第 2 章 点、直线、平面的投影

2.2 点的投影

2.3 直线的投影

2.4 平面的投影

2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

2.1 投影方法的基本知识

2.1 投影方法的基本知识2.1 投影方法的基本知识

2.1.1 投影法的基本知识

2.1.2 投影法的种类

2.1.3 正投影法的基本性质

P

2.1.1 投影法的基本知识

用灯光或阳光照射物体，在地面或墙面上就会产生影子。人们把这种现象归纳、抽象出来，便形成了把空间物体投射在平面上的投影法。

2-1 投影法的概念

投射线投影面

a

S

A

投影法——投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。

投射中心

常用的投影方法有两种：中心投影法和平行投影法。

Pb

a

c

A

B

C

Ｓ

2.1.2 投影法的种类

1. 中心投影法 中心投影法——投射线汇交一点的投影法 ( 投射中心位于有限远处 ) 。

投射中心

投射线

物体投影面

投影

图 2-2 中心投影法

　　这种方法主要用于绘制建筑物或产品具有直观立体感的图——透视图。

P a

c

b

AC

B S

投射方向

2 ．平行投影法 平行投影法——投射线相互平行的投影法 ( 投射中心位于无限远处 ) 。

P

A

C

B

a

b

c

图 2-3 平行投影法

投射线与投影面倾斜——斜投影

投射线与投影面垂直——正投影

a) 斜投影 b) 正投影

P

C

DB

AA

B

d

c

ab

b

a

1 ．平行性 平行两直线的投影仍为相互平行的直线。 这种特性称为 :平行性。

2 ．定比性 直线上点分两线段的长度之比等于其投影长度之比。这种特性称为 : 定比性。

2.1.3 正投影法的基本性质

C

c

图 2-4 正投影的基本特性 (1)

P

3 ．实形性

当平面或线段平行于投影面时，其投影反映平面的实形或线段的实长。这种特性称为 : 实形性。

4 ．积聚性

当平面或线段垂直于投影面时，其投影积聚成为一直线或一点。这种特性称为 : 积聚性。

G

A

B

C

DE

F

H

C

A

B

DE

FG

H

a(b)h(g) e(f

)d(c)

图 2-5 正投影的基本特性 (2)

a

b

e d

fg

h

c

P

5 ．类似性 当平面或线段倾斜

于投影面时，其平面图形的投影成为一个与其不全等的类似形，线段投影成为比实长短的线段。即 ab< AB, 这种特性称 : 类似性。

a

bc

de

fg

h

A

B C

DE

G F

H

图 2-6 正投影的基本特性 (2)

2.2 点的投影

2.2.1 点在三面体系中的投影

2.2.2 特殊位置点的投影

2.2.3 两点的相对位置和重影点

2.2.1 点在三面体系中的投影

1 ．符号规定

空间点：用大写字母 A 、 B 、 C 投影点：用小写字母 ● 水平投影 a 、 b 、 c ● 正面投影 a′ 、 b′ 、 c′ ● 侧面投影 a″ 、 b″ 、 c″ 等

(1) 建立三面投影体系 V 面 : 正立投影面 H 面 : 水平投影面 W 面 : 侧立投影面

2 ．点的投影特性

① aa⊥OX 轴 aa⊥OZ 轴 ② aax = aaz = y =A 到 V 面的距离

aax= aay = z =A 到 H 面的距离 aay = aaz = x =A 到 W 面的距离

a′

a″

a

axay

az

xy

z

V

H

A W

OX

Y

Z

X

a′ a″

a

O

ax

ay

az

Z

ay

YH

YW

H

W

图 2-7 点在三面投影体系中的投影a) 直观图 b) 投影图

【例 2-1 】已知点的两个投影，求第三投影。

a

a

ax

aa

a

ax

az

az

解法一 : 通过作 45° 斜线使 aaz=aax

解法二 : 用圆规直接量取 aaz=aa

x

a

图 2-8 由点的两个投影求第三投影

a) 解法一 b) 解法二

X O

X O

(1) 空间点可用三个坐标表示，如 A 点坐标 （ XA ， YA ， ZA ）。

X ：反映点到 W 面距离 Y ：反映点到 V 面距离 Z ：反映点到 H 面距离(2) 一个投影点反映了两个坐标值，如投影 a ，其坐标 XA ， YA ；结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。

3 ．点的坐标与投影的关系

图 2-9 点的坐标与投影关系a) 直观图 b) 投影图

V

H

XO

Z

Y

W

【例 2-2 】 已知点（ 15 ， 5 ， 10 ），作出点的三面投影和直观图。

a'

a

a’

a"A

a"

a

图 2-10 由点的坐标求作点的投影图和轴测图

a) 投影图 b) 直观图

X O

Z

YH

YW

OX

Z

YH

YW

a'

a

a"

c'

c

由图 2-11 可知 :(1) 三个坐标值中有一个坐标为零时，则该点必定在投影面上(2) 三个坐标值中有两个坐标为零时，则该点必定在其坐标值不为零的那个投影轴上。

b' b"

2.2.2 特殊位置点的投影

b

45°

图 2-11 特殊位置点的投影

c"

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。

判断方法 ：▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前▲ z 坐标大的在上

b

a

a a

b

b

B 点在 A 点之前、之右、之下。

X

YH

YW

Z

2.2.3 两点的相对位置和重影点

1 ．两点的相对位置

图 2-12 两点相对位置

O

【例 2-3 】已知点 A 的三面投影 a 、 a′ 、 a″ ，并知点 B 在点A 的左方 32mm ，在点 A 上方 25mm ，在点 A 前方 20mm ，求作点 B 的三面投影 b 、 b′ 、 b″ 。

a

a' a"

32

20

25

b'

b

b"

20

图 2-13 利用相对坐标作图

(d')

a

a' a"

c'

c

c"

d

d"

b'

b

b"

X O

Z

YH

YW

2 ．重影点 位于同一投射线上的两点，由于它们在投射线所垂直的投影面上的投影是重合的，所以叫做重影点重影点（重影点必须有两个坐标值相同） 。

图 2-14 重影点的投影

(b)

被挡住的投影加( )

2.3 直线的投影

2.3.1 直线的投影

2.3.2 各种位置直线的投影特性

2.3.3 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角

2.3.4 点与直线、直线与直线的相对位置

2.3.5 直角投影定理

2.3.1 直线的投影

一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影，如图 3-9 所示。

图 2-15 直线的投影

X

Z

YH

YW

a'

a

a "

b'

b

b"

O

直线与投影面的相对位置情况：

2.3.2 各种位置直线的投影特性

直线的空间位置

特殊位置直线 一般位置直线

投影面垂直线 投影面平行线

正垂线 铅垂线 侧垂线 正平线 水平线 侧平线

投影特性 : ① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。

1 ．投影面垂直线垂直于某一个投影面的直线。

图 2-16 投影面的垂直线

与一个投影面平行，而对另外两投影面倾斜的直线 。2 ．投影面平行线

投影特性 :① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

图 2-17 投影面的平行线

对三个投影面都倾斜的直线。 直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。空间直线与投影面 H 、 V 、 W 之间的倾角分别用 α 、 β 、 γ 表示，如图 2-18 所示。

水平投影 a b = ABcosα

3 ．一般位置直线

一般位置直线的投影特征：① 三个投影均不反映实长；

② 三个投影均不反映直线与投影面的倾角。

图 2-18 一般位置直线

侧面投影 a″b″=ABcosγ

正面投影 a′b′=ABcosβ

2.3.3 一般位置直线实长及其对投影面的倾角

一般位置直线段在各投影面上的投影均不反映实长，也不反映对投影面的倾角。在工程上，经常遇到求一般位置直线的实长和倾角，常采用的作图方法有直角三角形法。

a

Y

Z

VA

b'

B

Hb

OX

a'

A1

a

a'

X

b

b'

ZA

---ZB

ZA

--Z

B

AB实长

a

a'

X

b

b'

AB 实长

Ao

ab

图 2-19 用三角形法求一般位置直线的实长和倾角

O O

一般位置直线的投影中可作出三个直角三角形，若只考虑直角三角形的组成关系。利用直角三角形法，只要知道四个要素中的两个要素，即可求出其他两个未知要素，如图 2-20 所示。

图 2-20 直角三角形的三种三角形

B1

a

Y

Z

VA

b'

B

Hb

OX

a'

A1

30º

【例 2-4 】已知直线 AB 对 H 面的倾角为 30°，试求 AB 的正面投影。

X O

a'

a

b

b'

b1'

图 2-21 由线段的倾角求直线的投影

2.3.4 点与直线、直线与直线的相对位置

投影特性：① 直线上点的投影必在该直线同面投影上；② 同直线上两线段长度比等于其投影长度比。

1 ．点与直线的相对位置 - 直线上的点

图 2-22 直线上点的投影

a

b

a

b

k

b

a

k

【例 2-5 】在 AB上求作点 K，使 AK:KB=1:2 。

21

k

图 2-23 求作直线上 K 点的投影

OX

2 ．直线与直线的相对位置空间两直线的相对位置可以分为三种：平行、相交、交叉。

（ 1 ）两直线平行 空间两直线平行，则它们的同面投影必然相互平行； 反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则两直线在空间也一定相互平行。

图 2-24 平行两直线

AB 、 CD 为侧平线，虽然 ab∥cd ， a′b′∥c′d′ ，但 a″b″ 不平行于 c″d″ ，故直线 AB 不平行于直线 CD 。

若要在投影图上判断两条一般位置直线是否平行，只要看它们的两个同面投影是否平行。但对于投影面的平行线，通常根据其三面投影（或其他的方法）来判别。

图 2-25 判断两直线平行

当两直线相交时，它们在各个投影面上的同面投影也必然相交，并且交点符合点的投影规律。

（ 2 ）两直线相交

图 2-26 相交两直线

b'

a'

c'

a

b

d

c

k

X O

【例 3-6 】已知点 K是 AB与 CD的交点，求 CD的正面投影 c′d′ 。

分析：交点为两直线所共有，且符合点的投影规律，据此可求得 k′ ；C 、 K 、 D 同属一条直线，据此可求出 d′ 。

k'

d'

图 2-27 利用两直线相交求 CD 直线的投影

在空间既不平行也不相交的两直线称为交叉直线。交叉直线的投影不具备平行或相交直线的投影特性，如图 2-28 所示。

（ 3 ）两直线交叉

图 2-28 交叉两直线

2.3.5 直角投影定理 空间两直线垂直相交，如果其中一条直线平行于某一投影面，则此两直线在该投影面上的投影互相垂直，反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中一条是该投影面的平行线，则两直线在空间互相垂直。

如图 2-29 所示。 已知 AB⊥BC ， AB∥H 面，BC 倾斜于 H 面。∵AB ∥H 面， Bb⊥H 面，∴AB⊥Bb.又∵ AB⊥BC ，∴AB 垂直于 BC 和 Bb 所决定的平面 BCcb 。又∵ ab A∥ B ，∴ ab ⊥平面BCcb ，则有 ab⊥bc ，即∠ abc 为直角。

图 2-29 直角的投影

【例 2-7】求点 A到水平线 BC的距离 AK及其投影。

分析：点 A 到 BC 的距离 AK⊥BC ，因为 BC 为水平线，所以在水平面投影上能反映直角关系。

c

ab

c′

a′

b′

X O

k

k′

a

实长

图 2-30 求点到直线的投影

2.4 平面的投影

2.4.1 平面的投影表示法

2.4.2 各种位置平面的投影特性

2.4.3 平面上的点和直线

2.4.1 平面的投影表示法

不在同一直线上的三个点

直线及线外一点

两相交直线 两平行直线 平面图形

图 2-31 平面表示法

平面的表示方法如图 2-31 所示。

2.4.2 各种位置平面的投影特性

平面与投影面的相对位置情况：

平面的空间位置

特殊位置平面 一般位置平面

投影面垂直面 投影面平行面

正垂面 铅垂面 侧垂面 正平面 水平面 侧平面

投影特性：① 平面在所平行的投影面上的投影反映实形。② 平面在另两个投影面上的投影均积聚为一条直线，且平行于相应的投影轴。

1 ．投影面平行面平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。

水平面 正平面 侧平面图 2-32 投影面的平行面

投影特性： ① 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，它与投影轴的夹角

分别反映该平面对另两个投影面的倾角。 ② 平面在另两个投影面上的投影均为小于原平面的类似形。

2 ．投影面垂直面垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。

铅垂面 正垂面 侧垂面图 2-33 投影面的垂直面

3 ．一般位置平面 一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面。

图 2-34 一般位置平面

投影特性：在三个投影面上的投影都不反映实形，而是小于原平面的类似形。

分析： 铅垂面的水平投影积

聚成一条倾斜直线，且与X 轴的夹角为 β 角，据此可作图。

【例 2-8】过点 A（ a， a′）作一铅垂面，并使其与V面的倾角为 β=30° 。

作图： 过点 A 的水平投影 a 作与 X 轴成 30° 夹角的线段 ab ，在线段 ab 上任选一点 c ，即得铅垂面的水平投影。过点A 的正面投影 a′ 作 a′b′ 、 a′c′ ，则 abc 和 a′b′c′ 即为所求铅垂面。

cb

a

c

a

b

β

图 2-35 求作铅垂面

X O

【例 2-9】过直线 AB 作一正垂面。

分析：正垂面的正面投影积聚成一条倾斜直线，因此过 AB 所作的正垂面的投影一定与 a′b′ 重合，水平投影可任意作一平面图形即可。

c'

c

图 2-36 求作正垂面

注意：若无条件限制，过直线 AB 可作无数个平面；若过 AB 作垂直面，可作正垂面，也可作铅垂面；但是由于 AB 是一般位置直线，所以过 AB 不可能作出水平面或正平面。

2.4.3 平面上的点和直线

点和直线在平面上的几何投影条件 ： ① 若某点位于平面内的一条已知直线上，则此点必定在该平面上。 ② 一直线通过平面上的两已知点，则此直线必在该平面上。 ③ 一直线过平面上的一已知点且与平面上一已知直线平行，则此直线必在

该平面上。

图 2-37 点和直线在平面上的条件（一） 图 2-38 点和直线在平面上的条件（二）

【例 2-10 】 已知平面 ABC ，如图 2-39 所示，试求： (1) 判断点 D 是否在平面 ABC 上。 (2) 平面 ABC 上有一点 E ，已知水平投影 e ，求正面投影 e′ 。

e

d'

d

1'2'

1

2

X O

a'

a

b'

c'

b

c

作图： ① 连接 c′d′ ，并延长与 a′b′ 交

于 1′ ，求出 1c ，若点 D 在直线 IC上，则不仅 d′ 在 1′c′ 上，而且 d 也在 1c 上，从图中可看出点 D 不在平面 ABC 上。

② 连接 ae 与 bc 相交于 2 ，求出 a′2′ ，则 AⅡ为平面 ABC 上的一条直线，因为点 E 在平面 ABC 上，所以点 E 在直线 AⅡ上，因此过点 e 作投射线与 a′2′ 的延长线得交点，该交点即为所求正面投影 e′ 。

e'

图 2-39 平面内取点

分析： 判断一点是否在平面上，或在平面上取点，都必须在平面上取一包含该点的直线。

作图： ① 分别连接 ac 、 bd 得一交

点为点 k ，连 b′d′ ，在 b′d′ 上求出点 k′ ，并连接 a′ k′ 。

【例 2-11 】 试完成平面四边形 ABCD 的正面投影，并在平面 ABCD 上取一条水平线，使其到 H 面的距离为 15mm 。

c′

k

k′

15

2′

12

图 2-40 平面内取线

分析： ABCD既然是平面，则其对角线必相交；水平线的正面投影平行于 X 轴，按题意，其所有点的Z=15mm ，据此可作图。

1′

③ 在正面投影上作一平行于 X轴的直线且使 z=15 mm ，与 a′d′ 、b′c′ 分别交于 1′ 、 2′ 点，求出其水平投影 1 、 2 并连接，则直线ⅠⅡ即为所求水平线。

② 过 c 作⊥OX 的连线，与a′k′ 的延长线相交求得 c′ ，连接 b′c′ 、 d′c′ ，即完成 ABCD的正面投影。

2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

2.5.l 直线与平面平行、平面与平面平行

2.5.2 直线与平面相交、平面与平面相交

2.5.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直

2.5.1 直线与平面、平面与平面平行

1 ．直线与平面平行

若一直线与某平面内的任一直线平行，那么此直线与该平面平行，反之亦然。

图 2-41 直线与平面平行的条件

【例 2-12】过点 M 作一正平线 MN 与平面△ ABC 平行。

d

d'

n

n' 分析： 过直线外一点作某一

平面的平行线可以有无数条，但本题要作的是正平线，因此在△ ABC 平面内只要作一条正平线 AD ，使MN 平行于该正平线即可。

图 2-42 过点作与已知平面平行的正平线

作图： ① 在△ ABC 的水平投影△ abc 中，由点 a 作 X 轴平行线与 bc边相交于 d ，并由 ad 得 a′d′ 。 ② 过点 m 、 m ′ 分别作直线 mn 、 m′n′ 平行于 ad 、a′d′ ， MN （ mn 、 m′n′ ）即为所求。

【例 2-13 】判断直线 AB 是否与平面△ DEF 平行。

g

g'

b'

OX

a

f

e

d

f'

a'

e'd'

b

分析： 假设直线 AB 与平面△

DEF 平行，则在平面△ DEF内一定能作一条与 AB 平行的直线。否则，直线与平面不平行。

作图： 过点 e 作一条与 ab

平行的直线 e g ，作出其水平投影 eg ，

图 2-43 判断平面与直线是否平行的作图

从图中看出， eg 不平行 ab 。

结论：直线 AB 与平面△ DEF不平行。

2 ．平面与平面平行 若一平面内两相交直线与另一平面内的相交直线对应平行，则此两个平面互相平行，如图 2-44 所示。

图 2-44 两平面平行的条件

【例 2-14 】过点 K 作一平面与平面△ ABC 平行。

f

f 'e'

e

O

k

k'

X

b

c

a

c'

b'

a'

分析： 过点 K 作平面平行于△ ABC 平面时，只要过点 K 作两相交直线与△ABC 的任意两边平行即可。 作图： 过 k 作 ke∥bc 、 kf

∥ac ，过 k 作 k e ∥bc ， kf ∥ac ，则 KEF组成的平面即为所求。

图 2-45 过点作平行平面

若两投影面的垂直面互相平行，则它们积聚性的同面投影也互相平行，反之亦然 ，如图 2-46 所示。

图 2-46 两铅垂面互相平行

2.5.2 直线与平面相交、平面与平面相交

1 ．直线与平面相交(1) 一般位置直线与特殊位置平面相交

1'(2')

k

k'

a'

b'

c'

a

c

b

X O

e'

f'

e

f

① 求交点。 交点 K 的水平投影 k 必在 abc 上。因为点 K又在 EF 上，所以点 k 必在 ef上， ef 与 cde 的交点即为交点 K 的水平投影 k ，据点 k 可求出 K 的正面投影点k 。 ②判别可见性。 EF 与 AB 是一对交叉直线， Ⅰ在AB 上，Ⅱ在 EF 上，点Ⅰ、Ⅱ在 V 面有重影点，由于 yⅠ＞ yⅡ ，对 V 面而言，点Ⅰ的投影可见，点Ⅱ的投影不可见，即线段 ab 可见，而 ef 上被平面遮住的部分 k2 不可见，画为细虚线。 图 2-47 一般位置直线与铅垂面相交

分析与作图步骤 :

1

2

(2) 一般位置平面与投影面的垂直线相交

c'

k′

k

OX

e

e'

c

d

d '

b'

b

a'

(a)

①  求交点。 由于直线 AB 的水平投影积

聚成一点，因此交点 K 的水平投影 k 必与之重合。又由于交点 K属于△ CDE ，故可利用平面上取点的方法，求出点 K 的正面投影k′ 。

② 判别可见性。 由水平投影可知，平面上的

DE边与 AB 是交叉直线，由于 DE 在后， AB 在前，所以在正面投影中， k′a′ 可见，为实线， k′b′与 d′e′ 重叠的部分不可见，则用虚线表示。图 2-48 一般位置平面与正垂线相交

分析与作图步骤 :

① 求交线 K1K2 。 利用平面 ABCD 在水平面上具有积聚性，可直接求出K1 、 K2 的水平投影 k1 、 k2 。利用表面取点的方法，求出 K1 、K2 的正面投影 k1′ 、 k2′ ，并连接其同面投影，则线段 K1K2

为所求。 ② 判别可见性。 由 H 面投影可知， AB 与EF 交叉，其正面重影点 AB在 EF 的前方，故 V 面投影中e′k2′ 与 a′b′ c′d′ 重合部分为不可见， f′k2′ 为可见，其余部分的可见性可由此进一步确定。 （因为 f 在 e 之前 ，所以 f′k2′ 为可见）

利用积聚性求交线。

2 ．平面与平面相交

a

b c'

d

a(b)

d(c)

e

f

g

e

f

g

k2'

k1

k1

k2

图 2-49 一般位置平面与铅垂面相交

X O

分析与作图步骤 :

e

e'

f

f '

d

d'

a

a'c '

b'

c

m'

n'

m(n)

分析： 两铅垂面相交，交线一定是一条铅垂线，在 H 面投影积聚为一点，V 面投影垂直于 OX 轴且在两平面的公共范围内。 作图： ① 求交线。 利用铅垂面的积聚性，可直接求出交线的水平投影为 m （ n ），过m 作 OX 轴垂线，分别交 d′f ′ 、 d′e ′ 于 m ′ 、 n ′ ，得交线的 V 面投影m ′n ′ 。 ② 判别 V 面投影可见性。 由 H 面投影可知，在交线 MN 左边，△ DEF 中 EFMN部分在△ ABC 平面的前方，故其 V 面投影e′ f ′m ′n ′部分可见，其余部分可由此进一步确定。

【例 2-15 】已知两平面△ ABC 与△ DEF 相交，试求其交线 。

图 2-50 两正垂面相交求交线

b

X O

2.5.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直

1 ．直线与平面垂直 若一平面为投影面垂直面，则与这个平面垂直的直线一定是该投影面的平行线，如图 2-51 所示。

e

d

d'e'

OX

b

c

a

c'b'

a'

直线 DE 垂直于铅垂面△ ABC ，则 DE一定是水平线。因为de⊥abc ，且 d′e′∥OX 轴，则点 E 必为垂足。

图 2-51 直线与铅垂面垂直

2. 平面与平面垂直 若两空间平面垂直相交，且两平面都垂直于某一投影面时，两平面的积聚性投影一定互相垂直，且交线为该投影面的垂直线，如图 2-52 所示。

铅垂面 ABCD 和铅垂面 ABEF 互相垂直，则它们积聚性的水平投影互相垂直，交线 AB 必为铅垂线。

f (e)

e'

f'

(b)a

d（c）

c'X O

b'

d'

a '

图 2-52 两铅垂面垂直

【例 2-16 】已知点 D 和平面△ ABC 的投影，求点 D 到平面△ ABC 的距离及投影。

e'

e

分析： 在 V 投影面中，过 d′ 作a′b′c′ 的垂线 d′e′ ，那么 DE必定是正平线，过 d 作 OX轴平行线与过 e′ 作 OX 轴的垂线相交，得交点 e ， de即为 DE 的水平投影。由于正平线在 V 面反映实长，所以 d′e′ 为点 D 到平面△ ABC 的实际距离。

c

c'

X O

a'

b'

a

b

d'

d

— 本 章 完 —

图 2-53 求点到平面的距离及投影

O