- (f 1+ f 2 ¿ ( x )=f 1 ( x )+ f 2 ( x [ الجمع ](- (f 1−f 2¿ ( x )=f 1 ( x )− f 2 ( x [ الطرح ](- (f 1 ∙ f 2 ¿ ( x )=f 1 ( x ) ∙ f 2 ( x [ الضرب ](

-f 1f 2

( x )=f 1(x )f 2( x)

، f 2 ( x [ القسمة ]0≠(

- (f 1° f 2 ¿ ( x )=f 1 ( f 2 (x ) [ التركيب ](

كانت =yاذا f 1(x) ايجاد يعني معكوسها فأن في xدالة أي yكدالةx=fان 2( y)

F(x) = mx + c

M = y2− y1x2−x1

, x1≠ x2

يساوي ميلهما ضرب حاصل كان اذا المستقيمان يتعامدان :1- أي

كان اذا متعامدان m1×m2=−1المستقيمان

األول الفصل قوانين

الدوال على العمليات

الدالة معكوس

الخطية الدالة

المستقيم ميل

المتعامدان المستقيمان

d=√¿¿أن : x1)حيث , y1) األولى x¿¿2)، النقطة , y2)¿ الثانية النقطة

qs=a+bp

ثابتان a , bحيث :

qs ، المعروضة الوحدة Pالكمية سعر

؟ الطلب دالة و العرض دالة بين التوازن يتم متىتكون عندما التوازن qd=qيتم s، = كمية الطلب كمية يعني

العرض

نقطتين بين المسافة

) ( الخطية اإلنتاج العرض دوال صورة

الخطيتين الطلب و العرض دالتي بين السوق في التوازن

الجيب جيب دالة دالةالتمام

الظل ظل دالة دالةالتمام

القاطع قاطع دالة دالةالتمام

y = sin (x)Y = f(x) =sin(x)

y = cos (x)y = tan (x)y = cot (x)y= sec(x)y= csc(x)

tan(x) =sin (x )cos(x )cot(x) =cos(x )

sin(x )sec(x) =

1cos(x )

Csc(x)= 1

sin(x) cos(x)حيث : sin(x)≠0حيث: cos (x) ≠0حيث:

≠0 sin(x)حيث:

≠0كذالك :

Cot(x) =1

tan(x )

القاطع دالة ودالة مقلوب

التمام جيب

الدالة هذه ودالة مقلوب

الجيب

cos2 ( x )+sin2 ( x )=1الهندسي : التفسير

-Sin(c) =الوترالمقابل =¿ AB∨ ¿¿CB∨¿¿

¿

-Cos(c) =الوترالمجاور =¿CA∨ ¿¿CB∨¿¿

¿

-Tan(c) =المجاورالمقابل=¿ AB∨ ¿¿CA∨¿¿

¿

-Cot(c) =المقابلالمجاور=¿CA∨ ¿¿AB∨¿¿

¿

-Sec(c) =المجاورالوتر=¿CB∨ ¿¿CA∨¿¿

¿

-Csc(c) =المقابلالوتر=¿CB∨ ¿¿AB∨¿¿

¿

المثلثية الدوال

: هي الدوال هذه بين تربط التي العالقات أهم من و

-ax ay=ax + y

-ax

ay =ax− y

-(ax¿ y=ax y

-(ab¿X=ax bx

-(ab¿x=ax

bx

-ax=ay→x= y

T = m ( 1 + x100

¿n

y= loga x→x=ay

-log a ( xy )=loga x+ loga y

-l oga( xy )=loga x−log a y

-log a xn=n loga x

االسية الدالة خصائص

المستثمر المبلغ هي :mجملة

اللوغاريتمية الدالة

اللوغريتمات قوانين أهم

lim×→∂ ـ f (× )≠ lim

×→∂+¿ f (× )¿¿

أن : نقول فإننا

موجودهغير lim×→∂

f (×)

من الدالة اقتربت قرب Mإذا يزداد الجهة aمن xعندما من∂<×اليمنى ,×≠∂

عند اليمنى الدالة نهاية أن نقول ونكتب :Mهي aفإنناlim ¿x→af ( x )=m

من الدالة اقتربت قرب Mإذا يزداد الجهة aمن xعندما من∂<×اليمنى ,×≠∂

عند اليمنى الدالة نهاية أن نقول ونكتب :Mهي aفإنناlim ¿x→af ( x )=m

-lim×→∂

C=C حيثC , ثابت €R aعدد

-lim×→∂

X=∂

الثاني الفصل قوانين

الدالة سلوك

اليسرى النهاية تعريف

نظرية

النهايات جبر

أن limبفرض×→∂

f (×) , lim×→∂

g(×): فإن موجودتان

-lim×→∂

[c . f (×)]=c . lim×→∂

f (×)

-lim×→∂

[ f (× )±g (×)]=lim×→∂

f (× )± lim×→∂

g(×)

-lim×→∂

[ f (× ) . g (× ) ]= lim×→∂

f (× ) . lim×→∂

g(×)

-lim×→∂

¿ f (×)g (×)

=lim×→∂

f (×)

lim×→∂

g (×)حيث

ولكل حدود كثيرة فإن :R∋∂ألي

lim×→∂

f (× )=f (×)

كان limإذا×→∂

f (× )=L , n: فإن موجب صحيح عدد

lim×→∂

n√ f (×)= n√ lim×→∂f (×)=n√LL > 0

كان وكانت bإذا ثابتا limعدد×→∂

f (× )=L: فإن موجوده

lim×→∂

b f (×)=blim×→ ∂

f (×)=bL

نظرية

نظرية

نظرية

نظرية

كانت limإذا×→∂

f (×)=L: فإن وموجبة موجوده

lim×→∂

log f (×)=log ( lim×→∂f (×))= logL

الدالة كانت مثل :f(x)إذا قاعدة من أكثر وفق معرفة

f (× )={3 x2+5 , x ≤17 x−2 , x>1 }إيجاد limوأردنا

×→∂f إحدى (×) تنشأ :فقد هي حاالت ثالث

-a األولى القاعدة مجال ضمن تقع

-a الثانية القاعدة مجال ضمن تقع

-a المجالين بين الفاصل الحد على تقع

كانت : fإذا (× )≤h (× )≤g(×) , وكانlim×→∂

f (× )=lim×→∂

g (×)=L: فإن

lim×→∂

h(×)=L

نظرية

مهمة مالحظة

ساندويتش نظرية

نظرية

lim×→∂ (1+ 1x )

x

=e ، حيثe النايبيري العدد

lim×→ 0

sin xx

=1

-. التحليل أسلوب

-. المرافق في الضرب أسلوب

لـ - بالنسبة أس أكبر اخذ كاملة xأسلوب الدالة قسم ثم

-lim×→∞+¿C=C ¿

¿ , li m×→∞−¿C=C ¿

حقيقي Cحيث عدد

كان - وكان nإذا موجب نسبي فإن :cعدد حقيقي عدد

lim×→∞+¿

c×n =0 , lim

×→∞−¿ c×n =0 ¿

¿¿

¿

حدود كثيرتي لدينا كان وكان F(x) ,g(x)إذا ،lim×→±∞

f (x)g( x)

فإننا

على والمقام البسط من كل :xنقسم مالحظة مع قوة بأكبر

فالنهاية - المقام قوة من أكبر البسط قوة كانت إذاتساوي ∞

تساوي - فإنها البسط قوة من اكبر المقام قوة كانت إذاالصفر

فإن - المقام قوة مع البسط قوة تساوت كانت إذا أما

نظرية

نقطة عند المحدودة غير المقادير نهاية

نظرية

مهمة مالحظة

المال من مبلغا ان بسعر mافرض بنك في وضع وأنp=100xقديضاف المبلغ nالربح هذا جملة فإن لهذا ، الواحد العام خالل مر

: هي العام نهاية في

s=m(1+ xn )

n

المرات لعدد سمحنا أن nوإذا أي ، النهاية ما إلى يؤول أن: العام نهاية في المبلغ هذا جملة فإن مستمرة الفائدة

lims =n→∞

m( limn→∞(1+ x

n)n)¿mex

المقدار هذا المبلغ exmويمثل اآلن .mقيمة من سنة بعد

قيمة لتصبح يكون لذلك يعطى hبعد sوكتعميم السنوات منبالعالقة

m=se−nh

النهايات على تطبيقات

المستمرة الفائدة

االتصال

الدالة أن نقطة f(x)نقول عند الشروط Cمتصلة تحققت إذاالتالية : الثالثة

-f(c) معرفة-lim

×→∂f (x) موجودة

-limx→c

f ( x )=f (c )

الدالة فإن السابقة الشروط من أي يتحقق لم غير f(x)وإذاعند Cمتصلة

∆ y∆x

=y2− y1x2−x1

=f ( x2 )−f (x1)

x2−x1

f ( x )=limx→a

f ( x )−f (a)x−a

. موجودة النهاية تكون أن بشرط

عندما] التغير متوسط نهاية هي المشتقة أن ∆أي x→0لهذا الدالة [ في التغير معدل تسمى

قوانينالثالث الفصل

التغير متوسط قانون

المشتقة مفهوم

f ( x )= y=dydx

= ddx

f ( x )=D x f ( x )=D x y

]y=f (x للدالة ]( االشتقاق رموز

f ( x )=m :فإنf ( x )=mx+b كانت إذا (A

f ( x fفإن: 0=( ( x )=c كانت إذا (B

f ( x )=nxn−1 :فإنf ( x )=xn ،نسبي كان ¿عدد إذا (C

]n≤0 تكون] x≠0عندما أن يجب معرفة المشتقة تكون حتىddx ( f ( x )+g( x ) )=

ddx

f ( x )+ddx

g( x دوال ( عدة لمجموع D) :المشتقة

الطرح ] جملية في [ وكذلك

ddx ( f ( x ) . g( x ))=f ( x ) . g ( x )+f ( x ) . g ( x دوال ( عدة لضرب :المشتقة

(E

[ إبدالية عملية [ الضرب

m (x )= f (x)g( x)

=f ( x ) . g ( x )−f ( x ) . g ( x )

¿¿ قسمة لخارج المشتقةF) :دالتين

dd ( x ) ( 1f ( x ) )=

− ddx

f ( x)

¿¿الدالة مقلوب G) :مشتقة

االشتقاق جبر

صريح التابع y غير x والمتغير تكون األحيان بعض في يحدث قدالمستقل المتغير بين العالقه

الصورة على الدالة تكون الحالة هذه في

ثابت f حيث cمقدار ( x , y )=c

المتغيرات التفاضل x لجميع عملية نجري المشتقة هذه وإليجادلـ بالنسبة

الضمني االشتقاق هذا ويسمى المعادلة طرفي .على

ثانية] مره نشتق أن يمكن لهذا اخرى، دالة هي الدالة مشتقة إن

المماس .1 ميل أنها على هندسيا األولى المشتقة تفسرالدالة لمنحنى

x=a النقطة y=fعند (x الدالة ( مشتقة كانت a)إذا , f (a عند (( y=f النقطة (x )

الضمني اإلشتقاق

المنحيات سلوك على التفاضل تطبيقات

والتناقص .2 التزايد ومجاالت المحلية الصغرى والقيم العظمى القيم

الدالة f :فإن مجال في c نقطة كانت إذا

(a,b) مفتوحة فترة وجدت للدالة f إذا محلية عظمى .f(c) 1 قيمة

f ( x )≤ f (x أن ( c :بحيث على تحتوي

(a,b) الفترة القيم x في لجميع

المحلية العظمى النقطة (c,f(c)) هي النقطة وتكون

(a,b) مفتوحة فترة وجدت للدالة fإذا محلية صغرى .f(c) 2 قيمةتعتبر

f ( x )≥ f (x أن ( c :بحيث على تحتوي

(a,b) الفترة القيم x في لجميع

المحلية الصغرى النقطة (c,f(c)) هي النقطة وتكون

نقول فإننا بعدها التناقص إلى قبلها التزايد التغير .1 (c,f(c)) :من كان إذاالنقطة عند الدالة سلوك في

محلية عظمى قيمة النقطة (c,f(c)) .هي أن

نقول فإننا بعدها التزايد إلى قبلها التناقص التغير .2 (c,f(c)):من كان إذاالنقطة عند الدالة سلوك في

[a,b] الفترة على قيم x في (a,b) فإنf تتزايد fلجميع (x)>01 .إذا كانت

[a,b] الفترة ناقصتت على fفإن (a,b) في x قيم fلجميع (x)<02 .إذا كانت

(c,f(c)) النقطة عن سالب إلى موجب من fإشارتها (x) غيرت إذاالعظمى النقطة هي النقطة هذه فإن

.(c,f(c)) النقطة عن موجب إلى سالب من fإشارتها (x) إذا أما غيرت

محلية صغرى النقطة هي النقطة هذه فإن

f ( x ( x=cفإن 0=( فترة ) في صغرى أو عظمى محلية قصوى قيمة لها عند الدالة fمفتوحة كانت إذا

نظرية

مالحظة

نظرية

f (x) األولى: المشتقة نوجد أوال

C ولتكنf ( x أن: 0=( أي األولى المشتقة أصفار نوجد ثانيا

x=c النقطة ويسار يمين fعلى ( x إشارة: ( نختبر ثالثا

السابقة: النظرية نحقق رابعا

fوكانت: ( c كانت 0=( إذا

x=c عند محلية عظمى محلية قيمة fفإن f لها ( c )<01 .

x=c عند محلية صغرى محلية قيمة fفإن f لها ( c )>02 .

المجاور الشكل :من

المشتقة .1 كانت إذا ألعلى مقعرالصفر من أكبر .الثانية

المشتقة .2 كانت إذا ألسفل مقعرالمعطاه الفترة من أصغر .الثانية

: في تغيير عملية يحدث عنها التي النقاط هي اإلنقالب نقاط تعريفانقالبي بشكل المنحنى .اتجاه

. العكس أو بعدها وموجبة محددة نقطة قبل fسالبة ( x): أخرى وبطريقة كانت إذا

والتناقص التزايد ومجاالت القصوى النقاط إيجاد خطواتاألولى المشتقة باستخدام

نظرية

االنقالب ونقاط المنحيات تقعر

والثانية - األولى المشتقة نوجد

x=e- ولتكن الثانية المشتقة اصفار نوجد

x=e ويمين يسار fعلى (x) -إشارة نختبر

نقطة عند واإلشارة المقدار حيث من المشتقات خواص استخدام يمكنناالدالة منحنى لرسم .معينة

المنحنيات رسم خطوات

منها .1 كل ونع القصوى النقاط .تحديد

والتناقص .2 التزايد فترات .تحديد

واألسفل .3 لألعلى التقعر وفترات االنقالب نقاط dp.تحديدdqd الطالب .1 = :دليل

c=f (q )=a+bq+ eq+m p22. ] الحدية ] التكلفة اإلنتاج : دليل

dcdq اإلنتاج - دليل

الفائدة ] [: .3 التكاليف = – الربح اإليراد الربح

D (q )=R (q )−C (q )

]D1 (q )=dDdq

نضع ]0= يمكن ما أكبر الربح :ولجعل

Rq (q )−C1 (q )=0 أن أي

Ed= Pqd

. dqddp الطلب .4 :مرونة

T=Px=xg(x ) المبيعات هذه عن الكلي ] [ .T5 :الناتج اإليرادات الدخل

التقعر ومجاالت االنقالب نقاط إيجاد خطوات

المنحنيات رسم

االشتقاق على اقتصادية تطبيقات

اللوغاريتمية .1 الدوال : مشتقات

f ( x )= 1x ln e

= 1x fفإن ( x )=loge x كانت إذا

f ( x )=ln x أن :أي

f ( x )=1xdx

f ( x )=1xlogae fفإن (x) كانت إذا

األسية .2 الدالة : مشتقة

f ( x )=ex dx فإنf ( x )=ex كانت إذا

المثلثية .3 الدوال : مشتقات

f ( x )=cos ( x )dx fفإن ( x )=sin (x كانت- ( إذا

f ( x )=−sin ( x )dx fفإن ( x )=cos (x كانت- ( إذا

والمثلثية واللوغاريتمية األسية الدوال مشتقات

∫ g (X )dX

الرابع الفصل قوانين

المحدد غير التكامل

-∫ dx=x+c∙

-∫ xndx= xn+1

n+1+c حيثn≠ -1

-∫ a f ( x )dx=a∫ f ( x )dx

-∫ ( f ( x )+g ( x ) )dx=∫ f (x )dx+∫ g (x )dx

-∫ a f ( x )dx=a∫ f ( x )dx

-∫ 1Xdx=ln|x|+e

-∫sin x dx=−cos x+c

-∫cos xdx=sin x+c-∫ sec x2dx=tan x+c

-∫ csc x2dx=−cot x+c

-∫ sec x tan x dx=sec x+c

∫¿¿

حقيقي nحيث عدد

ان : نعلم

( f (x ) ∙ g ( x ) ) =f ( x ) ∙ g ( x )+g ( x ) ∙ f ( x )

ان : أي

f ( x ) ∙ g ( x )=( f ( x ) ∙ g (x ) ) −g ( x ) ∙ f (x)

∫ f ( x ) ∙ g (x )dx=∫ ( f ( x ) ∙ g (x ) ) −∫ g ( x ) ∙ f ( x )dx

باالجزاء التكامل اسلوب االسلوب هذا ∫يسمىa

b

f ( x )dx=F (b )−F (a)

للداله المحدود بالتكامل المقدار هذا ]f(x)ويسمى الفتره [a,bعلى

التكامل قوانين

مهمه قوانين

بالتعويض التكامل

بالتجزيء التكامل

المحدود التكامل

-∫a

a

f ( x )dx=0

-∫a

b

f ( x )dx=−∫b

a

f ( x )dx

-∫a

b

f ( x )dx+∫b

c

f ( x ) dx=∫a

c

f ( x ) dx

fاذا كانت - 1(x)≤ f 2 (x) لكل a≤ x≤b فإن ،

T=∫°

t

f ( t )dt

السنه = في الرياالت من الدخل f.معدل (t)

الدخل = T.مجمل

¿الزمن t

المحدود التكامل خواص

الحدي الدخل

: الرأسمالية القيمة

∫0

t1

e−tr f ( t )dt

الحدي التحليل

T=∫ dTdx

dx