我们已经介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征...
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我们已经介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征 .
但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的 .
例如,某零件的真实长度为 a ,现用甲、乙两台仪器各测量 10 次,将测量结果 X 用坐标上的点表示如图:
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣,你认为哪台仪器好一些呢?
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果 较好
测量结果的均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如 , 甲、乙两门炮同时向一目标射击 10 发炮弹,其落点距目标的位置如图:
你认为哪门炮射击效果好一些呢 ?
甲炮射击结果 乙炮射击结果乙炮
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
中心 中心
为此需要引进另一个数字特征 , 用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度 .
这个数字特征就是我们要介绍的
方差
一、方差的定义
采用平方是为了保证一切
差值 X-E(X) 都起正面的作用
由于它与 X 具有相同的度量单位,在实际问题中经常使用 .
方差的算术平方根 称为标准差)(XD
设 X 是一个随机变量,若 E[(X-E(X)]2<∞ ,则称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1)
为 X 的方差 .
若 X 的取值比较分散,则方差较大 .
若方差 D(X)=0, 则 r.v X 以概率 1 取常数值 .
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .
若 X 的取值比较集中,则方差较小;
D(X)=E[X-E(X)]2
X 为离散型,
P(X=xk)=pk
由定义知,方差是随机变量 X 的函数g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 .
,)()]([
,)]([)(
2
1
2
dxxfXEx
pXExXD
k
kkk
X 为连续型,
X~f(x)
二、计算方差的一个简化公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开
证: D(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2
利用期望
性质
请自己用此公式计算常见分布的方差 .
例 1 设 r.v X 服从几何分布,概率函数为P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,… , n
其中 0<p<1, 求 D(X)
解: 记 q=1-p
1
1)(k
kkpqXE
1
)'(k
kqp
1
)'(k
kqp )'1
(q
qp
p
1
求和与求导
交换次序
无穷递缩等比
级数求和公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
1
122 )(k
kpqkXE
])1([1
1
1
1
k
k
k
k kqqkkp
1
)(k
kqqp +E(X)pq
qqp
1)
1(
pqqp
1
)1(
23
pp
q 122 2
2
p
p
2
2
p
p
2
1
p
2
1
p
p
三、方差的性质
1. 设 C 是常数 , 则 D(C)=0;
2. 若 C 是常数 , 则 D(CX)=C2 D(X); 3. 若 X1 与 X2 独立,则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);
n
ii
n
ii XDXD
11
)(][
可推广为:若 X1,X2,…,Xn 相互独立 , 则
n
iii
n
iii XDCXCD
1
2
1
)(][
X1 与 X2 不一定独立时,D(X1 +X2 )= ?
请思考
4. D(X)=0 P(X= C)=1 , 这里 C=E(X)
xC
1
P(X= x)
下面我们用一例说明方差性质的应用 .
例 2 二项分布的方差设 X~B(n,p), 则 X 表示 n 重贝努里试验中
的“ 成功” 次数 . 若设
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX i 0
1i=1,2 ,…, n
故 D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2
E(Xi)=P(Xi=1)= p, E(Xi2)= p,
则 是 n 次试验中“成功” 的次数
n
iiXX
1
= p- p2= p(1- p)
于是
i=1,2 ,…, n
D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 = p- p2= p(1- p)
由于 X1,X2,…,Xn 相互独立
n
iiXDXD
1
)()(
= np(1- p)
四、切比雪夫不等式 设随机变量 X 有期望 E(X) 和方差 ,则对于任给 >0,
2
或 由切比雪夫不等式可以看出,若 越小,则事件 {|X-E(X)|< } 的概率越大,即随机变量 X 集中在期望附近的可能性越大 .
2
2
2
1}|)({| XEXP
2
2
}|)({| XEXP
由此可体会方差的概率意义:
它刻划了随机变量取值的离散程度 .
如图所示
当方差已知时,切比雪夫不等式给出了 r.v
X 与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
如取 3
2
2
}|)({| XEXP
111.09
}3|)({|2
2
XEXP
可见,对任给的分布,只要期望和方差 存在,则 r.v X 取值偏离 E(X) 超过 3
的概率小于 0.111 .
2
例 3 已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是 7300 ,均方差是 700 .
利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率 .
解:设每毫升白细胞数为 X
依题意, E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400)
P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300)
= P(-2100 X-E(X) 2100)
2)2100(
)(1
XD
= P{ |X-E(X)| 2100}由切比雪夫不等式 P{ |X-E(X)| 2100}
2)2100
700(1
9
8
9
11
即估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率不小于 8/9 .
例 4 在每次试验中,事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求: n 需要多大时,才能使得在 n 次独立重复试验中 , 事件 A 出现的频率在 0.74~0.76之间的概率至少为 0.90?
解:设 X 为 n 次试验中,事件 A 出现的次数,
E(X)=0.75n,
的最小的 n .
900760740 .)..( n
XP
则 X~B(n, 0.75)
所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n)
2)01.0(
)(1
n
XD
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
20001.0
1875.01
n
n
n
18751
P(0.74n< X<0.76n )
)76.074.0( n
XP
)76.074.0( n
XP 可改写为
在切比雪夫不等式中取 n ,则0.01 = P{ |X-E(X)| <0.01n}
187509.01
1875
n
解得
依题意,取 9.01875
1 n
即 n 取 18750 时,可以使得在 n 次独立重复
试验中 , 事件 A 出现的频率在 0.74~0.76之间的
概率至少为 0.90 .
我们介绍了随机变量的方差 .
它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .
下面我们将介绍刻划两 r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征:
相关系数
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