Szakdolgozat

Dr. Sáfár Zoltán

2018

BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM

BIZTOSÍTÁSI OKTATÓ ÉS KUTATÓ CSOPORT

POSZTGRADUÁLIS AKTUÁRIUS SZAK

A nyugdíjkorhatár automatikusindexálásának lehetséges módszerei

Szakdolgozat

Készítette:

Dr. Sáfár Zoltán

Konzulens:

Dr. Banyár József

2018. május

�Az emberek egyre hosszabb ideig élnek, a jelenség hátterében a 30 éves jelzálog-hitelek

elterjedése állhat.�

Doug Larson

�Rosszabb dolgok is vannak a halálnál: aki valaha is együtt töltött egy estét egy biztosítási

ügynökkel, tudja, hogy mire gondolok.�

Woody Allen

Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretnék köszönetet mondani mindenkinek, aki segített a dolgozat elkészíté-

sében. Külön kiemelném közülük témavezet®met, Dr. Banyár Józsefet, aki már a tanul-

mányaim kezdetén felkeltette az érdekl®désem az életbiztosítások matematikája iránt, és a

szakdolgozat elkészítése közben is mindig türelemmel válaszolt kérdéseimre, értékes taná-

csokkal és folyamatos oda�gyeléssel kísérte munkám. Köszönettel tartozom még a családom-

nak és a munkatásaimnak, akik tolerálták a tanulással eltöltött sok id®t és a szakdolgozat

készítésével járó kutatómunkát.

Tartalomjegyzék

Bevezetés 1

1. Longevity 5

1.1. Id®söd® társadalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Relatív öregedés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Matematikai modell 17

2.1. Jelölések, fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Egyszer¶bb összefüggések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Fix% és �xe összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1. A diszkrét ex viselkedése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2. A folytonos ex viselkedése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Gyakorlati alkalmazás 38

4. Egy másik megközelítés 40

5. A nyugdíjkorhatár változása 44

5.1. Más EU tagországok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1. Csehország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.2. Görögország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.3. Olaszország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.4. Németország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Függelék 51

Irodalomjegyzék 53

i

Ábrák jegyzéke

1. Népesség száma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Születéskor várható élettartam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Id®sek aránya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Magyar termékenységi ráta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Magyar korfa 1870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Magyar korfa 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Nyugdíjban töltött évek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. Nyugdíjban töltött évek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Várható élettartam és nyugdíj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1. A qx függvény lineáris ex esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Tapasztalati és számított görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Tapasztalati és számított görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Várható élettartam közelítése 2014-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Túlélési valószín¶ségek közelítése 2014-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6. Várható élettartam közelítése 1950-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7. Túlélési valószín¶ségek közelítése 1950-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1. B értékének változása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1. Nyugdíjasok aránya a teljes népességhez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ii

Táblázatok jegyzéke

1.1. Nyugdíjba vonulási kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1. Élettartam el®rejelzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2. Aktívak és nyugdíjasok aránya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1. Nyugdíjkorhatár . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2. Magyar várható élettartamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iii

Bevezetés

Manapság egyre világosabban látszik a társadalom �elöregedésének� problémája. Ez azt

jelenti, hogy az emberek egyre tovább élnek, és ezért egy adott életkor felettiek aránya is

folyamatosan n® (a következ® fejezetben ezt láthatjuk is az (1.1. és 1.2. ábrákon)) és egyre

kevesebb gyermek születik (1.3. ábra), ezért a fejlett országokban általánosnak mondha-

tó (folyó �nanszírozású) nyugdíjrendszer hosszú távon változatlan formában nem tartható

fenn.

A hosszabb élettartam miatt a népesség száma elvileg n®, az alacsonyabb termékenység

miatt azonban csökken. A két ellentétes hatás összege az 1. ábrán látható, ahol meg�gyel-

het®, hogy 1980-ig az össznépesség száma n®, majd utána elkezd csökkenni:

1. ábra. Népesség számának alakulása Magyarországon, forrás: KSH [10], 1.1.6

Intuitív kép, hogy id®snek nagyjából a 60 év feletti embereket tekintjük. Az arányukat

a teljes népességhez képest szintén megtekinthetjük a következ® fejezet 1.2. gra�konján.

(Megjegyzésként mindenképp hozzá kell tenni, hogy az Európai Unión belül Magyaror-

szág lakossága a legegészségtelenebbek közé tartozik, így a magyarok várható élettartama

relatív alacsonynak számít, és így a 60 év felettiek arányis is relatív alacsony a nyugati

országokban mérhet® arányhoz képest.) Másfel®l az már önmagában érdekes tény, hogy az

1

emberek általában alulbecsülik a saját várható élettartamukat.

A folyó �nanszírozású nyugdíjrendszer alapvet® problémája, hogy er®s kapcsolatot te-

remt a különböz® nemzedékek között, hiszen az aktuálisan be�zetett járulékokat �zetik ki

az ugyanabban az id®pontban nyugdíjas embereknek. Ha a be�zet®k száma csökken, vagy

a ki�zetéseket élvez®k száma növekszik, esetleg a ki�zetés id®tartama n®, akkor a korábbi

pénzügyi egyensúly felborulhat. A következ® fejezet elején látjuk majd, hogy mindhárom

tényez® lényegében egyszerre változik, és mindegyik a nyugdíjak fenntarthatóságának szem-

pontjából rossz irányban.

Az alábbi problémafelvetés és javaslat a Fehér Könyvben [4] olvasható:

Ha az egyre hoszabb élettartamú n®k és fér�ak nem maradnak tovább a foglalkoztatásban, és

nem tudnak többet félretenni nyugdíjas korukra, akkor a nyugdíjuk megfelel® szinten tartását

nem lehet biztosítani. A demográ�ai robbanás idején születettek most mennek nyugdíjba

és Európa munkaképes korosztálya kezd besz¶külni. A 60 év felettiek száma minden évben

kb. 2 millióval növekszik, ezzel szemben az aktív munkaképes korúak száma minden évben

csökkenni fog.

A várható élettartam kitolódása és a baby boom idején születettek nyugdíjba vonulása

együttesen komoly gazdasági és költségvetési következményekkel fog járni az EU-ban: csök-

kenti a gazdasági növekedés lehet®ségét, és nyomást gyakorol az államháztartásokra. Ezeket

a kilátásokat ráadásul tovább súlyosbíthatja egy pénzügyi és gazdasági válság, ami nemrég is

volt. A nehézkes gazdasági növekedés, a költségvetési hiányok és az eladósodás, a pénzügyi

instabilitás és a foglalkoztatottság alacsony szintje valamennyi rendszer számára megnehezí-

tette a nyugdíjígérvények megvalósítását. A csökken® foglalkoztatottság és az ebb®l adódóan

csökken® nyugdíjjárulékok kedvez®tlenül hatnak a folyó �nanszírozású nyugdíjrendszerekre.

(A t®kefedezeti rendszereket pedig a csökken® eszközértékek és megtérülések érintik.)

Az Európai Bizottság a következ®ket javasolta a nyugdíjak értékének fenntarthatósága

céljából:

• a nyugdíjkorhatár összekötése a várható élettartam növekedésével,

• a korkedvezményes nyugdíjrendszerekhez való hozzáférés és a munkaer®piacról való

más korai kilépési lehet®ségek korlátozása,

• a munkában eltöltött id® meghosszabbítása, az egész életen át tartó tanuláshoz va-

ló könnyebb hozzáférés, a munkahelyeknek a még sokfélébb munkaer® igényeihez való

2

igazítása, az id®sebb munkavállalók számára foglalkoztatási lehet®ségek biztosítása, va-

lamint az aktív és egészséges öregkor támogatása,

• a n®k és fér�ak nyugdíjkorhatárának egyenl®vé tétele,

• a nyugdíjjövedelmek fokozása érdekében a kiegészít® nyugdíj-megtakarítások támoga-

tása.1

A fenti rövid összefoglalóból látszik, hogy a változatlan nyugdíjkorhatár hosszú távon prob-

lémás. Ezért szinte minden ország id®r®l-id®re ötletszer¶en emeli a nyugdíjkorhatárt.

A dolgozatom els®dleges célja megvizsgálni, hogy hogyan lehetne a folyó �nanszírozású

rendszerek fenntarthatóságát diszkrét emelések helyett folyamatos indexálással elérni, illet-

ve összegy¶jtsünk olyan a módszereket, amiket már alkalmaznak egyes országok.

A problémát két különböz® irányból is megközelíthetjük. Az egyik, hogy az egyén élet-

pályáján próbáljuk megadni a nyugdíjba vonulási életkort.

Egy másik lehet®ség, ha a társadalom szempontjából szeretnénk a nyugdíj fenntartható-

ságát elérni. Ekkor az éppen aktuális nyugdíjasok és az aktívak arányának kell egy megfelel®

küszöbérték alatt maradni.

A matematikai számolásokhoz szükségünk lesz a halandósági táblákban szerepl® mennyi-

ségekre. Halandósági táblázatokat már a XVI. század óta készítenek. Amikor ezekb®l be-

csülik el®re a várható élettartamot, akkor látható, hogy nem csak a �hétköznapi� embe-

rek becsülik alul a saját várható élettartamukat, hanem az ezzel foglalkozó szakemberek

(projekciói) is. Azt egyel®re még nem tudjuk, hogy hol lehet a születéskor várható életkor

maximuma, hol van az emelkedés �vége�. Elméletileg 2 lehet®ség van:

1. Az emberi élettartamnak biológiailag van egy fels® korlátja. Ezt azt jelenti, hogy egyre

többen megközelítik ezt a maximumot, vagyis csökken az emberi élettartamok szórása.

A halálozási kornak az ilyen szinkronizálódását hívják �rektangularizáció�-nak is, ami

azt jelenti, hogy a 2. fejezetben de�niálásra kerül® lx túlélési függvény alakja egyre

inkább �téglalappá� válik.

2. A másik lehet®ség, hogy nincs ilyen fels® korlát és a (születéskor) várható hátralév®

élettartam folyamatosan emelkedik.

1Az idézeteket a dolgozat többi részében is igyekszem d®lt karakterekkel írni.

3

Ma a szakért®k többsége az 1. lehet®séget fogadja el, de sokak szerint a 2. is reális lehet.

A várható élettartam becslésére vonatkozó szakirodalomból rengeteg megtalálható (pl.

Bajkó Attila, Maknics Anita, Tóth Krisztián: A magyar nyugdíjrendszer fenntarthatóságá-

ról, Lukács Attila: A magyar halálozási ráták el®rejelzése), és ezek vizsgálata, összehason-

lítása egy külön dolgozatot is megérne, nekünk azonban most nem a várható élettartam

becslése a célunk, hanem már meglév® adatokat szeretnénk felhasználni a nyugdíjkorhatár

megállapításához.

4

1. fejezet

Longevity

1.1. Id®söd® társadalom

A bevezet®ben már érintettük, hogy az id®söd® társadalom két legfontosabb összetev®je

(a ki- és bevándorlás tekintetében zárt társadalmak �pl. EU� esetében)

• a hosszabb élettartam (ennek következtében n® a 60 év felettiek aránya) és

1.1. ábra. Születéskor várható élettartam Magyarországon, forrás: KSH [10], 1.1

1.2. ábra. Az �id®sek� arányának változása Magyarországon, forrás: KSH [10], 1.1.6

5

• a gyermekvállalási hajlandóság (a szakirodalomban használt jelölése a TFR, Total

Fertility Rate) csökkenése.

Az fenti ábrákon a 60 éves korhatárt választottuk, mert Magyarországon az ezredfor-

duló környékén még ennél is alacsonyabb volt a tényleges nyugdíjba vonulási kor (1.6,

és 1.7 ábrák), sokszor a 60 év felettiekre gondolnak intuitív id®sként, illetve a Fehér

Könyv [4] bevezet®ben idézett szakasza is a 60 éves korra koncentrál.

A TFR Wikipedia-n [17] található meghatározása:

1.1.1. De�níció (TFR). A TFR a szül®képes korú (általában 15-49 éves) n®kre szá-

mított hipotetikus gyermekszám, amelyet egy n® szülne élete folyamán, ha az adott évi

gyakoriság egész élete folyamán állandósulna, egyszer¶bben a szül®képes korú n®i né-

pességre jutó születések átlaga.

Egy ország népességének fennmaradásához a TFR értékének a 2,1-et szokták tekinteni

(ez úgy jön ki, hogy 100 lányra átlagosan 106 �ú születik, így 100 n®nek átlagosan 206

�egy n®re nézve és kerekítve 2,1� gyereket kell szülnie, hogy az ebb®l a szempontból

releváns n®i létszám reprodukálásra kerüljön. Ha az arány 10 �ú és 100 lány lenne,

akkor elég lenne az 1,1 érték is). Ez az az érték, amely állandó várható élettartam

mellett konstans népességszámot biztosít. Ha hosszabb távon a TFR 2,1 alá csökken

(és a várható élettartam nem n®), akkor a népesség csökkenése várható, amely akár a

teljes elt¶néshez is vezethet.

A TFR csökkenése szintén a bizonyos kor feletti népesség arányának növekedését

okozza, ami csak er®síti a hosszabb élettartam ilyen irányú hatását.

A következ® gra�konon a magyar teljes termékenységi rátát láthatjuk.

1.3. ábra. TFR, forrás: KSH [10], 1.1

6

Sajnos jól látszik, hogy a magyar TFR lényegében 1959 óta �4 év kivételével� folyama-

tosan 2,1 érték alatt tartózkodik.

A longevity és a TFR a folyó �nanszírozású nyugdíjrendszerben összefügg: gondoljunk

bele, hogy ha 3 aktív dolgozónak kell eltartania 1 nyugdíjast, akkor a jövedelmük nagyobb

részét fordíthatják saját jólétükre, illetve gyermekek nevelésére. Azonban, ha 1 aktív tart

el 1 nyugdíjast, akkor lényegében a saját létfenntartásáért is küzd, és várhatóan nem fog

gyermeket is vállalni (ha feltesszük, hogy felel®sségteljes és a gyermeket valóban nevelni is

szeretné).

A várható élettartam növekedésének bevezet®ben említett problémái számokban az Eco-

nomist [3] 2017-es beszámolójából: A longevity növeli az id®skori függ®ségi rátát (a 65 éves

vagy annál id®sebb emberek aránya a 15-64 éves korosztályhoz) a 2015-ös 13%-ról 38%-

ra a század végéig. Gazdasági stagnáláshoz, eszközpiaci válságokhoz, hatalmas költségvetési

feszültségekhez és az innováció hiányához vezethet. Az IMF el®rejelzése szerint a nyugdí-

jakra és az egészségügyre fordított kiadások, amelyek a gazdag világban már meghaladják

a GDP 16%-át, a század végére 25%-ra fognak emelkedni, ha semmi sem történik. Ha a

termelékenység növekedése nem ér el egy teljesen valószín¶tlen léptéket, akkor gazdaságilag

nem fenntartható 30 évig vagy annál hosszabb ideig �zetni a nagyvonalú nyugdíjakat olyan

embereknek, akik csak hasonló hosszúságú id®n keresztül járultak hozzá ilyen rendszerekhez.

A probléma ennél még sokkal összetettebb, mert a nyugdíjrendszer be�zet®inek és a

ki�zetést élvez®knek az aránya még rengeteg tényez®t®l függ, de most nem foglalkozunk a

különböz® politikai döntések, vagy az EU központi országainak szívóhatása miatti kiván-

dorlással (ahogy a fejezet elején is említettük), valamint a rokkantakkal.

Az emberek életpályáját gazdasági aktivitás (vagyis jövedelemtermelés) szempontból 3

szakaszra szokták bontani:

I. gyermekkor, amikor még nem aktív be�zet®je a társadalomnak, vagyis gazdaságilag

inaktív,

II. feln®tt kor, ®ket tekintjük aktívaknak,

III. id®skor, akik már nem be�zet®k, ez ismét egy inaktív életszakasz.

Megjegyzés. Itt fontos hangsúlyozni, hogy átlagosan mindenkinek az aktív életpályája

alatt kell megtermelnie az egész életpálya fogyasztását, de még jobb, ha kicsit többet!

7

év20-25születés 60-65

I. II. III.

Hogy a fent vázolt nehézségeket még növeljük, nem csak a III. pályaszakasz hosszának

növekedése okozhat problémát, hanem az I. elnyúlása is.

A dolgozatnak ebben a szakaszában szemléltetés célból élni fogok a 2000-es évek és a

legalább 50 évvel korábbi társadalmak összehasonlításával. A fenti életpálya modell a 2000-

es évek elejére vonatkozik, ekkor reális a számegyenesen látható 60-65 év nyugdíjba vonulási

kor.

Magyarországon az 1950-es évek végéig (els®sorban a falvakban) a családok egy fedél

alatt éltek, akár három, vagy négy generáció is ugyanabban a házban. Ekkor a �atalok

segítették az id®seket, és lényegében nem volt szükség a nyugdíjrendszerre. A gyermekek-

nek nem kellett hosszú éveken keresztül tanulni, aminek az egyik oka az is lehet, hogy a

családi önfenntartó gazdaságok alig, vagy egyáltalán nem voltak gépesítettek. Éppen ezért

a gyermekek akár már 14-15 évesen is a szül®k hasznára tudtak lenni, vagyis a korai gyer-

mekvállalás egy gyorsan megtérül® �befektetés� volt.

Manapság a gyermekek többsége egyetemet akar végezni, mert minden jól �zet® mun-

kakörben a megszerzett bizonyítványokat kérik. Éppen ezért 18-20 évesen már elköltöznek

nagyobb városokba (kollégiumba, vagy albérletbe) és nem ®k támogatják a családjuk id®-

sebb tagjait, hanem fordítva. Az egyetemr®l gyakran 25 éves koruk el®tt nem kerülnek ki,

ekkor kell megalapozni a saját egzisztenciájukat, vagyis ezzel a gyermekvállalásuk id®pontja

is kitolódik (és a biológiai kortálok miatt a mennyisége csökken).

Ennek (és egy sor tényez®nek mint például a fogamzásgátlás, a párkapcsolatok stabilitásá-

nak hiánya) egyenes következménye a TFR folyamatos csökkenése.

A továbbiakban nem mindig foglalkozunk az életpálya I. szakaszával, csak a II. és III.

arányát, illetve az egyén hátralév® várható élettartamát vizsgáljuk.

Az id®söd® társadalom problémájának talán legegyszer¶bb (rész)megoldása, hogy az

összlakosság számához képest csökkentjük azok számát, akik a társadalombiztosítás rend-

szerében már nem be�zet®k, csak a hasznát élvezik (a III. életpálya-szakaszban lév®k).

Nagyjából ez a Bizottság [4]-ben olvasható ajánlásának is a lényege. Habár az I. szakaszban

lév® emberek se be�zet®k, de az ® számuk csökkentése hosszútávon nem célszer¶, mert ez-

zel a kés®bbi be�zet®k száma, vagy a be�zetés nagysága csökkenne. A legkevésbé radikális

módszernek a nyugdíjbavonulási életkor folyamatos növelése t¶nik, amit már több ország-

ban is elkezdtek, illetve ötletszer¶en néha növelik a korhatárt.

Az Economist már korábban is idézett [3] tanulmánya szerint egy reális megközelítés azzal

8

kezd®dik, ha felismerjük, hogy a fejlett, gazdag világban sok id®snek tekintett ember gazda-

ságilag még �atalnak számít. �k szeretnének még dolgozni, de a �ataloknál kicsit rugalma-

sabban és pénzt is akarnak költeni. A nyugat-európai városokban 2030-ig a 60-as években

járó emberek a fogyasztásnövekedésnek az 59%-át teszik ki, mondja McKinsey.

Az élet egy új szakaszának megállapítása segíthet a felfogás megváltoztatásában. Egy

hasonló bevezetés már korábban is megtörtént a XIX. században. A �pöttyös� már kínos volt

az 1940-ben 15 éves korosztály számára, ezért akkoriban bevezették a tinédzser életszakaszt,

amely keresletének kielégítésére mindenféle terméket és szolgáltatást életre hívtak a csíkos

zoknitól a zeneiparig. 1944-ben a Life azt írta, hogy az amerikai üzletemberek, akik közül

sokaknak van tinédzser lánya, nemrég kezdték felismerni, hogy a tinédzsereknek nagy és

különleges piaci igényei vannak.

A tinédzserek után az alábbi táblázat a 2016-ban 20 évesek várható nyugdíjba vonulási

korát mutatja.

Ország Várható nyugdíjba vonulási kor

Ausztrália 67

Ausztria 65

Belgium 65

Csehország 65

Dánia 74

Finnország 68

Németország 65

Görögország 62

Írország 68

Olaszország 71,2

Magyarország 65

Luxemburg 60

Szlovákia 68

1.1. táblázat. Nyugdíjba vonulási kor 2016-ban az OECD pár országában, forrás: OECD

[12]

A táblázat alapján a nyugdíjbavonulási korok átlaga már 60 év felett lesz, inkább a

9

65-höz közel, ezért nem ragaszkodunk a 60 éves határhoz a tárgyalás során.

A nyugdíjbavonulási kor emelésével elméletileg egyszerre növelhetjük az aktív be�ze-

t®k számát és csökkenthetjük a nyugdíjrendszer kedvezményezettjeinek számát, tehát az

arány jelent®sen javulhat. Továbbá a kés®bbiekben ��x%�-nak nevezett módszerrel az id®-

södés egyetlen oka az alacsony TFR lesz, a longevity problémát lényegében hatástalanítjuk.

Szintén a kés®bbiekben de�niált ��xe� alkalmazásával további TFR-rész is kiváltható.

Magyarországon (a [3]-ban és [4]-ben) a felvázolt nehézségek már manapság is érezhe-

t®ek, kiélez®dni azonban csak várhatóan 2030 körül fognak, amikor a �Ratkó-korszak�-ban

születettek nyugdíjba vonulnak. Ezen korszak meghatározása a Wikipedia [16] szerint: Rat-

kó Anna 1949 és 1953 közötti népjóléti, majd egészségügyi miniszterségének, illetve tágabban

az 1950 és 1956 közötti félévtizednek a népesedéspolitikára utaló elnevezése. Az abortuszti-

lalom és a gyermektelenségi adó miatt a természetes szaporodás üteme ezekben az években

jelent®sen n®tt. A terhességmegszakítás tilalmát 1956 júniusában oldották fel, a gyermekte-

lenségi adót pedig az 1956-os forradalom után törölték el. Az ebben a félévtizedben született

generációt Ratkó-gyerekeknek hívják.

1.2. Relatív öregedés

Magyarország korfája 1870-ben piramis alakú, 2011-ben viszont már inkább nyolcszög-

höz hasonlít, �nyugatias� korfa.

1.4. ábra. Magyar korfa 1870-ben, forrás: KSH [10], 1.1.4

A 2011-es korfán jól látszik a Ratkó-korszak, illetve az ® gyermekeik is. Az unokáik

10

azonban egyel®re váratnak magukra.

1.5. ábra. Magyar korfa 2011-ben, forrás: KSH [10], 1.1.4

Az Economist [3] beszámolójának a dolgozat szempontjából újabb fontos megállapítá-

sai: A gazdaságilag hosszabb aktivitáshoz újra kell gondolni az életpályákat. A mai id®sebbek

közül sokan valójában nem öregek abban az értelemben, hogy �elhasználódtak�, betegek és

inaktívak lennének. A mai 65 évesek sokkal jobb formában vannak, ��ttebbek�, mint a nagy-

szüleik ugyanabban az életkorban.

A legtöbb EU-országban az 50 évesek várható hátralév® élettartama gyorsabban növekszik,

mint a várható életkor, ami azt sugallja, hogy a csökkent életer® és rossz egészségi állapot

az életpálya vége felé s¶r¶södik (bár nem minden akadémikus ért ezzel egyet). A legtöbb

országban azonban az életkor, amikor az emberek nyugdíjba vonulnak, alig változott az el-

múlt században. Amikor Otto von Bismarck 1880-as években létrehozta az els® formális

nyugdíjakat, 70 év volt a korhatár (ami kés®bb 65-re csökkent), a várható élettartam Po-

roszországban azonban csak 45 év volt. Ma a nyugati világban a lakosság 90%-a a 65 éves

születésnapját is többségében jó egészségben ünnepli, mégis a mai napig ezt a kort tekintik

az öregség kiindulópontjaként.

A gazdag világban és különösen Európában a nyugdíjazásról folyó vita általában a nem-

zedékek közötti kon�iktusra összpontosít: az állami nyugdíjrendszerekb®l származó �zetés azt

jelenti, hogy a �atalok valójában az id®seknek �zetnek. De ha az id®sek hosszabb ideig foly-

tatják a munkavégzést, az ebb®l ered® gazdasági fellendülés ugyanolyan el®nyökkel járna a

�atalok és az id®sek számára, ami extra növekedést eredményezne. A nyugati világban a 65

éves emberek átlagosan még 20 évet fognak élni, aminek a felét mindenféle fogyatékosság nél-

11

kül. Ha az elöreged® országokban, például Németországban, Japánban és Spanyolországban

él® emberek számára 2010 és 2050 között évtizedenként 2-2,5 évvel késleltetik a nyugdíjazást,

az elég lenne a demográ�ai változás hatásának ellensúlyozására Andrew Mason (University

of Hawaii) és Ronald Lee (University of California, Berkeley) szerint.

A fenti cikk alapján az els® probléma annak megfogalmazása, hogy kit is nevezünk

id®snek. Az intuitív kép az id®s emberekr®l nem feltétlenül egyezik meg azokkal az embe-

rekkel, akiket az aktivitás szempontjából id®snek kell tekinteni. A min®ségi öregedés alatt

azt értjük, hogy az egészségi állapot mikor, hány éves kortól kezdve romlik az öregedéshez

általánosan társított alacsonyabb szintre. Ennek a határát nehéz mérni. Az Egészégügyi Vi-

lágszervezet (WHO), Global Health Observatory (GHO) szervezete de�niált egy �várható

egészséges élettartam� (HALE) mutatót, ami megpróbálja mérni ezt a min®ségi korhatárt:

1.2.1. De�níció (HALE). A személyek teljes egészségben eltöltött éveinek átlagos száma,

amely �gyelembe veszi a betegség és/vagy sérülés csökkent® hatását.

A WHO [7] felmérése alapján a születéskori HALE mutató értéke

• Magyarországon 63,7-r®l 67,4 évre n®tt 2000 és 2015 között,

• Németországban 68,7-r®l 71,3-ra,

• egész Európát tekintve pedig 64,1-r®l 68 évre.

Ugyanezen intervallumban a 60 évesek még hátralév® életükb®l várhatóan egészségben

eltöltött éveinek száma

• Magyarországon 14,1 évr®l 15,8-ra

• Németországban 16,9-r®l 18,6-ra,

• egész Európában 15,4-r®l 17,4 évre n®tt,

a függelékben lév® várható élettartam-táblázat alapján. Azt mondhatjuk, hogy Magyar-

országon a 15 év alatt nagyjából 4 évvel n®tt a születéskor várható élettartam, ebb®l közel

3 évet egészségben fognak eltölteni. A 60 éveseknél az egészségben eltöltött évek számának

növekedése meg is haladja a hátralév® várható élettartamét.

Németországban is hasonló tendencia �gyelhet® meg.

12

Összefoglalva, a fejlett (vagy nyugati) országokban f®leg az id®sebb korosztályban ará-

nyaiban jobban n® az egészségben eltöltött évek száma a hátralév® várható élettartamhoz

képest.

A halandósági táblákat szemlélve (például a [8] oldalról nem csak a magyar, de a többi

ország táblái is elérhet®k) meg�gyelhet®, hogy minden korosztályban monoton n® a hátra-

lév® várható élettartam, és ezzel együtt a HALE mutató értéke is.

A �min®ségi öregedés�-nél jobban számolható fogalomra lenne szükségünk. Egy ilyen

lehet a �relatív öregedés�. Az idéz®jeles megkülönböztetés Banyár Józseft®l [1] származik.

A relatív öregedés esetén nem rögzítjük hosszú évekre pl. a nyugdíjkorhatárt, hanem azt

próbáljuk elérni, hogy a várható hátralév® élettartammal együtt mozogjon. Itt is meg-

különböztethetünk három különböz® módszert aszerint, hogy milyen együtthatómozgást

szeretnénk:

1. Az átlagos emberi életpályának mindig ugyanakkora hányadát töltsék id®sként (jelölés-

ben �x%), részletesebben ez azt jelenti, hogy meghatározuk egy adott százalékot, és

azt mondjuk, hogy a várható életpálya például 20%-át töltsék nyugdíjban az embe-

rek. Tehát ekkor a nyugdíjkorhatár és a várható élettartam ugyanolyan százalékban

változik.

2. Ha szeretnénk �gyelembe venni az életpálya I. szakaszát is, akkor de�niálhatjuk úgy

a relatív id®skort, hogy az x év feletti élettartamból az öregen eltöltött évek aránya

legyen állandó. Ez az x lehet az aktív életszakasz kezdete.

3. A nyugdíjas évek számát tartsuk konstans értéken (jelölésben �xe). Ez azt is jelenti,

hogy mivel az élettartam n®, ezért a nyugdíjban töltött évek számának aránya csökken.

A kés®bbi fejezetben csak a �x%-kal és �xe-vel jelölt mennyiségeket fogjuk részlete-

sebben megnézni. Mindkét esetben a várható élettartam növekedésével együtt n® a relatív

öregedési korhatár is. Ha a várható élettartam növekedése els®sorban a �atal és aktív korú

népesség halandóságának javulása miatt következik be, akkor a �x%, ha viszont els®sorban

az id®skorú népesség halandósága miatt, akkor a �xe típusú érték n® jobban. Nyilván egy

fejlett országban, amelyik nagyjából már kimerítette a �atalkorú népesség halandóságá-

nak javításában rejl® potenciált (magyarán, ahol �atal korban már lényegében senki nem

hal meg), ott már csak az id®skorú népesség halandósága tud érdemben javulni, s így ott

általában a �xe mutató értéke lesz nagyobb.

13

Ha meg is állapodtunk, hogy a továbbiakban valamelyik relatív öregedési mutatót alkal-

mazzuk, vagyis, hogy lényegében indexáljuk az öregségi korhatárt, még mindig megmarad a

kérdés, hogy konkrétan mi legyen a kezdeti érték, amit aztán folyamatosan karbantartunk?

Egy logikus lehet®ség erre, hogy a múltban választunk egy id®pontot, aminek a viszonyait

jól ismerjük, s megállapítjuk azt a korhatárt, ami fölött akkor öregnek lehetett tekinteni

az átlagos embert. Ezután �x% esetben rögzítjük, hogy az átlagos ember akkor, életpá-

lyája hány százalékát töltötte öregen, s a kés®bbiekben minden évben megkeressük azt az

életkort, ami mellett az adott népesség átlagos embere életpályája ugyanekkora részét tölti

ennél id®sebben. A �xe esetében pedig minden kés®bbi évben azt a kort keressük, amit®l

kezdve az átlagos ember ugyanakkora hosszúságú id®t tölt öregen (fejlett országokban az

el®bbihez képest ekkor az öregen töltött id® aránya csökken, míg ott ennek aránya állandó).

Az öregedéshez szorosan kapcsolódik a nyugdíjkorhatár kérdése is. A korhatár automa-

tikus indexálásának az egyik lehet®sége, ha azt a relatív id®skor határával de�niáljuk.

A következ® két ábrán azt szemléltetjük, hogy a tényleges nyugdíjba vonulási kor vala-

melyest csökkent 1970 óta, majd 2000 után minimálisan emelkedett, a nyugdíjban töltött

id® azonban szinte monoton növ® függvény a magasabb várható élettartam miatt. Ez adhat

egy kezd®értéket a �xe-hez. Például vehetjük az arányt 20%-nak (ez a 2000-es évek elején

a 60 év felettiek aránya a teljes lakossághoz képest (1.2. gra�konon láthatjuk), innen kis

ugrással feltehetjük, hogy az egyéni életpályán belül is legyen 20% a nyugdíjban töltött

arány), az alábbi gra�konok szerint nagyjából 20 évet töltenek az emberek nyugdíjban,

tehát a �xe esetében ez is lehet kezd®érték.

1.6. ábra. Nyugdíjba vonulási kor és nyugdíjban töltött évek, forrás: [8] és [5]

14

1.7. ábra. Nyugdíjba vonulási kor és nyugdíjban töltött évek, forrás: [8] és [5]

Számolhatóság szempontjából célszer¶ a �x%-ot választani. A �xe (jóval nehezebben

számolható mutató) mellett szól ugyanakkor az, hogy az öregedésnél nem igazán számítha-

tó lényeges mozzanatnak, ha az id®sek aránya amiatt változik, mert a �atalkorú népesség

halandósága változik. A �xe mutatóban viszont csak az érintett, id®skorú népesség ha-

landóságát veszik �gyelembe, így az tartalmilag jobban kifejezi a lényeget. Ugyanakkor a

gyakorlatban a két érték viszonylag közel van egymáshoz, így elképzelhet® praktikus komp-

romisszumként a könnyen számolható �x% mutató alkalmazása.

Banyár József 2017. szeptember 21-én elhangzott konferenciael®adásán elhangzott, hogy

a �xe relatív korhatár ugyan nem egyenletesen, de nagyjából (kicsit nagyobb, mint) 2 hónap/

év ütemben n®tt. (Az utolsó fejezetben, az alkalmazott módszereknél erre a mondatra még

vissza fogunk térni.)

Mivel a nyugdíjkorhatárt ezen módszerekkel a születéskor várható élettartamhoz köt-

nénk, nézzük meg ezek kapcsolatát. Érdekes meg�gyelni, hogy 1970-ben a születéskor vár-

ható élettartam lényegében megegyezett a nyugdíjkorhatárral. Ezután a várható élettartam

n®, a nyugdíjkorhatár csökkenés után a 2000-es évek elejét®l lassan n®, így a nyugdíjban

töltött évek száma is egyre magasabb, mivel a várható élettartam növekedésének üteme

nagyobb a nyugdíjkorhatárénál.

15

1.8. ábra. Nyugdíjba vonulási kor és a várható élettartam, forrás: [8] és [5]

16

2. fejezet

Matematikai modell

A dolgozatnak ezen részét (Banyár József [2] (2003)), és (Hans U. Gerber [9] (1995))

könyvek, (Banyár József [1], (2017)) diái, illetve az els® féléves Életbiztosítások cím¶ kurzus

alapján írtam.

A fejezetben olyan matematikai modellt szeretnénk felépíteni, illetve vizsgálni, amelynek

segítségével el tudjuk dönteni, hogy az egyén életpályáján milyen módszerrel kellene meg-

keresni azt a nyugdíjba vonulási kort, amely esetén a nyugdíjrendszer fenntartható marad.

Pontosabban összehasonlítjuk az el®z® fejezetben de�niált �x% és �xe indexálási módsze-

reket. Ehhez el®ször röviden átismételjük az életbiztosítások körében használt jelöléseket

és egyszer¶bb összefüggéseket (diszkrét esetben), majd ezeket általánosítjuk folytonos eset-

re is. Bevezetünk két öregedési mutató fogalmat és végül különböz® elemi függvényekre

összehasonlítjuk ezen mutatókat.

2.1. Jelölések, fogalmak

Legel®ször bevezetjük a legfontosabb fogalmakat és jelöléseket, amelyeket a kés®bbiek-

ben majd használni fogjuk.

A relatív adatok, például a

• halálozási valószín¶ség,

• várható élettartam,

népszámlálásból (cenzusból) származnak. (Népszámlálást 10, mikrocenzust 5 évente tarta-

nak, halandósági táblát minden évben készítenek.) Ebb®l nyers halálozási valószín¶séget

17

számolnak, ez lesz az elméleti halálozási valószín¶ség.

Jelölés. Legyen qx az x-edik életévben elhalálozás valószín¶sége, vagyis

qx = P (x ≤ Y < x + 1|Y ≥ x),

ahol Y a halál id®pontja, vagy a megélt évek száma. Szavakkal azt mondhatjuk, hogy annak

a valószín¶sége, hogy a vizsgált személy megéli az x. születésnapját, de a következ®t már

nem.

A t|qx jelentése: egy x éves ember t éven belül meghal, vagyis

t|qx = P (x ≤ Y < x + t|Y ≥ x).

Megjegyzés. Az 1|qx = qx azonosság miatt t|qx a qx általánosítása.

Jelölés. A túlélési valószín¶ség legyen

(2.1) px = 1− qx,

vagyis

px = P (Y ≥ x + 1|Y ≥ x),

az x éves ember megéli az x + 1. születésnapját is.

A t|px legyen annak a jelölése, hogy az x éves személy még legalább t évet él, vagyis

t|px = P (Y ≥ x + t|Y ≥ x).

Megjegyzés. Most is igaz az 1|px = px egyenl®ség.

2.1.1. Lemma. Vegyük észre, hogy

(2.2) t|px = px · px+1 · · · · · px+t−1.

Jelölés. Az x éves korban várható hátralév® élettartam jelölése legyen az ex.

Ekkor e0 a születéskor várható élettartam.

Jelölés. Legyen ω a statisztikailag még releváns várható legmagasabb életkor (Magyaror-

szágon ω = 100), a 100 évesnél id®sebb személyek statisztikailag elhagyhatóak (a mellékelt

excel számolásokban, illetve ennek eredményeképp a 2.4�2.7 ábrákon is 110-et használtam

ω-ként).

2.1.1. Tétel. Az x éves korban még várható hátralév® élettartam el®áll

ex = 1|px + 2|px + . . . ω−x|px +1

2

18

összegként. (Feltételeztük, hogy aki megszületik, ® legalább 1 évet élni is fog, ezért kell az1

2a kifejezés végére.)

Megjegyzés. Ha e60 = 20, akkor e61 > 19, mert aki meghalt 60 évesen ®k húzták le az

átlagot, így akik nem haltak meg, az ® várható élettartamuk n®tt, tehát ex nem lehet −1

meredekség¶ egyenes.

2.1.1. De�níció (Kihalási rend). Az egyid®ben (mondjuk azonos évben) megszületett

(10000 vagy) 100000 (�ú/lány) csecsem®b®l x évesen még hányan vannak életben.

Jelölés. Legyen lx a kihalási rend, vagyis a 100000 újszülöttb®l az x életkorban életben

lév®k száma.

Megjegyzés. Magyarországon csak ∼80000 csecsem® született évente a 2010-es évek ele-

jén.

Megjegyzés. Elméletben egy generációt �gyelünk 100 évig, a gyakorlatban azonban min-

den évben 100 generáció adatait használjuk.

2.1.2. Lemma. Az {lx} monoton csökken® sorozat. (Többéves újszülött nincs, a halottak

nem támadnak fel.)

Megjegyzés. Elméletben nincs ki- és bevándorlás, de a a gyakorlatban, a megkonstruált

lx nem tartalmazza a már kivándorolt és tartalmazza az id®közben bevándorolt népesség

halandóságát.

2.1.2. De�níció (Generációs halandósági tábla). Olyan halandósági tábla, ahol tény-

legesen egy generációt �gyelünk 100 évig.

Megjegyzés. Ez egy �historikus� halandósági tábla, de pl. a járadékok kalkulálásához

projektált táblákra van szükség.

2.1.1. Egyszer¶bb összefüggések

Az el®z® részben bevezetett diszkrét mennyiségek között fennálló egyszer¶bb összefüg-

géseket mutatjuk be.

A túlélési valószín¶ségre a

(2.3) px =lx+1

lx

19

egyenl®ség teljesül és így a várható élettartam az

(2.4) ex =1

2+

1

lx

ω−x∑k=1

lx+k =1

2+

ω−x∑k=1

k|px

alakba írható.

Megjegyzés. A képletben szerepl®1

2az alsó (

∑lx+k) és fels® közelít® összegek átlagolása

miatt van, ahogy a 2.1.1. Tételben is megjegyeztük, (ez a valódi valószín¶séget alulról

becsüli).

Jelölés. Az x. életévükben elhunyt emberek száma (akik nem élik meg az x + 1-et)

(2.5) dx = lx − lx+1.

Megjegyzés. A 2.1.2. Lemma miatt dx ≥ 0.

2.1.2. Tétel. A várható élettartamra igaz a

0 < ex − ex+1 < 1

egyenl®tlenség.

Megjegyzés. Az els® egyenl®tlenséget a 2.1.1. Tétel utáni megjegyzésben is láttuk már.

2.2. Fix% és �xe összehasonlítása

A következ® alfejezetekben megismerjük Banyár József [1] el®adásában elhangzott to-

vábbi összefüggéseket a túlélési valószín¶ség, a hátralév® várható élettartam, illetve kétféle

öregedési mutató kapcsolatáról, majd matematikai levezetessel igazoljuk a következtetések

helyességét több függvénycsalád esetében is. Az el®adás nagyon rövid összefoglalása talán

úgy hangzik, hogy egy ex függvényb®l meghatározzuk a px-et, majd ebb®l a függvényb®l

öregedési mutatót számolunk.

A címben szerepl® mindkét módszer lényege, hogy az élettartam emelkedésével együtt

növekedjen a nyugdíjba vonulási kor is. A �x% esetében arányosan, a �xe-nél pedig lénye-

gében az egész �életkor-nyereséget� munkában kellene tölteni.

A dolgozat célja a nyugdíjkorhatár lehetséges indexálási módszereinek (fel)kutatása,

illetve az indexálás tudományos módszereinek megalapozása. Ehhez az el®z® fejezetben

említett három öregedési mutatóból kett®t részletesebben is megvizsgálunk (a harmadikkal

20

most nem foglalkozunk). A mutatók vizsgálatához alaposabban vegyük szemügyre az ex, px

és lx függvényeket.

Kezdjük a diszkrét esettel!

2.2.1. A diszkrét ex viselkedése

A várható hátralév® élettartam-görbe viselkedésének leírásához használjuk az

e′x ≈∆ex∆x

= ex+1 − ex

di�erenciahányadost. Az egyenl®ség teljesül, mert az x nálunk most csak természetes számot

jelöl, vagyis ex egy sorozat.

A (2.4) egyenletb®l egyszer¶ átindexeléssel kapjuk, hogy

ex =1

2+

1

lx

ω−x∑k=1

lx+k =1

2+

1

lx

ω∑t=x+1

lt

és

ex+1 =1

2+

1

lx+1

ω−x−1∑k=1

lx+1+k =1

2+

1

lx+1

ω∑t=x+2

lt

=1

2+

1

lx+1

ω∑t=x+2

lt +( lx+1

lx+1

− 1)

=1

lx+1

ω∑t=x+1

lt −1

2,

ezért

e′x ≈( ω∑

t=x+1

lt

lx+1

− 1

2

)−( ω∑

t=x+1

lt

lx+

1

2

)=

ω∑t=x+1

lt

lx+1

− lx+1

lx·

ω∑t=x+1

lt

lx+1

− 1.

Most az els® két tagban emeljük ki a közös tényez®t, ekkor a (2.5) azonosság miatt

e′x ≈(

1− lx+1

lx

) ω∑t=x+1

lt

lx+1

− 1 =dxlx·

ω∑t=x+1

lt

lx+1

− 1.

Tehát a becslésünk a (2.1), (2.3) és (2.4) összefüggésekb®l az

(2.6) e′x ≈ qx

(ex+1 +

1

2

)− 1

alakot ölti.

Az ex legkisebb meredeksége a fenti becslés alapján az e′x = −1, ha feltesszük, hogy

qx ≡ 0. Azonban ekkor qω = 1, és így ha x < ω, akkor a

−1 = e′x ≈

ω∑t=x+1

lt

lx+1

− lx+1

lx·

ω∑t=x+1

lt

lx+1

− 1

21

becslés miatt közelít®legω∑

t=x+1

lt

lx+1

=lx+1

lx·

ω∑t=x+1

lt

lx+1

,

tehátlx+1

lx≡ 1.

Ebben az esetben tehát az lx függvény vízszintes.

Az e′x < −1 azt jelenti, hogy a (2.6) el®tti approximációban dx < 0, azonban a (2.5)

utáni megjegyzésben láttuk, hogy dx ≥ 0.

Ezért feltehet®, hogy e′x > −1.

Az ex meredeksége akkor a lehet® legnagyobb, ha az (2.6) becslésben a tényez®k maxi-

málisak.

Ha qx = 1, akkor x évesen mindenki meghal, tehát ex+1 = 0 (vagyis ex+1 értéke mini-

mális). Ekkor e′x = −0, 5.

Mivel most −0, 5 = e′x = ex+1 − ex = 0− ex, ezért ex = 0, 5.

Els® közelítésben tehát a

(2.7) − 1 ≤ e′x ≤ 0, 5

egy durva, de könnyen kezelhet® becslés. Azonban vegyünk észre, hogy ha qx értékét csök-

kentjük, akkor az ex+1 növekedni fog, ezért az e′x értéke nem a qx = 1-ben maximális (ezért

nem -0,5-tel becsültük felülr®l). Megjegyzésként azonnal tegyük hozzá, hogy a kés®bbiekben

a fels® korlátot lényegében nem fogjuk használni.

Intuitíve akkor maximális, ha x évesen 1 f® kivételével mindenki meghal, de ez az 1 ember

ω éves koráig él. Vagyis a halandóság hirtelen megugrik, majd utána radikálisan visszaesik.

Ekkor

qx =lx − 1

lxés ex+1 = ω − x− 1

2,

és az ex meredeksége (2.6) szerint

ex+1 − ex =lx − 1

lx(ω − x)− 1 ≈ ω − x− 1,

de utána lényegében végig −1, mert az egyetlen túlél® már nem hal meg, csak a lehet®

legmagasabb életkorban.

Ebb®l az következik, hogy (relatív nagy) pozitív meredekség akkora halálozással jár,

hogy csak rövid ideig lehetséges. A gyakorlatban leginkább a csecsem®halandóság esetén

22

fordulhat el®. Ha a (2.6) becslésben e′x > 0, akkor

qx >1

ex+1 +1

2

.

A qx görbe viselkedése

Kezdjük a legegyszer¶bb esettel, vagyis tegyük fel, hogy az ex értékei egy lineáris függ-

vény diszkrét pontjai.

A csecsem®halandósággal ezzel a dolgozatban nem foglalkozunk részletesen, ezért a to-

vábbiakban tegyük fel, hogy −1 ≤ e′x =: k < 0 minden x < ω esetén. Ekkor a várható

hátralév® élettartam egy k meredekség¶ egyenes, aminek az értéke ω-ban1

2:

ex = k(x− ω) +1

2.

A (2.6) egyenletb®l k = qx

(ex+1 +

1

2

)− 1, és így

(2.8) qx =k + 1

k(x + 1− ω) + 1=

k + 1

k(x− ω) + k + 1

monoton növekv® hiperbolikus függvény, amelyre q0 =k + 1

k(1− ω) + 1és qω = 1.

Megjegyzés. A 2.1.1. Tétel utáni megjegyzésben már intuitív láttuk, hogy a valódi várható

élettartam nem egy −1 meredekség¶ lineáris függvény, de most azt látjuk, hogy bármilyen

egyenes �furcsa� qx-eket eredményez:

2.1. ábra. A qx függvény lineáris ex esetén

23

Mivel a feltevésünk szerint −1 ≤ k < 0, ezért

0 ≤ qx <1

1= 1.

Az lx görbe viselkedése

A (2.2) egyenletb®l tudjuk, hogy x|p0 = p0 · p1 . . . px−1. Most a (2.8) összefüggést helyet-

tesítsük be a (2.1)-be, ekkor kapjuk, hogy

px = 1− k + 1

k(x + 1− ω) + 1=

k(x− ω)

k(x− ω) + k + 1

monoton csökken® sorozat (hiszen egy konstansból vontuk ki egy monoton növekv® sorozat

tagjait), ezért a x|p0 x-ben monoton csökken® és 0-hoz konvergáló sorozat.

A következ® ábrákon megnézünk 2014-ben és 1950-ben, hogy a diszkrét lineáris közelítés

mennyire hasonlít a valódi adatokhoz.

A fejezetben lév® k paraméter értékét úgy optimalizáltuk, hogy a valódi és számolt px

értékek négyzetes hibája a lehet® legkisebb legyen.

Jelölés. Az ex a tapasztalati, az e_x a számolt görbe az alábbi ábrákon.1

2.2. ábra. Tapasztalati és számított görbék 2014-ben

A fenti gra�konok alapján láthatjuk, hogy a diszkrét esetben a lineáris közelítés opti-

malizálással kapott ex függvénye nem hasonlít a tapasztalati adatokhoz. Az életpálya korai

szakaszában túl sokan halnak meg, a végén túl kevesen. Ezért olyan ex függvényre van

szükségünk, amely kis x-ek esetén meredekebben csökken, nagyobb index esetében pedig

kevésbé. Tehát a korábbi lineáris függvény helyett a továbbiakban ex (a tapasztalati függ-

vényhez hasonlóan) konvex lesz. A legegyszer¶bb ilyen, a lineárisnál kicsit bonyolultabb

függvények a hatványfüggvények.1A kés®bbi gra�konokon is hasonló jelöléssel élünk, az _-t nevében tartalmazó adat a számolt.

24

2.3. ábra. Tapasztalati és számított görbék 1950-ben

2.2.2. A folytonos ex viselkedése

El®ször is az ω lehetséges legmagasabb kort kell átde�niálnunk, mert a diszkrét modell-

ben az ω a legmagasabb megélt születésnapot jelentette, most mérhetünk vele törtéveket

is.

De�niáljunk olyan ex folytonos függvényeket, amelyekre teljesül, hogy x = 0-ban e0 és

x = ω-ban 0 az értéke, és konvex a gra�konja!

A hatvány ex görbe viselkedése

A legegyszer¶bb folytonos konvex függvény a hatványfüggvény, ezért legyen

(2.9) ex = e0

(1− x

ω

)n, ahol n > 1.

Ekkor

e′x = −n

ωe0

(1− x

ω

)n−1.

A kapott deriváltfüggvény mindenütt negatív a (0, ω) intervallumban, ezért az ex függvény

monoton csökken®. (Ezt a de�nícióból direktben is láthatjuk, hiszen ex olyan hatványfügg-

vény, amelynek az alapja 1-nél kisebb és monoton csökken.)

Az

e′′x =n(n− 1)

ω2e0

(1− x

ω

)n−2kifejezés viszont pozitív mindenütt, és így az ex konvex függvény.

A diszkrét esethez (a (2.7) becsléshez) hasonlóan e′x most sem lehet kisebb −1-nél, vagyis

az x = 0-ban kicsit pontatlanul

e′0 = −n

ωe0

(1− 0

ω

)n−1= −n

ωe0 ≥ −1,

25

ezért e0 ≤ω

negy becslés a várható élettartam fels® korlátjára.

Megjegyzés. A születéskor várható (e0) élettartam növekedésével az n hatványkitev® 1-

hez konvergál, ha feltesszük, hogy az ω változatlan marad (ez a 3. oldalon az 1. elméleti

lehet®ség).

A px görbe viselkedése

Folytonos esetben a (2.4) egyszer¶ általánosításából és (2.3)-ból

(2.10) ex =

∫ ω−x

0

lx+tdt

lx=

∫ ω−x

0

lx+t

lxdt =

∫ ω−x

0t|pxdt

alakú. Mivel

(2.11) t+x|p0 =lt+x

l0=

lxl0· lt+x

lx= x|p0 · t|px,

ezért

t|px =1

x|p0· t+x|p0.

Ez azt jelenti, hogy a t|px görbe a t+x|p0 görbe eloszlásának felnagyítása. A (2.11) els®

egyenl®ségéb®l pedig látjuk, hogy az lx+t függvény alakja megegyszik a t+x|p0 alakjával,

vagyis a kihalási rend el®áll a túlélési valószín¶ségekb®l.

Az utolsó egyenl®séget helyettesítsük vissza a (2.10)-be és ezt tegyük egyenl®vé az ex

(2.9) alakjával, ekkor

ex = e0

(1− x

ω

)n=

1

x|p0

∫ ω−x

0t+x|p0dt =

1

x|p0

∫ ω

xt|p0dt,

vagyis szemléletesen a hátralév® élettartam az (x, ω) intervallumban a t+x|p0 görbe alatti

területének1

x|p0-szerese.

Mivel ex-et a (2.9)-ben hatványfüggvényként de�niáltuk, ezért az

(2.12)1

x|p0

∫ ω

xt|p0dt = e0

(1− x

ω

)nintegrálegyenletet kell megoldanunk.

A kés®bbi bonyolultabb függvények esetén történ® alkalmazás és az egyszer¶bb követ-

het®ség érdekében legyen

f(x) = x|p0, és g(x) = e0

(1− x

ω

)n.

26

Ekkor f(0) = 1, f(ω) = 0 és

ex =1

f(x)

∫ ω

x

f(t)dt = g(x)

integrálátlag.

Az alábbi ábrán a besatírozott téglalap területe megegyezik a függvény görbe alatti

területével az (x, ω) intervallumban és ex a téglalap vízszintes oldalának a hossza.

életkorω

f(x)

x

ex

Szorozzunk át f(x)-szel, majd deriváljuk mindkét oldalt, ekkor az

f(ω)− f(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

di�erenciálegyenletet kapjuk. Mivel f(ω) = 0, ezért ismét átrendezés után egyenletünk a

−1 + g′(x)

g(x)=

f ′(x)

f(x)

alakot ölti. Végül integráljuk mindkét oldalt:

ln f = −(

ln g +

∫1

g

), tehát az f =

1

gexp

(−∫

1

g

)egyenl®séggel számolhatjuk ki f(x)-et.

Megjegyzés. Figyeljük meg, hogy az

f =

(− exp

(−∫

1

g

))′összefüggés teljesül minden g-re a (0, ω) intervallumban! Ezért legyen

Px = − exp(−∫

1

g

)+ K,

a �halandóság ereje�, ahol K ∈ R tetsz®leges és ekkor f(x) = P ′x ∀x ∈ (0, ω).

Térjünk vissza a korábbi jelölésekhez, ekkor tehát a fenti levezetésb®l adódik, hogy

(2.13) x|p0 =1

exexp

(−∫

1

ex

)= P ′x,

27

ahol

Px = −ex · x|p0 + K.

Ha itt tekintjük az x → ω határértéket, akkor Pω = K-t kapunk (hogy ne kelljen mindig

kiírni a határértéket, ezért röviden, de pontatlanul úgy használjuk a jelöléseket, mintha a

P függvényt a végpontokban is de�niáltuk volna. Mivel a végpontokban létezik valamelyik

féloldali di�erenciálhányadosa, ezért kiterjeszthet® a függvény a 0 és ω pontokba is). A

(2.13) egyenletb®l

Px =

∫ x

0t|p0dt,

illetve tudjuk, hogy

ex =1

x|p0

∫ ω

xt|p0dt.

Az utolsó két egyenletet tekintsük az egész (0, ω) életúton, ekkor

Pω =

∫ ω

0t|p0dt, és e0 =

1

0|p0

∫ ω

0t|p0dt.

A várható hátralév® élettartam nevez®jében a (2.11) els® egyenl®sége szerint a

0|p0 =l0+0

l0= 1

szerepel, ezért K = e0 és így Px = e0 − ex · x|p0.

Ha a Px ezen utolsó alakjába x = 0-t és x = ω-t helyettesítünk, akkor P0 = 0 és Pω = e0.

Az általános levezetés után térjünk vissza a (2.12) egyenletben az x|p0 függvény megha-

tározásához. Els® lépésként a fenti eredményt alkalmazzuk hatványfüggvény várható élet-

tartam esetén. Ehhez számoljuk ki a

−∫

1

e0

(1− x

ω

)−ndx

integrál értékét! Egyszer¶ helyettesítéssel és ex-szel osztás után kapjuk, hogy

f(x) =1

e0

(1− x

ω

)−n· exp

( ω

e0(1− n)

(1− x

ω

)1−n+ C

).

Ahhoz, hogy az f(0) = 1 és f(ω) = 0 határértékben teljesüljön, legyen a

C = ln e0 −ω

e0(1− n),

ekkor

(2.14) x|p0 = exp

(ω

e0(−n + 1)

[(1− x

ω

)−n+1

− 1])·(

1− x

ω

)−n.

28

Ellen®rzésképp helyettesítsünk vissza x = 0-t és x = ω-t, ekkor

0|p0 = 1, és ω|p0 = 0.

Megjegyzés. Bár a határokon �jól� viselkedik az így kapott általános x|p0, a bels® pontok-

ban azonban nem, mert van monoton növ® szakasza, és 1-nél nagyobb értéket is felvehet.

Ez azt jelenti, hogy várható élettartam függvényében a konvexitásnál szigorúbb feltétel kell

ahhoz, hogy a túlélési függvény hasonlítson a tapasztalthoz. Ez a feltétel viszonylag egysze-

r¶. A (2.13) egyenletet deriváljuk x-szerint, és a monoton csökken® feltételhez az kell, hogy

ez a deriváltfüggvény negatív legyen:

(x|p0)′x = e0 exp

(−∫ x

0

1

etdt) 1

e2x[−1− e′x] < 0,

ezért a feltételünk a (2.7)-hez hasonlóan (ahogy azt a 25. oldal végén is megel®legeztük)

e′x > −1

alakot ölti. Ha ez minden x-re teljesül, akkor a megfelel® túlélési függvény monoton csökken®

lesz. A (2.9)-ben de�niált hatványfüggvény esetében a születéskor várható élettartamra

kapott ω ≥ ne0, vagy átrendezve n ≤ ω

e0becslés biztosítja ezt a feltételt.

A következ® ábrákon megnézzük, hogy az n =ω

e0esetben hogyan néz ki a közelítés a

2014-es és az 1950-es magyar [8] adatok esetében. (A másik (n = 1) széls®értéket már láttuk

a 2.2. és 2.3. gra�konokon.)

A gra�konokon látszik, hogy az újabb adatokra jobban illeszkednek a számolt értékek,

illetve a különbség csak 100 éves kor felett vált el®jelet, addig a képlet felülbecsüli a hát-

ralév® várható élettartamot, tehát a korábbi várható élettartamra vonatkozó becslésekkel

ellentétben mi felülr®l becsültünk a 2014-es adatok esetében.

29

2.4. ábra. Várható élettartam közelítése 2014-ben

2.5. ábra. Túlélési valószín¶ségek közelítése 2014-ben

2.6. ábra. Várható élettartam közelítése 1950-ben

Az 1950-es adatokra azonban mi is alsó becslést adtunk.

30

2.7. ábra. Túlélési valószín¶ségek közelítése 1950-ben

Az öregedési mutatók összehasonlítása

Az e0 fels® korlátjából tudjuk, hogy 1 < n ≤ ω

e0. Az n értékének ebben az intervallumban

való változtatásával vizsgáljuk meg, hogy hogyan tér el egymástól az

(2.15) A =

1

xA|p0

∫ ω−xA

0xA+t|p0dt

e0

(az xA korban hátralév® és a születéskor várható élettartam aránya), és az

(2.16) a =1

lxa

∫ ω

xa

ltdt =1

xa|p0

∫ ω−xa

0xa+t|p0dt

(az xa korban hátralév® élettartam) öregedési mutató, pontosabban ha valamely n0 esetén

xA = xa, és az A és a ezen értékeit rögzítjük, akkor hogyan változik egymáshoz viszonyítva

az xA és xa.

Vegyük észre, hogy a (2.14) egyenletben az általános levezetés (2.13) összefüggéséhez

hasonlóan el®áll

x|p0 =

[e0 ·

(1− exp

( ω

e0(−n + 1)

[(1− x

ω

)−n+1

− 1]))]′

= P ′x,

deriváltfüggvényként és Pω = e0 az x→ ω határértékben teljesül, ezért ki tudjuk számolni

31

az A és a (2.15) és (2.16) formuláiban szerepl® integrálokat:

A =

Pω − PxA

xA|p0e0

=

e0 − e0

[1− exp

(ω

e0(−n + 1)

[(1− xA

ω

)−n+1

− 1])]

xA|p0e0

=

exp

(ω

e0(−n + 1)

[(1− xA

ω

)−n+1

− 1])

exp

(ω

e0(−n + 1)

[(1− xA

ω

)−n+1

− 1])·(

1− xA

ω

)−n =(

1− xA

ω

)n.

Hasonlóan,

a =Pω − Pxa

xa|p0=

e0 − e0

[1− exp

(ω

e0(−n + 1)

[(1− xa

ω

)−n+1

− 1])]

xA|p0

= e0

exp

(ω

e0(−n + 1)

[(1− xa

ω

)−n+1

− 1])

exp

(ω

e0(−n + 1)

[(1− xa

ω

)−n+1

− 1])·(

1− xa

ω

)−n = e0

(1− xa

ω

)n.

Fejezzük ki az xA és xa korhatárokat:

xA = ω(1− n√A), és xa = ω

(1− n

√a

e0

).

Mivel A és a olyan konstansok, amelyekre

ω(

1− n0

√a

e0

)= xa(n0) = xA(n0) = ω(1− n0

√A),

vagyis A =a

e0, ezért a korhatárok egymáshoz viszonyított változását deriválásokkal tudjuk

összehasonlítani.

Más függvények esetén is kereshetünk elméleti kritériumokat.

Az exponenciális ex görbe viselkedése

A folytonos ex görbét nem csak hatványfüggvényként adhatjuk meg, hanem ennél bonyo-

lultabb kifejezésként is. Például polinom alakban, exponenciális, vagy akár logaritmusfügg-

vényként is. Ezek közül most az exponenciális formát vizsgáljuk meg. Ez a függvény gyorsan

változik, tehát kicsi x értékekre is már közel kerülünk a 0 várható hátralév® élettartamhoz.

32

Legyen ex = e0exp(−x)− exp(−ω)

1− exp(−ω). Ha a törtet megszorozzuk 1 egésszel és az exp(x)

függvényt a szokásos ex-szel jelöljük, akkor az

ex = e0eω−x − 1

eω − 1

alakot kapjuk. (Bízunk benne, hogy a kedves Olvasó nem keveri össze az alsó indexet és a

kitev®t.)

Megjegyzés. De�niálhattuk volna az ex függvényt tetsz®leges 0 < a 6= 1 alapú expo-

nenciális függvényként is, csak a számolások egyszer¶sítése miatt használtuk a természetes

alapot.

Ez a függvény a hatványhoz hasonlóan monoton csökken® és konvex. Az els®

e′0 = e0−eω

eω − 1≥ −1

deriváltra tett (2.7) egyenl®tlenségb®l �amit igazoltunk a folytonos esetben is� az e0 ≤eω − 1

eωegy fels® korlát a várható élettartamra.

A px görbe viselkedése

Mivel e0 < 1, ezért az exponenciális ex függvény a csecsem®halandóságot modellezi, ami-

vel nem kifejezetten szeretnénk foglalkozni. Ezért az eredményeket csak röviden ismertetjük,

illetve a tényleges adatokra illeszkedést sem ábrázoljuk.

A hatványfüggvény esetében használt jelölésekkel és ahhoz hasonló levezetéssel a (2.13)

azonosságból kapjuk, hogy

x|p0 =1

e0

eω − 1

eω−x − 1exp

(−∫

1

e0

eω − 1

eω−x − 1

).

Az exponenciális függvény argumentumában szerepl® integrált most is viszonylag egyszer¶

(y = eω−x) helyettesítéssel számolhatjuk ki: a konstansok kiemelése után∫1

eω−x − 1= ln

(C

eω−x

eω−x − 1

).

Tehát

x|p0 =1

e0

eω − 1

eω−x − 1exp

(1− eω

e0

∫1

eω−x − 1

)=

1

e0

eω − 1

eω−x − 1exp

(1− eω

e0ln(C

eω−x

eω−x − 1

))=

1

e0

eω − 1

eω−x − 1C

1−eω

e0

( eω−x

eω−x − 1

) 1−eω

e0 ,

33

ahol C = ee0

1−eω

0

eω − 1

eω, és így

x|p0 =eω − 1

eω−x − 1

(eω−xeω· eω − 1

eω−x − 1

) 1−eω

e0 .

Az öregedési mutatók összehasonlítása

A hatványfüggvény esetéhez hasonlóan az x|p0 most is el®áll egy Px függvény derivált-

jaként, ahol

Px = e0 − e0

(eω − 1

eω· eω−x

eω−x − 1

) 1−eω

e0 .

Ezért a (2.15) és (2.16) mutatók:

a =

e0 −

(e0 − e0

(eω − 1

eω· eω−xa

eω−xa − 1

) 1−eω

e0

)eω − 1

eω−x − 1

(eω−xa

eω· eω − 1

eω−xa − 1

) 1−eω

e0

= e0eω−xa − 1

eω − 1

és

A =eω−xA − 1

eω − 1.

Ezekb®l az egyenletekb®l

xa = ln(e0

eω

a(eω − 1) + e0

), és xA = ln

eω

(eω − 1)A + 1.

Az egyenl®ségükb®l kapjuk most is, hogy A =a

e0, ahogy a hatványfüggvény esetében is

láttuk.

A logaritmus ex görbe viselkedése

Érdemes megnézni még azt az esetet is, amikor a várható élettartam lassan csökken az

id® múlásával, vagyis ex egy lassú változású függvény. Nagyjából ez szemléltetné a �nyu-

gatias� korfát. A legegyszer¶bb ilyen függvény a logaritmus. A konvexitás feltétele miatt

azonban a logaritmusfüggvényt csak úgy tudjuk transzformálni, hogy az ismét gyorsan fog

változni. Következésképp a fejlett országok korfájának a modellezésére talán a legalkalma-

sabb függvénycsalád a hatványfüggvény, illetve ezek összegéb®l képezett polinomfüggvények

lesznek. A 4. fejezetben ezért is vizsgáljuk majd az adatokat a polinomok segítségével.

Azért a teljesség kedvéért röviden számoljuk végig ezt az esetet is.

Legyen 0 < b < 1 tetsz®leges(célszer¶ a b =

1

nalakra gondolni, ahol n ∈ N

)és

ex =e0

logb

1

1 + ω

logb

1 + x

1 + ω.

34

Az ex függvényt most is úgy de�niáltuk, hogy monoton csökken® és konvex legyen. A 0

pontban vett deriváltja:

e′0 =e0

ln1

1 + ω

≥ −1,

és ezért e0 ≤ ln(1 + ω). Itt érdemes meg�gyelni, hogy a fels® korlát független a választott

b konstanstól. A továbbiakban megint csak a legegyszer¶bb logaritmus függvénnyel számo-

lunk, de a b alapú logaritmussal is teljesen hasonlóan kell bánni (könnyen áttérhetünk a b

alapú logaritmusról a természetes alapra).

Megjegyzés. Az alacsony fels® korlát miatt a viszonylag fejletlen (vagy szebben kifejezve

a fejl®d®) társadalmakat tudjuk így modellezni.

Legyen

ex =e0

ln(1 + ω)ln

1 + ω

1 + x.

A px görbe viselkedése

Az exponenciális és hatványfüggvény esetéhez hasonlóan most is a (2.13) egyenl®séget

alkalmazva kapjuk, hogy

x|p0 =ln(1 + ω)

e0 ln1 + ω

1 + x

exp( ln(1 + ω)

e0(1 + ω)Ei

(− ln

1 + ω

1 + x

)+ C

),

ahol Ei(x) az exponenciális integrál,−Ei(−ln

1

1 + x

)=

∫1

ln1

1 + x

dx, Ei′(−x) =1

xex, Ei(0) =

−∞ határértékben és C = ln e0 −ln(1 + ω)

e0(1 + ω)Ei(− ln(1 + ω)), és így

x|p0 =ln(1 + ω)

ln1 + ω

1 + x

exp( ln(1 + ω)

e0(1 + ω)

[Ei(− ln

1 + ω

1 + x

)− Ei(− ln(1 + ω))

]).

Ellen®rzésként nézzük meg az x = 0 és x = ω végpontokban a kapott függvény értékeit. A

0|p0 = 1, ω|p0 = 0

határértékben teljesül.

Az öregedési mutatók összehasonlítása

A korábbi két esethez hasonlóan az x|p0 függvény a

Px = e0 − e0 exp( ln(1 + ω)

e0(1 + ω)

[Ei(

ln1 + ω

1 + x

)− Ei(ln(1 + ω))

])35

deriváltja és ezért a (2.15) és (2.16) mutatók az exponenciális esethez hasonlóan

a =

e0 −

(e0 − e0 exp

( ln(1 + ω)

e0(1 + ω)

[Ei(

ln1 + ω

1 + xa

)− Ei(ln(1 + ω))

]))ln(1 + ω)

ln1 + ω

1 + xa

exp( ln(1 + ω)

e0(1 + ω)

[Ei(

ln1 + ω

1 + xa

)− Ei(ln(1 + ω))

]) = e0

ln1 + ω

1 + xa

ln(1 + ω)

és

A =ln

1 + ω

1 + xA

ln(1 + ω).

Tehát

xa = (1 + ω)1− a

e0 − 1, és xA = (1 + ω)1−A − 1.

Az egyenl®ségükb®l kapjuk most is, hogy A =a

e0, ahogy a hatvány- és exponenciális függ-

vények esetében is.

A fejezet összefoglalásaként megállapíthatjuk, hogy az elemi függvények esetében fennáll

az A =a

e0összefüggés.

Nem elemi függvények esetében is hasonló eredményt várhatunk.

Azt is láttuk, hogy a három vizsgált függvénycsalád közül csak a hatványfüggvény mo-

dellezheti a valós adatainkat, a másik kett® �túlságosan konvex�, nincs bennük paraméter,

amivel ez változtatható lenne. További vizsgálatot érdemelhet, hogy a hatványfüggvény

esetében id®ben hogyan változik a kitev® nagysága. A társadalom öregedése, illetve a min-

den korosztályban tapasztalható túlélési valószín¶ség növekedése arra enged következtetni,

hogy a hátralév® élettartam gra�konja egyre kevésbé konvex, ami azt jelenti, hogy az n

kitev® egyre közelebb kerül az 1 értékhez. Egy érdekes kérdés lehet, hogy milyen gyors ez a

tendencia.

A következ® fejezetben megnézzük a most levezetett eredmények rövid gyakorlati al-

kalmazását. Láttuk, hogy a várható élettartam, a túlélési valószín¶ség és a kihalási rend

szorosan összefügg egymással, ezért a fejezet zárásaként tekintsük át a legfontosabb halan-

dósági törvényeket. Az alábbi rövid áttekintés Vékás Péter [15] doktori disszertációjában

található:

Az els® �kezdetleges� halandósági törvényt de Moivre [1752] javasolta. Törvénye szerint

az emberi élettartamok a születés és a feltételezett legmagasabb életkor közötti intervallu-

mon egyenletes eloszlásúak. Gompertz [1825] törvénye szerint az életkorfügg® halandóság az

36

életkorral exponenciálisan n®, ami abból az empirikus meg�gyelésb®l ered, hogy a Gompertz

által meg�gyelt életkorfügg® halandósági ráták nagyjából konstans hosszúságú intervallumon-

ként kétszerez®dtek meg. Gompertz törvényét Makeham [1867] additív konstanssal b®vítette,

amit az életkortól függetlenül alakuló -jellemz®en baleseti- halálozások indokolnak. Az álta-

la javasolt összefüggés Gompertz-Makeham törvény néven is ismert. A logisztikus törvény

(Perks [1932]) a Gompertz-Makeham törvény olyan módosítása, amely képes megragadni

a legmagasabb életkorokban már lassuló ütemben növekv® halandóság empirikus jelenségét.

Weibull törvénye (Weibull [1951]) a megbízhatóság-elméletb®l származik, és konstrukciója

egy egymástól függetlenül meghibásodó alkatrészekkel rendelkez® mechanizmus élettartamát

írja le. Újabb, összetettebb paraméteres halandósági törvényekre példa a nyolc paraméterrel

rendelkez® Heiligman-Pollard törvény (Heiligman-Pollard [1980]).

37

3. fejezet

Gyakorlati alkalmazás

A dolgozatnak ezen része lényegében Banyár József [1] el®adásában szerepl® utolsó há-

rom dia egyszer¶ kib®vítése.

Röviden megvizsgáljuk, hogy az els® fejezet végén vázolt indexálási módszerekre milyen

formában illeszkedik a második fejezetben tárgyalt matematikai fejtegetés.

Ha egy adott életkor után minden túlélési valószín¶séget egységesen megnövelünk ugyan-

olyan százalékos mértékben, akkor a várható élettartam ugyanilyen mértékben n®, mert

kex =

∫ ω−x

0

k t|pxdt

a (2.10) egyenletb®l.

Megjegyzés. Az adott kor utáni kikötés csak azért kell, mert a p0 = 1 valószín¶séget nyil-

ván nem tudjuk növelni. Gondolhatunk például a csecsem®kor utáni életkorra is. Alacsony

csecsem®halandóság esetén az 1 körüli túlélési valószín¶séget már nehéz növelni, a túlélé-

si függvény monoton csökken® tulajdonsága miatt azonban (a hatványfüggvények esetében

majdnem minden k > 1 esetén) találhatunk ilyen x0 küszöb-életkort. A fenti összefüggésben

x legyen nagyobb ennél az adott x0 küszöbértéknél.

Tegyük fel, hogy a várható hátralév® élettartam növekedésére teljesül, hogy

• marad változatlan az ω lehetséges legnagyobb megélt kor (a 3. oldalon található 1.

elmélet),

• az x0 kor után lx, és a fenti gondolatmenet alapján vele együtt az ex is adott százalékkal

egyenletesen n®,

• az x0-t fokozatosan növeljük.

38

Röviden azt az esetet nézzük, amikor az id®sebb korban az emberek egészségesebbek (ahogy

a 11. oldalon bevezetett HALE mutató is jelezte), de a várható legmagasabb életkor nem

változik. A tapasztalatok azt mutatják, hogy az embereknek van egy biológiai korlátja,

vagyis az egészségügy javulásával az id®sek egyre egészségesebbek, ��ttebbek�, azonban a

100 éves kort megélt személyek száma �Magyarországon� nem n® szigni�kánsan.

Megjegyzés. A 2010-es években a 115 év t¶nik a fejlett országokban a végs® fels® korha-

tárnak, a 100 évesnél id®sebbek száma 100.000-es nagyságrend¶ is lehet.

Feltehet®, hogy xA, xa > x0, vagyis nem csak a nyugdíjasok várható élettartamát növel-

jük arányosan, hanem a még aktív korúak legalább egy részének is. Továbbá, ha a túlélési

valószín¶ségek arányosan n®nek, akkor az xA és xa ugyanilyen arányban n®.

Most azt keressük, hogy mennyivel kell a túlélési valószín¶ségek növelése után növelni

xA és xa értékét ahhoz, hogy a régi a, illetve e0A értékekkel legyenek egyenl®k?

Heurisztikusan azt lehet mondani, hogy xA-t kevesebbel kell növelni, mert az új túlélési

valószín¶ségek x0 alatt a feltevésünk alapján nem növekedtek, és így az e0 kevesebbel nö-

vekedett, mint az exA. A (2.15) egyenl®ségben az A-t lényegében az

exA

e0arányként írtuk

fel, ezért itt (k-nál) kisebb értéket kell �ledolgozni�, mint exa esetében, ahol a (2.16)-ban

de�niált új a ugyanolyan k arányban n®tt, mint exa .

Ez azt sejteti, hogy ha már �nyugatias� lesz (vagyis a px alig csökken nagy x értékek

esetében is) a kihalási rend, akkor xa n® gyorsabban.

Általánosan fogalmazva ha a kihalási rend úgy változik, hogy jobban n® a várható hát-

ralév® élettartam az alacsonyabb koroknál, mint a magasabbaknál, akkor az A, ha inkább a

magasabb koroknál n® jobban, akkor az a típusú relatív öregségi korhatár n® gyorsabban.

39

4. fejezet

Egy másik megközelítés

Ahogy a bevezet®ben is említettük, a nyugdíjba vonulási életkort nem csak az egyén élet-

pályája alapján határozhatjuk meg, hanem a társadalom szempontjából is megvizsgálhat-

juk. Ekkor az életbiztosítás matematikájának elegend® lehet csak egy részét, a statisztikát,

illetve az approximációelméletet használni.

A folyó �nanszírozású rendszerekben fontos, hogy az aktívak és a nyugdíjasok aránya

ne legyen túl kicsi. Legyen

B =aktív népesség létszámanyugdíjasok lélekszáma

nagyjából az id®skori függ®ségi ráta reciproka. Ekkor B aktív dolgozónak kell eltartania

1 nyugdíjast. (Ezt az eltartást tekinthetjük úgy is, hogy amikor a most aktív keres® még

gyermek volt, akkor az akkori aktív dolgozók, vagyis a mostani nyugdíjasok meghitelezték

neki a felneveléséhez szükséges anyagi források egy részét, és most ezt törleszti vissza a

társadalomnak.)

Egy lehetséges megoldás, ha a múltban megnézzük, hogy mennyi volt a várható élet-

tartam, illetve hány éves korban mentek nyugdíjba az emberek. Az 1.8. ábrán pont ezt

láthatjuk. (Az elméleti és a tényleges nyugdíjba vonulási kor között lényeges különbség

is lehet.) Erre a két mennyiségre felírunk közelít® függvényeket. A legegyszer¶bb olyan

függvények, amelyek a megadott adathalmazra illeszkednek és könnyen kezelhet®k, azok a

polinomok.

Ahogy korábban már említettük, a jöv®beli várható élettartamra rengeteg becslés vo-

natkozik (legtöbbször a Lee-Carter módszert használják). Általában azt tapasztalják, hogy

a Lee-Carter modellben elegend® a lineáris becslés, ami a legegyszer¶bb nem konstans po-

linom.

40

Ha a múltbéli adatokból találunk egy összefüggést a két polinom között, akkor ezzel fel

tudunk vázolni lehetséges szcenáriókat a nyugdíjkorhatár indexálására is.

A diszkrét adatokra illesztünk Lagrange-polinomot.

Jelölés. Legyen

fl(x) =∏k 6=l

x− xk

xl − xk

,

ahol xl azokat az évszámokat jelöli, amelyre van adatunk. Ekkor

fl(x) =

1, ha x = xl,

0, x = xk valamely l 6= k indexre

és mindenütt folytonos.

Jelölés. Legyen e(xl)0 az xl évben született emberek várható hátralév® élettartama, r(xl)

pedig ugyanekkor a nyugdíjba vonulási kor.

Legyen

E(x) =∑l

e(xl)0 · fl(x).

Ez a polinom pontosan illeszkedik a születéskor várható élettartam (diszkrét, éves) adatokra,

a közbüls® intervallumokban pedig matematikailag könnyen kezelhet®, hasonlóan az

R(x) =∑l

r(xl) · fl(x)

pontosan megmutatja a nyugdíjba vonulási kort minden xl évben.

Végül keresünk olyan F függvényt, ami az E és R függvények között kapcsolatot teremt.

Általános esetben az F (E(x)) = R(x) összefüggést kellene tudnia, de mivel E és R is

polinom, ezért F el®állhat

F (x) =R(x)

E(x)

maradékos osztás alakjában is.

Németh László és Obádovics Csilla [11] el®rejelzése szerint Magyarország várható össz-

lakosságát és a 65, illetve 70 feletti lakosság arányát látjuk a következ® táblázatban.

41

Év Lakosság száma 65 év felettiek arány (%) 70 év felettiek aránya (%)

2020 9541469 20,6 13,83

2025 9295360 22,7 16,27

2030 9047175 23,6 18,17

2035 8807965 25,12 18,89

2040 8597777 27,26 20,16

2045 8406522 30,21 22,13

2050 8232439 31,21 24,9

2055 8066892 31,96 25,87

2060 7902861 32,99 26,64

4.1. táblázat. Élettartam el®rejelzés

A táblázat alapján láthatjuk, hogy a 65 éves nyugdíjkorhatár nem tartható hosszútávon,

hiszen ha csak az öregségi nyugdíjasellátást tekintjük (ahogy az els® fejezetben is említet-

tük), 2060-ra az eltartottak száma akkor is a teljes lakosság harmadát fogja kitenni. Ha 70

évre emelik a korhatárt, az arányuk 2050-re akkor is el fogja érni a népesség negyedét.

Az alábbi táblázatban a fejezet elején de�niált B értékeit látjuk a [11] el®rejelzés szerint

abban az esetben, amikor az aktív népességet a 25-64, illetve 25-69 korcsoportnak tekintjük,

a nyugdíjasoknak pedig a 65, illetve 70 évnél id®sebbeket.

Év B(65) B(70)

2020 2,62 4,42

2025 2,31 3,62

2030 2,2 3,15

2035 2,03 3,03

2040 1,81 2,8

2045 1,55 2,48

2050 1,48 2,11

2055 1,43 2,01

2060 1,36 1,92

4.2. táblázat. Aktívak és nyugdíjasok aránya, forrás: [5]

42

Érdekes kérdés, hogy mit kellene optimális aránynak tekinteni. A 2 körüli érték bizto-

san alacsony. Az Eurostat [5] adatai alapján Magyarországon a függ®ségi ráta 1990-ben

0,2 volt, és szigorúan monoton n®tt 2017-ig, amikor az értéke már 0,279. Ez azt jelenti,

hogy a korábban számol B érték 5-r®l csökkent 3,58-ra. Az el®rejelzés szerint a következ®

években még gyorsabban fog csökkenni, ezért a nyugdíjkorhatár emelése elkerülhetetlen. Az

alábbi ábrán szemléletesen is megnézhetjük, hogy az el®rejelzés szerint milyen ütemben fog

csökkenni:

4.1. ábra. B értékének változása

43

5. fejezet

A nyugdíjkorhatár változása

Az alábbi áttekintés az Economist [3] soraiban olvasható: Az 1800 el®tti id®szakban a

világon egyetlen ország sem volt, ahol a születéskor várható élettartam 40 évnél nagyobb

volt. Ma nincs olyan ország, amelyikben 40 évnél alacsonyabb. 1900 óta több évvel n®tt az

emberi várható élettartam, mint a történelem korábbi részében összesen. Ennek oka kezdet-

ben a gyermekhalandóság csökkentése, az utóbbi id®ben az élettartam meghosszabbítása volt.

A �longevity� az emberiség nagyszer¶ eredménye. Ennek ellenére manapság a társadalom

egyik legnagyobb fejtörését okozza. A probléma az, hogy a id®sebbek egyre inkább függnek a

�ataloktól. 2100-ra a 65 év felettiek és a munkaképes emberek aránya háromszorosára fog

emelkedni. Ahogy a világ lakosságának az átlagéletkora n®, a gazdasági növekedés, az adó-

bevételek és a munkaer® csökken, miközben a nyugdíjak és az egészségügyi ellátás költségei

növekedni fognak.

A bevezetésben említettük, hogy Magyarországon a várható élettartam alacsonynak

számít (lassabban n®) a nyugati országokban mért adatokhoz képest. Ezért amíg a magyar

társadalomban várhatóan csak 2030 körül súlyosbodnak ezek a problémák, addig az EU

központi országaiban ez valószín¶leg korábban bekövetkezik.

Banyár József 2017. szeptember 21-én az ONYF longevity konferencián elhangzott el®-

adásán elhangzott lehetséges megoldások:

• A longevity miatt a változatlan �nanszírozási modellben csökken a nyugdíjak érté-

ke. El®takarékoskodunk a hiányzó ellátásokra, vagyis részlegesen felt®késítjük a TB-t.

(Másképp: most csökkentjük kicsit az életszínvonalat, hogy kés®bb ne csökkenjen na-

gyon.)

44

• Egyre növeljük a járulékszintet, vagyis a �nanszírozási problémát, mint tehernövelést

áttoljuk az újabb generációkra. Vagyis nem az id®s generáció életszínvonalát csökkent-

jük, hanem a �atalét.

A járulékszint emelése a rövid távú, kapkodó politikai alternatíva. Ez az érintett �a-

talokat ellenakciókra készteti. Például a kivándorlással a �atalok kivonják magukat a

járulék�zetés alól, még inkább súlyosbítva a TB �nanszírozási problémáit.

• Megpróbáljuk növelni a TFR-t, vagy más módon pótolni a hiányzó aktívakat.

A TFR növelése nagyon sok országban napirenden van, az általános benyomás, hogy

ennek a jó módszerére még nem igazán jöttek rá. Azokban a fejlett országokban, ahol a

TFR közel van a 2,1-hez, ott is azt tapasztaljuk, hogy azt f®leg az alacsony iskolázott-

ságú bevándorlók magas fertilitása emeli relatíve magas szintre. Ez pedig nem biztos,

hogy jó megoldás, mert ®k hajlamosak továbbörökíteni saját alacsony iskolázottságu-

kat, ami másképp azt jelenti, hogy gyermekeikb®l nem igazán válik jó járulék�zet® az

egyre inkább tudásalapú gazdaságokban.

Egy járulékos megoldás a bevándorlás, de ez csak akkor, ha a bevándorlók megfe-

lel®en iskolázottak. A bevándorolni kész tömegek elsöpr® többsége nem ilyen, vagyis

a bevándorlás akkor megoldás, ha sikerül �lefölözni� a fejl®d® országok kis létszámú

intelligenciáját. Az Egyesült Államok jó ebben, de ez azt is jelenti, hogy lényegében

mindenki mástól (így pl. az EU-tól is) elszívják ezt a réteget. Marad tehát az egymástól

csábítás. Az EU-n belül például manapság nagyban megy az, hogy a fejlett EU orszá-

gok csábítják a közepesen fejlett EU országok �ataljait. Ezzel náluk oldódik az alacsony

TFR miatti TB �nanszírozási probléma azon az áron, hogy a közepesen fejletteknél ez

hamarabb és jobban kiélez®dik.

• Hosszabb aktív életszakasz.

A jelenlegi foglalkoztatás olyan, hogy aktív korban némileg �túlhasználják�, s ezzel �el-

használják� a munkavállalót, ami a min®ségi öregedési korhatárt lefele nyomja. Ennek

legf®bb oka az évi viszonylag magas munkaórák száma. Ráadásul a nyugdíjba vonu-

lással ez egy csapásra csökken le a lehet® legalacsonyabb szintre. Ez így biztosan nem

racionális, ugyanazt az életpálya munkaid®t hosszabb id® alatt, egyenletesebben lehet-

ne elosztani. A munkaid® csökkentése több lehet®séget ad egészségünk meg®rzésére, s

ezzel arra, hogy a min®ségi öregedési korhatár gyorsabban növekedjen, mint a relatív

öregedési korhatárok.

45

A dolgozat eddigi részében áttekintettük, hogy elméletileg milyen megoldási lehet®sé-

gek közül választhat Magyarország ahhoz, hogy az állami nyugdíjrendszere fenntartható

maradjon. A fejezet hátralév® részében azt kutatjuk, hogy manapság mit gondolnak a ma-

gyar nyugdíjrendszerr®l a szakért®k, illetve más országokban milyen módszerrel próbálják

meg kezelni a longevity problémát. A függelékben látható gra�kon Németh László és Obá-

dovics Csilla [11] el®rejelzése alapján készült, és azt mutatja, hogy ha a népesség 10, 20,

30%-át szeretnénk nyugdíjasként, akkor milyen magasnak kellene lenni a korhatárnak.

A magyar döntéshozók politikai okokból nem merték csökkenteni a nyugdíjak összegét,

hiszen a sok nyugdíjas akár eldöntheti a 2018-as választások eredményét is, illetve a dolgozók

járulékbe�zetéseihez sem nyúltak egyel®re hasonló okok miatt.

Amit megtettek az elmúlt években a fenntarthatóság érdekében, az a svájci indexálás,

a 13. havi nyugdíj eltörlése és a nyugdíjba vonulási kornak az emelése. Ezt arra hivatkozva

tették, hogy az EU többi országában szinte mindenhol magasabb volt korábban a korhatár.

Az alábbi táblázat a legfrissebb hivatalos adatokat tartalmazza:

Születési id® Nyugdíjkorhatár A nyugdíjra való jogosultság id®pontja

1953 63 2016

1954 63,5 2017 II. félév / 2018 I. félév

1955 64 2019

1956 64,5 2020 II. félév / 2021 I. félév

1957 65 2022

1958 65 2023

1959 65 2024

1960 65 2025

5.1. táblázat. Nyugdíjkorhatár változása napjainkban Magyarországon

A táblázatból látjuk, hogy csak ötletszer¶en és lépcs®zetesen növelik a korhatárt fél éves

lépésekkel. A kés®bbi alakulásról Suze Orman [14], amerikai pénzügyi szakért® 2017-ben a

következ®t nyilatkozta: Jobb, ha mindenki felkészül, hetven éves kor az új nyugdíjkorhatár.

További fontos észrevételek ugyanebb®l a forrásból: Magyarországon egyébként 10 év

alatt, 2016-ra nem kevesebb mint 4,5 évvel n®tt az állampolgárok munkában maradási ideje.

Ami a második legtöbb volt az Európai Unióban.

46

A bevezet®ben említett rossz egészségügyi állapot egyenes következménye, hogy a ma-

gyar fér�ak nyugdíjasként mindössze 6,2 a n®k pedig 6,1 évet töltenek el jó egészségi álla-

potban.

A 2018-as választások után a megalakuló kormány talán elkezdi a nyugdíjrendszer radi-

kális átalakítását, ekkor talán el®kerülhet a gyermekekt®l függ® nyugdíjszámítás is. Azonban

az szinte biztos, hogy ekkor sem lesz a nevében �gyermektelenségi adó�, hanem a több gyer-

meket vállalókat fogják jutalmazni.

5.1. Más EU tagországok

Ebben a részben röviden megnézzük, hogy más országok milyen indexálási módszert

használnak a nyugdíjkorhatár emelésére, illetve röviden utalunk arra is, hogy a korábbi

egyéb javaslatok közül melyeket kívánják alkalmazni.

Az alábbi összefoglalás a [4] Fehér Könyben található.

Néhány tagállam úgy próbál kés®bbi nyugdíjazást elérni, hogy megemeli a teljes nyugdíj meg-

szerzéséhez szükséges járulék�zetési évek számát, vagy a várható élettartam növekedéséhez

köti (pl. Csehország, Görögország, Franciaország, Olaszország).

Más országok a nyugdíjellátás szintjét kötik a hosszabb várható élettartamhoz (pl. Por-

tugália), míg néhányan az ellátás szintjét a nyugdíjrendszer pénzügyi egyensúlyához kötik

(pl. Németország, Svédország), amelyet befolyásolnak majd a demográ�ai változások és a

várható élettartam megnövekedése.

A legtöbb tagállam hosszabb munkaviszonnyal lehet®séget kínál a magasabb nyugdíjra,

amivel egy adott nyugdíjkorhatár esetén kompenzálni lehet a nyugdíjak csökken® értékét, és

így meg lehet ®rizni a nyugdíjak megfelel®ségét. Fontos hangsúlyozni, hogy a tényleges nyug-

díjkorhatár megemelése nem a �atalok és az id®sek érdekeinek ütköztetését jelenti, hanem

inkább a köztük lév® megfelel® egyensúly megtalálását.

A következ® alfejezetekben a [4] White Paper (2012) alapján megnézzük, hogy 2010

körül milyen intézkedéseket hoztak Csehországban, Görögországban, Észtországban, Olasz-

országban és Németországban.

El®tte egy, a fentinél frissebb tervek olvashatóak Richter Ádám [13] 2017-es cikkben:

A születéskor várható élettartam dinamikus növekedése miatt több országban � köztük a

briteknél is � felmerült, hogy ehhez kötnék a nyugdíjkorhatárt is. Vagyis nem �xálnák az

47

életkort, hanem mindig attól tennék függ®vé a korhatárt, hogy átlagosan hány évig élnek az

emberek. Így a nyugdíjban töltött évek száma elvileg nem változna (az els® fejezet végén ezt

hívtuk �xe-nek), csak kés®bbre tolódna a visszavonulás ideje. Hogy néhány európai példát

mondjunk, Finnországban, Olaszországban, Görögországban, Portugáliában és Szlovákiában

is ez a terv. A csehek ennél is tovább mentek: �xen, évente két hónappal növelik a korha-

tárt. (Tehát lényegében a várható élettartam növekedését®l függetlenül emelik a korhatárt,

nagyjából ilyen ütem¶ korhatáremelést ajántott Andrew Mason és Roland Lee a 11. és 12.

oldalon idézett [3] cikkben, illetve Banyár József is a 15. oldalon idézett el®adásában is.)

A dolgozatban tárgyalt módszerek közül tehát a �xe-t alkalmazzák, vagy vezetik be több

országban is, illetve a csehek ennél is komolyabb emelésre számíthatnak. Ha elfogadjuk, hogy

az ω korlátos (a 3. oldalon az 1. elméleti lehet®ség), akkor a cseh nyugdíjkorhatár elvileg

ezt az ω-t is átlépheti (bár az is tény, hogy ehhez nagyon hosszú id®nek kell eltelnie).

A dolgozat zárásaként megemlítjük, hogy a fenti országok milyen fontosabb intézkedé-

seket hajtottak végre a nyugdíjrendszer fenntarthatósága érdekében.

5.1.1. Csehország

2011-es nyugdíjreform lényege:

• A nyugdíjkorhatár emelése. Ez különösen a gyermekes n®ket érinti, a cél, hogy 2040

után elérjék az egységes nyugdíjkorhatárt. Ez a közös korhatár is emelkedni fog évente

2 hónappal, ezzel nagyobb kapcsolat lesz a hozzájárulások és a nyugdíjak között.

• Szigorúbb indexálási szabály: az el®z® szabály egy alsó korlát a korhatár emelésére.

• A korengedményes nyugdíjazási lehet®ségek szigorítása.

Továbbá a 2010-es reform szerint a tanulmányi id®szakot már nem ismerik el, és a

szükséges biztosítási id®tartamot 25 évr®l 35-re emelik 2019-re.

5.1.2. Görögország

A nyugdíjba vonulási életkort a várható élettartamhoz kötötték, (2060-ra várhatóan 69

év 4 hónap lesz mindkét nem számára).

48

2010 júliusában a parlament átfogó javaslatot fogadott el a f® nyugdíjrendszerek reform-

járól. A reform egyszer¶sítette az er®sen szétszabdalt nyugdíjrendszert, fokozta az átlátható-

ságot és a méltányosságot, emelte a nyugdíjkorhatárt, és csökkent az el®nyök nagylelk¶sége.

Az új, általánosan kötelez® szabályok a jogosultságokról, hozzájárulásokról, felhalmozási sza-

bályokról és a nyugdíjjogosultság indexálása a f® nyugdíjra vonatkozik.

A reform f® elemei:

• Havi 360 euró alapnyugdíj bevezetése (12 évig �zetik).

• Az új rendszer bevezeti az eredményszemlélet¶ arányokat, ami minden olyan mun-

kavállaló számára csak a munkával töltött évek számától függ (a keresetek 0,8-1,5

százaléka).

• A reform megnöveli a törvényes nyugdíjkorhatárt 60-ról 65 évre. A nyugdíjazási kor

minimum 60 év, aki id® el®tt nyugdíjba megy, rá büntetések alkalmazandók.

• Az aktív életszakaszt 40 évre emelik. (Összehasonlításként általában 35 év volt koráb-

ban).

• 2021-t®l kezd®d®en a minimális és törvényes nyugdíjkorhatárt az élettartam változás-

nak megfelel®en igazítják ki várhatóan 3 évente.

• A fér�ak és a n®k nyugdíjkorhatárának kiegyenlítése 2013-ig.

• Az ellátások indexálása (beleértve az alapnyugdíjat) nem haladhatja meg a harmonizált

fogyasztói árindexet (HICP-t).

• A nyugdíjra ki�zethet® összeget a teljes jövedelemtörténet alapján számolják.

Az új jogszabály tartalmaz egy fenntarthatósági záradékot, amely el®írja, hogy amennyi-

ben hosszú távú el®rejelzések az állami nyugdíjkiadások emelkedése 2009 és 2060 között

meghaladja a GDP 2,5 százalékpontját, akkor a nyugdíjrendszer vonatkozó paraméterei meg-

változnak azért, hogy a kiadások növekedését a célzottnál alacsonyabb szintre emeljék.

5.1.3. Olaszország

A nyugdíjazás a várható élettartamhoz kötött (2020-ra várhatóan 70 év 3 hónap lesz).

2011 folyamán három egymást követ® jogszabályi beavatkozás történt az olasz nyugdíj-

rendszerben. A f® intézkedések összefoglalása az alábbiakban foglalható össze:

49

• A magán- és közszektorban dolgozó n®k hivatalos nyugdíjkorhatárát a fér�akéhoz iga-

zítják. A kiegyenlítési folyamatot 2018-ig szakaszosan kell végrehajtani.

• A korhatár és/vagy a hozzájárulási kötelezettségek növelése.

• A 2012-2013 közötti kétéves id®szakra a minimális nyugdíjakat (kb. 1400 euró havon-

ta) nem indexálják az in�ációval.

• Ha a várható élettartammal együtt emelik a nyugdíjkorhatárt, 2018-ig akkor várhatóan

1 évvel fog emelkedni.

• A korai nyugdíjba vonulási lehet®ség minimális (35 év) követelményeit eltörölték, min-

den rendszerben. Az NDC-rendszer (névleges egyéni számla) szerint a korai nyugdí-

jazás engedélyezett, legfeljebb három évvel a hivatalos korhatár el®tt, 20 év szolgálati

id®vel és legfeljebb 1200 eurós nyugdíjösszegel havonta 2012-ben, amit a nominális

GDP ötéves átlagával indexelnek majd.

• A korai nyugdíjra jogosultságot is a várható élettartam változásainak megfelel®en mó-

dosítják 2013-tól, hasonlóan a hivatalos korhatárhoz.

5.1.4. Németország

Az állami nyugdíjrendszerek ®sének tekintett, Bismarck els® német nyugdíjtörvénye egy

biztosítási elven alapuló modellt vezetett be, meg®rizve ezzel a magánnyugdíjrendszerek klasszi-

kus, biztosításelv¶ jellegét, módosítva természetesen az általános kötelez® biztosítás jellegéb®l

adódó sajátosságokkal. A védettséget azáltal teremtették meg, hogy kötelez®vé (és államilag

szabályozottá) tették a nyugdíjbiztosítást, célként t¶zve ki az aktív korban elért munkajö-

vedelemmel arányos, a munkajövedelmet részben pótló ellátást az öregkorra, olvashatjuk

Gerencsér László [6] 2000-ben megjelent írásában.

2014. július 1-én lépett életbe a német nyugdíjreform, amely els®sorban �nanszírozható-

ság miatt sok vitát váltott ki a német nagykoalícióban. Az intézkedés lényege, hogy nyugdíj-

emelésben részesülnek az 1992 el®tt született gyermekeiket felnevel® anyák. A reform másik

kiemelt pontja szerint 45 évnyi járulék�zetés után a munkavállalók már 63 éves koruktól

teljes érték¶ nyugdíjban részesülhetnek. (Németországban a hivatalos nyugdíjkorhatár 67

év.)

50

Függelék

A mortalitási tábla egy része, amelyb®l a �számolás.xlsx� fájlhoz és a 2. fejezet ábráihoz

az adatokat felhasználtam, a mortality.org [8] oldalán található.

Kor \ Év 1990 1995 2000 2005 2010 2014

0 69,38 69,98 71,76 72,88 74,54 75,85

60 17,12 17,51 18,33 18,84 19,61 20,2

61 16,46 16,86 17,65 18,14 18,92 19,5

62 15,8 16,21 16,97 17,46 18,24 18,8

63 15,16 15,56 16,31 16,78 17,57 18,1

64 14,54 14,93 15,66 16,1 16,9 17,43

65 13,91 14,3 15,01 15,44 16,22 16,77

66 13,3 13,7 14,38 14,78 15,55 16,11

67 12,7 13,11 13,75 14,13 14,89 15,45

68 12,11 12,51 13,13 13,5 14,23 14,79

69 11,53 11,93 12,52 12,87 13,59 14,12

70 10,94 11,36 11,93 12,25 12,94 13,47

71 10,42 10,8 11,34 11,65 12,32 12,86

72 9,84 10,27 10,77 11,07 11,72 12,23

73 9,29 9,74 10,21 10,5 11,12 11,61

74 8,77 9,22 9,66 9,92 10,53 11

75 8,26 8,71 9,14 9,37 9,97 10,4

5.2. táblázat. Várható hátralév® élettartamok Magyarországon

51

5.1.

ábra.Nyugdíjasok

aránya

52

Irodalomjegyzék

[1] Banyár József [2017]: A nyugdíjrendszer demográ�ai eredet¶ problémái: aging el®-

adás fóliák.

[2] Banyár József [2003]: Életbiztosítás, Aula Kiadó, Budapest

[3] Economist - Special report [2017], Getting to grips with longevity.

https://www.economist.com/news/special-report/21724745-ageing-populations\

-could-be-boon-rather-curse-happen-lot

[4] European Comisson [2012], White Paper, An Agenda for Adequate, Safe and Sus-

tainable Pensions, COM, Brussels.

http://ec.europa.eu/social/BlobServlet?docId=7341&langId=hu,

letöltés dátum: 2017.04.21.

[5] Eurostat, Nyugdíjba vonulási életkor Magyarországon,

http://ec.europa.eu/eurostat/tgm/table.do?tab=table&init=1&language=en&

pcode=tsdde510, letöltés dátuma: 2018.03.21.

[6] Gerencsér László [2000]: Nyugdíjak az Európai Unióban,

http://www.kszemle.hu/kiadvany/Augusztinovics_-_Korkep_reform_utan/

ch17.html

[7] GHO [2016.06.29.], HALE, http://apps.who.int/gho/data/view.main.HALEXv?

lang=en, letöltés dátuma: 2018.04.10.

[8] Halandósági tábla, http://www.mortality.org/hmd/HUN/STATS/bltper_1x1.txt,

letöltés dátuma: 2018.02.19.

[9] Hans U. Gerber [1995]: Life Insurance Mathematics, Springer.

53

[10] Központi Statisztikai Hivatal, Demográ�ai adatok,

http://www.ksh.hu/nepszamlalas/tablak_demogra�a, letöltés dátuma: 2018.04.02.

[11] Németh László, Obádovics Csilla, KSH Népességtudományi Kutatóintézet:

Népesség-el®reszámítás, http://demogra�a.hu/hu/tudastar/nepesseg-eloreszamitas,

letöltés dátuma: 2018.04.04.

[12] OECD [2018], Selected indicators for Hungary, https://data.oecd.org/hungary.htm,

letöltés dátuma: 2018.03.20.

[13] Richter Ádám [2017.07.21.]: Európa többsége kénytelen

lesz nyugdíjkorhatárt emelni, https://nyugdijbiztositas.com/

europa-tobbsege-kenytelen-lesz-nyugdijkorhatart-emelni/

[14] Suze Orman [2017.11.14.]: Jöhet az új nyugdíjkorhatár: 70 éves korunkig dolgozha-

tunk,

https://www.penzcentrum.hu/nyugdij/johet-az-uj-nyugdijkorhatar-70-eves-\

korunkig-dolgozhatunk.1061099.html

[15] Vékás Péter [2016]: Az élettartam-kockázat modellezése, Budapesti Corvinus Egye-

tem.

[16] Wikipedia [2017.12.01.],

https://hu.wikipedia.org/wiki/Ratk%C3%B3-korszak

[17] Wikipedia [2018.04.09.],

https://en.wikipedia.org/wiki/Total_fertility_rate

54

- 1 -

Nyilatkozat saját munkáról

Név: ______________________________________________________________________________ E-mail cím: _________________________________________________________________________ NEPTUN-kód: ______________________________________________________________________ A szakdolgozat címe magyarul:

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

A szakdolgozat címe angolul: __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Szakszemináriumvezető (vagy konzulens) neve: ___________________________________________

Alulírott ______________________________________________(hallgató) igazolom, hogy a

szakdolgozatom saját munka eredménye. Bizonyos gondolatok, érvek, logikai és matematikai

összefüggések más tanulmányokból való átvétele során a hivatkozásra vonatkozó szabályokat teljes

mértékben betartottam.

_____________________________________ hallgató aláírása

Dr. Sáfár Zoltán

safarzoltan@gmail.com

WMA2Q1

A nyugdíjkorhatár automatikus indexálásának lehetséges módszerei

Dr. Banyár József

Dr. Sáfár Zoltán

Methods of automatic indexation of pension age

Közgazdaságtudományi Kar

Dékáni Hivatal

1093 Budapest, Fővám tér 8.

Tel: 482-5158 Fax: 482-5164

Közgazdaságtudományi Kar

Konzulensi nyilatkozat

Név: ______________________________________________________________________________ NEPTUN-kód: ______________________________________________________________________ A szakdolgozat/diplomamunka címe magyarul:

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

A szakdolgozat/diplomamunka címe angolul: __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Szakszemináriumvezető (vagy konzulens) neve: ___________________________________________

Alulírott ____________________________________________________________ (szakszeminárium-

vezető) kijelentem, hogy a leadott szakdolgozat/diplomamunka mind tartalmi, mind formai szempontból

megfelel az alapszintű szakdolgozatokkal/diplomamunkákkal szemben támasztott követelményeknek,

így hozzájárulok ahhoz, hogy a hallgató a szakdolgozatot/diplomamunkát leadja.

_____________________________________ konzulens aláírása

Dr. Sáfár Zoltán

WMA2Q1

A nyugdíjkorhatár automatikus indexálásának lehetséges módszerei

Dr. Banyár József

Dr. Banyár József

Methods of automatic indexation of pension age