第 1 节向量与向量的加减法

第第 11 节节向量与向量的加减法向量与向量的加减法

第五章平面与空间向量

要点要点 ·· 疑点疑点 ·· 考点考点1. 向量的有关概念

(1) 既有大小又有方向的量叫向量，长度为 0 的向量叫零向量，长度为 1 个单位长的向量，叫单位向量 .

(2) 方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量 .规定零向量与任一向量平行 .

(3) 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 .

2. 向量的加法与减法

(1) 求两个向量和的运算，叫向量的加法，向量加法按平行四边形法则或三角形法则进行 . 加法满足交换律和结合律 .

(2) 求两个向量差的运算，叫向量的减法 . 作法是连结两向量的终点，方向指向被减向量 .

课前热身1

B

C

1. 已知 a,b 方向相同，且 |a|=3 ， |b|=7 ，则 |2a-b|=_____.

2. 如果 AB=a,CD=b ，则 a=b 是四点 A 、 B 、 D 、 C 构成平行四边形的 ( )

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

3.a 与 b 为非零向量， |a+b|=|a-b| 成立的充要条件是 ( )

(A)a=b (B)a b ∥ (C)a⊥b (D)|a|=|b|

C

B4. 下列算式中不正确的是 ( )

(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC

(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a

5. 已知正方形 ABCD 边长为 1 ， AB=a,BC=b,AC=c, 则 a+b+c 的模等于 ( )

(A)0 (B)3 (C)22 (D)2

能力能力 ·· 思维思维 ·· 方法方法

【解题回顾】本例主要复习向量的基本概念 . 向量的基本概念较多，因而容易遗忘 . 为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想 . 引导学生在理解的基础上加以记忆 .

1. 给出下列命题：①若 |a|=|b| ，则 a=b ；②若 A ， B ，C ， D 是不共线的四点，则 AB= DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a=b,b=c ，则 a=c ；④ a=b的充要条件是 |a|=|b| 且 a∥b ；⑤若 a∥b,b∥c ，则 a∥c.

其中，正确命题的序号是 ______② ，③

【解题回顾】解法 1 系应用向量加、减法的定义直接求解；解法 2 则运用了求解含有未知向量 x,y 的方程组的方法

2. 在平行四边形 ABCD 中，设对角线 AC=a,BD=b ，试用 a,b 表示 AB ， BC.

3. 如果 M是线段 AB的中点，求证：对于任意一点 O ，有

OM= (OA+OB)

2

1

【解题回顾】选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和领悟 . 本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想 .

【解题回顾】 (1) 以上证明实际上给出了所证不等式的几何解释；

(2) 注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想 .

4. 对任意非零向量 a,b ，求证： ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

【解题回顾】充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化为 |AB|=|BC| ， AB⊥BC

延伸延伸 ·· 拓展拓展5. 在等腰直角三角形 ABC 中，∠ B=90°,AB=(1 ， 3) ，分别求向量 BC 、 AC

误解分析误解分析

2. 需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏 .

1. 在向量的有关习题中，零向量常被忽略 ( 如能力 · 思维 ·方法 1.⑤中 ) ，从而导致错误

第第 22 节实数与向量的积节实数与向量的积

要点要点 ·· 疑点疑点 ·· 考点考点

2 共线定理 . 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ，使得 b=λa

1. 实数与向量的积的概念 .(1) 实数 λ 与向量 a 的积记作 λa ，其长度 |λa|=|λ||a| ；方向规定如下：当 λ ＞ 0 时， λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ ＜ 0 时， λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ=0 时， λa=0. (2) 设 λ 、 μ 为实数，则有如下运算律： λ(μa)=(λμ)a ， (λ+μ)a=λa+μa ， λ(a+b)=λa+λb

3. 平面向量基本定理如果 e1 、 e2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1,λ2 ，使 a=λ1e1+λ2e2 ,其中 e1 ， e2 叫基底 .

1. 设命题 p ：向量 b 与 a 共线，命题 q: 有且只有一个实数 λ ，使得 b=λa, 则 p 是 q 的 ( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件

2. 给出下列命题：①若 a,b 共线且 |a|=|b| ，则 (a-b)∥(a+b) ；②已知 a=2e,b=3e ，则 a=3b/2 ；③若 a=e1-e2 ,b=-3e1+3e2 ，且 e1≠e2 ，则 |a|=3|b| ；④在△ ABC 中， AD 是 BC 上的中线，则 AB+AC=2AD其中，正确命题的序号是 ___________

3.(1) 在平行四边形 ABCD 中， AB=a,AD=b, 那么用 a 和 b 表示向量 AC+DB 为 ( ) (2) 已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，设 AB=e1 ， AD=e2 ，则用 e1, e2 表示 ED 的表达式为 ( ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b

课前热身B

① ，④

A

B

D

ba 2

1

4. 平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3 ， 1) ， B(-1 ， 3) ，若点 C 满足 OC=αOA+βOB ，其中 a 、 β R∈ ，且 α+β=1, 则点 C 的轨迹方程为 ( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0

5. 设 P 、 Q 是四边形 ABCD 对角线 AC 、 BD 中点， BC=a,DA=b ，则

PQ=_____________


1. 已知 AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中 e1,e2 不共线， (1) 若 A 、 B、 C三点共线，求 k值； (2) 若 A 、 B、 D三点共线，求 k值 .

【解题回顾】可利用向量共线的充要条件证明几何中的三点共线问题 .

2. 设△ ABC 的重心为 G ，点 O 是△ ABC 所在平面内一点，求证：

OG= (OA+OB+OC)3

1

【解题回顾】当点 O 是△ ABC 重心时，有 OA+OB+OC=0 ；反过来，若 P 是△ ABC 所在平面内一点，且 PA+PB+PC=0 ，则 P必为△ ABC 的重心 .事实上，由 PA+PB+PC=0 得： (OA-OP)+(OB

-OP)+(OC-OP)=0 ，所以 OP= (OA+OB+OC) ，故 P 是△ ABC 的重心

3

1

3. 已知 OA 、 OB 不共线，设 OP=aOA+bOB ，求证： A 、 P 、B 三点共线的充要条件是 a+b=1.

【解题回顾】由本题证明过程可知，若 P 是 AB 中点，则有

OP= (OA+OB). 利用本题结论，可解决一些几何问题 .2

1

4.E 是□ ABCD 的边 AB 上一点， AE/EB=1/2 ， DE 与对角线 AC 交于 F ，求 AF/FC.( 用向量知识解答 )

【解题回顾】利用例 3 结论，本题还可这样：设 AE=e1 ， AD=e2 ，∵ D 、 F 、 E 共线，∴可设 AF=λe1+(1-λ)e

2 ，又易知 AC=3e1+e2根据 A 、 F 、 C 三点共线可得 λ=3/4 ，故AF/FC=1/3. 另外还可以用坐标运算的方法来解，略 .

延伸延伸 ·· 拓展拓展5. 如图，已知梯形 ABCD 中， AD∥CB ， E ， F 分别是 AD ， BC 边上的中点，且 BC=3AD ，设 BA=a,BC=b ，以 a,b 为基底表示EF ， DF ， CD.

【解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用 .由于 BA与 BC 是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它们表示出来 .


1.很多人认为“若 a∥b ，则存在唯一实数 λ 使 b＝ λa.” 这是典型错误 .事实上，它成立的前提是 a≠0. 同样，在向量基本定理中，若 e1 ， e2 是共线向量，则不能用 e1 ， e2 表示与它们不共线的向量 .

2. 在能力 · 思维 · 方法 3 中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论 . 另外，向量上的箭头不要丢掉，如把 0写成了0.

第第 33 节节平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示


1. 平面向量的坐标表示 (1)a＝ (x ， y) 叫向量的坐标表示，其中 x 叫 a 在 x轴上的坐标， y 叫 a 在 y轴上的坐标 . (2) 设 a＝ (x1 ， y1) ， b＝ (x2 ， y2) ， λ R. ∈则 a+b＝ (x1+x2 ， y1+y2) ，a-b＝ (x1-x2 ， y1-y2) ，λa＝ (λx1 ， λy1) (3)a∥b(b≠0) 的充要条件是 x1y2-x2y1＝ 0

2. 线段的定比分点 (1) 定义：设 P1 、 P2 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同于 P1 、 P2 的任一点，则存在一个实数 λ ，使 P1P＝ λPP2 ，λ 叫点 P 分有向线段 P1P2 所成的比，点 P 叫定比分点 . (2)公式：设 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) ， P1P＝ λPP2 ，则

λ1

λyyy

λ1

λxxx 2121

，

当 λ＝ 1 时，为中点坐标公式 . 2

yyy

2

xxx 2121

，

3. 平移设原坐标 P(x ， y) 按向量 a(h ， k) 平移后得到新坐标

则

y，xP

kyy

hxx

1. 设 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 是不同的两点，点 P(x ， y)的坐

标由公式确定 . 当 λ R∈ 且 λ≠-1

时有 ( ) (A)P 表示直线 AB 上的所有点 (B)P 表示直线 AB 上除去 A 的所有点 (C)P 表示直线 AB 上除去 B 的所有点 (D)P 表示直线 AB 上除去 A 、 B 的所有点

λ1

λyyy

λ1

λxxx 2121

，

课前热身

C

2. 若对 n 个向量 a1 、 a2 …、、 an ，存在 n 个不全为零的实数 k1 、 k2 …、、 kn ，使得 k1a1+k2a2+…+knan=0 成立，则称向量 a1 、 a2 …、、 an “ ”为线性相关，依此规定，能使 a1=

(1,0) ， a2=(1,-1) ， a3=(2,2)“ ”线性相关的实数 k1 、 k2 、 k3

依次可取的值是 ___________( 写出一组数值即可，不必考虑所有情况 )

-4 ， 2 ，1

3. 三点 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 、 C(x3 ， y3) 共线的充要条件是 ( )(A)x1y2-x2y1＝ 0

(B)(x2-x1)(x3-x1)＝ (y2-y1)(y3-y1)

(C)(x2-x1)(y3-y1)＝ (x3-x1)(y2-y1)

(D)x1y3-x3y1 ＝ 0

C

B4. 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2) ，则 c 等于 ( )

baA2

3

2

1. baB

2

3

2

1. baC

2

1

2

3. baD

2

1

2

3.

5.函数 y=x2 的图象按向量 a=(2,1) 平移后得到的图象的函数表达式为 ( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1

C


【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底， i＝(1 ， 0) ， j＝ (0 ， 1) 分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用 i 、 j 表示向量时， xi+yj 中的 x 、 y是惟一的，即为向量的 ( 直角 ) 坐标 . 两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等 .

1. 设 x 、 y 为实数，分别按下列条件，用 xa+yb 的形式表示 c. (1) 若给定 a＝ (1 ， 0) ， b＝ (0 ， 1) ， c＝ (-3 ， -5) ； (2) 若给定 a＝ (5 ， 2) ， b＝ (-4 ， 3) ， c＝ (-3 ， -5).

【解题回顾】设 a＝ (x1 ， y1) ， b＝ (x2 ， y2) ，若 b≠0 ，则 a b∥ 的充要条件是存在实数 λ ，使得 a＝ λb. 用坐标形式来表示就是 a b∥ <=>x1y2-x2y1＝ 0. 而 x1/x2＝ y1/y2 是a b∥ 的充分不必要条件 .

2. 已知在梯形 ABCD 中， AB CD∥ ， A(1 ， 1) ， B(3 ， -2) ， C(-3 ， -7) ，若 AD (BC-2AB)∥ ，求 D 点坐标 .

3. 已知三点 A(1 ， 2) 、 B(4 ， 1) 、 C(3 ， 4) ，在线段AB 上取一点 P ，过 P 作直线与 BC 平行交 AC 于 Q ，△APQ 与梯形 PQCB 的面积之比是 4 5∶ ，求点 P 的坐标 .

【解题回顾】一般地，函数 y＝ f(ωx) 的图象按 a＝ (h ，k) 平移后所得图象的解析式为 y-k＝ f[ω(x-h)] ，即 y＝ f[ω(x-h)]+k.

4. 若函数 y ＝ log2(2x-4)+1 的图象按 a 平移后图象的解析式为 y ＝ log22x ，求 a.

延伸延伸 ·· 拓展拓展

【解题回顾】本题 (2) 是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立 . 解出存在的值 ( 如无解，则不存在 ) ，再验证求出的解，如不矛盾，则存在 .

5. 已知点 O(0 ， 0) ， A(1 ， 2) ， B(4 ， 5)及 OP＝ OA+tAB ，试问： (1)t 为何值时， P 在 x轴上 ? 在 y轴上 ?P 在第二象限 ? (2) 四边形 OABP 能否成为平行四边形 ? 若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由 .

1. 利用定比分点解题时，一定要先把定比 λ先明确， λ 的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错 .


2. 利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系 .

第第 44 节节平面向量的数量积平面向量的数量积


2. 平面向量的数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a (2)(λa)·b＝ λ·(a·b)＝ a·(λ·b) (3)(a+b)·c ＝ a·c+b·c

1. 平面向量的数量积的定义 (1) 设两个非零向量 a 和 b ，作 OA＝ a ， OB＝ b ，则∠ AOB＝ θ 叫 a 与 b 的夹角，其范围是 [0 ， π] ，|b|cosθ 叫 b 在 a 上的投影 . (2)|a||b|cosθ 叫 a 与 b 的数量积，记作 a·b ，即 a·b＝ |a||b|cosθ. (3) 几何意义是： a·b 等于 |a| 与 b 在 a 方向上的投影 |b|cosθ 的积 .

3. 平面向量的数量积的性质设 a 、 b 是非零向量， e 是单位向量， θ 是 a与 e 的夹角，则 (1)e·a＝ a·e＝ |a|cosθ(2)a⊥b a·b＝ 0(3)a·b＝ ±|a|·|b|(a 与 b 同向取正，反向取负 ) (4)a·a＝ |a|2 或 |a|＝√ a·a

(5)

(6)|a·b|≤|a||b|

ba

bacosθ

4. 平面向量的数量积的坐标表示 (1) 设 a＝ (x1 ， y1) ， b＝ (x2 ， y2) ，则 a·b＝ x1x2

+y1y2 ，

|a|2＝ x21+y2

1 ， |a|＝√ x21+y2

1 ， a⊥b <=>x1x2+y1y2

＝ 0

(2)

(3) 设 a起点 (x1 ， y1) ，终点 (x2 ， y2) 则

22

22

21

21

2121

yxyx

yyxxcosθ

222121 y-yx-xa

1. 若向量 a 、 b 的坐标满足 a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3) ，则 a·b 等于 ( ) (A)-5 (B)5 (C)7 (D)-1

2. 若 a 、 b 、 c 是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则 ( ) (A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b| ＞ |a-b| (C)(a·b)·c-(b·c)·a 与 b垂直 (D)(a·b)·c-(b·c)·a=0

3. 设有非零向量 a, b, c ，则以下四个结论 (1)a·(b+c)=a·b+a·c ； (2)a·(b·c)=(a·b)·c; (3)a=b a·c=b·c ； (4)a·b=a·b. 其中正确的是 ( ) (A)(1) 、 (3) (B)(2) 、 (3) (C)(1) 、 (4) (D)(2) 、 (4)

课前热身课前热身

A

C

A

4. 设 a=(1,0),b=(1,1) ，且 (a+λb)⊥b ，则实数 λ 的值是 ( ) (A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2

5. 已知 |a|＝ 10 ， |b|＝ 12 ，且 (3a)·(b/5) ＝ -36 ，则 a 与 b 的夹角是 ( ) (A)60° (B)120° (C)135° (D)150°

D

B


【解题回顾】利用夹角公式待定 n ，利用垂直充要条件求 c.

1. 已知 a=(1,2),b=(-2,n) ， a 与 b 的夹角是 45°(1) 求 b ； (2) 若 c 与 b 同向，且 c-a 与 a垂直，求 c

2. 已知 x＝ a+b ， y＝ 2a+b 且 |a|＝ |b|＝ 1 ， a⊥b.

(1) 求 |x|及 |y| ； (2) 求 x 、 y 的夹角 .

【解题回顾】 (1) 向量模的计算方法常用的有两种，一是用距离公式，一是用 a2＝ |a|2把模的问题转化为平面向量的数量积的问题 .

(2) 向量夹角的取值范围是 [0 ， π].

【解题回顾】本题中，通过建

立恰当的坐标系，赋予几何图

形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 . 应深刻领悟到其中的形数结合思想 . 此外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁

与简 .

3. 如图， P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PECF 是矩形，用向量法证明：

(1)PA＝ EF ； (2)PA⊥EF.

【解题回顾】这是一道关于向量与解析几何的综合题，解题的关键在于将问题合理地转化，回避了复杂的计算 .

4. 已知 a=(x,0),b=(1,y),且 (a+ b)⊥(a- b). (1)求点 P(x,y) 的轨迹方程 C的方程 .

(2) 若直线 l:y=kx+m(m≠0) 与曲线 C交于 A 、 B两点， D(0， 1) ，且有｜ AD ｜ = ｜ BD ｜ ,试求实数m 的取值范围 .

3 3

延伸延伸 ·· 拓展拓展5. 已知向量 a=(x,x-4) ，向量 b=(x2,3x/2),x [-4∈ ， 2] (1) 试用 x 表示 a·b (2) 求 a·b 的最大值，并求此时 a 、 b夹角的大小 .

【解题回顾】本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体，考查知识的综合应用 .

【解题回顾】 (1) 是用数量积给出的三角形面积公式， (2) 则是用向量坐标给出的三角形面积公式 .

6. 在△ ABC 中， (1) 若 CA＝ a ， CB＝ b ，求证△ ABC

的面积

(2) 若 CA＝ (a1 ， a2 ) ， CB＝ (b1 ， b2 ) ，求证：△ ABC

的面积

22

Δ 2

1babaS

1221Δ 2

1babaS

1．数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中结合律及消去律不成立，即 a·(b·c)≠(a·b)·c ， a·b＝a·c 不能推出 b＝ c ，除非是零向量 .


2． a⊥b 的充要条件不能与 a∥b 的充要条件混淆，夹角的范围是 [0 ， π] ，不能记错 . 求模时不要忘了开方，以上是造成不全对的主要原因 .

第第 55 节节空间向量及其运算空间向量及其运算


1. 若 a 、 b 是空间两个非零向量，它们的夹角为 θ(0≤θ≤π) ，则把 a 、 b 的数量积定义为 |a||b|cosθ ，记作 a·b.即a·b=|a||b|cosθ.

2.a·b=b·a ， (a+b)·c=a·c+b·c

3. 若 a={x1 ， y1 ， z1} ， b={x2 ， y2 ， z2} ，则 a·b=x1x2+y1y2+z1z2

22

22

22

21

21

21

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacosθ

1. 在以下四个式子： a+b·c ， a·(b·c) ， a(b·c) ， |a·b|=|a|·|b|中正确的有 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)0 个

2. 若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9) ，如果 a 与 b 为共线向量，则 ( ) (A)x=1 , y=1 (B)

(C) (D)

3. 已知四边形 ABCD 中， AB=a-2c ， CD=5a+6b-8c ，对角线 AC ， BD 的中点分别为 E ， F ，则 EF=_______________

2

1

2

1 yx ，

2

3

6

1 yx ，

2

3

6

1 yx ，

课前热身

A

C

3a+3b-5c

4. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，下面给出四个命题： ①(A1A+A1D1+A1B1)

2=3(A1B1)2②A1C·(A1B1-A1A)=0.③AD1

与 A1B 的夹角为 60°④此正方体体积为： |AB·AB1·AD|

则错误命题的序号是 ______(填出所有错误命题的序号 ).

5. 若 A 、 B 、 C 三点在同一条直线上，对空间任意一点O ，存在 m 、 n R∈ ，满足 OC=m·OA+n·OB ，则 m+n=___.

③ 、④

1

能力能力 ·· 思维思维 ·· 方法方法1. 已知三棱锥 O—ABC 中， G 为△ ABC 的重心， OA=a ，OB=b ， OC=c ，试用 a , b , c 来表示 OG.

【解题回顾】 (1) 此例用到的常用结

论为：若 AD 是△ ABC 的中线，则有

(2) 此例是常用结论即重心定理：当

OA 、 OB 、 OC 两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为：

ACABAD 2

1

333321321321 zzzyyyxxx

G ，，

2. 已知正三棱锥 P—ABC 中， M ， N 分别是 PA ， BC的中点， G 是 MN 的中点 . 求证： PG⊥BC.

【解题回顾】要证 PG⊥BC ，只

要证 PG·BC=0 ，应选择适当的基

底： PA ， PB ， PC.

3. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， AC 交 BD 于 O ， G 为CC1 中点 .

求证： A1O⊥平面 GBD.

【解题回顾】欲证 A1O⊥平面 GBD ，只要证 A1O垂直于面 BDG 中两条相交直线，易看出 A1O⊥BD ，而 OG 与 A1

O 垂直较为易证 .( 注：此题亦可用空间坐标来证明 ).

4.沿着正四面体 O—ABC 的三条棱 OA ， OB ， OC 的方向有大小等于 1 ， 2 和 3 的三个力 f1 ， f2 ， f3 ，试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦 .

【解题回顾】引入 OA 、 OB 、 OC 方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键 .

延伸延伸 ·· 拓展拓展5．已知三角形的顶点是 A(1 ， -1 ， 1) ， B(2 ， 1 ， -1) ， C(-1 ， -1 ， -2)．试求这个三角形的面积 .

【解题回顾】本题实际上是给出了三角形的“向量型”面积公式 .到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积的方法呢 ?


已知 |a|=4 ， |b|=5 ， |a+b|=√21 ，求 a·b．

【分析】确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点重合，这时这两个向量间的夹角才是所要求的角．本题中∠ ABC 不是 a 与 b 的夹角，而是 -a 与 b 的夹角 ( 试画图观察 ) ，即 a 与 b 的夹角应是∠ ABC 的补角，

所以

ππ

πθ3

2

3

πxθ 0

-102

154cos

θbaba

第第 66 节节空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用


2. 向量 a 与 b 平行的充要条件为： |a·b|=|a|·|b|.

1 ．向量 a 与 b 夹角 θ 满足：

22

22

22

21

21

21

212121coszyxzyx

zzyyxxθ

若 a={x1 ， y1 ， z1} ， b={x2 ， y2 ，z2} 则

3. 向量 a 与 b 垂直的充要条件为： a·b=0 即 x1x2+y1y2+z1z2=0

1. 四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线 ( ) (A)互不相交(B)至多有两条直线相交(C) 三线相交于一点(D) 两两相交得三个交点

课前热身C

2. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中棱长为 a ， M ， N 分别

为 A1B 和 AC 上的点， A1M=AN= a ，则 MN 与平面

BB1C1C 的位置关系是 ( )

(A) 相交 (B) 平行 (C) 垂直 (D) 不能确定

3

2

B

3. 已知 PA⊥⊙O 所在的平面， AB 为⊙ O 的直径， C是圆周上的任意一点 ( 但异于 A 和 B) ，则平面 PBC垂直于平面 _________ ． PAC

4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， M ， N

分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成的角为 ( ) (A)arccos (B)arccos

(C)arccos (D)arccos

2

3

10

10

5

3

5

2

D

【解题回顾】空间两条直线之间的夹角是不超过 90° 的角．因此，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到 .

5． P 是二面角 α-AB-β棱上的一点，分别在 α ， β平面上引射线 PM ， PN ，如果∠ BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60° ，那么二面角 α-AB-β 的大小为 ( ) (A)60° (B)70° (C)80° (D)90°

D

【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线 .

【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线 .

6．设 n 是平面 α 的单位法向量， AB 是平面 α 的一条斜线，其中 A∈α ，则 AB 与平面 α 所成的角为； B 点到

平面 α 的距离为 _________. AB

nABarcsin

AB·n


【解题回顾】用向量求异面【解题回顾】用向量求异面

直线所成的角，可能会因为直线所成的角，可能会因为

我们选择向量方向的缘故，我们选择向量方向的缘故，

而求得该角的补角．所以最而求得该角的补角．所以最

后作答时要加以确认后作答时要加以确认 (( 取小于或等于取小于或等于 90°90° 的角作为异的角作为异面直线所成角面直线所成角 ).).

1. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中， AB=a ， BC=b ，AA1=c ，求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值 .

【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取 OB=b=1 ，

OC=c=1 ，这样使过程更加清晰 .

2. 三条射线 OA ， OB ， OC ，若∠ BOC=α, ∠COA=β,

∠AOB=γ ，又 α 二面角 B-OA-C 的大小为 θ ，试证这些角之间有如下关系：

γβ

γβαθ

sinsin

coscoscoscos

【解题回顾】将“两线垂直”问题

向“两线所在的向量的数量积为

0” 转化 .

3. 已知△ ADB 和△ ADC都是以 D 为直角顶点的直角三角形，且 AD=BD=CD ，∠ BAC=60°.

(1) 求证 BD⊥平面 ADC ；

(2) 若 H 是△ ABC 的垂心，

求证 H 是 D 在平面 ABC 内的射影 .

【解题回顾】根据向量和的平行四边形法则，在平行六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心体会 .

4. 平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，已知 AB=5 ， AD

=4,

AA1=3 ， AB⊥AD ，∠ A1AB=∠A1AD= .

(1) 求证：顶点 A1 在底面 ABCD

的射影在∠ BAD 的角平分线上；

(2) 若 M 、 N 分别在 D1C1 、 B1C1 上

且 D1M=2 ， B1N=2 ，求 BN 与 CM

所成的角 .

3

π

延伸延伸 ·· 拓展拓展

【解题回顾】求两点间距离可以转化为向量的模 .

5. 四面体 ABCD 中，∠ DAC=∠BAC=∠BAD=60° ，AC=AD=2 ， AB=3. (1) 求直线 AC 和 BD 所成角的余弦值； (2) 求点 C到平面 ABD 的距离 .

6. 设 l1 ， l2 是两条异面直线，其公垂线段 AB 上的单位向量为 n ，又 C ， D 分别是 l1 ， l2 意一点，求证 |AB|=|CD·n| ；

【解题回顾】在以上推导中，我们已暗中假定了 n 的方向是由 l1 上的点 A 指向 l2 上的点 B ，而 CD 的方向也是由 l1 上的点 C指向 l2 上的点 D．这样求得的CD·n 是正值 . 如果 n 指向与 CD指向不同则 CD·n 是负值，所以一般地就写成 |AB|=|CD·n|.

又如果 n 不是单位向量，则n

nCDAB

7. 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a ，求体对角线 BD1 与面对角线 B1C 的距离 .

【解题回顾】 DA ， DC ， DD1 有着基底的作用，我们将 BD1 与B1C 的公垂线段向量 n 用这组基底来表示 . 因为相差一个常数因子不影响其公垂性，所以设定了 n=DA+λDC+μDD1 ，使其只含有两个待定常数，这样就方便多了 .

误解分析关于向量的命题： 1. 若 |a|=0 ，则 a=0 ； (×) 2. 若 |a|=|b| ，则 a=b 或 a=-b ； (×) 3.a0 为单位向量， a∥a0 ，则 a=|a|a0 ； (×) 4.0·a=0 ； (×) 5.|a·b|=|a|·|b| ； (×) 6. 若 a·b=0 ，则 a=0 或 b=0 ； (×) 7.a∥b a·b=|a|·|b|(×) 8.a 、 b都是单位向量，则 a·b=1 ； (×) 9. 若 |a·b|=0 ，则 |a|=0 或 |b|=0 ； (×) 10.(a·b)·c=a·(b·c).(×) 尝试说明上述命题为假的理由 .

第 1 节 向量与向量的加减法

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第 1 节向量与向量的加减法