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  • Exerccios de Nmeros Complexos com Gabarito

    1) (UNIFESP-2007) Quatro nmeros complexos representam, no plano complexo, vrtices de um

    paralelogramo. Trs dos nmeros so z1 = 3 3i, z2 = 1 e z3

    = 1 + (2

    5)i. O quarto nmero tem as partes real e

    imaginria positivas. Esse nmero

    a) 2 + 3i.

    b) 3 + (11/2)i.

    c) 3 + 5i.

    d) 2 + (11/2)i.

    e) 4 + 5i.

    2) (Mack-2008) Sendo i2 = -1, o nmero complexo

    2

    1 itgx, com x no nulo e -

    2

    < x 1. b) menor que 1, para todo w com |w|

  • 25) (Unirio-1998) Sejam z1 e z2 nmeros complexos representados pelos seus afixos na figura acima. Ento, o

    produto de z1 pelo conjugado de z2 :

    a) 19 + 10i

    b) 11 + 17i

    c) 10

    d) -19 + 17i

    e) -19 + 7i

    26) (Vunesp-1995) Seja L o afixo do nmero complexo a =

    8 +i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o nmero complexo b, de mdulo igual a 1, cujo

    afixo M pertence ao quarto quadrante e tal que o ngulo

    LOM reto.

    27) (UEL-1995) Seja z um nmero complexo de mdulo 2 e argumento principal 120

    o. O conjugado de z :

    a) 2 - 2i 3

    b) 2 + 2i 3

    c) -1 - i 3

    d) -1 + i 3

    e) 1 + i 3

    28) (UEL-1995) Seja o nmero complexo z = 2

    342

    i1

    2.i

    . A

    imagem de z no plano complexo um ponto do plano que

    pertence ao

    a) eixo imaginrio.

    b) eixo real.

    c) 2o quadrante.

    d) 3o quadrante.

    e) 4o quadrante.

    29) (Mack-1997) A soluo da equao |z| + z - 18 + 6i = 0 um complexo z de mdulo:

    a) 6

    b) 8

    c) 18

    d) 12

    e) 10

    30) (Mack-1996) Considere todos os complexos z tais que |z| = 1. O imaginrio puro w, onde w = 1+2.z, pode ser:

    a) 3 i

    b) 2 i c) i

    d) -2i

    e) -3i

    31) (FGV-1995) Seja o nmero complexo z=(x-2i)2, no qual x um nmero real. Se o argumento principal de z 90,

    ento 1/z igual a:

    a) -8

    i

    b) -8i

    c) 4i

    d) -1 + 4i

    e) 4 - i

    32) (Fatec-1997) Na figura a seguir, o ponto P o afixo do nmero complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.

    verdade que:

    a) o argumento principal de z 6

    5

    b) a parte imaginria de z i.

    c) o conjugado de z 3 + i. d) a parte real de z 1.

    e) o mdulo de z 4.

    33) (Cesgranrio-1995) O lugar geomtrico das imagens dos complexos z, tais que z

    2 real, :

    a) um par de retas paralelas.

    b) um par de retas concorrentes.

    c) uma reta.

    d) uma circunferncia.

    e) uma parbola.

    34) (ITA-2004) Considere todos os nmeros z = x + iy que

    tm mdulo 2

    7

    e esto na elipse x2 + 4y

    2 = 4. Ento, o

    produto deles igual a

    a)9

    25

  • b)16

    49

    c)25

    81

    d) 7

    25

    e) 4

    35) (FGV-2004) a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o lugar geomtrico dos nmeros complexos z representados

    pela equao: 025 zwzz , sendo w = - 2 + 5i. b) De todos os nmeros complexos z de mdulo 3,

    determine aqueles que satisfazem a igualdade

    | z - 2i | = 3 . | i - 2|

    36) (Cesgranrio-1994) A figura mostra, no plano complexo, o crculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de

    cinco nmeros complexos. O complexo 1/z igual a:

    a) z

    b) w

    c) r

    d) s

    e) t

    37) (Fatec-2003) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo do nmero complexo z, no plano de Argand-Gauss.

    Se -z o complexo conjugado de z, ento

    a) z = - 2 + 2 3 i

    b) z = - 2 + 2 3 i

    c) z = - 2 + 3 i

    d) z = - 2 + 3

    3

    i

    e) z = - 2 + 3

    3 i

    38) (Vunesp-2003) Considere a varivel complexa z dada

    por z = x + i y, onde i o nmero imaginrio 1 , e seja

    z o complexo conjugado de z.

    a) Dada a equao (z - a)( z - a) = r2, onde r e a R, calcule e responda a qual configurao geomtrica ela

    corresponde.

    b) Escreva a equao do crculo x2 + y

    2 = R

    2, R R, em

    variveis complexas.

    39) (Fatec-2003) Na figura abaixo, os pontos A, B e C so as imagens dos nmeros complexos z1 , z2 e z3, no

    plano de Argand-Gauss.

    Se Iz1I = Iz2I = Iz3I = 3 e = 60o , ento z1 + z2 +

    z3 igual a

    a) i)33(

    b) i33

    c) i)33(

    d) i33

    e) 3i3

    40) (Mack-1996) A representao grfica dos complexos

    x+yi tais que 1 | x+yi | 2, onde x y 0, define uma

    regio de rea:

    a)

    b) 2

  • c) 32

    d) 2

    e) 34

    41) (UEL-2002) Na figura abaixo, o ponto P representa um nmero complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual dos

    nmeros abaixo z, sabendo-se que OP= 13 ?

    a) - 9 + 4i

    b) 2 + 3i

    c) 2 - 3i

    d) 13

    e) - 13 i 42) (Unicamp-1997) Um tringulo eqiltero, inscrito em uma circunferncia de centro na origem, tem como um de

    seus vrtices o ponto do plano associado ao nmero

    complexo 3 + i. a) Que nmeros complexos esto associados aos outros dois

    vrtices do mesmo tringulo? Faa a figura desse tringulo.

    b) Qual a medida do lado desse tringulo?

    43) (Unitau-1995) O mdulo de z=36i

    1

    :

    a) 3.

    b) 1.

    c) 2.

    d) 1/36.

    e) 36.

    44) (UNIUBE-2001) Considere os nmeros complexos z = x

    + iy, em que x, y e IR e i2 = -1, que tm mdulo igual a 3

    e cujas representaes geomtricas encontram-se sobre a

    parbola y = x2 -1, contida no plano complexo. Se w a

    soma desses nmeros complexos, ento |w| igual a

    a) 3 b) 3

    c) 2

    d) 6

    45) (UFC-2002) Sabendo que cos = 23

    e que sen =

    21

    , podemos afirmar corretamente que

    cos( + 2

    ) + sen( + 2

    ) igual a:

    a) 0

    b) 21

    23

    c) 21

    23

    d) 21

    23

    e) 21

    23

    46) (PUC-SP-2002) Geometricamente, o mdulo de um nmero complexo z dado pela distncia da origem O do

    plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o

    complexo z = 3 + 2i, considere o tringulo ABO, cujos

    vrtices A e B so os respectivos pontos imagem de z e z.i.

    verdade que esse tringulo

    a) eqiltero.

    b) escaleno.

    c) retngulo e issceles.

    d) retngulo e no issceles.

    e) issceles e no retngulo.

    47) (Fuvest-1998) Dentre os nmeros complexos z = a + bi,

    no-nulos, que tm argumento igual a 4

    , aquele cuja

    representao geomtrica est sobre a parbola y = x2 :

    a) 1 + i

    b) 1 i

    c) 1 + i

    d) 2 + 2i

    e) 2 + 2i

    48) (Vunesp-2006) Se a, b, c so nmeros inteiros positivos tais que c = (a + bi)

    2 - 14i, em que i

    2 = -1, o valor de c

    a) 48.

    b) 36.

    c) 24.

    d) 14.

    e) 7.

    49) (UFPB-2006) Sejam x e y elementos quaisquer do

    conjunto G = { nimg | m , n Z }, onde 1i . Considere as seguintes proposies e assinale com V a(s)

    verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s).

    ( ) Se y 0 , o quociente

    yx

    G.

    ( ) O produto x y G.

    ( ) A soma yx

    G.

    A seqncia correta :

    a) VFF

    b) FVF

    c) FFV

  • d) VVF

    e) VFV

    f) FVV

    50) (FMTM-2005) Sendo p e q nmeros reais tais que 2

    <

    p+q < , e i a unidade imaginria, se os nmeros

    complexos z1 = sen (p +q) + [log (p-q)]i e z2 = 2

    1

    so

    iguais, ento q igual a

    a) 6

    35

    b) 12

    69

    c) 6

    65

    d) 12

    65

    e) 15

    65

    51) (Fuvest-1983)

    -

    52) (UFSCar-2005) Sejam i a unidade imaginria e an o n-simo termo de uma progresso geomtrica com a2 = 2a1.

    Se a1 um nmero mpar, ento 10321 aaaa i...iii

    igual a

    a) 9i ou - 9i.

    b) - 9 + i ou - 9 - i.

    c) 9 + i ou 9 - i.

    d) 8 + i ou 8 - i.

    e) 7 + i ou 7 - i.

    53) (Cesgranrio-1998) Dados os nmeros complexos z1=

    1+i, z2 = 1-i e z3 =42

    31

    z

    z

    pode-se afirmar que a parte real de z3

    vale:

    a) 2

    1

    b) 4

    1

    c) - 4

    1

    d) - 2

    1

    e) -1

    54) (UEL-1996) Seja o nmero complexo z = x + yi, no qual

    x, y R. Se z.(1 - i) = (1 + i)2, ento:

    a) x = y

    b) x - y = 2

    c) x.y = 1

    d) x + y = 0

    e) y = 2x

    55) (Mack-1996) O complexo z = (a + bi)4 um nmero real estritamente negativo. Ento pode ocorrer:

    a) a + b = 0.

    b) a + 2b = 0.

    c) 2a + b = 0.

    d) a + 4b = 0.

    e) 4a + b = 0.

    56) (ITA-1996) O valor da potncia

    93

    i1

    2

    :

    a) 2

    i1

    b) 2

    i1

    c) 2

    i1

    d) 2 93.i

    e) 2 93 + i

    57) (Uneb-1998) Se i a unidade imaginria, ento i25 + i39 - i

    108 + i.i

    50 igual a:

    a) -1 - i

    b) -1 + i

    c) 1 - i

    d) 1 + i

    e) 0

    58) (FEI-1997) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e 0

    c

    b

    b

    a

    ento o

    nmero complexo c :

    a) 2i

    b) 1 - 2i

    c) 2 - i

    d) 1 + 2i

    e) 3i

    59) (Fatec-1995) O conjugado do nmero complexo z=(1 - i-1

    )-1

    igual a:

    a) 1 + i

    b) 1 - i

    c) 2

    1 (1 - i)

  • d) 2

    1 (1 + i)

    e) i

    60) (UFC-1997) Se i representa o nmero complexo cujo

    quadrado igual a 1, determine o valor numrico da soma

    1 + i + i2 + i

    3 + ... + i

    27.

    61) (UEL-1994) A forma algbrica do nmero complexo z =

    i2

    3i1

    :

    a) 2

    1 3i

    b) 3