números complexos 3

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PARFOR

ELEMENTOS DE MATEMTICA

Nmeros Complexos

x 4!0 2 x ! 4 x ! s 4

2

No conjunto dos nmeros Reais no tem soluo

Imaginrios

x ! s 4 1x ! s 4 1 x ! s2

1 ! i

Nmeros Complexos

R N Z Q I C

Nmeros ComplexosForma algbrica

z ! a, b ! a b

z ! a b a, b R

a p parte real b p parte imaginria

a ! 0 e b { 0 p imaginrio puro b ! 0 p real puro z ! 2

! 2i

Nmeros Complexos

i !1 1 i !i 2 2 i ! 1 ! 1 3 2 i ! i i ! 1 i ! i0

Potncias de i

i !?39 4 3 9

39

Para expoentes maior ou igual a 4, dividimos o expoente por 4 e utilizamos o resto da diviso.

i !i 39 i i

39

3

Nmeros ComplexosIgualdade de nmeros complexos

z ! a biz!w

w ! c di

a!c e b!d

Nmeros ComplexosConjugado de um nmero complexo

z ! a bi

z ! a bi

z

4 3i

z ! 4 3i z ! a bi

Oposto de um nmero complexo

z ! a bi

z ! 4 3i

z ! 4 3i

Nmeros ComplexosSimtrico de um nmero complexo

z ! a bi

sz ! a bi

z

4 3i2 2

sz ! 4 3i

Mdulo de um nmero complexo

z ! a b2

z !V2Norma de um nmero complexo.

!

! a b

2

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Adio

z ! a bi

+

! c di

z w ! a bi c di z w ! a c b d i

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Adio

z ! 2 4i

+

w ! 3 8i

z w ! 2 4i 3 8i

z w ! 1 4i

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Propriedades da Soma Comutativa ! w z

zw z w t ! z w t Associativa Elemento neutro z 0 ! 0 z ! z zw! zw z z ! 0

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Subtrao

z ! 2 4i

w ! 3 8i

z w ! z w

z w ! 5 12i

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Multiplicao

z ! 2 4i

v

w ! 3 8i

z w ! 2 4i 3 8i

z w ! 6 16i 12i 32i z w ! 26 28i

2

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Propriedades da multiplicao Comutativa w z Associativa Distributiva Elemento neutro

zw ! z w t ! z w t z w t ! z w z t

z 1 ! 1 z ! z

zw ! zw

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Observao.:

z z ! a bi a bi

z z ! a bi 2 2 2 2 i ! 1 !a i 2 2 zz ! a b2 2

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Diviso

z ! 2 4iz z w ! w w w

w ! 3 8i

z 2 4i 3 8i ! w 3 8i 3 8i

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Diviso

z ! 2 4iz z w ! w w w

w ! 3 8i

z 2 4i 3 8i ! w 3 8i 3 8i

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Diviso

z ! 2 4iz z w ! w w w

w ! 3 8i2

z 6 16i 12i 32i ! 2 w 9 24i 24i 64i

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Diviso

z ! 2 4iz z w ! w w w

w ! 3 8iz 38 4i ! w 73

Nmeros ComplexosOperaes com nmeros complexos (FORMA ALGBRICA) Diviso

z ! 2 4iz z w ! w w w

w ! 3 8iz 38 4i ! w 73 73

03) Divida o nmero 16 em duas partes cujo produto seja 70.

x y ! 16x ! 16 y2

x y ! 70 16 y y ! 70

y 16 y ! 70 2 y 16 y 70 ! 0

( ! 16 4 70 12

( ! 256 280 ( ! 24

03) Divida o nmero 16 em duas partes cujo produto seja 70.

x y ! 16

x ! 16 y y 16 y 0 ! 0 16 s 24 y! 2 116 s 24 y! 2

x y ! 70 16 y y ! 7016 s 2 6 i y! 2

y ! 8 s 6 i

03) Divida o nmero 16 em duas partes cujo produto seja 70.

x y ! 16x ! 16 y

x y ! 70 16 y y ! 70

y ! 8 s 6 iy1 ! 8 6 i

x1 ! 16 8 6 i x1 ! 8 6 i

8 6 ie

y2 ! 8 6 i x2 ! 16 8 6 i x2 ! 8 6 i

8 6 i

04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) (y2 16)i 16) seja: seja: a) real;

z ! x 6 y 16 i !0 2 y ! s 16 y 16 ! 02 2

y ! 16

y ! s4

y ! s4

04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) (y2 16)i 16) seja: seja: a) Imaginrio puro.

z ! x 6 y 16 !0 {0 x6 !0 x ! 6 x ! 6 x ! 62ou

iy 16 { 0 2 y { 16 y { s 16 y { s42

y { 4

y{4

08) Se

x5 3 x y i ! 6, 2 yi calcule x e y. y2 x5 3 x y i ! 6 2 yi y2

x5 !6 y2 x 5 ! 6 y 12 x ! 6 y 12 5 x ! 6 y 17

x ! 6 3 17

3x y ! 2 y 3x y ! 0 3 6 y 17 y ! 0 18 y 51 y ! 0 17 y ! 51

x !1

y !3

09) Assinale a alternativa correta.

a) i ! i n ! mn m

b) i

42

!i

128

FALSO

FALSO

i ! i ! ... ! 1 i1 ! i 5 ! ... ! i i 2 ! i 6 ! ... ! 1 3 7 i ! i ! ... ! i0 4

42 4 2 10

128 4 0 32

i2 ! i i ! 142

42

2

i 0 !i i !1128

128

0

i {i

09) Assinale a alternativa correta.

c ) i ! i n m mltiplo de 4.n m

VERDADEIRO

i i ! m m i i i !1 m i inm n

n

m

i ! i ! i ! i ! i ! i ! i ! ... ! 10 4 8 12 16 20 24

!1

09) Assinale a alternativa correta.

d) i ! i9

19

e) i ! 12

FALSO

FALSO

9 19

4 21

19 4 3 4

i ! 12

i1 ! i i !i

i3 ! i i ! i

19

i {i

9

19

15) O nmero complexo z = a + bi, {a,b} R, tem mdulo 10. sabemos que a + b = 14. Calcule z. 14.

z ! 10 a b ! 14 a ! 14 b

z ! a b2

2

a b ! 10 a 2 b 2 ! 1002 2 2

14 b

2

b ! 100 b1 ! 6 b2 ! 8 a1 ! 14 6 a2 ! 14 8 a1 ! 8 a2 ! 6z1 ! 8 6i z 2 ! 6 8i

196 28b b 2 b 2 ! 100 2 2b 28b 96 ! 0 p z2 2 b 14b 48 ! 0 b1 ! 6; b2 ! 8

31) (UFSC) Se

z ! a2 b

2

10 i i 3 i 50 , determine z! 2 1 i 22

z

2

10 i i i z!1 2i i 22

10i i i z! 1 2i 1 10i 2i 2 z! 2i

2

10i 2 z! 2i 10i 2 2i z! 2i 2i 2 20i 4i z! 2 4i

20 4i z! 4 z ! 5i z ! 25 1 z ! 262 2

35) (UFSC) Dada a expresso nmero complexo, determine

sendo 2 z z ! 2 zi z z um 2 z

z ! a b2

2

2

2a bi a bi ! 2ia bi a bi 2 2a 2bi a bi ! 2ai 2bi a bi 3a bi ! 2ai 2b a bi 3a bi ! a 2b 2a b i 3a a 2b b 2a b

35) (UFSC) Dada a expresso um nmero complexo, determine

2 z z ! 2 zi z z2

sendo z

z ! a b2

2

2

3a a 2 b 2a b2b ! 0 b!0

4a 2b ! 0 + a b!0 6a // ! 0 a!0

z ! a 2 b2 z !02

2

Nmeros ComplexosForma Polar ou Trigonomtrica (PLANO ARGAND GAUSS)Im (Imaginrio)

b

(a, b) = a + bi bi

a

R (Real)

Nmeros ComplexosForma Polar ou Trigonomtrica (PLANO ARGAND GAUSS)Im (Imaginrio)

z 3 2i2 afixo

3

R (Real)

Nmeros ComplexosMdulo de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Im (Imaginrio)

zb (a, b)

V

z0 a R (Real)

Nmeros ComplexosMdulo de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Im (Imaginrio)

zb (a, b)

V

z0 a R (Real)

Nmeros ComplexosMdulo de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Im (Imaginrio)

zb (a, b)

V

V aPitgoras

z0 a R (Real)

V ! a b

2

2

2

V ! a2 b2

Nmeros ComplexosArgumento de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Im

VP(a, b)

b

U aTrignometria

V U0 a Re

b senU ! V

a cos U ! V

Nmeros ComplexosArgumento de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandArgandGauss o nmero complexo ! 3 i

3,1

0

Im

1

3

1

1

Re

Nmeros ComplexosArgumento de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandArgandGauss o nmero complexo ! 3 i

3,1

V0

Im

1

V!

3 2Re

2

U

V ! 31

V !2

3

1

Nmeros ComplexosArgumento de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandArgandGauss o nmero complexo ! 3 i

3,1

V0

1 V ! 2 senU ! 1 2 3 U cos U ! 2Im

3

1

1

Re

Nmeros ComplexosArgumento de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandArgandGauss o nmero complexo ! 3 i

senU !

1+

Seno

Seno

3 cos U ! 2

+ +Cos

F180 Cos

+

Nmeros ComplexosArgumento de um nmero complexo (PLANO ARGAND GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandArgandGauss o nmero complexo ! 3 i

senU !

1

Seno

3 cos U ! 2

F180 Cos

8 ! U ! 8 U! 5

Nmeros ComplexosForma Polar ou Trigonomtrica

a cos U ! V a V cos U

z ! a bi

b se U ! V b ! V senU

z cos U i senU z ! V cos U i senU Mdulo de z

37) (UFSC) Sendo

oU argumento principal do nmero

U complexo 2 i , ento o valor de , em graus, 2 5 a b 2 2 cos U ! senU ! V ! a b V V V ! 22 ! 4 2 2 senU ! cos U ! V !2 2 2 180 U ! 45 U 35 U p ! ! 27 U ! 0 45 5 5 5 U ! 35

49) (Vunesp) Considerando o nmero complexo

3 1 Q! i , em que i ! 1 , encontre o nmero 2 2complexo