電 路 學電 路 學4. 儲能元件：感應器與電容器

4-1 儲能元件4-2 電容器之電容量4-3 電容器中電壓與電流的關係 4-4 儲存於電容器的能量

本章練習

4-5 電容器電壓之連續性4-6 僅含電容器的奇異電路4-7 串聯電容器與並聯電容器的等效電容

4-8 電感器之電感值4-9 電感器中電壓與電流的關係 4-10 儲存於電感器的能量 4-11 電感器中電壓與電流的關係 4-12 僅含電感器的奇異電路4-13 串聯電感器與並聯電感器的等效電感

電容器與電感器是可以儲存及釋放能量的元件， 因此一般常稱之為儲能元件。

4-1

4-1 儲能元件 (Energy-Storage Elements)

在理想情況下，它們儲存的能量，可在以後某些時候釋回。

換言之，電容器和電感器電路有記憶能力 ( 儲存的能量 可重新叫出 ) ，因此有時亦稱之為動態 (Dynamic) 元件。

4-2

4-2 電容器之電容量 (Capacitance of Capacitors)

電容器上儲存的電荷 q 與外加電壓 v 成正比，因此 q = Cv 。

其中 C 為比例常數，稱為電容器的電容量或簡稱電容，由上式得

vq

C =

其中單位為庫侖／伏特，一般簡稱為法拉 ( Farad ，縮寫為 F )

平行板電容器

v

q

q

v

4-3

4-3 電容器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Capacitors)

電容器中電壓與電流的關係由

dtdq

i =q = Cv 及

可得 dtd(Cv)

i = 　　　 = C dtdq

其中 C 在一般情況均為定值，又由上式可知，當 v 為定值時，則 i = 0 ，換句話說，對直流穩態而言，理想電容器為開路。

C

i

v

電容器之電路符號

4-3

4-3 電容器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Capacitors)

例 4-2 ：圖 (a) 電路中，設 C = 1F ，且外加電壓 v(t) 之波形如 圖 (b) 所示，試求電流 i(t) 之波形。

解：

( )c

1

0 1 2

1

i t( )

t

v t( )

i t( ) C

( )a ( )b

t ( )t 2

0 01

1 20t

v t( )

其波形如圖 (c) 所示。

由圖 (b) 可得 v t

t

t t

t t

t

( )

,

,

( ) ,

,

0 0

0 1

2 1 2

0 2

因此 i t Cdv tdt

dv tdt

t

t

t

t

( )( ) ( )

,

,

,

,

0 0

1 0 1

1 1 2

0 2

4-4

4-3 電容器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Capacitors)

例 4-3 ：求圖 (a) 中之電壓 v(t) ，其中電流 i(t) 之波形，　　　　　如圖 (b) 所示，且 C = 1F 。

解：

1

v t( )

1 / K0t

( )c

A. t 0 時， i = 0 v t dt vt

( ) ( ) ( ) 11 0 0

其中 v() = 0 ，由此步驟知 v(0) = 0

C. t 時， i = 0 v t (0)dt v(1 / K)t

( ) 11 1

其中 v() = 1V

1K

1K

電壓 v(t) 的波形如圖 (c) 所示。

B. 0 t 時， i = Kv t Kdt vt

( ) ( ) 11 Kt

由第一步驟已知 v(0) = 0 ，而當 t = 時

1K

1K v() = 1V1

K

K

i t( )

1 / K0t

( )a ( )b

1F

v t( )

i t( )

4-6

4-4 儲存於電容器的能量 (Energy Storage in Capacitors)

又依據　　 q = Cv

由 W t vi dt i C dvdt

t( )

及

可得電容器中的能量為 W t vi dt V Cdvdt dtc

t t( )

C v dv Cv tt

t

( ) 1

22

因 v() = 0 ，所以 W tc( ) Cv t( )12

2

上式亦可表示為 q tC

( )2

v t( )

W tc( ) 12

q t( ) 12

儲存在電容器中的能量 Wc(t)

4-7

4-5 電容器電壓之連續性（ Voltage Continuities in Capacitors)

電容器上的電壓具有連續的特性，亦即電容器上的電壓， 在正常情況下其值不會瞬間改變。 電容器電壓之所以具連續性，可由 i = C 解釋，

因若欲瞬間 (dt → 0) 改變電容器電壓值， 則 項會趨近無限大，亦即會有無限大之電流通過電容器， 也就是需要無限大的功率。　 但此在物理上為一不可能之事，因而跨在電容器上的電壓 不能瞬間改變，但電流可以不連續，亦即可以瞬間改變。

dvdt

dvdt

4-8

4-5 電容器電壓之連續性（ Voltage Continuities in Capacitors)

解：

例 4-5 ：下圖電路中已知 v1(0 － ) = 14V , v2(0 － ) = 16V，　 開關在 t = 0 時關上，求 v1(0+) , v2(0+) 及 i(0+) 之值。

1. 電容器上的電壓為連續，即 v(0+) = v(0 － ) 。 注意：

4 F

v2

v1

t 02

5 1 F

i

v v v v1 1 2 10 0 14 0 0 6( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) V V

i i1 10 142 5

2 0 14 62

4( ) ( ) ; ( ) ( ) A A

2. 電容器上的電流可為不連續，例如本例題 i(0 － ) = 2A 但 i(0+) = 4A，

即電流瞬間自 2A 變為 4A 。3. 關上開關一段時間後，電容上的電壓因釋放能量到電阻而逐漸降至零，

此即電容器的放電行為，此種特性在下一章將進一步分析。4. 電容器上的電壓達一穩定直流值時，其電流將為零。

4-8

4-6 僅含電容器的奇異電路（ Singularity Circuits with Capacitors)

雖然在大部分的情況中，電容器上的電壓具有連續性，

但在一些特殊電路中，由於開關的強迫閉合，

會使得電容器上的電壓有不連續性現象，

此種電路一般稱為奇異電路。

4-11

4-7 串聯電容器與並聯電容器的等效電容（ Series and Parallel Capacitors)

串聯電容器的等效電容

且 v t v t v t v tN( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0

若圖 (b) 為圖 (a) 之等效電路，則

1 1 1 11 2C C C CT N

1

i

v CTv

C1

C2

CN

vN

v1

v2v

(a) 串聯電容器 (b) 等效電路

i

4-7 串聯電容器與並聯電容器的等效電容（ Series and Parallel Capacitors)

2-12

CT

vi

i2

C2

i1

C1i

iN

CN

v

(a) 並聯電容器 (b) 等效電路

若圖 (b) 為圖 (a) 之等效電路，則 C C C CT N 1 2

並聯電容器的等效電容

4-14

4-8 電感器之電感值（ Inductance of Inductors)

設 通過每一匝線圈，則此 N 匝線圈所交鏈到的全部磁通量 為 λ = N

其中比例常數 L 即為電感，其單位為韋伯 / 安培，一般簡稱為亨利 ( Henry ，縮寫為 H ) ，因此 1 Wb/A 即為 1 H 。

電感器電流與磁通

N匝

i

i

v

在一個線性電感器內， λ 與通過電感器之電流 i 成正比， 即 λ = Li

4-14

4-9 電感器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Inductors)

電感器的電路符號如右圖所示

電感器之電路符號

L

vL

i

藉由積分 vL = L 　 ，我們亦可求出電感器在 t0 至 t 所產生的電流為didt

i t L v t dt i tt

t( ) ( ) ( ) 1 0 0

當電感器外接直流電流源時，

則 vL = 0

其中 i(t0) 為自 t = 至 t = t0 所累積之電流，又 i () = 0

所以上式亦可改寫成 i t L v t dt

t( ) ( ) 1

因此一個理想的電感器對直流穩態而言，相當於短路。

法拉第電磁感應定律：只要 λ 有變化，則會在線圈兩端感應出電壓

即 v d

dtd Ndt L di

dtL ( )

4-15

4-9 電感器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Inductors)

例 4-10 ：圖 (a) 之電路，其電流源之波形如圖 (b) 所示， 試求其電壓之波形。

解：

且其波形如圖 (c) 所示。

( )a

v t( )i t( ) 1 H

( )b

t ( )t 2

0 01

1 20t

i t( )

( )c

1

0 1 2

1

v t( )

t

i(t) 可表示成 i t

t

t t

t t

t

( )

,

,

( ) ,

,

0 0

0 1

2 1 2

0 2

v t

t

t

t

t

( )

,

,

,

,

0 0

1 0 1

1 1 2

0 2

由　　　　可得v L didt

didt

4-16

4-9 電感器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Inductors)

例 4-11 ：同前例，改為圖 (c) 之電壓，試求其電流 i(t) 之波形。 解：

( )a

v t( )i t( ) 1 H

( )b

t ( )t 2

0 01

1 20t

i t( )

( )c

1

0 1 2

1

v t( )

t

v(t) 可表示為

v t

t

t

t

t

( )

,

,

,

,

0 0

1 0 1

1 1 2

0 2

由　　　　　　　可得i t L v t dt i tt

t( ) ( ) ( ) 1 0

0

B. 當 0 t 1 時， 。i t L 1dt i 00

t( ) ( ) = t(A) 1

i t L 0dt i

t( ) ( ) = 0 1A. 當 t 0 時， 因 i( 。

i t L (-1) ×dt i 11

t( ) ( ) = –t +1+1 = 2 – t

= – (t – 2)(A)

1C. 當 1 t 2 時，

由步驟 B ， i(1) = 1 。i t L 0dt i 22

t( ) ( ) = 0 1D. 當 2 t 時，

由步驟 C ， i(2) = 0 。由上述步驟可得 i(t) 之波形如圖 (c) 。

2-23

4-10 儲存於電感器的能量 (Energy Storage in Inductors)

依 W t vi dt v L didt

t( )

及

可得 W t vi dt Cdvdt idtL

t t( )

L i di Li tt

t

( ) 1

22

因 i() = 0 ，所以 W tL( ) Li t( )12

2

儲存在電感器中的能量 WL(t)

2-24

例 4-13 ：下圖電路中，已知 i1(0 － ) = 3A ，若開關在 t = 0 時打開， 求 i2(0 － ) , i1(0+) , i2(0+) , v(0 － ) 及 v(0+) 。

解：

4-11 電感器電流之連續性 (Current Continuties in Inductors)

電感器中的電流具有連續性的特性，亦即是電感器中的電流， 在正常情況下，其值不會瞬間改變。

i1(0+) = i1(0 － )= 3A

此時由 KVL 可得 v(0+) = (-3) × 6 + (-3) × 6 = -36 V

在 t = 0 之前 (t = 0 － ) 瞬間，電感器中電流為 3A 之定值電流，

因此 由 vL = L 可得didt v d

dt( ) ( )0 1 3 0 V

即電感器形同短路，所以 i

i i i

( ) ( / )( ) ( ) ( )

0 302 6 6

302 3 6

0 0 0 6 3 32 1

A

A

在 t = 0 之前 (t = 0+) 瞬間，電感器電流 i1 為 3A ，所以 i2(0+) = -i1(0+) = -3A

6 i2

30 V

t 02

v6

1 H i1

2-24

4-12 僅含電感器的奇異電路(Singularity circuits with Lnductors)

和一些電容器組成的奇異電路相同，

　 一些電感器組成的奇異電路中，

亦會發生電流不連續性的情況。

4-1

4-13 串聯電感器與並聯電感器的等效電感

若圖 (b) 為圖 (a) 之等效電路，則比較

v v v v

L didt L di

dt L didt

L L L didt

N

N

N

1 2

1 2

1 2

( )

及 v L didtT

可得 L L L LT N 1 2

LT

( )b

i

v

v

LN

L2

L1

vN

v2

v1

i

( )a

串聯電感器的等效電感

4-1

4-13 串聯電感器與並聯電感器的等效電感

欲使圖 (b) 與圖 (a) 為等效電路，則由

i t L vdt i t L vdt i t L vdt i t

L L L vdt i t i t i t

t

t

t

t

Nt

t

N

Nt

t

N

( ) ( ) ( ) ( )

[ ( ) ( ) ( )]

1 1 1

1 1 1

11 0

22 0 0

1 21 0 2 0 0

0 0 0

0

1可得L L L LT N

1 2

1 1 1 且 i t i t i t i tN( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0

及 i t L vdt i tT t

t( ) ( ) 1

00

v LTi

( )b

i L1 L2 LN

iN

v

( )a

i1 i2

並聯電感器的等效電感

4-25

本章練習

4-6 右圖電路，已知 v1(0 － ) = 12V , v2(0 － ) = 8V ， 若開關於 t = 0 時關上， 求 v1(0 － ) , v2(0+) , i(0 － ) 和 i(0+)。 　　　　

4-12 右圖電路中 I = 6A , R1 = 1Ω , R2 = 2Ω, L = 1H , i1(0 － ) = 4A

若開關於 t = 0 時關上，求 iL(0 － ) , iL(0+) , i1(0+) 和 diL(0+) / dt 。

答： 2A , 2A , 0A , -4A/s

答： 12V , 8V , 2A , 2A

4 4 F

v2

2

1 F

v1

i t 0

L

R2R1t 0

I

iL

i1