programa novos talentos em matemática 2010 fundação ... · obtemos o corpo dos números...

Por: Diogo Pernes (estudante 3º ano MIEEC/FEUP) Seminário Diagonal c/ orientação do Prof. SemyonYakubovich FCUP, 13 de Abril de 2011

Programa Novos Talentos em Matemática 2010

Fundação Calouste Gulbenkian

Números Complexos

Análise Complexa

Função Gama e Função Hipergeométrica

Transformada de Mellin

Considerando o conjunto:

E definindo as operações:

Obtemos o corpo dos números complexos.

Preliminares – números complexos

Designando por o número complexo , vem .

Assim, podemos escrever cada na forma .

A chamamos parte real de e a damos o nome de parte imaginária de .

Preliminares – números complexos

Plano Complexo:

Preliminares – números complexos

Números Complexos

Análise Complexa

Função Gama e Função Hipergeométrica

Transformada de Mellin

Preliminares – análise complexa

Caminho – definição:

Aplicação contínua, , de um intervalo fechado ,não reduzido a um ponto, que toma valores em e é continuamente derivável por bocados.

Preliminares – análise complexa

Singularidades Isoladas – definição:

, analítica em aberto e conexo ( derivável em ).

diz-se singularidade isolada de se existe um disco aberto centrado em tal que todos os pontos deste disco, excepto , estão em , ou seja:

Preliminares – análise complexa

Série de Laurent:

, para todo o num disco

aberto contido em e centrado em .

Ao coeficiente chamamos resíduo de em . .Se , então diz-se pólo simples de e, nesse caso:

Teorema dos Resíduos:

, onde é um caminho

fechado, sem intersecções e orientado positivamente.

Preliminares – análise complexa

Números Complexos

Análise Complexa

Função Gama e Função Hipergeométrica

Transformada de Mellin

Função Gama – definição:

Algumas propriedades :

1.

2.

3. é inteira.4. é analítica em todo o plano complexo, excepto em

, onde tem pólos simples com resíduo .

Preliminares – função gama e função hipergeométrica

Função Hipergeométrica – definição

onde

Preliminares – função gama e função hipergeométrica

Números Complexos

Análise Complexa

Função Gama e Função Hipergeométrica

Transformada de Mellin

Preliminares – transformada de Mellin

Definição:

Obs:

Transformada Inversa:

Algumas propriedades:

1. .

Obs: A um integral da forma representada no 1º membro chamamos integral de convolução de Mellin.

2. Se na região , entãona região . .

Preliminares – transformada de Mellin

Definição

Fórmula geral de inversão

Um caso particular interessante…

onde

(função de Bessel da primeira espécie)

A “nossa” transformada – definição

Definição

Fórmula geral de inversão

Um caso particular interessante…

A transformada de Mellin do núcleo é conhecida:

Usando a propriedade 1. da T.Mellin, vem

Portanto, , .

A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão

A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão

determina-se agora pela inversa da T.Mellin:

onde

A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão

A função integranda tem pólos simples em

e ,

Usando uma expansão assimptótica para (fórmula de Stirling), prova-se que o integral correspondente a converge condicionalmente na faixa:

A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão

O Teorema de Slater ([2]) permite-nos tratar este integral como se estivesse definido sobre um caminho fechado.

poles

… …

Assim,

A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão

A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão

Fazendo umas ”continhas”, obtém-se:

Chegámos, finalmente, à expressão geral do núcleo da transformada inversa!

Definição

Fórmula geral de inversão

Um caso particular interessante…

A “nossa” transformada – um caso particular interessante…

Atendendo a que , no caso temos:

Como calcular a fórmula de inversão?

Uma possibilidade óbvia é substituir por na fórmula que encontrámos para .

A “nossa” transformada – um caso particular interessante…

Vamos usar um método alternativo…

Atendendo a que

onde

A “nossa” transformada – um caso particular interessante…

Temos:

Agora, queremos encontrar , se existirem, e tais que:

A “nossa” transformada – um caso particular interessante…

Este sistema de equações lineares com 2 incógnitas e 4 equações é possível e determinado se e só se (é impossível para outros ).

A solução é e , logo:

A “nossa” transformada – um caso particular interessante…

Prova-se que:

Pelo que obtemos, finalmente:

Fórmula de inversão para inteiro.

Será possível exprimir como composição de outras transformadas? Quais?

Propriedades de e possível aplicação na resolução de equações diferenciais.

MAS PARA QUE É QUE ISTO SERVE?

[1] SMIRNOV, Gueorgui, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora, 2003.

[2] O.I. MARICHEV, Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental Functions: Theory and Algorithmic Tables, Ellis Horwood Limited, 1983.