números complexos bom

• 1. Nmeros Complexos Conceito, formas algbrica e trigonomtrica e operaes. Antonio Carlos barroso

2. Conceito(parte I)

• Os nmeros complexos surgiram para sanar uma das maiores dvidas que atormentavam os matemticos: Qual o resultado da operao X + 1 = 0 ?

• X = -1X = -1

3. Conceito (parte II)

• Por isso, foi criado um nmero especial, que denominamos algebricamente como i, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematicamente:

• I = -1 i = -1

• Esse novo conceito possibilitou a resoluo da equao mostrada anteriormente

4. Conceito (parte III)

• Desse modo:

• X + 1 = 0

• X = -1

• (como i = -1)

• X = i

5. Concluso do conceito

• Assim, foi criado um novo conjunto numrico denominado conjunto dos nmeros complexos ou conjunto dos nmeros imaginrios, que representamos pela letra C.

• Conjunto dos nmeros complexos = C

6. Relao fundamental

• O conjunto dos nmeros complexos possui, desse modo, a relao fundamental onde:

• I = -1

• Ou i = -1

7. Exemplos

• -2 = 2(-1)

• Aplicando a relao fundamental:

• -2 = i2

-4 = 4(-1) Aplicando a relao fundamental: -4 = 2i 8. Forma algbrica (parte I)

• O nmero complexo possui uma parte real e outra imaginria. Como a parte imaginria conta com a presena do i, sua forma algbrica

Parte real a + bi Parte imaginria 9. Forma algbrica (parte II)

• Um nmero complexo que no possui parte real (a = 0) denominado nmero complexo puro. Um nmero complexo que no possua a parte imaginria (b = 0) denominado nmero real e os nmeros imaginrios que possui ambas as partes so simplesmente chamados de nmeros complexos.

10. Exemplos

• 2 + 4i-> nmero complexo

• 8 - i2 -> nmero complexo

• 6i -> nmero complexo puro

• 4 -> nmero real

• -i -> nmero complexo puro

• i -> nmero real

11. Conjugado de um nmero complexo

• Um nmero complexo z = a + bipossui um conjugado que representado por z, onde:

• z = a bi

• (l-se conjugado de z)

12. Exemplos

• Dados os nmeros complexos, encontrar seus respectivos conjugados:

• z = 2 4i-> z = 2 + 4i

• z = i-> z = -i

• z = 1 + 2i-> z = 1 - 2i

• z = 2-> z = 2

• z = -3 8i-> z = -3 + 8i

13. Operaes com nmeros complexos na forma algbrica

• Como os nmeros reais possuem forma real e imaginria separadas, as operaes de adio, subtrao, multiplicao, diviso e potenciao diferem um pouco das habituais com nmeros reais.

14. Adio e subtrao com nmeros complexos na forma algbrica

• Para somar e subtrair nmeros complexos deve-se efetuar as operaes na parte real e imaginria separadamente.

• (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

• (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

15. Exemplos

• (2 + 4i) + (3 + i) = (2 + 3) + (4 + 1)i = 5 + 5i

• (1 + 4i) ( 2 - 7i) = (1 - 2) + (4 - 7)i = -2 -7i

• (3 + i) (4 + i) = (3 - 4) + (i - i) = -1

• i + (2 + 4i) = 2 + (1 + 4)i = 2 + 5i

16. Multiplicao com nmeros complexos na forma algbrica

• Para efetuar a multiplicao aplica-se simplesmente a distributiva:

• (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi

• (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci bd

• (a + bi)(c + di) = a(c + di) + b(-d + ci)

17. Exemplos

• (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 3i + 3i + 3i = 2 + 6i 3 = -1 + 6i

• 2 (1 + i) = 2 + 2i

• (2 - i)(-3 + 2i) = -6 +4i +3i 2i = -4 + 7i

18. Diviso com nmeros complexos na forma algbrica

• Para se dividir nmeros complexos, deve-se multiplicar ambos os nmeros pelo conjugado do complexo do denominador.

19. Exemplo 20. Potncias de i (parte I)

• Nas potncias de i notam-se regularidades de quatro em quatro no expoente:

21. Potncias de i (parte II)

• Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potncia, dividimos o expoente por 4 e resolvemos a potncia utilizando como expoente o resto da diviso.

22. Exemplo i 1047= i 3= -i 1047 3 4 261 23. Nmero complexo no plano de Argand-Gauss

• Os nmeros complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscissas a reta dos nmeros reais e a das ordenadas a reta dos nmeros complexos. Esse plano denominado plano de Argand-Gauss.

24. Exemplo

• Colocar no plano de Argand-Gauss o nmero complexo z = 3 + 2i

1234 4 3 2 1 z = 3 + 2i y (reta imaginria) x (reta dos reais) 25. Mdulo e argumento de um nmero complexo (parte I)

• No grfico, o mdulo de um nmero complexo z = a + bi o segmento de reta que vai do ponto origem O(0,0) at o ponto do P(a, b) do nmero complexo z. O argumento de z o ngulo que esta forma com o eixo das abscissas em sentido anti-horrio.

z = a + bi = arg(z) 26. Mdulo e argumento de um nmero complexo (parte II) z = a + bi =arg(z) a b 27. Forma trigonomtrica

• Utilizando as relaes dadas no slide anterior e aplicando-as forma algbrica, obtemos a forma trigonomtrica de um nmero complexo.

28. Exemplo

• Passar para a forma trigonomtrica o nmero complexo z = 1 + i 3

29. Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica - Multiplicao

• Para multiplicar nmeros complexos na forma trigonomtrica utilizamos a frmula:

30. Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica - Diviso

• A frmula para efetuar a diviso entre dois nmeros complexos na forma trigonomtrica a seguinte:

31. Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica - Potenciao

• Para efetuar a potenciao entre nmeros complexos na forma trigonomtrica utilizamos esta frmula:

32. Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica Radiciao

• De forma anloga potenciao, para efetuar a radiciao com nmeros complexos na forma trigonomtrica utilizamos a formula:

33. Do autor

• Antonio Carlos Barroso