430201 Engineering Statics430201 Engineering Statics((สถิตยศาสตรสถิตยศาสตรวิศวกรรมวิศวกรรม))

รศรศ..ดรดร.. สิทธิชัยสิทธิชัย แสงอาทิตยแสงอาทิตยสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตรสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตร

บทที่บทที่ 5:5: สมดุลของวัตถุแกรงสมดุลของวัตถุแกรงจดุประสงคจดุประสงค

เพื่อใหเขาใจถึงเพื่อใหเขาใจถึงสมการสมการความสมดุลความสมดุลของของวัตถุแกรงวัตถุแกรงเพื่อไดเรียนรูและเขาใจเพื่อไดเรียนรูและเขาใจแผนภาพวัตถุอิสระแผนภาพวัตถุอิสระ ((freefree--body diagram)body diagram) ของวัตถุแกรงของวัตถุแกรงเพื่อใหสามารถเพื่อใหสามารถแกปญหาที่เกี่ยวกับสมดุลแกปญหาที่เกี่ยวกับสมดุลของวัตถุแกรงของวัตถุแกรง โดยใชโดยใชสมการสมการความสมดุลความสมดุล ทัง้ในทัง้ในกรณีกรณี 22 และและ 33 มิติมิติไดได

Concept ของแรงลัพธและแรงปฏิกิริยาแรงลัพธแรงลัพธ == แรงกระทําแรงกระทํา แแตต แรงปฏิกิริยาแรงปฏิกิริยา == แรงแรงตตานาน

F F 80i 320j-1440k NR = = +∑

แรงลัพธแรงลัพธ

แรงปฏิกิริยาแรงปฏิกิริยา2m

100 N

O

2m

0.75m

50 N

O

MO = (100 N)(2 m) = 200 N-m

MO = (50 N) (0.75m) = 37.5 N-m

Concept ของโมเมนตลัพธและโมเมนตปฏิกิริยา

โมเมนตลัพธโมเมนตลัพธ == โมเมนตกระทําตอกําแพงโมเมนตกระทําตอกําแพง แแตตโมเมนตปฏิกิริยาโมเมนตปฏิกิริยา == โมเมนตที่กําแพงออกกําลังโมเมนตที่กําแพงออกกําลังตตานาน

การประยุกตใชงาน: สมดลุของวัตถุแกรง

คําถาม: นั่งราน (platform) ซึ่งมีมวล 200 kg ถกูแขวนอยูกับปนจั่น เราจะหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ และแรงตึงใน cables เนื่องจากน้ําหนักของนั่งรานไดอยางไร?

คําตอบ: เราจะใชแบบจําลอง free body diagram และสมการความสมดุลของนั่งรานในการคํานวณ ∑ = 0xF ∑ = 0yF ∑ = 0AM

การประยุกตใชงาน: สมดลุของวัตถุแกรงคําถาม: คานเหล็กถกูใชในการรองรับน้ําหนักทีถ่ายจากคานซอยของหลังคาอาคาร เราจะหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A และ B ของคานไดอยางไร ?

คําตอบ: เราจะใชแบบจําลอง free body diagram และสมการความสมดุลของคานในการคํานวณ?

ByAy

Ax

∑ = 0xF ∑ = 0yF∑ = 0AM

5.1 เงื่อนไขความสมดุลของวัตถุแกรง แรงที่กระทําตออนุภาคมักจะเปนแรงที่กระทํารวมกัน แตแรงที่กระทําตอวัตถุแกรงมักจะเปนแรงเยื้องศูนย ซึ่งจะพยายามทําใหเกิดการเคลื่อนที่เชิงเสนและการหมุน

วัตถุแกรงจะอยูในสมดุลเมื่อ1. ผลรวมของแรง = ศูนย2. ผลรวมของโมเมนตรอบจุด O ใดๆ = ศูนย

ขั้นตอนในการแกปญหาสมดุลของวัตถุแกรง

1. ทําการแปลงโครงสรางจริงใหอยูในรูปแบบจําลอง2. ทําการเขียนแผนภาพ free-body diagram ที่แสดงถึงแรงที่กระทําและแรงปฏิกิริยาในโครงสราง

3. ใชสมการความสมดุลเพื่อหาแรงไมทราบคาNote: จํานวนสมการความสมดุลตองเทากับจํานวน unknown

x

y

5.2 สมดลุในสองมติ:ิ แผนภาพ Free-body diagram

1. ใชจินตนาการแยกวัตถุที่พิจารณาออกจากจุดรองรับใหเปนอิสระ (free) จากนั้น วาดรูปรางของวัตถุอยางคราวๆ

3. เขียนขนาด ตําแหนงและทิศทางของแรงและ moment ที่ทราบคาและที่ไมทราบคา

แบบจําลองของโครงสราง Free body diagram

2. ทําการตั้งแกน x และแกน y4. หาระยะตางๆ ที่จําเปนตอง

ใชในการหาโมเมนต

1200 N

3 m

2 m

Fx

Fy

M

981 N

x

y

แรงปฏิกิริยา (reactions) ที่จุดรองรับ

ถาจุดรองรับปองกันการเลื่อนในทิศทางใดแลว จุดรองรับจะทําใหเกิดแรงปฏิกิริยากระทําตอองคอาคารในทิศทางตรงกันขามกับทิศทางการเลื่อน

ถาจุดรองรับปองกันการหมุนในทิศทางใดแลว จุดรองรับจะทําใหเกิด moment กระทําตอองคอาคารในทิศทางตรงกันขามกับทิศทางการหมุน

จุดรองรับแบบลอเลื่อน (roller support) จุดรองรับแบบหมดุ (pin support)

จุดรองรับแบบยึดแนน (fixed support) หากแรงเสียดทานระหวาง cable และลูกรอกเปนศูนยแลว แรงตึงใน cable ที่ผานรอกจะมีคาเทากันเสมอ และ free-body diagram ของรอกจะเขียนไดดังแสดง

roller

pin

1. ใชจินตนาการแยกวัตถุออกจากจุดรองรับและ รางวัตถุอยางคราวๆ

2. ตั้งแกน x แกน y3. เขียนขนาด ตําแหนงและทิศทางของแรงและ moment ที่ทราบคาและที่ไมทราบคา

4. หาระยะตางๆ ที่จําเปนตองใชในการหาโมเมนต

x

y

pin

linkspring

1. ใชจินตนาการแยกวัตถุออกจากจุดรองรับและ รางวัตถุอยางคราวๆ

2. ตั้งแกน x แกน y3. เขียนขนาด ตําแหนงและทิศทางของแรงที่ทราบคาและที่ไมทราบคา

4. หาระยะตางๆ ที่จําเปนตองใชในการหาโมเมนต

x

y

pin

pinpinกระบอก hydraulic pin

pin

cable

1. ทําการแปลงโครงสรางจริงใหอยูในรูปแบบจําลอง

2. ทําการเขียนแผนภาพ free-body diagram

3. ใชสมการความสมดุลเพื่อหาแรงไมทราบคา โดยเริ่มจากรอก และสุดทายที่คาน

หากลูกรอกเล็กมาก ใหพิจารณาเปนอนภุาค

ขั้นตอนในการแกปญหาสมดุลของอนุภาคและสมดุลของวัตถแุกรง ตัวอยางที่ 5-1 จงรางแผนภาพ FBD ของโครงสรางตอไปนี้pin

พื้นผิวเรียบ

4. ใสระยะและมุมตางๆ ที่จําเปนสําหรับสมการความสมดุล

1. แยกแทงเหล็กออกจากจุดรองรับ

2. ตั้งแกน x และแกน y3. เขียนขนาด ตําแหนง และทิศทางของแรงและ moment ที่ทราบคาและที่ไมทราบคา

200 N Bx

By

NA

0.6 m

0.1 m

30o

34

200 N Bx = 11.51 NBy = 191.37 N

NA=14.39 N

0.6 m

0.1 m

30o

34

pin

roller

1. แยกโครง truss ออกจากจุดรองรับ

2. ตั้งแกน x และแกน y3. เขียนขนาด ตําแหนงและทิศทางของแรงและ moment ที่ทราบและไมทราบคา

4 kN

5 kNAx

Ay

Bx

4. ใสระยะและมุมตางๆ ที่จําเปนสําหรับสมการความสมดุล

4 m

2 m 2 m45o

45o

4 kN

5 kNAx = 4.0 kN

Ay = 7.54 kN

Bx = 7.54 kN

4 m

2 m 2 m45o

45o

pinpin

pinlink

Link เปนชิ้นสวนที่รับเฉพาะแรงดึงและแรงกดอัดเทานั้น

1. แยกของอออกจากจุดรองรับ

2. ตั้งแกน x - y

3. เขียนขนาด ตําแหนงและทิศทางของแรงและ moment ที่ทราบคาและที่ไมทราบคา

500 N-mT

Ax

Ay

4. ใสระยะและมุมตางๆ ที่จําเปนสําหรับสมการความสมดุล

2 m

1 m30o

500 N-mT = 267.95 N

Ax = 232 N

Ay = 134 N

2 m

1 m30o

พื้นผิวเรียบ

collar/ปลอก

Note: ทําไม FBD ที่ไดทุกขอถึงมีจํานวน unknown = 3???

400 N-m

Ax MA

By

0.6 m

30o

30o

เราสามารถเขียน free-body diagram ของโครงสรางตอไปนี้ไดหรือไม