จะเทากับอัตราเร็วของอนุภาคคูณกับชวงเวลาที่ยืดออก

หลักการคํานวณ ก) tΔ = 02 21 /t

v cΔ

−

=( )

6

2

2.2 10

1 0.998 /c c

−×

−

s

35 × 10= -6 s ข) ระยะที่มูออนเคลื่อนที่ไดกอนที่จะแตกตัว x = v tΔ = (0.998)(3.00 × 108 m/s)(35 × 10-6 s)

= 1.0 × 104 m เวลาที่ยืดออก ทําใหอนุภาคมูออนมีเวลาพอที่จะเคล่ือนที่มาถึงผิวโลก เพราะถาชีวิตของมู

ออนเทากับ 2.2 × 10-6 s มูออนจะเคลื่อนที่ไดเพียง 660 m กอนจะแตกตัว และไมมีทางที่จะเคล่ือนที่ถึงผิวโลกไดเลย

12-4 การหดสั้นของความยาว เพราะเวลามีการยืดออก ผูสังเกตที่เคล่ือนที่ดวยความเร็วคงที่จะวัดเวลาไดแตกตางจาก ผูสังเกตที่หยุดนิ่งอยูกับที่ ตัวอยางที่ 12-2 แสดงใหเห็นไดเปนอยางดี เวลาทั้งสองแตกตางกันโดย

แฟกเตอร 2 21 /v c− หรืออาจจะพูดอีกนัยหนึ่งไดวาผูสังเกตแตละคนวัดระยะทางจากโลกถึงดาวอัลฟาเซ็นจูรี่ไดแตกตางกัน จากตัวอยางความเร็วสัมพัทธของจรวดกับโลกคือ 0.95 โดยที่อัตราเร็วคือระยะทางหารดวยเวลา แตเวลาของผูสังเกตทั้งสองแตกตางกัน นั่นก็หมายความวาระยะทางตองแตกตางกันดวย

v = c

ผูสังเกตบนพื้นโลกคํานวณหาระยะเวลาจากโลกไปที่ดาวอัลฟาเซ็นจูรี่ โดยใชสมการ

0L (0.95c)(4.5 ป) 4.3 ปแสง ในทางกลับกันผูโดยสารที่อยูบนยานอวกาศหาระยะทางไดจากสมการ (0.95c)(1.4 ป)

= v tΔ = =

L = ov tΔ = = 1.3 ปแสง จากการคํานวณเวลาของผูโดยสารจะสัน้กวาผูสังเกตที่อยูบนพ้ืนโลก และระยะทางก็ยังส้ันกวาดวย การสั้นลงของความยาวนี้เรียกวา การหดสั้นของความยาว

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-12

.รูป 12-6 a) เมื่อวัดระยะทางโดยผูสังเกตที่อยูบนโลก ระยะทางจากโลกถึงดาวอัลฟาเซ็นจูรี คือ 0L และเวลาในการเคลื่อนที่คือ tΔ b) แตเมื่อสังเกตโดยนักบินบนยานอวกาศ โลกและดาวอัลฟาเซ็นจูรีจะเคล่ือนที่ดวย ความเร็ว v สัมพัทธกับยานอวกาศ นักบินจะวัดระยะทางและเวลาเปน และ L otΔ ตามลําดับ ทั้ง 2 คานอยกวาขอ a) ความสัมพันธระหวางระยะทางที่วัดโดยผูสังเกตทั้งสองดูไดจากรูป 12-6 รูป a เปนภาพแสดงระยะทางจากโลกถึงดาวอัลฟาเซ็นจูรี่ โดยมองจากผูสังเกตที่อยูบนโลก ซึ่งผูสังเกตคนนี้จะวัดชวงเวลาได

และระยะทางวัดได ดังนั้น อัตราเร็วของจรวดคือ tΔ 0L v = /oL tΔ สวนรูป b เปนภาพแสดงการวัดระยะทางจากโลกถึงดาวอัลฟาเซ็นจูรี่โดยมองจากนักบินอวกาศซึ่งนักบินจะวัดเวลาได และระยะทางวัดได ดังนั้น อัตราเร็วของจรวดคือ v

otΔL = /L tΔ อยางไรก็ตาม อัตราเร็วของ

จรวดทั้ง 2 กรณีเทากันเพราะเปนจรวดลําเดียวกัน จะได v = / oL tΔ = /oL tΔ จากสมการ 12-1 เราจะไดความสัมพันธของ และ ดังตอไปนี้ L 0L

L = 0L 2 21 /v c− (12-2) เรียกวา ความยาวจริง เปนระยะทางระหวางจุด 2 จุด ที่วัดโดยผูสังเกตที่อยูนิ่ง

เพราะวา v นอยกวา c ดังนั้นเทอม

0L2 21 /v c− จะนอยกวา 1 ทําให นอยกวา ใหสังเกต

วาการหดตัวลงของความยาวจะเกิดขึ้นในทิศทางการเคลื่อนที่ แตไมเกิดขึ้นในทิศตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ ดังตัวอยางตอไปนี้

L 0L

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-13

ตัวอยาง 12- 4 นักบินอวกาศใชตลับเมตรวัดความยาวและเสนผาศูนยกลางของยานอวกาศได 82 และ

21 m ตามลําดับ ถายานอวกาศเคลื่อนที่ดวยความเร็ว v = 0.95 เทียบกับโลกดังรูป 12-6 จงหาขนาดของยานอวกาศที่วัดโดยผูสังเกตที่อยูบนโลก

c

เหตุผล ความยาว 82 m ของยานอวกาศเปนความยาวจริง เพราะวัดโดยตลับเมตรที่อยูบนยานอวกาศ แตสําหรับผูสังเกตบนโลกจะวัดความยาวได จากสมการ 12-2 จะเห็นวาความยาว

ส้ันกวาความยาว ในทางกลับกันเสนผาศูนยกลางของยานอวกาศที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่จะมีคาไมเปล่ียนแปลง

0LL

L 0L

หลักการคํานวณ ความยาว ของยานอวกาศ วัดโดยผูสังเกตที่อยูบนโลกคือ L

L = 0L 2 21 /v c−

(82m) = 21 0.95( / )c c− 26 m = เพ่ือจะทําใหโจทยที่เกี่ยวกับความเร็วสัมพัทธดูงายขึ้น เราจะตองเขาใจเวลาจริงและความยาวจริงใหไดชัดเจนเสียกอน เวลาจริง คือชวงเวลาที่วัดไดโดยผูสังเกตที่อยูนิ่งเมื่อเทียบกับเหตุการณ สวนผูสังเกตที่เคล่ือนที่จะวัดชวงเวลา ไดยาวกวา

otΔtΔ

ความยาวจริง คือ ขนาดของวัตถุที่วัดไดโดยผูสังเกตซึ่งหยุดนิ่งเทียบกับวัตถุนั้น สวน ผูสังเกตที่วัดเวลาจริงอาจไมใชผูที่วัดระยะจริง ดังรูป 12-6 แสดงใหเห็นวา นักบินวัดเวลาจริง ระหวางโลกกับดาวอัลฟาเซ็นจูรี่ ขณะที่ผูสังเกตบนโลกเปนผูวัดความยาวจริง คําวา เวลาจริงและความยาวจริงไมไดหมายความวาเปนคาที่ถูกตอง หรือเปนคาที่สมบูรณอยางแทจริง เพราะถาเปนเชนนั้น ผูสังเกตจะตองอยูบนกรอบที่หยุดนิ่งอยางแทจริง แตความจริงก็คือไมมีกรอบอะไรที่หยุดนิ่งอยางแทจริง มีแตการเคล่ือนที่ที่สัมพัทธกัน เมื่อผูสังเกตเคลื่อนที่สัมพัทธกับผูสังเกตอีกคนหนึ่งดวยความเรว็ที่คงที่ แตละคนก็จะวัดเวลาและความยาวไดแตกตางกัน

0L

otΔ

0L

12-5 มวลและโมเมนตัมสัมพัทธ 12-5-1 การเพิ่มข้ึนของมวล

มวลเปนปริมาณมูลฐานทางฟสิกส เชนเดียวกับระยะทางและเวลา การวัดมวลในกรอบนิ่งกับการวัดมวลในกรอบที่เคล่ือนที่ ปรากฏวามีลักษณะเชนเดียวกับการวัดเวลา และความยาว กลาวคือ

m = 02

21

mvc

−

(12-3)

เมื่อ om = มวลนิ่ง คือ มวลที่วัดไดเมื่อผูวัดอยูใน กรอบนิ่ง m = มวลสัมพัทธ คือ มวลที่วัดไดเมื่อผูวัดอยูใน กรอบเคลื่อนที่

≥ สามารถแสดงสภาพการเปลี่ยนของมวลเมื่อความเร็วมีคาตางๆ ไดดังรูป m om

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-14

m /mo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

รูป 12-7 กราฟอัตราสวนของมวลสัมพัทธภาพ กับมวลไมสัมพัทธภาพ

การสังเกตจากกราฟ จะไดวา

1. มวลที่วัดไดไมคงที่ เปล่ียนไปตามความเร็ว สัมพัทธระหวางมวลกับผูวัด 2. ความสัมพัทธระหวางมวลกับความเร็วไมใช เสนตรง แตเปนเสนโคง 3. ในกรณีที่มวลมีความเร็วตํ่า m = om4. ในกรณีที่ v มีคาเขาใกลกับความเร็วแสง มวล มีขนาดเขาสูอนันต m

ถาเรานําผลที่ไดจากทฤษฎีสัมพัทธภาพมาใชกับกฎขอท่ี 2 ของนิวตัน

F = )(mvdtd

= 02

21

( )mdv mdt v

c

+

−

a

จะเห็นไดวา ไมเทากับ เพราะมวลจะเปลี่ยนไปไดเมื่อความเร็วเปล่ียน แต ยังคงใชได ในกรณีความเร็วตํ่า เพราะในบริเวณที่ความเร็วตํ่านั้นคาของมวลเกือบคงที่

F ma F = ma

ตัวอยาง 12-5 วัตถุมวล 63 kg บนพ้ืนโลก ถายิงออกไปนอกโลกดวยความเร็วคงที่ 0.998 คนบน

โลกจะวัดมวลของวัตถุชิ้นนี้ไดที่กิโลกรัม

= c

หลักการคํานวณ มวลบนพ้ืนโลกวัดได 63 kg เมื่อผูวัดอยูบนโลกจึงเรียกวา มวลนิ่ง = om 63 kg =

m = 02

21

mvc

−

= 2

2

63

0.9981

( )cc

−

1000 kg =

ตัวอยาง 12-6 โปรตอนเคลื่อนที่ดวยความเร็วเทาใด มวลของโปรตอนจึงเปนสองเทาของมวลนิ่ง

หลักการคํานวณ

แทนคา m 2 ลงใน = 0m

m = 02

21

mvc

−

0.866 v = c

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-15

12-5-2 โมเมนตัมสัมพัทธ เมื่อชวงเวลาและระยะทางของผูสังเกตที่เคล่ือนที่สัมพัทธกันมีคาแตกตางกัน ทฤษฎีสัมพัทธภาพชี้ใหเห็นตอไปวา โมเมนตัมกับพลังงานก็เปล่ียนไป หรือมีคาแตกตางกันดวย

กฎการคงตัวของโมเมนตัมเชิงเสนจะยังคงใชไดถาเปนระบบอิสระ ตราบที่ไมมีแรงภายนอกมากระทํากับระบบอิสระนี้ สามารถกลาวไดวา โมเมนตัมเชิงเสนของระบบอิสระจะคงที่ กฎการคงตัวของ โมเมนตัมเชิงเสนเปนกฎทางฟสิกสที่ไดรับการพิสูจนแลววาใชไดกับกรอบนิ่งหรือกรอบเฉื่อยทุก ๆ กรอบ

สมมติวามีคน 2 คนมองลูกบิลเลียด 2 ลูก ชนกันบนโตะที่ไมมีแรงเสียดทาน โดยคนแรกเกาะอยูที่ขอบโตะและนิ่งอยูคอยสังเกต สวนอีกคนหนึ่งเคล่ือนที่ผานโตะดวยอัตราเร็วคงที่ การชนของ ลูกบิลเลียดเปนระบบอิสระถาไมมีแรงภายนอกมากระทํากบระบบ ผูสังเกตทั้งสองจะคํานวณหาโมเมนตัมกอนและหลังชนไดเทากัน ในกรณีที่ความเร็วต่ํามากเมื่อเทียบกับความเร็วแสง โดยใชสูตรวา

i i f fm v m v=∑ ∑ คือ โมเมนตัมรวมกอนชนเทากับโมเมนตัมรวมหลังชน แตเมื่อความเร็วเพ่ิมขึ้นจน

ใกลเคียงกับอัตราเร็วของแสง ถายังใชสูตรเดิมขางตน โมเมนตัมรวมกอนชนจะไมเทากับโมเมนตัมรวมหลังชน เพ่ือจะใหโมเมนตัมรวมคงที่จึงจําเปนตองมีการดัดแปลงสมการ จากทฤษฎีสัมพัทธภาพไดดัดแปลงสมการของโมเมนตัมเชิงเสนที่ความเร็วสูง ๆ โดยเขียนเปนสมการไดดังนี้

P = 2 21 /

mvv c−

(12-4)

เมื่อใชสมการ 12-4 เปนโมเมนตัมรวมกอนและหลังชน พบวา กฎการคงตัวของโมเมนตัมยังคงใชไดทุก ๆ ความเร็ว และเราจะสังเกตไดวาโมเมนตัมสัมพัทธกับไมสัมพัทธแตกตางกันที่แฟกเตอร

2 21 /v c− และแฟคเตอรนี้จะนอยกวา 1 ทําใหโมเมนตัมสัมพัทธจะมากกวาโมเมนตัมที่ไมสัมพัทธเสมอ รูป 12-8 เปนกราฟที่แสดงการพลอตระหวางอัตราสวนของโมเมนตัม (สัมพัทธหารดวยไมสัมพัทธ) กับ

อัตราเร็ว เมื่อพิจารณาสมการ 12-4 อัตราสวนของโมเมนตัมก็คือ v 2 21 1/ /v c− จากกราฟแสดงให

เห็นวาอัตราเร็วของรถยนตทั่วไปนอยกวาอัตราเร็วของแสงมาก ทําให เกือบเทาศูนย ทําใหอัตราสวนของโมเมนตัมยังคงเปน 1 คือความเร็วสัมพัทธแทบจะไมมีผลตอโมเมนตัม ในทางกลับกัน ถาอัตราเร็วของวัตถุเทียบกับอัตราเร็วของแสง เกือบเทาหรือนอยกวาไมมาก อัตราสวนของโมเมนตัมจะมีผลขึน้ทันที ดังตัวอยาง 12-7 เมื่อเราเรงอนุภาคอิเล็กตรอนใหมีความเร็วเกือบเทากับแสง

2 /v c2

รูป 12-8 กราฟอัตราสวนของ โมเมนตัมสัมพัทธภาพกับ โมเมนตัมไมสัมพัทธภาพ

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-16

ตัวอยาง 12-7 เครื่องเรงอนุภาคขนาดใหญของมหาวิทยาลัยสแตนฟอรด รูป 12-9 เรงอนุภาคอิเล็กตรอน

เปนระยะทาง 3 กิโลเมตร ทําใหอิเล็กตรอนมีความเร็วเพ่ิมขึ้นเปน 0.999 999 999 7 ซึ่งเกือบจะเทากับ cความเร็วแสง จงหาขนาดของโมเมนตัมสัมพัทธ และอัตราสวนของโมเมนตัม

เหตุผลและวธีิทํา มวลของอิเล็กตรอน m = 9.11 × 10-31 kg

รูป 12-9 เครื่องเรงอนุภาคขนาดใหญที่มหาวิทยาลัย สแตนฟอรด สามารถเรงอนุภาคอิเล็กตรอน ใหมีความเร็วเกือบเทาความเร็วแสง

หลักการคํานวณ

จากสมการ 12-4 P = 2 21 /

mvv c−

= ( )

31

2 2

9.11 10 0.9999999997

1 0.9999999997

( )(

/

c

c c

−×

−

kg )

= 1 × 10-17 kg⋅m/s จากการทดลองโมเมนตัมสัมพัทธที่วัดไดเปนจริงตามนี้ อัตราสวนของโมเมนตัมหาไดจากสมการ

2 2

1

1 /v c− =

( )2 2

1

1 0.9999999997 /c c−

4 × 10= 4

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-17

12-6 มวลกับพลังงาน ทฤษฎีสัมพัทธภาพสามารถหาความสัมพันธระหวางมวลกับพลังงานได ซึ่งไอนสไตนไดแสดงใหเห็นวาพลังงาน E ของมวลที่เคล่ือนที่จะมีความสัมพันธกับมวลและอัตราเร็วดังสมการ

E =2

2 21 /mcv c−

(12-5)

แตถา v = 0 พลังงานรวมทั้งหมด จะเรียกวา พลังงานรวมของมวลนิ่ง 0E และสมการ 12-5 จะลดรูปลงเปนสมการที่ทําใหไอนสไตนมีชื่อเสียง นั่นก็คือ

0E (12-6) = 2mc ตัวอยาง 12- 8 พลังงานของลูกกอลฟมวล 0.046 kg

ก) จงหาพลังงานมวลนิ่งของลูกกอลฟ ข) ถานําพลังงานนี้ไปใหกับหลอดไฟขนาด 7.5 วัตต หลอดไฟจะติดอยูนานเทาใด

เหตุผล หลอดไฟขนาด 75 วัตต มีความหมายทางฟสิกสวาหลอดไฟนี้ใชพลังงาน 75 จูลภายใน 1 วินาที

หลักการคํานวณ ก) จาก 0E = 2mc

(0.046 kg)(3.0 × 10= 8 m/s)2

4.1 × 10= 15 J

ข) พลังงานของมวลนิ่งทั้งหมดนําไปจุดหลอดไฟติดเปนเวลานาน

กําลัง =เวลา

นิ่งพลังงานมวล

∴ เวลา =W75

J1014 15×.

5.5 × 10= 13 s เมื่อเรงวัตถุจนมีอัตราเร็ว v พลังงานรวมของวัตถุคือ พลังงานรวมของมวลนิ่ง 0E บวกกับ

พลังงานจลน KE หรือ E = 0E + จากสมการ 12-5 และ 12-6 จะได KE KE = E – 0E

= 2mc2 2

11

1 /v c

⎛ ⎞−⎜

−⎝ ⎠⎟ (12-7)

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-18

สมการ 12-7 แตกตางจากพลังงานจลนที่เราคุนเคยกัน KE = 21

2mv อยางไรก็ตาม

สมการ (12-7) เมื่อ v c<< สมการพลังงานสัมพัทธจะลดรูปลงเหลือ KE = 21

2mv เชนเดียวกัน

โดยใชการกระจายแบบทวินาม binomial expansion 1( )nx− = 2

1 12

( ) ...xnx n n− + −

ในกรณีนี้ x และ n -1/ เราสามารถแสดงรากที่สองของสมการ 12-7 ไดดังนี้ = 2 2/v c = 2

2 2

1

1 /v c− = 2 2 2 2 21 3

12 8

( / ) ( / ) ...v c v c+ + +

สมมติวาv นอยกวา มากๆ เชน c v = 0.01c จะไดเทอมที่สอง 2 21

2( / )v c = 5.0 × 10-5

เทอมที่สาม 2 2 23

8( / )v c = 3.8 × 10-9 ขณะที่เทอมถัดไปคาจะยิ่งนอยลงไปอีก ดังนั้นในกรณีที่

เราสามารถตัดเทอมที่สามลงไปได เหลือเพียงเทอมแรกและเทอมที่สอง แทนคากลับลงไปในสมการที่ 12-7 จะได v c<<

≈ KE 2mc2

2

11 1

2

vc

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= 21

2mv

เปนสมการพลังงานจลนที่เรารูจักกันดีนั่นเอง

ตัวอยาง 12 -9 อิเล็กตรอนมวล m 9.109 × 10= -31 kg ถูกเรงจากหยุดนิ่งจนมีอัตราเร็ว 0.9995

ดวยเครื่องเรงอนุภาค จงหา

v = c

ก) พลังงานมวลนิ่ง ข) พลังงานรวม ค) พลังงานจลนของอิเล็กตรอน

เหตุผลและวิธีทํา ก) พลังงานมวลนิ่งของอิเล็กตรอน

0E = 2mc

= (9.109 × 10-31 kg)(2.998 × 108 m/s)2

= 8.187 × 10-14 K

1 ev = 1.602 × 10-19 J

∴ พลังงานมวลนิ่งของอิเล็กตรอน

(8.187 × 10-14 J) ⎛ ⎞⎜⎝

1 ev-191.602×10 J ⎟⎠

= 5.11 × 105 ev

หรือ 0.511 Mev

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-19

ข) พลังงานรวมของอิเล็กตรอนที่เคล่ือนที่ดวยอัตราเร็ว v = 0.995 c

E = 2

2 21 /mcv c−

= 31 8 2

2 2

9.109 10 2.998 10

1 0.995

( )(( ) /c c

× ×

−

kg m/s)

= 2.59 × 10-12 J หรือ 16.2 Mev ค) พลังงานจลนของอิเล็กตรอน KE = - E 0E

= 2.59 × 10-12 J – 8.2 × 10-14 J

= 2.51 × 10-12 J หรือ 15.7 Mev

เปรียบเทียบกับคา 21

2mv จะได 0.26 Mev

เพราะมวลกับพลังงานสมมูลกันเปล่ียนกลับไปมาได ดังตัวอยางที่ 12-8 เปนมวลของดวงอาทิตยที่หายไป

รูป 12-10 ดวงอาทิตยปลดปลอยคล่ืนแมเหล็กไฟฟา

ตัวอยาง 12-10 ดวงอาทิตยใหพลังงานในอัตรา 3.92 × 1026 W

ก) มวลที่หายไปของดวงอาทิตยตอวินาที

ข) ถามวลของดวงอาทิตยเทากับ 1.99 ×1030 kg จงหาอัตราสวนของมวลที่หายไปกับมวลเดิมในชวงระยะเวลา 75 ป (เทากับอายุของมนุษย 1 คน)

หลักการคํานวณ ก) ในแตละวินาทีที่ดวงอาทิตยใหพลังงานออกมา

มวลที่หายไปจากดวงอาทิตย

mΔ = 02

EcΔ

= 28

26

)s/m1000.3(

J1092.3

××

= 4.36 × 109 kg/ s

ทุก ๆ วินาทีมวลของดวงอาทิตยจะหายไป 4000 ลานกิโลกรัม

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-20

ข) อัตราสวนของมวลที่หายไปใน 75 ป

(4.36 × 10mΔ = 9 kg/s) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×ป1

s10163 7.(75ป)

1.0 × 10= 19 kg

เมื่อเทียบอัตราสวนกับมวลเดิมจะพบวามวลลดลงไปเพียงนิดเดียวเทานั้น

ดวงอาทิตย

m

mΔ =

kg10991

kg100130

19

××

.

. = 5.0 × 10-12

การเปล่ียนแปลงของพลังงานทําใหมวลของระบบเปล่ียนแปลงตามไปดวย จากสูตร 0EΔ = 2mcΔ แตเนื่องจากวาความเร็วของแสงมาก ทําใหการเปล่ียนแปลงของมวลนอยจนยากที่จะตรวจสอบ

ยกตัวอยางเชน ใหพลังงานความรอน 4186 J กับน้ํา มวล 1 kg ทําใหอุณหภูมิของน้ําเพ่ิมขึ้น 1 CO

พลังงานนี้จะทําใหมวลของน้ําเพ่ิมขึ้น mΔ = 02

EcΔ

= 28 sm10003

J4186

)/.(

)(

× 4.7 × 10= -14 kg

ซึ่งนอยมากและยากที่จะตรวจวัดได

ระเบิดปรมาณูที่นําไปทิ้งที่ญี่ปุน 2 ลูก เปนตัวอยางที่ดีสุดสําหรับการเปลี่ยนมวลเปนพลังงาน หรือในหองทดลองเราก็สามารถทําไดโดยเรงอนุภาคโพสิตรอนใหพุงเขาชนอิเล็กตรอนในเครื่องเรงอนุภาค อนุภาคทั้ง 2 ตัวนี้มีมวลเทากัน แตมีประจุไฟฟาตางกัน เมื่ออนุภาคทั้งสองพุงเขาชนกันอยางแรง มวลของอนุภาคทั้งสองจะหายไปและเปลี่ยนเปนพลังงานของคลื่นแมเหล็กไฟฟา พลังงานที่ไดเมื่อคํานวณ

โดยใชสูตร 0E = จะตรงกัน 2mc

ในทางกลับกันการเปลี่ยนพลังงานจากคลื่นแมเหล็กไฟฟาไปเปนมวลก็เกิดขึ้นไดในหองทดลอง โดยผานรังสีแกมมา (คล่ืนแมเหล็กไฟฟาพลังงานสูง) เขาใกลกับนิวเคลียสของอะตอม รังสีแกมมาจะหายไป

และเปล่ียนเปนอนุภาค 2 ตัวขึ้นแทน เมื่อคํานวณโดยใชสูตร 0E = มวลรวมที่ไดจะเทากับ พลังงานของรังสีแกมมาที่หายไป

2mc

12-7 ความเร็วแสงเปนความเร็วสุดทาย ทฤษฎีไดบอกไวในสมการแลววา ไมมีทางที่วัตถุจะมีความเร็วมากไปกวาความเร็วแสงได ดังนั้น ความเร็วแสงเปนความเร็วสุดทาย จากสมการ 12-7 ขณะที่ เขาใกลความเร็วแสง เทอม v

2 21 /v c− ที่เปนตัวแปรจะมีคาเขาใกลศูนย ทําใหพลังงานมีคามากขึ้นจนเกือบถึงคาอนันต นั่นหมายถึงวาตองใหงานมหาศาลกับมวลเพ่ือใหมวลมีพลังงานจลนเพ่ิมขึ้นจนเกือบถึงอนันต งานจํานวนมหาศาลนี้เปนไปไมไดในทางปฏิบัต ิ

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-21

12-7-1 การบวกของความเร็วในทฤษฎสีัมพัทธภาพ

ผูสังเกตบนพื้น

รูป 12-11 ผูสังเกตยืนอยูบนพ้ืน เห็นรถกระบะกําลังวิ่งเขามา และมีคนยืนอยูบนรถกําลังขวางลูกบอล

รูป 12-11 เปนภาพของรถกระบะเคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ v = 15 m/s เทียบกับ ผูสังเกตที่ยืนอยูบนพ้ืน สมมติใหคนที่ยืนอยูบนรถกระบะขวางลูกบอลไปยังคนที่ยืนอยูบนพ้ืนดวยความเร็ว

8 m/s เทียบกับรถกระบะ แตเดิมเราสรุปไดวา คนบนพื้นจะเห็นลูกบอลวิ่งเขามาดวยความเร็ว u + 23 m/s การคํานวณนี้ดูเหมือนจะถูก คิดงาย ๆ ไมมีอะไรซับซอน แตเมื่อวัดดวย

เครื่องมือวัดความเร็วอยางละเอียด ผลปรากฎวาคาที่ไดผิดไปนิดนึง ถาเราใชทฤษฎีสัมพัทธภาพมาจับ

สมการ ≠ + ยิ่งถาความเร็วของรถกระบะมีความเร็วเกือบเทาแสง และขวางลูกบอลออกไปดวยความเร็วสูง และใชสมการบนมาคํานวณจะไมถูกตอง เพราะเปนไปไมไดที่ลูกบอลจะมีความเร็วมากไปกวาแสง

u′ == u′ v =

u v′ v

ในกรณีที่ลูกบอลและรถกระบะเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกัน การบวกความเร็วในทฤษฎี สัมพัทธภาพใหใชสูตรดังนี้

u =

21

u vu vc

′ +′

+ (12-8)

u ความเร็วของวัตถุเทียบกับกรอบเฉื่อย = u ความเร็วของวัตถุเทียบกับกรอบเฉื่อยที่สองที่กําลังเคล่ือนที่ดวยความเร็ว v ′ = เมื่อการเคลื่อนที่เปนเสนตรง ความเร็วในสมการ 12-8 มีเครื่องหมายเปนบวกหรือลบก็ได ขึ้นอยูกับท่ีเรากําหนดใหทิศทางใดเปนบวกหรือลบนั่นเอง ยกตัวอยางรูป 12-11 u′ 8.0 m/s และ

15 m/s มีเครื่องหมายเปนบวกเพราะเรากําหนดวาทิศไปทางขวาเปนบวก ในทางกลับกันถารถกระบะ

เคล่ือนที่ไปทางซายคาก็จะเปนลบ สมการ 12-8 แตกตางจากสูตร u

= v=

= u′ + ที่เทอม

ถา และ v มีคานอยมากเมื่อเทียบกับ c สมการ 12-8 จะลดรูปลงเปน u ≈ + v ซึ่งใชไดดีในกรณีที่ความเร็วตํ่า

v 2/u v c′

u′ u′

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-22

ตัวอยาง 12-11 รถกระบะดังรูป 12-11 วิ่งดวยความเร็ว u = 0.8 และคนที่ยืนอยูบนรถกระบะ

ขวางลูกบอลไปยังคนที่อยูบนพ้ืนดวยความเร็ว

cu′ = 0.5 จงหาความเร็วที่คนบนพื้นเห็น c

เหตุผล คนบนพื้นจะไมมีทางเห็นลูกบอลเคลื่อนที่ดวยความเร็ว u = 0.5 + 0.89 1.3 เพราะเปนไปไมไดที่วัตถุจะมีความเร็วมากไปกวาแสง

c c = c

หลักการคํานวณ คนบนพื้น จะเหน็ลูกบอลเคลื่อนที่เขามาดวยความเร็ว

u =

21

u vu vc

′ +′

+

=

2

0.5 0.80.5 0.8

1( )( )

c cc cc

+

+

=401

c31

.

.

+ = 0.93c

ยานปศาจ ยานสํารวจกาแลกซี่ แสงเลเซอร

รูป 12-12 ยานสํารวจกาแลกซี่ พุงเขาหายานปศาจ

ตัวอยาง 12-12 ยานสํารวจกาแลกซี่พุงเขาหายานปศาจดวยความเร็วคงที่ 0.7 ดังรูป 12-12 ถา

ยานสํารวจยิงแสงเลเซอรไปที่ยานปศาจ จงหาความเร็วของแสงเลเซอรที่ผูสังเกตบนยานปศาจเห็น

c

หลักการคํานวณ ยานทั้งสองเคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ จึงถือเปนกรอบเฉื่อยไดทั้ง 2 ลํา จาก

สัจพจนขอท่ีสองผูสังเกตทุกคนบนกรอบเฉื่อยจะวัดความเร็วของแสงไดเทากัน ดังนั้น ผูสังเกตบนยานปศาจจะวัดความเร็วของแสงไดเทากับความเร็วแสง แมวายานสํารวจจะพุงเขามาดวยความเร็ว 0.7 เทาของความเร็วแสงก็ตาม

c

พิจารณารูป 12-13 คนยืนถือไฟฉายอยูบนรถกระบะ เขาจะวัดความเร็วแสงได u สวนผูสังเกตบนพ้ืนจะวัดอัตราเร็วแสงได

′ = c

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-23

u =

21

u vu vc

′ +′

+ =

21

c vcvc

+

+

=( )( )c v cc v++

= c

คําตอบขางบนแสดงใหเห็นชัดเจนวา ผูสังเกตไมวาจะอยูบนพ้ืนหรือรถกระบะ ทั้งคูวัดความเร็วแสงไดเทากัน ตรงกับสัจพจนขอท่ีสองของไอนสไตน

บรรยายลงในกระดานฟสิกสราชมงคล

คล๊ิกเพ่ือฟงเสียง ใชโปรแกรม winamp

"It followed from the special theory of relativity that mass and energy are both but different ____ ____ ____ ____ a somewhat unfamilar conception for the average mind. Furthermore, the equation E is equal to ___ ___ ___, ทานไดอธิบายเปนภาษาอังกฤษ มีบางประโยคและบางคํา ในขอความขางบนหายไป ใหนักศึกษาที่เรียนฟสิกส 2 ฟงเสียงจริงของทาน เติมประโยคที่หายไปใหเต็ม และแปลความหมายทั้งหมด พรอมกับวิจารณลงใน

กระดานฟสิกสราชมงคลใหม

รูป 12-13 ผูสังเกตยืนอยูบนพ้ืน เห็นรถกระบะกําลังวิ่งเขามา และมีคนยืนสองไฟฉายอยูบนรถ

ไอนสไตนอธิบายความสัมพันธของมวลกับพลงังาน

ฟสิกสราชมงคล

ทฤษฎีสัมพัทธภาพ-24

แบบฝกหัดเร่ืองทฤษฎีสัมพัทธภาพษ

1. อนุภาค Pion (ไพออน) มีชีวิตอยูได 2.6 × 10-8 s กอนที่แตกออกเปนอนุภาคตัวอ่ืน ถาไพ

ออนว่ิงดวยความเร็ว 0.67 จงหาชีวิตใหมของอนุภาคไพออน [ตอบ 3.5 × 10c -8 s] 2. สายอากาศเรดาหหมุนดวยความเร็วเชิงมุม 0.25 rad/s วัดบนโลก ถาผูสังเกตเคลื่อนที่ผานเสาอากาศ

ดวยความเร็ว 0.80 จงหาความเร็วเชิงมุมใหม [ ตอบ 0.15 rad/s ] c 3. ยานอวกาศจากตางดาวเคลื่อนที่ดวยความเร็ว 0.90 เทียบกับโลก คนบนโลกวัดความกวางของยาน

ในทิศทางเดียวกับการเคลื่อนที่ได 230 m จงหาความยาวเมื่อยานอวกาศหยุดนิ่ง [ตอบ 530 m] c

4. สมมติวาระยะทางจากเมืองหน่ึงถึงอีกเมืองหน่ึงเปน 4.2 × 106 m (ไมคิดความโคงของโลก) ยานอวกาศเคลื่อนที่ระหวาง 2 เมืองนี้ดวยความเร็ว 0.70 c เทียบกับโลก จงหาระยะทางที่วัดจากผูสังเกต

บนยานอวกาศ [ตอบ 3.0 × 106 m] 5. กําหนดใหยาน A มีความเร็ว 0.60 c ขณะที่ยาน B มีความเร็ว 0.80 c จงหาอัตราสวน

ของเสนผาศูนยกลางของดาวนพเคราะหที่วัดโดยยานอวกาศในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่ [ตอบ 1.3]

/AD DB

6. ยานอวกาศวิ่งดวยความเร็ว 0.60 c เทียบกับโลก เพ่ือจะไปหาดาวเคราะหดวงใหม เขาวัดระยะทาง

ได 8.0 ปแสง จงหาระยะทางใหมที่วัดโดยผูสังเกตที่เคล่ือนที่ดวยความเร็ว 0.80 เทียบกับโลก [ตอบ 6.0 ปแสง ]

c

7. จรวดมวล 1.40 × 105 kg มีโมเมนตัมสัมพัทธภาพเทากับ 3.15 × 1013 kg⋅m/s จงหาความเร็วของ

จรวด [ ตอบ 1.80 × 108 m/s]

8. จงหางานที่ทําใหอิเล็กตรอนเรงจากหยุดนิ่งจนมีความเร็ว 0.990 [ ตอบ 5.0 × 10c -13 J ]

9. ปริมาณความรอน 3.35 × 105 J ที่ทําใหน้ําแข็ง 1 kg ละลายเปนน้ําที่ 0O C จงหาความแตกตางของ

มวลน้ําและน้ําแข็ง [ ตอบ 3.72 × 10-12 kg น้ํามีมวลมากกวา ] 10. ยานอวกาศเอ็นเตอรไพร 1 เคล่ือนที่ดวยความเร็ว 0.65 เทียบกับโลก ขณะที่ยานอวกาศ เอ็นเตอร

ไพร 2 เคล่ือนที่ตามเอ็นเตอรไพร 1 ไปในทิศทางเดียวกัน แตเคล่ือนที่ไดเร็วกวา โดยมีความเร็วสัมพัทธระหวางยานอวกาศคือ 0.31 จงหาความเร็วของเอ็นเตอรไพร 2 [ ตอบ 0.799 ]

c

c c

ฟสิกสราชมงคล

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล