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Exerccios de Nmeros Complexos com Gabarito

1) (UNIFESP-2007) Quatro nmeros complexos representam, no plano complexo, vrtices de um

paralelogramo. Trs dos nmeros so z1 = 3 3i, z2 = 1 e z3

= 1 + (2

5)i. O quarto nmero tem as partes real e

imaginria positivas. Esse nmero

a) 2 + 3i.

b) 3 + (11/2)i.

c) 3 + 5i.

d) 2 + (11/2)i.

e) 4 + 5i.

2) (Mack-2008) Sendo i2 = -1, o nmero complexo

2

1 itgx, com x no nulo e -

2

< x 1. b) menor que 1, para todo w com |w|

25) (Unirio-1998) Sejam z1 e z2 nmeros complexos representados pelos seus afixos na figura acima. Ento, o

produto de z1 pelo conjugado de z2 :

a) 19 + 10i

b) 11 + 17i

c) 10

d) -19 + 17i

e) -19 + 7i

26) (Vunesp-1995) Seja L o afixo do nmero complexo a =

8 +i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o nmero complexo b, de mdulo igual a 1, cujo

afixo M pertence ao quarto quadrante e tal que o ngulo

LOM reto.

27) (UEL-1995) Seja z um nmero complexo de mdulo 2 e argumento principal 120

o. O conjugado de z :

a) 2 - 2i 3

b) 2 + 2i 3

c) -1 - i 3

d) -1 + i 3

e) 1 + i 3

28) (UEL-1995) Seja o nmero complexo z = 2

342

i1

2.i

. A

imagem de z no plano complexo um ponto do plano que

pertence ao

a) eixo imaginrio.

b) eixo real.

c) 2o quadrante.

d) 3o quadrante.

e) 4o quadrante.

29) (Mack-1997) A soluo da equao |z| + z - 18 + 6i = 0 um complexo z de mdulo:

a) 6

b) 8

c) 18

d) 12

e) 10

30) (Mack-1996) Considere todos os complexos z tais que |z| = 1. O imaginrio puro w, onde w = 1+2.z, pode ser:

a) 3 i

b) 2 i c) i

d) -2i

e) -3i

31) (FGV-1995) Seja o nmero complexo z=(x-2i)2, no qual x um nmero real. Se o argumento principal de z 90,

ento 1/z igual a:

a) -8

i

b) -8i

c) 4i

d) -1 + 4i

e) 4 - i

32) (Fatec-1997) Na figura a seguir, o ponto P o afixo do nmero complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.

verdade que:

a) o argumento principal de z 6

5

b) a parte imaginria de z i.

c) o conjugado de z 3 + i. d) a parte real de z 1.

e) o mdulo de z 4.

33) (Cesgranrio-1995) O lugar geomtrico das imagens dos complexos z, tais que z

2 real, :

a) um par de retas paralelas.

b) um par de retas concorrentes.

c) uma reta.

d) uma circunferncia.

e) uma parbola.

34) (ITA-2004) Considere todos os nmeros z = x + iy que

tm mdulo 2

7

e esto na elipse x2 + 4y

2 = 4. Ento, o

produto deles igual a

a)9

25

b)16

49

c)25

81

d) 7

25

e) 4

35) (FGV-2004) a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o lugar geomtrico dos nmeros complexos z representados

pela equao: 025 zwzz , sendo w = - 2 + 5i. b) De todos os nmeros complexos z de mdulo 3,

determine aqueles que satisfazem a igualdade

| z - 2i | = 3 . | i - 2|

36) (Cesgranrio-1994) A figura mostra, no plano complexo, o crculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de

cinco nmeros complexos. O complexo 1/z igual a:

a) z

b) w

c) r

d) s

e) t

37) (Fatec-2003) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo do nmero complexo z, no plano de Argand-Gauss.

Se -z o complexo conjugado de z, ento

a) z = - 2 + 2 3 i

b) z = - 2 + 2 3 i

c) z = - 2 + 3 i

d) z = - 2 + 3

3

i

e) z = - 2 + 3

3 i

38) (Vunesp-2003) Considere a varivel complexa z dada

por z = x + i y, onde i o nmero imaginrio 1 , e seja

z o complexo conjugado de z.

a) Dada a equao (z - a)( z - a) = r2, onde r e a R, calcule e responda a qual configurao geomtrica ela

corresponde.

b) Escreva a equao do crculo x2 + y

2 = R

2, R R, em

variveis complexas.

39) (Fatec-2003) Na figura abaixo, os pontos A, B e C so as imagens dos nmeros complexos z1 , z2 e z3, no

plano de Argand-Gauss.

Se Iz1I = Iz2I = Iz3I = 3 e = 60o , ento z1 + z2 +

z3 igual a

a) i)33(

b) i33

c) i)33(

d) i33

e) 3i3

40) (Mack-1996) A representao grfica dos complexos

x+yi tais que 1 | x+yi | 2, onde x y 0, define uma

regio de rea:

a)

b) 2

c) 32

d) 2

e) 34

41) (UEL-2002) Na figura abaixo, o ponto P representa um nmero complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual dos

nmeros abaixo z, sabendo-se que OP= 13 ?

a) - 9 + 4i

b) 2 + 3i

c) 2 - 3i

d) 13

e) - 13 i 42) (Unicamp-1997) Um tringulo eqiltero, inscrito em uma circunferncia de centro na origem, tem como um de

seus vrtices o ponto do plano associado ao nmero

complexo 3 + i. a) Que nmeros complexos esto associados aos outros dois

vrtices do mesmo tringulo? Faa a figura desse tringulo.

b) Qual a medida do lado desse tringulo?

43) (Unitau-1995) O mdulo de z=36i

1

:

a) 3.

b) 1.

c) 2.

d) 1/36.

e) 36.

44) (UNIUBE-2001) Considere os nmeros complexos z = x

+ iy, em que x, y e IR e i2 = -1, que tm mdulo igual a 3

e cujas representaes geomtricas encontram-se sobre a

parbola y = x2 -1, contida no plano complexo. Se w a

soma desses nmeros complexos, ento |w| igual a

a) 3 b) 3

c) 2

d) 6

45) (UFC-2002) Sabendo que cos = 23

e que sen =

21

, podemos afirmar corretamente que

cos( + 2

) + sen( + 2

) igual a:

a) 0

b) 21

23

c) 21

23

d) 21

23

e) 21

23

46) (PUC-SP-2002) Geometricamente, o mdulo de um nmero complexo z dado pela distncia da origem O do

plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o

complexo z = 3 + 2i, considere o tringulo ABO, cujos

vrtices A e B so os respectivos pontos imagem de z e z.i.

verdade que esse tringulo

a) eqiltero.

b) escaleno.

c) retngulo e issceles.

d) retngulo e no issceles.

e) issceles e no retngulo.

47) (Fuvest-1998) Dentre os nmeros complexos z = a + bi,

no-nulos, que tm argumento igual a 4

, aquele cuja

representao geomtrica est sobre a parbola y = x2 :

a) 1 + i

b) 1 i

c) 1 + i

d) 2 + 2i

e) 2 + 2i

48) (Vunesp-2006) Se a, b, c so nmeros inteiros positivos tais que c = (a + bi)

2 - 14i, em que i

2 = -1, o valor de c

a) 48.

b) 36.

c) 24.

d) 14.

e) 7.

49) (UFPB-2006) Sejam x e y elementos quaisquer do

conjunto G = { nimg | m , n Z }, onde 1i . Considere as seguintes proposies e assinale com V a(s)

verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s).

( ) Se y 0 , o quociente

yx

G.

( ) O produto x y G.

( ) A soma yx

G.

A seqncia correta :

a) VFF

b) FVF

c) FFV

d) VVF

e) VFV

f) FVV

50) (FMTM-2005) Sendo p e q nmeros reais tais que 2

<

p+q < , e i a unidade imaginria, se os nmeros

complexos z1 = sen (p +q) + [log (p-q)]i e z2 = 2

1

so

iguais, ento q igual a

a) 6

35

b) 12

69

c) 6

65

d) 12

65

e) 15

65

51) (Fuvest-1983)

-

52) (UFSCar-2005) Sejam i a unidade imaginria e an o n-simo termo de uma progresso geomtrica com a2 = 2a1.

Se a1 um nmero mpar, ento 10321 aaaa i...iii

igual a

a) 9i ou - 9i.

b) - 9 + i ou - 9 - i.

c) 9 + i ou 9 - i.

d) 8 + i ou 8 - i.

e) 7 + i ou 7 - i.

53) (Cesgranrio-1998) Dados os nmeros complexos z1=

1+i, z2 = 1-i e z3 =42

31

z

z

pode-se afirmar que a parte real de z3

vale:

a) 2

1

b) 4

1

c) - 4

1

d) - 2

1

e) -1

54) (UEL-1996) Seja o nmero complexo z = x + yi, no qual

x, y R. Se z.(1 - i) = (1 + i)2, ento:

a) x = y

b) x - y = 2

c) x.y = 1

d) x + y = 0

e) y = 2x

55) (Mack-1996) O complexo z = (a + bi)4 um nmero real estritamente negativo. Ento pode ocorrer:

a) a + b = 0.

b) a + 2b = 0.

c) 2a + b = 0.

d) a + 4b = 0.

e) 4a + b = 0.

56) (ITA-1996) O valor da potncia

93

i1

2

:

a) 2

i1

b) 2

i1

c) 2

i1

d) 2 93.i

e) 2 93 + i

57) (Uneb-1998) Se i a unidade imaginria, ento i25 + i39 - i

108 + i.i

50 igual a:

a) -1 - i

b) -1 + i

c) 1 - i

d) 1 + i

e) 0

58) (FEI-1997) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e 0

c

b

b

a

ento o

nmero complexo c :

a) 2i

b) 1 - 2i

c) 2 - i

d) 1 + 2i

e) 3i

59) (Fatec-1995) O conjugado do nmero complexo z=(1 - i-1

)-1

igual a:

a) 1 + i

b) 1 - i

c) 2

1 (1 - i)

d) 2

1 (1 + i)

e) i

60) (UFC-1997) Se i representa o nmero complexo cujo

quadrado igual a 1, determine o valor numrico da soma

1 + i + i2 + i

3 + ... + i

27.

61) (UEL-1994) A forma algbrica do nmero complexo z =

i2

3i1

:

a) 2

1 3i

b) 3