Beijing Institute of Technology 数字信号处理

第二章

生物医学信号时域处理

第三节 随机信号的描述

信号分为确定性信号和随机信号。

• 信号分为确定性信号和随机信号。确定性信号是其每一时间点上的值可用某个数学表达式或图表唯一确定的信号。随机信号是不能用确定数学公式来描述，只能用统计的方法进行描述，只能在一定的准确性或可信性范围内进行预测。

• 随机信号的性质（例：掷硬币）

2 / 30

1、随机信号中的任何一个点上的取值都是不能先验确定的随机变量。

3 / 30

2、随机信号可以用它的统计平均特征来表征。

• 随机过程的普遍存在性 • 任何确定信号测量过程中会引入随机性误差而使该信号随机化

• 任何信号本身都存在随机干扰 （把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称为噪声，均值为0的白噪声称为纯随机信号）

• 任何随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合随机信号，简称随机信号。

• 区别干扰和噪声 • 非目标信号都是干扰，干扰可以是确定性信号50Hz工频干扰，也可以是噪声。

• 随机信号的表示方法 • 古典统计法和现代参数建模法

4 / 30

随机信号的古典表示法 • 不能确定随机信号每个时刻的值，但可从统计平均的角度认识它。 • 每个时刻可能取那几种值 • 取各种值的概率是多少？ • 各个时间点上取值的关联性

• 概率分布函数 • 一维概率分布函数

5 / 30

normal

uniform

连续累加、单调增加

概率密度函数： 1 1( , ) [ = ]nx np x n x x=概率

概率分布函数： 1 1( , ) [ ]nx nP x n x x= ≤概率

• 二维概率分布函数

• 平稳随机信号 • 不随时间变化而变化的信号 • 完全平稳条件苛刻，采用m阶平稳描述，阶数越高，越接近平稳

二维联合概率密度函数： 1 2, 1 1 2 2 1 1 2 2( , ; , ) [ = , = ]n nx x n np x n x n x x x x=概率

二维联合概率分布函数： 1 2, 1 1 2 2 1 1 2 2

( , ; , ) [ , ]n nx x n n

P x n x n x x x x= ≤ ≤概率

当 和 统计独立时， 1nx 2nx 1 2 1 2, 1 1 2 2 1 1 2 2( , ; , ) ( , ) ( , )n n n nx x x xp x n x n P x n P x n= ⋅

• 一阶平稳是信号的均值与时间t无关 • 二阶平稳是：1）信号的均值与t无关；2）信号的均方值与t无关；3）协方差只是时间间隔 的函数，而与时间原点无关。

• 若是高斯过程，则二阶平稳即是完全平稳。 • 至少把二阶平稳过程叫准平稳过程或广义平稳过程。

7 / 30

t∆

例：若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X∼N(μ,σ2),则其概率密度函数为

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%A8%E6%A9%9F%E8%AE%8A%E9%87%8Fhttp://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%9C%9F%E6%9C%9Bhttp://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%87%E5%87%86%E6%96%B9%E5%B7%AEhttp://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%AF%86%E5%BA%A6%E5%87%BD%E6%95%B0

• 统计特征量 • 均值（数学期望）

• 均方值

• 方差

[ ] ( )nx n

m E x xp x dx+∞

−∞= = ∫

此可理解为第n点上电压或电流的直流分量。

2 2[ ] ( )nE x x p x dx+∞

−∞= ∫

此可理解为第n点上电压或电流在1欧姆电阻上的平均功率。

2 2[( ) ]n nx n x

E x mσ = −

此可理解为第n点上电压或电流的起伏分量在1欧姆电阻上消耗的平均功率。

2 2 2 2[( ) ] [ ]n n nx n x n x

E x m E x mσ = − = − xm 2xσ 和 与时间无关

• 协方差

• 相关函数

9 / 30

一个平稳随机信号的自协方差： ( ) [( )( )]xx n x n m xC m E x m x m+= − −两个平稳随机信号的互协方差： ( ) [( )( )]xy n x n m yC m E x m y m+= − −

一个平稳随机信号两个时间点的自相关函数： ( ) [ ]xx n n mR m E x x += ⋅

两个平稳随机信号互相关函数： ( ) [ ]xy n n mR m E x y += ⋅

1、自相关函数和自协方差是衡量随机过程在不同时刻上的随机变量之间相关性的量。两者的关系是： 2( ) ( )xx xx xC m R m m= −

2、互相关函数和互协方差是衡量两个不同随机过程间的相关性的量。两者的关系是： ( ) ( )xy xy x yC m R m m m= −

• 各态遍历随机信号（ergodic random signal） • 统计特征量需要已知概率分布，这是不现实的。

• 无穷多个平行样本集合的平均得到的统计特性倾向于统计平均，但获得多个平行样本集合是很困难的。

• 各态遍历假设：由于平稳随机过程的概率分布不随时间的平移而变化，全体集合的平均就可以用无穷时间平均来代替。(时间原点任意)

• 各态遍历随机信号：所有样本函数在某给定时刻的统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性相一致的平稳随机信号。

10 / 30 单一样本的时间平均可代替集总平均。

• 对一个平稳各态遍历随机过程，测得的一个样本值 ，来估计统计特征量： • 样本平均值

• 样本均方值

• 样本方差

• 样本协方差

• 样本相关函数 11 / 30

1,...{ }i i nx =

1

1ˆn

x ii

m xn =

= ∑2 2

1

1ˆ[ ]n

x ii

E m xn =

= ∑

2 2

1

1ˆ ˆ( )n

x i xi

x mn

σ=

= −∑

1

1ˆ ˆ ˆ( ) ( )( )n

xy i x i m yi

C m x m y mn +=

= − −∑x样本与y样本相同时，求的是样本自协方差。

1

1ˆ ( )n

xy i i mi

R m x yn +=

= ∑

随机信号的现代建模方法 • 随机信号参数模型（随机信号的基本研究方法）：

• 随机信号x(n)是由白噪声w(n)激励某一确定系统的响应。

• 古典信号建模法 • 提取随机信号的确定性成分，在一定准确性（最小二乘意义）上进行预测，即建立确定性数学模型，包括微、积、差分、代数等

• 现代信号建模法 • 建立在具有最大的不确定性基础上的预测

• MA模型： • 随机信号x(n)由当前激励w(n)和若干次过去的激励w(n-k)

线性组合产生。

• AR模型：

• 随机信号x(n)由本身若干次过去值x(n-k)和当前激励w(n) 线性组合产生。 13 / 30

0( ) ( )

q

kk

x n b w n k=

= −∑

系统函数： 0

( )( )( )

qk

kk

X zH z b zW z

−

=

= =∑MA(q)表示，全零点模型，无极点，稳定系统。

1( ) ( ) ( )

p

kk

x n w n a x n k=

= − −∑

• ARMA模型 • AR与MA模型的结合

14 / 30

系统传递函数：

1

( ) 1( )( ) 1

pk

kk

X zH zW z a z−

=

= =+∑

AR(p)表示，全极点模型，无零点，需要考虑极点分布和系统的稳定性

0 1( ) ( ) ( )

q p

k kk k

x n b w n k a x n k= =

= − − −∑ ∑系统传递函数：

0

1

( )( )( ) 1

qk

kk

pk

kk

b zX zH zW z a z

−

=

−

=

= =+

∑

∑

ARMA(p,q)表示，零极点模型，需要考虑零极点分布，保证系统的稳定性

Wold证明：任何平稳的ARMA模型或MA模型均可用无限阶或阶数足够多的AR模型去近似。

• 随机信号处理中，用很少的已知值在最大不确定原则下预测将来值。此不能用于信号是确定的场合。

• 例，已知R波数据，只能预测与R波有关的数据，不能预测整个P-QRS-T复合波。

• AR模型参数的估计 • 1、AR模型参数和自相关函数的关系

ka

1( ) ( ) ( )

p

kk

x n w n a x n k=

= − −∑

1( - ), [ ( ) ( - )] [ ( ) ( - ) ( ) ( - )] 1

p

kk

x n m E x n x n m E w n x n m a x n k x n m=

= − −∑两边同时乘以 然后求均值： （ ）( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

= [ ( ) ( - )] ( )xx

xx

R m E x n x n m E x k m x kE x n x n m R m

= + = −

= −

自相关函数的特点：

自相关函数偶对称

11) ( ) ( ) ( )

p

xx xw k xxk

R m R m a R m k=

= − −∑式( 变为:

0( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )= [ ( ) ( + )]xw

kx n w n h n h k w n k R m E w n x n m

∞

=

= = −∑ 带入 中

16 / 30

0 0

2 2

0 0

( )= [ ( ) ( ) ( )]= ( ) [ ( ) ( )]

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

xwk k

ww w wk k

R m E h k w n k w n m h k E w n k w n m

h k R m k h k m k h mσ δ σ

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

− + − +

+ = + = −

∑ ∑

∑ ∑

2

0 0( ) ( )

( ) 0xw w

mh n R m

h m mσ>

= − ≤

是因果系统，因此,

1

2

1

2

1

( ) 0

( ) (0) ( ) =0

( ) ( )= ( ) 0

p

k xxk

p

xx w k xxk

p

w k xx xxk

a R m k m

R m h a R m k m

h m a R m k R m m

σ

σ

=

=

=

− − >

= − −

− − − −

1( ) ( ) 0 Yule-Wal ker Y-W

p

xx k xxk

R m a R m k m=

= − − >∑ 此为 （ ）方程。2

1 10= ( )+ ( ) 0 = (0)+ ( ) =0

p p

xx k xx w xx k xxk k

R m a R m k m R a R k mσ= =

− > −∑ ∑将 和 两个式子写成方程

2

1

1(0) ( 1) ... ( )(1) (0) ... ( 1) 0

...... ... ... ... ...( ) ( 1) ... (0) 0

w

p

R R R paR R R p

aR p R p R

σ − − − + = −

( ) ( )xx xxk

R m R ma

= −自相关函数是偶对称函数：

已知随机信号的自相关函数即可解出参数

( 1) ( 1) ToeplitzLevinson-DurbiA nR L-D

p p+ × + 维的 矩阵：与主对角线平行的斜对角线上的元素都是相等的。高 （效算法解 模型参数： ）算法

• 2、Y-W方程的解法——L-D算法 • AR模型与预测系统结合起来估计AR参数

前向预测：若序列的模型已知，用过去观测的数据来推现在和将来的数据

1

ˆ( ) ( ) ( ) 1, 2,...,m

mk

x n a k x n k k m m=

= − − =∑ ， 阶预测系数

前向预测误差e(n)：

1

ˆ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( )m

mk

e n x n x n x n a k x n k=

= = + −∑系统的传递函数：

1

( ) 1 ( )( )

mk

mk

E z a k zX z

−

=

= +∑

AR模型： 1

( ) ( ) ( )p

kk

x n w n a x n k=

= − −∑1

( ) 1( )( ) 1

pk

kk

X zH zW z a z−

=

= =+∑

• 互逆系统 • 预测误差系统输入为x(n),输出为e(n)白噪声，说明前向预测系统对观测信号进行了白化处理。

• 两者的系统函数互为倒数，AR参数可通过预测误差系统实现。

( ) ( )w n e n=

为什么可以通过预测误差系统求AR模型参数？

1

ˆ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( )m

mk

e n x n x n x n a k x n k=

= = + −∑对上式求误差的均方值：

如何通过预测误差系统求AR模型参数？

2 2

1

1 1 1

[ ( )] [( ( ) ( ) ( )) ]

= (0) 2[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )

m

mkm m m

xx m xx m m xxk k l

E e n E x n a k x n k

R a k R k a k a l R l k

=

= = =

= + −

+ + −

∑

∑ ∑∑

1

( )

( ) ( ) ( ) 1, 2,...,

mm

xx m xxl

a k m

R k a l R l k l m=

= − − =∑

要使均方误差最小，将上式右边对预测系数 求偏导并且等于零，得到 个等式。

2

1

2

1

[ ( )] (0) ( ) ( )

[ ( )] (0) ( )

( )

m

m xx m xxk

p

m xx k xxk

k m

E e n R a k R k

E e n R a R k

a a k m p

=

=

= +

= +

= =

∑

∑

最小均方误差为：

或

2 2( ) ( ); [ ( )]p we n w n E e n σ= =

L-D算法思想： 1、Y-W方程和自相关序列具有递推的性质。 2、每一阶次参数的计算从低一阶次的模型算出。

21 / 30

1( ) ( ) ( ) 1, 2,...,

m

xx m xxl

R k a l R l k l m=

= − − =∑2

1[ ( )] (0) ( )

p

m xx k xxk

E e n R a R k=

= +∑

22 / 30

23 / 30

• L-D算法的优点：计算速度快，求得的AR模型稳定，且均方误差随着阶次的增加而减小

• L-D算法的缺点：求自相关序列时，假定除了观测值之外的数据都为零，必然会引入较大误差。

• Matlab中L-D算法的实现：

[ ] ( , )a E aryule x px p a E

=

为观测信号， 为阶次， 为估计模型参数， 均方误差

[ ] ( , )a E arburg x p=

• AR模型阶次的确定 • 最终预测误差准则：

• 经验值：

25 / 30

1ˆ( ) ( )1wp

N pFPE pN p

σ + += ⋅− +

ˆwpσ 为不同阶次的预测均方误差/ 3 ~ / 2N N

26 / 30

• 实验题目1：心电信号的AR模型表示 • MIT数据库下载心电信号（健康和病态信号） • 查看阶数变化时，预测误差的变化 • 确定最佳阶数 • 确定AR模型参数

27 / 30

幻灯片编号 1幻灯片编号 2幻灯片编号 3幻灯片编号 4随机信号的古典表示法幻灯片编号 6幻灯片编号 7幻灯片编号 8幻灯片编号 9幻灯片编号 10幻灯片编号 11随机信号的现代建模方法幻灯片编号 13幻灯片编号 14幻灯片编号 15幻灯片编号 16幻灯片编号 17幻灯片编号 18幻灯片编号 19幻灯片编号 20幻灯片编号 21幻灯片编号 22幻灯片编号 23幻灯片编号 24幻灯片编号 25幻灯片编号 26幻灯片编号 27