integração de funções racionais

8/6/2019 Integrao de funes racionais

1/25

1

Integrao de funes racionais.

Sejam

0,)( 012

2

1

1 +++++=

m

m

m

m

mm aaxaxaxaxaxP L

e

0,)( 012

2

1

1 +++++=

n

n

n

n

nn bbxbxbxbxbxQ L

polinmios de varivel real com coeficientes reais.

Definio. Funo racional qualquer funo )(xf representvel por um quociente de

dois polinomios, isto ,)(

)()(

xQ

xPxf

n

m= .

Consideramos, sem restringir a generalidade, que estes polinmios no tm

raizes comuns.

Se a ordem do polinmio ao numerador e inferior ao do denominador, nm < ,

diz-se que a funo racional)()()(

xQxPxf

n

m= regular.

Se a ordem do polinmio ao numerador e superior ou igual ao do denominador,

nm , diz-se que a funo racional)(

)()(

xQ

xPxf

n

m= irregular.

Exemplos de funes racionais:

14

2734)(

3

245

+

+=

xx

xxxxf funo racional irregular.

13

2)(

35

235

++

+=

xxx

xxxxf funo racional irregular.

1

23)(

24

23

+

+=

xx

xxxf funo racional regular.

14

3)(

3+

=xx

xf funo racional regular.

Se a funo racional)(

)()(

xQ

xPxf

n

m= irregular, dividindo o polinmio do

numerador pelo polinmio do denominador (segundo a regra de diviso dos polinmios)

podemos representar a funo inicial (irregular) como soma de um polinmio e uma

funo regular:

)(

)()(

)(

)(

xQ

xRxQ

xQ

xP

nn

m+= ,


2/25

2

em que )(xQ um polinmio e representa o quociente da diviso do polinmio do

numerador pelo polinmio do denominador e)(

)(

xQ

xR

n

uma fraco regular onde )(xR

o resto da diviso.

Regra de diviso dos polinmios.

Para dividir o polinmio do numerador pelo polinmio do denominador

aplicamos um algoritmo semelhante ao algoritmo da diviso utilisado na aritmtica:

Denotamos:

Dividendo: 0,)( 012

2

1

1 +++++=

m

m

m

m

mm aaxaxaxaxaxP L .

Divisor: 0,)( 012

2

1

1+++++=

n

n

n

n

nn bbxbxbxbxbxQ L .Quociente: )(xQ .

Resto da diviso: )(xR .

Passo 1. Esrevemos os polinmios )(xPm e )(xQn na ordem decrescente dos

expoentes dos seus termos e complectamo-los com os termos de coeficientes zero.

Passo 2. Dividimos o termo de maior grau do dividendo )(xPm pelo termo de maior

grau do divisor )(xQn . Obtm-se, desta forma, o primeiro termo do quociente )(xQ .

A seguir, multiplicamos o termo obtido pelo divisor e subtramos o produto obtido do

dividendo.

Caso o polinmio que representa a diferena obtida tenha grau maior ou igual

ao do divisor, ele passa a ser um novo dividendo e repete-se o algoritmo a partir do 2

passo.

Caso o polinmio que representa a diferena obtida tenha grau inferior ao do

divisor ele representa o resto )(xR e portanto obtemos a representao

)(

)()(

)(

)(

xQ

xRxQ

xQ

xP

nn

m+= .

Exemplos de diviso de polinmios:

Exemplo 1. Sejam 2734)( 2455 += xxxxP e 14)(3

3 += xxxQ .

Passo 1.

207034)( 23455 +++= xxxxxxP e 140)(23

3 ++= xxxxQ .

Passo 2.

2

23

________________________________________________234

2345

2345

4

140

203163

41604

207034

x

xxx

xxxx

xxxx

xxxxx++

+++

++

+++


3/25

3

O polinmio que representa a diferena obtida tem grau maior ao do divisor e

repetimos o passo 2.

Repetio do Passo 2.

xx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

34

140

23916

31203

203163

41604

207034

2

23

_____________________________________________23

234

________________________________________________234

2345

2345

++

++

+

+++

++

+++

O polinmio que representa a diferena obtida tem grau igual ao do divisor e


Repetio do Passo 2.

1634

140

18879

1684016

23916

31203

203163

41604

207034

2

23

______________________________________________2

23

_____________________________________________23

234

________________________________________________234

2345

2345

+

++

+

++

+

+

+++

++

+++

xx

xxx

xx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

O polinmio que representa a diferena obtida tem grau inferior ao do divisor e

portanto temos:

18879)( 2 += xxxR , 1634)( 2 += xxxQ

e

14

188791634

14

188791634

14

27343

22

3

22

3

245

+

++=

+

+++=

+

+

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxx

Exemplo 2. Sejam 3)( 44 = xxP e 1)(2

2 += xxQ .

Passo 1.

3000)(234

4 +++= xxxxxP e 10)(2

2 ++= xxxQ .


4/25

4

Passo 2.

2

2

________________________________________________

2

234

234

10

30

0

3000

x

xx

xx

xxx

xxxx++

+

++

+++

O polinmio que representa a diferena obtida tem grau igual ao do divisor e


Passo 2.

1

10

2

10

30

0

3000

2

2

_________________________________________

2

________________________________________________2

234

234

++

+

+

++

+++

x

xx

xx

xx

xxx

xxxx

O polinmio que representa a diferena obtida tem grau inferior ao do divisor e

portanto temos:

2)( =xR , 1)( 2 = xxQ

e

1

21

1

21

1

32

2

2

2

2

4

+=

+

+=

+

xx

xx

x

x.

Por conseguinte a integrao de uma funo racional irregular reduz-se a

integrao de um polinmio e uma funo racional regular. Como a integrao de um

polinmio no representa dificuldades o trabalho consiste em integrar as funes

racionais regulares.

Decomposio das funes racionais regulares em fraceselementares.

Na lgebra demonstram-se :

Teorema 1. Qualquer polinmio, cujos coeficientes so nmeros reais, pode ser

representado na formast

ss

tkr

k

rr

n qxpxqxpxxxxAxQ )...()()...()()()(21

11

222

11 ++++= . (1)

onde:

a) k

,...,, 21 so as raizes reais, respectivamente, de multiplicidades krrr ,...,, 21 dopolinmio )(xQn ;


5/25

5

b) Os polinmios quadraticos sjqxpx jj ,,1,2

L=++ , no tm raizes reais e na

factorizao de )(xQn tm, respectivamente, as multiplicidades sjtj ,,1, L= ;

c) nttrreNttrrRqpqp skskss =+++++ 2...2...,...,,,...,,,,...,, 111111 ;

A expresso (4) diz-se decomposio do polinmio )(xQn em factores do

primeiro ou segundo grau .

Teorema 2. Se a funo racional)(

)(

xQ

xR

n

regular e o polinmio )(xQn na forma (1)

e verifica as condies a), b) e c), ento a funo pode ser representada num modo

unvoco na forma

+

++

++

++

++

++

=kr

kr

kir

i

ir

i

r

r

n xC

xC

xB

xB

xA

xA

xQxR

)(......

)(......

)(...

)()( 11

11

1

1

1

s

ss

t

ss

tt

ss

t

tt

qxpx

VxU

qpx

VxU

qxpx

NxM

qxpx

NxM

)(......

)(...

22

11

11

2

11

2

11

1

11

++

+++

++

+++

++

+++

++

++ ; (2)

com

Rxqxpx jj ++ ,02 e RqpqpVUNMBA issstst ,,,...,,,,,...,,,...,,..., 111111

para todos sjki ,...,2,1;,...,2,1 == .

A expresso (2) representa o desenvolvimento de uma funo racional regular

)(

)(

xQ

xR

n

em fraces elementares e tem significado para todos kix i ,,1, L= .

Os coeficientesst

VAA ,...,, 21 calculam-se aplicando o mtodo dos coeficientes

indeterminados.

Nota:

Se ix = uma raiz real de multiplicidade um do polinmio )(xQn da funo

racional regular)(

)(

xQ

xR

n

ento a essa raiz no desenvolvimento da funo em fraces

elementares corresponde a fraco elementarix

A

.

Se ix = uma raiz real de multiplicidade 1>ir do polinmio )(xQn da funo

racional regular)(

)(

xQ

xR

n

ento a essa raiz no desenvolvimento da funo em fraces

elementares corresponde a seguinte soma de ir fraces elementares:


6/25

6

444444 3444444 21

termosirdesoma

ir

i

ir

ii x

A

x

A

x

A

)(...

)( 221

++

+

.

Se o polinmio quadratico jj qxpx ++2

, no tm raizes reais e na factorizaode )(xQn tm a multiplicidade 1 ento a esse polinmio quadratico no

desenvolvimento da funo em fraces elementares corresponde a fraco elementar

qxpx

BAx

j ++

+

2.

Se o polinmio quadratico jj qxpx ++2 , no tm raizes reais e na factorizao

de )(xQn tm a multiplicidade it ento a esse polinmio quadratico no

desenvolvimento da funo em fraces elementares corresponde a seguinte soma de

it fraces elementares:

( ) ( )44444444444 344444444444 21

LL

termositdesoma

it

j

itit

jj qxpx

BxA

qxpx

BxA

qxpx

BxA

++

+++

++

++

++

+

222

22

2

11.

Exemplos de decomposio das funes racionais regulares em fraceselementares.

Exemplo 3.( )( )3

2

21

33)(+

+=xx

xxxf .

A funo regular e o polinmio do denominador representado em produto de

factores de primeiro grau: o factor 1x tem a multiplicidade 1 e o factor 2+x tem a

multiplicidade 3. Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares ao

factor 1x corresponde a fraco elementar1x

Ae ao factor 2+x corresponde a

soma de trs fraces elementares

( ) ( )

3

3

2

21

222 +

++

++

x

B

x

B

x

B.

Portanto

( )( ) ( ) ( )33

2

21

3

2

222121

33)(

++

++

++

=

+

+=

x

B

x

B

x

B

x

A

xx

xxxf .

Os coeficientes 321 ,,, BBBA calculam-se aplicando o mtodo dos

coeficientes indeterminados.


7/25

7

Exemplo 4.( )( )22

23

11

124)(

++

+=

xx

xxxxf .

A funo regular e o polinmio do denominador o produto do factor de primeiro

grau 1+x de multiplicidade 1 com o factor de segundo grau sem raizes reais 12

+x demultiplicidade 2. Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares ao

factor 1+x corresponde a fraco elementar1+x

Ae ao factor 12 +x corresponde a

soma de duas fraces elementares( )22

22

2

11

11 +

++

+

+

x

CxB

x

CxB.

Portanto

( )( ) ( )2222

2

11

22

23

11111

124)(

+

++

+

++

+=

++

+=

x

CxB

x

CxB

x

A

xx

xxxxf .

Os coeficientes 2211 ,,,, CBCBA calculam-se aplicando o mtodo dos

coeficientes indeterminados.

Exemplo 5.( ) ( ) ( )5411

12)(

2222

23

++++

+=

xxxx

xxxf .

A funo regular e o polinmio do denominador o produto de 3 factores:

do factor de primeiro grau 1+x de multiplicidade 2;

do factor de segundo grau sem raizes reais 12 +x de multiplicidade 2;

do factor de segundo grau sem raizes reais 542 ++ xx de multiplicidade 1;

Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares temos:

ao factor 1+x corresponde a soma de duas fraces elementares( )2

21

11 ++

+ x

A

x

A;

ao factor 12 +x corresponde a soma de duas fraces elementares

( )2222

211

11 +

++

+

+

xCxB

xCxB ;

ao factor 542 ++ xx corresponde a fraco elementar542 ++

+

xx

EDx

Portanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 541111541112

222

22

2

11

2

21

2222

23

++

++

+

++

+

++

++

+=

++++

+

xx

EDx

x

CxB

x

CxB

x

A

x

A

xxxx

xx.

Os coeficientes EDCBCBAA ,,,,,,, 221121 calculam-se aplicando omtodo dos coeficientes indeterminados.


8/25

8

Exemplo 6.( ) ( )94

)(222++

=

xx

xxf .

A funo regular e o polinmio do denominador o produto de 2 factores:



Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares temos:

ao factor 42 +x corresponde a soma de duas fraces elementares

( )2222

2

11

44 +

++

+

+

x

CxB

x

CxB;

ao factor 9

2+

x corresponde a fraco elementar 92 +

+

x

ExD

.

Portanto

( ) ( ) ( ) 94494)(

222

22

2

11

222 +

++

+

++

+

+=

++

=x

ExD

x

CxB

x

CxB

xx

xxf .

Os coeficientes EDCBCBAA ,,,,,,, 221121 calculam-se aplicando o

mtodo dos coeficientes indeterminados.

Mtodo dos coeficientes indeterminados.

Passo 1. Multiplicamos ambas partes da expresso (2) por )(xQn e fazemos as

operaes de multiplicao e reduo na parte direita obtendo uma igualdade entre dois

polinmios;

Passo 2. Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de x e obtemos um

sistema de equaes lineares com as incognitasst

VAA ,...,, 21 ,

Passo 3. Resolvendo o sistema obtemos os valores dos coeficientesst

VAA ,...,, 21 .

Exemplos de aplicao do mtodo dos coeficientes indeterminados.

Exemplo 7. Desenvolver a funo racional regularxxx

xxf

44

128)(

35

3

++

= em

fraces elementares.

Resoluo:

A funo xxx

xxf 44

128)( 35

3

++

= regular.


9/25

9

Representemos o denominador em produto de factores de primeiro ou segundo grau.

( ) ( )( ) ( )222222435 2444444 +=++=++=++ xxxxxxxxxxx .

Portanto( ) 22

3

35

3

2128

44128)(

+

=

++

=

xxx

xxxxxf .

O polinmio do denominador o produto do factor de primeiro grau x de

multiplicidade 1 com o factor de segundo grau sem raizes reais 22 +x de

multiplicidade 2.

Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares ao factor x

corresponde a fraco elementarx

Ae ao factor 22 +x corresponde a soma de duas

fraces elementares( )22

22

2

11

22 +

+++

+

x

CxBx

CxB , isto ,

( ) ( )2222

2

11

22

3

35

3

222

128

44

128)(

+

++

+

++=

+

=

++

=

x

CxB

x

CxB

x

A

xx

x

xxx

xxf

Na continuao aplicamos o mtodo dos coeficientes indeterminados para

calcular os coeficientes 2211 ,,,, CBCBA

Multiplicando as partes da expresso( ) ( )22

22

2

11

22

3

222

128

+

++

+

++=

+

x

CxB

x

CxB

x

A

xx

xpor

22 )2( +xx obtemos:

( ) ( )+

+

+++

+

+++=+

+

2222

2222

2

112222

22

3

)2(2

)2(2

)2()2(2

128xx

x

CxBxx

x

CxBxx

x

Axx

xx

x

( ) ( ) ++++++= xCxBxxCxBxAx 222

11

223 )2()2(128

( ) ( ) +++++++= xCxBxxCxBxxAx 22

2

3

11

243 )2()44(128

++++++++= xCxBxCxCxBxBxxAx 22

21

3

1

2

1

4

1

243 22)44(128

AxCCxBBAxCxBAx 4)2()24()(128 212

21

3

1

4

1

3++++++++= .

Igualando os coeficientes de 01234 ,,,, xxxxx obtemos o sistema:


10/25

10

=

=+

=++

=

=+

124

02

024

8

0

21

21

1

1

A

CC

BBA

C

BA

Da quinta equao do sistema obtemos 3=A e substituindo na primeira

equao temos 31 == AB . Da segunda equao temos 81 =C e da quarta

162 12 == CC . Da terceira equao obtemos 624 12 == BAB .

Portanto o desenvolvimento da funo racional regular em fraces elementares

:

22235

3

)2(

166

2

833

44

128

+

+

+

++=

++

x

x

x

x

xxxx

x.

Exemplo 8. Desenvolver a funo racional regular( )( )3

2

21

33)(+

+=xx

xxxf em

fraces elementares.

Resoluo:

Do exemplo 3 temos:

( )( ) ( ) ( )33

2

21

3

2

222121

33

++

++

++

=

+

+

x

B

x

B

x

B

x

A

xx

xx.

Multiplicando a expresso( )( ) ( ) ( )3

3

2

21

3

2

222121

33

++

++

++

=

+

+

x

B

x

B

x

B

x

A

xx

xx

por ( )( )321 + xx obtemos:

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ++

+++

=+

+

+ 31333

2

212

211

2121

33xx

x

Bxx

x

Axx

xx

xx

( )( )( )

( )( )( ) +

+

++

+

+3

3

33

2

2 21

2

21

2

xx

x

Bxx

x

B

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ++++++=+ 12121233 322

1

32 xBxxBxxBxAxx

( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++=+ 1243812633 32

2

23

1

232xBxxBxxBxxxAxx

( ) ( ) ( ) ++++++++=+ xBBAxBBAxBAxx 322

21

3

1

2 123633

+ 321 248 BBBA

( ) ( ) ( ) ++++++++=++ xBBAxBBAxBAxxx 322

21

3

1

23 1236330

+ 321 248 BBBA


11/25

11

Igualando os coeficientes de 0123 ,,, xxxx obtemos o sistema:

=

=

=

=

=

=++

=++

=+

144

133

122

11

321

32

21

1

812

6

3248312

136

0

LLLLLL

LLL

LL

BBBABBA

BBA

BA

=

=

=

=

=

=++

=+

=+

244

233

22

11

321

321

21

1

4

4

3212

312

13

0

LLL

LLL

LL

LL

BBB

BBB

BB

BA

=

=

=

=

=

=+

=+

=+

344

33

22

11

32

32

21

1

216

73

13

0

LLL

LL

LL

LL

BB

BB

BB

BA

=

=+

=+

=+

133

73

13

0

3

32

21

1

B

BB

BB

BA

Ento temos:3

133 =B ,

9

82 =B ,

27

11 =B e

27

1=A

Portanto o desenvolvimento da funo racional regular em fraces elementares :

( )( ) ( ) ( )=

+

++

++

+

=+

+

323

2

2

3

13

2

9

8

2

27

1

1

27

1

21

33

xxxxxx

xx

( ) ( )32 2

1

3

13

2

1

9

8

2

1

27

1

1

1

27

1

+

++

+

=

xxxx.


12/25

12

Integrao de fraces racionais elementares.

Na decomposio de funes racionais em fraces elementares (ver (2)) obtemomos

quatro tipos de fraces elementares:

T1. ;x

A

T2. );,1(,)(

Nrrx

Ar

>

T3. ;04

0,2

2

2


13/25

13

T4: Calculemos o integral de uma fraco de quarto tipo. Analogamente como acima

.42

22

2 qpp

xqpxx +

+=++ 2

2

42aq

pet

px ==+

.2

dtdxeptx ==

Por conseguinte

.)(2)()(

2

)( 2222222

+

+

+=

+

+

=++

+

rrrrat

dtApB

at

tdtAdt

at

BAp

At

dxqpxx

BAx

Para calcular o primeiro integral fazemos a substituio )(2

1 22 atddtt += .

Ento

.))(1(2

1

)()(2

1

)(

)(

2

1

)( 1222222

22

22

22 Catratdatat

atd

at

tdt

r

r

rr+

+=++=

+

+=

+

Calculemos o segundo integral .)( 22

2

+

rat

dtaEscrevemos o segundo integral na forma

.)(

122

2

2 +

rat

dta

a

Na continuao fazendo em numerador a substituio 2222 tata += obtemos:

=+

+=

+=

+ dt

at

tat

aat

dta

aat

dtarrr )(

1

)(

1

)( 22

222

222

2

222

2

=+

+

+= dt

at

t

adt

at

at

arr

)(

1

)(

122

2

222

22

2

=+

+

= dtatt

adt

atarr )(

1

)(

1122

2

21222(*)

Calculemos o segundo integral aplicando a integrao por partes:

= dUVVUdVU .Fazendo

rat

tdtdVtU

)(,

22+

==

obtemos

,dtdU=


14/25

14

.)(

1

)1(2

1

)(

)(

2

1

)(

)(

2

1

)(

2

2

1

)( 12222

22

22

2

2222 +

=+

+=

+=

+=

+= rrrrr

atrat

atd

at

td

at

tdt

at

tdtV

Portanto na continuao temos:

(*)= =

+

+

+ 12212221222 )(22

1

))(22(

1

)(

11rrr

at

td

ratr

t

adt

ata

.)(22

32

))(22(

11221222

Cat

dt

r

r

atr

t

a rr+

+

+

+=

Obtemos a frmula de recorrncia

Cat

dt

r

r

atr

t

aat

dtrrr +

+

+

+=

+ 122122222 )(2232

))(22(

1

)(

que permite diminuir o grau da expresso do denominador no integral +

rat

dt

)( 22.


15/25

15

Exemplos de clculo de integrais indefinidos. Integrao de funesracionais.

1) +

+xd

xx

x

23

122

.

A funo integranda funo racional regular.

Determinamos as raizes do polinmio do denominador.

212

13

2

8930232 ==

=

==+ xxxxx .

Portanto o polinmio do denominador tem duas raizes reais de multiplicidade um e a

representao da funo integranda como soma de fraces elementares :

21)2()1(

12

23

122

+

=

+=

+

+

x

B

x

A

xx

x

xx

x.

Determinemos os valores dos coeficientes A e B utilizando o mtodo dos

coeficientes indeterminados:

+=+

+

=

+=

+

+BBxAAxx

x

B

x

A

xx

x

xx

x212

21)2()1(

12

23

122

( ) )2(12 BAxBAx++=+

.

Obtemos o sistema de equaes lineares:

=

=+

,12

,2

BA

BA

Determinemos a soluo do sistema :

=

=+

+=++

=+

=

=+

,3

,2

,21)(2

,2

,12

,2

A

BA

BABA

BA

BA

BA

=

=

.5

,3

B

A

Portanto2

5

1

3

)2()1(

12

23

122

+

=

+=

+

+

xxxx

x

xx

x

e

=

+

=

+

=

+

+

xdxxd

xxd

xxxd

xx

x

2

5

1

3

2

5

1

3

23

122

=

+

=

+

= )2(21

5)1(1

13

2

15

1

13 xd

xxd

xxd

xxd

x

Cxnlxnl ++= 2513 .


16/25

16

2) +

+xd

xx

xx

)1()2(

2432

2

.

A funo integranda funo racional regular

+

+==

)1()2(

243

)(

)()(

2

2

3

2

xx

xx

xQ

xPxf .

O polinmio do denominador, )1()2()( 23 += xxxQ , tem trs raizes reais:

2=x de multiplicidade 2 e 1=x de multiplicidade 1.

Portanto a representao da funo integranda como soma de fraces elementares :

1)2(2)1()2(

24322

2

+

++

+=

+

+

x

C

x

B

x

A

xx

xx.

Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o mtodo doscoeficientes indeterminados:

++

++

=+

+

1)2(2)1()2(

24322

2

x

C

x

B

x

A

xx

xx

++++=+ 22 )2()1()1()2(243 xCxBxxAxx

+++++=+ )44()1()2(243 222 xxCxBxxAxx

+++++=+ CCxxCBxBAxAxAxx 442243222

)42()4()(243 22 CBAxCBAxCAxx ++++++=+ .


=+

=++

=+

242

44

3

CBA

CBA

CA


=+

=+

+=

=++

=+++

+=

=+

=++

=+

86

73

3

24)3(2

443

3

242

44

3

CB

CB

CA

CBC

CBC

CA

CBA

CBA

CA

=

=

=

=

=

+=

=+

=

+=

9

13

229

26

19

37

3

86)37(

37

3

C

B

A

C

CB

CA

CC

CB

CA


17/25

17

Portanto1

9

1

)2(

3

22

2

9

26

)1()2(

24322

2

+

+

++

=+

+

xxxxx

xx

e

=

+

+

+

+=

+

+

xdxxxxd

xx

xx

1

91

)2(

322

2

926

)1()2(

24322

2

=

++

+

= xdxxd

xxd

x 1

1

9

1

)2(

1

3

22

2

1

9

262

=

+++

++

= )1(11

9

1)2(

)2(

1

3

22)2(

2

1

9

262

xdx

xdx

xdx

=+++

++=

+

Cxnlx

xnl 19

1

12

)2(

3

222

9

26 12

Cxnlx

xnl +++

++= 19

1

2

1

3

222

9

26.

3)

+xd

xx

xx

32

2522

3

.

A funo integranda funo racional irregular. Dividimos o polinmio do

numerador pelo polinmio do denominador e representamos a funo integranda como

a soma de um polinmio e uma funo racional regular:

42

32

1491284

24

642

252 2

2

2

23

3

+

+

++

+

x

xx

xxx

xx

xxx

xx

Daqui resulta que a representao da funo racional irregular como a soma de um

polinmio e uma funo racional regular :

32

14942

32

25222

3

+++=

+

xx

xx

xx

xx.

Portanto

=

+

++=

+

xdxxx

xxdxx

xx

32

1494232

25222

3


18/25

18

( )*32

1494

22

32

14942

2

2

2=

+++=

+++= xdxx

xx

xxd

xx

xxdxdx

No integral obtido a funo integranda,

32

149)(

2

+=

xx

xxf , racional regular.

Determinamos as raizes do polinmio do denominador.

312

42

2

12420322 ==

=

+== xxxxx .

Portanto o polinmio do denominador tem duas raizes reais de multiplicidade um e a

representao da funo integranda como soma de fraces elementares :

31)3()1(

149

32

1492

+

+=

+

+=

+

x

B

x

A

xx

x

xx

x.

Determinemos os valores dos coeficientes A e B utilizando o mtodo dos


++=+

++

=+

+=

+BBxAAxx

x

B

x

A

xx

x

xx

x3149

31)3()1(

149

32

1492

( ) )3(149 BAxBAx +++=+ .


=+

=+

,413

,9

BA

BA


=+

=

=+

=

=+

=+

,14427

,9

,14)9(3

,9

,143

,9

B

BA

BB

BA

BA

BA

=

=

=

=

.4

41

,4

5

,4

41

,9

B

A

B

BA

Portanto3

441

1

45

)3()1(

149

32

1492

+

+

=+

+=

+

xxxx

x

xx

x

e na continuao obtemos

( ) =

++

+=

+

+

++= xdxxd

xxxxd

xxxx

3

1

4

41

1

1

4

54

3

4

41

1

4

5

4* 22

Cxnlxnlxx ++++= 34

41

14

5

42

.


19/25

19

4)

++xd

x

xx

1

134

46

.



a soma de um polinmio e uma funo racional regular:

13

1

23

1

13

33

13

2

4

2

4

24

26

46

+

+

++

++

x

x

x

x

xx

xx

xx

Daqui resulta que a representao da funo racional irregular como a soma de umpolinmio e uma funo racional regular :

1

2313

1

134

22

4

46

+++=

++

x

xx

x

xx.

Portanto

=

+++=

++

xdxx

xxdx

xx

1

2313

1

134

22

4

46

( )*1

23

3

3

1

233

4

23

4

22

=

+++=

+++= xd

x

xx

xxd

x

xxdxdx

No integral obtido a funo integranda1

23)(

4

2

+=

x

xxf racional regular.

Determinamos a representao do polinmio do denominador em produto de factores

de primeira e segunda ordem.

( )( ) ( )( )( )111111 2224 ++=+= xxxxxx .Na representao do polinmio do denominador em produto de factores de primeira e

segunda ordem temos dois factores de primeiro grau e um factor de segundo grau

todos de multiplicidade um. Portanto a representao da funo integranda comosoma de fraces elementares :

( )( )( ) 11111123

1

2322

2

4

2

+

++

++

=

++

+=

+

x

DCx

x

B

x

A

xxx

x

x

x.

Determinemos os valores dos coeficientes A , B , C e D utilizando o mtodo dos


( )( )( )

+

++

+

+

=

++

+=

+

111111

23

1

23

22

2

4

2

x

DCx

x

B

x

A

xxx

x

x

x


20/25

20

+++++++=+ 11111123 222 xxDxCxxBxxAx

( ) ( ) ( ) +++++++=+ DCxxDxCxxxBxxxAx 2323232 1123

( ) ( ) ( ) ( )DBAxCBAxDBAxCBAx+++++++=+

232

23 .


=

=+

=+

=++

2

0

3

0

DBA

CBA

DBA

CBA

Determinemos a soluo do sistema aplicando o mtodo de condensao:

=

=

=

=

=+

=+

=++

144

133

122

2

0

3

0

1011

0111

1011

0111

2

0

3

0

LLL

LLL

LLL

operaes

DBA

CBA

DBA

CBA

=

1

0

3

0

2000

0200

1120

0111

2

0

3

0

1120

0200

1120

0111

244 LLLoperao

Ento4

5,

4

5,0,

2

1==== ABCD ,

( )( )( ) 12

1

1

4

5

1

4

5

111

23

1

2322

2

4

2

++

+

=

++

+=

+

xxxxxx

x

x

x

e na continuao obtemos

( ) =+

++

++=

++

+

++= 12

1

14

5

14

5

1

2

1

1

4

5

1

4

5

*2

3

2

3

x

xd

x

xd

x

xdxxxd

xxxxx

Cxarctgxnlxnlxx +++++=2

11

4

51

4

53 .


21/25

21

5)

xdxx

x4

5

.

A funo integranda funo racional irregular. Representamos a funo

integranda como a soma de um polinmio e uma funo racional regular:

( ) ( ) ( ) ( ) 11111 332

3

25

3

225

3

5

4

5

+=

+

=

+=

=

x

xx

xx

x

xx

xx

xx

xxx

xx

x

xx

x.

Portanto

( )*1211 3

2

334

5

=

+=

+=

+=

xdx

xxxd

x

xxdxxd

x

xxxd

xx

x

No integral obtido a funo integranda( )1)1(1

)( 23++

=

=xxx

xx

xxf racional

regular. O trinmio 12 ++ xx no tem raizes reais e portanto

( ) 111)1(1 223 +++

+

=++

= xx

CBx

x

A

xxx

x

x

x.

Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o mtodo dos


( )

++

++

=++

= 111)1(1

223 xxCBx

xA

xxxx

xx

( ) ( )( ) ++++= 112 xCxBxxAx

( ) ( ) )(222 CAxCBAxBAxCBxCxxBAxAxAx ++++=++++=


=

=+

=+

0

1

0

CA

CBA

BA

Determinemos a soluo do sistema aplicando o mtodo de substituio:

=

=

=

=

=+

=

=

=++

=

=

=+

=+

0

21

0

12

0

1

0

1

0

CA

AC

BA

CA

CA

BA

CA

CAA

BA

CA

CBA

BA


22/25


23/25

23

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+= 21

4

3

2

1

1

2

1

2

1

4

3

2

1

2

12

6

11

3

1

2 22

2

xd

x

xd

x

x

xnlx

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+= 21

2

3

2

1

1

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

6

11

3

1

2 222

2

2

xd

xx

xd

xnlx

=+

+

++

++= C

x

arctgxnlxnlx

23

2

1

23

1

2

1

4

3

2

1

6

11

3

1

2

22

Cx

arctgxxnlxnlx

+

+++++=

3

12

3

11

6

11

3

1

2

22

.

6) +

xdx

x3

5

)1(.



a soma de um polinmio e uma funo racional regular.

Porque 133)1( 233 +++=+ xxxx temos:

61510

618186

386

3993

33

33

63

133

2

___________________________

23

23

____________________________

234

234

___________________________

2345

2

235

+++

++

+++

+

+++

xx

xxx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xx

xxxx

Daqui resulta que a representao da funo racional irregular como a soma de um

polinmio e uma funo racional regular :


24/25

24

133

6151063

)1( 23

22

3

5

+++

+++=

+ xxx

xxxx

x

x.

Portanto

=

++++=

+ xdx xxxxxdxx 32

23

5

)1(6151063

)1(

=+

+++= xdx

xxxdxxdxdx

3

22

)1(

6151063

( )*)1(

615106

23

3 3

223

=+

+++= xdx

xxx

xx

No integral obtido a funo integranda3

2

)1(61510)(

+++=

xxxxf racional regular e o

polinmio de primeiro grau 1+x na factorao do denominador tem multiplicidade

trs. Portanto a representao da funo integranda como soma de fraces

elementares :

323

2

)1()1(1)1(

61510

++

++

+=

+

++

x

C

x

B

x

A

x

xx.

Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o mtodo dos


+

++

++

=+

++

323

2

)1()1(1)1(

61510

x

C

x

B

x

A

x

xx

++++=++ CxBxAxx )1()1(61510 22

+++++=+++++=++ )()(61510 222 CBAxBAxACBBxAxAxAxx

=

==

=++

=+=

9

510

6

1510

C

BA

CBA

BAA

Portanto

323

2

)1(

9

)1(

5

1

10

)1(

61510

+

++

+=

+

++

xxxx

xx

e na continuao temos:


25/25

( ) =

+

++

++= xdxxx

xxx

32

23

)1(

9

)1(

5

1

106

23

3*

=

+

+

+

+

+=

xd

xxd

xxd

xx

xx

32

23

)1(

19

)1(

15

1

1106

23

3

=++++++

++=

)1()1(9)1()1(51

)1(106

23

3

3223

xdxxdxx

xdx

xx

=++

++

+

+++=

++

Cxx

xnlxxx

13

)1(9

12

)1(51106

23

3

131223

C

xx

xnlxxx

++

+

+++=2

23

)1(

1

2

9

1

151106

2

3

3

.

integração de funções racionais

Documents