이차방정식viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%ea%b5%90%ea%b3%bc%ec%84%9c%eb...학습내용정리...

1. 다항식의인수분해

2. 이차방정식

이 단원의 |학 |습 |목 |표 | 1. 인수분해의 뜻을 알고, 인수분해를 할 수 있다.

2. 이차방정식과 그 해의 의미를 이해하고, 이를 풀 수 있다.

3. 이차방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

이차방정식

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지134 mac02 T

자전거는사람의 힘을 추진력으

로 전환하도록 고안된

것이다. 현대의 자전거와 같은 것을 최초로 만

든 사람은 프랑스의 피에르 미쇼와 그의 아

들 에르네스트 미쇼이다. 1861년 미쇼 부자

는 앞바퀴에 2개의 크랭크를 장착하고 페

달을 부착하여 페달의 회전하는 힘을 직접

앞바퀴에 전달하여 자전거가 굴러가도록

하였다.

오늘날 자전거는 환경친화적인 교통수

단으로 많은 사람들이 이용하고 있으며

자전거를 타고 이동한 거리는 시간에

관한 식으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 자전거가 내리막길에서 t초

동안 달린 거리를 (0.2t¤ +4t)m라고

하자. 이때 내리막길의 길이가 300 m

라고 하면 내리막길을 벗어나는 데

걸리는 시간은 방정식으로 나타내어

풀면 알 수 있다.

단원을시작하기전에

우리는자연현상이나실생활에서일어나는수량사이의관계에관한문제를일차방정식이나연립

일차방정식으로나타내어해결할수있음을배웠다. 마찬가지로가로의길이가세로의길이보다

5 m 더긴직사각형의넓이가 84 m¤일때, 이차방정식을세워가로의길이와세로의길이를구할

수있다. 이단원에서는다항식을인수분해하는방법을알게하고, 이차방정식의뜻과그해를구하

는방법을지도한다.

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지135 mac02 T

①이차방정식과그해의의미를이해하게한다.

②인수분해를이용하여이차방정식을풀수있게한다.

③제곱근을이용하여이차방정식을풀수있게한다.

④완전제곱식을이용하여이차방정식을풀수있게한다.

⑤근의공식을이용하여이차방정식을풀수있게한다.

⑥이차방정식을활용하여여러가지문제를해결할수있게한다.

2. 이차방정식

136 각론

①인수분해의뜻을알고, 인수분해를할수있게한다.

②인수분해공식과곱셈공식사이의관계를이해하게한다.

③인수분해공식을이해하게한다.

단원의지도목표


①인수분해는이차방정식의해를구하는데필요한정도로다룬다.

②이차방정식의의미는다양한상황을통해도입한다.

③이차방정식은해가실수인경우만다룬다.

④이차방정식에서자신의풀이방법을설명할수있게한다.

⑤이차방정식의해가문제의의도에맞는지확인하게한다.

⑥이차방정식의활용에서는계산과정이지나치게복잡한경우는피하고, 실생활과관련된간단한문

제를다룬다.

교수·학습상의유의점

교수·학습의계열

선수학습 본단원

[중1~3학년군]

자연수의성질

문자와식

일차방정식

단항식의계산

다항식의계산

제곱근과실수

후속학습

[수학Ⅰ]

다항식의연산

나머지정리

인수분해

복소수와이차방정식

이차방정식과이차함수

여러가지방정식


인수분해

인수분해공식

2. 이차방정식

이차방정식과그해

이차방정식의풀이

이차방정식의활용

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지136 mac02 T

Ⅱ. 이차방정식 137

단원의차시별지도계획

소단원중단원 차시 교과서(쪽) 지도내용 용어와기호


2. 이차방정식

학습지도계획수립시차시별지도계획을바탕으로학교의실정이나학생들의학습속도에따라적절히조정할수있다.

준비학습 60

•소인수분해

•전개

•곱셈공식

58~59 •단원의개관단원의개관

1-1 인수분해 1 61~62 •인수분해의뜻 인수, 인수분해

수준별학습 6 71~73 •중단원확인학습문제

수준별학습 14 89~91 •중단원확인학습문제

준비학습 74

•일차방정식의풀이

•제곱근

•인수분해

•일차방정식

2-1 이차방정식과

그해7 75~76

•이차방정식의뜻

•이차방정식의해이차방정식

2-2 이차방정식의

풀이8~12 77~85

•인수분해를이용한풀이

•중근의뜻

•제곱근을이용한풀이

•완전제곱식을이용한풀이

•근의공식의뜻과이를이용한풀이

중근, 근의공식


활용13 86~88 •이차방정식의활용

단원마무리 15~16 92~99

•수행과제

•학습에대한자기평가

•대단원핵심한눈에보기

•만화로보는수학이야기

•대단원평가문제

•수학산책

1-2 인수분해

공식2~5 63~70

•a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤

•a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤

•a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

•x¤ +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

•acx¤ +(ad+bc)x+bd

=(ax+b)(cx+d)

•컴퓨터의활용

완전제곱식

0

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138 각론

단원의이론적배경

1.문자와대수

최근까지인류최초의문자는기원전 3000년경고대

메소포타미아수메르인들의쐐기문자로알려져있었

다. 그러나 1998년 이집트의 아비도스 유적에서는 수

메르의 쐐기 문자보다 200~300년 앞선 상형 문자가

발견되었다. 점토판에새겨진수메르나아비도스의기

록은 주로 인구, 세금, 토지의 계산에 관한 것이며, 수

메르인들의점토판에서는간단한일차, 이차방정식의

풀이를볼수있다.

수와개수세기에대한기록은최초의문자이전으로

거슬러올라간다. 아프리카의콩고민주공화국에서발

견되어 그곳의 이름을 딴‘이샹고의 뼈’는 기원전 2만

년 전의 것으로 뼈에 새겨진 개수 세기에서 덧셈과 뺄

셈의흔적과소수(prime number)에대한생각을찾

을수있다.

3세기경 알렉산드리아에서 활약한 디오판토스

(Diophantos: ?200~?284)는“산학(Arithmetica)”

13권을저술하였는데, 그중 6권만이현재전해지고있

다. “산학”에는 189개의방정식과그에대한풀이가있

는데 현대 수학에도 큰 영향을 끼치고 있다. 디오판토

스이전까지수식의표현은말로서술하는형태였다. 디

오판토스는수식을표현할때, 문자를채택하고간결한

표현방법을썼으나오늘날의수식의표현과는다르다.

또 디오판토스는 수를 뜻하는 그리스어의 첫 두 글자

a와 q를섞어서만든 s로미지수를나타내기도하였다.

대수라는 말을 쓴 세계 최초의

책은 아라비아의 알콰리즈미

(Al-Khwarizmi: ?780~?850)

의 대수 책이고, 문자, 기호 및

계산을 이용하여 사고를 수행하

고문제해결뿐만아니라증명까

지도 시도한 최초의 수학자는 16세기 프랑스 최고의

대수학자인 비에타(Viéta, F.: 1540~1603)이다. 또

한오늘날우리들이사용하는덧셈기호+, 뺄셈기호

-는비트만(Widmann, J.: 1462~1498)이처음으로

사용하였고 등호 =는 영국의 레코드(Recorde, R.:

1510~1558)가 처음 사용하였다. 또 부등호 <, >는

해리엇(Harriot, T.: 1560~1621)이, 곱셈기호 _는

오트레드(Oughtred, W.: 1574~1660)가 처음으로

사용하였다.

그리고 미지수를 나타내는 현대적인 형식은 데카르

트(Descartes, R.: 1596~1650)에 의해서 정립되었

다. 그는 1637년의저서“기하학(Geometrie)”에서알

파벳의 첫머리 문자 a, b, c, y 등은 기지량으로, 끝

쪽문자 x, y, z, y 등은미지량으로나타내고있다.

다항식은변수에대한덧셈과곱셈에의한식의표현

이다. 다항식은 이와 같이 간단한 형태의 함수이기 때

문에다른함수들을연구하는데필수적이다.

현대 수학에서다항식에 관한연구는 가장활발하게

이루어지고있다. 다항식이나타내는도형을연구하는

분야인 대수기하는 19세기 이후로 수학의 중심 분야

중 하나이며, 힐베르트(Hilbert, D.: 1862~1943)와

뇌터(Noether, A. E.: 1882~1935)가 증명한 여러

결과들이다항식연구의바탕이되고있다.

피타고라스(Pythagoras: ?B.C. 569~?B.C. 475)

이후로던져진중요한수학의문제들이다항식으로표현

되며이는수에관한연구와연결

된다. 1802년가우스(Gauss, K.

F.: 1777~1855)는 일차 이상의

다항식은 기약다항식의 곱으로

유일하게 인수분해된다는 것을

증명하였다. 유클리드(Euclid:

2.다항식과인수분해

알콰리즈미

가우스

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지138 mac02 T


?B.C. 325~?B.C. 265)가그의책“원론(Elements)”에

서 소수의 곱에 관한 내용을 소개한 이후에 2100년이

지난후에야가우스가다항식의인수분해정리를증명

함으로써유클리드이후로강조되고있던소수의중요

성과 소인수분해를 이용한 최대공약수 및 최소공배수

의계산등이다항식의경우에도그대로적용되었다.

고대의여러 문명의기록을 살펴보면방정식에 관계

된문제와해법이많이나와있다. 세계최고의수학서

인 아메스(Ahmes: ?B.C. 1680~?B.C. 1620)의“파

피루스”에처음으로일차방정식의해법이등장하였다.

아메스는여기에서한개의미지량을가지는일차방정

식에관련된문제와그것의해결방법을서술하였다.

또 탈레스(Thales: ?B.C. 624~?B.C. 546)는 피라

미드의그림자를이용하여그높이를측정하였는데, 이

때비례식을이용하여일차방정식을풀었다.

그리스의수학자인디오판토스는“산학”이라는수학

책에서 기호를 사용하여 일차방정식을 기술하였으며,

이항 및 동류항의 정리와 같은 계산 방법을 제시하였

다. 이책에서디오판토스는그외에도여러가지방정

식과부정방정식의해법도기술하고있으나, 음수는방

정식의해로취급하지않았다.

방정식의 해법은 인도의 수학에서도 많이 발견되는

데 브라마굽타(Brahmagupta: 598~670)와 바스카

라(Bhaskara, A.: 1114~1185)가 대표적인 수학자

이다. 브라마굽타는일차부정방정식

ax+by=c (a, b, c는정수)

의일반적인해법을최초로소개하였으나음수의해까

지확장하지는못하였다. 음수의해까지도확실히생각

한것은바스카라였다. 한편인도에서 0의발견은기수

법을발전시켰고, 이에따라방정식의일반화를가져왔

다. 인도에서발전한방정식에관한이론은아라비아를

거쳐서유럽에전파되었다고한다.

이차방정식의근의공식에의한풀이는기원전 2000년

에바빌로니아인들의기록에나타나며, 기원전 150년

경에 중국에서 저술된“구장산술”에도 나타나 있다.

삼차방정식의 근의 공식은 타르

탈리아(Tartaglia, N. F.: 1499

~1557)에 의하여 발견되었다.

당시 수학 교수였던 카르다노

(Cardano, G.: 1501~1576)는

삼차방정식의 근의 공식이 자신

의 결과인 듯 발표하였고, 타르

탈리아와의 논쟁에서 자신의 지

위를 이용하여 타르탈리아를 곤

경으로 몰아넣었다. 사차방정식

의근의공식은카르다노의제자

였던페라리(Ferrari, L.: 1522~1565)가발견하였다.

5차 이상의 방정식을 푸는 일반적인 방법은 존재하

지 않는다는 것을 증명한 사람은 19세기 노르웨이의

젊은 수학자 아벨(Abel, N. H.: 1802~1829)이었다.

그는이것의증명과정에서‘군’의개념을생각해내었

고, 그결과방정식의해법에관련된수학의새로운영

역으로‘군’이탄생되었는데이군의이론은 20세기수

학의 특징인 추상주의의 계기가 되어 수학 전반에 큰

영향을주었다.

갈루아(Galois, E.: 1811

~1832)는 방정식이 5차 이상인

모든경우에근의공식이존재하

지 않음을 증명하였다. 갈루아는

‘갈루아 이론’이라고 불리는 방

법을 제시하였는데, 이는 현대

수학에서 방정식을 풀 때 가장 중요한 계산 방법으로

이용되고있다.

3.방정식과근의공식

카르다노

갈루아

타르탈리아

(134~193)200교과2 2014.11.13 9:19 AM 페이지139 mac02 T

140 각론

교수·학습활동 교수·학습상의유의점

인수분해의뜻을안다.

교과서61~62쪽쪽수

차시

모둠학습을위한소집단

을사전에편성한다.

교수·학습과정안(기초)

대단원

소단원

학습목표

Ⅱ.이차방정식

1. 다항식의인수분해 1-1 인수분해 1/16

단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시

이전에학습한내용을간단히확인, 점검한다.

다항식의전개에대하여질문한다.

학습목표를제시한다.

•인수분해의뜻을안다.

전개

탐구활동

개념학습

문제해결

정리

및

평가

학습내용정리

형성평가

수준별과제

차시예고

본시의학습내용을정리한다.

형성평가문제를제시하여성취수준을파악한다.

● 다음식을인수분해하여라.

● ⑴ ax-ay ⑵ x¤ +2x

답⃞⑴ a(x-y) ⑵ x(x+2)

형성평가결과에따라수준별학습지(기초, 기본)를 과제로선택하도록한다.

다음차시를예고한다.

•다항식 a¤ +2ab+b¤ , a¤ -2ab+b¤을인수분해할수있다.

창의력기르기를읽고, 탐구 활동을모둠별로해결하도록한다.

탐구활동결과를발표하게하고, 정답 확인및보충설명을한다.

학습내용설명

인수

하나의다항식을두개이상의다항식의곱으로나타낼때의각각의식

인수분해

하나의다항식을두개이상의인수들의곱으로나타내는것

문제 1을 풀게한다.

정답을확인하고, 보충 설명을한다.

의사소통을모둠별로해결하도록한다.

의사소통결과를발표하게하고, 정답 확인및보충설명을한다.

인수분해x¤ +5x+6 ^jjjjjj& (x+2)(x+3)

전개 인수

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지140 mac02 T


수준별학습지(기초)


차시

대단원

소단원

( )학년 ( )반 ( )번 이름:

Ⅱ.이차방정식


다음 안에알맞은것을써넣어라.1

다음중에서 ab+a의인수를모두찾아라.2

다음식을인수분해하여라.

⑴ ax+bx-3x

⑵ 2ax+8x

⑶ 3a¤ -6a

3

답⃞인수분해, 전개

답⃞㉡, ㉣

답⃞⑴ x(a+b-3) ⑵ 2x(a+4) ⑶ 3a(a-2)

하나의다항식을두개이상의인수들의곱으로나타내는것을 라하고, 반대로

두개이상의인수들의곱을하나의다항식으로나타내는것을 라고한다.

㉠ ab ㉡ a ㉢ b

㉣ b+1 ㉤ a+b

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지141 mac02 T

142 각론

교수·학습과정안(기본)




차시



대단원

소단원

학습목표

Ⅱ.이차방정식


단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시





전개

탐구활동

개념학습

문제해결

정리

및

평가

학습내용정리

형성평가

수준별과제

차시예고




● ⑴ xy-x ⑵ ax+bx-cx

답⃞⑴ x(y-1) ⑵ x(a+b-c)

형성평가결과에따라수준별학습지(기초, 기본, 실력)를 과제로선택하도록한다.





학습내용설명

인수


인수분해







전개 인수

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지142 mac02 T


수준별학습지(기본)


차시

대단원

소단원

( )학년 ( )반 ( )번 이름:

Ⅱ.이차방정식


다음은어떤다항식을인수분해한것인지구하여라.

⑴ x(x-3)

⑵ x(x-y)

⑶ 2xy(x+1)

1


⑴ 3a+15ab ⑵ 4x-x¤

⑶ ac+2c-cd ⑷ x¤ y-xy-xy¤

3

답⃞⑴ x¤ -3x ⑵ x¤ -xy ⑶ 2x¤ y+2xy

답⃞⑴ 3a(1+5b) ⑵ x(4-x) ⑶ c(a+2-d) ⑷ xy(x-1-y)

다음다항식중에서 ab가인수인것을모두찾아라.2

답⃞㉠, ㉡, ㉣

㉠ abx-ab ㉡ a¤ bx-ab¤ y

㉢ a¤ c-2ab ㉣ abx+ab(x-c)

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지143 mac02 T

144 각론

교수·학습과정안(실력)




차시



대단원

소단원

학습목표

Ⅱ.이차방정식


단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시





전개

탐구활동

개념학습

문제해결

정리

및

평가

학습내용정리

형성평가

수준별과제

차시예고




● ⑴ 3x¤ -6xy ⑵ x¤ y+xy-2xy¤

답⃞⑴ 3x(x-2y) ⑵ xy(x+1-2y)

형성평가결과에따라수준별학습지(기본, 실력)를 과제로선택하도록한다.





학습내용설명

인수


인수분해







전개 인수

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:42 AM 페이지144 mac02 T


수준별학습지(실력)


차시

대단원

소단원

( )학년 ( )반 ( )번 이름:

Ⅱ.이차방정식


다음은어떤다항식을인수분해한것인지구하여라.

⑴ (a-2)(a-3)

⑵ (a-2)¤

⑶ abc(d-1)

1

오른쪽 그림은 직사각형 ABCD를 두 개의 직사각형 AEFD와

EBCF로 나눈 것이다. □AEFD+□EBCF=□ABCD임을

이용하여인수분해를나타내어라.

3

답⃞⑴ a¤ -5a+6 ⑵ a¤ -4a+4 ⑶ abcd-abc

답⃞ 2x¤ +xy=x(2x+y)

A

B C

D

E F

x

2x

y

다음다항식중에서 x+y가인수인것을모두찾아라.2

답⃞㉡, ㉢

㉠ xy+x ㉡ xy+y¤

㉢ x¤ +xy ㉣ x¤ +y

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지145 mac02 T

교과서 60 쪽

준 |비 |학 |습

2 다음식을전개하여라.

⑴ 2a(x+3) ⑵ 5x(x-2)

⑶ (a+4)(b-5) ⑷ (2x-1)(y-6)

4 오른쪽 그림을 보고, 다음 안에 알맞은 수를

써넣어라.

1 다음수를소인수분해하여라.

⑴ 27 ⑵ 80

⑶ 121 ⑷ 196

소인수분해

자연수를 소인수들만의 곱으로

나타내는 것을 소인수분해한다

고한다.

전개

다항식의 곱셈에서 괄호를 풀

어 하나의 다항식으로 나타내

는것을전개라고한다.

3 다음식을전개하여라.

⑴ (x+3)¤ ⑵ (x-4)¤

⑶ (x+7)(x-7) ⑷ (x+2)(x+6)

곱셈공식

•(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤

•(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤

•(a+b)(a-b)=a¤ -b¤

•(x+a)(x+b)

=x¤ +(a+b)x+ab

•(ax+b)(cx+d)

=acx¤ +(ad+bc)x+bd

1다항식의인수분해 더이상자를

수없어.

2x

3

x 5

(x+5)(2x+3)= x¤ + x+15

146 각론

1 다항식의인수분해

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 인수분해의 뜻을 알고, 인수분해를 할 수 있

게 한다.

② 인수분해 공식과 곱셈 공식 사이의 관계를 이

해하게 한다.

③ 인수분해 공식을 이해하게 한다.

중단원을 시작하며

준비 학습의 해설

중단원의 구성

소단원명 지도 내용

1-1 인수분해

1-2 인수분해공식

수준별학습

인수분해의뜻

a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤

a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤

a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

x¤ +(a+b)x+ab

=(x+a)(x+b)

acx¤ +(ad+bc)x+bd

=(ax+b)(cx+d)

중단원확인학습문제

목표| 소인수분해를 할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 27=3‹

⑵ 80=2› _5

⑶ 121=11¤

⑷ 196=2¤ _7¤

1

목표| 곱셈 공식을 이용하여 다항식의 곱을 전개할 수 있게

한다.

풀이| ⑴ (x+3)¤ =x¤ +2_x_3+3¤ =x¤ +6x+9

⑵ (x-4)¤ =x¤ -2_x_4+4¤ =x¤ -8x+16

⑶ (x+7)(x-7)=x¤ -7¤ =x¤ -49

⑷ (x+2)(x+6)=x¤ +(2+6)x+2_6=x¤ +8x+12

3

목표| 그림을 이용하여 곱셈 공식을 이해하게 한다.

풀이| 가로와세로의길이가각각

x+5, 2x+3인 직사각형의 넓이

는 (x+5)(2x+3)이다. 이것은

오른쪽 그림과 같이 4개의 직사

각형의넓이의합과같으므로

(x+5)(2x+3)=2x¤ +10x+3x+15

= x¤ + x+15132

2x

3

x

2x@

3x 15

10x

5

4

목표| 분배법칙을 이용하여 다항식의 곱을 전개할 수 있게

한다.

풀이| ⑴ 2a(x+3)=2ax+6a

⑵ 5x(x-2)=5x¤ -10x

⑶ (a+4)(b-5)=ab-5a+4b-20

⑷ (2x-1)(y-6)=2xy-12x-y+6

2

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지146 mac02 T


교과서 61 쪽

인수분해란무엇인가?

(x+2)(x+3)을전개하면

(x+2)(x+3)=x¤ +5x+6

이다. 이등식의좌변과우변을서로바꾸면

x¤ +5x+6=(x+2)(x+3)

이되므로다항식 x¤ +5x+6은 x+2와 x+3의곱으로나타

낼수있다.

이와 같이 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 각각의

식을처음식의인수라고한다.

가두리양식장

연안에구획을정하여그물을치고그

안에서 수산물을 기르고 번식시키는

것을가두리양식이라고하는데, 주로

사각형의바둑판모양으로그물을설

치한다. 양식장근처의해안에는어족

보호를위하여공장건설과유조선의

통행을제한하기도한다.

인수분해1-1

오른쪽 그림과 같은 직사각형 모양의 가두리 양식장

을만들려고할때, 다음물음에답하여보자.

1 □ABCD의 넓이를 □ABFE와 □EFCD의 넓

이의합으로나타내어보자.

2 □ABCD의 넓이를 가로의 길이와 세로의 길이의

곱으로나타내어보자.

3 1과 2에서나타낸식의차이점을말하여보자.

창의력 기르기

탐 구 활 동

●인수분해의뜻을안다.

x@ 2x

3x 6

x 2

x

3

x+2와 x+3은

x¤ +5x+6의인수이다.

A D

B CF

E3a

2a

b

1 -1 인수분해

① 인수분해의 뜻을 알게 한다.

② 다항식을 공통인수로 묶어 내어 인수분해할 수 있게 한다.

소단원 지도 목표

1. 다항식의 인수와 인수분해의 뜻을 정확히 이해하게

한다.

2. 전개와 인수분해는 등식의 좌변과 우변을 바꾸면 서

로같음을이해하게한다.

3. 다항식의각항에공통으로들어있는인수로묶는것

이인수분해의기본임을알게한다.

4. 다항식의각항에공통으로들어있는인수가여러개

있을수있음에유의하게한다.

교수·학습상의 유의점

•인수`(因數, factor)

•인수분해`(因數分解, factorization)

새로 나온 용어와 기호

가두리양식은주로수심이깊은하천이나바

다의 연안에서 이루어지지만 먼 바다에서 이

루어지는 경우에는 조류의 영향을 덜 받아

적조와 태풍에 안정적이고 자연산에 가까운

수산물을생산할수있다.

창의력 기르기 참/고/자/료

활동 목표•직사각형 모양의 가두리 양식장의

넓이를 구해 봄으로써 인수분해의 뜻을 알게

하려는 것이다.

탐구 활동의 이해

1. □ABFE=3a_2a=6a¤

□EFCD=b_2a=2ab

□ABCD=□ABFE+□EFCD

=6a¤ +2ab

2.가로의길이는 3a+b이고, 세로의길이는 2a이므로

□ABCD=(3a+b)_2a

3. 1은 항들의 합으로 나타낸 것이고, 2는 두 다항식의

곱으로나타낸것이다.

❶가로와 세로의 길이가 각각 x+2, x+3인 직사각형

의 넓이는 (x+2)(x+3)이다. 이것은 주어진 그림

과 같이 넓이가 x¤ , 2x, 3x, 6인 직사각형의 넓이의

합과같으므로

(x+2)(x+3)=x¤ +2x+3x+6=x¤ +5x+6

❷다항식의인수는자연수에서의인수와마찬가지로생

각할 수 있다. 즉, 자연수 a, b, c에 대하여 a=b_c

일 때 b, c를 a의 인수라고 하는데, 다항식에서도 처

음다항식을몇개의다항식의곱으로나타내었을때

곱하여진각다항식을처음다항식의인수라고한다.

본문 해설

❷

❶

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지147 mac02 T

교과서 62 쪽

또하나의다항식을두개이상의인수들의곱으로나타내는것을그다항식을

인수분해한다고한다.

한편다항식ma+mb에서m은항ma와mb에공통으로들어있는인수이고,

분배법칙을이용하여공통인수m으로묶어내면다음과같이인수분해할수있다.


⑴ ax+5ay ⑵ x¤ -2ax

⑶ 8x¤ -4xy ⑷ ax+ay-az

문제 1

x¤ +5x+6 (x+2)(x+3)인수분해

전개인수

ma+ mb= m(a+b)

풀이

⑵ 2x¤ = 2 _ x _x

-4xy=-2_ 2 _ x _y

식을 인수분해할 때에는 공

통인수가 남지 않도록 모두

묶어낸다.

⑴ ab와 3ac의공통인수는 a이므로

ab+3ac=a(b+3c)

⑵ 2x¤ 과-4xy의공통인수는 2x이므로

2x¤ -4xy=2x_x-2x_2y=2x(x-2y)


⑴ ab+3ac ⑵ 2x¤ -4xy1예제

답 ⑴ a(b+3c) ⑵ 2x(x-2y)

공통으로 들어 있는 인

수를공통인수라고한다.

2x¤ +4x를 2(x¤ +2x)로 나타내었을 때, 이것을 인수분해한 것이라고 할 수 있는지 토의하여

보자.

148 각론

목표| 다항식을 공통인수로 묶어 내어 인수분해

할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ ax와 5ay의공통인수는 a이므로

ax+5ay=a(x+5y)

⑵ x¤과-2ax의공통인수는 x이므로

x¤ -2ax=x(x-2a)

⑶ 8x¤ 과-4xy의공통인수는 4x이므로

8x¤ -4xy=4x(2x-y)

⑷ ax, ay, -az의공통인수는 a이므로

ax+ay-az=a(x+y-z)

1

|출제 의도| 인수분해를 할 때에는 더 이상 인수분해가 되지

않는 인수들의 곱으로 나타내어야 함을 이해하도록 하기 위

한 문제이다.

의/사/소/통

풀이| 인수분해를할때에는공통인수로모두묶어야하

므로 2x¤ +4x=2x(x+2)와같이인수분해하여야한다.

기/초/력 향상 문제


1 m¤ +4m

2 x¤ y-3xy¤

3 5x¤ -15xy

4 -ax-bx-6cx

1 m(m+4) 2 xy(x-3y) 3 5x(x-3y) 4 -x(a+b+6c)답

❶자연수를 소인수분해할 때 소인수들만의

곱으로 나타내는 것과 같이 다항식을 인

수분해할 때에도 더 이상 인수분해되지

않는인수들의곱으로나타낸다.

•24=8_3 ˙k 24=2‹ _3

•ax¤ +2ax+a=a(x¤ +2x+1)

˙k ax¤ +2ax+a=a(x+1)¤

❷인수분해와 전개는 서로 반대의 과정이고

인수분해는 곱의 모양, 전개는 합의 모양

으로나타내어진다.

주의| x¤ +5x+6을 x(x+5)+6의 형태

로바꾸는것은인수분해가아니다.

❸분배법칙을 이용하여 공통인수로 묶어 내

는것은인수분해의기본이다. 인수분해할

때에는먼저공통인수가있는지확인하고,

정수계수가있을경우에는정수계수의최

대공약수로묶어내어인수분해한다.

본문 해설 ❶

❷

❸

(134~193)200교과2 2012.8.17 4:37 AM 페이지148 mac02 T


교과서 63 쪽

인수분해공식1-2a¤ +2ab+b¤ ,,a¤ -2ab+b¤은어떻게인수분해하는가?

다음 그림과 같이 넓이가 a¤ , a, 1인 세 종류의 대수 타일 4개를 이용하여 물음에 답하여

보자.

1 대수타일 4개의넓이의합을구하여보자.

2 대수타일 4개를모두붙여서정사각형으로만들어보자.

3 2에서 만든 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 이것을 이용하여 정사각형의 넓이를 식으

로나타내어보자.

4 1과 3의결과를등식으로나타내어보자.

탐 구 활 동

a@a

a 1

a a1

a

11

●준비물대수타일

곱셈공식

(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤ , (a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤

에서좌변과우변을서로바꾸어생각하면

a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤

으로인수분해됨을알수있다.

이상을정리하면다음과같다.

인수분해공식 [1]

a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤


⑴ a¤ +10a+25 ⑵ a¤ -14a+49

⑶ 4x¤ +12x+9 ⑷ 9x¤ -12x+4

문제 1

●곱셈공식과인수분해공식사이의관계를이해하고, 다항식을인수분해할수있다.

활동 목표•대수 타일 4개의 넓이의 합과 대

수 타일 4개를 모두 붙여 만든 정사각형의 넓

이를 비교해 봄으로써 a¤ +2a+1=(a+1)¤임

을 이해하게 하려는 것이다.

준비물•대수 타일


1. a¤ +a+a+1=a¤ +2a+1

2.

3. 2에서만든정사각형의한변의길이는 a+1이다.

따라서정사각형의넓이는

(a+1)_(a+1)=(a+1)¤

4. 대수 타일 4개의 넓이의 합과 대수 타일 4개를 모두

붙여만든정사각형의넓이는같으므로

a¤ +2a+1=(a+1)¤

a@ a

a 1

a

a1

11 -2 인수분해공식

① 인수분해 공식과 곱셈 공식 사이의 관계를 이해하게 한다.

② 인수분해 공식을 이해하게 한다.

③ 완전제곱식의 뜻을 이해하게 한다.


1. 다항식의 곱의 전개와 다항식의 인수분해 사이의 관

계를이해하여인수분해공식을알게한다.

2. 다항식의 형태를 파악하여 적절한 인수분해 공식을

적용하고, 공식을충분히연습할수있도록지도한다.

3. 인수분해 공식을 적용하기 전에 공통으로 들어 있는

인수가 있을 경우, 먼저 그 인수로 묶어 낸 후에 공식

을적용하게한다.


•완전제곱식`(perfect square)

4. 인수분해는 계수가 정수인 것만 다루고,

인수분해 공식을 이용할 수 있는 간단한

형태를위주로다룬다.

5. 인수분해는 이차방정식의 해를 구하는 데

필요한정도로다룬다.


목표| 인수분해 공식 [1]을 이용하여 다항식을 인수분해할 수

있게 한다.

풀이| ⑴ a¤ +10a+25=a¤ +2_a_5+5¤ =(a+5)¤

⑵ a¤ -14a+49=a¤ -2_a_7+7¤ =(a-7)¤

⑶ 4x¤ +12x+9=(2x)¤ +2_2x_3+3¤ =(2x+3)¤

⑷ 9x¤ -12x+4=(3x)¤ -2_3x_2+2¤ =(3x-2)¤

1

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지149 mac02 T

교과서 64 쪽

제곱 제곱

다음식이완전제곱식이되도록 안에알맞은양수를써넣어라.

⑴ a¤ +6a+ ⑵ a¤ + a+64

⑶ x¤ -10x+ ⑷ x¤ - x+9

문제 2

다음식이완전제곱식이되도록 안에알맞은양수를써넣어라.

⑴ a¤ +12a+ ⑵ x¤ - x+1001예제

풀이`a ¤ +2_ a _ b + b ¤

`a ¤ -2_ a _ b + b ¤

⑴ a¤ +12a+ =a¤ +2_a_6+ 이므로

=6¤ =36

⑵ x¤ - x+100=x¤ - x+10¤ 이므로

=2_10=20

답 ⑴ 36 ⑵ 20

(a+b)¤ , 2(3x-1)¤ 과같이다항식의제곱으로된식이나이식에상수를곱한

식을완전제곱식이라고한다.

오른쪽그림과같은정사각형ABCD의넓이를직사각형

들의넓이의합으로나타내어라. 또그림을이용하여정사

각형ABCD의넓이를완전제곱식으로나타내어라.

x@ ax

x@

A

B

D

C

ax

150 각론

목표| 완전제곱식을 이해하고, 다항식이 완전제곱식이 되도

록 안에 알맞은 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ a¤ +6a+ =a¤ +2_a_3+ 이므로

=3¤ =9

⑵ a¤ + a+64=a¤ + a+8¤ 이므로

=2_8=16

⑶ x¤ -10x+ =x¤ -2_x_5+ 이므로

=5¤ =25

⑷ x¤ - x+9=x¤ - x+3¤ 이므로

=2_3=6

2

❶완전제곱식은 이후에 이차방정식의 근의

공식이나 이차함수의 그래프에서도 많이

이용된다.

❷⑴

a¤ +12a+36=(a+6)¤

⑵ x¤ - x+100이 완전제곱식이 되

도록하는 를구할때,

x¤ +20x+100과 x¤ -20x+100의 두

다항식을모두생각해야한다.

여기서답이 20인이유는 안의수

가양수라고주어졌기때문이다.

본문 해설

a의계수의 ;2!;

제곱꼴

a¤ 6¤

주의| ⑵ =—(2_8)=—16이지만문제의조건에의

하여답은 16이된다.

⑷ =—(2_3)=—6이지만 문제의 조건에 의하여 답

은 6이된다.

|출제 의도| 도형 9개의 넓이의 합과 큰 정사각형의 넓이가

같음을 이용하여 인수분해 공식을 이해하게 하기 위한 문제

이다.

창의 UP

풀이|

정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 위의 그림과 같이

2x+a이므로 넓이는 (2x+a)¤ 이다. 이것은 □ABCD

를나눈 9개의사각형의넓이의합

4_x¤ +4_ax+a¤ =4x¤ +4ax+a¤ 과같으므로

4x¤ +4ax+a¤ =(2x+a)¤

x@ x@

a@

ax

x@x@

A

B

D

C

axax

ax

x a xx

x

a

❶

❷

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지150 mac02 T


교과서 65 쪽


⑴ a¤ -49 ⑵ 16x¤ -1

⑶ 9a¤ -64 ⑷ 4x¤ -81

문제 3

a¤ -b¤은어떻게인수분해하는가?

탐 구 활 동

●준비물색종이, 가위

곱셈공식

(a+b)(a-b)=a¤ -b¤


a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

로인수분해됨을알수있다.



a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

-a¤ +b¤

=b¤ -a¤

=(b+a)(b-a)

4a¤ -9=(2a)¤ -3¤ =(2a+3)(2a-3)보기

다음그림과같이한변의길이가 a인정사각형모양의색종이에서한변의길이가 b인정

사각형모양을잘라내고남은도형으로직사각형모양을만들었다. 물음에답하여보자.

1 ㈎에서한변의길이가 b인정사각형모양을잘라내고남은도형의넓이를두정

사각형의넓이의차로나타내어보자.

2 ㈏에서직사각형의넓이를가로의길이와세로의길이의곱으로나타내어보자.


a

a

b

bb

b

a-b

a

a

㈎㈏

목표| 인수분해 공식 [2]를 이용하여 다항식을

인수분해할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ a¤ -49=a¤ -7¤ =(a+7)(a-7)

⑵ 16x¤ -1=(4x)¤ -1¤ =(4x+1)(4x-1)

⑶ 9a¤ -64=(3a)¤ -8¤ =(3a+8)(3a-8)

⑷ 4x¤ -81=(2x)¤ -9¤ =(2x+9)(2x-9)

3

❶다항식의곱셈에서 (a+b)(a-b)를전개

하면

(a+b)(a-b)=a¤ -ab+ab-b¤

=a¤ -b¤

❷인수분해 공식 [2]를 이용하려면 주어진

다항식이 부호가 다른 두 개의 항으로 되

어있고, 각항이제곱의꼴이어야한다.

•a¤ -36=a¤ -6¤

=(a+6)(a-6)

•-49+a¤ =a¤ -49

=a¤ -7¤

=(a+7)(a-7)

본문 해설



1 a¤ -64

2 64x¤ -25

3 4a¤ -1

4 2x¤ -18

1 (a+8)(a-8) 2 (8x+5)(8x-5)

3 (2a+1)(2a-1) 4 2(x+3)(x-3)

답

❶

❷

활동 목표•㈎와 ㈏의 도형의 넓이를 비교해 봄으로써

a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)임을 이해하게 하려는 것이다.

준비물•색종이, 가위


1. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 넓이는 a¤이고, 한 변

의길이가 b인정사각형의넓이는 b¤이므로남은도형

의넓이는 a¤ -b¤이다.

2. 직사각형의 가로의 길이는 a+b이고, 세로의 길이는

a-b이므로직사각형의넓이는 (a+b)(a-b)이다.

3. ㈎와㈏의도형의넓이는같으므로

a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지151 mac02 T

교과서 66 쪽

x¤ +(a+b)x+ab는어떻게인수분해하는가?

다음 그림과 같이 넓이가 x¤ , x, 1인 세 종류의 대수 타일 6개를 이용하여 물음에 답하여

보자.

1 대수타일 6개의넓이의합을구하여보자.

2 대수타일 6개를모두붙여서직사각형으로만들어보자.

3 2에서만든직사각형의넓이를가로의길이와세로의길이의곱으로나타내어보자.


탐 구 활 동

x@x

x 1

x x x1 1

x

11

●준비물대수타일

곱셈공식

(x+a)(x+b)=x¤ +(a+b)x+ab


x¤ +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

로인수분해됨을알수있다.


다항식 x¤ +5x+6을인수분해하여보자.

인수분해공식 [3]에서

a+b=5, ab=6

인두정수 a, b를찾으면

x¤ +5x+6=(x+a)(x+b)

로인수분해할수있다.

따라서곱이 6인두정수중에서합이 5가되는수는 2와 3이므로 x¤ +5x+6을

인수분해하면다음과같다.

x¤ +5x+6=(x+2)(x+3)



곱이 6인두정수

1, 6

2, 3

-1, -6

-2, -3

합

7

5

-7

-5

우린 더하면 5, 곱하면 6이되지!

152 각론

활동 목표•대수 타일 6개의 넓이의 합과 대

수 타일 6개를 모두 붙여 만든 직사각형의 넓

이를 비교해 봄으로써


임을 이해하게 하려는 것이다.

준비물•대수 타일


1. x¤ +x+x+x+1+1=x¤ +3x+2

2.

3. 2에서만든직사각형의가로의길이는

x+1이고, 세로의길이는 x+2이다.

따라서직사각형의넓이는

(x+1)(x+2)

4.대수타일 6개의넓이의합과대수타일 6개

를 모두 붙여 만든 직사각형의 넓이는 같

으므로　x¤ +3x+2=(x+1)(x+2)

x@ x

x 1

x 11

1

1

x

x

❶합이 5가 되는 두 정수를 찾으면 무수히 많이 나온

다. 따라서 먼저 곱이 6이 되는 두 정수를 찾은 후에

이 중에서 합이 5가 되는 두 정수를 찾는 것이 편리

하다.

곱이 6인 두 정수를 찾을 때, 두 양의 정수뿐만 아니

라두음의정수도생각해야한다.

본문 해설

1. 다항식 x¤ -5x-6을 인수분해할 때, 2와 3은 곱하면 6이

되고 더하면 5가 되므로 혼동하여

x¤ -5x-6=(x-2)(x-3)과 같이 인수분해를 잘못하는

경우가 있다. x¤ +(a+b)x+ab에서 a+b와 ab의 값과 부

호에 모두 주의하여 x¤ -5x-6=(x+1)(x-6)으로 인수

분해할 수 있도록 지도한다.

2. A, B, a, b가모두정수일때,

x¤ +Ax+B=(x+a)(x+b)

에서 A, B의 부호와 a, b의 부호 사이의 관계는 다음과

같다.

⑴ A>0, B>0 ˙k a, b는 모두 양수

⑵ A>0, B<0 ˙k a, b 중에서 절댓값이 큰 쪽은 양수,

절댓값이 작은 쪽은 음수

⑶ A<0, B>0 ˙k a, b는 모두 음수

⑷ A<0, B<0 ˙k a, b 중에서 절댓값이 큰 쪽은 음수,

절댓값이 작은 쪽은 양수

지/도/자/료

❶

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지152 mac02 T


교과서 67 쪽

다음 안에알맞은양수를써넣어라.

⑴ x¤ + x+6=(x+ )(x+3)

⑵ x¤ -5x- =(x+ )(x-6)

문제 4


⑴ x¤ +7x+10 ⑵ x¤ -4x+3

⑶ x¤ +x-12 ⑷ x¤ -2x-35

문제 5

문제 5와 같이 인수분해 공식 x¤ +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)를 이용하여 식을

인수분해하는문제를만들고, 풀어보아라.

문제 6


⑴ x¤ -3x+2 ⑵ x¤ -2x-82예제

풀이x¤ +(a+b)x+ab

=(x+a)(x+b)

⑴곱이 2인두정수중에서합이-3이되는수

는-1과-2이다.

따라서주어진식을인수분해하면

x¤ -3x+2=(x-1)(x-2)

⑵곱이 -8인 두 정수 중에서 합이 -2가 되는

수는 2와-4이다.

따라서주어진식을인수분해하면

x¤ -2x-8=(x+2)(x-4)

답 ⑴ (x-1)(x-2) ⑵ (x+2)(x-4)

곱이 2인두정수

1, 2

-1, -2

합

3

-3

곱이-8인두정수

1, -8

2, -4

-1, 8

-2, 4

합

-7

-2

7

2

합 곱

목표| 인수분해 공식 [3]을 이용하여 다항식을


풀이| ⑴곱이 10인두정수중에서합이 7이

되는수는 2와 5이므로　

x¤ +7x+10=(x+2)(x+5)

⑵곱이 3인두정수중에서합이-4가되는

수는-1과-3이므로　

x¤ -4x+3=(x-1)(x-3)

⑶곱이 -12인 두 정수 중에서 합이 1이 되

는수는-3과 4이므로　

x¤ +x-12=(x-3)(x+4)

⑷곱이 -35인 두 정수 중에서 합이 -2가

되는수는 5와-7이므로　

x¤ -2x-35=(x+5)(x-7)

5

풀이| ⑴ 2_3=6, 2+3=5이므로

x¤ + x+6=(x+ )(x+3)

⑵-6+1=-5, (-6)_1=-6이므로

x¤ -5x- =(x+ )(x-6)16

25

목표| 인수분해 공식 [3]을 이용하여 안에 알맞은 수를

구할 수 있게 한다.

4

예시| 다항식 x¤ -7x-30을인수분해하여라.

풀이| 곱이 -30인 두 정수 중에서 합이 -7이 되는 수

는 3과-10이므로　

x¤ -7x-30=(x+3)(x-10)

|출제 의도| 인수분해 공식 [3]을 이용하여 다항식을 인수

분해하는 문제를 만들고 풀어 봄으로써 인수분해 공식 [3]을

익숙하게 하기 위한 문제이다.

6

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교과서 68 쪽

acx¤ +(ad+bc)x+bd는어떻게인수분해하는가?

곱셈공식

(ax+b)(cx+d)=acx¤ +(ad+bc)x+bd

에서다음과같은인수분해공식을얻는다.

다항식 3x¤ +16x+5를인수분해하여보자.

인수분해공식 [4]에서

ac=3, ad+bc=16, bd=5

인네정수 a, b, c, d를찾으면

3x¤ +16x+5=(ax+b)(cx+d)

로인수분해할수있다. 이때보통 a, c는양의정수로한다.

먼저 ac=3인양의정수 a, c와 bd=5인정수 b,

d를구하여오른쪽과같이나열한후대각선으로곱

하여 ad+bc=16이되는네수를찾는다.

즉, 다음과같이계산하여본다.

위의계산에서 a=1, b=5, c=3, d=1

이다. 따라서 3x¤ +16x+5를인수분해하면

3x¤ +16x+5=(x+5)(3x+1)

이다.


acx¤ +(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

a b 23⁄ bc

c d23⁄ adad+bc

3x¤ +16x+5

1 5 23⁄ 15 y`3x+5

3 1 23⁄ 11y`3x+11 5 23⁄ 16

1 5 23⁄ 15

3 1 23⁄ 116

1 -5 23⁄ -15

3 -1 23⁄ -1-16

1 1 23⁄ 3

3 5 23⁄ 58

1 -1 23⁄ -3

3 -5 23⁄ -5-8

ac x¤ +( ad + bc )x+ bd

3 x¤ + 16 x + 5

154 각론

❶인수분해 공식 [1], [2], [3]은 인수분해 공

식 [4]의특수한경우로설명할수도있다.

acx¤ +(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

에서

•인수분해공식 [1]

x¤ +4x+4=(x+2)¤

˙k a=c=1, b=d=2인경우

x¤ -4x+4=(x-2)¤

˙k a=c=1, b=d=-2인경우


x¤ -4=(x+2)(x-2)

˙k a=c=1, b=2, d=-2인경우


x¤ +3x+2=(x+1)(x+2)

˙k a=c=1, b=1, d=2인경우

본문 해설

인수를 한자로 쓰면 因數이다. 여기서 因은‘인할 인’자로

‘바탕, 원인’이라는 뜻을 가지고 있다. 따라서 인수란‘바탕

이 되는 수’라는 뜻이다.

수에서‘인수’라고 하면‘약수’와 같은 뜻으로 생각해도 된

다. 그런데 실제로 이러한 용어가 사용되는 경우를 살펴보면

숫자를 이야기할 때에는‘약수’라는 용어를 주로 쓰고, 식을

놓고 이야기할 때에는‘인수’를 많이 사용한다.

인수분해라는 것은 어떤 하나의 식을 그 식에 대한 인수의 곱

으로 나타내는 것을 말한다. 따라서 인수분해는 어떤 하나의

식을 그보다 차수가 낮은 여러 개의 식들의 곱으로 나타내는

것이라고 할 수 있다.

지/도/자/료 인수와 인수분해

❶

프랑스의 수학자 비에타(Viéta, F.: 1540

~1603)는 문자를 사용한 식을 도입하여

대수학의 발전에 공헌하여‘대수학의 아

버지’라고 불린다. 비에타는 법률을 전공

하여 의회 의원과 궁중 고문관으로 일하

다가 정치적인 문제로 관직을 떠난 후,

여가 시간 동안 수학에 관심을 갖고 많은 연구를 하였다.

그는 문자와 새로운 기호를 도입하여 식을 간결하게 나타내고자

하였다. 이를테면 오늘날의 x, x¤ , x‹에 해당하는 것을 처음에는

A, A quadratum, A cubum으로 썼으며 나중에는 더 간단히

A, Aq, Ac로 나타내었다.

읽/기/자/료

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지154 mac02 T


교과서 69 쪽


⑴ 5x¤ +13x+6 ⑵ 4x¤ -9x+2

⑶ 2x¤ -x-21 ⑷ 10x¤ -7x-12

문제 7

인수분해할때 다항식의각 항에공통인수가있으면먼저 공통인수로묶어 낸

후인수분해한다.


⑴ 2x¤ +7x+3 ⑵ 3x¤ -10x-83예제

풀이 ⑴주어진식은인수분해공식 [4]에서

ac=2, ad+bc=7, bd=3

인경우이므로이를만족시키는정수를

오른쪽과같이찾아인수분해하면

2x¤ +7x+3=(x+3)(2x+1)

⑵주어진식은인수분해공식 [4]에서

ac=3, ad+bc=-10, bd=-8

인 경우이므로 이를 만족시키는 정수를

오른쪽과같이찾아인수분해하면

3x¤ -10x-8=(x-4)(3x+2)

답 ⑴ (x+3)(2x+1) ⑵ (x-4)(3x+2)


⑴ 4x¤ +4x-48 ⑵ 2ax¤ -8ax+8a4예제

풀이인수분해를 할 때에는

더이상인수분해가되지않

는 인수들의 곱으로 나타내

어야한다.

⑴ 4x¤ +4x-48=4(x¤ +x-12)=4(x+4)(x-3)

⑵ 2ax¤ -8ax+8a=2a(x¤ -4x+4)=2a(x-2)¤

답 ⑴ 4(x+4)(x-3) ⑵ 2a(x-2)¤

1 3 23⁄ 6

2 1 23⁄ 17

1 -4 23⁄ -12

3 2 23⁄ 2-10

목표| 인수분해 공식 [4]를 이용하여 다항식을 인수분해할

수 있게 한다.

7

풀이| ⑴ 5x¤ +13x+6

=(x+2)(5x+3)

⑵ 4x¤ -9x+2

=(x-2)(4x-1)

⑶ 2x¤ -x-21

=(x+3)(2x-7)

⑷ 10x¤ -7x-12

=(2x-3)(5x+4)

2 -3 23⁄ -15

5 4 23⁄ 8-7

1 2 23⁄-10

5 3 23⁄ 313

1 -2 23⁄ -8

4 -1 23⁄ -1-9

1 -3 23⁄ -6

2 -7 23⁄ -7-1

공개 열쇠 암호 체계(Public Key Cryptosystem)

는 약 20년 전에 소개되었다. 이것은 암호를 만드는

방법을 모두에게 공개하지만 암호를 푸는 방법은 자

기만 알고 있는 방법이다. 즉, 자신의 중요한 정보

를 암호로 알리게 되지만 이 정보를 도중에 누군가

가로챈다고 하더라도 그 사람이 가로챈 것은 암호일

뿐 암호를 풀 수 없는 것이다.

그런데 암호를 푸는 과정은 암호를 만드는 과정의

반대 과정일 텐데 한쪽의 과정을 알면 그 반대 과정

도 알 수 있지 않을까? 하지만 어떤 수들의 곱셈은

쉽지만 다시 그것을 나누는 것은 쉽지 않다는 것을

생각하면 암호를 만드는 방법을 안다고 해서 암호를

푸는 방법을 안다고 할 수 없음을 이해할 수 있다.

예를 들면 103과 151의 곱은 쉽게 계산할 수 있지

만 15553의 약수를 쉽게 구할 수는 없다. 이와 같이

암호를 만드는 과정은 쉽지만 그 반대의 과정은 불

가능하거나 오랜 시간이 걸리는 이 공개 열쇠 암호

체계는 성공적인 체계이다.

읽/기/자/료 공개 열쇠 암호 체계



1 2x¤ -3x-2

2 3x¤ +5x-2

3 4x¤ -8x+3

4 6x¤ +11x+4

1 (x-2)(2x+1) 2 (x+2)(3x-1)

3 (2x-1)(2x-3) 4 (2x+1)(3x+4)

답

(134~193)200교과2 2012.8.17 4:38 AM 페이지155 mac02 T

교과서 70 쪽


⑴ 3x¤ -12x-15 ⑵ 5ax¤ -45a

⑶ 9ax¤ +6ax+a ⑷ 10x¤ -4x-6

문제 8

4x¤ -5x+A=(x-2)(Bx+C)일때, A+B+C의값을구하여라.

(단, A, B, C는상수)

문제 9

다항식을인수분해하여보자.컴 퓨 터 의 활용

인터넷의 검색 기능은 많은 정보 중 원하는 정보를 쉽게

찾아 주지만 수학 계산에는 적합하지 않다. 그래서 복잡

한 수학 계산은 수학 전문 소프트웨어나 계산기를 이용

하여왔다.

영국의스티븐울프럼(Stephen Wolfram)은 그가이미

개발한 수학 계산 프로그램과 검색 기능을 접목하여 새

로운 수학 계산 검색 소프트웨어 울프럼알파(http://

www.wolframalpha.com)를 개발하였다. 울프럼알파

는 복잡한 방정식과 함수, 통계 등의 식을 검색창에 입력

하는 것만으로도 수학 계산을 할 수 있다. 또 개인이 보

유한 컴퓨터뿐 아니라 스마트폰에서도 매우 쉽고 편리하

게이용가능하다.

1. 다항식 3x¤ -2x-8의인수분해결과를알고싶다

면검색창에‘3x^2-2x-8’이라고입력한다.

그러면오른쪽그림과같이인수분해된결과

(x-2)(3x+4)가나온다.

2. 문제 8의 주어진 식을 울프럼알파를 이용하여 인

수분해하여보자.

156 각론

2. 문제 8의 주어진 식을 울프럼알파를 이용하여 인수분해하면

다음과 같다.

⑴

⑵

⑶

⑷

목표| 다항식을 공통인수로 묶어 낸 후 인수분

해 공식을 이용하여 인수분해할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 3x¤ -12x-15=3(x¤ -4x-5)

=3(x+1)(x-5)

⑵ 5ax¤ -45a=5a(x¤ -9)

=5a(x¤ -3¤ )

=5a(x+3)(x-3)

⑶ 9ax¤ +6ax+a=a(9x¤ +6x+1)

=a(3x+1)¤

⑷ 10x¤ -4x-6=2(5x¤ -2x-3)

=2(x-1)(5x+3)

8

목표| 인수분해 공식 [4]를 이용하여 미지수를 구할 수 있

게 한다.

풀이| 4x¤ -5x+A=(x-2)(Bx+C)

=Bx¤ +(C-2B)x-2C

B=4

C-2B=C-8=-5에서　C=3

A=-2C=(-2)_3=-6

따라서 A+B+C=(-6)+4+3=1이다.

9 컴퓨터의 활용

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지156 mac02 T


교과서 71 쪽

중/단/원 기초수 준별


⑴ x¤ +4x+4=(x+ )¤

⑵ x¤ -8x+16=(x- )¤

⑶ x¤ -81=(x+ )(x- )

⑷ x¤ -25=(x+ )(x- )

2


⑴ 5x¤ +12x+4 ⑵ 4x¤ -4x-3

⑶ 3x¤ -5x-2 ⑷ 2x¤ -5x+3

4


⑴ x¤ +5x+4=(x+ )(x+ )

⑵ x¤ -8x+15=(x- )(x- )

⑶ x¤ +x-12=(x+ )(x- )

⑷ x¤ -3x-54=(x+ )(x- )

3


⑴ ab-3a ⑵ 15ab+5a

⑶-x¤ -6x ⑷ 2x¤ +4xy

1

a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤

a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤

a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

acx¤ +(ad+bc)x+bd

=(ax+b)(cx+d)

x¤ +(a+b)x+ab

=(x+a)(x+b)합 곱

목표| 다항식을 공통인수로 묶어 내어 인수분해할 수 있게

한다.

풀이| ⑴ ab와-3a의공통인수는 a이므로

ab-3a=a(b-3)

⑵ 15ab와 5a의공통인수는 5a이므로

15ab+5a=5a(3b+1)

⑶-x¤ 과-6x의공통인수는-x이므로

-x¤ -6x=-x(x+6)

⑷ 2x¤ 과 4xy의공통인수는 2x이므로

2x¤ +4xy=2x(x+2y)

1

참고| ⑶ -x¤ -6x=x(-x-6)으로 인수분해할 수도

있으나보통첫번째항이음수인경우에는음의부호까

지 공통인수로 묶어 -x¤ -6x=-x(x+6)으로 인수분

해한다.

목표| 인수분해 공식 [1], [2]를 이용하여 안

에 알맞은 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +4x+4=(x+ )¤

⑵ x¤ -8x+16=(x- )¤

⑶ x¤ -81=(x+ )(x- )

⑷ x¤ -25=(x+ )(x- )55

99

4

2

2

목표| 인수분해 공식 [3]을 이용하여 안에 알

맞은 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +5x+4=(x+ )(x+ )

⑵ x¤ -8x+15=(x- )(x- )

⑶ x¤ +x-12=(x+ )(x- )

⑷ x¤ -3x-54=(x+ )(x- )96

34

53

41

3

목표| 인수분해 공식 [4]를 이용하여 다항식을


풀이| ⑴ 5x¤ +12x+4

5x¤ +12x+4=(x+2)(5x+2)

⑵ 4x¤ -4x-3

4x¤ -4x-3=(2x+1)(2x-3)

⑶ 3x¤ -5x-2

3x¤ -5x-2=(x-2)(3x+1)

⑷ 2x¤ -5x+3

2x¤ -5x+3=(x-1)(2x-3)

4

2 -1 23⁄ -2

2 -3 23⁄ -6

-4

1 -2 23⁄ -6

3 -1 23⁄ -1

-5

1 -1 23⁄ -2

2 -3 23⁄ -3

-5

1 2 23⁄ 10

5 2 23⁄ 2

12중/단/원 기초

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지157 mac02 T

교과서 72 쪽

중/단/원 기본수 준별


⑴ aby-bxy ⑵-2x¤ -2xy

⑶ a¤ b+ab¤ +ab ⑷ 3ax-bx+2x

1인수분해의 뜻


⑴ x¤ -12x+36 ⑵ 4x¤ +4x+1

⑶ a¤ -36 ⑷-9a¤ +4

2인수분해 공식


⑴ x¤ +x-6 ⑵ x¤ +2x-35

⑶ 2x¤ -x-10 ⑷ 3x¤ -5x-2

3인수분해 공식

다음그림의직사각형 12개를빈틈없이겹치지않게붙여서하나의큰직사

각형을만들때, 큰직사각형의넓이를나타내는식을인수분해하여라.4인수분해 공식

다항식 9x¤ +42x+8k+1이완전제곱식일때, k의값을구하여라.5인수분해 공식

x@x

x 1

x x x x x x1 1 1

1 1x 1

1

158 각론

목표| 다항식을 공통인수로 묶어 내어 인수분해


풀이| ⑴ aby-bxy=by(a-x)

⑵-2x¤ -2xy=-2x(x+y)

⑶ a¤ b+ab¤ +ab=ab(a+b+1)

⑷ 3ax-bx+2x=x(3a-b+2)

1

목표| 인수분해 공식을 이용하여 다항식을 인수

분해할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ -12x+36=x¤ -2_x_6+6¤

=(x-6)¤

⑵ 4x¤ +4x+1=(2x)¤ +2_2x_1+1¤

=(2x+1)¤

⑶ a¤ -36=a¤ -6¤ =(a+6)(a-6)

⑷-9a¤ +4=4-9a¤ =2¤ -(3a)¤

=(2+3a)(2-3a)

2

목표| 도형을 이용하여 인수분해를 이해할 수 있게 한다.

풀이| 직사각형 12개의넓이의합은　x¤ +6x+5

직사각형 12개를 빈틈없이 겹치지 않게 붙여서 하나의

큰직사각형을만들면다음과같다.

이직사각형의넓이는 (x+5)(x+1)이므로

x¤ +6x+5=(x+5)(x+1)로인수분해할수있다.

x@ x x x x x

x 1 1 1 1 1x

x

11 1 1 1 1

4

목표| 인수분해 공식을 이용하여 다항식을 인수

분해할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +x-6=(x+3)(x-2)

⑵ x¤ +2x-35=(x+7)(x-5)

⑶ 2x¤ -x-10=(x+2)(2x-5)

⑷ 3x¤ -5x-2=(x-2)(3x+1)

3

목표| 다항식이 완전제곱식이 되는 조건을 이해하게 한다.

풀이| 9x¤ +42x+8k+1=(3x)¤ +2_3x_7+8k+1

=(3x+7)¤

이되어야하므로

8k+1=7¤ =49, 8k=48

따라서 k=6이다.

5

중/단/원 기본

(134~193)200교과2 2012.8.17 4:38 AM 페이지158 mac02 T


교과서 73 쪽

중/단/원 실력

수준별

a+b=5일때, a¤ +ab+b¤ +(a-1)(b-1)의값을구하여라.3•인수분해를 이용하여 주어

진 다항식을 정리하여 본

다.

2⁄ fl -1은 10과 20 사이의어떤자연수로나누어떨어진다. 이수를모두구하

여라.2•인수분해를이용하여

2⁄ fl -1을 곱의 형태로 나

타내어본다.

x-1이 8x¤ -13x+a의인수일때, a의값을구하여라.1

오른쪽그림과같이넓이가

6a¤ +11a-10인 직사각형 모양의 동물

원이 있다. 이 동물원의 세로의 길이가

3a-2일때, 둘레의길이를구하여라.

5

윤수와 미영이는 어떤 이차식을 인수분해하는데 각각 일차항의 계수와 상

수항을잘못보고 (x-2)(x+3), (x+2)(x+3)으로인수분해하였다. 처

음이차식을바르게인수분해하여라.

6

•넓이를 인수분해하여 가로

의길이를찾는다.

인수분해를이용하여다음을계산하여라.41¤ -2¤ +3¤ -4¤ +5¤ -6¤ +7¤ -8¤ +9¤ -10¤

목표| 인수의 의미를 알고, 미지수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 8x¤ -13x+a=(x-1)(Ax+B)로 인수분해되

므로　8x¤ -13x+a=Ax¤ +(B-A)x-B

따라서 A=8이고, B-A=-13이므로 B=-5이다.

a=-B=5

1

목표| 인수분해를 이용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 2⁄ fl -1=(2° +1)(2° -1)=(2° +1)(2› +1)(2› -1)

=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2¤ -1)

=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2+1)(2-1)

=257_17_5_3_1

따라서 2⁄ fl -1은 10과 20 사이의 자연수인 15, 17로 나

누어떨어진다.

2

목표| 인수분해를 이용하여 식의 값을 구할 수

있게 한다.

풀이| a¤ +ab+b¤ +(a-1)(b-1)

=a¤ +ab+b¤ +ab-a-b+1

=a¤ +2ab+b¤ -a-b+1

=(a+b)¤ -(a+b)+1

=25-5+1=21

3

목표| 인수분해를 이용하여 문제를 해결할 수

있게 한다.

풀이| 인수분해 공식 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

를이용하면

(1¤ -2¤ )+(3¤ -4¤ )+(5¤ -6¤ )+(7¤ -8¤ )

+(9¤ -10¤ )

=(1+2)_(1-2)+(3+4)_(3-4)+y+(9+10)_(9-10)

=(-1)_(1+2+3+4+y+9+10)

=-1_55=-55

4

목표| 인수분해를 이용하여 문제를 해결할 수

있게 한다.

풀이| 6a¤ +11a-10=(3a-2)(2a+5)이므로 동물원

의가로의길이는 2a+5이다. 따라서

(동물원의둘레의길이)=2{(2a+5)+(3a-2)}

=2(5a+3)

=10a+6

5


풀이| 윤수가인수분해한식 (x-2)(x+3)을전개하면

x¤ +x-6이고 일차항의 계수를 잘못 본 것이므로 이차

항의계수와상수항은옳다.

미영이가 인수분해한 식 (x+2)(x+3)을 전개하면

x¤ +5x+6이고상수항을잘못본것이므로이차항의계

수와일차항의계수는옳다.

따라서 처음 이차식은 x¤ +5x-6이고 이를 인수분해하

면 (x+6)(x-1)이다.

6

중/단/원 실력

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지159 mac02 T

교과서 74 쪽

인수

전개인수분해

준 |비 |학 |습

1 다음일차방정식을풀어라.

⑴ x+7=4 ⑵ 4x-1=6x-7

⑶ x=-2 ⑷ 2x+3(x-2)=4113

일차방정식의풀이

주어진일차방정식을

ax=b

의꼴로만들어해를구한다.

인수분해

x¤ +5x+6

(x+2)(x+3)

일차방정식

방정식의 모든 항을 좌변으로

이항한식이

(일차식)=0

의 꼴로 변형되는 방정식을 일

차방정식이라고한다.

3 다음식을인수분해하여라.

⑴ x¤ -10x+25 ⑵ 9x¤ -25

⑶ x¤ -x-6 ⑷ 3x¤ -x-2

4 다음에서어떤수를 x로놓고, 방정식을세워라.

⑴어떤수에 9를더하면그수의 4배와같다.

⑵어떤수를 3배한수는그수보다 8만큼작다.

제곱근

x¤ =a (aæ0)일때,

x를 a의제곱근이라고한다.

2 다음수의제곱근을구하여라.

⑴ 9 ⑵ 10

⑶ 15 ⑷ 36

2 이차방정식못들어

갑니다.

160 각론

2 이차방정식

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 이차방정식과 그 해의 의미를 이해하게 한다.

② 인수분해, 제곱근, 완전제곱식을 이용하여 이

차방정식을 풀 수 있게 한다.

③ 근의 공식을 이해하고, 이를 이용하여 이차방

정식을 풀 수 있게 한다.

④ 이차방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 해

결할 수 있게 한다.

중단원을 시작하며

준비 학습의 해설

중단원의 구성

소단원명 지도 내용

2-1 이차방정식과

그해


풀이


활용

수준별학습

이차방정식의뜻

이차방정식의해

인수분해를이용한풀이

중근의뜻

제곱근을이용한풀이

완전제곱식을이용한풀이

근의공식의뜻과이를이용한

풀이

이차방정식의활용

중단원확인학습문제

목표| 일차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x+7=4에서 x=4-7이므로　x=-3

⑵ 4x-1=6x-7에서-2x=-6이므로　x=3

⑶ x=-2에서 x=-2_3이므로　x=-6

⑷ 2x+3(x-2)=4에서 5x=10이므로　x=2

113

1

목표| 제곱근의 뜻을 알고, 제곱근을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴+3, -3 ⑵+'∂10, -'∂10

⑶+'∂15, -'∂15 ⑷+6, -6

2

목표| 인수분해 공식을 이용하여 다항식을 인수분해할 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ (x-5)¤ ⑵ (3x+5)(3x-5)

⑶ (x+2)(x-3) ⑷ (3x+2)(x-1)

3

목표| 문제의 뜻에 맞는 일차방정식을 세울 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x+9=4x ⑵ 3x=x-8

4

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지160 mac02 T


교과서 75 쪽

이차방정식이란무엇인가?

x¤ +5x=x+7에서우변의 x+7을좌변으로이항하여정리하면

x¤ +4x-7=0

이다.

이와같이방정식의모든항을좌변으로이항하여정리한식이

(x에관한이차식)=0

의꼴로변형되는방정식을 x에관한이차방정식이라고한다.

일반적으로 x에관한이차방정식은

ax¤ +bx+c=0 (a+0, a, b, c는상수)

과같이나타낼수있다.

이차방정식과그해2-1오른쪽 그림은 도심지 한가운데에 있는 직사각형 모

양의옥상정원이다. 다음물음에답하여보자.

1 옥상 정원의 넓이가 1800 m¤일 때, 이것을 등식으


2 1의 등식을 (x에 관한 식)=0의 꼴로 나타내어 보

자. 이때좌변은 x에관한몇차식인가?

탐 구 활 동

●이차방정식과그해의의미를이해한다.

a+0이고 a, b, c는 상

수일때

•ax¤ +bx+c

˙k 이차식•ax¤ +bx+c=0

˙k 이차방정식

{x+20}`m

x`m

{x+20}`m

x`m

다음중에서이차방정식을모두찾아라.문제 1㉠ x¤ -x=0 ㉡ 2x-6=3x

㉢ (x+3)¤ =x¤ +4x ㉣ x(x-5)=2x¤ -1

2-1 이차방정식과그해

① 이차방정식의 뜻을 이해하게 한다.

② 이차방정식의 해의 의미를 이해하게 한다.


1. 이차방정식의의미는다양한상황을통해도입한다.

2. 이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서 a+0임을 유의하게

한다.

3. x에 대한 이차항이 있는 등식이 모두 이차방정식인

것은아님에유의하게한다.

4. x에 대한 이차방정식에서 미지수 x에 대하여 특별한

조건이 주어지지 않으면 x는 실수 전체의 범위에서

생각하도록지도한다.


•이차방정식`(二次方程式, quadratic equation)


활동 목표•직사각형의 넓이를 이용하여 방정

식을 만들고, (x에 관한 이차식)=0의 꼴로 나

타내어 봄으로써 이차방정식의 뜻을 알게 하려

는 것이다.


1. x(x+20)=1800

2. x(x+20)=1800에서　x¤ +20x=1800

우변의 1800을 좌변으로 이항하여 정리하

면　x¤ +20x-1800=0

이때좌변은 x에관한이차식이다.

풀이| ㉠ x¤ -x=0 ˙k 이차방정식

㉡ 2x-6=3x에서　2x-6-3x=0

-x-6=0 ˙k 일차방정식

㉢ (x+3)¤ =x¤ +4x에서　x¤ +6x+9=x¤ +4x

x¤ +6x+9-x¤ -4x=0, 2x+9=0

˙k 일차방정식

㉣ x(x-5)=2x¤ -1에서　x¤ -5x=2x¤ -1

x¤ -5x-2x¤ +1=0, -x¤ -5x+1=0

˙k 이차방정식

따라서이차방정식인것은㉠, ㉣이다.

목표| 이차방정식의 뜻을 알고, 이차방정식을

찾을 수 있게 한다.

1

건물의 옥상에 정원을 만들면 방음 효과와 함께 신선한 공기를

얻을 수 있고, 에너지 효율도 높아지게 된다. 환경친화적인 건물

을 만드는 것으로 유명한 건축가 켄 양(Ken Yeang)은 자연이

만든 환경과 인간이 만든 환경의 융합을 중요하게 생각하여 친환

경적인 마천루를 위해 건물에 정원을 만든 것으로도 유명하다.

읽/기/자/료 옥상 정원

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지161 mac02 T

교과서 76 쪽

이차방정식의해란무엇인가?

이차방정식 x¤ +x-2=0에대하여다음물음에답하여보자.

1 x의값이-2, -1, 0, 1, 2일때, 다음표를완성하여보자.

2 1에서이차방정식 x¤ +x-2=0을참이되게하는 x의값을모두말하여보자.

탐 구 활 동

x의값이-2, -1, 0, 1, 2일때, 이차방정식

x¤ +x-2=0

을참이되게하는 x의값을찾아보자.

이차식 x¤ +x-2에서 x 대신에-2, -1, 0, 1, 2를대입하면다음과같은표를

얻을수있다.

이표에서이차방정식 x¤ +x-2=0은 x=-2 또는 x=1일때에만참임을알

수있다.

이와같이미지수 x에관한이차방정식을참이되게하는 x의값을이이차방정

식의해또는근이라하고, 해를모두구하는것을이차방정식을푼다고한다.

x

x¤ +x-2

-2 -1 0 1 2

x의값

-2

-1

0

1

2

x¤ +x-2의값

(-2)¤ +(-2)-2=0

(-1)¤ +(-1)-2=-2

0¤ +0-2=-2

1¤ +1-2=0-

2¤ +2-2=4-

x¤ +x-2=0

참

거짓

거짓

참

거짓

특별한 언급이 없을 경

우 미지수 x값의 범위는 실

수전체로생각한다.

x의값이-2, -1, 0, 1, 2일때, 다음이차방정식의해를모두구하여라.

⑴ x¤ -2x=0 ⑵ x¤ -x-2=0

문제 2

162 각론

풀이|

⑴

따라서주어진이차방정식의해는　x=0 또는 x=2

⑵

따라서주어진이차방정식의해는　

x=-1 또는 x=2

목표| 주어진 x의 값 중에서 이차방정식의 해를 찾을 수 있

게 한다.

2

활동 목표•x에 주어진 수를 대입하여 식의

값을 알아보고 식의 값이 0이 되게 하는 x를

찾아봄으로써 이차방정식의 해의 의미를 이해

하게 하려는 것이다.


1.

2. -2, 1

x

x¤ +x-2

-2

0

-1

-2

0

-2

1

0

2

4

x의값

-2

-1

0

1

2

x¤ -2x의값

(-2)¤ -2_(-2)=8

(-1)¤ -2_(-1)=3

0¤ -2_0=0

1¤ -2_1=-1

2¤ -2_2=0

x¤ -2x=0

거짓

거짓

참

거짓

참

x의값

-2

-1

0

1

2

x¤ -x-2의값

(-2)¤ -(-2)-2=4

(-1)¤ -(-1)-2=0

0¤ -0-2=-2

1¤ -1-2=-2

2¤ -2-2=0

x¤ -x-2=0

거짓

참

거짓

거짓

참

❶어떤 수를 방정식에 대입하면 그 수가 방

정식의해인지아닌지를확인할수있다.

본문 해설

고대 동양 수학을 집대성한“구장산술”은 실제 생활에서 발생하

는 여러 문제 상황과 그에 대한 풀이를 제시하고 있는데 문제 상

황에 따라 9개의 장으로 구성되어 있다. 제8장의‘방정(方程)’은

연립일차방정식의 계산 문제를 가감법으로 푸는 방법을 다루고

있으며, 제9장의‘구고(句股)’는 직각삼각형에 관한 문제로 이차

방정식 문제도 다루고 있다.

한편 3세기 후반에 알렉산드리아에서 활약하였던 디오판토스

(Diophantos: ?200~?284)의 저서“산수론”에서는 방정식 문

제와 그 해법을 다루고 있다.

아라비아의 수학자 알콰리즈미(Al-Khwarizmi: ?780~?850)

는 이차방정식의 해법을 연구하였는데, 그의 대수학 저서인“복

원과 대비의 계산”에 일차방정식과 이차방정식의 해법이 실려 있

다. 천문학자이면서 지리학자이기도 하였던 알콰리즈미는 중세

수학에 커다란 영향을 미쳤다고 한다.

읽/기/자/료 이차방정식을 다룬 수학 문헌

❶

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지162 mac02 T


교과서 77 쪽

이차방정식의풀이2-2 ●여러가지방법을이용하여이차방정식을풀수있다.

인수분해를이용하여이차방정식을어떻게푸는가?

다음그림을보고물음에답하여보자.

1 두수 a, b에대하여 ab=0이되는경우를모두말하여보자.

2 (x+3)(x-2)=0이되는경우를모두말하여보자.

탐 구 활 동

ab=0이면

a와b는어떤수

일까요?

a가 0이면

됩니다.

어? b가 0이어도

되는데…….

두수또는두식A, B에대하여

A=0 또는B=0이면　AB=0

이다. 또

AB=0이면　A=0 또는B=0

이다.

이사실을이용하여이차방정식을풀어보자.

예를들어이차방정식 (x-3)(x-5)=0에서

x-3=0 또는 x-5=0

이므로주어진이차방정식의해는

x=3 또는 x=5

이다.

일반적으로이차방정식 (x-a)(x-b)=0의해는 x=a 또는 x=b이다.

2. 이차방정식이 중근을 가질 때, 그 해는 하

나로 나타나지만 서로 같은 두 개의 근임

을이해하게한다.

3. 완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 푸

는 방법은 근의 공식을 유도하는 데 기초

가 되므로 그 풀이 과정을 이해하여 근의

공식에적용하고비교하도록지도한다.

4. 이차방정식은해가실수인경우만다룬다.

5. 이차방정식에서 자신의 풀이 방법을 설명

할수있게한다.

2-2 이차방정식의풀이

① 두 인수의 곱이 0이 되는 등식의 성질을 이해하게 한다.

② 인수분해를 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

③ 중근의 뜻을 알게 한다.

④ 제곱근을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

⑤ 완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

⑥ 근의 공식을 이해하고, 이를 이용하여 이차방정식을 풀 수

있게 한다.


1. 두 수 또는 두 식 a, b에 대하여‘ab=0이면 a=0 또

는 b=0’이고‘a=0 또는 b=0이면 ab=0’임을알게

하고, 이로부터‘ab=0’과‘a=0 또는 b=0’은 같은

뜻임을이해하게한다.


•중근`(重根, multiple root)

•근의 공식`(quadratic formula)


활동 목표•두 수의 곱이 0이면 두 수 중 적

어도 하나는 0임을 이용하여 이차방정식을 풀

수 있음을 알게 하려는 것이다.


1. ab=0이되는경우는

⑴ a=0, b=0

⑵ a=0, b+0

⑶ a+0, b=0

즉, a와 b 중에서적어도하나는 0이어야한다.

따라서 ab=0이면 a=0 또는 b=0이다.

2. ab=0이면 a=0 또는 b=0이므로

(x+3)(x-2)=0이면 x+3=0 또는 x-2=0이다.

x=-3 또는 x=2


다음이차방정식을풀어라.

1 (x+3)(x+4)=0

2 (x-5)(x-6)=0

3 (x+1)(x-5)=0

4 (x+3)(x-4)=0

1 x=-3 또는 x=-4 2 x=5 또는 x=6

3 x=-1 또는 x=5 4 x=-3 또는 x=4

답

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지163 mac02 T

교과서 78 쪽

풀이 (x+4)(2x-1)=0에서　x+4=0 또는 2x-1=0

따라서주어진이차방정식의해는　x=-4 또는 x= 112

이차방정식 (x+4)(2x-1)=0을풀어라.1예제

답 x=-4 또는 x= 112


⑴ (x+2)(x-3)=0 ⑵ x(x+6)=0

⑶ (x-4)(5x+1)=0 ⑷ 4(3x-2)(x-8)=0

문제 1


⑴ x¤ -5x-14=0 ⑵ x¤ +4x=5

⑶ x(x+3)=10 ⑷ x¤ +7x=5(x+3)

문제 2

이차방정식 ax¤ +bx+c=0의좌변을인수분해할수있는경우에는그식을인

수분해하여이차방정식을풀수있다.

풀이 ⑴ x¤ +2x-35=0에서좌변을인수분해하면　(x+7)(x-5)=0

x+7=0 또는 x-5=0

따라서주어진이차방정식의해는　x=-7 또는 x=5

⑵ x¤ -36=0에서좌변을인수분해하면　(x+6)(x-6)=0

x+6=0 또는 x-6=0

따라서주어진이차방정식의해는　x=-6 또는 x=6


⑴ x¤ +2x-35=0 ⑵ x¤ -36=02예제

답 ⑴ x=-7 또는 x=5 ⑵ x=-6 또는 x=6

식을정리하여

ax¤ +bx+c=0

의꼴로만들어인수분해한다.

164 각론

목표| AB=0이면 A=0 또는 B=0임을 이용

하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ (x+2)(x-3)=0에서　

x+2=0 또는 x-3=0

x=-2또는 x=3

⑵ x(x+6)=0에서　

x=0 또는 x+6=0

x=0또는 x=-6

⑶ (x-4)(5x+1)=0에서　

x-4=0 또는 5x+1=0

x=4또는 x=-

⑷ 4(3x-2)(x-8)=0에서　

3x-2=0 또는 x-8=0

x= 또는 x=82113

1115

1

목표| 인수분해를 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ -5x-14=0에서　(x+2)(x-7)=0

x=-2또는 x=7

⑵ x¤ +4x=5에서　x¤ +4x-5=0

(x+5)(x-1)=0

x=-5또는 x=1

⑶ x(x+3)=10에서　x¤ +3x=10

x¤ +3x-10=0

(x+5)(x-2)=0

x=-5또는 x=2

⑷ x¤ +7x=5(x+3)에서　x¤ +7x=5x+15

x¤ +2x-15=0

(x+5)(x-3)=0

x=-5또는 x=3

2a+0, b+0일 때, 일반적으로 (x-a)(x-b)=0 꼴의 이차

방정식의 해는 x=a 또는 x=b임을 쉽게 생각하지만 간혹

x(x-a)=0 꼴의 이차방정식의 해를 x=a로만 구하는 경우

가 있다.

이는 인수분해를 이용하여 이차방정식을 풀 때,

(x-a)(x-b)=0 (a+0, b+0)의 꼴을 주로 접하고 또한

이 꼴에서 괄호 안의 일차식을 0이라고 하여 해를 구하는 것

에 익숙하기 때문이다. 따라서 x(x-a)는 x_(x-a)임을

강조하고 x_(x-a)=0의 좌변은 x와 x-a의 두 식으로

인수분해한 것이므로 그 해를 x=0 또는 x=a로 구할 수 있

도록 지도한다.

지/도/자/료

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지164 mac02 T


교과서 79 쪽

풀이 우변의항을모두좌변으로이항하면

x¤ +7x-1-3x+5=0

x¤ +4x+4=0

(x+2)¤ =0

따라서주어진이차방정식의해는

x=-2(중근)

이차방정식 x¤ +7x-1=3x-5를풀어라.3예제

다음이차방정식을풀고, 중근을가지는것을모두찾아라.

⑴ x¤ -14x+49=0 ⑵ x¤ -3x+9=5x-7

⑶ (x-2)¤ =x ⑷ 2(3-2x)=2-x¤

문제 3

답 x=-2(중근)

중근이란무엇인가?

이차방정식 x¤ -6x+9=0의좌변을인수분해하면

(x-3)¤ =0

이다. 즉,

(x-3)(x-3)=0

이므로주어진이차방정식의근은

x=3 또는 x=3

이다. 여기서두근은서로같으므로이차방정식 x¤ -6x+9=0의근은

x=3

이다.

이와같이이차방정식의두근이중복되어있을때, 이근을주어진이차방정식

의중근이라고한다.

(완전제곱식)=0의 꼴로

나타내어지면 그 이차방정

식은중근을가진다.

목표| 중근의 뜻을 알고, 중근을 가지는 이차방정식을 찾을

수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ -14x+49=0에서　(x-7)¤ =0

x=7(중근)

⑵ x¤ -3x+9=5x-7에서　x¤ -8x+16=0

(x-4)¤ =0

x=4(중근)

⑶ (x-2)¤ =x에서　x¤ -4x+4=x

x¤ -5x+4=0

(x-1)(x-4)=0

x=1또는 x=4

⑷ 2(3-2x)=2-x¤ 에서　6-4x=2-x¤

x¤ -4x+4=0

(x-2)¤ =0

x=2(중근)

따라서중근을가지는것은⑴, ⑵, ⑷이다.

3

1. 주어진 이차방정식을 (이차식)=0의 꼴로 정리

하여 좌변을 인수분해하였을 때

(완전제곱식)=0

의 꼴이 되는 이차방정식은 중근을 갖는다.

즉, 이차방정식 (ax+b)¤ =0은

(ax+b)(ax+b)=0과 같으므로

ax+b=0 또는 ax+b=0

x=- 또는 x=-

따라서 두 근이 서로 같으므로 이차방정식

(ax+b)¤ =0의 근은

x=- (중근)

2. 중근을 가지는 이차방정식의 근은 한 개라고

잘못 생각하는 경우가 있다.

즉, (x-3)¤ =0의 해를 x=3의 한 개로 생각

하는 경우이다.

그러나 일반적으로 이차방정식의 근은 두 개

이고, 중근은 서로 같은 두 근임을 알 수 있도

록 지도한다.

b1a

b1a

b1a

지/도/자/료

노르웨이의 수학자 아벨(Abel, N. H.

: 1802~1829)은 1823년 크리스티아니

아 대학을 졸업하고, 1825년 베를린으로

유학을 간 후 1827년 귀국하여 타원함수

론, 적분방정식과 오차방정식의 대수적

불능 문제를 연구하고, 대수함수론의 기

본 정리인‘아벨의 정리’를 발표하였다. 그러나 그의 연구는 살

아서는 인정을 받지 못하다가 죽은 후에 그 가치가 인정되어, 대

수학의 발전에 큰 영향을 주었다. 그의 이름은‘아벨 적분’, ‘아

벨의 정리’, ‘아벨 방정식’, ‘아벨 군’등 오늘날 사용되고 있는

많은 수학 용어 속에 살아 있어, 수학계 불후의 인물로 기억되고

있다.

읽/기/자/료

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지165 mac02 T

교과서 80 쪽

제곱근을이용하여이차방정식을어떻게푸는가?

다음 그림과 같이 문양을 그려 넣은 직사각형 모양과 정사각형 모양의 타일이 있다. 두 타

일의넓이가같을때, 물음에답하여보자.

1 직사각형모양의타일의넓이를구하여보자.

2 정사각형모양의타일의한변의길이를 x cm로놓고, 넓이에관한방정식을세운후 x의

값을구하여보자.

창의력 기르기

탐 구 활 동

16`cm

10`cm

제곱근을이용하여이차방정식 x¤ -5=0을풀어보자.

이차방정식 x¤ -5=0에서-5를우변으로이항하면

x¤ =5

이므로이식을참이되게하는 x의값은 5의제곱근이다.

따라서이차방정식 x¤ -5=0의근은

x='5 또는 x=-'5

이다.

일반적으로다음이성립한다.

a>0일때, 이차방정식 x¤ =a의근은

x='a 또는 x=-'a

x='5 또는 x=-'5

를 간단히 x=—'5로 나타

내기도한다.

전통문양

우리나라의옛날건축물이나생활용품에

서 용 문양이나 연꽃 문양, 도깨비 문양

등과같이다양하고아름다운전통문양을

발견할수있는데, 이러한문양은오늘날

에도다양하게활용되고있다.

166 각론

전통 문양에는 상징이나 바람이 담겨 있는

경우가 많이 있다. 용은 왕의 권위를 상징하

고, 연꽃은 속세를 떠난 깨끗함을 상징하며

도깨비는악귀를물리치는의미로그려졌다.


활동 목표•두 타일의 넓이가 같음을 이용하여 이차방정

식을 세우고, x의 값을 구해 봄으로써 제곱근을 이용하여

이차방정식을 풀 수 있음을 알게 하려는 것이다.


1. 16_10=160(cm¤ )

2. 정사각형모양의타일의한변의길이를 x cm로놓으

면타일의넓이는 x¤ cm¤이고, 두 타일의넓이가같으

므로　x¤ =160

그런데 x>0이므로　x='1å6å0=4'1å0

중학교 교육과정에서 인수분해는 유리수의 범위에서 다루므

로 이차방정식 x¤ =5를

x¤ -5=0

x¤ -('5)¤ =0

(x+'5)(x-'5)=0

x=-'5 또는 x='5

와 같이 인수분해하여 푸는 것보다는 제곱근을 이용하여 풀

도록 지도한다.

지/도/자/료

(134~193)200교과2 2012.8.17 4:38 AM 페이지166 mac02 T


교과서 81 쪽

풀이 4x¤ -7=0에서-7을우변으로이항하면

4x¤ =7

양변을 4로나누면

x ¤ =

x=—Æ… =— '7122714

714

이차방정식 4x¤ -7=0을풀어라.4예제

풀이x=1—'5는 x=1+'5

또는 x=1-'5를나타낸다.

(x-1)¤ =5에서 x-1은 5의제곱근이므로

x-1=—'5

좌변의-1을우변으로이항하면

x=1—'5

제곱근을이용하여이차방정식 (x-1)¤ =5를풀어라.5예제

답 x=— '7122


⑴ 9x¤ -2=0 ⑵ 2x¤ -10=0

⑶ 16x¤ =4 ⑷ 27x¤ =9

문제 4

제곱근을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ (x-3)¤ =25 ⑵ (x+1)¤ =12

⑶ 4(x+5)¤ -8=0 ⑷ 9(x-2)¤ =7

문제 5

답 x=1—'5

목표| 제곱근을 이용하여 ax¤ =q (a+0, aq>0)의 꼴인 이

차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 9x¤ -2=0에서　9x¤ =2, x¤ =

x=—æ =—

⑵ 2x¤ -10=0에서　2x¤ =10, x¤ =5

x=—'5

⑶ 16x¤ =4에서　x¤ =

x=—æ =—

⑷ 27x¤ =9에서　x¤ =

x=—æ =— '311223113

113

1112114

114

'211223219

219

4

목표| 제곱근을 이용하여 a(x+p)¤ =q (a+0,

aq>0)의 꼴인 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ (x-3)¤ =25에서　x-3=—5

x=3—5

x=8 또는 x=-2

⑵ (x+1)¤ =12에서　x+1=—2'3

x=-1—2'3

⑶ 4(x+5)¤ -8=0에서　4(x+5)¤ =8

(x+5)¤ =2, x+5=—'2

x=-5—'2

⑷ 9(x-2)¤ =7에서　(x-2)¤ =

x-2=—

x=2— '711223

'7123

719

5

제곱근을 이용하여 이차방정식을 푸는 방법을 다음과 같이

난이도를 단계적으로 구분하여 지도할 수 있다.

1단계 q>0일 때,

x¤ =q

x=—'q

2단계 a+0, aq>0일 때,

ax¤ =q, x¤ =

x=—æ

3단계 q>0일 때,

(x+p)¤ =q, x+p=—'q

x=-p—'q

4단계 a+0, aq>0일 때,

a(x+p)¤ =q, (x+p)¤ = , x+p=—æ

x=-p—æq1a

q1a

q1a

q1a

q1a

지/도/자/료

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지167 mac02 T

교과서 82 쪽

완전제곱식을이용하여이차방정식을어떻게푸는가?

다음 그림과 같이 한 변의 길이가 x+2인 정사각형 모양의 바닥을 넓이가 x¤ , x, 1인 대

수타일로덮으려고한다. 물음에답하여보자.

1 정사각형을모두덮으려면대수타일 은몇개가더필요한가?

2 1의결과를다음과같이식으로나타내었을때, 안에알맞은수를써넣어보자.

1

탐 구 활 동

완전제곱식을이용하여이차방정식 x¤ +6x+1=0을풀어보자.

이차방정식 x¤ +6x+1=0에서 1을우변으로이항하면

x¤ +6x=-1

이다.

이제좌변을완전제곱식으로만들기위하여 x의계수 6의 인 3을제곱한값

9를양변에더하면

x¤ +6x+9=-1+9

이므로좌변을완전제곱식으로나타내면

(x+3)¤ =8

이다. 따라서제곱근을이용하면

x+3=—2'2

이므로구하는이차방정식의근은

x=-3—2'2

이다.

112

x+2

x+2x@

xx

1

x x

3

\1-23@

제곱

x¤ +4x+1+ =(x+2)¤

다항식의제곱으로된식

이나이식에상수를곱한식

을완전제곱식이라고한다.

168 각론

활동 목표•세 종류의 대수 타일로 정사각형

모양의 바닥을 겹치지 않게 모두 덮는 과정을

통하여 완전제곱식을 만드는 과정을 이해하고

완전제곱식을 만들 수 있게 하려는 것이다.


1.

2. 1에서와 같이 대수 타일 `을 3개 더 덮

으면 타일이 덮인 부분은 한 변의 길이가

x+2인 정사각형이 되므로 정사각형의 넓

이는　x¤ +4x+1+ =(x+2)¤3

1

1

1 1˙k 3개

이차방정식에 대한 해법을 체계적으로 연구한 사람은 아라비아의

수학자 알콰리즈미(Al-Khwarizmi: ?780~?850)이다. 그는 이

차방정식 x¤ +10x=56의 해를 다음과 같은 방법으로 구하였다.

한편 알콰리즈미는 음수의 존재를 부정하였기 때문에 음수의 근

은 인정하지 않았다.

읽/기/자/료 알콰리즈미의 이차방정식 풀이

5

5

x x@ 5x

5x

x@ 5x

5x 25

x

5

5

x

x

이차방정식을 풀 때에는 먼저 주어진 방정식을 유리수의 범위

에서 인수분해하여 풀 수 있는지 확인하고, 인수분해를 이용할

것인지 완전제곱식을 이용할 것인지를 판단하도록 지도한다.

•이차방정식 x¤ +2x-3=0의 좌변은 인수분해가 되므로 다

음과 같이 인수분해를 이용하여 푸는 것이 편리하다.

x¤ +2x-3=0

(x-1)(x+3)=0

x=1 또는 x=-3

•이차방정식 x¤ -4x-2=0의 좌변은 유리수의 범위에서 인

수분해가 되지 않으므로 완전제곱식을 이용하여 다음과 같

이 풀 수 있다.

x¤ -4x-2=0

x¤ -4x=2

x¤ -4x+4=2+4

(x-2)¤ =6

x-2=—'6

x=2—'6

지/도/자/료

x¤ +10x+25=56+25

(x+5)¤ =81

x+5=9

x=4

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지168 mac02 T


교과서 83 쪽

다음은 주어진 이차방정식을 (x+p)¤ =q의 꼴로 만드는 과정이다. 안에 알맞은 수

를써넣어라.

⑴ x¤ +4x=2 ⑵ x¤ -x=1

⑴ x¤ +4x+ =2+ ⑴ x¤ -x+ =1+

⑴ (x+ )¤ = ⑴ (x- )¤ =

문제 6

완전제곱식을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ x¤ +4x-3=0 ⑵ x¤ -6x+1=0

⑶ x¤ -10x+20=0 ⑷ x¤ +x-3=0

문제 7

풀이좌변을 완전제곱식으로

만든다.

⑴ x¤ -8x+6=0

⑴ x¤ -8x=-6

⑴ x¤ -8x+16=-6+16

⑴ (x-4)¤ =10

⑴ x-4=—'∂10

⑴ x=4—'∂10

⑵ x¤ +3x+1=0

⑴ x¤ +3x=-1

⑴ x¤ +3x+ =-1+

⑴ {x+ }2=

⑴ x+ =—

⑴ x= -3—'5111222

'5122312

514312

914914

완전제곱식을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ x¤ -8x+6=0 ⑵ x¤ +3x+1=06예제

답 ⑴ x=4—'∂10 ⑵ x= -3—'5111222

상수항을우변으로이항한다.

{-8_ }2=16을양변에더한다.112

상수항을우변으로이항한다.

{3_ }2= 를양변에더한다.914112

좌변을완전제곱식으로고친다.

제곱근을 구한다.

이차방정식의근을구한다.

좌변을 완전제곱식으로고친다.

제곱근을 구한다.

이차방정식의근을구한다.

목표| 이차방정식을 (x+p)¤ =q의 꼴로 고칠 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +4x=2의양변에 { }2=4를더하면

x¤ +4x+ =2+

(x+ )¤ =

⑵ x¤ -x=1의양변에 { }2= 을더하면

x¤ -x+ =1+

{x- }2= ;4%;;2!;

;4!;;4!;

114

-11252

62

44

412

6

목표| 완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 풀

수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +4x-3=0에서　x¤ +4x=3

{ }2=4를양변에더하면　

x¤ +4x+4=3+4

(x+2)¤ =7, x+2=—'7

x=-2—'7

⑵ x¤ -6x+1=0에서　x¤ -6x=-1

{ }2=9를양변에더하면

x¤ -6x+9=-1+9

(x-3)¤ =8, x-3=—2'2

x=3—2'2

⑶ x¤ -10x+20=0에서　x¤ -10x=-20

{ }2=25를양변에더하면

x¤ -10x+25=-20+25

(x-5)¤ =5, x-5=—'5

x=5—'5

⑷ x¤ +x-3=0에서　x¤ +x=3

{ }2= 을양변에더하면　

x¤ +x+ =3+

{x+ }2= , x+ =—

x=-1—'1å31122221111222

'1å31222112

13144

112

114

114

114

112

-1012522

-61252

412

7


다음이차방정식을 (x+p)¤ =q의꼴로나타내어라.

1 x¤ -2x-5=0

2 x¤ +4x+1=0

3 2x¤ -8x+5=0

4 3x¤ +4x-1=0

1 (x-1)¤ =6 2 (x+2)¤ =3 3 (x-2)¤ =;2#; 4 {x+;3@;}2 =;9&;답

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지169 mac02 T

교과서 84 쪽

이차방정식의근의공식이란무엇인가?

이차방정식 2x¤ +5x+1=0에대하여다음물음에답하여보자.

1 방정식의양변을적당한수로나누어 x¤의계수가 1이되도록고쳐보자.

2 1에서고친방정식을 (x+ )¤ =(수)의 꼴로고치는방법을말하여보자.

탐 구 활 동

이차방정식 ax¤ +bx+c=0(a+0)의 해는 완전제곱식을 이용하여 다음과 같

이구할수있다.

❶양변을 x¤의계수 a로나눈다.

❷상수항을우변으로이항한다.

❸ x의계수 의 의제곱인 { }2을

양변에더하여좌변을완전제곱식으로

고친다.

❹제곱근을구한다. (단, b¤ -4acæ0)

❺이차방정식의근을구한다.

b142a112b1a

x¤ + x+ =0

x¤ + x=-

x¤ + x+{ }2=- +{ }2

{x+ }2=-

x+ =—

x=- —

x= 1-b—"√b¤ -4ac11111122a

"√b¤ -4ac111122ab132a

"√b¤ -4ac111122ab132a

b¤ -4ac111234a¤

b132a

b132ac1ab132a

b1a

c1ab1a

c1ab1a

이상에서다음과같은이차방정식의근의공식을얻을수있다.

이차방정식의근의공식

x에관한이차방정식 ax¤ +bx+c=0(a+0)의근은

x= (단, b¤ -4acæ0)-b—"√b¤ -4ac1111112

2a

근의공식에서

b¤ -4ac<0

이면제곱근을구할수없으

므로근이없게된다.

ax¤ +bx+c=0

(x+p)¤ =q

x+p=—'q

x=-p—'q

170 각론

활동 목표•주어진 이차방정식을 완전제곱식

으로 변형하는 과정을 생각해 봄으로써 근의 공

식을 유도하는 과정을 이해하게 하려는 것이다.


1. 이차방정식 2x¤ +5x+1=0의양변을 x¤의

계수 2로나누면

x¤ + x+ =0

2. x¤ + x+ =0에서상수항을우변으로

이항하면

x¤ + x=-

양변에 { _ }2= 를더하면

x¤ + x+ =- +

좌변을 완전제곱식으로 나타내고, 우변을

정리하면

{x+ } 22̀= 171144165114

251416

112

251416

512

251416

112

512

112

512

112

512

1112

5112

❶문자를 계수로 가지는 이차방정식에서 근의 공식을

유도하는것은복잡하고어렵다. 따라서계수가정수

인 이차방정식을 완전제곱식으로 고쳐서 푸는 방법

과서로비교하면서식을변형하여근의공식을유도

해보고그과정을이해하는것이쉽다.

❷이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)에서 b¤ -4acæ0

인경우에만근의공식을이용할수있음에유의한다.

•b¤ -4ac>0이면

x= 또는 x=

인두개의근을가진다.

•b¤ -4ac=0이면

x= =-

인중근을가진다.

b122a

-b—011132a

-b-"√b¤ -4ac12111112a

-b+"√b¤ -4ac12111112a

본문 해설

근의 공식은 이차방정식을 푸는 만병통치약과 같다.

인수분해가 이차방정식을 푸는 데에 유용하긴 하지만 모든 다항

식이 유리수의 범위에서 인수분해되지는 않는다. 반면 이차방정

식의 근의 공식은 이차식이 인수분해되든 안 되든 상관없을 뿐만

아니라 근을 구하기 위해 식을 완전제곱식의 꼴로 어렵게 변형시

킬 필요가 없다.

이런 이유 때문에 옛부터 사람들은 삼차방정식, 사차방정식, 오차

방정식 등의 근의 공식을 찾으려고 많은 시간과 노력을 쏟았다.

읽/기/자/료 근의 공식

❶

❷

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지170 mac02 T


교과서 85 쪽

풀이 근의공식에 a=1, b=2, c=-5를대입하면

x=

= =

=-1—'6

-2—2'6111122-2—'∂24111212

-2—"√2¤ -4_1_(-5)1111111111252_1

근의공식을이용하여이차방정식 x¤ +2x-5=0을풀어라.7예제

답 x=-1—'6

풀이계수가 분수나 소수인

이차방정식을 풀 때에는 양

변에적당한수를곱하여계

수를 정수로 고친 후 근의

공식을이용하면편리하다.

x¤ +x- =0의양변에 6을곱하면

3x¤ +6x-2=0

근의공식에 a=3, b=6, c=-2를대입하면

x=

= =

=-3—'∂15111123

-6—2'∂151111246-6—'∂60111126

-6—"√6¤ -4_3√_(-2)111111111212_3

113112

근의공식을이용하여이차방정식 x¤ +x- =0을풀어라.1131128예제

근의공식을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ x¤ +3x-5=0 ⑵ 5x¤ -8x+1=0

문제 8

근의공식을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ x¤ + x= ⑵ 0.3x¤ -x=-0.6314112문제 9

답 x=-3—'∂15111123

목표| 근의 공식을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴근의공식에 a=1, b=3, c=-5를대입하면

x=

x= =

⑵근의공식에 a=5, b=-8, c=1을대입하면

x=

x= =

x= =4—'1å11122551122335

8—2'1å112511310

8—'4å4125124108—'ƒ64-201251112310

-(-8)—"√(-8)¤ -4_5_1125111111111112_5

-3—'2å9112255111122222-3—'ƒ9+2012511112

-3—"√3¤ -4_1_(-5)12511111111232_1

8

목표| 근의 공식을 이용하여 계수가 분수나 소

수인 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ + x= 에서

x¤ + x- =0

양변에 4를곱하면　4x¤ +2x-3=0

근의 공식에 a=4, b=2, c=-3을 대입

하면

x=

x= =

x= =

⑵ 0.3x¤ -x=-0.6에서　0.3x¤ -x+0.6=0

양변에 10을곱하면　3x¤ -10x+6=0

근의공식에 a=3, b=-10, c=6을대입

하면

x=

x= =

x= =5—'711225511223

10—2'71251136

10—'2å81251242610—'ƒ100-72125111116

-(-10)—"√(-10)¤ -4_3_61251111111111112_3

-1—'1å31122551111224-2—2'1å3125113238

-2—'5å2125124238-2—'ƒ4+4812511118

-2—"√2¤ -4_4_(-3)12511111111232_4

314

112

314

112

9

이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서 일차항의 계수 b가 짝수인

경우에는 b=2b'으로 놓고 근의 공식을 다음과 같이 바꿀 수

있다.

x=

x=

x=

x=

x=

이와 같이 일차항의 계수가 짝수일 때 위와 같은 공식을 사용

하면 매번 약분하는 번거로움을 피할 수 있다.

-b'—"√b' ¤ -ac1111111a

-2b'—2"√b' ¤ -ac111111112a

-2b'—"√4(b' ¤ -ac)11111111242a

-2b'—"√(2b')¤ -4ac11111111132a

-b—"√b¤ -4ac11111112a

지/도/자/료

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지171 mac02 T

교과서 86 쪽

이차방정식을어떻게활용하는가?

거북선

거북선은고려시대에발달한화포기술과조선시대에새로완성된판옥선등을더욱

발전시켜만든바다의탱크라고할수있다. 당시해전은배를적의전함에접근시켜

수군이그안으로뛰어들어배를장악하는방식이었는데, 거북선의윗부분은송곳같

은침이촘촘히박혀있어서적들이배로들어올수가없었다.

이차방정식의활용2-3

오른쪽 그림과 같은 거북선 모형을 만들기

위하여 압정을 준비하였다. 다음 물음에 답

하여보자.

1 압정 48개를가로로 x줄, 세로로 (x-2)줄

이되도록배열하려고할때, 이것을방정식으


2 1의 방정식을 풀어서 얻은 값 중에서 문제의 뜻에

맞는것은어느것인가?

창의력 기르기

탐 구 활 동

●이차방정식을활용하여여러가지문제를해결할수있다.

일차방정식에서와같이이차방정식을활용하면여러가지문제를해결할수있다.

예를들어연속한두홀수의제곱의합이 34일때, 이두홀수를구하는문제를

다음과같은순서로이차방정식을세워서풀어보자.

❷문제의 뜻에 알맞게

이차방정식을세운다.

❶구하고자 하는 것을

미지수 x로놓는다.먼저작은홀수를 x로놓는다.

연속한 두 홀수는 x, x+2이고, 이 두 홀수의

제곱의합이 34이므로

x¤ +(x+2)¤ =34

이다.

172 각론

2-3 이차방정식의활용

① 이차방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 해

결할 수 있게 한다.


1. 이차방정식의활용문제는계산과정이지

나치게 복잡한 경우는 피하고, 실생활과

관련된간단한문제를다룬다.

2. 문제의 해결에 앞서 그 문제가 가지고 있

는의미를이해할수있게한다.

3. 이차방정식의활용문제는그문제의답보

다 풀이 과정에 소홀함이 없게 하여 다양

한상황에서문제해결력을높이도록한다.

4. 구한 해 중에서 문제의 의도에 맞는 것만

을답으로택할수있게한다.


임진왜란 당시 일본 전함의 밑바닥은‘V’자형으로 원

양 항해에는 유리하였으나 전투시 급히 방향을 바꾸기

가 힘들었다. 반면에 거북선은 크고 견고하였으며 밑바

닥이‘U’자형이어서 기동력이 뛰어났다. 거북선은 바

닷물속에서녹이슬지않는나무못을사용하여충격에

강하고, 두께가 12 cm 이상의 강도 높은 소나무로 만들

어졌다. 이와 같은 장점 때문에 거북선은 좌충우돌하며

상대방의 전함과 부딪쳐 침몰시키는 저돌적인 전술을

사용할수있었다.

거북선에 대한 보다 자세한 자료는 거북선과 이순신 홈

페이지(http://www.gbsun.com)에서찾아볼수있다.


활동 목표•이차방정식을 활용하여 여러 가지 실생활 문

제를 해결할 수 있음을 알게 하려는 것이다.


1. x(x-2)=48

2. x(x-2)=48에서　

x¤ -2x=48

x¤ -2x-48=0

(x+6)(x-8)=0

x=-6 또는 x=8

그런데 x>0이어야 하므로 문제의 뜻에 맞는 것은

x=8이다.

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지172 mac02 T


교과서 87 쪽

즉,

2x¤ +4x-30=0

이므로이방정식을풀면

x=-5 또는 x=3

이다.

이때 x는홀수이므로 x=3이다.

따라서연속한두홀수는 3, 5이다.

한편 3¤ +5¤ =34이므로 연속한 두 홀수 3, 5는

문제의뜻에맞는다.

일반적으로이차방정식을활용하여문제를풀때에는다음과같은순서로푼다.

❸이차방정식을푼다.

❹답을구한다.

이차방정식을활용한문제해결순서

❶문제의뜻을파악하고, 구하고자하는것을미지수 x로놓는다.

❷문제의뜻에알맞게이차방정식을세운다.


❹이차방정식의해로부터문제의뜻에맞는답을구한다.

❺구한답이문제의뜻에맞는지확인한다.

다음내용에서수학책의몇쪽을펼쳐야읽을거리를볼수있는지구하여라.문제 1“수학책을펼쳤을때, 두면의쪽수의곱이 156인곳에읽을거리가있어.”

2x¤ +4x-30=0에서

x¤ +2x-15=0

(x+5)(x-3)=0

x=-5 또는 x=3

❺구한답이문제의뜻

에맞는지확인한다.

가장안정적이고이상적인비로알려진황금비는레오

나르도 다빈치의 작품인 모나리자에서도 찾아볼 수

있다. 오른쪽그림의직사각형에서가장크게정사각

형을도려내고남은부분이처음직사각형과닮은꼴

이 되어 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이의

비가 황금비가 된다. 이를 이용하여 x의 값을 구하는

방법을설명하여라.

목표| 이차방정식을 활용하여 수에 관한 문제를 해결할 수

있게 한다.

1

풀이| 펼친 두 면의 쪽수는 연속한 두 자연수이므로 x,

x+1이라고하면

x(x+1)=156

x¤ +x=156

x¤ +x-156=0

(x+13)(x-12)=0

x=-13 또는 x=12

x는자연수이므로　x=12

따라서두면의쪽수는 12쪽과 13쪽이다.

한편 12_13=156이므로 읽을거리가 있는 12쪽과 13쪽

은문제의뜻에맞는다.

|출제 의도| 생활 주변에서 접할 수 있는 황금비

를 이용하여 이차방정식을 만들고 풀어 봄으로써

이차방정식을 실생활에 활용할 수 있게 하기 위

한 문제이다.

창의 UP

풀이| 오른쪽 그림과 같

이 직사각형 ABCD에

서 사각형 BCFE가 정

사각형이되도록점 E와

점 F를표시하면직사각

형 ABCD와 직사각형

DAEF는닮은도형이다.

DC”=x, BC”=1, FE”=1, AE”=x-1이므로

닮은 두 직사각형에서 가로의 길이와 세로의

길이를이용하여비례식으로나타내면

DC” : BC”=FE” : AE”

x : 1=1 : (x-1)

x(x-1)=1, x¤ -x-1=0

근의공식에의하여　x=

x>0이므로　x= 1+'51112

1—'51112

A

B C

D

E F

1

x

황금비는 약 1 : 1.618이며 그림을 그리거나 조각 작품, 건축물

등을 만들 때 안정감 있고 균형 잡힌 비로 많이 이용되었다.

•밀로의 비너스

이 조각상은 신체 각 부분의 비율이 정확히 황금비를 이루고

있어 당시의 이상적인 아름다움을 반영하고 있다.

•이집트의 피라미드

피라미드의 밑면은 정사각형, 옆면은 이등변삼각형으로 이루어

져 있는데, 옆면의 높이와 밑면의 한 변의 길이의 반은 황금비

를 이룬다.

•파르테논 신전

각 부분이 황금비를 이루도록 안정적으로 설계되어 고대 그리

스의 아름다움을 상징적으로 나타내고 있다.

읽/기/자/료 가장 조화로운 비 - 황금비

(134~193)200교과2 2012.8.17 4:38 AM 페이지173 mac02 T

교과서 88 쪽

풀이

쏘아 올린 물체의 2초

후의높이는

34.3_2-4.9_2¤ =49(m)

이므로문제의뜻에맞는다.

쏘아올린지 t초후의높이가 49m라고하면

34.3t-4.9t¤ =49

이므로이식을정리하여풀면

-49t¤ +343t-490=0

t¤-7t+10=0

(t-2)(t-5)=0

t=2 또는 t=5

따라서이물체의높이가 49m인순간은물체를쏘아올린지 2초후와 5초후이므

로처음으로 49m의높이에이르는시간은 2초후이다.

지면에서초속 34.3 m로쏘아올린물체의 t초후의높이가 (34.3t-4.9t¤ ) m일

때,이물체가처음으로 49 m의높이에이르는시간은몇초후인지구하여라.1예제

답 2초후

지면

49`m

지면에서 초속 49m로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 높이가 (49t-4.9t¤ ) m일 때, 다음

물음에답하여라.

⑴이물체의높이가 102.9 m인순간은물체를쏘아올린지몇초후인가?

⑵이물체가지면으로떨어지는순간은물체를쏘아올린지몇초후인가?

문제 2

지면으로부터 높이가 2500 m인 어느 화산이 폭발하여 초속 150 m로 용암이 분출되었

다. 분출물의 t초후의높이가 (-5t¤ +150t+2500) m일때, 분출물의높이가 3500 m

이상인것은몇초동안인지구하여라.

문제 3

오른쪽 그림과 같이 가로의 길이가 세로의 길

이보다 12 m만큼 긴 직사각형 모양의 공원의

주위에 폭이 6 m인 자전거 도로를 만들었다.

공원의 넓이와 자전거 도로의 넓이가 같을 때,

공원의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 구

하여보자.

174 각론

목표| 이차방정식을 활용하여 높이에 관한 문

제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 물체를 쏘아 올린 지 t초 후의 높이

가 102.9 m라고하면　

49t-4.9t¤ =102.9, 49t¤ -490t+1029=0

t¤ -10t+21=0, (t-3)(t-7)=0

t=3 또는 t=7

따라서 이 물체의 높이가 102.9 m인 순간

은쏘아올린지 3초후와 7초후이다.

한편쏘아올린물체의 3초후와 7초후의

높이는각각

49_3-4.9_3¤ =147-44.1=102.9(m)49_7-4.9_7¤ =343-240.1=102.9(m)이므로문제의뜻에맞는다.

⑵물체가 지면으로 떨어지면 높이가 0 m이

므로

49t-4.9t¤ =0, 49t¤ -490t=0

t¤ -10t=0, t(t-10)=0

t=0 또는 t=10

따라서 이 물체가 지면으로 떨어지는 순

간은쏘아올린지 10초후이다.

한편쏘아올린물체의 10초후의높이는

49_10-4.9_10¤ =490-490=0(m)이므로문제의뜻에맞는다.

2

목표| 이차방정식을 활용하여 높이에 관한 문제를 해결할

수 있게 한다.

풀이| 분출물의 t초 후의 높이

가 3500 m라고하면

-5t¤ +150t+2500=3500

t¤ -30t+200=0

(t-10)(t-20)=0

t=10 또는 t=20

따라서분출물의높이가 3500 m

이상인것은 10초부터 20초까지이므로 10초동안이다.

한편분출물의 10초후와 20초후의높이는각각

-5_10¤ +150_10+2500=3500(m)

-5_20¤ +150_20+2500=3500(m)

이므로문제의뜻에맞는다.

3

3500`m

10초 20초

|출제 의도| 이차방정식을 활용하여 실생활 문제를 해결할

수 있음을 알게 하기 위한 문제이다.

문/제/해/결

풀이| 공원의세로의길이를 xm라고하면가로의길이

는 (x+12) m이다.

(공원의넓이)=x(x+12)=x¤ +12x(m¤ )

(자전거도로의넓이)=(x+12+12)(x+12)-(x¤ +12x)

=24x+288(m¤ )

x¤ +12x=24x+288이므로　(x+12)(x-24)=0

x=-12 또는 x=24

x>0이므로　x=24

따라서 공원의 세로의 길이는 24 m이고 가로의 길이는

36 m이다.

한편 공원의 세로와 가로의 길이가 각각 24 m, 36 m일

때, 공원의 넓이 24_36=864(m¤ )와 자전거 도로의 넓

이 36_48-24_36=864(m¤ )는같으므로문제의뜻에

맞는다.

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:43 AM 페이지174 mac02 T


교과서 89 쪽

중/단/원 기초수 준별

다음중에서이차방정식을모두찾아라.1

다음중에서 [ ] 안의수가주어진이차방정식의해인것을모두찾아라.2


⑴ x¤ +4x+3=0 ⑵ x¤ -4=0

⑶ x¤ -6x+9=0 ⑷ (x+2)¤ =9

3

다음은 이차방정식 x¤ -5x+2=0을 푸는 과정이다. 안에 알맞은 수를

써넣어라.4

n각형의대각선의총수는 개이다. 이때대각선의총수가 35개인

다각형을이차방정식을이용하여구하여라.

n(n-3)1111525

x에 관한 이차방정식은

ax¤ +bx+c=0

(a+0, a, b, c는 상수)

과 같이 나타낼 수 있다.

x에관한이차방정식

ax¤ +bx+c=0(a+0)

의근은

x=

(단, b¤ -4acæ0)

-b—"√b¤ -4ac111111242a

㉠ x¤ +3x-4=0 ㉡ 4x=7+x

㉢ 2x¤ +x=x ㉣ x(x-5)=x¤

㉠ x¤ -2x-8=0 [4 ] ㉡ x¤ -5=0 [5 ]

㉢ 2x¤ -x+1=0 [1 ] ㉣ x(x-3)=0 [3 ]

근의공식에 a=1, b= , c= 를대입하면

x=

따라서 x= 이다.

-(-5)—"√ç -4_ _11111111111112_1

목표| 이차방정식의 뜻을 알고, 이차방정식을 찾을 수 있게

한다.

풀이| ㉠ x¤ +3x-4=0 ˙k 이차방정식

㉡ 4x=7+x에서　3x-7=0 ˙k 일차방정식

㉢ 2x¤ +x=x에서　2x¤ =0 ˙k 이차방정식

㉣ x(x-5)=x¤ 에서　-5x=0 ˙k 일차방정식

따라서이차방정식인것은㉠, ㉢이다.

㉣ x=3을 x(x-3)=0에대입하면

3_(3-3)=0이성립한다.

따라서 x=3은 x(x-3)=0의해이다.

따라서해인것은㉠, ㉣이다.

1

목표| 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +4x+3=0에서　

(x+1)(x+3)=0

x=-1 또는 x=-3

⑵ x¤ -4=0에서　x¤ =4

x=—2

⑶ x¤ -6x+9=0에서　(x-3)¤ =0

x=3(중근)

⑷ (x+2)¤ =9에서　x+2=—3

x=1 또는 x=-5

3

목표| 이차방정식을 활용하여 수에 관한 문제를 해결할 수

있게 한다.

풀이| 대각선이모두 35개인다각형을 x각형이라고하면

=35에서　x¤ -3x-70=0

(x+7)(x-10)=0

x=-7 또는 x=10

그런데 x>0이므로　x=10

따라서대각선이모두 35개인다각형은십각형이다.

x(x-3)11112

5

목표| 근의 공식을 이용하여 이차방정식을 풀

수 있게 한다.

풀이| 근의공식에 a=1, b= , c= 를대입하면

x=

x=11111111111111124따라서 x= 이다.

5—'∂1711111122332

2-5

4

목표| [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인지 판별할 수

있게 한다.

풀이| ㉠ x=4를 x¤ -2x-8=0에대입하면

4¤ -2_4-8=0이성립한다.

따라서 x=4는 x¤ -2x-8=0의해이다.

2

-(-5)—øπ -4_ π_2_1

21(-5)¤

중/단/원 기초

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지175 mac02 T

교과서 90 쪽

중/단/원 기본수 준별

이차방정식 x¤ +ax-6=0의한해가 x=-2일때, a의값을구하여라.1이차방정식과 그 해

이차방정식 x¤ -8x+2a-3=0이중근을가질때, a의값을구하여라.3이차방정식의 풀이

연속하는세자연수가있다. 작은두수의곱이세수의합과같을때, 이세

수를구하여라.4이차방정식의 활용


⑴ 2x¤ -x-3=0 ⑵ x¤ -6x=5-2x

⑶ (2x+1)¤ =8 ⑷ 2x¤ -2x=3

⑸ x¤ =3x-2 ⑹ 0.3x¤ +0.1=x112

2이차방정식의 풀이

야구 경기에서 어떤 타자가 친 야구

공의 x초후의높이는

(-4x¤ +20x+1) m이다. 야구공의

높이가 25 m인 순간은 타자가 야구

공을친지몇초후인지구하여라.

5이차방정식의 활용

176 각론

목표| 이차방정식의 한 해를 알 때, 미지수의 값

을 구할 수 있게 한다.

풀이| x¤ +ax-6=0에 x=-2를대입하면

(-2)¤ +a_(-2)-6=0

-2a-2=0, -2a=2⋯ ⋯

a=-1

1


풀이| ⑴ 2x¤ -x-3=0에서　

(x+1)(2x-3)=0

x=-1 또는 x=

⑵ x¤ -6x=5-2x에서　x¤ -4x-5=0

(x+1)(x-5)=0

x=-1 또는 x=5

⑶ (2x+1)¤ =8에서　2x+1=—2'2

x=

⑷ 2x¤ -2x=3에서 2x¤ -2x-3=0

근의공식을이용하면 x= =

⑸ x¤ =3x-2에서　x¤ -6x+4=0

근의공식을이용하면　x= =3—'5

⑹ 0.3x¤ +0.1=x에서　3x¤ -10x+1=0

근의공식을이용하면　

x= = 5—'∂2211111122310—'ƒ100-1211111135

6

6—'ƒ36-161111122

112

1—'71111223322—'ƒ4+2411111

4

-1—2'211111111222

3112

2

목표| 이차방정식이 중근을 가질 때, 미지수의 값을 구할 수

있게 한다.

풀이| x¤ -8x+2a-3=0이중근을가지므로

2a-3={ } 2=16

a=1911442

-81242

3 목표| 이차방정식을 활용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 야구공의 t초후의높이가 25 m라고하면

-4t¤ +20t+1=25에서

-4t¤ +20t-24=0, t¤ -5t+6=0, (t-2)(t-3)=0

t=2 또는 t=3

따라서 야구공의 높이가 25 m인 순간은 타자가 야구공

을친지 2초후와 3초후이다.

5

목표| 이차방정식을 활용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 연속하는세자연수를 x-1, x, x+1이라고하면

x(x-1)=(x-1)+x+(x+1)이므로

x¤ -x=3x, x¤ -4x=0, x(x-4)=0

x=0 또는 x=4


따라서연속하는세자연수는 3, 4, 5이다.

4

중/단/원 기본

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지176 mac02 T


교과서 91 쪽

중/단/원 실력

수준별

이차방정식 x¤ +2x-6=0의근을 x=p 또는 x=q라고할때, p¤ +q¤ 의값

을구하여라.2

오른쪽삼각형ABC에서DE”∥BC”이고

DE”=x cm, AE”=(x+3)cm,

BC”=8 cm, EC”=(x-3)cm

일때, x의값을구하여라.

4

이차방정식 3x¤ +px-q=0의근이 x=2 또는 x=- 일때, 이차방정식

x¤ +qx+p=0의두근의차를구하여라.

2133•주어진 이차방정식에 두

근을각각대입하여본다.

•닮음인 두 삼각형에서 대

응하는 변의 길이의 비는

일정하다.

x`cm

A

D

B C

E

8`cm

{x-3}`cm

{x+3}`cm

직사각형모양의농구코트에서세로의길이는

가로의길이의 보다 1 m가길다. 농구코트

의넓이가 420 m¤ 일때, 가로의길이와세로의

길이를각각구하여라.

1125

이차방정식 ax¤ +bx-4=0의 해가 x=-1 또는 x=2일 때, a, b의 값을

구하여라.1

목표| 이차방정식의 해의 의미를 알고, 이를 이용하여 문제

를 해결할 수 있게 한다.

풀이| ax¤ +bx-4=0에 x=-1을대입하면

a-b-4=0 yy①

ax¤ +bx-4=0에 x=2를대입하면

4a+2b-4=0 yy②

①, ②를연립하여풀면　a=2, b=-2

1

목표| 이차방정식을 풀고 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| x¤ +2x-6=0의근은

x= =-1—'7

p¤ +q¤ =(-1+'7)¤ +(-1-'7)¤

=1-2'7+7+1+2'7+7=16

-2—'ƒ4+2411111232

2

목표| 이차방정식을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있게

한다.

풀이| 농구코트의가로의길이를 xm라고하면세로의

길이는 { x+1}m이므로

x { x+1}=420, x¤ +x=420

x¤ +2x-840=0, (x+30)(x-28)=0

x=-30 또는 x=28

x>0이므로　x=28

따라서농구코트의가로의길이는 28 m이고세로의길

이는 _28+1=15(m)이다.112

112

112

112

5

목표| 이차방정식을 활용하여 도형에 관한 문제


풀이| △ADEª△ABC이므로

DE”：BC”=AE”：AC”

x：8=x+3：(x+3)+(x-3)

x：8=x+3：2x, 2x¤ =8(x+3)

2x¤ -8x-24=0, x¤ -4x-12=0

(x+2)(x-6)=0

x=-2 또는 x=6

x>0이므로　x=6

4

목표| 이차방정식의 해의 의미를 알고, 이를 이

용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 3x¤ +px-q=0에 x=2를대입하면

12+2p-q=0 yy①

3x¤ +px-q=0에 x=- 를대입하면

- p-q=0 yy②

①, ②를연립하여풀면　p=-4, q=4

x¤ +qx+p=0에서 x¤ +4x-4=0의근은

x= =-2—2'2

따라서구하는두근의차는　4'2

-4—'ƒ16+1611111122

213

413

213

3

중/단/원 실력

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지177 mac02 T

178 각론

수행 과제 의도

이 수행 과제는 이차방정식을 실생활에 활용하여

수에 관련된 문제를 해결함으로써 이차방정식에

관한 내용을 정리하기 위한 것이다.

과제 1 _예시

맨 아래 줄에 놓인 통나무의 개수는 1단계에

는 1개, 2단계에는 2개, 3단계에는 3개, y이

므로 x단계에 맨 아래 줄에 놓인 통나무의

개수는 x개이다.

따라서 맨 아래 줄에 놓인 통나무의 개수가

25개이면 25단계이므로전체통나무의개수는

= =325(개)이다.25_261113

225(25+1)111123

2

수행 과제

과제 2 _예시

x단계에 전체 통나무의 개수가 300개라고

하면

=300

x¤ +x-600=0

(x-24)(x+25)=0

x=24 또는 x=-25

x>0이므로　x=24

따라서 24단계에 맨 아래 줄에 놓인 통나무

의개수는 24개이다.

x(x+1)11112

교과서 93 쪽

교과서 92 쪽

학습에 대한 자 /기 /평 /가

점검 항목

이름: ( 학년 반 번)

인수분해의 뜻을 아는가?

곱셈공식과인수분해공식사이의관계를이해하고, 다항식을인수분해할수있는가?

이차방정식과 그 해의 의미를 이해하였는가?

여러 가지 방법을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있는가?

이차방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있는가?

학습 준비물을 잘 준비하였는가?

수업 시간에 적극적으로 참여하였는가?

문제를 풀 때 끈기 있게 도전하였는가?

복습과 예습을 꼼꼼히 하였는가?

학습

내용

학습

태도

도달 정도

재미있었거나어려웠던내용적어보기

더알고싶거나궁금한점적어보기

선생님의견

Ⅱ. 이차방정식

스스로평가하기

수행 과제

방정식으로 구한 통나무의 개수

다음그림과같이통나무를삼각형모양으로단계별로쌓는다고할때, n단계에는 개의통

나무가필요하다고한다. 즉, 1단계에는1개, 2단계에는3개, 3단계에는6개, y의통나무가필요하다.

n(n+1)11112

민영이네는전통목조주택을짓기위해통나무를구입하여삼각형모양으로단계별로쌓았다. 민영이

가맨아래줄에놓인통나무를 25개, 전체통나무를 300개로세었다고한다. 맨아래줄또는전체통

나무의개수를잘못세었다고할때, 다음물음에답하여보자.

1단계 2단계 3단계

맨아래줄에놓인통나무의개수가옳을때, 전체통나무의개수를구하여보자.과제1

전체통나무의개수가옳을때, 맨아래줄에놓인통나무의개수를구하여보자.과제2

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지178 mac02 T

교과서 94 쪽


대단원 핵심 한눈에 보기

인수분해

⑴인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의

인수들의곱으로나타내는것

x¤ +3x+2 (x+1)(x+2)

⑵다항식에 공통인수가 있을 때에는 분배법

칙을이용하여공통인수로묶어내어인수

분해한다.

ma+mb=m(a+b)

⑴a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤

a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤

⑵a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

⑶x¤ +(a+b)x+ab

=(x+a)(x+b)

⑷acx¤ +(ad+bc)x+bd

=(ax+b)(cx+d)

다항식의인수분해1

인수분해를

이용한

풀이

⑴인수분해를이용한풀이

❶주어진 이차방정식을 ax¤ +bx+c=0의

꼴로나타낸다.

❷좌변을인수분해한다.

❸AB=0이면 A=0 또는 B=0임을 이

용하여근을구한다.

⑵중근:̀ 이차방정식의두근이중복되어있을

때, 이근을주어진이차방정식의중근이라

고한다.

⑶(완전제곱식)=0의 꼴로 나타내어지는 이

차방정식은중근을가진다.

⑴x¤ =k (k>0)의 꼴로 나타내어지는 이차

방정식의근은 x=—'k이다.

⑵(x+p)¤ =q (q>0)의 꼴로 나타내어지

는이차방정식의근은 x=-p—'q이다.

x에관한이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)

의근은

x= (단, b¤ -4acæ0)-b—"√b¤ -4ac111112152a

제곱근을

이용한

풀이

근의공식

이차방정식의풀이3

●인수, 인수분해, 완전제곱식, 이차방정식, 중근, 근의공식

이번단원에서배운 용어와기호

인수분해

공식

인수분해

전개

이차방정식

⑴이차방정식: 방정식의 모든 항을 좌변으로

이항하여정리한식이

(x에관한이차식)=0

⋯ 의꼴로변형되는방정식

⑵x에관한이차방정식은

⋯ ax¤ +bx+c=0 (a+0, a, b, c는상수)

⋯ 과같이나타낼수있다.

⑴미지수 x에 관한 이차방정식을 참이 되게

하는 x의값을이이차방정식의해또는근

이라고한다.

⑵이차방정식의해를모두구하는것을이차

방정식을푼다고한다.

이차방정식2

이차방정식

의해

이차방정식

을활용한

문제

해결순서

❶문제의뜻을파악하고, 구하고자하는것을

미지수x로놓는다.

❷문제의뜻에알맞게이차방정식을세운다.


❹이차방정식의 해로부터 문제의 뜻에 맞는

답을구한다.

❺구한답이문제의뜻에맞는지확인한다.

이차방정식의활용4

교과서 95 쪽

만화로 보는

수학 이야기

a, b, c, d에적당한정수를넣어인수분해도술을부려보자.

제자로받아주십시오.

당신도통행료를

내시오.통행료를내시오.

나쁜놈들,버릇을고쳐주마.

곱셈도술!으아악!

잘못을뉘우치면

원래대로해주지.잘못했습니다. 흑흑

그럼원래대로해주마.

인수분해도술!


지도 내용

만화로 보는 수학 이야기

생각 키/우/기

만화에서는 인수분해 공식과 곱셈 공식이 서

로 반대의 과정임을 보여 주고 있다. 인수분

해공식은그결과가곱의모양으로, 곱셈공

식은그결과가합의모양으로나타내어진다.

1. 인수, 인수분해, 완전제곱식의 뜻을 알고,

다양한 인수분해 공식을 이용하여 다항식

을인수분해할수있도록한다.

2. 이차방정식과 그 해의 의미를 알고, 이차

방정식의 풀이 방법을 이해하여 그 해를

구할 수 있도록 한다. 이차방정식을 활용

하여문제를해결할수있도록한다.

a=1, b=2, c=3, d=4라고할때,

x+2와 3x+4에곱셈도술을부리면

3x¤ +10x+8이 되고, 다시 3x¤ +10x+8에

인수분해 도술을 부리면 x+2와 3x+4로 분

리된다.

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지179 mac02 T

교과서 96 쪽대 /단 /원 평가 문제

선/택/형

다음중에서인수분해가바르게된것은?

① 2a¤ -2=2(a¤ -1)

② 4x¤ +9=(2x+3)¤

③ x¤ -10x+25=(x+5)¤

④ 5x¤ -30x+25=5(x-2)(x-3)

⑤ (x-1)(x+6)-8=(x+7)(x-2)

1

이차방정식 x¤ - x- =0의근을모두찾

으면? (정답 2개)

①-1 ②- ③

④ 1 ⑤ 3

113113

1132135

이차방정식 x¤ -6x+2a-3=0이 중근을 가

질때, a의값은?

① 2 ② 3 ③ 4

④ 5 ⑤ 6

6다항식 16x¤ +ax+9가 완전제곱식이 될 때,

a의값으로알맞은수를모두찾으면?

(정답 2개)

①-24 ②-12 ③ 0

④ 12 ⑤ 24

2

다음중에서이차방정식은?

① x¤ +6=x¤

② (2x-1)¤ =2x¤

③ x(x¤ -4)=5x¤ -x

④ 6(3x-1)=7+4x

⑤ x¤ +x=(x-3)(x+8)

3

다음 중에서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정

식의해가되는것은?

① x¤ -3x=0 [-3 ]

② x¤ =4 ['2 ]

③ x¤ -2x+3=0 [1 ]

④ 2x¤ -x-6=0 [ ]

⑤ 3x¤ -10x+3=0 [ ]113

112

4

이차방정식 x¤ +3ax-2a+4=0의 한 근이

x=4일때, 다른한근은?

①-4 ②-2 ③ 0

④ 2 ⑤ 8

7

정사각형모양의광장이있다. 이광장의넓이

가 9a¤ -12a+4일때, 광장의둘레의길이는?

① 12a-8 ② 12a+8

③ 12a+6 ④ 3a-2

⑤ 3a+2

8

180 각론

대 /단 /원 평가 문제

목표| 다항식을 인수분해할 수 있게 한다.

풀이| ① 2a¤ -2=2(a¤ -1)=2(a¤ -1¤ )

=2(a+1)(a-1)

② 4x¤ +9는더이상인수분해되지않는다.

③ x¤ -10x+25=(x-5)¤

④ 5x¤ -30x+25=5(x¤ -6x+5)

=5(x-1)(x-5)

⑤ (x-1)(x+6)-8=x¤ +5x-6-8

=x¤ +5x-14

=(x+7)(x-2)

답⃞⑤

1

목표| 다항식이 완전제곱식이 되는 조건을 이해

하게 한다.

풀이| 16x¤ +ax+9=(4x)¤ +ax+3¤

따라서 a=—(2_4_3)=—24이다.

답⃞①, ⑤

2

목표| 이차방정식의 뜻을 알고, 이차방정식을

찾을 수 있게 한다.

풀이| ① x¤ +6=x¤ 을정리하면　6=0

② (2x-1)¤ =2x¤ 을정리하면　2x¤ -4x+1=0

③ x(x¤ -4)=5x¤ -x를정리하면　x‹ -5x¤ -3x=0

④ 6(3x-1)=7+4x를정리하면　14x-13=0

⑤ x¤ +x=(x-3)(x+8)을정리하면　-4x+24=0

답⃞②

3

목표| 계수가 분수인 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| x¤ - x- =0에서　3x¤ -2x-1=0

(x-1)(3x+1)=0

x=1 또는 x=-

답⃞②, ④

113

113

213

5

목표| 이차방정식이 중근을 가질 때, 미지수의 값을 구할 수

있게 한다.

풀이| x¤ -6x+2a-3=0이중근을가지므로

x¤ -6x+2a-3이완전제곱식이되어야한다.

따라서 2a-3={ }2이므로

2a=12, a=6

답⃞⑤

-61242

6목표| [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인지 판별할

수 있게 한다.

풀이| ① (-3)¤ -3_(-3)=18+0

② ('2)¤ =2+4

③ 1¤ -2_1+3=2+0

④ 2_{ }2- -6=-6+0

⑤ 3_{ }2-10_ +3=0

답⃞⑤

113

113

112

112

4

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지180 mac02 T


교과서 97 쪽Ⅱ. 이차방정식

지면에서 초속 60 m로 쏘아 올린 물체의 t초

후의높이가 (60t-5t¤ ) m일때, 이물체의높

이가 160 m인순간은물체를쏘아올린지몇

초후인가? (정답 2개)

① 4초후 ② 6초후 ③ 8초후

④ 10초후 ⑤ 12초후

9 이차방정식 (x-3)(x+5)=48의두근의차

를구하여라.13

인수분해를이용하여다음을계산하여라.11

서/답/형

이차방정식 2x¤ +ax+b=0의 근이 x=-1

또는 x=4일때, a+b의값을구하여라.14

다음그림과같이폭이 48 cm인철판의양쪽

을 x cm만큼직각으로접어올려물받이를만

들려고한다. 색칠한부분의넓이가 288 cm¤일때, x의값을구하는풀이과정과답을서술하

여라.

15

18`m

12`m

48`cm

x`cm

다음그림과같이가로의길이가 18m이고, 세

로의길이가 12m인직사각형모양의잔디밭

에폭이일정한산책로를만들려고한다. 잔디

밭의 넓이가 160m¤가 되도록 할 때, 산책로

의폭을구하는풀이과정과답을서술하여라.

16

연속하는 두 자연수의 곱이 506일 때, 이 두

자연수의제곱의차는?

① 12 ② 28 ③ 32

④ 45 ⑤ 54

10

이차방정식 x¤ - x= 을풀어라.11211311412

7.5¤ _3-2.5¤ _3

|̀서술형|̀

|̀서술형|̀


풀이| 9a¤ -12a+4=(3a-2)¤

따라서 광장의 한 변의 길이가 3a-2이므로 광장의 둘

레의길이는

4(3a-2)=12a-8

답⃞①

8

목표| 이차방정식을 활용하여 높이에 관한 문제


풀이| 60t-5t¤ =160에서

-5t¤ +60t-160=0

t¤ -12t+32=0, (t-4)(t-8)=0

t=4 또는 t=8

따라서 물체의 높이가 160 m인 순간은 물체

를쏘아올린지 4초후와 8초후이다.

답⃞①, ③

9

목표| 이차방정식을 활용하여 수에 관한 문제를

해결할 수 있게 한다.

풀이| 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라고

하면 x(x+1)=506이므로

x¤ +x-506=0, (x+23)(x-22)=0

x=-23 또는 x=22


따라서 연속하는 두 자연수는 22, 23이므로 이 두 자연

수의제곱의차는

23¤ -22¤ =(23+22)(23-22)=45

답⃞④

10

목표| 이차방정식의 한 근을 알 때, 다른 한 근을 구할 수

있게 한다.

풀이| 한근이 x=4이므로　16+12a-2a+4=0

10a=-20, a=-2

주어진이차방정식은 x¤ -6x+8=0이므로

(x-4)(x-2)=0

x=4 또는 x=2

따라서구하는다른한근은 x=2이다.

답⃞④

7

목표| 인수분해를 이용하여 식의 값을 구할 수 있게 한다.

11

풀이| 7.5¤ _3-2.5¤ _3=3_(7.5¤ -2.5¤ )

=3_(7.5+2.5)_(7.5-2.5)

=3_10_5

=150

답⃞ 150

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지181 mac02 T

182 각론

목표| 이차방정식의 해의 뜻을 알고, 이를 이용하여 문제를

해결할 수 있게 한다.

풀이| 2x¤ +ax+b=0에 x=-1을대입하면

2-a+b=0 yy①

2x¤ +ax+b=0에 x=4를대입하면

32+4a+b=0 yy②

①, ②를연립하여풀면　a=-6, b=-8

따라서 a+b=-14이다.

답⃞-14

14


한다.

풀이| 색칠한 직사각형의 세로의 길이는 x cm이므로

가로의길이는 (48-2x) cm이다. y㉠

색칠한직사각형의넓이가 288 cm¤ 이므로

x(48-2x)=288

2x¤ -48x+288=0

x¤ -24x+144=0 y㉡

(x-12)¤ =0

x=12(중근) y㉢

답⃞ 12

15


한다.

풀이|

산책로의 폭을 xm라고 하면 잔디밭의 넓이는 위의 그

림과같이가로의길이가 (18-x) m, 세로의길이가

(12-x) m인직사각형의넓이와같으므로

(18-x)(12-x)=160

x¤ -30x+56=0 y㉠

(x-2)(x-28)=0

x=2 또는 x=28 y㉡

0<x<12이므로　x=2

따라서구하는산책로의폭은 2 m이다. y㉢

답⃞ 2 m

12`m

18`mx`m

{12-x}`m

{18-x}`m x`m

16

목표| 이차방정식을 풀고 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| (x-3)(x+5)=48에서　x¤ +2x-15=48

x¤ +2x-63=0

(x+9)(x-7)=0

x=-9 또는 x=7

따라서두근의차는 7-(-9)=16이다.

답⃞ 16

13

목표| 계수가 분수인 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| x¤ - x= 의양변에 12를곱하면

3x¤ -4x=6

3x¤ -4x-6=0

x= =

답⃞ x=2—'∂221112

3

2—'∂2211123

4—'ƒ16+721111126

112

113

114

12

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

가로의길이를 x에관한식으로나타내기 ㉠

이차방정식세우기 ㉡

x의값구하기 ㉢

배점

30`%

40`%

30`%

채점기준

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

이차방정식세우기 ㉠

이차방정식풀기 ㉡

산책로의폭구하기 ㉢

배점

40`%

40`%

20`%

채점기준

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지182 mac02 T

교과서 99 쪽

한편 이 계산을 통해서 a(a+1)(a+2)(a+3)+1이 완전제곱수라는

것을알수있을뿐만아니라그것이어떤수의완전제곱수인지도계산할

수있다. 예를들어

5_6_7_8+1= ¤

이라고하면연속하는네자연수에서제일작은수는 5이므로

=a¤ +3a+1=5¤ +3_5+1=41

이다. 따라서

5_6_7_8+1=41¤

임을알수있다.

또한연속하는네짝수(혹은홀수)의곱에 16을더한결과도인수분해를

이용하면완전제곱수라는것을알수있다.

인수분해를이용하여수에관한또다른사실을알아보자.

연속하는두자연수의제곱의차는두수의합과같다. 예를들어

5¤ -4¤ =25-16=9(=5+4)

7¤ -6¤ =49-36=13(=7+6)

12¤ -11¤ =144-121=23(=12+11)

이다.

일반적으로a-b=1인두자연수a, b에대하여

두수의제곱의차를계산하면다음과같다.

a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

=a+b

따라서이두수a, b의제곱의차는두수의합과같음을알수있다.

인수분해를알면

수가더흥미롭다구!


교과서 98 쪽

수

학

산

책

인수분해를이용하면수에관한여러가지흥미로운사실들을알

아낼수있다. 그중에서몇가지를살펴보자.

먼저연속하는네자연수를곱하여 1을더하면결과는완전제곱수가된

다. 예를들어

1_2_3_4+1=25(=5¤ )

2_3_4_5+1=121(=11¤ )

3_4_5_6+1=361(=19¤ )

4_5_6_7+1=841(=29¤ )

이다.

일반적으로연속하는네자연수에서제일작은수를 a라고하면다른세

수는각각a+1, a+2, a+3이므로이들을곱하여1을더하면다음과같다.

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1

=(a¤ +3a)(a¤ +3a+2)+1

=(a¤ +3a)¤ +2(a¤ +3a)+1

=(a¤ +3a+1)¤

여기서 a가 자연수이므로 a¤ +3a+1도 자연수가 되고, 이 수의 제곱인

(a¤ +3a+1)¤은분명히완전제곱수이다.

인수분해의마술

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지183 mac02 T

184 각론

1 ax¤ -6x+1=(bx-1)¤일때, a+b의값은? [6점]

①-3 ② 3 ③ 6

④ 9 ⑤ 12

5 이차방정식 x¤ +10x+10=0을 (x+p)¤ =q의

꼴로고칠때, p+q의값은? [5점]

① 5 ② 10 ③ 15

④ 20 ⑤ 25

6 이차방정식 (x-3)¤ =8의두근의차는? [5점]

① 0 ② 2'3 ③ 2'6

④ 4'2 ⑤ 6

7 이차방정식 2x¤ +5x+k-2=0의 한 근이 -2

일때, 다른한근은? [6점]

①-2 ②-1 ③-

④ ⑤ 4112

112

8 이차방정식 4x¤ +ax+b=0의 두 근이 , -3

일때, a+b의값은? [5점]

①-4 ②-2 ③ 5

④ 8 ⑤ 12

114

2 다음두다항식의공통인수는? [5점]

① x-1 ② x+1 ③ x-2

④ x+4 ⑤ x-4

3 a='5+2, b='5-2일때, a¤ -b¤ 의값은? [6점]

① 4'5 ② 6'5 ③ 8'5

④ 18 ⑤ 20

4 이차방정식 x¤ +mx+m=0이 중근을 가질 때,

m의값은? (단, m+0) [6점]

①-4 ②-2 ③ 1

④ 2 ⑤ 4

단 / 원 / 종 / 합 / 평 / 가

선/택/형

x¤ -3x-4, 2x¤ -9x+4

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지184 mac02 T


9 이차방정식 (x-1)¤ +(x-6)-7=0의해는?

[6점]

① x=2 또는 x=3

② x=0 또는 x=-7

③ x=-1 또는 x=7

④ x=-3 또는 x=4

⑤ x=-4 또는 x=4


60점 미만이면 하·수준문제를, 60점 이상 80점 미만이면 중·수준문제를,

80점 이상이면상·수준문제를풀어보세요.

14x에 관한 이차방정식 x¤ +px+q=0을 푸는데

서영이는 x의계수를잘못보고풀어서-4, 2를

해로구하였고, 준우는상수항을잘못보고풀어

서 -9, 2를해로구하였다. 이 이차방정식의해

를구하는풀이과정과답을서술하여라. [10점]

15오른쪽사다리꼴의넓이가

75 cm¤ 일때, x의값을구하는

풀이과정과답을서술하여라.

[10점]

서/답/형

12넓이가 16x¤ +24x+9인 정사각형의 둘레의 길

이를구하여라. [8점]

11오른쪽 그림과 같이 원

의지름AB 위에한점

C를 잡아 AC”, CB”를

각각 지름으로 하는 원

을 그렸다. AB”=6 cm

이고색칠한부분의넓이가 4p cm¤ 일때, AC”의

길이는? (단, AC”<CB”) [7점]

① cm ② cm ③ 1 cm

④ cm ⑤ 2 cm312

314112

10이차방정식 = 의 두 근을 a, b라고 할

때, a¤ +b¤ +2ab의값은? [7점]

① ② ③

④ ⑤11142912

11144914714

x+11122x¤143

13이차방정식 x¤ -2x+1=0을풀어라. [8점]112

A C B

{x-2}`cm

{x-3}`cm

x`cm

|̀서술형|̀

|̀서술형|̀

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지185 mac02 T

186 각론

단 / 원 / 종 / 합 / 평 / 가

하·수준


⑴ ax+bx ⑵ a¤ -2a

⑶ x¤ y+xy¤ ⑷ 2ab-8b¤

⑸ abx-bxy ⑹ 8x¤ y+12xy¤

2 다음 안에알맞은양수를써넣어라.

⑴ a¤ -10a+25=(a- )¤

⑵ x¤ -6x+9=(x- )¤

⑶ 4a¤ -1=( a+1)( a-1)

⑷ x¤ -36=(x+ )(x- )

3 다음중에서이차방정식을모두찾아라.

4 이차방정식 x¤ -x-2=0을풀어라.

5 다음은이차방정식 (x+2)¤ -6=0을푸는과정이다. 안에알맞은수를써넣어라.

㉠ x¤ +3x ㉡ 6x¤ =3x-7

㉢ (x-7)¤ =9 ㉣ (x+1)¤ =(x-6)¤

(x+2)¤ -6=0에서

(x+2)¤ =

x+2=

x=

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지186 mac02 T


중·수준

1 다음중에서다항식 3x¤ -9xy의인수를모두찾아라.


⑴ x¤ -x-12 ⑵ x¤ -2x-3

⑶ 8x¤ +14x+5 ⑷ 4x¤ -11x-3

3 다음다항식이완전제곱식이될때, a의값을구하여라.

⑴ x¤ -8x+a+3 ⑵-2x¤ +12x+a-1

4 다음이차방정식을풀어라.

⑴ (3x-1)¤ =5 ⑵ 2x¤ +4=7x

⑶ x¤ = x- ⑷ 0.3x¤ +0.7x=211410

115

11410

5 한리듬체조선수가던져올린공의 t초후의높이가 (-5t¤ +12t+1) m일때, 이

공의높이가 8 m인순간은공을던져올린지몇초후인가?

㉠ 3x ㉡ 3y

㉢ x-3y ㉣ x-y

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지187 mac02 T

188 각론

상·수준


⑴ 4x¤ -9x¤ z¤ ⑵ 18x¤ y+12xy+2y

2 -1<a<3일때, 다음식을간단히하여라.

3 이차방정식 x¤ +x+a=0의한해가 x=-3일때, a의값을구하여라.

4 이차방정식 3x¤ +px+q=0의근이 x=3 또는 x= 일때, 이차방정식

x¤ +qx+p=0의두근의차를구하여라.

413

5 오른쪽그림과같이길이가 10 cm인선분위에두개의정

사각형을 이어서 그렸다. 두 정사각형의 넓이의 합이

58 cm¤ 일때, 큰정사각형의한변의길이를구하여라.

10`cm

"√a¤ +2a+1-"√a¤ -6a+9

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단원 종합 평가·해설

목표| 인수분해 공식을 이용하여 미지수를 구할 수 있

게 한다.

풀이| ax¤ -6x+1=(bx-1)¤ =b¤ x¤ -2bx+1

이므로　a=b¤ , -6=-2b

-6=-2b에서　b=3

a=b¤ 에서　a=3¤ =9

따라서 a+b=9+3=12이다. 답⃞⑤

1

목표| 공통인수의 뜻을 알고, 인수분해할 수 있게 한다.

풀이| x¤ -3x-4=(x-4)(x+1)

2x¤ -9x+4=(x-4)(2x-1)

따라서공통인수는 x-4이다. 답⃞⑤

2

목표| 인수분해를이용하여식의값을구할수있게한다.

풀이| a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

=2'5_4=8'5 답⃞③

3

목표| 이차방정식이 중근을 가질 때, 미지수의 값을 알

게 한다.

풀이| x¤ +mx+m=0이중근을가지므로

{ }2=m, =m, m¤ -4m=0, m(m-4)=0

m=0 또는m=4

그런데m+0이므로　m=4 답⃞⑤

m¤124

m152

4

목표| 이차방정식을 완전제곱식의 꼴로 고칠 수 있게

한다.

풀이| x¤ +10x+10=0에서　x¤ +10x=-10

양변에 { }2=25를더하면

x¤ +10x+25=-10+25, (x+5)¤ =15

p=5, q=15이므로　p+q=20 답⃞④

10142

5

목표| 제곱근을 이용하여 이차방정식을 풀 수있게한다.

풀이| (x-3)¤ =8에서　x-3=—'8=—2'2

x=3—2'2

따라서두근의차는

(3+2'2)-(3-2'2)=3+2'2-3+2'2=4'2

답⃞④

6

목표| 이차방정식의 한 근이 주어졌을 때, 다른 한 근

을 구할 수 있게 한다.

풀이| 2x¤ +5x+k-2=0에 x=-2를대입하면

2_(-2)¤ +5_(-2)+k-2=0, k=4

2x¤ +5x+4-2=0, (x+2)(2x+1)=0

x=-2 또는 x=-

따라서다른한근은 x=- 이다.답⃞③

112

112

7

목표| 이차방정식의 두 근을 알 때, 미지수를 구할 수

있게 한다.

풀이| 4x¤ +ax+b=0에 x= , x=-3을대입하면

+ a+b=0, 36-3a+b=0

두식을연립하여풀면　a=11, b=-3

따라서 a+b=11-3=8이다. 답⃞④

114

114

114

8


풀이| (x-1)¤ +(x-6)-7=0, x¤ -x-12=0

(x+3)(x-4)=0, x=-3 또는 x=4 답⃞④

9

목표| 이차방정식을 풀고 식의 값을 구할 수 있게 한다.

풀이| = 에서　2x¤ -3x-3=0

x= =

a¤ +b¤ +2ab=(a+b)¤ ={ + }2

a¤ +b¤ +2ab={ } 2={ }2=답⃞②

914

312

614

3-'∂3311124

3+'∂3311124

3—'∂3311124

3—'ƒ9+24111114

x+11122

x¤153

10

목표| 도형에서 이차방정식을 활용할 수 있게 한다.

풀이| AC”=x cm라고하면 CB”=(6-x) cm이므로

색칠한부분의넓이는

p_3¤ -p_{ }2-p_{ } 2=4p

9- - =4, x¤ -6x+8=0

(x-2)(x-4)=0, x=2 또는 x=4

그런데 AC”<CB”이므로　AC”=2(cm) 답⃞⑤

36-12x+x¤11111234

x¤154

6-x1122

x12

11

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190 각론

목표| 다항식을 공통인수로 묶어 내어 인수분해할 수

있게 한다.

답⃞⑴ x(a+b) ⑵ a(a-2) ⑶ xy(x+y)⑷ 2b(a-4b) ⑸ bx(a-y) ⑹ 4xy(2x+3y)

1

목표| 인수분해를 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게

한다.

풀이| x¤ -x-2=0에서　(x+1)(x-2)=0

x=-1 또는 x=2

답⃞ x=-1 또는 x=2

4


풀이| ⑴ a¤ -10a+25=(a- )¤

⑵ x¤ -6x+9=(x- )¤

⑶ 4a¤ -1=(2a)¤ -1¤ =( a+1)( a-1)

⑷ x¤ -36=x¤ -6¤ =(x+ )(x- )

답⃞⑴ 5 ⑵ 3 ⑶ 2, 2 ⑷ 6, 6

66

22

3

5

2

목표| 제곱근을 이용하여이차방정식을 풀수 있게한다.

풀이| (x+2)¤ -6=0에서　

(x+2)¤ =

x+2=

x=

답⃞ 6, —'6, -2—'6

-2—'6

—'6

6

5

목표| 이차방정식의 뜻을 알고, 이차방정식을 찾을 수

있게 한다.

풀이| ㉠ x¤ +3x ˙k 이차식

㉡ 6x¤ =3x-7에서　6x¤ -3x+7=0

˙k 이차방정식

㉢ (x-7)¤ =9에서　x¤ -14x+40=0

˙k 이차방정식

㉣ (x+1)¤ =(x-6)¤ 에서　14x-35=0

˙k 일차방정식

답⃞㉡, ㉢

3

하·수준목표| 인수분해를이용하여문제를해결할수있게한다.

풀이| 16x¤ +24x+9=(4x+3)¤ 이므로정사각형의

한 변의 길이는 4x+3이다. 따라서 정사각형의 둘

레의길이는 4(4x+3)=16x+12이다.

답⃞ 16x+12

12


풀이| x¤ -2x+1=0에서　x¤ -4x+2=0

x= =2—'2

답⃞ 2—'2

4—'ƒ16-8111112

112

13

목표| 올바른 이차방정식의 해를 구할 수 있게 한다.

풀이| 서영이가구한해는-4, 2이므로

(x+4)(x-2)=0에서　x¤ +2x-8=0

q=-8 y㉠

준우가구한해는-9, 2이므로

(x+9)(x-2)=0에서　x¤ +7x-18=0

p=7 y㉡

x¤ +px+q=0에서　x¤ +7x-8=0

(x-1)(x+8)=0, x=1 또는 x=-8 y㉢

답⃞ x=1 또는 x=-8

14


풀이| 주어진사다리꼴의넓이는

_{(x-3)+(x-2)}_x=75 y㉠

2x¤ -5x-150=0, (x-10)(2x+15)=0

x=10 또는 x=- y㉡

x>0이므로　x=10 y㉢

답⃞ 10

15142

112

15

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

q의값구하기 ㉠

p의값구하기 ㉡

이차방정식풀기 ㉢

배점

4점

4점

2점

채점기준

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

이차방정식세우기 ㉠

이차방정식풀기 ㉡

x의값구하기 ㉢

배점

4점

4점

2점

채점기준

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지190 mac02 T



풀이| ⑴ 4x¤ -9x¤ z¤ =x¤ (4-9z¤ )

=x¤ {2¤ -(3z)¤ }

=x¤ (2+3z)(2-3z)

⑵ 18x¤ y+12xy+2y=2y(9x¤ +6x+1)

=2y(3x+1)¤

답⃞⑴ x¤ (2+3z)(2-3z) ⑵ 2y(3x+1)¤

1

상·수준


답⃞⑴ (x+3)(x-4) ⑵ (x+1)(x-3)⑶ (2x+1)(4x+5) ⑷ (x-3)(4x+1)

2

목표| 이차방정식의 한 근이 주어졌을 때, 미지수를 구


풀이| x¤ +x+a=0에 x=-3을대입하면

(-3)¤ -3+a=0이므로　a=-6 답⃞-6

3


풀이| 큰 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하

면두정사각형의넓이의합은　

x¤ +(10-x)¤ =58(cm¤ )

(x-3)(x-7)=0, x=3 또는 x=7

따라서큰정사각형의한변의길이는 7 cm이다.

답⃞ 7 cm

5

목표| 인수분해를이용하여식을간단히할수있게한다.

풀이| a+1>0이므로

"√a¤ +2a+1="√(a+1)¤ =a+1

a-3<0이므로

"√a¤ -6a+9="√(a-3)¤ =-(a-3)=3-a

"√a¤ +2a+1-"√a¤ -6a+9=(a+1)-(3-a)

=2a-2 답⃞ 2a-2

2

목표| 이차방정식을 활용할 수 있게 한다.

풀이| 공의 t초후의높이가 8 m라고하면

-5t¤ +12t+1=8에서　5t¤ -12t+7=0

(t-1)(5t-7)=0, t=1 또는 t=

따라서 공의 높이가 8 m인 순간은 공을 던져 올린

지 1초후와 초후이다. 답⃞ 1초 후와 초 후715

715

715

5


풀이| ⑴ (3x-1)¤ =5에서　3x-1=—'5

3x=1—'5, x=

⑵ 2x¤ +4=7x에서　2x¤ -7x+4=0

x= =

⑶ x¤ = x- 에서　x¤ -2x+1=0

(x-1)¤ =0, x=1(중근)

⑷ 0.3x¤ +0.7x=2에서　3x¤ +7x-20=0

(3x-5)(x+4)=0, x= 또는 x=-4

답⃞⑴ x= ⑵ x=

⑶ x=1(중근) ⑷ x= 또는 x=-4513

7—'∂1711124

1—'51113

513

11410

115

11410

7—'∂1711124

7—'ƒ49-321111124

1—'51113

4

목표| 다항식이 완전제곱식이 되는 조건을 알게 한다.

풀이| ⑴ a+3={ } 2=16, a=13

⑵-2x¤ +12x+a-1=-2{x¤ -6x- }

- ={ }2=9, a=-17

답⃞⑴ 13 ⑵ -17

-61252

a-11122

a-11122

-81252

3

목표| 다항식에서 인수를 찾을 수 있게 한다.

풀이| 3x¤ -9xy=3x(x-3y) 답⃞㉠, ㉢

1

중·수준

목표| 이차방정식의 두 근이 주어졌을 때, 미지수를 구


풀이| 3x¤ +px+q=0에 x=3, x= 를대입하면

27+3p+q=0, + p+q=0

두식을연립하여풀면　p=-13, q=12

x¤ +qx+p=0에서　x¤ +12x-13=0

(x-1)(x+13)=0, x=1 또는 x=-13

따라서구하는두근의차는　

1-(-13)=14 답⃞ 14

413

16143

413

4

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지191 mac02 T

이차방정식 빙고

2명또는 3명이다음과같은게임을하여보아라.

게임으로 익히는 수/학/원/리

준비물

게임판, 주사위, 색연필

<게임판>

x¤ -2x=0 x¤ =16 x¤ -4x=0 (x-4)(x-3)=0

x¤ -5x+4=0 (x-2)¤ =0 x¤ -2x+1=0 x¤ -9=0

x¤ =3x x¤ -36=0 (x-4)¤ =0 x¤ -6x+9=0

x¤ -6x=0 x¤ -5x+6=0 x¤ -3x+2=0 x¤ -25=0

게임규칙

1

2

3

4

1에서 6까지의자연수중에서적어도하나의수를해로가지는이차방정식을위와같이게임판의각칸에

쓴다.

게임순서를정하고, 차례로주사위를던져서나온눈의수를해로가지는이차방정식이적힌칸을찾아그

중에서하나의칸에색연필로자신만의표시를한다.

주사위의눈의수를해로가지는칸이모두표시되어있으면표시할수없다.

가로, 세로, 대각선방향으로연속된 4개의칸을먼저표시한사람이이긴다.

192 각론

(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지192 mac02 T

三顧草廬우리는여러숫자가운데서유독‘3’을많이사용한

다. 동양, 특히우리나라는문화적으로 3이라는숫자를

좋아하여‘삼세번’, ‘삼판이승’과 같은 말이 흔히 사용

된다. 또 역사적으로 고조선이 멸망한 뒤 우리 민족은

흩어지지않고고구려, 백제, 신라라는세나라를세워

삼국시대를열었다. 한민족이세나라로갈라졌던것

은중국에서도있었는데, 후한이무너진뒤, 위, 촉, 오

의 세 나라가 세워져 소설“삼국지”의 무대가 되기도

하였다.

“삼국지”에서도 유명한 3이 등장하는데, ‘삼고초려

(三顧草廬)’가 그것이다. 삼고초려는‘초가집에 세 번

찾아간다.’는 뜻으로 사람을 맞이함에 있어 진심으로

예를다하는경우를비유해서이르는말이다.

그렇다면 수학에서 3은 과연 어떤 의미가 있을까?

단순하게 생각하면 3은 2⁄ +1=3으로 첫 번째 페르마

소수이자, 2¤ -1=3으로 첫 번째 메르센 소수이다. 또

1을 제외하면 3!=3¥2¥1=6=1+2+3으로 팩토리얼

과합이같게되는유일한자연수이며, 이전두자연수

의합 1+2와같은유일한자연수이고, 3¤ +4¤ =5¤ 이므

로 처음으로나오는 피타고라스 3쌍이다. 이외에도 많

은특별한성질이있지만, 여기서알아볼것은수를철

학적으로보았을때의 3이다. 우선고대그리스수학자들

이수에어떤의미를부여했는지간단히알아보자.

고대 그리스 수학자들은 1은 근본적으로 창조와 일

치한다고 생각하였다. 그래서 그들은 숫자 1을 존재라

는 의미의‘우시아(Ousia)’라고 불렀고, 우주에서 영

속성의원천이고모든것의기원이라고생각하였다. 그

들은 1이라는수를원을사용하여나타냈는데, 그이유

는 원이 그 다음에 잇따르는 모든 기하학적 모양의 원

천이라고믿었기 때문이다. 원으로표현되는 1의철학

적원리를그리스어로‘모나드(Monad)’라고하는데,

그 어원은‘안전하다’는 뜻의 menein과‘단일성’이라

는 뜻의 monas에서 유래하였다. 고대 그리스 수학자

들은점이나원으로표현되는모나드는수가아니라모

든 수의부모로간주하였다. 그리고단일성을나타내기

때문에우주를기하학적으로작도하는기초가된다고생

각하였다.

모나드로부터 변화된 첫 번째 창조의 과정은 2인

‘디아드(Dyad)’로 표현된다. 즉, 하나의 원이 분열하

여 2개의 원을 이루는 이원성을 갖게 된다. 따라서 디

아드는 분열성, 반대성, 분기성, 불평등성, 가분성, 그

리고변하기쉬운성질등을나타낸다. 고대그리스수

학자들에게 디아드는 반대 개념의 원천인 동시에 1과

함께다른모든수들의부모라고생각했기때문에 2도

수로여기지않았다.

고대그리스수학자들은 1과 2를수들의‘부모’로여

겼기때문에그사이에서처음으로태어난 3은최초의

수이자가장오래된수이다. 이것은정삼각형으로표현

된다.

고대그리스수학자들은수에특별한의미를부여하

고 신성하게 여겼다. 특히 3을 중요하게 여겼는데, 이

는 동양에서도 마찬가지였다. 동양에서 3을 특별한수

로여겼다는증거가운데하나는많은고사에서 3이등

장하고있다는것이다.

삼고초려(三顧草廬)와수철학

고사성어로 익히는 수학 이야기

삼고초려(三顧草廬) 三(석 삼), 顧(돌아볼 고),

草(풀 초), 廬(오두막집 려)


(134~193)200교과2 2012.7.24 12:44 AM 페이지193 mac02 T

이차방정식viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%ea%b5%90%ea%b3%bc%ec%84%9c%eb...학습내용정리...

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