page 1 of 30 3 - 1 บทที่ฟ 3 ชงกันของหลายตัวแปร 3 - 2...

บทที่ 3 ฟงกชันของหลายตัวแปร3 - 1

บทที่ 3ฟงกชันของหลายตัวแปร

รองศาสตราจารย ดํารงค ทิพยโยธาภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย


3.3 อนุพันธของฟงกชันของหลายตัวแปรP( 1x , 2x , ... , nx ) ซึ่งเปนสมาชิกของ nR

มีความหมายได 2 แบบ คือP( 1x , 2x , ... , nx ) เปนจุดใน nR

หรือ P( 1x , 2x , ... , nx ) เปนเวกเตอรใน nR

ในกรณีที่ f : D → R เมื่อ D ⊆ nR

เราจะใชสัญลักษณแทนคาของฟงกชัน f ที่จุด P ไดทั้งสองแบบคือ f(P) หรือ f(P

v ) ตามความเหมาะสม3.3.1 อนุพันธของฟงกชันในทิศทางของเวกเตอร

ตอไปเราจะใหความหมายของอนุพันธของฟงกชันของหลายตัวแปรซึ่งเก่ียวของกับเวกเตอรใน nR

ให f : D → R เมื่อ D ⊆ nR

A เปนจุดภายในของ DVv เปนเวกเตอรใน nR

L = {X = A + tVv | t ∈ R} เปนเซตของจุดบนเสนตรงใน nR ที่ผานจุด A และ ขนานกับ V

v

ให X = A + hVv เมื่อ h เปนจํานวนจริงใด ๆ

เพราะฉะนั้น X เปนจุดบนเสนตรง L ที่ผานจุด Aและขนานกับ V

v และ || X - A || = | h | || Vv || ... (1)


เพราะวา A เปนจุดภายในของ Dเพราะฉะนั้นมีจํานวนจริงบวก r ที่ทําให B(A ; r) ⊆ Dถาเราเลือกให V

v เปนเวกเตอรหนวย และเลือก h ที่ทําให | h | < rจาก (1) จะไดวา || X - A || < rเพราะฉะนั้น X ∈ D และ f(X) มีคา

รูปที่ 3.3.1จาก X = A + hV

v

f(X) = f(A + hVv )

f(X) - f(A) = f(A + hVv ) - f(A)

h)A(f)X(f − = h

)A(f)V hA(f −+v

f(X) - f(A) เรียกวาคาที่เปลี่ยนแปลงของ f จาก A ไปยัง X

h)A(f)X(f − เรียกวาคาเฉลี่ยของคาที่เปลี่ยนแปลงของ f

จาก A ไปยัง X เทียบกับเวกเตอร Vv


บทนิยาม 3.3.1 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ nR

A เปนจุดภายใน D และ Vv เปนเวกเตอรใน nR

ถา 0h

lim→ h

)A(f)V hA(f −+v

มีคาแลว เราเรียกคาลิมิตนี้วา อนุพันธของ f ที่จุด A เทียบกับ V

v

เขียนแทนดวยสัญลักษณ f ′(A ; Vv )

เพราะฉะนั้น f ′(A ; Vv ) =

0hlim→ h

)A(f)V hA(f −+v

ถาลิมิตมีคา

ให uv = |||| V

Vvv

f ′(A ; uv ) เรียกวา อนุพันธของ f ที่จุด A ในทิศทางของ Vv

เพราะฉะนั้น f ′(A ; uv ) =

0hlim→ h

)A(f)u hA(f −+ vถาลิมิตมีคา

of 30


ตัวอยาง 3.3.1 ให f(x, y) = 2x + 3y จงหา1. อนุพันธของ f ที่จุด (1, 2) เทียบกับเวกเตอร (3, 4)2. อนุพันธของ f ที่จุด (1, 2) ในทิศทางของเวกเตอร (5, 12)3. อนุพันธของ f ที่จุด (1, 2) เทียบกับเวกเตอร (1, 0)4. อนุพันธของ f ที่จุด (1, 2) เทียบกับเวกเตอร (0, 1)วิธีทาํ1. อนุพันธของ f ที่จุด (1, 2) เทียบกับเวกเตอร (3, 4) คือf ′((1, 2) ; (3, 4))

= 0h

lim→ h

)2 1,(f)4) 3,(h2) 1,((f −+ ถาลิมิตมีคา

= 0h

lim→ h

)2 1,(f)h42 ,h31(f −++

= 0h

lim→ h

7)h42(3)h31( 2 −+++

= 0h

lim→ h

7h126h9h61 2 −++++

= 0h

lim→ h

h9h18 2+

= 0h

lim→

(18 + 9h)= 18


2. อนุพันธของ f ที่จุด (1, 2) ในทิศทางของเวกเตอร (5, 12)คือ f ′((1, 2) ; (

135 ,

1312))

= 0h

lim→ h

)2 1,(f))1312 ,13

5(h2) 1,((f −+ถาลิมิตมีคา

= 0h

lim→ h

)2 1,(f)h13122 ,h13

51(f −++

= 0h

lim→ h

7)h13122(3)h13

51( 2 −+++

= 0h

lim→ h

7h13366h169

25h13101 2 −++++

= 0h

lim→ h

h16925h

1346 2+

= 0h

lim→

(1346 +

16925 h) =

1346

3. อนุพันธของ f ที่จุด (1, 2) เทียบกับเวกเตอร (1, 0) คือf ′((1, 2) ; (1, 0))

= 0h

lim→ h

)2 1,(f)0) ,1(h2) 1,((f −+ ถาลิมิตมีคา

= 0h

lim→ h

)2 1,(f)2 ,h1(f −+

= 0h

lim→ h

7)2(3)h1( 2 −++

= 0h

lim→ h

hh2 2+

= 0h

lim→

(2 + h) = 2


4. อนุพันธของ f ที่จุด (1, 2) เทียบกับเวกเตอร (0, 1) คือf ′((1, 2) ; (0, 1))

= 0h

lim→ h

)2 1,(f)1) ,0(h2) 1,((f −+ ถาลิมิตมีคา

= 0h

lim→ h

)2 1,(f)h2 ,1(f −+

= 0h

lim→ h

7)h2(312 −++

= 3

ขอสังเกต1. f ′((1, 2) ; (1, 0)) ก็คือ อนุพันธของ f เทียบกับ xที่จุด (1, 2) โดยถือวา y เปนคาคงตัว2. f ′((1, 2) ; (0, 1)) ก็คือ อนุพันธของ f เทียบกับ yที่จุด (1, 2) โดยถือวา x เปนคาคงตัว


ตัวอยาง 3.3.2 ให f(x, y, z) = 6 + x + 2y + 3z จงหา1. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3) เทียบกับเวกเตอร (1, 0, 0)2. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3) เทียบกับเวกเตอร (0, 1, 0)3. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3) เทียบกับเวกเตอร (0, 0, 1)4. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3) เทียบกับเวกเตอร (6, 2, 3)5. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3)

ในทิศทางเวกเตอร (6, 2, 3)วิธีทาํ 1. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3)เทียบกับเวกเตอร (1, 0, 0)คือ f ′((2, 4, 3) ; (1, 0, 0))

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)0) 0, 1,(h3) 4, , 2((f −+ ถาลิมิตมีคา

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)3 ,4 ,h2(f −+

= 0h

lim→ h

5134)h2(6 32 −++++ = 0h

lim→ h

h = 12. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3) เทียบกับเวกเตอร (0, 1, 0)คือ f ′((2, 4, 3) ; (0, 1, 0))

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)0) 1, ,0(h3) 4, , 2((f −+ ถาลิมิตมีคา

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)3 ,h4 ,2(f −+

= 0h

lim→ h

513)h4(26 32 −++++

= 0h

lim→ h

hh8 2+ = 0h

lim→

(8 + h) = 8

of 30


3. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3) เทียบกับเวกเตอร (0, 0, 1)คือ f ′((2, 4, 3) ; (0, 0, 1))

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)1) 0, ,0(h3) 4, , 2((f −+ ถาลิมิตมีคา

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)h3 ,4 ,2(f −+

= 0h

lim→ h

51)h3(426 32 −++++

= 0h

lim→ h

hh9h27 32 ++ = 0h

lim→

(27 + 9h + 2h ) = 27

4. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3) เทียบกับเวกเตอร (6, 2, 3)คือ f ′((2, 4, 3) ; (6, 2, 3))

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)3) 2, 6,(h3) 4, , 2((f −+ ถาลิมิตมีคา

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)h33 ,h24 ,h62(f −+++

= 0h

lim→ h

51)h33()h24()h62(6 32 −++++++

= 0h

lim→ h

h27h85h103 32 ++

= 0h

lim→

(103 + 85h + 27 2h ) = 103

5. อนุพันธของ f ที่จุด (2, 4, 3) ในทิศทางเวกเตอร(6, 2, 3) คือ f ′((2, 4, 3) ; (7

6 , 72 , 7

3))

= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f))73 ,7

2 ,76(h3) 4, , 2((f −+



= 0h

lim→ h

)3 4, 2,(f)7h33 ,7

h24 ,7h62(f −+++

= 0h

lim→ h

51)7h33()7

h24()7h62(6 32 −++++++

= 0h

lim→ h

h34327h49

85h7103 32 ++

= 0h

lim→

(7

103 + 4985h +

34327 2h )

= 7

103

ขอสังเกต 1. f ′((2, 4, 3) ; (1, 0, 0))คือ อนุพันธของ f เทียบกับ x ที่จุด (2, 4, 3)โดยถือวา y, z เปนคาคงตัว

2. f ′((2, 4, 3) ; (0, 1, 0))คือ อนุพันธของ f เทียบกับ y ที่จุด (2, 4, 3)

3. f ′((2, 4, 3) ; (0, 1, 0))คือ อนุพันธของ f เทียบกับ z ที่จุด (2, 4, 3)


3.3.2 อนุพันธยอยอนุพันธของ f เทียบกับเวกเตอรหนวยตามแนวพิกัดจะเปนอนุพันธของ f เทียบกับตัวแปรเพียงตัวเดียวโดยถือวาตัวแปรที่เหลือเปนคาคงตัว กลาวคือถา f : D → R เมื่อ D ⊆ 2R

และ ( 0x , 0y ) เปนจุดภายในของ D เราไดวาf ′(( 0x , 0y ) ; i

v) คืออนุพันธของ f เทียบกับ xที่จุด ( 0x , 0y ) โดยถือวา y เปนคาคงตัว

และ f ′(( 0x , 0y ) ; jv) คืออนุพันธของ f เทียบกับ y

ที่จุด ( 0x , 0y ) โดยถือวา x เปนคาคงตัว

ถา f : D → R เมื่อ D ⊆ 3R

และ ( 0x , 0y , 0z ) เปนจุดภายในของ D เราไดวาf ′(( 0x , 0y , 0z ) ; i

v) คืออนุพันธของ f เทียบกับ xที่จุด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถือวา y, z เปนคาคงตัว

f ′(( 0x , 0y , 0z ) ; jv) คืออนุพันธของ f เทียบกับ y

ที่จุด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถือวา x, z เปนคาคงตัว

f ′(( 0x , 0y , 0z ) ; kv ) คืออนุพันธของ f เทียบกับ z

ที่จุด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถือวา x, y เปนคาคงตัว


บทนิยาม 3.3.2 เวกเตอรหนวยตามแนวแกนพิกัดที่ kเขียนแทนดวย kev กําหนดโดย

kev = (0, 0, ... , 0, 1, 0, ..., 0)

kตําแหนงที่↑

ตัวอยาง ใน 2R ;1ev = (1, 0) = i

v , 2ev = (0, 1) = j

v

ใน 3R ;1ev = (1, 0, 0) = i

v , 2ev = (0, 1, 0) = jv , 3ev = (0, 0, 1) = k

v


โดยที่ z = f( 1x , 2x , ... , nx )และ A เปนจุดภายในของโดเมนของ ff ′(A ; kev ) เรียกวา อนุพันธยอยของ f เทียบกับ kx ที่จุด Aเขียนแทนดวยสัญลักษณ

kxf

∂∂ (A), kxf (A), kf (A), kD f(A) หรือ

A k

xz

∂∂

จากบทนิยาม 3.3.3 เราจะเห็นวา การหาอนุพันธยอยก็คือ การหาอนุพันธของฟงกชันของหนึ่งตัวแปรนั่นเอง เพราะฉะนั้นเราสามารถนําสูตรของการหาอนุพันธของฟงกชันของหนึ่งตัวแปรมาใชได

of 30


ตัวอยาง 3.3.3 ให f(x, y) = 3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8จงหาคาของ xf (1, 2) และ yf (1, 2)วิธีทาํ xf (x, y) =

x∂∂ (3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8)

= 12 3x 2y - 8xเพราะฉะนั้น xf (1, 2) = 12(1)3(2)2 - 8(1) = 40

yf (x, y) = y∂∂ (3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8)

= 6 4x y + 5เพราะฉะนั้น yf (1, 2) = 6(1)4(2) + 5 = 17ตัวอยาง 3.3.4 จงหาอนุพันธยอยของ f(x, y) =

y4x5y3x2

−+

วิธีทาํ xf (x, y) = x∂∂ (

y4x5y3x2

−+ )

= 2)y4x5(

)y4x5(x)y3x2()y3x2(x)y4x5(

−

−∂∂+−+

∂∂−

= 2)y4x5()5)(y3x2()2)(y4x5(

−+−− = -

2)y4x5(

y23

−

และ yf (x, y) = y∂∂ (

y4x5y3x2

−+ )

= 2)y4x5(

)y4x5(y)y3x2()y3x2(y)y4x5(

−

−∂∂+−+

∂∂−

= 2)y4x5()4)(y3x2()3)(y4x5(

−−+−− =

2)y4x5(x23

−


ตัวอยาง 3.3.5ให f(x, y, z) = 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8จงหาคาของ xf (2, 1, 4), yf (2, 1, 4) และ zf (2, 1, 4)วิธีทาํ การหา xf (x, y, z) ใชสูตรการหาอนุพันธของ f โดยคิดวา f เปนฟงกชันของตัวแปร x และถือวา y, z เปนคาคงตัวเพราะฉะนั้น xf (x, y, z)

= x∂∂ ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8)

= 2x + 2y + 4zเพราะฉะนั้น xf (2, 1, 4) = 22การหา yf (x, y, z) ใชสูตรการหาอนุพันธของ f โดยคิดวาf เปนฟงกชันของตัวแปร y และถือวา x, z เปนคาคงตัวเพราะฉะนั้น yf (x, y, z)

= y∂∂ ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8) = 8y + 2x

เพราะฉะนั้น yf (2, 1, 4) = 12การหา zf (x, y, z) ใชสูตรการหาอนุพันธของ f โดยคิดวาf เปนฟงกชันของตัวแปร z และถือวา x, y เปนคาคงตัวเพราะฉะนั้น zf (x, y, z)

= z∂∂ ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8)= 4 3z + 4x

เพราะฉะนั้น zf (2, 1, 4) = 264


แบบฝกหัด 3.3.11. จงหาอนุพันธยอยของฟงกชันตอไปนี้1.1 f(x, y) = 3x 2y + 4 2x + 3 3y

1.2 f(x, y) = xy sin(xy)1.3 f(x, y) = ln(sin( 2x + 4 2y ))1.4 f(x, y) =

22 yxy2x

+

−

1.5 f(x, y, z) = 2x + 3x 2y + 4z + 4yz1.6 f(x, y, z) = cos(2x + 3yz)1.7 f(x, y, z) = 2z cos( 2x )sin( 3y )1.8 f(x, y, z) = 2xe ln( 2y + 2z )1.9 f(x, y, z) = (2x + y + y 3z )4

2. กําหนดให f(x, y, z) = sin(xy + yz + zx) จงหาคาของ

xf∂∂ (0, 1, π),

yf∂∂ (0, 1, π),

zf∂∂ (0, 1, π)

3. กําหนดให f(x, y, z) = yz2x2 +

จงหาคาของ xf∂∂ (3, 5, 4),

yf∂∂ (3, 5, 4) และ

zf∂∂ (3, 5, 4)

4. กําหนดให f(x, y, z, w) = ywxzy2x

++

จงหาคาของ xf∂∂ ,

yf∂∂ ,

zf∂∂ และ

wf

∂∂ ที่จุด (1, 2, 1, -1)


เฉลยแบบฝกหัด 3.3.11. 1.1

xf∂∂ = 3 2x 2y + 8x,

yf∂∂ = 2 3x y + 9 2y

1.2 xf∂∂ = x 2y cos(xy) + y sin(xy)

yf∂∂ = 2x y cos(xy) + x sin(xy)

1.3 xf∂∂ = 2x cot( 2x + 4 2y ),

yf∂∂ = 8y cot( 2x + 4 2y )

1.4 xf∂∂ = 222

22

)yx(xy4yx

+++− ,

yf∂∂ = 222

22

)yx(xy2y2x2

+−+−

1.5 xf∂∂ = 2x + 3 2y ,

yf∂∂ = 6xy + 4z,

zf∂∂ = 4 3z + 4y

1.6 xf∂∂ = -2 sin(2x + 3yz),

yf∂∂ = -3z sin(2x + 3yz)

zf∂∂ = -3y sin(2x + 3yz)

1.7 xf∂∂ = -2x 2z sin 2x sin 3y ,

yf∂∂ = 3 2y 2z cos 2x cos 3y

zf∂∂ = 2zcos 2x sin 3y

1.8 xf∂∂

= 2x 2xe ln( 2y + 2z ),

yf∂∂

= 22

2x

zyye2+

, zf∂∂

= 22

2x

zyze2+

1.9 xf∂∂

= 8(2x + y + y 3z )3, yf∂∂

= 4(1 + 3z )(2x + y + y 3z )3

zf∂∂ = 12y 2z (2x + y + y 3z )3

2. xf∂∂ = -1 - π

yf∂∂ = -π

zf∂∂ = -1

3. xf∂∂ = 7

3 yf∂∂ = 7

4 zf∂∂ = 7

5

4. xf∂∂ = -6

yf∂∂ = 3

zf∂∂ = -5

wf

∂∂ = -10

of 30


3.4 การมีอนุพันธของฟงกชัน และ เวกเตอรเกรเดียนตทบทวนการมีอนุพันธของฟงกชันของหนึ่งตัวแปรให f เปนฟงกชันของหนึ่งตัวแปรทีมีอนุพันธที่จุด a จะได

f ′(a) = 0h

lim→ h

)a(f)ha(f −+

เพราะฉะนั้น ถา h มีคานอยมากแลว เราสามารถประมาณคา h

)a(f)ha(f −+ ดวย f ′(a)

การขยายแนวคิดเรื่องอนุพันธไปยังฟงกชันของหลายตัวแปรจากสมบัติของการมีอนุพันธของฟงกชันของหนึ่งตัวแปรให aE : R → R กําหนดโดย

aE (h) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠′−−+

0h 0

0h )a(fh)a(f)ha(f

เมื่อ

เมื่อ

เพราะฉะนั้น 0h

lim→

aE (h) = 0และ aE มีความตอเนื่องที่จุด h = 0และ f(a + h) = f(a) + f ′(a) h + h aE (h)


จากสมการ f(a + h) = f(a) + f ′(a) h + h aE (h)ขอใหสังเกตวาฟงกชัน L ซึ่งกําหนดโดย

L(h) = f ′(a) hคือ คาเชิงอนุพันธของ f ที่จุด x = aโดยที่ L มีสมบัติดังนี้ L( 1k 1h + 2k 2h ) = f ′(a)( 1k 1h + 2k 2h )

= f ′(a) 1k 1h + f ′(a) 2k 2h

= 1k f ′(a) 1h + 2k f ′(a) 2h

= 1k L( 1h ) + 2k L( 2h ) ... (*)เมื่อ 1h , 2h , 1k , 2k เปนจํานวนจริง ซึ่ง 1h ≠ 0 และ 2h ≠ 0

หมายเหตุ ฟงกชันที่มีสมบัติ (*) เรียกวา ฟงกชันเชิงเสน

จากที่กลาวมาขางตนสําหรับฟงกชันของหนึ่งตัวแปร f ซึ่งมีอนุพันธที่จุด aจะตองมีฟงกชัน L และ ฟงกชัน aE ซึ่ง

f(a + h) = f(a) + L(h) + h aE (h)โดยที

0hlim→

aE (h) = 0และ L มีสมบัติเชิงเสน


การมีอนุพันธของฟงกชันของหลายตัวแปรบทนิยาม 3.4.1 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ nR

และ A เปนจุดภายในของ D โดยที่ r เปนจํานวนจริงบวกที่ทําให B(A ; r) ⊆ Dถา 1. มีฟงกชัน AT : nR → R ที่ทําให

AT ( 1c X + 2c Y) = 1c AT (X) + 2c AT (Y)ทุก X, Y ∈ nR และ ทุกคา 1c , 2c ∈ R

และ 2. มีฟงกชัน AE : nR → R ที่ทําใหf(A + V) = f(A) + AT (V) + || V || AE (V)เมื่อ || V || < rโดยที่

OVlim→

AE (V) = 0แลว เรากลาววา f มีอนุพันธที่จุด Aฟงกชัน AT เรียกวา คาเชิงอนุพันธรวมของ f ที่จุด Aเขียนแทนดวยสัญลักษณ df(A) และเรียกdf(A)(V) เรียกวาคาเชิงอนุพันธรวมของ f ที่จุด A คาํนวณคาที่จุด Vสําหรับ S ⊆ D เรากลาววา1. f มีอนุพันธบน S ก็ตอเมื่อ f มีอนุพันธที่ทุกจุดใน S2. f มีอนุพันธ ก็ตอเมื่อ f มีอนุพันธที่ทุกจุดในโดเมนของ f


ทฤษฎีบท 3.4.1 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ nR

เปนฟงกชันที่มีอนุพันธที่จุด A ซึ่งเปนจุดภายในของ Dและ AT เปนคาเชิงอนุพันธรวมของ f ที่จุด A จะได1. f ′(A ; Y

v ) = AT (Yv ) ทุก Y

v ∈ nR

2. f ′(A ; Yv ) = ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) ⋅ Y

v

ทุก Yv ∈ nR

บทพิสูจน 1. กรณีที่ 1. Yv = 0

v

AT (Yv ) = AT (0

v)= AT (0uv + 0Y

v ) = 0 AT (uv ) + 0 AT (Yv ) = 0

และ f ′(A ; 0v) =

0hlim→ h

)A(f)0 hA(f −+v

= 0

เพราะฉะนั้น f ′(A ; Yv ) = AT (Y

v )กรณีที่ 2. Y

v ≠ 0v

f ′(A ; Yv ) =

0hlim→ h

)A(f)Y hA(f −+v


= 0h

lim→ h

)A(f)VA(f −+v

(Vv = hY

v )

= 0h

lim→ h

)V(T)V(E||V|| AAvvv

+ (เพราะวา f มีอนุพันธที่จุด A)

= 0h

lim→ h

)Yh(T)V(E||Y h|| AAvvv

+

= 0h

lim→ h

)Y(hT)V(E||Y || |h| AAvvv

+

เพราะฉะนั้น f ′(A ; Yv ) =

0hlim→ h


+

of 30


เพราะวา 0h

lim→

Vv =

0hlim→

hYv = 0 และ

OVlim→

AE (Vv ) = 0

เพราะฉะนั้น 0h

lim→ h


+ = AT (Yv )

เพราะฉะนั้น f ′(A ; Yv ) = AT (Y

v )

2. ให Yv = ( 1y , 2y , ... , ny )

AT (Yv ) = AT ( 1y , 2y , ... , ny )

= AT ( 1y 1ev + 2y 2ev + ... + ny nev )= 1y AT ( 1ev ) + 2y AT ( 2ev ) + ... + ny AT ( nev )= 1y f ′(A ; 1ev ) + 2y f ′(A ; 2ev ) + ... + ny f ′(A ; nev )= 1y 1D f(A) + 2y 2D f(A) + ... + ny nD f(A)= ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) ⋅ Y

v


เปนฟงกชันที่มีอนุพันธที่จุด A ซึ่งเปนจุดภายในของ Dเวกเตอร ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) เรียกวาเวกเตอรเกรเดียนต ของฟงกชัน f ที่จุด Aเขียนแทนดวยสัญลักษณ ∇ f(A) หรือ grad f(A)

เพราะฉะนั้นจากผลของทฤษฎีบท 3.4.1 จะไดf ′(A ; Y

v ) = AT (Yv ) = ∇ f(A) ⋅ Y

v ทุก Yv ∈ nR

โดยที่ ∇ f(A) = ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A))


ตัวอยาง 3.4.1 ให f(x, y) = 2x + 4xy + 4y

จงหาเวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด (2, 1)วิธีทาํ จาก f(x, y) = 2x + 4xy + 4y

จะได ∇ f(x, y) = ( xf∂∂ , y

f∂∂ )

= (2x + 4y, 4x + 4 3y )เพระฉะนั้นเวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด (2, 1)คือ ∇ f(2, 1) = (6, 8)

ตัวอยาง 3.4.2 ให f(x, y, z) = 2x 4y + 4xyz + 4x 2z

จงหาเวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด (1, 0, 2)วิธีทาํ จาก f(x, y, z) = 2x 4y + 4xyz + 4x 2z

จะได ∇ f(x, y, z)= ( x

f∂∂ , y

f∂∂ , z

f∂∂ )

= (2x 4y + 4yz + 4 3x 2z , 4 2x 3y + 4xz, 4xy + 2 4x z)เพระฉะนั้นเวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด (1, 0, 2)คือ ∇ f(1, 0, 2) = (16, 8, 4)

จากความรูเก่ียวกับฟงกชันของหนึ่งตัวแปรเราทราบวา ถา f มีอนุพันธที่จุด A แลว f จะมีความตอเนื่องที่จุด A สําหรับฟงกชันของหลายตัวแปร ขอความนี้ยังคงเปนจริงดังทฤษฎีบทตอไปนี้



และ A เปนจุดภายในของ Sถา f มีอนุพันธที่จุด A แลว f จะมีความตอเนื่องที่จุด Aบทพิสูจน เราตองแสดงวา

AXlim→

f(X) = f(A)เพราะวา f มีอนุพันธที่จุด Aเพราะฉะนั้นจากบทนิยาม 3.4.1 จะไดf(A + V) = f(A) + AT (V) + || V || AE (V) เมื่อ || V || < rโดยที่

O Vlim→

AE (V) = 0ถา V

v = Xv - A

v จะไดf(X) = f(A) + AT (X

v - A

v ) + || Xv - Av

|| AE (Xv

- Av )

= f(A) + ∇ f(A) ⋅ (Xv

- Av ) + || Xv - A

v || AE (X

v - A

v )= f(A) + ∇ f(A) ⋅ (X

v - A

v ) + || Vv || AE (Vv )

และ เมื่อ X → A จะได V → Oเพราะฉะนั้น

AXlim→

f(X) = f(A)

เพราะฉะนั้น f มีความตอเนื่องที่จุด A

หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 3.4.1 จะเห็นวาถา f มีอนุพันธที่จุด A แลว เราสามารถหา ∇ f(A) ไดเสมอแตในทางกลับกันมีบางฟงกชันที่ ∇ f(A) หาได แต f ไมมีอนุพันธที่จุด A


ตัวอยาง 3.4.3 ให f(x, y) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<+

−

=

>+

0xy2y2x

xy

0xy0

0xy2y2x

xy

เมื่อ

เมื่อ

เมื่อ

จงแสดงวา ∇ f(0, 0) หาได และ f ไมมีอนุพันธที่จุด (0, 0)วิธีทาํ x

f∂∂ (0, 0) =

0hlim→ h

)0 ,0(f)0 ,h(f − = 0

yf∂∂ (0, 0) =

0klim→ k

)0 ,0(f)k ,0(f − = 0เพราะฉะนั้น ∇ f(0, 0) = (0, 0)สมมติวา f มีอนุพันธที่จุด (0, 0)เพราะฉะนั้น1. มีฟงกชัน 0) (0,T : 2R → R ที่ทําให

0) (0,T ( 1c X + 2c Y) = 1c 0) (0,T (X) + 2c 0) (0,T (Y)ทุก X, Y ∈ 2R และ ทุกคา 1c , 2c ∈ R ... (1)

และ2. มีฟงกชัน 0) (0,E : 2R → R ที่ทําให

f((0, 0) + V) = f(0, 0) + 0) (0,T (V) + || V || 0) (0,E (V)ทุกคา || V || < rโดยที่

0) (0, Vlim→

0) (0,E (V) = 0 ... (2)

และ 0) (0,T (Yv ) = ∇ f(0, 0) ⋅Yv = 0 ทุก Y

v ∈ 2R

of 30


ให V = (x, y)เพราะวา 0) (0,E (V)

= 0) (0,E (x, y)= ||y) (x, ||

)y ,x(T)0 ,0(f))y ,x()0 ,0((f 0) (0,−−+

= ||y) (x, ||00)y ,x(f −−

= 22 yx

)y ,x(f+

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<+

−

=

>+

0xy2y2xxy

0xy0

0xy2y2xxy

เมื่อ

เมื่อ

เมื่อ

การแสดงวา )0 , 0()y ,x(

lim→

0) (0,E (x, y) ไมมีคา

ให 1S เปนเซตของจุดบนเสนตรง y = xและ 2S เปนเซตของจุดบนเสนตรง y = 2xเพราะฉะนั้น 1S = {(x, y) | y = x}และ 2S = {(x, y) | y = 2x}จะเห็นวา (0, 0) เปนจุดลิมิตของ 1S และ 2S


xy ; 1S )0 ,0()y ,x(

lim

=→

บน

0) (0,E (x, y) =

xy ; 1S )0 ,0()y ,x(

lim

=→

บน

22 yxxy+

=

xy ; 1S )0 ,0()y ,x(

lim

=→

บน

22 )x(x)x(x

+

= 21

2x y ; 2S )0 ,0()y ,x(

lim

=→

บน

0) (0,E (x, y) =

2x y ; 2S )0 ,0()y ,x(

lim

=→

บน

22 yxxy+

=

2x y ; 2S )0 ,0()y ,x(

lim

=→

บน

22 )x2(x)x2(x

+

= 52

เพราะฉะนั้น

1S )0 ,0()y ,x(

lim

บน→

0) (0,E (x, y) ≠

2S )0 ,0()y ,x(

lim

บน→

0) (0,E (x, y)

เพราะฉะนั้น )0 , 0()y ,x(

lim→

0) (0,E (x, y) ไมมีคา ... (3)

จาก (2) เราไดวา )0 , 0()y ,x(

lim→

0) (0,E (x, y) = 0 ... (4)

จะเห็นวา (3) และ (4) ขัดแยงกัน เพราะฉะนั้นที่สมมติวา f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธที่จุด (0, 0) ไมจริงเพราะฉะนั้น f ไมมีอนุพันธที่จุด (0, 0)


จากตัวอยาง 3.4.3 จะเห็นวา ถึงแมฟงกชัน f จะมีอนุพันธยอยที่จุด A แตฟงกชันนั้นอาจจะไมมีอนุพันธที่จุด A ก็ได

การตรวจสอบวา f มีอนุพันธที่จุด A ใชผลของทฤษฎีบทตอไปนี้


และ A เปนจุดภายในของ Dถา 1. มีจํานวนจริงบวก r ที่ทําให

1D f, 2D f, ... , nD f มีคาทุกจุดใน B(A ; r) ⊆ Dและ 2. 1D f, 2D f, ... , nD f มีความตอเนื่องที่จุด Aแลว f มีอนุพันธที่จุด A


และ A เปนจุดภายในของ Dถา 1. มีจํานวนจริงบวก r ที่ทําให 1D f, 2D f, ... , nD f

มีคาทุกจุดใน B(A ; r) ⊆ Dและ 2. 1D f, 2D f, ... , nD f มีความตอเนื่องที่จุด Aแลว เราจะกลาววา f มีอนุพันธอยางตอเนื่องที่จุด A

ขอสังเกต ฟงกชันพหุนามของ n ตัวแปรเปนฟงกชันที่หาอนุพันธยอยไดที่ทุกจุดใน nR

ตัวอยาง f(x, y) = 2x + 4xy + 4y

เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องที่ทุกจุดใน 2R


ตัวอยาง 3.4.4 ให f(x, y) = sin(2x + 3y) จงหา1. เวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด (x, y)2. เวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด ( 2

π , 3π)

3. อนุพันธของ f ที่จุด ( 2π , 3

π) เทียบกับเวกเตอร (4, 3)วิธีทาํ1. จาก f(x, y) = sin(2x + 3y)จะได ∇ f(x, y) = ( x

f∂∂ , y

f∂∂ )

= (2 cos(2x + 3y), 3 cos(2x + 3y))2. เวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด ( 2

π , 3π)

คือ ∇ f( 2π , 3

π) = (2, 3)3. อนุพันธของ f ที่จุด ( 2

π , 3π) เทียบกับเวกเตอร (4, 3) คือ

f ′(( 2π , 3

π) ; (4, 3)) = ∇ f( 2π , 3

π) ⋅ (4, 3)= (2, 3) ⋅ (4, 3)= 8 + 9= 17

of 30


ตัวอยาง 3.4.5 ให f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z + 8xyzจงหา 1. เวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด (x, y, z)

2. เวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด (-1, 0, 1)3. อนุพันธของ f ที่จุด (-1, 0, 1)

ในทิศทางของเวกเตอร (2, 3, 6)วิธีทาํ 1. จาก f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z + 8xyzจะได ∇ f(x, y, z) = ( x

f∂∂ , y

f∂∂ , y

z∂∂ )

= (2x + 8yz, 3 2y + 8xz, 4 3z + 8xy)2. เวกเตอรเกรเดียนตของ f ที่จุด (-1, 0, 1)

คือ ∇ f(-1, 0, 1) = (-2, -8, 4)3. อนุพันธของ f ที่จุด (-1, 0, 1)

ในทิศทางของเวกเตอร (2, 3, 6) คือf ′((-1, 0, 1) ;

222 6321

++(2, 3, 6))

= f ′((-1, 0, 1) ; 71(2, 3, 6))

= ∇ f(-1, 0, 1) ⋅ 71(2, 3, 6)

= (-2, -8, 4) ⋅ 71(2, 3, 6)

= 71(-4 - 24 + 24)

= -74


การหาคาสูงสุด และ คาต่าํสุด ของ f ′(A ; Yv )

จาก f ′(A ; Yv ) = ∇ f(A) ⋅Yv

= || ∇ f(A) || || Yv || cos θ

เมื่อ θ เปนมุมระหวาง ∇ f(A) กับ Yv

ให uv = ||Y||

Yvv

จะได f ′(A ; uv ) = ∇ f(A) ⋅uv

= || ∇ f(A) || || uv || cos θ

= || ∇ f(A) || (1) cos θ

= || ∇ f(A) || cos θ

เพราะฉะนั้น เราสรุปไดวา1. อนุพันธของฟงกชัน f ที่จุด A ในทิศทางของ Y

v

มีคามากที่สุด เทากับ || ∇ f(A) || เมื่อ θ = 0เพราะวา θ = 0 เมื่อ ∇ f(A) และ uv มีทิศทางเดียวกันเพราะฉะนั้น อนุพันธของฟงกชัน f ที่จุด A ในทิศทางของ Y

v

มีคามากที่สุด เทากับ || ∇ f(A) ||เมื่อ ∇ f(A) และ Y

v มีทิศทางเดียวกัน

เพราะฉะนั้นฟงกชัน f จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นมากที่สุด ในทิศทางของ ∇ f(A)และอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุดนั้นมีคา = || ∇ f(A) ||


2. อนุพันธของฟงกชัน f ที่จุด A ในทิศทางของ Yv

มีคานอยที่สุด เทากับ -|| ∇ f(A) || เมื่อ θ = π

เพราะวา θ = π เมื่อ ∇ f(A) และ uv มีทิศทางตรงกันขามเพราะฉะนั้น อนุพันธของฟงกชัน f ที่จุด A ในทิศทางของ Y

v

มีคานอยที่สุด เทากับ -|| ∇ f(A) ||เมื่อ ∇ f(A) และ Y

v มีทิศทางตรงกันขาม

เพราะฉะนั้นฟงกชัน f จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงลดลงนอยที่สุดในทิศทางของ -∇ f(A)และอัตราการเปลี่ยนแปลงที่นอยที่สุดนั้นมีคา = -|| ∇ f(A) ||

3. อนุพันธของฟงกชัน f ที่จุด A ในทิศทางของ Yv

มีคาเทากับ 0 เมื่อ θ = 2π

เพราะวา θ = 2π เมื่อ ∇ f(A) และ uv ตั้งฉากกัน

เพราะฉะนั้น อนุพันธของฟงกชัน f ที่จุด A ในทิศทางของ Yv

มีคาเทากับ 0 เมื่อ ∇ f(A) และ Yv ตั้งฉากกัน

เพราะฉะนั้นฟงกชัน f จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงเปน 0 ในทิศทางของที่ตั้งฉากกับ ∇ f(A)


ตัวอยาง 3.4.6 ให f(x, y) = x ye

จงหาทิศทางซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f มีคาลดลงนอยที่สุดที่จุด (-2, 0) และ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่นอยที่สุดนั้นวิธีทาํ ∇ f(x, y) = ( x

f∂∂ , y

f∂∂ ) = ( ye , x ye )

∇ f(-2, 0) = (1, -2)เพราะฉะนั้นฟงกชัน f จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงลดลงนอยที่สุดในทิศทางของ -∇ f(-2, 0) = (-1, 2)และอัตราการเปลี่ยนแปลงที่นอยที่สุด = -|| ∇ f(-2, 0) || = - 41+ = - 5

ตัวอยาง 3.4.7 ให f(x, y, z) = 2x 3y + 2yz จงหาทิศทางซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f มีคาเพ่ิมขึ้นมากที่สุดที่จุด(1, 1, -1) และจงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุดนั้นวิธีทาํ ∇ f(x, y, z) = (

xf∂∂ ,

yf∂∂ ,

zf∂∂ )

= (2x 3y , 3 2x 2y + 2z, 2y)เพราะฉะนั้น ∇ f(1, 1, -1) = (2, 1, 2)เพราะฉะนั้นฟงกชัน f จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นมากที่สุดในทิศทางของ ∇ f(1, 1, -1) = (2, 1, 2)และอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด = || ∇ f(1, 1, -1) || = 414 ++ = 3

of 30


แบบฝกหัด 3.41. จงหาเวกเตอรเกรเดียนตของฟงกชัน f ท่ีกําหนดใหตอไปนี้

1.1 f(x, y) = 2x 2y + 2xy + y xe 1.2 f(x, y) = ln( 2x + xy + 2y )1.3 f(x, y) = 2cos (2x + 3y) 1.4 f(x, y, z) = zy

yx++

2. จงหาอนุพันธของฟงกชัน f ท่ีจุด A ท่ีกําหนดให ในทิศทางของเวกเตอร Vv ท่ีกําหนดใหตอไปนี้

2.1 f(x, y) = 2x + 3xy + 4y ; A(1, 2) ; Vv = (3, 4)

2.2 f(x, y) = sin(x + y) cos(x - y) ; A( 3π , 4

π ) ; Vv = (-5, 12)

2.3 f(x, y) = x 2y yx − ; A(2, 1) ; Vv = ( 3 , 1)

3. กําหนดให f(x, y) = 3xy จงหาอนุพันธของ f ท่ีจุด (2, 2) ในทิศทางที่ทํามุม 45 องศากับแกน X ทางดานบวก

4. กําหนดให f(x, y) = 22

2

yxxy25+

จงหาอนุพันธของ f ท่ีจุด (1, 2) ในทิศทางจากจุด (2, 3) ไปยังจุด (5, 7)

5. กําหนดให f(x, y, z) = y4yzzx 22 ++

จงหาอนุพันธของ f ท่ีจุด (2, 1, 3) ในทิศทางจากจุด (1, 1, 1) ไปยังจุด (4, -1, -5)6. กําหนดให f(x, y, z) = 2x y ze จงหาอนุพันธของ f ท่ีจุด (1, 2, 0) เทียบกับเวกเตอร (3, -1, 2)7. กําหนดให f(x, y) = 4 2x y + ln(xy)

จงหาทิศทางซึ่งทําใหอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f มีคาเพ่ิมขึ้นมากที่สุดที่จุด (1, 1)และ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุดนั้น

8. กําหนดให f(x, y) = 22 yx

x

+

จงหาทิศทางซึ่งทําใหอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f มีคาลดลงนอยที่สุดที่จุด (3, 4)และ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่นอยที่สุดนั้น

9. กําหนดให f(x, y) = sin(x + 2y)cos(2x + y)จงหาทิศทางซึ่งทําใหอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f มีเทากับศูนยท่ีจุด ( 6

π , 2π )

10. กําหนดให f(x, y, z) = xy zxy + )จงหาทิศทางซึ่งทําใหอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f มีคาเพ่ิมขึ้นมากที่สุดที่จุด (1, 1, 3)และ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุดนั้น

11. กําหนดให f(x, y, z) = xy + ln( 2x + 2y 2z )จงหาทิศทางซึ่งทําใหอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f มีคาลดลงนอยที่สุดที่จุด (1, 1, 1)และ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่นอยที่สุดนั้น

เฉลยแบบฝกหัด 3.4

1. 1.1 ∇ f = (2x 2y + 2y + y xe , 2 2x y + 2x + xe ) 1.2 ∇ f = ( 22 yxyxyx2++

+ , 22 yxyxy2x++

+ )

1.3 ∇ f = (-4 cos(2x + 3y) sin(2x + 3y), -6 cos(2x + 3y) sin(2x + 3y))1.4 ∇ f = ( zy

1+

, 2)zy(zx

++− , 2)zy(

yx+

−− )

2. 2.1 5164 2.2 26

5 2.3 23 + 3

3. 2 2 4. 552 5. - 7

5 6. 15

7. (9, 5), 106 8. (-16, 12), - 254 9. (-7, 5) หรือ (7, -5) 10. (9, 9, 1), 4

163

11. (-2, -2, -1), -3

of 30


3.7 อนุพันธยอยของฟงกชันที่นิยามโดยปริยายการหาอนุพันธยอยของฟงกชันในหัวขอที่ผานมาฟงกชันที่ตองการหาอนุพันธยอยเปนฟงกชันที่กําหนดสูตรในรูปแบบที่แนนอน เชนz = 2x + 2y + xy หรือ w = x + y + zแลวแตวาตัวแปรใดจะเปนตัวแปรตามหรือตัวแปรอิสระแตในหัวขอนี้จะกําหนดฟงกชัน z เปนฟงกชันของ x, yในรูปสมการ F(x, y, z) = c ... (*)(c เปนคาคงตัว)ซึ่งแสดงความสัมพันธระหวางตัวแปร x, y และ z มาใหจากสมการ (*) นั้น เราจะเขียน z ในรูปของ x, yบางครั้งก็คอนขางยาก ตัวอยางเชน

3x + 2y + z + 6 = 0 ... (1) 2z = 2x + 2y ... (2)

ถาให z เปนฟงกชันของ x, yเราจะหาสูตรของฟงกชันในรูป z = f(x, y)จากสมการ (1) เขียน z ในพจนของ x, y ไดเปน

z = 6 - 3x - 2yเพราะฉะนั้น สูตรของฟงกชันคือ z = f(x, y) = 6 - 3x - 2yจากสมการ (2) เขียน z ในพจนของ x, y ไดเปน

z = ± 22 yx +

เพราะฉะนั้น จากสมการที่กําหนดนี้เขียนสูตรของฟงกชันไดแบบ


ใดแบบหนึ่งในสองแบบ คือ1f (x, y) = 22 yx +

และ 2f (x, y) = - 22 yx +

เพราะฉะนั้น ถา x, y และ z มีความสัมพันธในรูปF(x, y, z) = c เมื่อ c เปนคาคงตัวโดยนิยาม z เปนฟงกชันของ x และ yเราจะกลาววา z เปนฟงกชันที่นิยามโดยปริยาย (implicit function)ดวยสมการ F(x, y, z) = cและถาเราเขียนสมการใหอยูในรูปแบบ z = f(x, y)เราจะเรียก z วาเปนฟงกชันที่นิยามโดยชัดแจง (explicit function)

ในหัวขอนี้เราจะศึกษาเกี่ยวกับ การหาอนุพันธยอยของฟงกชันของหลายตัวแปร ซึ่งนิยามโดยปริยายโดยไมจําเปนตองเขียนสูตรฃองฟงกชันออกมาอยางชัดแจง เชน


ตัวอยาง 3.7.1 ให z เปนฟงกชัน f(x, y) ที่นิยามโดยปริยายดวยสมการ 2x + xyz - 2z 2y = 1จงหา x

z∂∂ และ y

z∂∂ ที่จุด (x, y, z) ใด ๆ และที่จุด (1, 2, 0)

วิธีทาํ จาก 2x + xyz - 2z 2y = 1จะได x∂

∂ ( 2x + xyz - 2z 2y ) = 0 x∂∂ 2x + x∂

∂ (xyz) - x∂∂ ( 2z 2y ) = 0

2x + yz + xy xz∂∂ - 2y 2z x

z∂∂ = 0

xz∂∂ (xy - 2 2y z) = -2x - yz

xz∂∂ =

zy2xyyzx22−

−−

เพราะฉะนั้น ที่จุด (1, 2, 0) จะได xz∂∂ = -1

จาก 2x + xyz - 2z 2y = 0จะได y∂

∂ ( 2x + xyz - 2z 2y ) = 0 y∂∂ 2x + y∂

∂ (xyz) - y∂∂ ( 2z 2y ) = 0

xz + xy yz∂∂ - 2y 2z y

z∂∂ - 2y 2z = 0

yz∂∂ (xy - 2 2y z) = -xz + 2y 2z

yz∂∂ =

zy2xyyz2xz2

2

−+−

เพราะฉะนั้น ที่จุด (1, 2, 0) จะได yz∂∂ = 0


การหาอนุพันธยอย xz∂∂ และ y

z∂∂ ของฟงกชันที่นิยามโดยปริยาย

ทําไดอีกวิธีหนึ่งดังนี้ให F(x, y, z) = 0 ... (1)เปนความสัมพันธของตัวแปร x, y, zที่นิยาม z = f(x, y) โดยปริยายแทนคา z = f(x, y) ใน (1) จะได

F(x, y, f(x, y)) = 0 ... (2)ให g(x, y) = F(x, y, f(x, y))

1u (x, y) = x2u (x, y) = y3u (x, y) = f(x, y) = z

เพราะฉะนั้น g(x, y) = F( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) = 0โดยกฎลูกโซจะได x

g∂∂ =

1uF

∂∂ ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) x

u1∂∂ (x, y)

+

2uF

∂∂ ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) x

u2∂∂ (x, y)

+

3uF

∂∂ ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) x

u3∂∂ (x, y) ... (3)

เพราะวา xg∂∂ (x, y) = 0 x

u1∂∂ (x, y) = 1

xu2∂∂ (x, y) = 0 x

u3∂∂ (x, y) = x

f∂∂ (x, y)

1uF

∂∂ = x

F∂∂

2uF

∂∂ = y

F∂∂

3uF

∂∂ = z

F∂∂

of 30


โดยกฎลูกโซจะได0 = x

F∂∂ ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))(1)

+ yF∂∂ ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))(0)

+ zF∂∂ ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) x

f∂∂ (x, y)

0 = xF∂∂ (x, y, f(x, y)) + 0 + z

F∂∂ (x, y, f(x, y)) x

f∂∂ (x, y)

0 = xF∂∂ (x, y, z) + z

F∂∂ (x, y, z) x

f∂∂ (x, y)

เพราะฉะนั้น xf∂∂ (x, y) = -

)z ,y ,x(zF

)z ,y ,x(xF

∂∂∂∂

เมื่อ zF∂∂ (x, y, z) ≠ 0

หรือโดยยอ xf∂∂ = -

zFxF

∂∂∂∂

เมื่อ zF∂∂ ≠ 0

ในทํานองเดียวกัน

เพราะฉะนั้น yf∂∂ (x, y) = -

)z ,y ,x(zF

)z ,y ,x(yF

∂∂∂∂

เมื่อ zF∂∂ (x, y, z) ≠ 0

หรือโดยยอ yf∂∂ = -

zFyF

∂∂∂∂

เมื่อ zF∂∂ ≠ 0

หมายเหตุ การหาคา xF∂∂ , y

F∂∂ , z

F∂∂ ในการคํานวณขางตน เรา

คํานวณโดยพิจารณาวา F เปนฟงกชันของตัวแปรอิสระ x, y, zโดยไมตองคิดวา z เปนฟงกชันของ x, y


โดยใชแนวคิดขางตนกับ ตัวอยาง 3.7.1ให F(x, y, z) = 2x + xyz - 2z 2y - 1 = 0 x

F∂∂ = 2x + yz, y

F∂∂ = xz - 2y 2z , z

F∂∂ = xy - 2 2y z

เพราะฉะนั้น ที่จุด (1, 2, 0)

xz∂∂ = -

zFxF

∂∂∂∂

= -zy2xy

yzx22−

+ = -1, y

z∂∂ = -

zFyF

∂∂∂∂

= -zy2xy

yz2xz2

2

−−

= 0

ในกรณีทั่วไปเราสรุปเปนทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฎีบท 3.7.1 ให F : D → R เมื่อ D ⊆ nR

ให F( 1x , 2x , ... , nx ) = 0 และนิยาม nx

เปนฟงกชันที่นิยามโดยปริยายของตัวแปร 1x , 2x , ... , 1nx −

โดย nx = f( 1x , 2x , ... , 1nx − )เมื่อ f : S → R เมื่อ S ⊆ 1nR −

ถา f มีอนุพันธที่จุด ( 1y , 2y , ... , 1ny − ) และF มีอนุพันธที่จุด ( 1y , 2y , ... , 1ny − , f( 1y , 2y , ... , 1ny − ))

แลว kx

f∂∂ = -

n

k

xF

xF

∂∂∂∂

เมื่อ kx

F∂∂ มีคาทุกคา k = 1, 2, ... , n - 1 และ

nxF

∂∂ ≠ 0

ที่จุด ( 1y , 2y , ... , 1ny − , f( 1y , 2y , ... , 1ny − ))


ตัวอยาง 3.7.2 ให w = f(x, y, z) ที่นิยามโดยปริยายดวยสมการ xyz + 2yzw + 4zwx + 20 = 0จงหา x

w∂∂ , y

w∂∂ และ z

w∂∂ ที่จุด (x, y, z, w) ใด ๆ

และที่จุด (1, 2, -2, 1)วิธีทาํ F(x, y, z, w) = xyz + 2yzw + 4zwx + 20 = 0

xF∂∂ = yz + 4zw y

F∂∂ = xz + 2zw

zF∂∂ = xy + 2yw + 4wx w

F∂∂ = 2yz + 4zx

เพราะฉะนั้น ที่จุด (x, y, z, w)

จะได xw∂∂ = -

wFxF

∂∂∂∂

= - zx4yz2zw4yz

++

yw∂∂ = -

wFyF

∂∂∂∂

= - zx4yz2zw2xz

++

zw∂∂ = -

wFzF

∂∂∂∂

= - zx4yz2wx4yw2xy

+++

เพราะฉะนั้น ที่จุด (1, 2, -2, 1) จะได

xw∂∂ = -

wFxF

∂∂∂∂

= - 1612

−− = -4

3 , yw∂∂ = -

wFyF

∂∂∂∂

= - 166

−− = -8

3

zw∂∂ = -

wFzF

∂∂∂∂

= - 1610−

= 85


จาโคเบียน ของการเปลี่ยนตัวแปรบทนิยาม 3.7.1 ให 1f , 2f , ... , nf เปนฟงกชันของตัวแปร 1x , 2x , ... , nx และ อนุพันธยอย

ji

xf

∂∂ มีคา

ทุกคา i = 1, 2, ... , n และ j = 1, 2, ... , nจาโคเบียนดีเทอรมิแนนท ของ 1f , 2f , ... , nf

หรือเรียกโดยยอวา จาโคเบียน ของ 1f , 2f , ... , nf

เทียบกับตัวแปร 1x , 2x , ... , nx

หมายถึงคาของ ดีเทอรมิแนนท

xf...x

fxf

::::xf...x

fxf

xf...x

fxf

nn

2n

1n

n2

22

12

n1

21

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

สัญลักษณที่ใชแทนจาโคเบียน ของ 1f , 2f , ... , nf

เทียบกับตัวแปร 1x , 2x , ... , nx แทนดวย )x, ... , x,x()f, ... ,f ,f(

n21n21

∂∂

เพราะฉะนั้น )x, ... , x,x()f, ... ,f ,f(

n21n21

∂∂ =

xf...x

fxf

::::xf...x

fxf

xf...x

fxf

nn

2n

1n

n2

22

12

n1

21

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

of 30


ตัวอยาง 3.7.3 ให 1f ( 1x , 2x ) = 2 1x + 3 2x

และ 2f ( 1x , 2x ) = 5 1x - 4 2x

จงหา จาโคเบียน ของ 1f , 2f เทียบกับตัวแปร 1x , 2x

วิธีทาํ เพราะวา 1f ( 1x , 2x ) = 2 1x + 3 2x

และ 2f ( 1x , 2x ) = 5 1x - 4 2x

เพราะฉะนั้นจาโคเบียน ของ 1f , 2f เทียบกับตัวแปร 1x , 2x

) x,x()f ,f(

2121

∂∂ =

xf

xf

xf

xf

22

12

21

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= 453 2 − = (2)(-4) - (3)(5) = -8 - 15 = -23

ตัวอยาง 3.7.4 ให x = r cos θ และ y = r sin θจงหาจาโคเบียน ของ x, y เทียบกับตัวแปร r, θวิธีทาํ x = 1f (r, θ) = r cos θและ y = 2f (r, θ) = r sin θจาโคเบียนของ x, y เทียบกับตัวแปร r, θ

) ,r()y ,x(

θ∂∂ = ) ,r(

)f ,f( 21θ∂

∂

= sinrsinrr

cosrcosrr θ

θ∂∂θ

∂∂

θθ∂∂θ

∂∂

= cosrsinsinrcos θθ

θ−θ

= r 2cos θ + r 2sin θ = r


กรณีศึกษา แบบที่ 1.การหาอนุพันธยอยสําหรับฟงกชันที่นิยามโดยปริยายในกรณีที่เรามีสมการ 2 สมการ แตมีตัวแปร 3 ตัวแปรโดยมีz เปนตัวแปรอิสระx, y เปนตัวแปรตาม กําหนดโดยสมการ

F(x, y, z) = 0 ... (1)G(x, y, z) = 0 ... (2)

กรณีที่ 1.ในกรณีที่เราสามารถแกสมการจากสมการ (1) และ (2)

ไดคา x ในเทอมของ z กลาวคือ x = X(z)และ ไดคา y ในเทอมของ z กลาวคือ y = Y(z)เราก็จะหา dz

d X(z) และ dzd Y(z) ได

กรณีที่ 2.ในกรณีที่เราไมสามารถแกสมการจากสมการ (1) และ (2)หาสูตร x = X(z) และ y = Y(z) ไดการหา dz

d X(z) และ dzd Y(z) ใหใชแนวทางดังตอไปนี้

ให g(z) เปนฟงกชันที่กําหนดโดยg(z) = (X(z), Y(z), z)

เพราะฉะนั้นจาก (1) จะได F(x, y, z) = F(X(z), Y(z), z) = F(g(z))


และ dzd F(g(z)) = dz

d F(x, y, z)= x

F∂∂

dzd X(z) + y

F∂∂

dzd Y(z) + z

F∂∂

หมายเหตุ การหา xF∂∂ ใหคิดวา y, z เปนคาคงตัว

การหา yF∂∂ ใหคิดวา x, z เปนคาคงตัว

การหา zF∂∂ ใหคิดวา x, y เปนคาคงตัว

เพราะวา F(x, y, z) = 0เพราะฉะนั้น

xF∂∂

dzd X(z) + y

F∂∂

dzd Y(z) = - z

F∂∂ ... (3)

เพราะฉะนั้นจาก (2) จะได G(x, y, z) = G(X(z), Y(z), z)

= G(g(z))และ dz

d G(g(z)) = dzd G(x, y, z)

= xG∂∂

dzd X(z) + y

G∂∂

dzd Y(z) + z

G∂∂

หมายเหตุการหา x

G∂∂ ใหคิดวา y, z เปนคาคงตัว

การหา yG∂∂ ใหคิดวา x, z เปนคาคงตัว

การหา zG∂∂ ใหคิดวา x, y เปนคาคงตัว

เพราะวา G(x, y, z) = 0เพราะฉะนั้น x

G∂∂

dzd X(z) + y

G∂∂

dzd Y(z) = - z

G∂∂ ... (4)


จาก (3) และ (4) โดยใชกฎของคราเมอรกับระบบสมการ 2 ตัวแปร

xF∂∂

dzd X(z) + y

F∂∂

dzd Y(z) = - z

F∂∂ ... (3)

xG∂∂

dzd X(z) + y

G∂∂

dzd Y(z) = - z

G∂∂ ... (4)

หมายเหตุ ตัวแปรในที่นี้คือdzd X(z) และ dz

d Y(z))เมื่อ )y,x(

)G,F(∂∂ ≠ 0

จะได

dzd X(z) =

yG

xG

yF

xF

yG

zG

yF

zF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

= -

yG

xG

yF

xF

yG

zG

yF

zF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - )y ,x()G ,F()y ,z()G ,F(

∂∂∂∂

และ

dzd Y(z) =

yG

xG

yF

xF

zG

xG

zF

xF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

= -

yG

xG

yF

xF

zG

xG

zF

xF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - )y ,x()G ,F()z ,x()G ,F(

∂∂∂∂

of 30


ตัวอยาง 3.7.5 ให x เปนฟงกชันของ z และ yเปนฟงกชันของ z ที่นิยามโดยปริยายดวยสมการ

2x + 2xz + 2y = 0และ 2z + xyz + 3y = 0 จงหา dz

dx และ dzdy

วิธีทาํ ให F(x, y, z) = 2x + 2xz + 2y = 0G(x, y, z) = 2z + xyz + 3y = 0

dzd X(z) = -

)y ,x()G ,F()y ,z()G ,F(

∂∂∂∂

= -

yG

xG

yF

xF

yG

zG

yF

zF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= -

y3xzyzy2z2x2

y3xzxyz2

y2x2

2

2

++

++

= -)yz)(y2()y3xz)(z2x2()xyz2)(y2()y3xz)(x2(

2

2

−+++−+

= 2222

22

zy4xz2xy6zx2yz4xy4zx2+++

+−−

dzd Y(z) = -

)y ,x()G ,F()z ,x()G ,F(

∂∂∂∂

= -

yG

xG

yF

xF

zG

xG

zF

xF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= -

y3xzyzy2z2x2

xyz2yzx2z2x2

2++

++

= -)yz)(y2()y3xz)(z2x2()yz)(x2()xyz2)(z2x2(

2 −++−++

= 2222

22

zy4xz2xy6zx2z4yx2xz4+++

−−−


กรณีศึกษาแบบที่ 2.สมมติให u, v เปนตัวแปรตาม และ x, y เปนตัวแปรอิสระโดยกําหนดฟงกชันนิยามโดยปริยายเปน

F(x, y, u, v) = 0 ... (1)G(x, y, u, v) = 0 ... (2)

ให u = U(x, y) และ v = V(x, y)กรณีที่ 1.ในกรณีที่เราสามารถแกสมการจากสมการ (1) และ (2)

ไดคา u ในเทอมของ x, y กลาวคือ u = U(x, y)และ ไดคา v ในเทอมของ x, y กลาวคือ v = V(x, y)เราก็จะหา x

U∂∂ , y

U∂∂ , x

V∂∂ , y

V∂∂ ได

กรณีที่ 2.ในกรณีที่เราไมสามารถแกสมการ (1) และ (2) เพ่ือหาสูตรของu = U(x, y) และ v = V(x, y) เราสามารถหาอนุพันธยอย

xU∂∂ , y

U∂∂ , x

V∂∂ , y

V∂∂ โดยใชแนวคิดดังนี้

ให f(x, y) = F(x, y, U(x, y), V(x, y)) ... (3)g(x, y) = G(x, y, U(x, y), V(x, y)) ... (4)

เพราะฉะนั้นเราหาอนุพันธยอยของ f, g เทียบกับ x, y ไดให 1u (x, y) = x, 2u (x, y) = y,

3u (x, y) = U(x, y), 4u (x, y) = V(x, y)


เพราะฉะนั้น xu1∂∂ = 1 x

u2∂∂ = 0

xu3∂∂ = x

U∂∂

xu4∂∂ = x

V∂∂

เพราะฉะนั้นจาก (3) และ (4) จะไดf(x, y) = F( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y), 4u (x, y)) = 0g(x, y) = G( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y), 4u (x, y)) = 0หรือเขียนโดยยอเปน

f = F( 1u , 2u , 3u , 4u ) ... (5)g = G( 1u , 2u , 3u , 4u ) ... (6)

จาก (5) จะได x

f∂∂ =

1uF

∂∂

xu1∂∂ +

2uF

∂∂

xu2∂∂ +

3uF

∂∂

xu3∂∂ +

4uF

∂∂

xu4∂∂

0 = 1u

F∂∂ (1) +

2uF

∂∂ (0) +

3uF

∂∂

xU∂∂ +

4uF

∂∂

xV∂∂

0 = xF∂∂ (1) + y

F∂∂ (0) + u

F∂∂

xU∂∂ + v

F∂∂

xV∂∂

uF∂∂

xU∂∂ + v

F∂∂

xV∂∂ = - x

F∂∂ ... (7)

จาก (6) จะได x

g∂∂ =

1uG

∂∂

xu1∂∂ +

2uG

∂∂

xu2∂∂ +

3uG

∂∂

xu3∂∂ +

4uG

∂∂

xu4∂∂

0 = 1u

G∂∂ (1) +

2uG

∂∂ (0) +

3uG

∂∂

xU∂∂ +

4uG

∂∂

xV∂∂

0 = xG∂∂ (1) + y

G∂∂ (0) + u

G∂∂

xU∂∂ + v

G∂∂

xV∂∂

uG∂∂

xU∂∂ + v

G∂∂

xV∂∂ = - x

G∂∂ ... (8)


พิจารณาสมการ (7) และ (8)เปนระบบสมการ 2 ตัวแปร x

U∂∂ , x

V∂∂ 2 สมการ

uF∂∂

xU∂∂ + v

F∂∂

xV∂∂ = - x

F∂∂ ... (7)

uG∂∂

xU∂∂ + v

G∂∂

xV∂∂ = - x

G∂∂ ... (8)

เมื่อ vG

uG

vF

uF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

≠ 0 โดยกฎของคราเมอรจะได

xu∂∂ = x

U∂∂ = -

vG

uG

vF

uF

vG

xG

vF

xF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= -)v,u()G,F()v,x()G,F(

∂∂∂∂

และ xv∂∂ = x

V∂∂ = -

vG

uG

vF

uF

xG

uG

xF

uF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= -)v,u()G,F()x,u()G,F(

∂∂∂∂

of 30


ในทํานองเดียวกัน จะได

yu∂∂ = y

U∂∂ = -

vG

uG

vF

uF

vG

yG

vF

yF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= -)v,u()G,F()v,y()G,F(

∂∂∂∂

และ yv∂∂ = y

V∂∂ = -

vG

uG

vF

uF

yG

uG

yF

uF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= -)v,u()G,F()y,u()G,F(

∂∂∂∂

เมื่อ vG

uG

vF

uF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

≠ 0


ตัวอยาง 3.7.6 ให u, v เปนฟงกชันของ x, yนิยามโดยปริยายดวยสมการ

2x + 2y + uv = 0 ... (1)และ 2y + 3x + u + v = 0 ... (2)จงหา x

u∂∂ , x

v∂∂ , y

u∂∂ และ y

v∂∂

วิธีทาํ แบบที่ 1. ใชผลของสูตรขางตนให F(x, y, u, v) = 2x + 2y + uv

G(x, y, u, v) = 2y + 3x + u + vเพราะฉะนั้น

xu∂∂ = -

)v,u()G,F()v,x()G,F(

∂∂∂∂

= -

vG

uG

vF

uF

vG

xG

vF

xF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 11

uv

13ux2

= - uvu3x2

−− เมื่อ v - u ≠ 0


ในทํานองเดียวกัน เมื่อ v - u ≠ 0 จะได

xv∂∂ = -

)v,u()G,F()x,u()G,F(

∂∂∂∂

= -

vG

uG

vF

uF

xG

uG

xF

uF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 11

uv

31x2v

= - uvx2v3

−−

yu∂∂ = -

)v,u()G,F()v,y()G,F(

∂∂∂∂

= -

vG

uG

vF

uF

vG

yG

vF

yF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 11

uv

1y2u2

= - uvyu22

−−

yv∂∂ = -

)v,u()G,F()y,u()G,F(

∂∂∂∂

= -

vG

uG

vF

uF

yG

uG

yF

uF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 11

uv

y212v

= - uv2yv2

−−


แบบที่ 2. ใชการหาอนุพันธยอยและการจัดรูปพีชคณิตจาก (1) หาอนุพันธยอยเทียบกับ x

2x + 2y + uv = 0 x∂

∂ ( 2x + 2y + uv) = 0

x∂∂ ( 2x ) + x∂

∂ (2y) + x∂∂ (uv) = 0

2x + 0 + v xu∂∂ + u x

v∂∂ = 0

v xu∂∂ + u x

v∂∂ = -2x ... (3)

จาก (2) หาอนุพันธยอยเทียบกับ x 2y + 3x + u + v = 0

x∂∂ ( 2y + 3x + u + v) = 0

x∂∂ ( 2y ) + x∂

∂ (3x) + xu∂∂ + x

v∂∂ = 0

0 + 3 + xu∂∂ + x

v∂∂ = 0

xu∂∂ + x

v∂∂ = -3 ... (4)

จาก (3) และ (4) และดวยการใชกฎของคราเมอรจะได

xu∂∂ =

11uv

13ux2 −

−

= - 11

uv

13ux2

= - uvu3x2

−− เมื่อ v - u ≠ 0

xv∂∂ =

11uv

31x2v −

−

= - 11

uv

31x2v

= - uvx2v3

−− เมื่อ v - u ≠ 0

of 30


จาก (1) หาอนุพันธยอยเทียบกับ y 2x + 2y + uv = 0

y∂∂ ( 2x + 2y + uv) = 0

y∂∂ ( 2x ) + y∂

∂ (2y) + y∂∂ (uv) = 0

0 + 2 + v yu∂∂ + u y

v∂∂ = 0

v yu∂∂ + u y

v∂∂ = -2 ... (5)

จาก (2) หาอนุพันธยอยเทียบกับ y 2y + 3x + u + v = 0

y∂∂ ( 2y + 3x + u + v) = 0

y∂∂ ( 2y ) + y∂

∂ (3x) + yu∂∂ + y

v∂∂ = 0

2y + 0 + yu∂∂ + y

v∂∂ = 0

yu∂∂ + y

v∂∂ = -2y ... (6)

จาก (5) และ (6) และดวยการใชกฎของคราเมอรจะได

yu∂∂ =

11uv

1y2u2 −

−

= - 11

uv

1y2u2

= - uvyu22

−− เมื่อ v - u ≠ 0

yv∂∂ =

11uv

y212v −

−

= - 11

uv

y212v

= - uv2yv2

−− เมื่อ v - u ≠ 0


ทฤษฎีบท 3.7.2กรณีทั่วไปสําหรับตัวแปรอิสระ 1x , 2x , ... , nx

และ ตัวแปรตาม 1y , 2y , ... , my และ n ≤ mนิยามฟงกชันโดยปริยายดวยสมการ m สมการ

1F ( 1x , 2x , ... , nx , 1y , 2y , ... , my ) = 0 ... (1)2F ( 1x , 2x , ... , nx , 1y , 2y , ... , my ) = 0 ... (2)

:mF ( 1x , 2x , ... , nx 1y , 2y , ... , my ) = 0 ... (m)

ให 1y = 1y ( 1x , 2x , ... , nx )2y = 2y ( 1x , 2x , ... , nx )

:my = my ( 1x , 2x , ... , nx )

สําหรับ i = 1, 2, ... , m และ j = 1, 2, ... , n และ n ≤ m

จะได ji

xy∂∂ = -

)y , ... , y,y ,y,...,y,y()F , ... , F ,F ,F , ... , F , F(

)y , ... ,y, x ,y,...,y,y()F , ,...F ,F ,F, ... ,F ,F(

m1ii1i21

m1ii1-i21m1ij1i21

m1ii1-i21

+−

++−

+

∂∂

∂∂

เมื่อ )y , ... , y,y ,y,...,y,y()F , ... , F ,F ,F , ... , F , F(

m1ii1i21

m1ii1-i21

+−

+

∂∂ ≠ 0


ตัวอยาง 3.7.7 ให u, v เปนฟงกชันของ x, y, zนิยามโดยปริยายดวยสมการ

2x + 3y + 2z + uv = 0 ... (1)และ 3x + 7y + 3z + 2u + 3v = 0 ... (2)จงหา x

v∂∂ , y

v∂∂ , z

v∂∂ , x

u∂∂ , y

u∂∂ , z

u∂∂

วิธีทาํให 1F (x, y, z, u, v) = 2x + 3y + 2z + uvและ 2F (x, y, z, u, v) = 3x + 7y + 3z + 2u + 3vโดยทฤษฎีบท 3.7.2 จะได

xv∂∂ = -

v)u,()F,F(

x),u()F,F(

21

21

∂∂∂∂

= -

vF

uF

vF

uF

xF

uF

xF

uF

22

11

22

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 32

uv

322v

= - u2v34v3

−− เมื่อ 3v - 2u ≠ 0


ในทํานองเดียวกัน เมื่อ 3v - 2u ≠ 0 จะได

yv∂∂

= - v)u,(

)F,F(y) ,u(

)F,F(

21

21

∂∂∂∂

= -

vF

uF

vF

uF

yF

uF

yF

uF

22

11

22

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 32

uv

723v

= - u2v36v7

−−

zv∂∂

= - v)u,(

)F,F(z) ,u(

)F,F(

21

21

∂∂∂∂

= -

vF

uF

vF

uF

zF

uF

zF

uF

22

11

22

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 32

uv

322zv

= - u2v3z4v3

−−

xu∂∂

= - v)u,(

)F,F( v)x,(

)F,F(

21

21

∂∂∂∂

= -

vF

uF

vF

uF

vF

xF

vF

xF

22

11

22

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 32

uv

33u2

= - u2v3u36

−−

of 30


yu∂∂

= - v)u,(

)F,F( v),y(

)F,F(

21

21

∂∂∂∂

= -

vF

uF

vF

uF

vF

yF

vF

yF

22

11

22

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 32

uv

37u3

= - u2v3u79

−−

zu∂∂

= - v)u,(

)F,F( v),z(

)F,F(

21

21

∂∂∂∂

= -

vF

uF

vF

uF

vF

zF

vF

zF

22

11

22

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= - 32

uv

33u2z

= - u2v3u3z6

−−


ตัวอยาง 3.7.8 ให u, v, w เปนฟงกชันของ x, y, zนิยามโดยปริยายดวยสมการ

x + 2y + 3z + 5u + v + 2w = 0 ... (1) 4x + 2y + 5z + uv + w = 0 ... (2)

และ 2x + 4y + 5z + u + 2v + 5w = 0 ... (3)จงหา x

u∂∂

วิธีทาํ ให 1F (x, y, z, u, v, w) = x + 2y + 3z + 5u + v + 2w2F (x, y, z, u, v, w) = 4x + 2y + 5z + uv + w3F (x, y, z, u, v, w) = 2x + 4y + 5z + u + 2v + 5w

โดยทฤษฎีบท 3.7.2 จะได

เมื่อ 23u - v - 9 ≠ 0 จะได xu∂∂ = -

w), vu,()F,F,F(

w) v,x,()F,F,F(

321

321

∂∂∂∂

= -

wF

vF

uF

wF

vF

uF

wF

vF

uF

wF

vF

xF

wF

vF

xF

wF

vF

xF

333

222

111

333

222

111

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= -

5211uv215

5221u4211

= - 9vu234u−−

−


ตัวอยาง 3.7.9 ให z เปนฟงกชันของ x, y นิยามโดยปริยายดวยสมการ x + 2y + 4z = 0 ... (1)และ u เปนฟงกชันของ x, y, z นิยามโดยปริยายกําหนดดวยสมการ 4x + 3y + 3z + 4u = 0 ... (2)จงหา x

u∂∂ และ y

u∂∂ โดยใชกฎลูกโซ

วิธีทาํ จากสมการ (1) ให F(x, y, z) = x + 2y + 4z

จะได xz∂∂ = -

zFxF

∂∂∂∂

= - 3z41 ... (3)

และ yz∂∂ = -

zFyF

∂∂∂∂

= - 3z4y2 ... (4)

การหา xu∂∂

จากสมการ (2) จะได x∂∂ ( 4x + 3y + 3z + 4u ) = 0

4 3x + 0 + 3 2z xz∂∂ + 4 3u x

u∂∂ = 0

4 3x + 3 2z xz∂∂ + 4 3u x

u∂∂ = 0

จากสมการ (3) จะได 4 3x + 3 2z (- 3z41 ) + 4 3u x

u∂∂ = 0

4 3x - z43 + 4 3u x

u∂∂ = 0

เพราะฉะนั้น xu∂∂ = 3

3

u4z4

3x4 +−

= zu16

3zx163

3 +−


การหา yu∂∂

จากสมการ (2) จะได y∂∂ ( 4x + 3y + 3z + 4u ) = 0

0 + 3 2y + 3 2z yz∂∂ + 4 3u y

u∂∂ = 0

3 2y + 3 2z yz∂∂ + 4 3u y

u∂∂ = 0

จากสมการ (4) จะได 3 2y + 3 2z (- 3z4

y2 ) + 4 3u yu∂∂ = 0

3 2y - z23 y + 4 3u y

u∂∂ = 0

yu∂∂ = 3

2

u4

yz23y3 +−

= zu8

y3zy63

2 +−

of 30


แบบฝกหัด 3.7

1. กําหนดให y เปนฟงกชัน x ท่ีนิยามโดยปริยาย จงหาสูตร dxdy และคา dx

dy ท่ีจุดกําหนดให1.1 2x + 4xy + 2y = -2 ท่ีจุด (1, -1)1.2 sin(x + 2y) + cos(2x + y) = 1 ท่ีจุด ( 6

π , 6π )

2. กําหนดให z เปนฟงกชันของตัวแปร x, y ท่ีนิยามโดยปริยายจงหาสูตร x

z∂∂ และ y

z∂∂ และคาของ x

z∂∂ และ y

z∂∂ ท่ีจุดกําหนด

2.1 2x + 2 2y + 2z + 3xyz - 4 = 0 ท่ีจุด (1, 2, -1)2.2 sin(x + z) + cos(y + 2z) = 1 ท่ีจุด ( 3

π , 6π , 6

π )

2.3 zyzx

++ + zx

zy++ = 2

5 ท่ีจุด (6, 1, 4)

2.4 yx + z

y + xz = 5 ท่ีจุด (1, 2, 4)

2.5 z xe + 2z ye + xy = 3 ท่ีจุด (0, 0, 1)

3. กําหนดให x, y เปนฟงกชันของ z ท่ีนิยามโดยปริยายดวยสมการจงหาสูตรของ dz

dx และ dzdy ท่ีจุดใด ๆ และคาของ dz

dx และ dzdy ท่ีจุดกําหนดให

3.1 2x + 2y + z = 4 และ 2x + 3y + 4z = 13 ท่ีจุด (1, 1, 2)3.2 xy + z + x = 4 และ xz + xy - x = 2 ท่ีจุด (1, 2, 1)3.3 2x + 2y + z = 4 และ x + 2y + z = 3 ท่ีจุด (2, 1, -1)

4. กําหนดให u, v เปนฟงกชันของ x, y นิยามโดยปริยายดวยสมการ2x + 3y + u + v = 9

และ 3x + 4y + uv = 5จงหา x

u∂∂ , x

v∂∂ , y

u∂∂ และ y

v∂∂ เม่ือ x = 1, y = 2, u = -2, v = 3

5. กําหนดให u, v เปนฟงกชันของ x, y นิยามโดยปริยายดวยสมการ u cos v +x - 3 = 0

และ u sin v + y - 2 3 = 0จงหา x

u∂∂ , x

v∂∂ , y

u∂∂ และ y

v∂∂ เม่ือ x = 2, y = 3 , u = 2, v = 3

π

6. กําหนดให u, v, w เปนฟงกชันของ x, y, z นิยามโดยปริยายดวยสมการu cos v - x = 0u sin v - y = 0

และ z - w = 0จงหา x

u∂∂ , y

u∂∂ , z

u∂∂ เม่ือ x = 1, y = 3 , z = 4, u = 2, v = 3

π , w = 4

of 30

บทที่ 3 ฟงกชันของหลายตัวแปร3 - 63เฉลยแบบฝกหัด 3.71. 1.1 dx

dy = - yx2y2x

++

dxdy

1) (1, − = 1

1.2 dxdy = - )yx2sin()y2xcos(2

)yx2sin(2)y2xcos(+−++++−

dxdy

)6 , 6( ππ = -2

2. 2.1 xz∂∂ = - xy3z2

yz3x2++

yz∂∂ = - xy3z2

xz3y4++

xz∂∂

1) 2, (1, − = 1 yz∂∂

1) 2, (1, − = -1.25

2.2 xz∂∂ = - )z2ysin(2)zxcos(

)zxcos(+−+

+yz∂∂ = )z2ysin(2)zxcos(

)z2ysin(+−+

+

xz∂∂

)6 , 6 , 3( πππ = 0 yz∂∂

)6 , 6 , 3( πππ = -0.5

2.3 xz∂∂ = yx

zy−+

yz∂∂ = - yx

zx−+

xz∂∂

4) 1, (6, = 1 yz∂∂

4) 1, (6, = -2

2.4 xz∂∂ =

)zxy(xy)yzx(z

2

22

−

−yz∂∂ = -

)zxy(y)yxz(xz

22

2

−

−

xz∂∂

4) 2, (1, = 4 yz∂∂

4) 2, (1, = 0

2.5 xz∂∂ = - yx

x

e2eyze

+

+yz∂∂ = - yx

y

e2exze2

++

xz∂∂

1) 0, (0, = - 31

yz∂∂

1) 0, (0, = - 32

3. 3.1 dzdx = - y4x6

y83−−

dzdy = - y4x6

2x8−−

dzdx

2) 1, (1, = 25

dzdy

2) 1, (1, = -3

3.2 dzdx = - xzx2

xx 2

−−

dzdy = - xzx2

1yzxxy−

+−−+

dzdx

1) 2, (1, = 0 dzdy

1) 2, (1, = -1

3.3 dzdx = - y2x4

y22−−

dzdy = - y2x4

1x2−−

dzdx

1) 1, (2, − = 0 dzdy

1) 1, (2, − = -0.5

4. xu∂∂ = -1.4, x

v∂∂ = -0.6, y

u∂∂ = -2, y

v∂∂ = -1

5. xu∂∂ = -0.5, x

v∂∂ = 4

3 , yu∂∂ = - 2

3 , yv∂∂ = -0.25

6. xu∂∂ = 2

1 , yu∂∂ = 2 3 , z

u∂∂ = 0

of 30


3.10 คาสุดขีดของฟงกชันของหลายตัวแปรบทนิยาม 3.10.1 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ nR

และ A ∈ S ⊆ Dเราจะกลาววา

1. f(A) เปน คาสูงสุด ของ f บน Sก็ตอเมื่อ f(A) ≥ f(X) สําหรับทุก X ∈ Sในกรณีนี้เรากลาววา f มีคาสูงสุดบน S ที่ A

2. f(A) เปน คาต่าํสุด ของ f บน Sก็ตอเมื่อ f(A) ≤ f(X) สําหรับทุก X ∈ Sในกรณีนี้เรากลาววา f มีคาต่ําสุดบน S ที่ A

3. f(A) เปน คาสุดขีด ของ f บน Sก็ตอเมื่อ f(A) เปนคาสูงสุดของ f บน Sหรือ f(A) เปนคาต่ําสุดของ f บน S


ตัวอยาง 3.10.1 ให f(x, y) = 2x + 2y + 4จงพิจารณาวา f มีคาสูงสุดและคาต่ําสุดบน 2R หรือไมวิธีทาํ เพราะวา f(x, y) = 2x + 2y + 4

≥ 4 = f(0, 0) ทุก (x, y) ∈ 2R

เพราะฉะนั้น f(0, 0) = 4 เปนคาต่ําสุดของ f บน 2R

เพราะวาทุกจํานวนจริงบวก M จะมี f( M , 0)ที่ทําให f( M , 0) = M + 4 > Mเพราะฉะนั้น {f(x, y) | (x, y) ∈ 2R } เปนเซตที่ไมมีขอบเขตบนเพราะฉะนั้น f ไมมีคาสูงสุดบน 2R

ตัวอยาง 3.10.2 ให f(x, y) = 22 yx25 −−

จงพิจารณาวา f มีคาสูงสุดและคาต่ําสุดบนS = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 25} หรือไมวิธีทาํ เพราะวา f(x, y) = 22 yx25 −−

≤ 5 = f(0, 0) ทุก (x, y) ∈ Sเพราะฉะนั้น f(0, 0) = 5 เปนคาสูงสุดของ f บน Sเพราะวา f(x, y) = 22 yx25 −−

≥ 0 = f(5, 0) ทุก (x, y) ∈ Sเพราะฉะนั้น f(5, 0) = 0 เปนคาต่ําสุดของ f บน S


การหาคาสุดขีดสัมพัทธ


และ A ∈ S ⊆ D เราจะกลาววา1. f(A) เปน คาสูงสุดสัมพัทธ ของ f บน S

ก็ตอเมื่อ มี r > 0 ที่ทําให f(A) ≥ f(X)สําหรับทุก X ∈ S ∩ B(A ; r)

ในกรณีเชนนี้เรากลาววาf มีคาสูงสุดสัมพัทธบน S ที่ Aในรูปที่ 3.10.1 f(A) เปนคาสูงสุดสัมพัทธ

รูปที่ 3.10.1


2. f(A) เปน คาต่าํสุดสัมพัทธ ของ f บน Sก็ตอเมื่อ มี r > 0 ที่ทําให f(A) ≤ f(X)สําหรับทุก X ∈ S ∩ B(A ; r)

ในกรณีเชนนี้เรากลาววา f มีคาต่ําสุดสัมพัทธบน S ที่ Aดังรูปที่ 3.10.2 f(A) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ

รูปที่ 3.10.23. f(A) เปน คาสุดขีดสัมพัทธ ของ f บน S

ก็ตอเมื่อf(A) เปนคาสูงสุดสัมพัทธของ f บน S

หรือ f(A) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธของ f บน S

of 30


หมายเหตุ1. คาสูงสุดสัมพัทธของฟงกชัน f ที่จุด A บนเซต Sหมายถึง คาของ f ที่สูงสุดเมื่อเทียบกับคาของ f บนบริเวณใกลเคียงบริเวณหนึ่งของ Aโดยไมจําเปนตองเปนคาสูงสุดที่แทจริงบน Sจากรูป 3.10.1 f(A) < f(P)

รูปที่ 3.10.1เพราะฉะนั้น f(A) เปนคาสูงสุดสัมพัทธและ f(A) ไมเปนคาสูงสุด


2. คาต่ําสุดสัมพัทธของฟงกชัน f ที่จุด A บนเซต Sหมายถึง คาของ f ที่ต่ําสุดเมื่อเทียบกับคาของ f บนบริเวณใกลเคียงบริเวณหนึ่งของ Aโดยไมจําเปนตองเปนคาต่ําสุดที่แทจริงบน Sจากรูป 3.10.2 f(A) > f(P)

รูปที่ 3.10.2เพราะฉะนั้น f(A) เปนคาสูงสุดสัมพัทธและ f(A) ไมเปนคาสูงสุด

3. คาสูงสุดของ f บน S จะเปนคาสูงสุดสัมพัทธของ f บน S

4. คาต่ําสุดของ f บน S จะเปนคาต่ําสุดสัมพัทธของ f บน S


ขอตกลง คาสูงสุด คาต่ําสุด และ คาสุดขีดของ f บน Sเรียกวา คาสูงสุดสัมบูรณ คาต่าํสุดสัมบูรณและ คาสุดขีดสัมบูรณ ของ f บน S ตามลําดับ

เพ่ือใหเขาใจความหมายของคําวา คาสูงสุดสัมพัทธ คาต่ําสุดสัมพัทธ คาสุดขีดสัมพัทธ คาสูงสุด คาต่ําสุด และ คาสดุขีดขอใหพิจารณาจากตัวอยางกราฟของฟงกชัน f ในรูปที่ 3.10.3

รูปที่ 3.10.3จากรูปที่ 3.10.3 ให f เปนฟงกชันบนโดเมน S1. f( 1A ), f( 2A ), f( 3A ), f( 4A ) คาสูงสุดสัมพัทธ ของ f บน S 2. f( 5A ), f( 6A ) คาต่ําสุดสัมพัทธ ของ f บน S 3. f( 2A ) คาสูงสุดสัมบูรณ ของ f บน S 4. f( 5A ) คาต่ําสุดสัมบูรณ ของ f บน S


ทฤษฎีบท 3.10.1 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ 2R

ให f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบนเซต S ⊆ Dและ A(a, b) เปนจุดภายในของ Sถา f(A) เปนคาสูงสุดสัมพัทธที่ A แลว ∇ f(A) = 0

v

บทพิสูจนให 1C เปนรอยตัดของ พ้ืนผิว z = f(x, y) และ ระนาบ y = bให g(x) = f(x, b) เปนสมการของเสนโคง 1C

เพราะวา g(a) = f(a, b) เปนคาสูงสุดสัมพัทธเพราะฉะนั้นในความหมายของฟงกชันหนึ่งตัวแปรจะได g(a) = f(a, b) เปนคาสูงสุดสัมพัทธของฟงกชัน gเพราะฉะนั้น g′(a) = 0เพราะวา

xf∂∂ (x, b) = g′(x)

เพราะฉะนั้น xf∂∂ (a, b) = g′(a) = 0

รูปที่ 3.10.4

of 30


ให 2C เปนรอยตัดของ พ้ืนผิว z = f(x, y) และ ระนาบ x = aให h(y) = f(a, y) เปนสมการของเสนโคง 2C

เพราะวา h(b) = f(a, b) เปนคาสูงสุดสัมพัทธเพราะฉะนั้นในความหมายของฟงกชันหนึ่งตัวแปรจะได h(b) = f(a, b) เปนคาสูงสุดสัมพัทธของฟงกชัน hเพราะฉะนั้น h′(b) = 0เพราะวา

yf∂∂ (a, y) = h′(y)

เพราะฉะนั้น yf∂∂ (a, b) = h′(b) = 0

เพราะฉะนั้น ∇ f(A) = 0v

ดวยการพิสูจนทําเดียวกันกับทฤษฎีบทขางตน จะได1. ให f : D → R เมื่อ D ⊆ 2R

f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบนเซต S ⊆ Dและ A เปนจุดภายในของ Sถา f(A) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธที่ A แลว ∇ f(A) = 0

v

2. ให f : D → R เมื่อ D ⊆ 3R

f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบนเซต S ⊆ Dและ A เปนจุดภายในของ Sถา f(A) เปนคาสูงสุดสัมพัทธที่ A แลว ∇ f(A) = 0

v


3. ให f : D → R เมื่อ D ⊆ 3R

f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบนเซต S ⊆ Dและ A เปนจุดภายในของ Sถา f(A) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธที่ A แลว ∇ f(A) = 0

v

สําหรับฟงกชันของหลายตัวแปรจะได


ให f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบนเซต S ⊆ Dและ A เปนจุดภายในของ Sถา f(A) เปนคาสุดขีดสัมพัทธที่ A แลว ∇ f(A) = 0

v

หมายเหตุ บทกลับของทฤษฎีบท 3.10.2 ไมจริง ตัวอยางเชน f(x, y) = 2x - 2y

เพราะวา ∇ f(x, y) = (xf∂∂ ,

yf∂∂ ) = (2x, -2y)

เพราะฉะนั้น ∇ f(0, 0) = (0, 0)แต f(0, 0) < f(r, 0) และ f(0, 0) > f(0, r) ทุกคา r ≠ 0เพราะฉะนั้น f(0, 0) ไมเปนคาสุดขีดสัมพัทธ



และ A เปนจุดภายในของ Sเรากลาววา A เปน จุดวิกฤต ของ fก็ตอเมื่อ ∇ f(A) = 0

v หรือ ∇ f(A) ไมมีคาและ จุดวิกฤตของ f ที่ไมเปนจุดสุดขีดสัมพัทธเรียกวา จุดอานมา

เพราะฉะนั้น สําหรับ f(x, y) = 2x - 2y

จะได (0, 0) เปนจุดอานมา

รูปที่ 3.10.5ตัวอยาง 3.10.3 จงหาจุดวิกฤตของf(x, y) = 2x + 2y - 4x - 2y + 8วิธีทาํ เพราะวา xf (x, y) = 2x - 4 = 0 เมื่อ x = 2และ yf (x, y) = 2y - 2 = 0 เมื่อ y = 1เพราะฉะนั้น (2, 1) เปนจุดวิกฤตของ f


ทฤษฎีบท 3.10.3 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ 2R

P(a, b) เปนจุดวิกฤตของ fโดยที่

xf∂∂ (a, b) = 0,

yf∂∂ (a, b) = 0

และอนุพันธยอยอันดับที่สองของ f มีความตอเนื่องบนแผนกลมเปด B(P)ให A = xxf (a, b)

B = xyf (a, b)C = yyf (a, b)

จะได1. ถา AC - 2B > 0 และ A > 0

แลว f(a, b) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธของ f2. ถา AC - 2B > 0 และ A < 0

แลว f(a, b) เปนคาสูงสุดสัมพัทธของ f3. ถา AC - 2B < 0 แลว (a, b) เปนจุดอานมา4. ถา AC - 2B = 0 แลว เราสรุปไมได

of 30


หมายเหตุ ตัวอยางเสริมความเขาใจกรณีที่ 4.1. f(x, y) = 2x + 2y

ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0 AC - 2B = 0แต f(x, y) = 2x + 2y ≥ 0 = f(0, 0) ทุก (x, y) ∈ 2R

เพราะฉะนั้น (0, 0) เปนจุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธ

2. f(x, y) = -( 2x + 2y )ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0 AC - 2B = 0แต f(x, y) = -( 2x + 2y ) ≤ 0 = f(0, 0) ทุก (x, y) ∈ 2R

เพราะฉะนั้น (0, 0) เปนจุดที่ใหคาสูงสุดสัมพัทธ

3. f(x, y) = 2x - 2y

ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0 AC - 2B = 0แต f(0, 0) < f(r, 0) และ f(0, 0) > f(0, r) ทุกคา rเพราะฉะนั้น (0, 0) ไมเปนจุดที่ใหคาสูงสุดสัมพัทธและ (0, 0) ไมเปนจุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธเพราะฉะนั้น (0, 0) เปนจุดอานมา


ตัวอยาง 3.10.4 จงหาคาสุดขีดสัมพัทธของf(x, y) = xy - 2y - 2x - 2x - 2y + 6 (ถามี)วิธีทาํ โดเมน f คือ 2R

และทุกจุดใน 2R เปนจุดภายในโดเมนของ fxf (x, y) = y - 2x - 2yf (x, y) = x - 2y - 2

การหาจุดวิกฤตxf (x, y) = y - 2x - 2 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = x - 2y - 2 = 0 ... (2)จาก (1) และ (2) จุดวิกฤตคือ (-2, -2)การตรวจสอบวาจุดวิกฤตใหคาสุดขีดสัมพัทธแบบใด

xxf (x, y) = -2 A = xxf (-2, -2) = -2xyf (x, y) = 1 B = xyf (-2, -2) = 1yyf (x, y) = -2 C = yyf (-2, -2) = -2

เพราะวา A < 0และ AC - 2B = (-2)(-2) - 1 = 3 > 0เพราะฉะนั้น (-2, -2) เปนจุดที่ใหคาสูงสุดสัมพัทธและคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด (-2, -2) คือ f(-2, -2) = 10


ตัวอยาง 3.10.5 จงหาคาสุดขีดสัมพัทธของf(x, y) = 4xy + 3 (ถามี)วิธีทาํ โดเมน f คือ 2R

และทุกจุดใน 2R เปนจุดภายในโดเมนของ fxf (x, y) = 4yyf (x, y) = 4x

การหาจุดวิกฤตxf (x, y) = 4y = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 4x = 0 ... (2)จาก (1) และ (2) จุดวิกฤตคือ (0, 0)การตรวจสอบวาจุดวิกฤตใหคาสุดขีดสัมพัทธแบบใด

xxf (x, y) = 0 A = xxf (0, 0) = 0xyf (x, y) = 4 B = xyf (0, 0) = 4yyf (x, y) = 0 C = yyf (0, 0) = 0

เพราะวา AC - 2B = (0)(0) - 16 = -16 < 0เพราะฉะนั้น (0, 0) เปนจุดอานมา


ตัวอยาง 3.10.6 จงหาคาสุดขีดสัมพัทธของf(x, y) = 3x + 3x 2y + 3 2y - 15x + 2 (ถามี)วิธีทาํ โดเมน f คือ 2R

และทุกจุดใน 2R เปนจุดภายในโดเมนของ fxf (x, y) = 3 2x + 3 2y - 15yf (x, y) = 6xy + 6y

การหาจุดวิกฤตxf (x, y) = 3 2x + 3 2y - 15 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 6xy + 6y = 0 ... (2)จาก (2) จะได 6y(x + 1) = 0

y = 0 หรือ x = -1จาก (1) เมื่อ y = 0 จะได x = ± 5

จาก (1) เมื่อ x = -1 จะได y = ± 2เพราะฉะนั้นจุดวิกฤตคือ( 5 , 0), (- 5 , 0), (-1, 2), (-1, -2)

of 30


การตรวจสอบวาจุดวิกฤตใหคาสุดขีดสัมพัทธแบบใดA = xxf (x, y) = 6xB = xyf (x, y) = 6yC = yyf (x, y) = 6x + 6

จากตารางขางตนสรุปไดวา1. f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด ( 5 , 0)

และ คาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด ( 5 , 0) คือf( 5 , 0) = 2 - 10 5

2. f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด (- 5 , 0)และ คาสูงสุดสัมพัทธที่จุด (- 5 , 0) คือf(- 5 , 0) = 2 + 10 5

3. จุด (-1, 2) และ (-1, -2) เปนจุดอานมา


ตัวอยาง 3.10.7 จงหาคาสุดขีดสัมพัทธของf(x, y) = xy + x

1 + y1

วิธีทาํ โดเมนของ f คือ D = {(x, y) | x ≠ 0 และ y ≠ 0}และทุกจุดใน D เปนจุดภายในของโดเมน f

xf (x, y) = y - 2x

1

yf (x, y) = x - 2y

1

การหาจุดวิกฤตxf (x, y) = y -

2x1 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = x - 2y

1 = 0 ... (2)

จาก (1) จะได 2x y - 1 = 02x y = 1 ... (3)

จาก (2) จะได x 2y - 1 = 0x 2y = 1 ... (4)

จาก (3) และ (4) จะได 2x y = x 2y

เพราะวา x ≠ 0, y ≠ 0 เพราะฉะนั้น x = y ... (5)จาก (3) และ (5) จะได x = 1 และ y = 1เพราะฉะนั้นจุดวิกฤตคือ (1, 1)


การตรวจสอบวาจุดวิกฤตใหคาสุดขีดสัมพัทธแบบใดxxf (x, y) =

3x2 A = xxf (1, 1) = 2

xyf (x, y) = 1 B = xyf (1, 1) = 1yyf (x, y) =

3y2 C = yyf (1, 1) = 2

เพราะวา A > 0และ AC - 2B = (2)(2) - 1 = 3 > 0เพราะฉะนั้น (1, 1) เปนจุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธและคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด (1, 1) คือ f(1, 1) = 3

หมายเหตุ ที่กลาวมาทั้งหมดขางตนเราพิจารณาเฉพาะจุด P(a, b)ที่เปนจุดภายในของโดเมน f เทานั้นโดยที่ ถา f มีคาสุดขีดสัมพัทธที่จุด P(a, b)

และ อนุพันธยอย xf (a, b) และ yf (a, b) มีคาแลว xf (a, b) = 0 และ yf (a, b) = 0

ซึ่งจะเห็นวาถา อนุพันธยอย xf (a, b) และ yf (a, b) มีคา

แต มีคาไมเทากับศูนยแลว จุด (a, b) ไมเปนจุดสุดขีดสัมพัทธของ f


ในบางกรณีที่เราพบวามีจุดบางจุด (a, b) ในโดเมน f ที่มีสมบัติ1. (a, b) ไมเปนจุดภายในของโดเมน f2. อนุพันธยอย xf ไมมีคาที่จุด (a, b)หรือ อนุพันธยอย yf ไมมีคาที่จุด (a, b)แตจุด (a, b) อาจเปนจุดสุดขีดสัมพัทธของ fตัวอยางเชน f(x, y) = 22 yx +

รูปที่ 3.10.7จะได จุด (0, 0) เปนจุดภายในของโดเมน f

xf และ yf ไมมีคาที่จุด (0, 0)แต f(0, 0) = 0 ≤ 22 yx + = f(x, y) ทุก (x, y) ∈ 2R

เพราะฉะนั้น f(0, 0) = 0 เปนคาต่ําสุดสัมพัทธและ เปนคาต่ําสุดสัมบูรณของ f ดวย

of 30


ทฤษฎีบท 3.10.4 ถา f เปนฟงกชันของหลายตัวแปรที่มีความตอเนื่องบนเซต D และ D เปนเซตปดและมีขอบเขต แลว f มีทั้งคาสูงสุดสัมบูรณและคาต่ําสุดสัมบูรณบน D

ขอสังเกต1. คาสุดขีดสัมบูรณของ f บน D อาจเกิดที่จุดขอบ

หรือ จุดภายในของ D ก็ได2. ถาคาสุดขีดสัมบูรณของ f บน D อาจเกิดที่จุดภายใน

แลว จุดนั้นตองเปนจุดวิกฤต3. ขั้นตอนในการหาจุดสุดขีดสัมบูรณควรทําดังนี้

3.1 หาจุดวิกฤตของ f3.2 หาจุดขอบทั้งหมดของ D ที่อาจใหคาสุดขีดสัมบูรณ3.3 เปรียบเทียบคาของ f ที่จุดซึ่งหาไดในสองขั้นตอนแรก

คาที่มากที่สดุจะเปนคาสูงสุดสัมบูรณคาที่นอยที่สุดจะเปนคาต่ําสุดสัมบูรณ


ตัวอยาง 3.10.8 จงหาคาสุดขีดสัมบูรณของf(x, y) = 3xy - 6x - 3y + 7บนบริเวณ S บนระนาบ XY ซึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ (0, 0), (3, 0) และ (0, 5) (ถามี)วิธีทาํ

รูปที่ 3.10.8เพราะวา D เปนเซตปดและมีขอบเขต และ f มีความตอเนื่องบนD เพราะฉะนั้น f มีทั้งคาสูงสุดสัมบูรณ และ คาต่ําสุดสัมบูรณบนเซต D

f(x, y) = 3xy - 6x - 3y + 7xf (x, y) = 3y - 6yf (x, y) = 3x - 3

การหาจุดวิกฤตxf (x, y) = 3y - 6 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 3x - 3 = 0 ... (2)จาก (1) และ (2) จุดวิกฤตคือ (1, 2)ตอไปเราจะพิจารณาที่จุดขอบของ Dเพราะวาขอบของเซต D ประกอบดวยสวนของเสนตรง 3 เสน


1. บนสวนของเสนตรง 1L ที่เชื่อมระหวางจุด (0, 0)และ (3, 0) เพราะฉะนั้น บนสวนของเสนตรง 1L คา y = 0ให u(x) = f(x, 0) = -6x + 7 เมื่อ 0 ≤ x ≤ 3เพราะวา u′(x) = -6 ≠ 0 เพราะฉะนั้น คาสุดขีดสัมบูรณของ uเกิดที่จุดปลายของชวง คือที่ x = 0 และ x = 3เพราะฉะนั้นจุดบนสวนของเสนตรง 1L

ที่ใหคาสุดขีดสัมบูรณของ f คือ (0, 0) และ (3, 0)

2. บนสวนของเสนตรง 2L ที่เชื่อมระหวาง จุด (0, 0) และ(3, 0) เพราะฉะนั้น บนสวนของเสนตรง 2L คา x = 0ให v(y) = f(0, y) = -3y + 7 เมื่อ 0 ≤ y ≤ 5เพราะวา v′(x) = -3 ≠ 0 เพราะฉะนั้น คาสุดขีดสัมบูรณของ vเกิดที่จุดปลายของชวง คือที่ y = 0 และ y = 5เพราะฉะนั้นจุดบนสวนของเสนตรง 2L

ที่ใหคาสุดขีดสัมบูรณของ f คือ (0, 0) และ (0, 5)

3. บนสวนของเสนตรง 3L ที่เชื่อมระหวางจุด (3, 0) และ (0, 5)เพราะฉะนั้น บนสวนของเสนตรง 3L จะได

3x + 5

y = 1y = -3

5 x + 5 เมื่อ 0 ≤ x ≤ 3เพราะฉะนั้นบนสวนของเสนตรง 3L จะได


f(x, y) = 3x(-35 x + 5) - 6x - 3(-3

5 x + 5) + 7= -5 2x + 14x - 8

ให w(x) = -5 2x + 14x - 8 เมื่อ 0 ≤ x ≤ 3 w′(x) = -10x + 14และ w′(x) = -10x + 14 = 0 เมื่อ x = 5

7

บนสวนของเสนตรง 3L เมื่อ x = 57 จะได y = 3

8

เพราะฉะนั้นคาสุดขีดสัมบูรณของ w อาจจะเกิดที่จุดx = 5

7 หรือที่จุดปลายชวงคือ x = 0, x = 3บนสวนของเสนตรง 3L เมื่อ x = 0 จะได y = 5

เมื่อ x = 3 จะได y = 0เพราะฉะนั้นจุดบน 3L ที่ใหคาสุดขีดสัมบูรณของ fคือ (5

7 , 38), (3, 0) และ (0, 5)

สรุปจุดที่จะใหคาสุดขีดสัมบูรณมีทั้งหมด 5 จุดคือ (1, 2), (0, 0), (3, 0), (0, 5) และ (5

7 , 38)

ตอไปเปรียบเทียบคาของ f(x, y) ที่แตละจุดซึ่งหาไวขางตนf(1, 2) = 1 f(0, 0) = 7 f(3, 0) = -11f(0, 5) = -8 f(5

7 , 38) = 5

9

เพราะฉะนั้น f มีคาต่ําสุดสัมบูรณ = -11 ที่จุด (3, 0)f มีคาสูงสุดสัมบูรณ = 7 ที่จุด (0, 0)

of 30


ตัวอยาง 3.10.9 จงหาคาสุดขีดสัมบูรณของf(x, y) = 2 2x + 2y บนบริเวณ Dเมื่อ D = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 1}วิธีทาํ

รูปที่ 3.10.9เพราะวา D เปนเซตปดและมีขอบเขตและ f มีความตอเนื่องบน Dเพราะฉะนั้น f มีทั้งคาสูงสุดสัมบูรณและ คาต่ําสุดสัมบูรณ บนเซต D

xf (x, y) = 4xyf (x, y) = 2y

การหาจุดวิกฤตxf (x, y) = 4x = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 2y = 0 ... (2)จาก (1) และ (2) จุดวิกฤตคือ (0, 0)


ตอไปเราจะพิจารณาที่จุดขอบของ Dเพราะวาขอบของเซต D ประกอบจุดบนวงกลม 2x + 2y = 1เพราะฉะนั้น f(x, y) = 2 2x + 2y

= 2x + ( 2x + 2y ) = 2x + 1ให h(x) = 2x + 1 เมื่อ -1 ≤ x ≤ 1เพราะวา h′(x) = 2x เพราะฉะนั้น h′(x) = 0 เมื่อ x = 0เพราะฉะนั้นคาสุดขีดของ h อาจเกิดที่ x = 0หรือ ที่จุดปลายชวงคือ x = -1, x = 1เพราะฉะนั้นจุดบนขอบของ D ที่อาจจะใหคาสุดขีดสัมบูรณของ f คือ (0, 1), (0, -1), (-1, 0), (1, 0)สรุป มีจุดทั้งหมด 5 จุดที่มีความเปนไปไดที่จะใหคาสุดขีดสัมบูรณของ fคือ (0, 1), (0, -1), (-1, 0), (1, 0) และ (0, 0)ตอไปเปรียบเทียบคา f(x, y) จาก 5 จุดขางตนเพราะวา f(0, 0) = 0 f(0, 1) = 1 f(0, -1) = 1

f(-1, 0) = 2 f(1, 0) = 2เพราะฉะนั้น f มีคาต่ําสุดสัมบูรณที่จุด (0, 0)

และ คาต่ําสุดสัมบูรณ = 0f มีคาสูงสุดสัมบูรณที่จุด (1, 0), (-1, 0)และ คาต่ําสุดสัมบูรณ = 2


ตัวอยาง 3.10.10 จงหาขนาดของกลองรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากไมมีฝาปด ซึ่งมีปริมาตร 32 ลูกบาศกเซนติเมตร และ มีพ้ืนที่ผิวนอยที่สุดวิธีทาํ ให A เปนพื้นที่ผิวของกลอง

x เปนความกวางของกลองy เปนความยาวของกลอง

และ z เปนความสูงของกลองเพราะฉะนั้น A = xy + 2xz + 2yz = xy + 2(x + y)zเพราะวา กลองมีปริมาตร 32 ลูกบาศกเซนติเมตรเพราะฉะนั้น xyz = 32 หรือ z =

xy32

เพราะฉะนั้น A = xy + 2(x + y)xy32

= xy + y

64 + x64

เพราะฉะนั้น A เปนฟงกชันของสองตัวแปร x, yโดยที่ x > 0, y > 0ให f(x, y) = xy +

y64 +

x64

เมื่อ D = {(x, y) | x > 0, y > 0}เพราะวา D เปนเซตไมมีขอบเขต เราจึงไมทราบวา fจะมีคาต่ําสุดสัมบูรณหรือไม แตถามีคาต่ําสุดสัมบูรณตองเกิดที่จุดวิกฤตของ f


เพราะฉะนั้นเราจะเริ่มตนคนหาคาต่ําสุดสัมบูรณดวยการหาจุดวิกฤตของ fจาก f(x, y) = xy +

y64 +

x64

จะได xf (x, y) = y - 2x

64

yf (x, y) = x - 2y

64

การหาจุดวิกฤตxf (x, y) = y -

2x64 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = x - 2y

64 = 0 ... (2)

จาก (1) y = 2x

64 ... (3)

แทนคาใน (2)จะได x - 64x 4 = 0

เพราะวา x > 0 เพราะฉะนั้น 1 - 64x3 = 0

x = 4จาก (3) จะได y = 4เพราะฉะนั้นจุดวิกฤตคือ (4, 4)

of 30


การตรวจสอบวาจุดวิกฤตใหคาสุดขีดแบบใดxxf (x, y) =

3x128 A = xxf (4, 4) =

34128 = 2

xyf (x, y) = 1 B = xyf (4, 4) = 1yyf (x, y) =

3y128 C = yyf (4, 4) =

34128 = 2

เพราะวา AC - 2B = (2)(2) - 1 = 3 > 0 และ A > 0เพราะฉะนั้น f(4, 4) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธของ fจาก x = 4, y = 4 เพราะวา z =

xy32

เพราะฉะนั้น z = 2เพราะฉะนั้น กลองที่ตองการ มีขนาดกวาง 4 cm ยาว 4 cm และ สูง 2 cm

หมายเหตุ ในตัวอยางนี้เราไมไดแสดงวาจุด (4, 4) เปนจุดต่ําสุดสัมบูรณของ fก็เพราะวาสําหรับฟงกชันของสองตัวแปรนั้นการแสดงวาจุดสุดขีดสัมพัทธเปนจุดสุดขีดสัมบูรณในบางปญหาหรือบางฟงกชัน เปนเรื่องที่คอนขางซับซอนอยางไรก็ตามสําหรับปญหาที่เปนการประยุกตในลักษณะเชนนี้โดยมาก จุดสุดขีดสัมพัทธ เปน จุดสุดขีดสัมบูรณ โดยอาศัยการพิจารณาในเชิงเรขาคณิต


ตัวอยาง 3.10.11 จงหาระยะสั้นที่สุดจากจุด (0, 0, 0) ไปยังพ้ืนผิว xy 2z = 32และจุดบนพื้นผิว xy 2z = 32 ที่อยูใกลจุด (0, 0, 0) มากที่สุดวิธีทาํ ให d = ระยะทางจากจุด (0, 0, 0) ไปยัง (x, y, z) บนพ้ืนผิว xy 2z = 32 เพราะฉะนั้น d = 222 zyx ++

เพราะฉะนั้น 2d = 2x + 2y + 2z

แทนคา 2z = xy32 เพราะฉะนั้น 2d = 2x + 2y +

xy32

ให f(x, y) = 2x + 2y + xy32

การหาจุดวิกฤต xf (x, y) = 2x - yx

322

= 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 2y - 2xy

32 = 0 ... (2)

เพราะวา xy 2z = 32 เพราะฉะนั้น x ≠ 0, y ≠ 0เพราะฉะนั้นจาก (1) จะได 2 3x y - 32 = 0

3x y = 16 ... (3)เพราะฉะนั้นจาก (2) จะได 2x 3y - 32 = 0

x 3y = 16 ... (4)จาก (3) และ (4) จะได 3x y - x 3y = 0เพราะวา x ≠ 0, y ≠ 0 เพราะฉะนั้น x - y = 0

y = x ... (5)จาก (3) และ (5) จะได (x = 2, y = 2), (x = -2, y = -2)เพราะฉะนั้นจุดวิกฤตของ f คือ (2, 2) และ (-2, -2)


การตรวจสอบวาจุดวิกฤตใหคาสุดขีดสัมพัทธแบบใดxxf (x, y) = 2 +

yx643

A = xxf (2, 2) = 6

xyf (x, y) = 22 yx

32 B = xyf (2, 2) = 2

yyf (x, y) = 2 + yx

643

C = yyf (2, 2) = 6

เพราะวา A > 0 และ AC - 2B = (6)(6) - 2 = 20 > 0เพราะฉะนั้น (2, 2) เปนจุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธของ fในทํานองเดียวกัน (-2, -2) เปนจุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธของ fโดยใชเหตุผลทางเรขาคณิตระยะทางสั้นที่สุดจากจุด (0, 0, 0) ไปยังพ้ืนผิว xy 2z = 32 มีไดคาเดียวเทานั้นเพราะวา f(2, 2) = 4 + 4 + 8 = 16

f(-2, -2) = 4 + 4 + 8 = 16เปนคาต่ําสุดสัมพัทธของ fเพราะฉะนั้นคาต่ําสุดสัมบูรณของ f คือ 16เพราะฉะนั้น ระยะทางสั้นที่สุดจากจุด (0, 0, 0)ไปยังพ้ืนผิว xy 2z = 32 มีเทากับ 4และ จุดบนพื้นผิว xy 2z = 32 ที่ใกลจุด (0, 0, 0) มากที่สุดคือจุด (2, 2, 2 2 ), (2, 2, -2 2 ), (-2, -2, 2 2 ), (-2, -2, -2 2 )


การตรวจสอบ คาสูงสุด และ ตํ่าสุด ของฟงกชัน n ตัวแปรP เปนจุดวิกฤตของ f โดยที่ if = 0 ที่จุด P ทุก i = 1, 2, ... , nและอนุพันธยอยอันดับที่สองของ fมีความตอเนื่องบนแผนกลมเปด B(P)

ให k∆ =

f...fff:...:::

f...ffff...ffff...fff

kk3k2k1k

k3333231k2232221k1131211

เมื่อ k = 1, 2, ... , n

ตัวอยางเชน

1∆ = f 11 , 2∆ = ffff 22211211 , 3∆ =

fffffffff

333231232221131211 , ... ,

และ n∆ =

f...ffkf:...:::

f...ffff...ffff...fff

nn3n2n1n

n3333231n2232221n1131211

สรุป 1. ถา 1∆ > 0, 2∆ > 0, 3∆ > 0, 4∆ > 0, ...( i∆ มีคาเปนบวกทุก i = 1, 2, 3, ... , n)แลว f(P) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธของ f

2. ถา 1∆ < 0, 2∆ > 0, 3∆ < 0, 4∆ > 0 ...( i∆ เมื่อ i = 1, 2, 3, ... , n มีคาเปนเปนบวก

และลบสลับกัน เริ่มตนดวย 1∆ < 0)แลว f(P) เปนคาสูงสุดสัมพัทธของ f

of 30


แบบฝกหัด 3.101. จงหาจุดวิกฤตของฟงกชันตอไปนี้

1.1 f(x, y) = 2x - 4y - 4x - 12 2y

1.2 f(x, y) = 16 - 20y6x4yx 22 +−−+

2. จงหาคาสุดขีดสัมพัทธของฟงกชันตอไปนี้ (ถามี)

2.1 f(x, y) = 2x + xy + 2y - 3x + 3y + 242.2 f(x, y) = 18 2x - 32 2y - 36x - 128y - 110

2.3 f(x, y) = 2x + xy + 2y - 3x2.4 f(x, y) = 3xy - 3x - 3y

2.5 f(x, y) = 2x + 2 2y - 2x y2.6 f(x, y) = 4 + 4x + 4y + 2xy - 5 2x - 2 2y

2.7 f(x, y) = 4xy - 4x - 4y

2.8 f(x, y) = y1 - x

1 - 4x + y

2.9 f(x, y) = 2 2x + 2y + yx

22

3. จงหาคาสุดขีดสัมพัทธของฟงกชันตอไปนี้ (ถามี)

f(x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y เม่ือ 0 < x < 2π , 0 < y < 2

π

4. จงหาคาสุดขีดสัมบูรณของฟงกชัน f บนเซต D ท่ีกําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ (ถามี)

4.1 f(x, y) = 48xy - 32 3x - 24 2y D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}4.2 f(x, y) = xy - x - 3y D เปนบริเวณสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดเปน (0, 0), (0, 4) และ (5, 0)4.3 f(x, y) = 2x - 3 2y - 2x + 6y D เปนบริเวณสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดเปน (0, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 0)

4.4 f(x, y) = 2x + 2 2y - x D = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 4}

5. จงหาจํานวนจริงบวกสามจํานวนซึ่งรวมกันได 27 และผลบวกกําลังสองมีคานอยที่สุด6. สามเหลี่ยมที่มีเสนรอบรูปยาวคงที่ จะมีพ้ืนที่ท่ีสุดเมื่อเปนสามเหลี่ยมชนิดใด7. จงหาจํานวนจริงบวกสามจํานวนซึ่งรวมกันได 50 และผลคูณมีคามากที่สุด8. จงหาระยะทางใกลท่ีสุดจากจุดกําเนิดไปยังพ้ืนผิว 2x - yz = 59. จงหาจุดบนพื้นผิว xyz = 1 ท่ีอยูใกลจุดกําเนิดมากที่สุด10. จงหาจุดบนระนาบx - y + 3z = 7 ท่ีอยูใกลจุด (2, -1, 4) มากที่สุด พรอมทั้งหาระยะทางที่ใกลท่ีสุดนั้น

11. จงหาจุดในอัฐภาคที่ 1 ซึ่งอยูบนระนาบ x + y + z = 50 และทําให f(x, y, z) = x 2y 3z มีคามากที่สุด12. กลองรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีฝาปดใบหนึ่งมีปริมาตร 16 ลูกบาศกเมตร ทํามาจากวัสดุสองชนิด กนกลองและฝากลอง

ทําจากวัสดุท่ีมีราคา 10 บาทตอตารางเมตร สวนดานขางของกลองทําจากวัสดุท่ีมีราคา 5 บาทตอตารางเมตร จงหาขนาดของกลองท่ีทําใหเสียคาวัสดุนอยที่สุด

of 30

บทที่ 3 ฟงกชันของหลายตัวแปร3 - 97เฉลยแบบฝกหัด 3.10

1. 1.1 (2, 0) 1.2 (2, 3)2. 2.1 f(3, -3) = 15 เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ 2.2 (1, -2) เปนจุดอานมา

2.3 f(2, -1) = -3 เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ2.4 (0, 0) เปนจุดอานมา และ f(1, 1) = 1 เปนคาสูงสุดสัมพัทธ2.5 (2, 1), (-2, 1) เปนจุดอานมา f(0, 0) = 0 เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ2.6 f( 3

2 , 34 ) = 8 เปนคาสูงสุดสัมพัทธ

2.7 f(1, 1) = f(-1, -1) = 2 เปนคาสูงสุดสัมพัทธ และ (0, 0) เปนจุดอานมา2.8 f( 2

1 , -1) = -6 เปนคาสูงสุดสัมพัทธf(- 2

1 , 1) = 6 เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ( 2

1 , 1), (- 21 , -1) เปนจุดอานมา

2.9 f(1, 1), f(-1, 1) = 5 เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ

3. f( 3π , 3

π ) = 233 เปนคาสูงสุดสัมพัทธ

4. 4.1 f(1, 0) = -32 เปนคาต่ําสุดสัมบูรณ f( 21 , 2

1 ) = 2 เปนคาสูงสุดสัมบูรณ4.2 f(0, 4) = -12 เปนคาต่ําสุดสัมบูรณ f(0, 0) = 0 เปนคาสูงสุดสัมบูรณ4.3 f(1, 0) = f(1, 2) = -1 เปนคาต่ําสุดสัมบูรณ f(0, 1) = f(2, 1) = 3 เปนคาสูงสุดสัมบูรณ4.4 f( 2

1 , 0) = - 41 เปนคาต่ําสุดสัมบูรณ

f(- 21 , 2

15 ) = f(- 21 , - 2

15 ) = 433 เปนคาสูงสุดสัมบูรณ

5. 9, 9, 96. สามเหลี่ยมดานเทา7. 3

50 , 350 , 3

50

8. 5

9. (1, 1, 1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (1, -1, -1)10. ( 11

14 , - 113 , 11

20 ), 118

11. ( 325 , 3

50 , 25)12. กวาง 2 เมตร ยาว 2 เมตร และสูง 4 เมตร

of 30


3.11 ตัวคูณลากรานจกอนศึกษาการหาสุดขีดของฟงกชันหลายตัวแปรขอใหศึกษาการหาคาสุดขีดของปญหานี้กอนตัวอยาง 3.11.1 จงหาคาสุดขีดของ xyเมื่อ x, y เปนจํานวนจริงบวก ภายใตเงื่อนไข x + y = 4วิธีทาํแทนคา y = 4 - x ใน xy จะได xy = x(4 - x) = 4x - 2x

ให f(x) = 4x - 2x เมื่อ 0 < x < 4 f ′(x) = 4 - 2x

เพราะฉะนั้น จุดวิกฤตคือ x = 2เพราะวา f ′′(x) = -2 < 0เพราะฉะนั้น f(2) = 4 เปนคาสูงสุดสัมพัทธเพราะวา f ′(x) > 0 เมื่อ 0 < x < 2เพราะฉะนั้น f เปนฟงกชันเพิ่มบนชวง (0, 2)เพราะวา f ′(x) < 0 เมื่อ 2 < x < 4เพราะฉะนั้น f เปนฟงกชันลดบนชวง (2, 4)เพราะฉะนั้น f(2) = 4 เปนคาสูงสุดสัมบูรณของ fเพราะฉะนั้น คาสูงสุดของ xy เมื่อ x, y เปนจํานวนจริงบวกภายใตเงื่อนไข x + y = 4 จะมีคาสูงสุดสัมบูรณเทากับ 4


ในการหาคาสุดขีดขางตนเราใชการแทนคา y ดวย 4 - x เพ่ือเปลี่ยน xyเปนฟงกชันของหนึ่งตัวแปร f(x)จากนั้นจึงใชวิธีหาคาสุดขีดของฟงกชันหนึ่งตัวแปรซึ่งถาเงื่อนไขบังคับของฟงกชันมีความซับซอนการใชวิธีการนี้มาแกปญหาอาจจะทําไดไมงายนักเพราะฉะนั้นในหัวขอนี้เราจะขอแนะนําอีกวิธีการหนึ่งซึ่งงายกวาสําหรับการแกปญหาลักษณะนี้ มีชื่อวา วิธีตัวคูณลากรานจโดยใชผลของทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฎบีท 3.11.1 ให f, g เปนฟงกชันของสองตัวแปรซึ่งอนุพันธยอยมีความตอเนื่องบนเซตเปดที่ครอบคลุมเสนโคงg(x, y) = 0 โดยที่ ∇ g(x, y) ≠ 0v ทุกจุด (x, y) บนเสนโคงนี้ถา f มีคาสุดขีดสัมพัทธที่จุด (a, b)

ซึ่งเปนจุดภายในของเสนโคงนี้แลว เวกเตอรเกรเดียนต ∇ f(a, b)

และ เวกเตอรเกรเดียนต ∇ g(a, b) ขนานกันนั่นคือ มีจํานวนจริง λ ที่ทําให ∇ f(a, b) = λ ∇ g(a, b)

หมายเหตุ จํานวนจริง λ เรียกวา ตัวคูณลากรานจ และเรียกวิธีการหาคาสุดขีดโดยใชทฤษฎีบทนี้วา วิธีตัวคูณลากรานจ


ตัวอยาง 3.11.2 จงหาคาสุดขีดของ f(x, y) = xy เมื่อ x, yเปนจํานวนจริงบวกภายใตเงื่อนไข x + y = 4 โดยวิธีตัวคูณลากรานจวิธีทาํ ให f(x, y) = xy เมื่อ x > 0, y > 0

g(x, y) = x + y - 4 = 0 ... (1)จากสมการ ∇ f(x, y) = λ ∇ g(x, y) ... (2)

(xf∂∂ ,

yf∂∂ ) = λ (

xg∂∂ ,

yg∂∂ )

(y, x) = λ (1, 1)= (λ, λ)

เพราะฉะนั้น y = λ และ x = λจาก (1) จะได λ + λ - 4 = 0

λ = 2เพราะฉะนั้น x = 2, y = 2เพราะฉะนั้นจุด (x, y) ทั้งหมดที่สอดคลอง (1) และ (2)คือ (2, 2)เพราะวา f(x, y) = xy = x(4 - x) = 4x - 2x

= 4 - (2 - x)2

≤ 4 = f(2, 2)เพราะฉะนั้น f(2, 2) = 4 เปนคาสูงสุดสัมบูรณ


ตัวอยาง 3.11.3 จงหาคาสุดขีดของ f(x, y) = xyภายใตเงื่อนไข 2x + 2y = 1 โดยวิธีตัวคูณลากรานจวิธีทาํ ให f(x, y) = xy

g(x, y) = 2x + 2y - 1 = 0 ... (1)จากสมการ ∇ f(x, y) = λ ∇ g(x, y) ... (2)

(xf∂∂ ,

yf∂∂ ) = λ (

xg∂∂ ,

yg∂∂ )

(y, x) = λ (2x, 2y) = (λ 2x, λ 2y)เพราะฉะนั้น y = λ 2x และ x = λ 2y

λ = x2y และ λ =

y2x

เพราะฉะนั้น x2y =

y2x เพราะฉะนั้น 2x = 2y

จาก (1) จะได 2x + 2x - 1 = 0 เพราะฉะนั้น x = ±2

1

เพราะฉะนั้นจุด (x, y) ทั้งหมดที่สอดคลอง (1) และ (2) คือ(

21 ,

21 ), (

21 , -

21 ), (-

21 ,

21 ) และ (-

21 , -

21 )

เพราะวา f(2

1 , 2

1 ) = 21 f(

21 , -

21 ) = -2

1

f(-2

1 , 2

1 ) = -21 f(-

21 , -

21 ) = 2

1

เพราะฉะนั้นคาสูงสุดของ f คือ 2

1 เกิดที่ (2

1 , 2

1 ), (-2

1 , -2

1 )

คาต่ําสุดของ f คือ -21 เกิดที่ (

21 , -

21 ), (-

21 ,

21 )

of 30


ตัวอยาง 3.11.4 จงหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งเสนรอบรอบมีความยาว 100 เซนติเมตร และมีพ้ืนที่มากที่สุดโดยวิธีตัวคูณลากรานจวิธีทาํ ให x = ความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผา

y = ความกวางของรูปสี่เหลี่ยมผืนผาและ A = พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผาเพราะฉะนั้น A = xy และความยาวเสนรอบรูป = 2x + 2y = 100ให f(x, y) = xy เมื่อ x > 0, y > 0

g(x, y) = x + y - 50 = 0 ... (1)ปญหาขณะนี้จึงเปน การหาคาสูงสุดของ f(x, y) = xyภายใตเงื่อนไข g(x, y) = 0 โดยวิธีตัวคูณลากรานจจากสมการ ∇ f(x, y) = λ ∇ g(x, y) ... (2)

(xf∂∂ ,

yf∂∂ ) = λ (

xg∂∂ ,

yg∂∂ )

(y, x) = λ (1, 1)= (λ, λ)

เพราะฉะนั้น x = λ และ y = λจาก (1) จะได λ + λ - 50 = 0

λ = 25เพราะฉะนั้น x = y = 25


เพราะฉะนั้นจุด (x, y) ทั้งหมดที่สอดคลอง (1) และ (2)คือ (25, 25)เพราะวา f(x, y) = xy

= x(50 - x)= 50x - 2x

= 625 - (25 - x)2

≤ 625= f(25, 25)

เพราะฉะนั้น f(25, 25) = 625 เปนคาสูงสุดสัมบูรณ


แบบฝกหัด 3.111. จงหาคาสุดขีดของ f ภายใตเงื่อนไขที่กําหนดให

1.1 f(x, y) = xy ภายใตเงื่อนไข 4 2x + 8 2y = 161.2 f(x, y) = 4 3x + 2y ภายใตเงื่อนไข 2 2x + 2y = 11.3 f(x, y) = 25 - 2x - 2y ภายใตเงื่อนไข 2x + 2y - 4y = 0

2. จงหาจุดบนเสนตรง y = 2x + 3ซึ่งอยูใกลจุด (4, 2) มากที่สุด

3. จงหาจุดบนระนาบ 4x + 3y + z = 2ซึ่งอยูใกลจุด (1, -1, 1) มากที่สุด

4. จงหาคาสูงสุดของ f(x, y) = 2y - xบนเสนโคง y = sin x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2π

เฉลยแบบฝกหัด 3.111. 1.1 คาสูงสุด = 2 เกิดที่ ( 2 , 1) และ (- 2 , -1)

คาต่ําสุด = - 2 เกิดที่ (- 2 , 1) และ ( 2 , -1)1.2 คาสูงสุด = 2 เกิดที่ (

21 , 0)

คาต่ําสุด = - 2 เกิดที่ (-2

1 , 0)1.3 คาสูงสุด = 25 เกิดที่ (0, 0)

คาต่ําสุด = 9 เกิดที่ (0, 4)2. (5

2 , 5

19) 3. (1, -1, 1) 4. 3 - 3π เกิดที่ ( 3

π , 23)

of 30

page 1 of 30 3 - 1 บทที่ฟ 3 ชงกันของหลายตัวแปร 3 - 2...

Documents