C a p í t u l o

Senoidesy fasoresAquel qLte no sabe v no sabe que no sabe es un idíota; evíÍaro. Aquel c¡ue n.sabe v- sabe que no sabe es un niño; edúcalo. Aquel que sabe 1, no .sabe quesabe está dormido; despíértalo. Aquel que sabe ¡, sabe que sabe es urt sabío;sísuelo.

-Proverbio persa

Mejore sus habilidades y su carrera*)W:&TWM&*%, &ffi*V Y.q W ** l'e"*?, "*e.p**i*ar{ pxr* i*{:t:ti{t..,,,, t...,!.muf¿*r y r***fu*r gar*{*l*rsxs; ** lxg*ní*ri*/, ,La "capacidad para funcionar en equipos multidisciprinarios" es inherente-mente crítica para el ingeniero en activo. Es raro, si es que alguna vez ocu-tre, que los ingenieros trabajen solos. Siempre formarán parte de un equipo.Algo que me agrada recordar a los estudiantes es que no es necesario que lessimpaticen todos los miembros de un equipo: lo único necesario es que seanparle exitosa de ese equipo.

Muy a menudo tales equipos incluyen a individuos de una amplia rarie-dad de disciplinas de la ingeniería y a otros de disciplinas ajenas a la in-se-niería, como mercadotecnia y finanzas.

Los estudiantes pueden adquirir y reforzar de manera fácil esa capacidadtrabajando en grupos de estudio en todos sus cursos. Evidentemente. trabajaren grupos de estudio en cursos ajenos a la ingenieía así como en cursos deingeniería ajenos a su disciplina también Ie dará a usted erperiencia en equi-pos multidisciplinarios.

Fotografía tomada por CharlesAlexander

370 Capítulo9 Senoidesyfasores

Pertiles históricos

Nikofa Tesla 1ts-se-te43) y George Westinghouse (1846-1914) conrri-buyeron a establecer la corriente altema como el modo primario de la trans-misión y distribución de electricidad.

Hoy es obvio que la generación de ca está firmemente establecida comola forma de energía eléctrica que vuelve eficiente y económica la extensa distri-bución de este tipo de energía. Sin embargo, a fines del siglo xrx y principiosdel xx, determinar qué era mejor, si la ca o la cd, se debatió acaloradamentey tuvo muy decididos partidarios de ambos lados. El lado a favor de la cd fueencabezado por Thomas Edison, quien se había ganado enorme respeto porsus numerosas contribuciones. La generación de energía eléctrica con el usode ca en realidad comenzó a asentarse tras las exitosas contribuciones de Tes-la: sin embargo, el verdadero éxito comercial de la ca procedió de GeorgeWestinghouse y el sobresaliente equipo que reunió, entre cuyos miembros secontaba Tesla. Además, hubo otros dos nombres importantes: C. F. Scott y B.G. Lamme.

La contribución más significativa a los primeros éxitos de la ca fue la pa-tente lograda por Tesla en 1888 del motor polifásico de ca. El motor de in-ducción y los sistemas polifásicos de generación y distribución sentenciarona muerte el uso de la cd como fuente primaria de energía.

9.1 lntroducciónHasta ahora el análisis se ha limitado en su mayor parte a circuitos de cd: loscircuitos excitados por fuentes constantes o invariables en el tiempo. se harestringido la función de fuerza a fuentes de cd por simplicidad, razones pe-dagógicas y, también, razones históricas. Las fuentes de cd, históricamenre.fueron el principal medio de suministro de energía eléctrica hasta fines del si-glo xtx; a finales de ese siglo comenzó la batalla de esa coriente contra lacorriente alterna. Ambas tenían defensores entre los ingenieros eléctricos dela época. A causa de que la ca es más eficiente y económica para la transmt-sión a grandes distancias. los sistemas de ca terminaron imponiéndose. porello, en correspondencia con la secuencia histórica de los acontecimientos seha considerado primero las fuentes de cd.

Ahora -qe inicia el análisis de circuitos en los que la tensión o la corrien-te de fuente varía con el tiempo. En este capítulo nos interesará en particularla excitación senoidal variable con respecto al tiempo, o simplemente excita-ción por una senoide.

Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno.

una corriente senoidal se conoce usualmente camo corriente alterna (ca). Es-ta corriente se invierte a intervaloi regulares y tiene valores alternadamentepositivo y negativo. Los circuitos excitados por fuentes de corriente o tensiónsenoidal se llaman circu-itos de ca.

Las senoides interesan por varias razones. primero, la propia naturalezaes característicamente senoidal. Hay variación senoidal en el movimiento deun péndulo, la vibración de una cuerda, las olas en la superficie del océano yla respuesta natural de sistemas subamortiguados de segundo orden, por men-cionar sólo unos cuantos ejemplos. Segundo, una señal senoidal es fácil degenerar y transmitir. Es la forma de la tensión generada en todo el mundo y

George Westinghouse. FotografíaO Bettmann/Corbis

9.2 Senoides

suministrada a hogares, fábricas, laboratorios, etc. Es Ia forma dominante deseñal en las industrias de comunicaciones y energía eléctrica. Tercero, por me-dio del análisis de Fourier, cualquier señal periódica práctica puede represen-tarse como una suma de senoides. Las senoides, por lo tanto, desempeñan unimportante papel en el análisis de señales periódicas. Por último, una senoi-de es fácil de manejar de manera matemática. La derivada y la integral de unasenoide son ellas mismas senoides. Por éstas y otras razones, la senoide esuna función extremadamente importante en análisis de circuitos.

Una función forzada senoidal produce tanto una respuesta natural comouna respuesta en estado estable, a semejanza de la función de escalón vistaen los capítulos 7 y 8. La respuesta natural se extingue con el tiempo, de mo-do que sólo la respuesta en estado estable permanece. Se dice que el circuitoopera en estado estable senoidal cuando la respuesta natural se ha vuelto des-preciable en comparación con la respuesta en estado estable. La respuesta se-noidal en estado estable es la que más nos interesará en este capítulo.

Se inicia con una exposición básica de senoides y fasores. Después sepresentan los conceptos de impedancia y admitancia. Las leyes de circuitosbásicas, de Kirchhoff y Ohm, ya presentadas en relación con los circuitos decd, se aplicarán a circuitos de ca. Por último, se consideran aplicaciones de cir-cuitos de ca en desfasadores v Duentes.

9.2 SenoidesConsidere la tensión senoidal

u(t) : V- senot (e.1)

donde

V,n : la amplitud de la senoide

at : la.frecuencía ang,ular en radianes/s

at : el argumento de la senoide

La senoide se muestra en la figura 9.1¿) como función de su argumento, y enla figura 9.1á) como función de tiempo. Es evidente que la senoide se repitecada Z segundos; así, Z se llama periodo de la senoide. En las gráficas de lafigura 9.1 se observa que aT :2rr,

(e.2)

u ( ¡ )

Y,0

-u,,

Figura 9.1Gráfica de V,, sen r,.rl: a) como función de at, b) como función de ¡.

3 7 1

u (¡)

Y,,(.)

Y,,

Capitulo 9 Se' ordes y fasores

Pertiles históricos

Heinrich Rudorf Herlz (1857-1894), físico experimenral alemán, demostróque las ondas electromagnéticas obedecen las mismas leyes fundamentales quela luz. Su labor confirmó la celebrada teoría y predicción hecha en 1864 porJames Clerk Maxwell de que tales ondas existían.

Hertz nació en el seno de una próspera familia en Hamburgo, Alemanra.Asistió a la Universidad de Berlín, e hizo su doctorado bajo la conducción deldistinguido físico Hermann von Helmholtz. Fue profesor en Karlsruhe, dondeinició su indagación de las ondas electromagnéticas. Generó y detectó exito-samente ondas electromagnéticas; fue el primero en demostrar que la luz esenergía electromagnética. En 1887 señaló por primera vez el efecto fotoeléc-trico de los electrones en una estructura molecular. Aunque sólo vivió 37 años,su descubrimiento de las ondas electromagnéticas pavimentó el camino parael uso práctico de tales ondas en la radio, la televisión y otros sistemas de co-municación. La unidad de frecuencia. el heltz. lleva su nombre.

El hecho de que u(t) se repita cada T segundospor 1 + Z en la ecuación (9.1). Así se obtiene

se demuestra remplazando f

u(t + T) : V,,senlo(t + Z) :

(e.3): V, , ,sen(aÍ + 2n) : V, , ,senat : u( l )

En consecuencia.

| 2 ¡ \7 - s e n r o [ r * I

\ (t-) '/

Cortesía de The Burndy Library'Cambridge, Massachusetts.

La unidod de f se bautizó ¿n honoral físico alemén Heinrich R. Hertz(1 857-1 894)

u ( t + T ) : u ( t )

lo cual quiere decir que u tiene el mismo valor enque u(0 es periódictt. En general,

Una función periódica es aquella que sat¡sfac€ f (t) : f(t * nI) para cual-qu¡€r f y para cualquier n entero.

Como ya se mencionó, el perioclo I de la función periódica es el tiempo deun ciclo completo, o el número de segundos por ciclo. El recíproco de estacantidad es el número de ciclos por segundo, conocido como .frecuencía cí-cLica f de la senoide. Así,

(e.s)

(:e.4)

/ f Zque en /, y se dice

De las ecuaciones (9.2) y (9.5)

Mientras que ., está "n

.u¿ion.l

se desprende claramente que

: 2trf (9.6)

por segundo (rad/s),.1'está en hentz (Hz).

Considérese ahora una expresión rnás general de la senoide.

u(.t) : V,, sen(a;/ * S)

donde (rot + @) es el argumento y d es la.fase. Tanto elfase pueden estar en radianes o grados.

Examínense las dos senoiclei

ut(t) : Vn senat y uzQ) : V^sen(a,tt - f $¡ (e.8)que aparecen en la figura 9.2.8r punto de parrida de u2 en la figura g.2 0cu-rre primero en er tiempo. por lo tanto, se ái.. qua u2se arleranta au, en óo que ur se utrasq de u2 en é Si é * 0, también se dice que ur y u2 estándesfasadas. Si d : 0, se dice que ur y u2 están en.fase; afcanzansus valoresmínimos y máximos exactamente al mismo tiempo. Se puede comparar uj yu2 de esta mancra porque operan a ra misma frecuencia: no es neccsario quetengan la misma amplitud.

Figura 9.2Dos senoides con dif'erentes fases.

una senoide puede expresarse en forma de seno o de coseno. cuando secomparan dos senoides, es útil expresar ambas como seno o coseno con am_plitudes positivas. Esto se realiza usando las siguientes identidades trigono-métricas:

sen A cos B -¡ cosA sen B

cos A cos B -+ sen A sen B

I2 Senoides

(:9.7)

argumento como la

(e.e)sen(A -].

cos(A -FB ) =

B ) :

Con estas identidades, es fácil demostrar que

sen(curl -r 180') : -sen¿¿/

cos(col -¡ 180") : -cos(d/

sen(ol +- 90') : +cos¿¿/

cos(c.r/ -+ 90") : -r sen ¿r.rf

(e.10)

Usando estas relaciones se puecle transformar una senoide de la forma seno ala forma coseno o viceversa.

u2 = V,, sen(.at + $)

+ cos o,

Capítulo9 Senoidesyfasores

Puede emplearse un método gráfico para relacionar o comparar senoidescomo opción al uso de las identidades trigonométricas de las ecuaciones (9.9)y (9.10). considérese el conjunto de ejes que se presenra en la figura 9.3a).El eje horizontal representa la magnitud del coseno, mientras que el eje ver-tical (el cual apunta hacia abajo) denota la magnitud del seno. Los ángulos semiden positivamente en sentido contrario al movimiento de las manecillas delreloj desde el eje horizontal, como suele hacerse en coordenadas oolares. Es-ta técnica gráfica puede utilizarse para relacionar dos senoides. por ejemplo,en la figura 9.3a) se observa que restar 90o al argumento de cosa.¡1 da sen@/,o cos(crrl - 90'): seno/. De igual manera, sumar 180. al argumento deseno/ da -Senrt,l1, o sen(rr-rf + 180'): -Sen¿¿f, como se muestra en la fieu-ra 9.3b¡ .

Esta técnica gráfica también puede aplicarse para sumar dos senoides dela misma frecuencia cuando una está en la forma seno y la otra en la formacoseno. Para sumar A cos¿¿¡/ y Bsenot, se advierte que A es la magnitud decos¿r.¡/ mientras que B es la magnitud de senorf, como se observa en la figura9.4a).La magnitud y el argumento de la senoide resultante en la forma cose-no se obtienen fácilmente del triáneulo. Así.

A cosat * B sen¿oi : Ccos(a.¡¡ - g) (e.1r)

donde

+ sen @¡

+ cos (,1

+ sen o¡

b )

Figura 9.3Medio gráfico para relacionar coseno yseno: a) cos(arr * 90") : sen¿d/,D) sen(a.rr + 180") : -sen@/.

a )

C : \/F-+ u2,

Por ejemplo, se puede sumar 3 cos @/ ygura 9.4b) y obtener

^ - r BU : t a n ' -

^

sen 0¡

b)

b) suma de 3 cos at y -4 sen at.

-4 sen ¿¿/ como se muestra en la fi-

(e.r2)

3 cos¿.¡/ - 1 senat : 5 cos(a.¡r + 53.1') (e.13)

En comparación con las identidades trigonométricas de las ecuaciones(9.9) y (9'10)' el método gráfico elimina la memorización. Sin embargo, nose debe confundir los ejes de seno y coseno con los ejes para números com-plejos que se explicarán en la siguiente sección. Algo más por señalar en lasfiguras 9.3 y 9.4 es que aunque la tendencia natural es que el eje vertical apun-te hacia arriba, la dirección positiva de la función seno es hacia abaio en elpresente caso.

Figura 9.4¿¡) Suma de A cos at y B sen at.

COS @¡

9.2 Senoides

Halle la amplitud, fase, periodo y frecuencia de la senoide

u(.t) : 12 cos(5or + 10.)

5olución:

La ampl i tud es V,n: l2y.La fase es @ : 16".La frecuencia angular es rr,l : 50 radls.

El per iodo , , T : ?o 2¡; : s o

: o ' 1 2 5 7 s '

La frecuencia es / : | : r .OSAUr.

Dada la senoide 5 senl4zr -lar. periodo y fiecuencia.

60'), calcule su amplitud, fase, frecuenciu ansu_ Problemapráctica 9.1de

Respuesta: 5. 12.57 rad/s.O.5 s, 2 Hz.

Calcule el ángulo de fase entre ur : -l0cos(ctrt + 50") y uz : 12 senlr¡ _10"). Indique cuál de ambas senoides está adelantada.

Solución:Se calculó la fase de tres maneras. Los dos prlmeros métodos se sirven deidentidades trigonométricas, y el tercero det entOque gráfico.

I MÉTODO f para comparar ut y uzse debe expresar en la misma for_ma. Si se expresa en la forma .or.no-.on amplitudes positivas,u r : - l 0cos (<¿r + 50 ' ) : l 0cos (o r + 50 " - l g0 " )

ur : lOcos(rr ; / - 130' ) o ur : lOcos(r ,_rr + 230.) $.2.1\v

u2: 12 sen(arr - 10) : 12cos(at - 10" _ 90.)uz : 12 cos (co l - 100 " )

De las ecuaciones (9.2.1) y (9.2.2) puede deducirse que la diferencia.e faseentre u1 y u2 es de 30". puede escribirse u, como

uz: 12 cos(rrrr - 130. + 30.) o uz: l2cos(.at + 260.) (9.2.3)

La comparación de las ecuaciones (9.2.r) y (9.2.3) indica craramente que u?se adelanta a u1 en 30o.

I MÉTODO 2 Alternativamente, se puede expresaf ul en Ia fbrma seno:ur : - l0cos(<r . r r + 50.) : l0sen(or + 50" * 90.)

: l0 sen(arr - 40) : 10 sen(tur _ 10. _ 30.)

(e.2.2)

sen o¡

Figura 9.5Para el ejemplo 9.2.

Problemade práctica 9.2

Charles Proteus Steinmetz (1 8ó5-1 923)fue un matemético e ingeniero eléctr\-co alemén-austrioco

En el apéndice B se presenta un brevetutorial sobre números complejos.

Capítu lo9 Senoidesyfasores

Pero u" : r2sen(at - 10").La comparación de estas dos ecuaciones indicaque ul se atrasa de u2 en 30". Esto es lo mismo que decir que u2 se adelan-ta a u1 en 30'.

r MÉToDo 3 Se puede considerar a ur como simpremente -10 cosar/con un desplazamiento de fase de *50". Así, u¡ es como se muestra en la fi-gura 9.5. De igual manera, u2 es 72 senrr/ con un desplazamiento de fase de-10o, como se muestra en Ia figura 9.5. En esta figura se advierle fácilmen-te que u2 se adelanta a ul en 30o, es decir 90. - 50. - 10".

Halle el ángulo de fase entre

it : -4 sen(3llt + 25")

se adelanta o se atrasa de 12?

i 2 : 5 c o s ( 3 7 7 t - 4 0 " )

Respuesta: 155', i r se adelanta a ü.

9.3 FasoresLas senoides se expresan fácilmente en términos de fasores, con los que esmás cómodo trabajar que con las funciones seno v coseno.

un fasor es un número comple.io que representa la amplitud y la fase de unasenolde.

Los fasores brindan un medio sencillo para analizar circuitos lineales excita_dos por fuentes senoidales; las soluciones de tales circuitos serían impractica-bles de otra manera. La noción de resolver circuitos de ca usando fasores lapropuso originalmente charles steinmetz en 1g93. pero antes de definir cabal-mente los fasores y aplicarlos al análisis de circuitos, hay que familiarizarsepor completo con los números complejos.

un número complejo : puede escribirse en forma rectangular como

z : x + . ¡ \ (9.14a)

donde 7 : l1; ¡ es la parte real de ¡ y.1, es la parte imaginaria de ¿. Eneste contexto, las variables x y -l¡ no representan una posición, como en elanálisis de vectores bidimensionales, sino las partes real e imaginaria de ;en el plano complejo. No obstante, cabe señalar que existen algunas seme-janzas entre la manipulación de números comprejos y la de váctores bidi-mensionales.

El número complejo ¿ también puede escribirse en forma polar o expo_nencial. como

z : r / _ ó : r e j ' b (9.r4b)

Pertiles históricoscharles Proteus steinmetz (r865-r923), maremárico e ingeniero ale-mán-austriaco' introdujo el método fasorial (tratado en este cap"ítulo) en elanálisis de circuitos de ca. También destacó por su labor en la teoría de lahistéresis.

Steinmetz nació en Bresrau, Aremania, y perdió a su madre cuando teníaun año de edad. En su juventud se vio obligado a salir de Aremania a causade sus actividades políticas justo cuando estaLa a punto de terminar su tesis dedoctorado en matemáticas en la universidad de Bresrau. Emigró a Suiza y des-pués a Estados unidos, donde fue contratado por Generar Electric en r g93. Esemismo año publicó un estudio en el que po, p.rn'".o vez se usaban númeroscomplejos para analizar circuitos de ca. Ésto condujo a uno de sus principa-les libros de texto, Theo!; and Calculation oJ'ac phenomena, publicado porMcGraw-Hill en r897, En r90l se le nombrá presidente del American rnsti-tute of Electrical Engineers, que más tarde se conveftlría en el IEEE.

donde r es la magnitud de ; y { la fase de :. Se advierte entonces gue : pue_de representarse de tres maneras:

9.3 Fasores

(e.1s)

(9.16a)

(e.r6b)

(e.r7)

3 : ,r + .l,l Forma rectangular

r f! Forma polar

reta Forma exponencial

, : f 7 + t 2 , ó : r a n - r Ix

Por otra parte, si se conoce r y S, se puede obtener x y y como

x : r c o s Q ,

Así, z puede escribirse como

) : i ' s e n é

: : r + j . r : , / ! - : r ( c o s ó * j s e n ó ) Figura 9.6Representación de un número complejo? : , r + j y : r / _ 9 -

z =

La relación entre la forma rectangurar y ra polar se muestra en la figura9'6' donde el eje r representa la parte ieal y el eJe .r ra parte imaginaria de unnúmero complejo. Dadas ¡ y ):, se puede obtener r y ó como

Eje real

.J

, ) ;

La suma y resta de números complejos es más sencilla en ra forma rec-tangular; la multiplicación y división lo ton en forma polar. Dados los ntme_ros complejos

¿ : , r r i l : , 1 ! . t r : r ¡ * j t , : r , / g 1

Zz: xz + j., '-z: rz/óz

son lmportantes las siguientes operaciones.Suma:

Zt * zz: (¡r * x2) + ie1 + y2) (9.18a)

Capítulc9 Sencidesyfasores

Resta:

Zt - ?.2 = (¡r - xz) +j j t _ yz)

Multiplicación:

Z 1 Z 2 : f 1 f 2

División:

1 : \ / ó , - ó ,L 2 f 2 ' ' '

(e.18b)

(9.18c)

(9.18d)

Inverso:

Raíz cuadrada:

ú: r; /st,Conjugado complejo:

z x : ¡ - j y = r / - ! : r r i a

Nótese que con base en el ecuación (9.lge),

I- : - '¡

cos4t : Re(e/+)

sen dt : Im(eiÓ)

Estas son las propiedades básicas de los números complejos que se necesitan.En el apéndice B se pueden hallar otras p-pi"aua", ¿. io, n,i."ros compre-JOS.

La idea de ra representación fasorial se basa en la identidad de Eurer. Engeneral,

:! ¡th( ' : c o s @ * 7 s e n g )

lo que indica q-ue se puede considerar a cos@ y sen @ como las partes real eimaginaria de eió; se puede escribir

l l / .- : - / - Óz , r ' ' (9.18e)

(9.18f)

(e.18e)

(e.18h)

(9.19)

donde Re e Im signific an ra parte rear de y 'a parte imaginaria de. Dad,a una

::il;d" u(t) : v' cos(rol + d), s" usa la Lcuaci ón (9.20a)para expresar u(/)

(9.20a)

(e.20b)

(e.21)

(e.22)

(e.23)

o sea

Por lo tanto,

u(t) : V- cos(<r.r/ + ó) : Re(V,,ei@t+ót',

u(¡) = Re(V,,s"iÓ.i-t¡

u(l) : Pe1Y".l-1

donde

V : V m e t Q : V ^ / ! (e.24)

9.3 Fasores

v es entonces la representació,.fasoriar de ra senoide u(r), como ya se dijo.En otras palabras, un fasor .r unu representación compleja de la magnitud yfase de una senoide. La ecuación (s.2oa) o (9.20b) pueoÉ utitizarr" pu.u oe-sarrollar el faso¡ aunque la convención estándar es utilizar la ecuación (9.20a).Una manera de examinar las ecuaciones (9.23) y (9.2a) e, consid"ra, lagráfica del sinor Yei'' : V,,¿i(-t+ót en el plano complejo. Al aumentar eltiempo. el sinor rota en un círculo de radio v^ u unu verocidad angurar co ensentido contrario a ras manecillas del reloj,

"oáo r. advierte enrafrgura9.7a).

Se puede considerar u(/) corno ia proyección del sinor Vrr-, "n

Ji.¡e ,"at,como se advierte en ra figura g.,b).Er valor del sinor en er tiempo i --'0 ., "lfasor v de la senoitle u(r) El si'or puede juzgarse como un fasor giratorio.Así' cada vez que una senoide ,.

"^p."ru como faso., el término e.i,ut está im-plícitamente presente. En consecuencia, al tratar con fasores es importante te-ner en cuenta la frecuencia o der fasor; de ro contrario, se puede cometergraves erTores.

379

I Un fasor puede consro erdrse ca- . ,-f equivalente mdtemétrco o€ Lrnd se-: _f de sin la dependencra del tre,npc

ISi se usa el seno para el fasor en vezdel coseno, entonces v(t) : V.sen(at + g) : lm(Vmer@t*ó)) y el fasorcorrespondtente es el mismo que eide la ecuación (9.p4).

Se usan cursivas como z para repre_sentor números complejos, pero negri-tas como V para representar fosores,porque los fasores son contidades se_mejantes a los vectores.

Rotación a a rad./s

u \ h lFigura 9.7Representaciórt deyeju": a) sinor que rota en sentido contrario de las maneci-llas del reloj, &) su proyección en ei eje..ut, .uÁoiuncrón de tiemoo.

La ecuación (9.23) estabrece que para obtener la senoide correspondien-te a un fasor V dado, se multiplica el ?asor por el factor de tiempo er-, y setoma la parte real. como cantidad compleja, un fasor pued. "^pr"r*r"

en for_ma rectangular' forma polar o forma exponencial. Dado que un fasor poseemagnitud y fase ("dirección"), t" .o-portu como un vector y se representa ennegritas. Por ejemplo, tosfasores v :'v.,/_Q.er : I*1_1!ó."pr.i"nion g.a_ficamente en la figura 9.g. Esta ."pr"r.n?ñion gráfica de fasores se conocecomo dictgrama J'a.s orial.Las ecuaciones (9.2r) a (9.23) revelan que para obtener er fasor cones_pondiente a una senoide, primero se expresa la senoide en la forma de cose_no para que sea posibre escribirra corno la parte real de un número complejo.Después se elimina el f'actor de tiempo ,t'i, y ro que resta es el fasor cones_pondiente a la senoide- Al suprimir er factor de tiempo, se transforma ra se_

1o1og ael dominio temporal ar dominio fasorial. Esta transformación se resumedel siguiente modo:

u(t) : V,n cos(a.rl * @) +> V : V.-./ó(Representación en rn.pr.."notí

"nel dominio temporal) ét ¿bminio faioi¡at)

u( , = Re(Ve io¡ )

(e.2s)

380 Capítulo9 Senoidesyfasores

Eje imaginario

Eje real

Figura 9.8Diagramafasorial deV : V^ 1g_"I: 1,, f

*0.

Dada una senoide u(r) : v,, cos(('.)/ + @), se obtiene er fasor correspon-diente como Y : V,n & f" ecuación (9.25) se demuestra asimismo en la ta_bla 9.1, donde se considera ra función seno además de la función coseno. Enla ecuación (9.25) se advierte que para obtener la representación fasoriar deuna senoide, ésta se expresa en la forma de coseno y se toman la magnitud yla fase. Dado un fasor, la representación en el dominio temporal se obtienecomo la función coseno con la misma magnitud que el fasoi y el argumentocomo .,r más la fase del fasor. La idea de expresar información en domrnlosaltemos es fundamental en todas las áreas de la ingeniería.

TABTA 9.1 Transformación senoide_fasor.Representación en el dominio

temporal

V,,, cos(al -t Q)

V,,,sen(ot * S)

I,,,cos(.at I 0)

I,,,sen(.at * 0)

Representación en el dominiofasorial

v^ /g_v- /ó - 90.

h,&_1,, /0

- 90"

obsérvese que en la ecuación (9.25) se ha suprimido el factor de frecuen-cia (o de tiempo) et-' y que la frecuencia no se muestra explícitamente en larepresentación en el dominio fasorial, porque ., es constante. Sin embargo, larespuesta depende de r¿. Por esta razón, el dominio fasorial también se cono_ce como dominio frecuencial.

A partir de las ecuación (9.23) y (9.24), u(¡): Re(V¿i-,): V^ro,(ot + ó), de manera que

du,1,

: -.V,,sen(col + ó) : oV^cos(at + ó + 90.)

: Re(.aV,net-r ejÓ eieo") : p.e( j@V ei-')(e.26)

9.3 Fasor¿s

,uil:, tnot.u que la derivada de u(t) se rransforma al dominio fasorial como

<+ jay

(Dominio fasorial)

(e.27)(Dominio temporal)

?irt:.*t modo, la integral de u(r) se rransforma al dominio fasorial como

(e.28)

Evalúe estos números complejos:

a¡ @o/29 + 2o/-30'¡t/z

b)1 0 L : 0 . + G - j 4 )__=_(2 + j4)(3 -. i5)*

Solución:

a) Al aplicar ra transformación de coordenadas porares a rectangulares,

401:0. = 40(cos50. *7 sen50.) : 25.71 + i30.6420L30" : 20[cos(-30) +¡sen(-30") l : 17.32 _ j10

La suma da por resultado

du

dr

381

La derivación de una senord e ee- ,. z_a multiplicar su fosor correspond e_i¿por ja

! lntesror una senojde equrvdte o djvro,"

I su ldsor correspondrente entre jLo[ . . " . v

J U d r < +

j ;(Dominio temporal) (Dominio fasorial)

La ecuación (9.27) permite el remplazo de una derivada respecto al tiem_po por la murtiplicación de jc,-r en el ion-,inio tasoriar, mientras que la ecua_ción (9.28) permire el remplazo d. ;;;'j;;división.í,. i jr." er dominio fasoriat. r_u::q*'respecto-al riempo por la

útires en ra determinación <re la ,"1".,ó" ;:;il:':ffi li¡1^rl"X;i;1lf::re conocer los valores iniciales de ras variables implicadas. Ésta es una de lasaplicaciones importantes de los f.asores.Además de la derivación e integración respecto aJ tiempo. otro irte uso de ros fasores resicle en ra sima ¿. *noia., ¿. ru ,nir,no 'r.llllril. $Esto¡e i lustra mejor con un elemplo, el 9.6.Conviene ,uU.uyu, tas ¿iferencia, .ntr""rf¡l y V,

f

1' u(t) es ra representación ínstantcínea o en er crt¡minio Íenq)orar,mientras

, ;ü ff:#.'lll;'::ll*'un de ¡'ecuerlcio o 'n 't ao"rnio'.¡o,iir.

vidar este hecho.) lempo! mientras que v no' (Los estudia;t., *"t.n ol-

3' u(/) siempre es real y no tiene ningún término comprejo, mientras que ves generalmente compleja

Finalmente, se debe tendo r a frec u en ;, ; ;:,'. J:l[i :i "r,l1.f i Í TTffi :T]# !: xrj ffJ ::_ñales senoidales sólo si son de la misma frecuencra.

La suma de senoides de la mrsma fre_cuencia equivale d sumar sus corres_pondientes fasores.

Ejempto 9J

4A/5O. + 2A/_j\" __ 4j.\ j + iz\\sA : 4-t:12/zsss

382 Capítulo9 SenoidesYfasores

Calculando la raíz cuadrada de esta expresión,

úof5o" + 2of -30")t 2 : 6'9lf t2.8t '

b) A1 aplicar la transformación polar-rectangular, suma, multiplicación y di-

visión,

r\f -30" + (3 - i4) 8 . 6 6 - j s + ( 3 - j 4 )(2 + j4)(3 - js)* (2 + i4)(3 + is)

r r .66- is _ r4 .13L! .66 '-14 + j22 26.08f 122.41"

: o.s6s / -160.13"

Problemade práctica 9.3

Ejemplo 9.4

Problemade práctica 9,4

Evalúe los siguientes números complejos:

a) t(5 + j2)(-I + i4) - 5f 60"1*

l 0 + t 5 + 3 / 4 0 "U # r 1 0 / 3 0 .- 3 + i 4

Transforme estas senoides en fasores:

a ) i : 6 c o s ( 5 0 r - 4 0 " ) AS:¡ p : -4 sen(3Ot + 50') V

Solución;

a) i : 6 cos(50r - 40') tiene el fasor

r : 6 f - 4 0 " A

b) Puesto que -sen A : cos(A + 90"),

u : -4 sen(30t + 50') : 4 cos(3Or *: 4 cos(30r *

La forma fasorial de u es

v : 4 / 1 4 0 ' v

Exprese estas senoides como fasores:

a) u : -'7 cos(2t + 40") Vb) i : 4 sen( lOr + 10 ' ) A

Respuesta: c) V : 7 f220" V. b) I : 4/'80" A.

50 '+ 90 ' )140") v

Respuesta: a) -15.5 - i13.67, b) 8'293 + i2.2.

rlilIt

9 3 Fasores

Halle las senoides representadas por estos fasores:

c t ) I = - 3 + i 4 Ab ) V : j 8 e - i z o " ,

Solución:

a) | : -3 + j4 : 5/126.g7". Transfbrmando al dominio del tiempo

i(t) : scos(a.rt + 126.81.) A

á) Puesto que j: I/90o,

/so" - 20.: B/70.vLa transformación de esto al dominio temporal da por resultado

u ( / ) : 3 c o s ( a ; / + 7 0 . ) V

Respuesta: a) u(t) : l0cos(ror + 210.) v, b t(0: 13 cos(rr ;r *22.62") A.

Dadas i¡(r) : 4 cos(rr.r/ + 30.) A e i2Q):

Solución:

y su fasor es

I z : 5

Si se concede que i : ít * i2, entonces

I : 11 + lz: 4/30" + 5/-U0"= 3 .464 + j2 _ t . j t _ j4 .698: 1 .754 _ j2 .698= 3.2t8[56.97. A

Este^es un uso importante de los fasores: para la suma de senoides de la mis_ma frecuencia. La corriente i¡(/) está en la forma estándar. Su fasor es

r , : aE !Se debe expresar i2(t) en la forma de coseno. La regla para convertir el senoen coseno es restar 90.. Así.

i2 : 5 cos(a-rt * 20' - 90.) : 5 cos(a;r - ¡0..t

Halle las senoides correspondient., u "rto,

fu"_"_.--

4 ) V : * 1 0 / 3 0 " vb) r: j(s --l^ A

Problemade práctica 9.6

Problemade préctica 9.7

Pero r¿ : 2. así que

Capítulo9 SenoidesYfasores

Al transformar esto al dominio temporal se obtiene

i(t) : 3'218 cos(col - 56'91") A

Desde luego que se puede hallar il + i2 mediante la ecuación (9'9), pero ése

es el método difícil.

S iu r : - l 0sen (o t + 30 " ) Y yu r : 20cos (¿¿ l - 45 ' ) V 'ha l l e u

Respuesta: u(r) : 10.66 cos(rr;/ - 30.95") V.

Aplicando el método fasorial, determine la corriente l(t) en un circuito des-

crito por la ecuación integrodiferencial

4 l + 8 l , o , - ¡4 : socos(2 t * 75 ' )l d r

Solución¡Se transforma cada término de la ecuación del dominio temporal al fasorial'

Teniendo en cuenta las ecuaciones (9.27) y (9.28), se obtiene la forma faso-

rial de la ecuación dada como

RI4I +

-- - 3.ial -- 50/75".lu

r | 4 - i 4 - i 6 t : 5 0 f 1 5 "

50 /':'5"" " / - 50 f] 5": 4.642/143.2" A

4 - j10 10j7 f -68.2"

Al convertir esto al dominio temporal,

i(t) : 4.612 cos(2r * 143'2') A

Tenga presente que ésta es sólo la solución de estado estable, y que no se re-

ouiere conocer los valores iniciales.

Halle la tensión u(r) en un circuito descrito por la ecuación integrodiferencial

d u f2 : + 5u + l0 | u d t :20 cos(5r

d t J

aplicando el método fasorial.

Respuesta: u(f¡ : 2.12 cos(5r - 88") V.

9.4 Relaciones fasoriales de elementos de circuitos

9.4 Refaciones fasorial es de elementosde circuitos

Ahora que ya se sabe cómo representar una tensión o una corriente en el do-minio fasorial o frecuencial, el lector se podía preguntar legítimamente cómoaplicar eso a circuitos que implican a los elementos pasivos R, L y C. Lo quese debe hacer es transformar la relación de tensión-corriente clel dominio tem-poral al dominio frecuencial en cada elemento. Hay que adoptar de nuevo laconvención pasiva de los s ignos.

Iníciese por el resistor. si la corriente que circula por el resistor R esi: I,ncos(.at + ó),la tensión a través de él está dada por la lev de Ohmcomo

385

I

+ i

V = I R

b)

Figura 9.9Relaciones de tensión-corriente de un re-srstor en el: n) dominio temporal, b) do-minio fiecuencial.

o R eFigura 9.10Diagrama fasorial para el resistor.

I

l

i

u . : ; L

II

- l^ l

_ . , d i

0) b )

Figura 9.1 IRelaciones de tensión-cor¡iente de un in-ductor en el: a) dominio temporal, D) do-minio de frecuencia.

I

" l

+ il:'

, ':,

I_ l

u = l R

d )

u : i R : R l ^ c o s ( a t * $ )

La forma fasorial de esta tensión es

V : RI , , / !

Pero la representación fasorial de la corriente es I : t^f!-. Lsi,

V : R I

lo que indica que la relación tensión-corriente del resistor en el dominio faso-rial sigue siendo la ley de ohm, como en el dominio temporal. La fi-eura 9.9ilustra las relaciones de tensión-corriente de un resistor. cabe señalar ..ro..roa la ecuación (9.31) que tensión y corriente están en fase. como lo i lustra eldiagrama fasorial de la figura 9.10.

En cuanto al inductor L. supóngase que la corriente que circula por él esi : I^ cos(cr.rr + S). Así, la tensión a través del inductor es

atu : L , ^ :

- oL I , n sen (¿ r l + d )a l

(e.32)

Recuérdese de la ecuación (9.10) que -senA: cos(A + 90"). Se puede es_cribir la tensión como

u : atLln,cos(c.r/ + ó + 90")

lo que al transformar en la forma fasorial da por resultado

Y : aLl,,ei(ó+e0') : aLl,,ejóejqo" : aLI^/ó + g0"

Pero l-ft: I, y con base en la ecuación (9.19), e.¡eo" -j. por lo tanto,

Y : jaLl (e.3s)1o cual indica que la tensión tiene una magnitud de aLI,, y una fase deó + 90'. La tensión y la corriente están desfasadas 90o. Específicamente, lacoriente se atrasa de la tensión en 90o. En la figura 9.1I se muestran las re-laciones tensión-corriente del inductor. En la figura 9.12 se muestra el diagra-ma fasorial.

En cuanto al capacitor c, supóngase que la tensión a través de él es u :V^cos(at + $:).La corriente a través del capacitor es

(e.36)

(e.2e)

(e.30)

(e.31)

I

r-l., , : r t

*__]y = jaLl

(e.33)

(e.34)

dui : C -

dt

, , ReFigura 9.12Diagrama f'asorial para el inductor; Ise atrasa de V.

Aunque es igualmente conecto dec rque la tensión del inductor se odela¡iea la corriente en 90", lo conv¿nción esindicar la fose de la coniente er, re a-ción con la de lo tensión.

Al seguir los mismos pasos dados en el caso del inductor o al aplicar la ecua-ción (9.27) en la ecuación (9.36) se obtiene

I : j a f Y + V :I

.iaC(e.37)

Capítulo 9 Senoides yfasores

flu ::i::: c

_ l^ t, ^ d v

O T

a) b)

Figura 9.13Relaciones de telrsión-corr ien-te del capacitor en el: a) do-minio temporal, D) dominiofrecuencial.

0

Figura 9.14Diagrama fasorial para el capacitor; Ise adelanta a V.

lo que indica que la corriente y la tensión están desfasadas 90.. para ser másespecíficos' la corriente se adelanta a la tensión en 90o. En la figura 9.r3 apa-recen las relaciones tensión-corriente del capacitor, y en la figula 9.14 el dia-grama fasorial. En la tabra9.2 se resumen las representaciones en el dominiotemporal y en el dominio fasorial de estos elementos de circuitos.

TABLA9.2 Resumen de relaciones de tensión_corr¡ente,Elemento Dominio temporal Dominio de frecuencia

u : R idi

u : [ , -dt

. ^Lludt

v 12/15"I -

jaL j60 x 0. i

L2/45'= 2/-45" A

6/90"

Al convertir esto al dominio tenrporal.

i ( t ' ; l : 2 c o s ( 6 0 r - 4 5 ) A

R

L

V : R I

Y :.jaLl

V : I

j.C

Ejemplo 9.8

Problema

La tensión u : 12 cos(60r + 45') se aprica a un intluctor cle 0.1 H. Halre laconlenfe en estado estable que circula por el inductor.

Solución:En el caso del inducto¿ Y : jotLl, donde ¿,.¡ : 60 rad/s y V : 12f 45. V. Así,

Si la tensión u : 6 cos(100t - 30.) se aplica a un capacitor de 50 ¡.rp .al"u_la corriente que circula por el capacitor.

I = j a C Y

de práctica 9.8

Respuesta:30 cos(100r * 60.) mA.

9.5 lmpedancia y admitancia

9.5 lmpedancia y admitanciaEn la sección anterior se obtuvieron las relaciones de tensión-corriente de lostres elementos pasivos como

V : R I , y : i a L t , V : (e.38)

387

Fstas ecuaciones pueden escribirse en términos de ra razón entre ra tensiónfasorial y la corriente fasorial como

IjaC

V V I= : iaL.r " l j a C

vI

: R ,

z = !I

o s e a Y : Z l

Z : R + . i X

De estas tres expresiones se obtiene la ley de ohm en forma fasorial para cual_quier tipo de elemento como

(e.3e)

(e.40)

(e.4r)

donde z es una cantidad dependiente de la frecuencia conocida corno tmpe-dancia, medida en ohms.

La impedancia z de un circuito es ra razón entre ra tensión fasoriar y y ra co-rriente fasorial l, medide en ohms (O).

La impedancia representa ra oposición que exhibe el circuito ar flujo de la co-rriente senoidal. Aunque es ra reración entre dos fasores, la impedancia no esun fasor, porque no corresponde a una cantidad que varíe ,"noidul,'rnr".

Las impedancias de resistores, inductores y capacitores pueden obtener_se fácilmente de la ecuación (9.39). En la tabla 9.3 se resum.n

"ro, impedan-

cias. De ella se desprende que Z¡: jaL y Zr: _i/oC. Considérense doscasos extremos de frecuencia angular. Cuando a : 0 (es decir, para el casorle fuentes de cd), Zr: 0 y Zc --> co, lo que confirma lo que ya se sabe: queel inductor actúa como cortocircuito, en tanto que el capacitoi lo hace comocircuito abierto. Cuando @ _+ 6 (es decir, para el caso de altas frecuencias),zr -+ * y zc: 0, lo que indica que el inductor es un circuito abierto en al_tas frecuencias, en tanto que el capacitor es un cortocrrcuito. La fleura 9.15ilustra esto.

como cantidad compleja, ra impedancia puede expresarse en forma rec-tangular como

TAEIA 9.3

lmpedancias y adm¡tanciasde elementos pasivos.

Elemento Impedancia Admitancia

R Z : R Y

, 7 : j <oL y

Y : iotC

¡ Cort i rc t ¡ . l i i to en .dJ¡¡ l ' :_ _

C:r¡u i ¡c abienoen ¿ka: t iecuencias

( ; l

--o

C Circuito abierto en cd

;#.t.*ft;altas frecuencias

b)

Figura 9.15Circuitos equivalentes en cd y altas fre_cuencias: rz) inductor, b) capacitor.

: ]R

_ 1jrL

C z = 1.iac

donde R : Re Z es la resistencia y x : rm z es la reactancia. Lareactan-cia X puede ser positiva o negativa. Se dice que la impedancia es inductivacuando X es positiva y capacitiva cuando X es negativa. Así, se dice que raimpedancia z : R * 7x es inductiva o de retardo, puesto que la corriente seatrasa de la tensión, mientras que ra impedancta z - R - jX es capacitir,a ode adelanto, puesto que la corriente se adelanta a ra tensión. La impedancia.la resistencia y la reactancia se miden en ohms. La impedancia también pue-de expresarse en forma polar como

z : lz l / ! (e.42)

388 Capítulo9 Senoidesyfasores

Al comparar las ecuaciones (9.41) y (9.42) se infiere que

z : R + j x : l z l &

G + i B - I

" R +. jx

donde

4 : \ Q ' + X . , (e.44)

R : l Z l c o s d , X : l Z l s e n 7 (e.4s)

A veces resulta conveniente trabajar con el inverso de la impedancia, co-nocido como admi¡ant' ia.

La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medido en siemens (S).

La admitancia Y de un elemento (o circuito) es la razón entre la cor:riente fa-sorial y la tensión fasorial a través de é1, o sea

(e.46)

Las admitancias de resistores, inductores y capacitores pueden obtenerse dela ecuación (9.39). También se resumen en la tabla 9.3.

Como cantidad compleja, se puede escribir y como

Y : G + j B (e.47)

donde G: Re Y se llama conductancia y B : Im y se llama susceptancia.La admitancia, Ia conductancia y la susceptancia se expresan en siemens (omhos). Con base en las ecuaciones (9.41) v 0.4'D.

, Xd : t a n '

R

(e.43)

(e.48)

(e.4e)

Por racionalización,

I R _ j x R _ j xc + i B" R + j X R - i X R 2 + X 2

La igualación de las partes real e imaginaria da como resultado

G : . R ; , B : - . XR- + x. R. + xz

(9.50)

lo que indica qre G * 1/R como en los circuitos resistivos. por supuesro ques i X : 0 , e n t o n c e s G : l / R .

Y : f : Iz v

Halle u(t) e i(r) en el circuito que aparece en la figura 9.16.

Solución:A par t i r de la fuente de tensión l0cos4¡ , a:1,

V . : l o / o ' v

La impedancia es

Z : 5 - r I

: : s - t r s c li . C

- j 4 x 0 . 1

r r L ' J r L

Así. la corriente,

, * v" _ lop_ 1o(5 + j2.5)' - Z - 5 - t ' ? - 5 : 5 ' : + 2 J

: 1.6 + j0.8 : t .189f26.s1" ALa tensión a través del capacitor es

r 1 .789 /26.57.\ : I Z ¡

jaC j4 x 0.1

_ t.78e/2st _o'4fgo"

= 1'47 / -63'43" Y

9.6 Las leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial

(e.e.1)

(9.e.21

Ejemplo 9.9

u, = 10 cos 4¡

Figura 9.1óPara el ejemplo 9.9

Problemade práctica 9.9

--l* 4t¿

Al convertir I y V de las ecuaciones (9.9.1) y (g.g.2) al dominio remporal seobtiene

i(t¡ : 1.7tn cos(4r + 26.57") Au(t) : 4.47 cos(4r - 63.43")V

Nótese que i(r) se adelanta a u(r) en 90o, como era de esperar.

Refiérase a la figura 9. 17. Determine u(/) e i(l)

9.6 T Las leyes de Kirchhoff en el dominiofrecuencial

No se puede hacer un análisis de circuitos en el dominio frecuencial sin lasleyes de la corriente y de la tensión de Kirchhoff. por lo tanto, se deben ex-presar en ese dominio.

En lo tocante a la LTK, sean ul, uz, ... ,u, las tensiones a lo largo de unlazo cerrado. Así,

u 1 * u 2 + . ' . + u , : 0 ( 9 . 5 1 )

En el estado estable senoidal, cada tensión puede escribirse en la forma decoseno, de modo que la ecuación (9.51) se conviefte en

V^t cos(rot + Pr) + V*2cos(at -f gr)

+ "' + V^, cos(at + 0n) : 0 Q52)

Figura 9.17Para el problema de práctica 9.9.

Respuesta: 2.236 sen(l}r + 63.43") y l.1tg sen(lOr - 26.57\ A.

Capítulo9 Senoidesyfasores

Esto puede escribirse como

Re(v,,reio, ej') * Re(v,r2 e.io2 ei'ut) + + Re(V,,neie"ei'\ : 0

Re[(V-1elo' * V,,2eie. + ... + V*reie"¡s.i- '1 : g

Si Vr : V^teier, entonces

Re[(Vr + V, + . . . * Y,¡e i - t1 : g

Dado que ei'' + 0,

v r + v 2 + . . . + v , : 0

lo que indica que la ley de la tensión de Kirchhoff es válida en el caso de losfasores.

Siguiendo un procedimiento similar, se puede demostrar que la ley de lacorriente de Kirchhoff se cumple en el caso de los fasores. Si i 1, 12, ... , i, esia corriente que sale o entra a una superficie cerrada en una red en el tiempo/. entonces

i t + i 2 + . . . + 1 , : 0 (e.s6)

l r + 1 2 + " . + I , : 0 (e.s7)

la cual es la ley de la corriente de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia.Una vez que se ha demostrado que tanto la LTK como la LCK son válidas

en el dominio de la frecuencia, es fácil hacer muchas cosas, como combina-ción de impedancias, análisis nodal y de lazo, superposición y transformaciónde fuentes.

9.7 Combinaciones de impedanciasConsidérense las N impedancias conectadas en serie que aparecen en la figu-ra 9.18. A través de ellas fluye la misma corriente L La aplicación de la LTKa 1o largo del lazo da

V : V r + V 2 + " ' * V ¡ , , : l ( Z t + Z 2 + " ' + Z * )

f ^ z t z 1 z N

(e.s8)

Figura 9.18N impedancias en serie.

La impedancia equivalente en las terminales de entrada es

(e.s3)

(e.s4)

(e.ss)

t . r : + : Z t * Z z * . . . * Z N

Z. , t : Z t + Z2 + " ' * Zu (e.se)

9.7 Combrnaciones de impedanoas

lo que indica que la impedancia total o equivalente de impedancias conecta-das en serie es la suma de cada una de ras impedancias individuales. Esto seasemeja a la conexión de resistencias en serie.

Si N : 2, como se muestra en la figura g.lg,lacorriente que circula porlas impedancias es

z r + 2 2

Puesto que V1 : ZJ y y2: Z2l, entonces

v,:lfu;v, v,:;fr¿;vla cual es la relación de ditísión de tensión.

De la misma manera, se puede obtener la impedancia o admitancia equi-valente de las N impedancias conectadas en pararelo que se presentan en lafigura 9.20. La tensión en cada impedancia es la misma. Al aplicar la LCK alnodo superior.

r : 1 1 * r : * . . . , f r N : v ( ! * ] * * ! )\ 2 , Z ^ Z , /

vI : (e.60)

I

z2I

+ _ZN

i r ,

ZtZz

zN

Figura 9.19División de tensión

(e.61)

(9.62)

(e.63)

(9.64)

(9.65) Figura 9.21División de corriente

z"oFigura 9.20N impedancias en paralelo.

La impedancia equivalente es

I- - T

z l

I Iz-.. v

y la admitancia equivalente es

Y " q : Y l + Y 2 + . . . * Y ,

Esto indica que la admitancia equivalente de una conexión de admitancias enparalelo es la suma de las admitancias individuales.

Cuando N :2, como se muestra en la figura 9.2l, la impedancia equr_valente se convierte en

z l - I! q

\ e e l ' r + Y . l / z t + l / z z z t + 2 2

Capítulo9 Senoidesyfasores

Asimismo, puesto que

Y : l Z " r : I tZ t : l zZz

las corrientes en las impedancias son

Z , Z ,I : - 1 . l - : I' z t + 2 2 - z t + 2 2

(e.66)

que es el principio del divisor de coniente.Las transformaciones delta a estrella y estrella a delta aplicadas a circui-

tos resistivos también son válidas para las impedancias. En referencia a la fi-gwa 9.22, las fórmulas de conversión son las siguientes.

Figura9.22Redes ly A sobrepuestas.

Conversión Y-L:.

(e.67)

Con,-ersión L,-Y:

2,, :

z t :

Z , :

z t z 2 + z 2 z j + z j z l

z 1

z t z 2 + z 2 z j + 2 1 2 1

z2z t z z + 2 2 2 1 + z 1 z l

zj

z r :

z z :

z z :

Zt Z,

z o + z b + 2 ,

Z''Zo

z o + z b + 2 .

ZnZt

z o + z b + 2 ,

(e.68)

9.7 Combinacjon¿s de impedancras

se dice que un c¡rcuito derta o estrera están equiribrados si tienen impedan-cias iguales en sus tres ramas.

Cuando un circuito A-y está equilibrado, las ecuaciones (9.67) y (9.6g)convlerten en

Z ¡ : 3 Z y o Z v : \ r ^

Halle la impedancia de entrada a.l .ir.uito a. lu figu* e::circuito opera a r¿ : 50 rad/s.

donde Zy : Z t : Zz : Zz y Zd , : Zo : Zu : 7 , .como puede verse en esta sección, los principios de división de tensión,división de corriente, reducción de circuito, impedancia equivarente y rrans-formación f-A se aplican por igual u.irruitor'á;-.;.

""";i";"0n"," ,o *mostrará que otras técnicas de circuitos -como superposición, análisis nodar,análisis de malla, transformación de fuente, ,"o.",nu de Thévenin y teoremade Norton- también se aplican en circuitos de ca en forma similar a comoocurre en circuitos de cd.

393

(e.6e)

Suponga que el

Solución:Sean

Así,

: _710 +

Por lo tanto,

l m F

Figura 9.23Para el ejemplo 9. 10.

0.2 H21 = Impedancia del capacitor de 2 mF22: Impedancia del resistor de 3 O en serie con el capacitor de l0 mF

23 : Impedancia del iniructor de 0.2 H en serie con el resistor de g c)

Z t : +iaC /so xl x 10=

: -i loo

Z : : 3 * {J , r c '

- , s o ; t o ; l o . : ( 3 - i \ aZt : 8 + joL :8 + j50 x 0 .2 : (8 + j l0 ) O

La impedancia de entrada es

Z " n : Z t + Z z l l Z , : - j I } +

( 4 4 + j 1 4 ) ( 1 1 - j 8 )

1 1 2 + g 2

( 3 - j 2 ) ( 8 + j 1 0 )

il + j8

- j lo + 3.22 - j1.07 0

Z,n , : 3 .22 - j l l .07 e

ü Oe práctica 9.10Eü 2 m F 2 0 ! ¿ 2 H

- T - lZ^^, L'

4 m F

__lFigura 9.24Para el problema de práctica 9.10.

Ejemplo 9.11

& r ---t----_l ,

,^ I .lt*20 cos(.l¡ - 1-5"1 (, tO mF ,t 5 H .1.i u,

í " l iFigura 9.25Para el ejemplo 9.1 I

Problema

6 0 o

Problemade préctica 9.11

0.5 H

l0 cos ( 10¡ + 75o)

Figura9.27Para el problerna de práctica 9. I 1.

5 0 o

Cdprtulog S¿^oldesYrasores

Determine la impedancia de entrada del

10 rad/s.

Respuesta: 32.38 - i '73.16O.

de la figura 9.24 en

Determine u,,(/) en el circuito de la figura 9.25.

Solución:Para hacer el análisis en el dominio de la frecuencia. primero se debe trans-

formar el circuito en el dominio temporal de la frgura 9.25 al equivalente en

el dominio fasorial de la figura 9.26. Esta transformación produce

u , : 2 0 c o s ( 4 t - 1 5 ' ) = + v , : 2 0 f - 1 5 ' v ' a : 4

l o m F = + + - I

. t aL i 4 X l 0 x l 0 -3

= -j25 O

5 H + j o L : i 4 x 5 : j 2 0 o ,

Sean

Z1 : Impedancia del resistor de 60 O

22 : Impedancia de la combinación en paralelo

del capacitor de l0 mF y el inductor de 5 H

As í , Z1 : 60 O y_i t5 x r20

z2 : - j 25 l l 72o : f f i = i l ooo

Por el principio de división de tensión,

v": z-|Zv': ¿ffio .zof _ t5.1: (0.8s7 s ft\.s6")Q0 f - rs") : r7 .\s / 15 '96' V

Se convierte esto al dominio temporal y se obtiene

u, , ( t ) : 17.15 cos(4r + 15.96") V

Calcule u., en el circuito de la figura 9.27'

Respuesta: u"(t ') :7.071 cos(lOt - 60') V

[-''"1_-1 .20,/- ts"O -¡25a I rzoo \

I

L _ l l -Figura 9.2óEquivalente en e1 dominio de la frecuen-cia del circuito de la figura 9.25.

9.7 Combinaciones de impedancias

Halle la corriente I en el circuito d. ;figu* 92&

2 Q - j 4 0

Figura 9.28Para el ejemplo 9. 12.

Ejempfo 9J P

a-

1 6 o

8 O

Solución:La red delta conectada a ros nodos a, b y c puedeconvertirse en la red y de IaÍiil",[3?;i:;li:Tl

ras impedanciu' "n'v con base "n ru ".uu"ion (e.68)

7 . _ j 4 ( 2 - j 4 ) _ 4 4 + . ¡ 2 1o n ' *

¡ 4 - + 2 - j 4 + g : ( 1 . 6 - r j o . S r O

, , , , , : t # : f i . 2 r l . t , , , = Y = r r . 6 - 7 3 . r r o

La impedancia total en las teminales de fuenre es

z : 12 + zon + (zt, _ j3)l le.,+ j6 + g): t2 + 1.6 + j0 .8 + ( j0 .2) l le .6 + . i2 .8): 13.6 + io.8 + io'2(9'6 + i2.8)

9.6 + j3: 13.6 + jl : 13.64/4.204. A

La corriente deseada es

v 50/0"[ : = : - - - - - - -

z n.64/!4!

C

*. ioa

Ii : so

Figura 9.29

; , , , ; - _ l'-l-- ---1.

-4.204. A

Circuito de la figura 9.2g después de la transformación delta a estrella

:,{n

Problemade práctica 9,12

30/0" v

Figura 9.30Para el problema de práctica 9.12

Capítulo9 Senordesyfasores

Halle I en el circuito de la fisura 9.30

Respuesta: 6.364 f3.802" A,.

9.8 rAplicaciones

En los capítulos 7 y 8 se analizaron ciertos usos de los circuitos RC, RL y RLCen aplicaciones de cd. Estos circuitos también tienen aplicaciones de ca; entreellas están los circuitos de acoplamiento, los circuitos desfasadores, los filtros,los circuitos resonantes, Ios circuitos puente de ca y los transformadores. Estalista de aplicaciones es inagotable. Después se verán algunas de ellas. Por aho-ra bastará con observar dos simples: los circuitos RC desfasadores y los cir-cuitos puente de ca.

9.8.1 Desfasadores

Un circuito desfasador suele emplearse para corregir un corrimiento de faseindeseable ya presente en un circuito o para producir efectos especiales de-seados. Un circuito RC es conveniente para este propósito. porque su capaci-tor provoca que la corriente del circuito se adelante a la tensión aplicada. Doscircuitos RC de uso común aparecen en la figura 9.31. (Circuitos RL o cua-lesquiera circuitos reactivos también podrían servir para el mismo propósito.)

En la figura 9.31a), la corriente del circuito I se adelanta a la tensión apli-cada V¡ en algún ángulo de fase 0, donde 0 < 0 < 90", dependiendo de losvalores de R y C. Si Xc : -|/aC, entonces la impedancia total es Z: R +jX¿, y el desplazamiento de fase está dado por

I

+

Y,

b)

Figura 9.31Circuitos RC desfasadores en serie: a) desalida adelantada, b) de salida atrasada.

, X .0 : t a n ' - - - - :

R(e.70)

Esto indica que el corrimiento de fase depende de los valores de R, C y lafrecuencia de utilización. Puesto que la tensión de salida V,, a través del re-sistor está en fase con la corriente, Vo se adelanta (desplazamiento de fase po-sitivo) a V¡ como se muestra en la figura 9.32a).

En la figura 9.31b),la salida se toma a través del capacitor. La corienteI se adelanta a la tensión de entrada V¡ en 0, pero la tensión de salida u,,(r) através del capacitor se atrasa (desplazamiento de fase negativo) de la tensiónde entrada ur(t) como se ilustra en la figura 9.32b).

a)

Figura 9.32Desplazamiento de fase en circuitos RC: a) salida adelantada, b) salida atrasada.

Desplazamiento de fase

9.8 Aplicacrones

Se debe tener en cuenta que los circuitos RC simples de la figura 9.31también actúan como divisores de tensión. Por lo tanto, conforme el cori-miento de fase 0 se aproxima a 90o, la tensión de salida V, se aproxima acero. Por esta razón, esos circuitos RC simples sólo se utilizan cuando se re-quieren corrimientos de fase reducidos. Si se desea tener desplazamientos defase mayores de 60', se disponen redes RC simples en cascada, para producirun desplazamiento de fase total igual a la suma de los desplazamientos de fa-se individuales. En la práctica, el corrimiento de fase debidos a las etapas noes igual, porque la carga de las etapas sucesivas es menor que la de las etapasanteriores, a menos que se usen amplificadores operacionales para separar lasetapas.

Diseñe un circuito RC que produzca un adelanto de fase de 90'.

Solución:Si se seleccionan componentes de circuitos de igual valor en ohms, por decirR : lxcl : 20 O, a una frecuencia particular, de acuerdo con la ecuación(9.70) el corrimiento de fase será exactamente de 45'. Mediante la disposi-ción en cascada de dos circuitos RC similares a los de la figura 9.31¿), seobtiene el circuito de la figura 9.33, el cual produce un desplazamiento de fa-se positivo o de adelanto de 90', como se demostrará en seguida. Aplicandola técnica de combinación en serie-en Daralelo. Z en la fisura 9.33 se obtie-ne como

397

z : 2olt (20 - j2ot : 2o::: -

!|ot : D - j4 tl' 40 - .r20Al aplicar la división de tensión,

Y , : z

v - t 2 - j 4 r , : { ' / 1 5 . Yz - i 2 0 ' ' 1 2 - i 2 4 ' ' 3 t - - : - - ' t

' " : ^?irov' : f /+s"v '

(9.r3.1)

(e.r3.2)

-j20 a(:)-.'-'.--..+

Z

Figura 9.33Circuito RC de corrimientode fase conadelanto de 90"; para el ejemplo 9.13.

Problemade práctica 9.13

1 0 o 1 0 f ¿o-,/.¡l+

(e.13.3)

La sustitución de la ecuación (9.13.2) en la ecuación (9.13.3) produce

/ \ n \ /V1 \ |v , , : ( | /+s" l l# /qs ' v , l : ; /so 'v ,\ z - /

\ J - / ) -

Así, la salida se adelanta a la entrada en 90o, aunque su magnitud es de ape-nas alrededor de 33Vo de la entrada.

Diseñe un circuito RC que proporcione un colrimiento de fase con un retraso de90" de la tensión de salida respecto a la tensión de entrada. Si se aplica una ten-sión de ca de 10 V efectivos, ¿cuál es la tensión de salida?

Respuesta: En la figura 9.34 se muestra un diseño representativo; 3.33 Vefectivos.

Figura 9.34Para el problema de práctica 9.13

Capítulo9 Senoidesyfasores

Ejemplo 9,U

150 Q 100 oo=-'r¿r!-Tr\ 1f ,,,***f --,-o

romH: i -s rnH I

a )

l 5 0 Q v t 0 0 Q

J ----l--

v i l ) s 7 07 Ó l 8 r g U

b lFigura 9.35Para el ejemplo 9. I4.

Problemáde práctica 9,1+

l0 mH

5 m H

de fase es de adelanto o de atraso.

Respuesta: 0.172, 120.4., de arraso

X¿ : t t L : 2 t r x2 X 103 X 10 x l 0 -3: 40tr : i25.1 O

X¿ : oL : 2¡r x 2 x 103 x 5 x l0-3: 20¡ : 62.33,f)

En referencia al circuito que aparece "n

tu nguffito de fase producido a 2 kHz.- ' --ó"-

Solución:A 2 kHz, se transforman ras inductancias de l0 mH y 5 mH en ras corres-pondientes impedancias.

considérese el circuito.de_la figura g.35b). La impedanc ia z esla combina-ción en paralelo de j125.7 Cty*toO +.tOLSlil. eri.

z : j r2s .7 l l (100 + j62 .83)

_ j t25.7( 100 _r 162.83)loo il'18&5

: 6e s6/6}'f A

Al aplicar la división de bnsión.

Z 69.s6 /60.1"r t : 2 1 ¡ 5 s \ ' , : ¡ ¿ 7 f i s J v ,(e.r4.2)

: 0.3582 /42.02. y,

v

j62.832""

: loó + /6t^832

vt:0.532/57.86"v1

Al combinar las ecuaciones (9.14.2) y (9.1a.3).

v,, : (0.532/5j.86")(0.3582/42.02") V¡ : 0. tg06/100. vilo que indica que la salida es de alreded or de rg,c de la entrada en magnr-tud' pero se adelanta a la entrada en 1000. Si el circuito termina en una carga,ésta afectará al desplazamiento de fase.

(9.14.1)

(e.r4.3)

Remítase al circuito RZ de la ngu* O:0. Sy el conimiento de fase producido a -5 kHz.

se aplica I y halle la magnitudEspecifique si el desplaza,i i"n,o

Figura 9.3óPara el problema de práctica 9. I 4 9.8.2 Puentes de ca

un circuito puente de ca se usa para medir la inductancia z de un inductoro la capacitancia C de un capacitor. Es de forma srmilar al puente de wheat-stone' para la medición de una resistencia desconocida (como se explicó enla sección 4'10)' v sigue el mismo p.r*ipi.,"ru; ñ;;;é, .,it.,nou.-go' se necesita una fuente de ca, asico,no un medidor de ca en vez del eal-

9 B Apl lcaciones

vanómetro. El medidor de ca puede ser un amperímetro o voltímetro de pre-cisión de ca.

considérese la forma general del circuito puente de ca que se presenta enla figura 9.37.81 puente está equilibrado cuando no fluye.onlente a travésdel medidor. Esto significa que v1 : vz. Al aplicar el principio de divisiónde tensión,

399

Y

v,: # zrv": v: : *2"" (9.7r¡

(9.72\

Así,

Z 2 _ Z *

z 1 + 2 2 2 3 + 2 ,

Figura 9.37Puente de ca general

Z., , : ^ r , (9.73¡

Esta es la ecuación para un puente de ca equilibrado, similar a la ecuación(4.30) para el puente de resistencia, salvo que las R se sustituy a con las z.

En la figura 9.38 se muestran puentes de ca específicos para medir L yC, donde L, y C, son la inductancia y la capacitancia descontcidas por me_dir, mientras que z" y c. son una inductancia y capacitancia estándar (los ,,,a-lores de las cuales se conocen con gran precisión). En cada caso. dosresrstores, Rr y Rz, se hacen variar hasta que el medidor de ca lee cero. Elpuente está equil ibrado entonces. De la ecuación (9.73) se obtiene

R'L r :

n r L ,

R lC , :

R .C ,

(9.74\

(e.7s)

a)

Figura 9.38Puentes de ca específicos: a)

+ Z 2 Z j : Z 1 Z ,

Rl ,

b)

para medir l,, ó) para medir C.

Nótese que el equilibrio de los puentes de ca de la figura 9.3g no depende dela frecuencia/de la fuente, ya que/no aparece en ras relaciones de iu,

".uu-ciones (9.74) y (9.15).

Ejemplo 9.1 5

Capítulo9 Senoidesyfasores

donde Z,: R, * jX,,

El circuito puente de ca de la figura 9.31 se equilibra cuando 21 es un resis-tor de I ka,z2 es un resistor cle 4.zkQ,z3 es una combinación en paralelode un resistor de 1.5 M,f) y un capacitor de 12 pF y f = 2 kHz. Halle: a) loscomponentes en serie que integran a 2., y b) los componentes en paralelo queintegran a 2,.

Solución:

l. Definir. El problema está claramente enunciado.2. Presentar. Se deben determinar los componentes desconocidos sujetos

al hecho de que equilibran las magnitudes dadas. como existen unequivalente en paralelo y uno en serie de este circuito, se deben hallarambos.

3. Alternativas. Aunque existen técnicas iterativas que podrían aplicarsepara hallar los valores desconocidos, una igualdad directa funcionarámejor. una vez que se tengan ras respuestas, se pueden comprobar si-guiendo técnicas manuales como el análisis nodal o sencillamenteutilizando PSpice.

4. Intentar. Con base en la ecuación (9.73).

"r :7", (e.rs.u

(9.rs.2)Z t : 1 0 0 0 O , Z 2 : 4 2 0 0 O

R3

t jaCzZt : Rz l l . - : -' '" ja¡Cz \ + 1/jaC3

Puesto que Rj : 1 .5 MO y C7: l2pF,

: R .| + j a fuC3

z z :

o

1.5 x 10" 1 .5 x l0Ó| + j2n x 2 x 103 x 1.5 x 106 x 12x 1 0 - 1 2 t + j 0 . 2 2 6 2

Zz: 1.421 - j0.3228MA

a) Suponiendo que z, consta de componentes en serie, se sustituyen lasecuaciones (9.15.2) y (9.15.3) en la ecuación (9.15.1) y se obtiene

4 )OOR' + jx ' :

I ooo' l '421 - j0.3228) x loÓ

: (s.993 - . i 1.356) MO

La igualación de las partes real e imaginaria produce ,R, : 5.993 MO yuna reactancia capacitiva

(9.1s.3)

(e.1s.4)

1.356 x 100x - : I :^ a C

C : I

@X, 2 r r x 2 x 1 0 3 x 1 . 3 5 6 x 1 0 6: 58.69 pF

9.8 Apiicaciones

b) Z, se mantiene igual que en la ecuación (9. 15.4), pero rR. y X, estánen paralelo. Suponiendo una combinación RC en paralelo,

Z, : ( .5.993 - j I .356) MO

l R r: R - l i," jaC, | - f jaR^C^

Al igualar las partes real e imaginaria se obtiene

_ Real(Z,)2 + Imag(.2,)2 _ 5.9932 + 1.3562

5.993R,. : 6.3 Mo

Real(2.,)

Imag(2,)

a[R:eal(Z,)2 + lmag(2,¡21

- 1 .356

2¡r (2000)(5.91'72 + 1.3562): 2.852 ¡.,.F

Se ha supuesto una combinación RC en paralelo. También es posible te-ner una combinación RL en paralelo.

5. Evaluar. Úsese ahora PSpice para ver si realmente se tienen las igual-dades correctas. La ejecución de PSpice con los circuitos equivalentes.un circuito abierto entre la porción de "puente" del circuito ),una ten-sión de entrada de l0 volts produce las siguientes tensiones en losextremos del "puente" en relación con una referencia en la base del cir-cuito:

FREQ v ¡4 ($N_0002 ) vP ($N_0002 )

2 . 0 0 0 E + 0 3 9 . 9 9 3 E + 0 0 - 8 . 6 3 4 8 - 0 3

2 . 0 0 0 E + 0 3 9 . 9 9 3 E + 0 0 - 8 . 6 3 7 E - 0 3

Dado que las tensiones son básicamente las mismas, ninguna corrienteapreciable puede fluir por la porción de "puente" del circuito entrecualquier elemento que conecte los dos puntos, y se tiene un puenteequilibrado, como era de esperar. Esto indica que se han encontradoadecuadamente las incógnitas.

¡Pero hay un problema muy importante en lo realizadol ¿,Cuál es?Se tiene lo que podría llamarse una respuesta ideal, "teórica", pero nomuy eficaz en la práctica. La diferencia entre las magnitudes de las im-pedancias superiores y las inferiores es demasiado grande y jamás seaceptaría en un circuito puente real. Para mayor exactitud, el tamaño delas impedancias debe estar dentro del mismo orden de magnitud. Paramejorar la precisión de la solución de este problema, es recomendableincrementar la magnitud de las impedancias superiores para ubicarlasen el rango de 500 k0 a 1.5 MO. Un comentario práctico adicional: eltamaño de estas impedancias también genera problemas en la toma delas mediciones reales, así que deben emplearse los instrumentos apro-piados para minimizar la carga (que alteraría las lecturas de tensiónreales) en el circuito.

6. ¿Satisfactorio? Dado que se hallaron los términos desconocidos ydespués se probaron para ver si funcionaban, los resultados están vali-dados. Pueden presentarse ahora como una solución del problema.

c,

Problemade práctica 9.15

Capítulo9 Senoidesyfasores

En el circuito puente de ca de la figura 9.37, suponga que el equilibrio se ro-gra cuando Z1 es un resistor de 4.8 ko, 22 es un resistor de l0 o en seriecon un inductor de 0.25 pH,Zt es un resistor d.e 12 kO y,f :6MHz. De_termine los componentes en serie que integran 2,.

Respuesta: un resistor de 25 o en serie con un inductor de 0.625 uH.

9.9 Resumenl. una senoide es una señal con la forma de la función seno o coseno. Tie-

ne la forma general

u(t) : Vn cos(cor * @)

donde V,, es la amplitud, a :2nf Ia frecuencia angula¡ (arr * @) el ar_g u m e n t o y @ l a f a s e .

2. un fasor es una cantidad compleja que representa tanto la magnitud co-mo la fase de una senoide. Dada la senoide u(t) :V,,cos(a;r + @), su fa_sor V es

v : v^/_9.

3. En circuitos de ca, los f'asores de tensión y de corriente siempre tienenuna relación fija entre sí en cualquier momento. Si u(r) :4, cos(rrrr + @,;representa la tensión a través de un elemento y r(0 : I^cos(of * $,; re_presenta la corriente a través del elemento, entonces ó¡ : ó" si el ele-mento es un resistor, @¡ se adelanta a <f, en 90o si el elemento es uncapacitor y ó; se atrasa de @, en 90' si er elemento es un inductor.

4. La impedancia z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial v lacorriente fasorial a través de él:

Z : : R(ar) + jX(o)

La admitancia Y es el inverso de la impedancia:

G(<'t) + jB(a)

vI

y : l :z

Las impedancias se combinan en serie o en paralelo de la misma mane-ra que las resistencias en serie o en paralelo; es decir, las impedancias enserie se suman, mientras que las admitancias en pararelo se suman.

5. Para un resistor Z : R, para un inductor Z : jX : ja¡L, y para un capa_citor Z: _jX: l/. jaC.

6' Las leyes de circuitos básicas (de ohm y de Kirchhoffl se aplican a loscircuitos de ca de la misma manera que a los circuitos de cd; es decir.

Y : Z l) I r : 0 ( L C K )

) v r : 0 ( L T K )

probl¿mas

Las técnicas de división de tensión/corriente, de combinación en serie/enparalelo de impedancias/admitancias, de reducción de circuitos y de trans-formación )'-A se aplican por igual al análisis de circuitos de ca.Los circuitos de ca se aplican en desfasadores y puenres.

403

7 ,

8 .

9.1 ¿Cuál de los siguientes enunciados /?o es una manera co-recta de expresar la senoide A cos ¡o¡ ?

a) A cos 2r J! b) A cos(2rt/T)c) A cos@(/ - f) d) A sen(or - 90.)

9.2 Se dice que una función que se repite después de inter-valos fijos es:

a) un fasor

c) periódica

9.3 ¿,Cuál de estas frecuencias tiene el periodo más corto?

a) I krad/s b) l kHz

9.4 Si u' : 30 sen(rr.rr + 10") y ut: 20 sen(a;r * 50.).¿cuáles de los siguieiltes enunciados son ciertos?

a) u I se adelanta a U2 b) u2 se adelanta a u Ic) ur se atrasa de u I d) u 1 se atrasa de u,

e) U I y U2 están en fase

9.5 La tensión a través de un inductor se adelanta a la co-ruiente a través de ól en 90".

a) Cierto ó) Falso

9.6 La parte irraginaria de la impedancia se llama:

9.8 ¿A qué frecuencia la tensión de salida u,,(r) de la figura9.39 será igual a la tensión de entrada u(t)?

a) 0 rad/s ü) I radls c) 4 rad/s

d) r ¡a6¡t e) ninguna de las anteriores

Figura 9.39Para la pregunta de repaso 9.8

9.9 Un circuito RC en serie tiene lV^ ] : I 2 V y

lyc] : 5 V. La tensión de alimentación rotal es:

c t ) - ' 7 Y b ) l V c ) 1 3 V d ) t 7 V

9.10 Un circuito RLC en serie tiene R : 30 O, X6 : 50 f) yX¡. : 90 0. La impedancia del circuito es:

a ) 3 0 + j l 4 0 O ó ) 3 0 + ¡ 4 0 O

c ) 3 0 - j 4 0 Q

e) -30 + j10 Q

d) --r0 - 140 f)

Respuesfas: 9. I d, 9.2c, 9.3b, 9.4b, ct, 9.5a, 9.6e, 9.7b, 9.gct9.9c,9.1ab.

c) resistencia

r') susceptancia

ó) armónica

d) reactiva

ó) admitancia

r/) conductarrcia

¿) reactancla

9,7 La inipedancia de un capacitor se incrementa con unafrecuencia creciente.

a) Cieno D) Falso

l:',.::r::r:i:l::t {ii.* !,'::.,,*¡rJ\;

9.1 Dada la tensión senoid al u(r) : 50 cos(30¡ + 10") V,halle: r¡) la arnplitud V,,,, b) el periodo 7', c) la frecuencraJ y d ) u ( t ) e n ¡ : 1 0 m s .

9.2 Una fuente de coniente en un circuito lincal tiene

a) ¿Cuál es la amplitud de la corriente?

b) ¿Cuál es la frecuencia angular?

c) Halle la frecuencia de la corriente.

d) Calcule l. en z : 2 ms.

9.3 Exprese las siguientes funciones en la forma de cc,:en,rr

a )4sen(a . r t - 30" )c) - l0 sen(¿o¡ * 20")

r, : 8 cosl-500zrr 25") A 1l) -2 sen 6r

Capítulo9 Senoidesyfasores

9.4 a) Exprese u : 8 cos(7r f 15") en la forma de seno.b) Convierta t : - 10 sen(3t - 85") en

la forma de coseno.

9.5 Dadas u1 : 20 sen(¿¿l + 60') y uz:60 cos(c,rr - 10'),determine el ángulo de fase entre las dos senoides y cuálse atrasa respecto a la otra.

9.6 En relación con los siguientes pares de senoides, deter-mine cuál se adelanta y en cuánto.

a) u(t ' ) : l0 cos(4r - 60") ei ( t ) : 4 s e n ( 4 t + 5 0 ' )

b) u (t) : 4 cos(377t + l0') y u2Q) -, -20 cos 371t

c) -r(l) : 13 cos 2r f 5 sen 2t Yl (0 : 15 cos(2r * 11 .8" )

t{:.i:.t:::;}t', t:} .'.7 it í}'.,;;'r;;.,;,,

9.7 Si .l(ó) : cosó + j sen@, demuestre qtre f (4i : e¡'b.

9.8 Calcule estos números complejos y exprese sus resulta-dos en forma rectangular:

t < / ^ < a

a l _ + l ¿

e / - ) ^ ",

o / - L v l 0t r t f -

( 2 I j ) t l - j 4 t - 5 + . 1 1 2

c) r0 + (8/50)(-5 - j12)

9.9 Evalúe los siguientes números complejos y exprese susresultados en forma polar.

. / -1 ,/00'I0 t s f 3 o ' ( 6 j 8 -

^ : )- \ ¿ ' . 1 /

( l0160)(35l-50')t ) |' ( . 2 + j 6 ) - ( s + j )

9 . I 0 D a d o g u e i r : 6 - j 8 , z 2 : 1 0 / 3 0 " , y ¡ : : 8 e i 1 2 o " ,

hal le:

¿l ) i l - r i t * , ¡

r \ ' l { :

t)) -

i¡

9.11 Halle los fasores correspondientes a las siguientes se-ñales.

a) u(t) : 2l cos(4t 15') V

b) i(t) : 8 sen(10¡ + 70') mAc) u(¡) : 120 sen(10¡ - 50') Vd) i(t) : 60 cos(30t * 10") mA

9.12 Sean x: 8/40'yY : l \ f -30'. Evalúe las siguienrescantidades y exprese sus resultados en forma polar.

a) (X + Y)X* D) (X - Y¡* c) (x + Y)/x

9.13 Evalúe los siguientes números complejos:

. 2 + j 3 7 - j 8n " _

j u * 5 i l x

(s /10")(10/-40")I ) l . _' (4/ -80")(-6/s0")

dl'n..! ' ^-p.-l|

- i2 8 - i5l

9,14 Simplifique las siguientes expresiones:

. ( 5 - j 6 ) - ( 2 + j 8 )o ' ( - 3 , ¡ q l 5 - ¡ t + (4 - j 6 )

b)(240/75' + 160/-30"X60 - j80)

(67 + j84)(20/32')

/ r0 + 120\2. ) ( " .

' - " ) V r t O 1 ' s r r t o - ; z O r

\ - 1 - 1 - / 4 , /

9.15 Evalúe estos determinantes:

l r 0 + j 6 2 j 3 la ) t _ . l

| - 5 - r + i l, l2o / -30" -4 / - to . Ib ) l - . - ' . I

I 16g_ 3/4s" Il l j - j 0 I

. ) l i i j r l| ; ' lI I . i l - , t

9.16 Transforme las siguientes senoides en fasores:

a) - l0 cos(4t + 75") ó) 5 sen(20¡ - 10")c ) 4 c o s 2 t * 3 s e n 2 r

9.17 Dos tensiones u1 ) u2 aparecen en serie, de modo que susumaes u : u t + u2 . S i u ¡ : t0cos(50¡ - n /3 ¡Y yuz : 12 cos(5Ot + 30" ) V . ha l le u .

9,18 Obtenga las senoides correspondientes a cada uno de lossiguientes fasores:

a)Y, : 60 /15" V , ¿ ' ¡ : I

b ) Y t - 6 + j 8 V , a : 4 0

c')1, : 2.gn ir/3 A, o : 7':'7

d ) l z : - 0 . 5 - j l . 2 A , a r : 1 0 3

9.19 Usando fasores, halle:

a ) 3 c o s ( 2 O t + 1 0 " ) 5 c o s ( 2 O r - 3 0 " )

ó) 40 sen 501 + 30 cos(50r - 45")

c) 20 sen 400t + 10 cos(400t + 60')5 sen(400t - 20')

9,20 Una red lineal tiene una entrada de corriente4 cos(rr.r/ + 20) A y una salida de tensiónI 0 cos(c.rr + l 10") V. Determine la impedanciaasociada.

405

9.21 Simplif ique lo siguienre:

a) f(t) :5 cos(2r + 15") - ,1 sen(2r - 30")b') S(.0 : g sen¡ * 4 cos(r + 50")rc) h(¡¡ : | (tO cos 40/ + 50 sen4}r)th

l' { )9.22 tJnarensión alrerna la dau(.t¡ :20 cos(5r _ 30") V.

Use fasores para hallar

lou(¡) + +* - zf ,o,¿,d r J -

Suponga que el valor de la integral es cle cero en

9.23 Aplique el análisis ibsorial para evaluar lo siguiente.

a) u : 50 cos(o/ + 30) + 30 cos(a.rr _ 90.) Vb) i : 15 cos(rr.rt * 45') - 10 sen(rol + 45") A

9.24 Halle u(l) en Ias siguientes ecuaciones integrodif.erencia_les aplicando el métoclo fasorial:

In ) u ( t ) + l u d t : l 0 c o s ¡

J

. d u to) ¿,

5u( t ) + + I

u dr : J0 senr4r t 10.¡

9.25 Usando fasores, determine 1(t) en las siguientes ecua_clones:

dia t 2 O t 3 i t n : 4 c o r 1 l ¡ _ 4 5 . ,

I s;bt to I i dr + \ + 6 i ( ¡ ¡ :5 cos(5r +_ 22. ;

J d t

9.26 La ecuación del lazo de un circuito RLC cjaporresul-tado

di i '¿ , * Z i + I i d t : c o s 2 t

J _-,.

Suponiendo que el valor de la integral en / : _a es dece¡o, halle l(r) aplicando el método fasorial.

9.27 tJn circuito RLC enparalelo tiene la ecuación de nodod u f- + 5 0 u + l 0 0 ' J u t l r _ l 0 c o s ( 3 7 7 ¡ _ 1 0 " )

Determine u(r) aplicando el método tasorial. puede su_poner que el valor de Ia integral en ¡ : _m es de ce¡o.

1:?,t:_:;;i¡;p. :; .4 ii*i*;:r:trt:t t*rr:l.tí:tlc:, ::,r.:. r::/:r,t,ftL*,:1 ;:: :: : r r: t.-;it.{: a

9.28 Determine la corriente que fluye a través de un reslstorde 8 O conectado a una fuente de tensiónu , : l l 0 c o s 3 7 7 ¡ V .

9.29 ¿Cuál es la tensión instantánea a través de un capacitorde 2 pF cuando la corr icnte a traves dc él esi : 4 s e n ( 1 0 6 r + 2 5 . ) A ?

9.30 Una tensión u(l) : 100 cos(60r + 20.) V se apl ica auna combinación en paralelo de un resistor ¿. +O tO uun capacrtor de 50 ¡rF. Halle las conientes en estado es-Iable a lravér del resisttu.y el capacitor.

9.31 Un circuiro RtC en serie riene R : g0 dl, L : Z4O mH,y C : -5 mF. Si la tensión cle entrada es u(/) : l0 cos 2¡,halle la comiente que fluye a través ¿el circuito

9,32 En ref'erencia a la red de la figura 9.40, halle la corrrentede carga I..

100,/0. v

Figura 9.40Para el problema 9.32

+) | Carga

7 ls+ jao

{ t ,

9.33 Un circuito RZ en sene se conecta a una fuente de ca dei l l ) \ . Si la rensit in en et rcststor es cle g5 V. hal le la ten_s ión en e l inducror .

9,3.t ¿Qué ralor de or cauiar¿l que la respue:ta fbrzada ¿,,, enla f i-eura 9. j l sea de ce¡c¡l

50 cos r¿¡ V

Figura 9.41Para el problema 9.3,1.

i it ;;-:;¡ a; ; y 1 t:¡ y,, lrty:r.* :,r t r:t ;: l. *{}r4 1y.47 ri o

9.35 Halle la corrienre i en el circuito de la figura 9.12 cttan_do u,(r) : 50 cos200¡ V.

.i 20 mH

Figura 9.42Para el probiema 9.35.

¿ l g e ¿ 5 m F+

40ó Capítulo 9 Senoides y fasores

9.36 En el circuito de la figura 9.43, determine l. Sea u. : 9.4060 cos(200t - 10") V.

100 mH

Figura 9.43Para el problema 9.36.

9.37 Determine la admitancia Y en el circuito de la figura9 .44 .

Figura 9.44Para el problema 9.37.

9.38 Halle t(0 y u(¡) en cada uno de los circuitos de la figura9 .45 .

I 0 cos (3r + 45o) A U

En e1 circuito de la figura 9.47 , halle i,, cuando

a) <¿ : 1 rad/s b) @ : 5 radls

c ) a : l 0 r a d / s

Io

4 cos ¿¿¡ V 0.05 F

Figura 9.47Para el problema 9.40.

9.4L Halle u(t) en el circuito RLC de la figura 9.48.

l 0 cos ¡ V

Figura 9.48Para el problema 9.41.

9.42 Calcule u ,,(t¡ en el circuito de la figura 9.49.

5 0 o

60 sen 200¡ V

Figura 9.49Para el problema 9.42.

9.43 Halle la corriente I., en el circuito que se muestra en lafigura 9.50.

I n 5 0 Q r00 o

- { r . ló0 / /0 'v (1 ) " l s0o | -7a0o

UFigura 9.50Para el problema 9.43.

9.44 Calcule l(¡) en el circuito de la figura 9.5 l.

6 cos 200¡ V

Figura 9.51Para el oroblema 9.44.

¡ z to

50 cos 4¡ V

t ;t '

t -] ] r

8 O

- t n

b )

Figura 9.45Para el problema 9.38.

9.39 En relación con el circuito que apaÍece en la figura 9.46,halle Z"o y úsela para hallar la corriente I. Sea¡¿ : l0rad/s.

I , 4 0 i 2 o a - i l 4 o

-{v.v\,------'iitr:- f----r

1 t ll . r . \

1 2 / 0 " v ( ! \ : l ó Q : ¡ : s o\-/ ,' "t l ll t _ l

Figura 9.4óPara el problema 9.39.

i :

I

t/.|r*--f--/ irr'.-__r.-

I i- lr '* ¡ z a * * ; z o * 3 z o

9.45 .Halle

la corr iente I, , en la red de Ia f igura 9.52lrP, . l{'

,), {J

P S M L 2 a i 4 e

Problemas

9.50 Determine u, en ei circuito de la figura 9.57. Sea i,(¡r5 cost 100¡ r 40.) A.

Figura 9.57Para el problema 9.50.

9.51 Si la tensión u,, afravés clel resisror de 2 () del circuitcrde la figura 9.5g es l0 cos 2l V, obtenga 1.,.

Figura 9.58Para el problema 9.51.

9.52 Si V,, : 8/30" V en el circuito de la figura 9.59, halleI . .

407

0 . r H

s/_0"" A

Figura 9.52Para el problema 9.45.

9.46 Si z' , : 5 cos(l6l^8p 9.53, hane t,.ps

4d¿

+ 40") A en el circuito de la ñgura

3 C ¿

Figura 9.53Para el problema 9.46.

9.47 En el circuito de la figura 9.54, determine el valor dei.,(t).

/ . ( ¡ ) 2 { > 2 m H

5 cos 2 000/ V

Figura 9.54

u, (/)

Para el problema 9.47.

9-48 Dado que u"(r) : 20 sen(100r - 40.) en la figura 9.55,$l determine r'*(r).ps

1 0 c ¿ 3 0 Q

9-.53 Halle I,, en el ci¡cuito de Ia figura 9.60.dY, SPs Mt 4e

-;5 (.)

Figura 9.59Para el problema 9.52.

2 0

60 -30" v

Figura 9.ólPara el problema 9.54

ru

Figura 9.55Para el problema 9.4g.

9,49 Halle u,(r) en el circuito de la figura 9.56 si la corrienter. a través del resistor de I f) es 0.5 sen 200¡A.

2 Q _ ! r o

Figura 9.5óPara el problema 9.49.

Figura 9.ó0Para el problema 9.53.

9,54 En el circuito de la figura 9.61, halle V,, si I., : 2p Aó), l lPS ML

U',:,: t r:iI

0.1 F 0 .5 H

f-----[_

l 0 Q ; : i 5 Q

.,i,,--¡Jvr/1,1 ¡"

{ ,0, , J.-0, ," .

t r ; { f t

If r o

F400 Q

2 p-F

Figura 9.ó5Para el problema 9.58

100 mH

I K O

Capítulo9 Senoidesyfasores

9.59 En referencia a la red de la figura 9.66,halleZ.,,¿¿ : l0rad,/s.

+ : i o . sH

IFigura 9.6óPara el problema 9.59.

9.60 Obtenga Z"n en el circuito de la figura 9.67

SeaHall.e Z en la red de ta figura 9.62, dado queY,, : 4f0',y.

50 ¡rF-l--l; ao^n i ¡+oal r^ r l

Figura 9.ó3Para el problema 9.56.

9,57 En ¿¡ : I rad/s, obtenga la admitancia de entrada delcircuito de la figura 9.64.

9.55¿-l

ML

t2 l )

Figuta 9.62Para el problema 9.55.

5*ct-lr:;r Q . l i.*nt:¡ir.t*r;ir:r-tt:,t .::),: tt, :7:;.: .;':11",.,,;.,,,1,.

9.56 En a : 377 rad/s, halle la impedancia de enrrada delcircuito que aparece en la figura 9.63.

1 2 o

Figura 9.64Para el problema 9.57.

9.58 Halle 1a impedancia equivalente en la figura 9.65 en¿,'¡ : 10 krad/s.

2sa i l s f 2o__1,rir.j,+,tri

+ ñJsO o :i'-=* I i} 2 0 o t

Figura 9.67Para el problema 9.60.

9,61 Halle Z"oen el circuito de la f igura 9.6g.

Figura 9.68Para el problema 9.61 .

9,62 En relación con el circuiro de la figura 9.69, halle la im_pedancia de entrada 2",, en l0 krad/s.

3 0 o

710 O

2 Q

i:fI

Z"n

Figura 9.ó9Para el problema 9.62

5 0 Q 2 m Ho . l . ¡ ' l . ¡ J , . . ¡ 1 1 .

* Un asterisco indica un problema difícil

409

9.63 En relación con el circuito de la figura 9.70, halle el va_** tor de 27.Mt

8 O -i l2 O -116 Q

2 0 o . :, l0 e¿.i' l0 o i'r_,¡¡.!r,,__-,

9.67 En r¿ : l0r rad/s, halle la admitancia de entrada de c¡da uno de los circuitos de la fieura 9.74.

60Q 60c)

12.5 ¡fi

b)Figwa9.74Para el problema 9.67.

9.68 Determine Y"u en el circuito de la figura 9.75

ZT

5 t ¿

- i r o

3 O

,i l o

Figura 9.75Para el problema 9.68.

9.69 Halle la admitancia equivalente y"u en el circuito de lafigura 9.76.

2 s 1 S - l 3 S i 2 S

Figura 9.7óPara el problema 9"69.

Halle la impedancia equivalente del circuito de la figura9 .77 .

4 S

9.70#*¡M L

60190'v

ZT

Figura 9.73Para el problema 9.66.

- r l0 Q

) ó 8 f )| . - ̂

+ : - r \ ( ,

I c---L

z"oFigura 9.77Para el problema 9.70.

* ' ' t n

' - ' ' ó o l o o

Figura 9.70Para el problema 9.63.

9.64 Halte 27 e I en el circuiro de la figura 9.7 I .

r 4 f ) 6c¿

30190 v

Figura 9.71Para el problema 9.64.

9.65 DetermineZT.e I en el circuito delaf igura9.l2

1A -16 of{,1.r-------+

t20110" v3 c ¿ j 4 Ot.t/...*11a'

Figura9.72Para el problema 9.65.

9.66 En referencia al circuito de la figura 9.73, calcúe Z, yY uu.

9.71

IJML

410 Capítulo9 Senordesyfasores

Obtenga la impedancia equivalente del circuito de la h-gura 9.78.

Figura 9.78Para el problema 9.7l.

9.72 Calcule el vaior de 2,,5 en la red de la hgura 9.79

üML

j6 {¿ -tq c)

Figura 9.79Para el problema 9.72.

9.73 Determine la impedancia equivalente de1 circuito de la

ü f igura9.80.

ML-i4 a

II .n - i6a 4. '

.¿ T-'i ' i '- ,f

*---l- 'rr,ri

i ro o ;.-i ,,s f2 .,.; ,,4 O :L ¡tz ao o - I ___l

Figura 9.80Para el problema 9.73.

5**r,i<:* Q.& &.p1'catt*nes

9.74 Diseñe un circuito RL que produzca un adelanto de fasegftl de 90..

9.75 Diseñe un circuito que transforme una entrada de ten-grs¡l sión senoidal en uná satida de tensión cosenoidal.

9.76 En relación con los siguientes pares de señales, determi-ne si u¡ se adelanta o se atrasa de u2 y en cuánto.

a) ut : 10 cos(5r - 20"), u2 : 8 sen5rb) ut : 19 cos(2r + 90'), u2 : 6 senztc) ut : *4 cos 10r, ur : 15 sen l0¡

9.77 Remítase al ci¡cuiro RC de la figura 9.81.

a) Calcule el corrimiento de fase a 2MHz.

ó) Halle la frecuencia donde el desplazamiento de fasees de 45""

5 Oo-^.,r,,t¡.,_

+

Y+

Y,

Figura 9.81Para el problerna 9.77.

9.78 Una bobina con impedancia 8 + i6 () se conecta en se-ne con una reactancia capacitiva X. Esta combinación ensefle se conecta a su vez en paralelo con un ¡esistor R.Dado que la impedancia equivalente del circuito resul-tante es 5 /0" {1, haile el valor de R y X.

9.79 a) Calcule el desplazamiento de fase del circuito de la fi-gura 9.82.

b) Indique si el desplazamiento de fase es de adelanto ode retraso (salida lespecto a la entrada).

c) Determine la magnituci de la salida cuando la entrada

30( )/ítr',-**-l

l . +

1600 ii V

Figura 9.82Para el problema 9.79.

9.80 Considere el circuiro desplazamiento de fase de la figura9.83. Sea V¡ : 120 V al opeiar a 60 Hz. Halle:

c) V,, cuando R alcanza su valor máximo

ó) V,, cuando R alcanza su valor mínimo

c) el valor de R que producirá un desplazamiento de fasede,15"

;:;:'i-le?,----+ t

\ -u¡ 200nrH j u,

;------*-- - --i "

Figura 9.83Para el problema 9.80.

9.81 El puente de ca de la figura 9.37 está equilibrado cuandoRr : 400 0, R: : 600 (}, R3 : 1.2 kO y C2 : 0.3 p.F.Halle R, y C,. Suponga que R2 y C2 están en serie.

9.82 Un puente capacitivo se equilibra cuando Rr : 100 (),Rz : 2 kO y C., : 40 pF. ¿Cuál es el valo¡ de C., la ca-pacitancia del capacitor desconocido?

9.83 Un puente inductivo se equilibra cuando Rr : 1.2 kO,Rz : 500 f) y L' : 250 mH. ¿Cuál es el valor de t,, Iainductancia del inductor a prueba?

I

i20 nF ' j

I

,-J

l f )

es de 120 V

20() 4(o_:'fr-1-:r'- l

y j t oa i j

9.84 El puente de ca que aparece en la figura 9.g4 se conocecomo puente de Maxwell y se usa para la medición deprecisión de la inductancia y resistencia de una bobinaen términos de una capacitancia estándar C". Demuestreque cuando el puente está equilibrado,

R2R " : - R .- R r

Halle L. y R.. para R1 : 40 k0, R, : I .6 kO,R ¡ : 4 k Í ^ ) y C . : 0 . 4 5 ¡ . ¿ F .

Figura 9.84Puente de Maxwell; para el problema 9.84.

Problemas de mayor extensión

9.86 El circuito que se muestra en la figura 9.86 se usa en unreceptor de televisión. ¿Cuál es la impedancia total deeste circuito?

-j84 c¿

Figura 9.86Para el problema 9.86.

9.87 La red de la figura 9.87 forma parle del esquema quedescribe a un dispositivo industrial de transcripción elec_trónica. ¿Cuál es la impedancia total del circuito a 2kHz?

Figura 9.87Para el problema 9.87.

9.88 Un circuito de audio en serie se presenta en la figura9 .88 .

a) ¿Cuál. es la impedancia del circuito?

b) Si la frecuencia se redujera a la mitad, ¿cuál sería suimpedancia?

Problemas de mayor extensión 4 1 f

9.85 El circuito puente de ca de la figura 9.g5 se llama p:rc,r:de Wien. Sirve para medir la frecuencia de una fuenre.Demuestre que cuando el puente está equilibrado.

2n {R Rocrco

Figura 9.85Puente de Wien: para el problema 9.85

250H2 -j20 a

Figura 9.88Para e1 problema 9.88.

9.89 Una carga industrial se modela como una combinaciónen serie de una capacitancia y una resistencia como semuestra en la figura 9.89. Calcule el valo¡ de una induc_fancia L a lo largo de la combinación en serie de maneraque la impedancia neta sea resistiva a una frecuencia de50 kHz.

*--l--*-}l. J 2oo c¿

f .4 ,:,L ..\ 'l

i { , u n .

Figura 9.89Para el problema 9.89.

9.90 Una bobina industrial se modela como una combinaciónen serie de una inductancia L y una resistencia R, comose observa en la figura 9.90. Puesto que un voltímetro deca sólo mide la magnitud de una senoide, las siguientes

L,, : R2R3C. y

-j20f) 130c¿ 120Q

Capítulo9 Senoidesyfasores

medidas se toman a 60 Hz cuando el circuito ooera en elestado estable:

= 145 V, : 5 0 v .

Use estas medidas para determinar los valores de I y R.

Figura 9.90Para el problema 9.90.

9.91 En la ligura 9.91 se muestra una combinación en parale-lo de una inductancia y una resistencia. Si se deseaconectar un capacitor en serie con la combinación en pa-ralelo de manera que la impedancia neta sea resistiva al0 MHz, ¿cuál es el valor requerido de C?

C

9.92 Una línea de transmisión tiene una impedancia en serie

de Z : 100/75" O y una admitancia en paralelo de

Y : 450/48'pS. Halle: a) la impedancia característica

2,, : flQ, á) la constante de propagación y :

\,m.9.93 Un sistema de transmisión de energía eléctrica se mode-

la como se indica en la fisura 9.92. Dado lo sisuiente:

Tensión de fuentelmpedancia de fuenteImpedancia de líneaImpedancia de cargahalle la corriente de carga

ü\

i l5l0.v,r + jO.s o,0.,1 + j0.3 o,) 1 ) - r i l t ¿ o l )

l t .

Z,

Z , :z t :z t :lL.

z(

ZL

Fuente

Figura 9.92Para el problema 9.93.

Línea de transmisión Carga

lz(

300 O :::; 20 pH

Figura 9.91Para el problema 9.91 .