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電路學電路學(( 一一 ))

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第一章概 論

5

1-1電荷與電流

電荷

電荷的基本單位為庫倫 (C) 。物質裡最小的電荷載體為電子及質子，兩者所帶的電荷量均相同，均為 1.602×1019C ，但電子所帶的電性為負，而質子所帶的為正。

1.602×1019C 為基本電荷量，以 Q或 q 來表示。 1 庫倫 [C] 的電荷量相當於 6.25×1018個電子的電量

6

電流電流的定義是單位時間裡流過某一點的電荷量

(1-1)

電流的單位為安培 [A] 1 安培 =1 庫倫 /秒 [C/s] 1 安培 [A] 的電流等於每秒有 1 庫倫的電荷流過

]A[t

QI

7

例 1-1

在 0.01 秒內流過 2000 億個電子時，電流為多少安培？

[解 ] ： 2000 億即 2×1011個電子，它們所帶的電量為： Q＝ 1.602×1019×2×1011＝ 3.2×108[C] 由 (1-1) 式可知電流為：

]A[10x2.3

01.0

10x2.3

t

QI 6

8

8

1-2電壓 電荷與電荷之間會產生一種同性相斥、異性相吸的作用力，兩電荷之間所

產生的作用力，與它們所帶的電荷量之乘積成正比，而與它們中心間距離之平方成反比。

設兩電荷載體所帶的電荷量分別為 Q1及 Q2，而兩者間之距離為 r ，則它們之間的作用力可以表示為：

(1-2)

(1-2) 式稱為庫倫定律。 N 為作用力牛頓的符號。 K 為比例常數稱為庫倫常數，其大小視所採用的單位系統及電荷載體所在

之介電質而定。 稱為介質之介電係數，在真空中， o＝ 8.852×1012 C2/N-m2[( 庫倫 )2/ 牛頓 -米 2

　　　　 　　　　　　　　

　　]N[

r

QQkF

221

　　

9

電壓 任何一電荷載體 Q 位於某一點 x 的電位能 W(x) 可以用電位 V 來表

示為： (1-7)

今假設有兩個電性完全相同的電荷 Q1及Q2，當 Q1由無窮遠處移至離Q2一段 r1的距離時，所需之能量為：

　　　　　　　 (1-8)

由 (1-5) 式可知，在此點之電位為： 　　　　　　　　 (1-9)

]V[Q

)x(W)x(V

]J[drr4

QQFdrW 1 1r r

2

211

]V[drr4

Q

Q

WV 1r

22

1

11

10

電壓 電位差也稱為電壓，其單位為伏特 (V) ，其定義為當 1C

的電荷由電路中之某一點移至另一點所損失或獲得之能量為 1 焦耳 (J) 時，則此兩點間的電位差為 1 伏特 (V) 。

因功有損失及獲得之故，所以電壓有升降之別，例如當正電荷移離另一正電荷或接近另一負電荷時，電位能增加，稱為電位升或壓升；反之則電位能減少，稱為電位降或壓降。

若由 1 點至 2 點為電位升，則由 2 點至 1 點為電位降，就同一電荷而言，此二情況所作之功適好相反，即

　　　　 V12＝－ V21

由同一電位諸點所構成的平面稱為等位面。

11

例 1-2

若某兩點間的電位差為 36V ，若將 4×10 － 6C 的電荷從其中一點移動到另一點，需要作多少的功？

[解 ] ： 由 (1-11) 式可知 W＝ (36V)×(4×10 － 6C)＝ 1.44×10 － 4[J]

12

1-3功率與能量 電流從低電位流向高電位，則它會獲得功率；反之，若

電流從高電位流向低電位，則會消耗功率。 電路中兩點之電位差 ( 或電壓 )為 V 伏特，且流過該兩

點之電流為 I 安培，則電功率 P與 V及 I 之關係式為：　　　　 P＝ VI[W] 　　　　　　 (1-13) 電功率的單位為瓦 (W)， 1 瓦的電功率就表示 1 安培的

電流流過 1 伏特電位差所獲得或消耗的功率。 電功率也可視為是單位時間所作的功，或單位時間內所

消耗之能量，也就是它等於能量對時間的變動率，即 P=W/t[J/s] 　 (1-14) 因此，電能可以表示為：　　　　 W＝ Pt＝ VIt[W-s] 　　 (1-15)

13

功率與能量在實用上常以仟瓦 - 小時 (kW-h) 來表示電能。

1 kW-h 相等於一個 1kW 的電氣設備，連續使用 1 小時所消耗的能量。

kW-h 是電力公司之收費單位，也就是俗稱的 1 度電。

1 度電＝ 1kW-h＝ 3.6×106W-s[J] 。

14

例 1-3

一個 6V 的電池，有 0.5A 的電流通過，請問此一電池提供多少功率？

[解 ] ： P＝ VI＝ 6V×0.5A＝ 3[W]

15

例 1-4

有一 1.5kW 的電熱器，使用 4 小時，求所耗的電能為多少？若電費每度為 3 元，則需付的電費為多少？

[解 ] ： 所耗的電能為： W＝ Pt＝ (1.5×103W)(4×60×60s)＝ 2.16×106[J] 所耗的電度為： W＝ Pt＝ (1.5kW)(4h)＝ 6kW-h＝ 6[ 度電 ] 需付的電費為 (6 度電 )(3元 / 度電 )＝ 18

[元 ]

16

功率與能量 電功率之獲得或損失，視電壓與電

流的相對關係來決定。 圖 1-4 所示之電壓參考方向，若 A

點之電位較 B 點為高者，則此電路之電壓為正 (V＞ 0) ；若 A 點之電位較低，則電壓為負 (V＜ 0) 。

電流之參考方向，設電流由 A 點流入，由 B 點流出，此電路之電流為正 (I＞ 0) ，反之則 I 為負 (I＜ 0) 。

若 VI 為正，表示功率送至此電路，亦即在此電路裡元件消耗功率，通常為負載的形態，在電路中具有負載形態的元件被稱為是被動元件。

若 VI 為負值，表示此電路提供功率給外界，也就是電源的形態，在電路中具有電源形態的元件被稱為是主動元件。

圖 1-4 電壓與電流之參考方向

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例 1-5 在下圖的電路裡，哪一個電路元件是消耗功率？哪一個

電路元件是提供功率？

[解 ] ： 在 (a) 圖中， P＝ VI＝ (12V)(－ 4A) ＝－ 48[W] 在 (b) 圖中， P＝ VI＝ (4V)(2A)＝ 8[W] 由此可知， (a) 圖中的元件提供功率，為主動元件；

(b) 圖中的元件消耗功率，為被動元件。

18

功率與能量在直流電 (DC) 裡電流及電壓都是定值，所以其對應的電功率也是定值。但在交流電 (AC) 裡電流及電壓是隨著時間來變化，因此所對應的電功率也是時變量，它可以表示為：

p(t)＝ i(t)×v(t)[W] (1-16)此一 p(t) 稱為瞬間功率，它等於瞬間電流 i(t) 與瞬間電壓 v(t) 的乘積。

對交流電而言，因瞬間電流 i(t) 與瞬間電壓 v(t)一直在變化，在某個瞬間裡它們可能有相同的方向，而在另一瞬間它們的方向可能相反，因此其功率的變化比較複雜。

19

1-4基本電路元件1-4-1電阻器

電阻器為耗能元件，它將通過的電能轉變成為熱或光等其他形式的能量來消耗掉。

對直流電而言電阻器的電阻值是不變的。在交流電電路，當頻率升高時，因交流所產生的磁場效應，強迫導線內的電荷遠離導線的中心而存在於表面處，此一效應稱為集膚效應。因此一效應之存在而使電流流動之面積減少，導致導線的電阻隨著頻率的增加而上升。

1-4-2電感器與電容器電容器及電感器則是所謂的儲能元件，對理想的電容器及電感器而言，它們分別儲藏電能及磁能而不消耗能量。

在穩態的直流情況下電容器視同開路，而電感器視同短路。

在交流電裡電容器及電感器被視為隨頻率來變化的電抗元件，當頻率為無限大時電容器視同短路，而電感器視同開路，此一情況恰好與直流時相反。

21

1-5 電壓源與電流源 電源是電路能量來源。提供電壓輸出的為電壓源。提供電流輸出的為電流源。一般乾電池及家用電氣插座為電壓源，在實際應用上並不使用電流源，電流源只存在於一些電子電路裡或在一般實驗室才會使用到。

22

理想電壓源 理想電壓源：內部並沒有損失，對外提供一定值電壓，此一電壓與

外部電路的電流無關，無論外部電流為多少，此一電壓永遠保持為定值。

由 I-V 關係可知，當電流為正時，表示電源在放電，此時它對外供應電能；若電流為負，亦即電流流入電源，也就是表示電源處於充電的狀態。

(a)理想電壓源通用電路符號，(b) 直流電壓源符號，(c)理想電壓源之 I-V 關係

23

理想電流源 理想電流源：內部沒有損失，對外提供一定值電流的電源，無論外部電路的電壓如何變化，此一電流永遠保持為定值。

(a)理想電流源通用符號，(b) 直流電流源之符號， (c)理想電流源之 I-V 關係

24

相依電源電壓控制電壓源 (VCVS) ：的輸出電壓 v 是受特定位置的電壓 vs所控制，其中稱為電壓增益，為一無單位的比例常數。

電流控制電壓源 (CCVS) ：輸出電壓 v 是受特定位置的電流 is所控制，其中 r 稱為轉移電阻其單位的歐姆 [] 。

電壓控制電流源 (VCCS) ：輸出電流 i 是受特定位置的電壓 vs所控制，其中 g 稱為轉移電導其單位的西門子 [S] 。

電流控制之電流源 (CCCS) ：輸出電流 i 是受特定位置的電流 is所控制，其中稱為電流增益，為一無單位的比例常數。

25

獨立電源與相依電源

獨立電源：輸出電量除了與它自己本身的結構有關以外，並不受外界因素的影響。以圓形作為電路符號。

相依電源 ：輸出量受電路中特定位置的電壓或電流所影響。亦稱為受控電源。菱形來作為相依電源的電路符號 。

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相依電源

(a) 電壓控制電壓源 (VCVS)， (b) 電流控制電壓源 (CCVS) ，(c) 電壓控制電流源 (VCCS)， (d) 電流控制電流源 (CCCS) 。

第一章習題

1-1. 兩金屬小球置於真空中，其一帶電量為 2×10−6庫侖，另一帶電量為− 5×10−7庫

侖，兩球相距 10 公分，試求兩者間之作用力。

1-2.一電訊線路通過之電流為 20mA，試求每秒鐘通過之電子數若干？

1-3.一鎢絲燈泡每秒鐘通過 1.25×1018個電子，求其電流若干安培？

1-4.一個電子的電量為 1.602×10−19庫侖，茲以每秒鐘 1.0×1020個電子的速度通過一截

面積為 0.05吋 ×0.4吋之導體，試求電流密度若干？

1-5. 40 瓦特之燈泡，每天工作 6 小時，試問每月 (30 天 ) 用電若干度？

1-6.一直流馬達其輸入電壓為 100 伏，電流10 安若其效率為 0.85，試求其輸出功率

若干瓦特？若干馬力？

習題解答

1-1.

1-2.

1-3.

1-4.

1-5.

1-6.

35

第二章 電阻電路2-1電阻與電阻係數

電阻是材料阻止電流流通的能力指標，任何物質多少都會有一些電阻的存在，若某一材料其電阻很小時，這種材料通常是用來作為導體，一理想的導體其電阻被視為是零。

相反的，某一材料若其電阻甚大，當在其兩端存在有電壓時，只有很小的電流通過，這種材料通常稱為是絕緣體，一理想的絕緣體其電阻應該是無限大。

當材料存在有電阻時，它會將通過的電能轉變成為熱或光等其他形式的能量來消耗掉。

36

電阻與電阻係數 任何一材料的電阻值是與材料的特性以及材料的幾何形狀有關，它可以表示為：

　　　　　　　　 　　　　 (1-17)

R 表示材料的電阻值，其單位為歐姆 () 。 表示材料的電阻係數或電阻率，其通用單位為歐姆 -

公尺 (-m) 。表 1-1 所示為某些材料的電阻係數。 l 表示電流流經材料的長度。 A 表示電流流經材料的截面積。

][A

lR

37

例 2-1

銅的電阻係數為 1.72×10 － 8-m 。試求直徑為1mm ，長 100m銅線的電阻為多少？

[解 ] ：銅線的截面積為：

銅線的電阻為：

]m[10x785.04

)10(x14.3

4

dA 26

232

][19.210x785.0

100x10x72.1

A

lR

6

8

38

電阻與電阻係數一材料電阻愈小，其導電能力愈大，反之若電阻愈大則其導電能力愈小。

材料導電能力的參數稱為電導，以 G 來表示， G的單位為西門子 (S) 。電導 G 可視為是電阻 R 的倒數，亦即

　　　　　　　 (1-18)

其中稱為材料的導電係數或導電率，其單位為(-m)1，它等於材料電阻係數的倒數。

]S[l

A

l

A1

R

1G

39

2-2電阻的溫度係數 當溫度改變時，材料的電阻會產生變化。表示電阻隨溫度變化的參數稱為電阻溫度係數。

對金屬材料而言，其電阻與溫度的關係可以表示為：

R2＝ R1{1＋ 1(T2－ T1)}[] (1-19) R1表示在溫度 T1時的電阻， R2表示在溫度 T2時的電阻， 1為 T1時的溫度係數，它表示以 T1為基準溫度每變化 1oC 時電阻變化的比率。

40

電阻溫度係數對金屬而言其電阻會隨溫度上升而增加，也就是具有正溫度係數。

半導體、電解液、絕緣體等其電阻則隨溫度上升而减少，也就是具有負溫度係數。

41

2-3 歐姆定律

　 V＝ IR[V] 　　　　　　 (1-20)

　　　　　　　　　　　　　 (1-21)

　　　　　　　　　　　　　 (1-22)

]A[R

VI

][I

VR

42

2-4 功率與電能焦耳定律

若某一材料其電阻為定值時，所加入的電壓愈大，則所流過的電流就愈大。同時在相同的電壓作用之下，電阻愈大，電流就愈小。

電阻器基本上是一種負載，當有電壓跨於其間而導致有電流在其間流動時，電阻器就會消耗功率，此時所消耗的功率可以表示為

　　　　　　　 (1-23)

若以能量來表示則： 　　　　　　　 (1-24)

(1-24) 式稱為焦耳定律 (Joule’s law) 。

]W[R

VRIVIP

22

]J[R

tVRtIPtW

22

43

功率額定 當有電流流過時，電阻器

會產生熱量而消耗功率，電阻器所消耗的功率是受到一定的限制，限制電阻器消耗功率的參數稱為功率額定，所指的是電阻器所能忍受的最大功率，超過此一數值電阻器就會燒毀。

對一般小型電阻而言，若電阻值相同，但功率消耗不同時，功率消耗愈大電阻器的體積就愈大。

44

焦耳熱 焦耳定律式所表示的電能可以轉變成為熱 ( 電熱器 ) 或光 ( 電燈泡 ) 等形式的能量來消耗掉，當它以熱的形式來消耗時所產生的熱稱為焦耳熱，H 。熱量 H除了以焦耳 [J] 或瓦 -秒 [W-s] 來作單位以外，還可用卡路里 (簡稱卡， cal) 來作單位。這些單位之間的變換關係為：

1W-s＝ 1J＝ 0.24cal 1cal＝ 4.2J 1W-h＝ 3600J＝ 860cal 1kW-h＝ 3.6×106J＝ 860Kcal

45

例 2-2

有一電熱器當所加入的電壓為 100V 時，有 5A的電流流過，經過 2 小時後，它消耗了多少kW-h 的電能？它所產生的熱量為多少卡？

[解 ] ： 經過 2 小時後電熱器所消耗的電能為： W＝ VIt＝ 100×5×2＝ 1000W-h＝ 1[kW-h]

它所產生的熱量為： H＝ 860VIt＝ 860Pt＝ 860[kcal]

46

例 2-3 一電壓源之開路電壓為 15V ，內電阻為 1 ，若接上一個

14 的負載時，求電源的端電壓，以及對應於此一條件時的電壓調整率？

[解 ] ： VNL＝ VOC＝ 15V， Ri＝ 1， RL＝ 14

故

　 因此端電壓為： VAB＝ VOC－ IRi ＝ 15－ 1×1＝

14[V]

電壓調整率為　　

]A[1114

15

RR

VI

Li

OC

%6.6%10015

1415%VR

2-1 47

2-5克希荷夫定律克希荷夫電壓

克希荷夫電流定律 (KCL) ，亦稱為克希荷夫第一定律，它指出在任何時刻裡，流入某一節點的電流其和必等於自該點流出之電流和，即

I 流入＝ I 流出 (2-1)

KCL 是根據電荷守恆所得到。 克希荷夫電壓定律 (KVL) ，亦稱為克希荷夫第二定律，

它指出對於任何閉合迴路而言，環繞其一週之電壓代數和必為零，即迴路內的總電壓升等於總電壓降，即

　　　 　 V 壓升 ＝ V 壓降 　　 (2-2)

KVL 則是根據能量守恆所得到。

2-1 48

2-6 克希荷夫電流定律 在 a 點處總共有四個電流流入或

流出，因此對 a 點而言，電流的關係為：

　　　　－ I1－ I2＋ I3＋ I4＝ 0 或　　　 I1＋ I2＝ I3＋ I4

對 b 點而言，電流的關係為：　　　　－ I3－ I4＋ I2＋ I5＝ 0 或　　　 I2＋ I5＝ I3＋ I4

比較上述兩關係可發現 I1

＝ I5 電流為正或負是由各人自訂，

當電路裡有多個節點時，若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時，則其他的各點也必須遵守此一關係。

2-1 49

例 2-4

試求電路中的電流 IC

[解 ] ： 對節點 a 採用 KCL 可得 IA＝ IB＋ IC

因此 IC＝ IA－ IB

＝ 20mA－5mA

＝ 15[mA]

2-1 50

例 2-5

試求電路中的電阻 R 。 [解 ] ： 對電路應用 KVL 可得 100V＝ Vab＋ Vbc＋ Vcd

其中 Vab＝ 250×5mA＝ 1.25[V]

Vbc＝ 1500×5mA＝ 7.5[V]

因此 Vcd＝ 100V－ 1.25V－ 7.5V＝ 91.25[V]

由歐姆定律可知 ]k[25.1810x25.18

mA5

V25.91

mA5

VR 3cd

2-1 51

例 2-6 試求電路中的電壓 V及 Vcd。 [解 ] ： 由圖上可發現 odao 構成一閉合迴路， 因此由 KVL 可知： Vod＋ Vda＋ Vao＝ 0 其中 Vod＝－ 10V， Vda＝ +6V 因此　　 Vao＝－ (Vda＋ Vod)＝ 4[V] 今對 caoc部分應用 KVL 可得　　 Vco＋ Voa＋ Vac＝ 0 因此　　 V＝ Vco＝－ (Voa＋ Vac) ＝－ Voa－ Vac

　　 ＝ Vao＋ Vca＝ 4V＋ 4V＝ 8[V] 另外對 codac部分應用 KVL 可得　　 Vco＋ Vod＋ Vda＋ Vac＝ Vco＋ Vod＋ Vdc＝ 0 因此　　 Vcd＝－ Vdc＝ Vco＋ Vod

＝ 8V＋ (－ 10V) ＝－ 2[V]

2-1 52

2-7電阻串聯及並聯電路 電路元件串聯在一起時，流過它們的電流是相同的。 串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和。 Req ＝ R1 ＋ R2 ＋ R3 ＋……＋ Rn ＝ [] 　　　 (2-

3)

* 當兩元件或電路互換，其 I-V 特性不變時，則此兩元件或兩電路稱為是等效。

n

1iiR

2-1 53

電阻串聯及並聯電路 在串聯電路裡，欲求跨於某一電阻器 Rx兩端的電壓 Vx

時，可先利用 (2-3) 式來求整個串聯電路的等值電阻 Req，然後利用歐姆定律來求流過其間的電流，最後以

　　　　　　　 (2-4)

來求知跨於 Rx兩端的電壓 Vx。 若每個電阻均相等，則跨於每一電阻器的電壓為 V/n 。

]V[VR

RR

R

VIRV Sn

1ii

xx

eq

Sxx

2-1 54

電阻串聯及並聯電路 在串聯電路裡，跨於其中某一電阻器兩端的電

壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓，或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比，此一關係稱為分壓器法則。利用此一法則可以構成所謂分壓器，經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓。

在使用分壓器時有某些情況必須考慮，以右圖的分壓器為例，總電壓亦即 VCO為 +90V ，若三個電阻均相等，則理論上 VAO＝ VBA＝ VCB

＝ +30V ，但若要從此一電路裡取用 30V 的電壓時，則必須要取用 VAO而不能取用 VBA或VCB，因為 VAO有接地而 VBA及 VCB並沒有接地，直接從 VBA或 VCB處取用電壓，則很容易會發生危險。

2-1 55

例 2-7

有一串聯電路，試求 (a) 電路的等效電阻 Req ， (b) 流過電路的總電流 I ， (c)跨於各電阻器之電壓。

[解 ] ： (a) 電路的等效電阻　　　 Req＝ R1＋ R2＋ R3＝ 20＋ 30＋ 50＝ 100[] (b) 流過電路的總電流

　　　 ]A[1

100

V100

R

VI

eq

S

2-1 56

例 2-7( 續 )

(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種，其一是採用歐姆定律亦即直 接以流過的電流與電阻相乘，即　 V1＝ I1R1＝ 1A×20＝ 20[V]

　　 V2＝ I2R2＝ 1A×30＝ 30[V]

　　 V3＝ I3R3＝ 1A×50＝ 50[V]

　 另一種方法就是利用分壓器法則　　　　　　 ]V[20V100

100

20V

R

RV S

eq

11

]V[30V100100

30V

R

RV S

eq

22

]V[50V100100

50V

R

RV S

eq

33

2-1 57

例 2-8

有一串聯電路如圖所示， (a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓， (b) 電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少？

2-1 58

例 2-8( 續 )

[解 ]： (a)跨於各電阻器之電壓分別為：

]V[5100

10V50

702010

10V50V1

]V[10100

20V50

702010

20V50V2

]V[35100

70V50

702010

70V50V3

2-1 59

例 2-8( 續 )

(b) 流過此一電路的電流為：

電源所供應的功率為： Pi＝ 50V×0.5A＝ 25[W]

各電阻消耗的功率為： PR1＝ I2×R1＝ (0.5A)2×10＝ 2.5[W]

PR2＝ I2×R2＝ (0.5A)2×20＝ 5.0[W]

PR3＝ I2×R3＝ (0.5A)2×70＝ 17.5[W]

]A[5.0100

V50

702010

V50

RRR

VI

321

S

2-1 60

電阻串聯及並聯電路 當元件並聯在一起時，跨於它們兩端的電壓是相等的。 在並聯電路裡，其等效電阻可以表示為： (2-5)

(2-6)

在並聯電路裡以電導來表示比較方便 (2-7)

n

1i in321eq

]S[R

1

R

1.......

R

1

R

1

R

1

R

1

][

R

1......

R

1

R

1

R

11

R

n321

eq

]S[GG......GGG i

n

1in21eq

2-1 61

電阻串聯及並聯電路 若並聯電路中各電阻器的電阻均相等，則其等效電阻為：　　　　 [S] 或　　　　　　　　　　　　 (2-8) 若以等效電導來表示，則 　　　　 Geq＝ nGi[S] 　　　　

(2-9)

ieq R

1n

R

1

][n

RR i

eq

2-1 62

電阻串聯及並聯電路若只有兩個電阻器 R1與 R2並聯時，則等效電阻可以表示為：

(2-10)

若某一電阻 R 與另一個電阻 (R/n)並聯時，其等效電阻可以表示為：

(2-11)

][RR

RRR

21

21eq

][n1

RR eq

2-1 63

電阻串聯及並聯電路在並聯電路裡，流過某一分支電阻器 Rx

的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流，或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比，此一關係稱為分流器法則。

]A[IG

GI

G

GI

G......GGG

GI

eq

xn

1ii

x

n321

xX

2-1 64

電阻串聯及並聯電路 在只有兩個電阻器並聯

的情況下，則電流的分配為：

可知電阻大者所流過的電流較小，電阻較小者可流過的電流較大。

]A[IRR

RI

21

21

]A[IRR

RI

21

12

2-1 65

電阻串聯及並聯電路

若在並聯電路中各電阻均相等，則

　　　　　　　　　　　　　　　就是各電流均相等，分別等於總電流的 1/n 。

]A[n

I

)R

1(n

IR

1

Ix

2-1 66

例 2-9

試求電路的： (a)總電阻， (b)總電流， (c)各分支電流。

[解 ] ： (a) 電路的總電阻亦即等效電阻為：

Req=2[]

]S[2

1

12

1

6

1

4

1

R

1

R

1

R

1

R

1

321eq

2-1 67

例 2-9( 續 ) (b) 流過電路的總電流為：

(c) 由分流器法則，可得：

]A[62

12

R

VI

]A[36

2

14

1

IG

GI

eq

11 ]A[26

2

16

1

IG

GI

eq

22

]A[16

2

112

1

IG

GI

eq

33

2-1 68

例 2-9( 續 )

另一為利用歐姆定律：

由此可知兩種方法所得到的結果是相同的，同時可發現如前所述，電阻愈大的分支流過的電流愈小。

]A[34

12

R

VI

1

1 ]A[26

12

R

VI

2

2

]A[112

12

R

VI

3

3

2-1 69

串並聯電路 在實際應用的電路裡，元件並不是單純的串聯或並聯，而是同時串並聯，也就是將多個元件串聯在一起構成一分支，然後再與其他分支並聯；或者將多個元件並聯在一起，然後再與其他分支串聯。無論先串後並或先並後串，只要依照既定的處理程序來求解即可。

此一既定的處理程序為： (1) 由離電源最遠的地方著手，先將電阻依串聯或並聯來合併，一 直到電源端變成一個等效電阻 Req為止。 (2) 將電源與等效電阻以歐姆定律來處理，以求得流過等效電阻的 電流，也就是流入電路的總電流，以及跨在等效電阻兩端的

電 壓。 (3) 最後利用 KVL、 KCL 、分壓器法則或分流器法則算出流過每個

電 阻器的電流、跨在每個電阻器的電壓，以及它們所消耗的功 率。

2-1 70

例 2-10

試求下圖電路由 AB端看入的等效電阻。

2-1 71

例 2-10( 續 )

最遠端的電阻開始處理。由圖上可知 R9與 R10為串聯，因此可得：

R11＝ R9＋ R10＝ 1k＋ 2 k＝ 3[k]

此一 R11與 R8為並聯，因 R11(3k) 等於 R8(6k) 的一半，由 (2-11) 式可知 n＝ 2 ，因此：

通常在分析過程裡以來表示並聯。 R12與 R6為串聯，因此可得：

R13＝ R12＋ R6＝ 10k＋ 2k＝ 12[k]

]k[23

k6

21

RRRR 8

11812

2-1 72

例 2-10( 續 )

R13與 R7為並聯，因 R7(6k) 等於 R13(12k) 的一半，由 (2-11) 式可知 n＝ 2 ，因此

R14與 R3為串聯，因此可得： R15＝ R14＋ R3＝ 4k＋ 2k＝ 6[k]

R15(6k)與 R4(6k) 為並聯，因兩者相等，因此：

]k[43

k12

21

RRRR 13

13714

]k[32

k6

2

R

2

RR 415

16

2-1 73

例 2-10( 續 )

R16與 R5為串聯，因此可得： R17＝ R16＋ R5＝ 3k＋ 9k＝ 12[k]

R17(12k)與 R2(4k) 為並聯，因此可得：

因此最後的等效電阻為： Req＝ RAB＝ R1＋ R18＝ 2k＋ 3k＝ 5[k]

]k[3k4k12

)k4)(k12(

RR

RRR

217

21718

2-1 74

例 2-11

試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓。

[解 ] ：電路具有兩個並聯分支，每一分支上有兩個串聯的電阻器，因此其等效電阻為：

　　　　

][8.420

96

128

128128

)48()44(R eq

2-1 75

例 2-11( 續 )

流過電路的總電流為 5A ，因此跨於每一分支的電壓為：

　　　 V＝ 5A×4.8＝ 24[V]

由分壓器法則可知，跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為：

而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為：

]V[12V2444

4V

1R

]V[12V2444

4V

2R

]V[16V2484

8V

3R

]V[8V2484

4V

4R

2-1 76

例 2-11( 續 )

此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流，然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓。 流過左邊分支的電流為：

因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為：

　　　　　　

]A[3520

12

5)48()44(

)48(I1

]V[124A3V1R

]V[124A3V2R

2-1 77

例 2-11( 續 )

流過右邊分支的電流為：

　因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為：　　　　　　

可知兩種方法所得到的結果完全相同。

]A[2520

8

5)48()44(

)44(I2

]V[168A2V3R

]V[84A2V4R

2-1 78

例 2-12

試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓。

2-1 79

例 2-12( 續 ) [解 ] ：它是一個先由兩個電阻器 R2及 R3並聯在一起，然後與 R1串聯並以 2A 電流源來驅動的電路，如圖 2-20(a) 所示。電路的等效電阻：

圖 2-20

][4.464

642

RR

RRRR

32

321eq

2-1 80

例 2-12( 續 ) 由圖 2-20(b) 的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於　　 Vs＝ 2A×4.4＝ 8.8V

由圖 2-20(c) 的等效電路可知跨於電阻器 R1以及並聯分支的電壓分別為 :

因 R2及 R3為並聯，所以跨於它們的電壓均相等，也就是　　 V2＝ V3＝ 4.8[V]

由圖 2-20(b) 的等效可知整個電路是與 2A 電流源串聯，所以電路的總電流為 2A ，也就是指流過 R1的電流為 2A ，而流過並聯分支的總電流也是 2A ，因此可由分流器法則來求知流過

]V[44.4

28.8V1 ]V[8.4

4.4

4.28.8V4

]A[2.1

4

1

6

14

1

2I2

]A[8.0

4

1

6

16

1

2I3

2-1 81

例 2-13 試求下圖電路中各電阻之電壓，電流及功率？

[解 ] ：由電源看入之等效電阻為：

流入電路的總電流為：][10555)1010(5)]10()46[(R eq

]A[1010

V100IS

2-1 82

例 2-13( 續 )

流過 5 電阻的電流，跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為：

I5＝ IS＝ 10[A] ， V5＝ I5×5＝ 10A×5＝ 50[V]

P5＝ (I5)2×5＝ (10A)2×5＝ 500[W] 因 10與 (6＋ 4) 兩分支為並聯，且兩分支的電阻相

等，因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等，且等於流入電流的一半，亦即 (10A/2)＝ 5[A] 。

因此流過 10 電阻的電流，跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為：

I10＝ (IS/2)＝ (10A/2)＝ 5[A]

V10＝ I10×10＝ 5A×10＝ 50[V]

P10＝ (I10)2×10＝ (5A)2×10＝ 250[W]

2-1 83

例 2-13( 續 )

流過 6 電阻的電流，跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為：

I6＝ (IS/2)＝ (10A/2)＝ 5[A]

V6＝ I6×6＝ 5A×5＝ 30[V]

P6＝ (I6)2×6＝ (5A)2×6＝ 150[W]

流過 4 電阻的電流，跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為：

I4＝ I6＝ (IS/2)＝ (10A/2)＝ 5[A]

V4＝ I4×4＝ 5A×4＝ 20[V]

P4＝ (I4)2×4＝ (5A)2×4＝ 100[W]

2-1 84

電橋電路 R1R4 ＝ R2R3

電橋電路的平衡條件 達到平衡狀態時，跨於電阻 R1兩端的電壓 Vac與跨於電阻

R2兩端的電壓 Vad相等，因此 c 點與 d 點之間的電位差為零，電流不會流過 R5， R5視同開路。電路如同是具有兩分支的並聯電路，每一分支有兩個電阻串聯在一起。

2-1 85

例 2-14

試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻。

[解 ]: 電路是電橋電路，其 R1＝ 2， R2＝ 4， R3＝ 3及 R4＝ 6 ，因此

R1R4＝ R2R3= 2×6＝ 4×3=12

電路是平衡

2-1 86

例 2-14( 續 )

當符合平衡條件的要求時，電流不流過 R5，因此 R5可視同為開路，如圖 2-26 所示。但因 c 點的電壓與 d 點的電壓相等，因此它也可以視同為短路，如圖 2-27 所示。無論視同開路或短路，對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響。

圖 2-26 R5視同為開路的情形 圖 2-27 R5視同為短路的情形

2-1 87

例 2-14( 續 ) 對開路狀況而言 (圖 2-26) ，其等效電阻為：

流過各部分的電流為：

][33.3)64()32(

)64)(32(R eq

]A[2)32(

V10I1

]A[1)64(

V10I2

2-1 88

例 2-14( 續 ) 對短路狀況而言 (圖 2-27) ，其等效電阻為：

流過電路的總電流為：

流過各電阻的電流分別為：

][33.33

10

9

18

6

8

63

63

42

42R eq

]A[3)3/10(

V10I

]A[2A324

4I1

]A[1A324

2I2

]A[2A336

6I3

]A[1A336

3I4

2-1 89

Y- 變換法

][RRR

RRR

321

32A

][

RRR

RRR

321

13B

][

RRR

RRR

321

21C

][R

RRRRRRR

A

ACCBBA1

][

R

RRRRRRR

B

ACCBBA2

][

R

RRRRRRR

C

ACCBBA3

2-1 90

2-8Y- 變換法 Y ： Y 形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩形電路臂 的電阻值之乘積除以形電路三個電阻值之和。 Y ：任一形電路臂的電阻值，等於 Y 形電路中兩電 阻相乘之和除以相對於離此形電阻臂最遠之 Y 形電路臂之電阻值。 若 Y 形或形電路之三電阻均相等，亦即 R1＝ R2＝ R3＝ R及 RA＝ RB＝ RC＝ RY ，則　　　　 R＝ 3RY[] 　　　　　　　　 及 　　　　　　　　　　　

][R3

1R Y

2-1 91

例 2-15

試求下圖電路的等效電阻

[解 ] ： 在此一電橋裡，兩相對邊的電阻之乘積分別為 (3×2＝ 6)及 (4×5＝ 20) ，兩者並不相等，所以其為不平衡電橋電路，因此必須使用 Y- 變換法來求解。

2-1 92

例 2-15( 續 )

首先將上半部 abc節點所組成的形連接轉變成 Y 形連接，如圖 2-30 所示。

圖 2-30 形連接轉變成 Y 形連接

2-1 93

例 2-15( 續 ) Y 形連接的各個電阻可以求得為：

將 e節點設為 Y 形連接的中心即可得到如圖 2-31 所示的等效電路。

][07.1653

)5)(3(

RRR

RRR

321

32A

][29.1653

)6)(3(

RRR

RRR

321

13B

][14.2653

)6)(5(

RRR

RRR

321

21C

2-1 94

例 2-15( 續 )

圖 2-31 最後的等效電路

2-1 95

例 2-15( 續 )

在此一等效電路裡可知 ebd 分支及 ecd 分支的電阻分別為：

Rebd＝ Reb＋ Rbd＝ 1.29＋ 4＝ 5.29[]

Recd＝ Rec＋ Rcd＝ 2.14＋ 2＝ 4.14[]

這兩分支是為並聯，它們合成的電阻 Red為：

電路的總等效電阻為：

Req＝ Rae＋ Red＝ 1.07＋ 2.32＝ 3.39[]

][32.214.429.5RRR ecdebded

第二章習題

2-1.一導體長 100m，直徑 2mm其電阻係數 ρ 為 4.8×10−6Ω-cm試求此導體之電阻及

其電導係數若干？2-2.一燈泡之端電壓為 110V，通過之電流 2.2A，試求該燈泡之電阻及功率各若干？

若燈泡工作 20 分鐘則其消耗電能若干？

2-3. 求圖 中之 a 、 b 兩點間之電壓。

2-4.試求圖中， (a) I1 ， (b) I2 ，(c)V。

2-5.試求圖中， a 、 b 兩端之等值電阻Rag。

2-6.試求圖 中之等值電阻 Rag。

習題解答

2-1.

2-2.

2-3.

2-4.

2-5.

2-6.

第三章網路分析技巧

108

3-1 電壓源與電流源轉換 若 Ri＝ Rp及 VS＝ ISRP ，電壓源與電流源可以互換。

(a) 電壓源， (b) 電流源

109

以電流源來替換電壓源

110

以電壓源來替換電流源

2-1 111

3-1節點電壓分析法

節點電壓分析法是根據 KCL 所得到，此時針對電路各獨立節點來寫出其 KCL 方程式，然後聯解這些方程式。在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點，通常在此一方法裡，接地點並不視為是獨立節點。

2-1 112

節點電壓分析法 在求解電路以前，首先要決定何者為基準節點。在電路裡連

接導線較多的節點通常被視為是基準節點，並以 r 來表示。 在此一電路裡存在有三個節點，其中一個為基準接點，另兩

個為獨立節點，因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓，所以必須要有兩個方程式。

2-1 113

節點電壓分析法 存在於 a 點及 b 點的電壓分別為 Va及 Vb， a 點共有三

個電流分支，其中之一是由 5A 電流源所產生。另一個是流過 2 電阻器的電流，此一電流是因跨於 2 電阻器兩端的電壓差 Va－ Vr所產生。而最後一個是因在3 電阻器兩端存在有 Va－ Vb電壓差所產生。設 a 的電壓較 b 點為高，亦即 Va＞ Vb，同時假設 Vr＝ 0 ，對 a 點應用 KCL 可得：

　　　　　　　

表示的是指流過 2及 3 電阻器的電流是流出 a 點，而 5A 電流源的電流是流入 a 點，相似的對 b 點而言，應用 KCL 可得：

052

0V

3

VV aba

04

0V

3

VV6 bba

2-1 114

節點電壓分析法 節點電流方程式可表示為：

　　　　 聯解此一方程式可得知：　　　　 Va=2.44[V] 及 Vb= － 8.89[V] 因此跨於 3 電阻器的電壓為：　　　　 V3=Va－ Vb=2.44V－ (－ 8.89V)=11.3[V]

6V4

1

3

1V

3

1

5V3

1V

2

1

3

1

ba

ba

2-1 115

節點電壓分析法 通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量，

但若電路中存在有電壓源時，則必須要慎重考慮。最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源，然後就可以用節點電壓法來分析之。

2-1 116

節點電壓分析法 也可以採用所謂的抑制節點觀念，而不經電源轉變手續

來求解。在電路裡共有三個節點，分別為基準節點 r ，以及 a和 b 兩個獨立節點。 10V 電壓源是存在於 a 點與基準節點 r 之間，若基準點的電壓為 0V ，則 a 點的電壓必定為 10V 。因此對此一電路而言，只有 Vb為未知，所以只需要建立一個方程式即可，此一方程式可以寫為：

　　　　　　　　 若電壓源的一端並不是接地，則其中一端的電壓必須等

於另一端的電壓與電壓源之和或差，視電壓源的極性來定。

015

0V

6

10V bb

2-1 117

例 3-1試求在圖 3-1 的電路裡， 4 電阻器所產生的功率。

圖 3-1 a及 b 兩節點間存在有 6V 電壓源的電路

2-1 118

例 3-1( 續 ) [解 ] ：在此一電路裡除了基準節點以外，還有三個節點 a、 b及 c ，但 a與 b並非獨立，因為它們之間存在有一個 6V 的電壓源，所以只要求知其中一點的電壓，再加上 ( 或減去 )6V 即可得知另一點的電壓。因此在求解此一電路之前，首先要求知 a 點與 b 點的關係，對 r經由 a 點到 b 點再回到 r 點的迴路應用 KVL 可得：

　　　　 Vra＋ 6＋ Vbr＝ 0

或 － Va＋ 6＋ Vb＝ 0

因此 Vb＝ Va－ 6 　 設 Va為未知，並對 c 點應用 KCL 得：

　　　　　　　　　　 07

4

)6V(V

5

0V acc

2-1 119

例 3-1( 續 )

另對 a 點應用 KCL ，此時將 a 點及 b 點兩點視為一超級節點，則它所得到的方程式為：

聯解上述兩式可得 Va=－ 2.75[V]， Vb=－ 8.75[V]及 Vc=－ 20.4[V]

因此流過 4 電阻器的電流為：

它所產生的功率為　　 P＝ I2R＝ (2.92)2×4＝ 34[W]

024

VV

3

0V cba

02

4

V)6V(

3

0V caa

]A[92.24

)4.20()75.8(

4

VVI cb

2-1 120

3-3網目電流分析法迴路電流分析法是根據 KVL 來寫出方程式，其變數是在迴路裡環繞的電流。

在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路，所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路。

對任何一電路，其獨立迴路數 m 可以由電路的分支數 b 與節點數 b 來求知為：

　　　　 m＝ b－ (j－ 1) 　

2-1 121

網目電流分析法

對這兩個迴路應用 KVL ，可知在左邊的迴路裡，其關係為： 　　　　 I1(1)＋ (I1－ I2)(2)＝ 7 － 6 　　　 在上式裡，等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降，而等號右邊即為電

壓源所形成的總電壓升，其中左邊第一項是因電流 I1 流過 1 電阻器所引起的電壓降。而第二項表示 2 電阻器所產生的電壓降，對此一電阻器而言，同時有兩個電流流過於其間，兩電流的方向相反，因為在此一迴路裡是以 I1 作為基準，故 I1 所產生的為電壓降，而 I2 所產生的為電壓升，或可以說電流流過2 電阻器所引起的總電壓降為 (I1－ I2)(2) 。在等號的右邊相對於 I1 而言， 7V 電壓源所產生的為電壓升，而 6V 電壓源所形成的為電壓降。

2-1 122

網目電流分析法 利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的 KVL 關係為： 　　　　 I2(3)＋ I2(4)＋ (I2－ I1)(2)＝ 6 － 9 　　 對右邊的迴路而言，其基準電流為 I2 ，所有的電壓升或降均是相對

於此一電流來加以考量。因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式：

　　　　 (1＋ 2)I1－ (2)I2＝ 1 　　　　　　　　　 － 2I1＋ (3＋ 4 ＋ 2)I2 ＝－ 3 　　 聯解上述兩式可得：　　　　 I1＝ 0.13[A]及 I2＝ 0.304[A] 而流過 2 電阻器的電流為：　　　　 I1－ I2＝ 0.13A－ (－ 0.304A)＝ 0.434[A] 因此跨於 2 電阻器的電壓為：　　　　 (I1－ I2)2＝ 0.434×2＝ 0.868[V]

2-1 123

網目電流分析法 在前面的討論裡並沒有考慮電流源，若電路中存在有電流源，則在

使用迴路電流法時，必須作某些修正。今考慮下的電路，並求此一電路裡的兩迴路電流 I1及 I2 。

因電流源存在於兩迴路之間，因此： I2－ I1＝ 2[A] 　　 但因有兩個未知數，所以必須再建立一方程式，此時可考慮外環的迴路，此一外環迴路的 KVL 關係為： 5I1－ 8I2＝ 10[A] 　　　　　　　

聯解上述兩式可得： I1＝ 0.462[A]及 I2＝ 1.538[A]

2-1 124

例 3-2 試求圖 3-2 電路裡流過 R4的電流。

圖 3-2 [解 ] ：在求解電路之前，首先要決定其獨立迴路數。在此一電路裡共有四個節點 (A、 B、 C及 D) 以及六個分支(AB、 AC、 AD、 CD、 BC及 BD) ，因此 m＝ b－ (j－ 1)＝ 6－ (4－ 1)＝ 3 ， 也就是指在此一電路有三個獨立迴路，設三個迴路的電流分別為 I1、 I2及 I3，同時假設其流動方向如圖上所示。

2-1 125

例 3-2( 續 )

應用 KVL 於各獨立迴路可得： 上方之迴路： I1(R1＋ R2＋ R3)－ I2R2－ I3R3＝－ V1

下方左邊之迴路：－ I1R2＋ I2(R2＋ R4)－ I3R4＝ V2－ V3

下方右邊之迴路：－ I1R3＋ I2R4＋ I3(R3＋ R4＋ R5)＝ V3

將各已知值代入，可得　　 (2＋ 5＋ 5)I1－ 5I2－ 5I3＝－ 10　　 － 5I1＋ (5＋ 2)I2－ 2I3＝ 20－ 8＝ 12　　 － 5I1－ 2I2＋ (5＋ 2＋ 1)I3＝ 8 聯解此三方程式可得　　 I1＝ 2.95[A]， I2＝ 5[A]， I3＝ 4.1[A] 流過 R4的電流為 I2及 I3，但兩者的方向相反，若以 I2的方向

為準則，流過 R4的電流為　　 I2－ I3＝ 5 － 4.1＝ 0.9[A]

2-1 126

例 3-2( 續 ) 同時 V4＝ V6－ V2＝ 12V－ 2V＝ 10[V] 及 V5＝ V3－ V4＝ 3V－ 10V ＝－ 3[V] 在節點 A 裡 I6＝－ (I1＋ I2) ＝－ (3A＋ 2A) ＝－ 5[A] 在節點 B 裡 I4＝ I2－ I3＝ 2A－ 0.5A＝ 1.5[A] 在節點 C 裡 I5＝ I4＋ I6＝ 1.5A－ 5A ＝－ 3.5[A] 因此由 (2-43) 式可知： V1I1＋ V2I2＋ V3I3＋ V4I4＋ V5I5＋ V6I6

＝ [5V×3A]＋ [2V×2A]＋ [3V×0.5A]＋ [10V×1.5A] ＋ [(－ 7V)×( － 3.5)A]＋ [12V×(－ 5)A] ＝ 15＋ 4＋ 1.5＋ 15＋ 24.5－ 60＝ 0

2-1 127

例 3-2( 續 ) 同時 V4＝ V6－ V2＝ 12V－ 2V＝ 10[V] 及 V5＝ V3－ V4＝ 3V－ 10V ＝－ 3[V] 在節點 A 裡 I6＝－ (I1＋ I2) ＝－ (3A＋ 2A) ＝－ 5[A] 在節點 B 裡 I4＝ I2－ I3＝ 2A－ 0.5A＝ 1.5[A] 在節點 C 裡 I5＝ I4＋ I6＝ 1.5A－ 5A ＝－ 3.5[A] 因此由 (2-43) 式可知： V1I1＋ V2I2＋ V3I3＋ V4I4＋ V5I5＋ V6I6

＝ [5V×3A]＋ [2V×2A]＋ [3V×0.5A]＋ [10V×1.5A] ＋ [(－ 7V)×( － 3.5)A]＋ [12V×(－ 5)A] ＝ 15＋ 4＋ 1.5＋ 15＋ 24.5－ 60＝ 0

2-1 128

3-4戴維寧與諾頓等效電路 以圖 3-3 的電路來說明戴維寧等效電路的求法。此一電路的負載為

RL＝ 5 ，因此所要求的部分是由 ab端往左方看入電路的部分。

圖 3-3 以戴維寧等效電路來替代 ab端往左方看入電路的部分 首先將 RL移走使 ab 兩點之間成為開路，求此兩點之間的開路

電壓。因有三個電源存在，所以必須採用重疊原理，首先使電流源為零，亦即使它開路，此時電路呈現兩個電壓源 (50V及 10V) 以及三個電阻器 (10、 10及 20)串聯的情形，由此可知通過20 電阻器的電流為： IV=(50－ 10)/(10＋ 10＋ 20)=1[A]

2-1 129

戴維寧與諾頓等效電路 然後將電壓源關閉，亦即是使它們短路，單獨由電流源

(1.5A) 所產生而流過 20 電阻器的電流為：

因此流過 20 電阻器的總電流為：　　　　 I＝ IV＋ II＝ 1＋ 0.375＝ 1.375[A]

所以跨於 ab 兩點之間的開路電壓為：　　　　 VOC＝ VTh＝ 20×1.375＝ 27.5[V]

]A[375.0

10

1

2010

12010

1

5.1I I

2-1 130

戴維寧與諾頓等效電路 在求等效電阻時，首先使所有的電源為零，使電路如圖 3-4 所示。 由 ab 兩點看入的等效電阻為：

因此所得到的戴維寧等效電路如圖 3-5 所示，它是由一個 27.5V 的電壓源以及一個 10 電阻器串聯所成。

圖 3-4 將電源關閉所得到的結果 圖 3-5 戴維寧等效電路

][102020)1010(20RR eqTh

2-1 131

戴維寧與諾頓等效電路 所謂戴維寧等效電路，是將圖 3-6 電路，除了 RL以外電路其餘部分

以圖 3-7 的電路來替代，其中 VT稱為戴維寧電壓，它等於將 RL移走後存在於電路 ab 兩端的開路電壓；而 Req等於當 RL移走後，將所有電源視為零時由 ab 兩端看入電路所求得到的等效電阻，亦稱為戴維寧等效電阻 RTh 。

圖 3-6 含有可變 RL的電路 圖 3-7 戴維寧等效電路

2-1 132

戴維寧與諾頓等效電路 諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係，戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯，而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成。

諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流，而並聯等效電阻 RN 與戴維寧等效電阻 RTh相同。

若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換，就可得到諾頓等效電路。

2-1 133

戴維寧與諾頓等效電路 比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現：　　　　 VTh＝ INRN[V] 　　 對任何線性電路，其輸出特性曲線與電壓軸的交點，即 Iout＝ 0 的

點，即為戴維寧或開路電壓 VTh；而與電流軸的交點，即 Vout＝ 0的點，即為諾頓或短路電流 IN ，特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值。

2-1 134

例 3-3 試求圖 3-8 電路由 ab 兩端點看入左側之 (a)戴維寧等效電路及 (b)諾頓

等效電路。 [解 ] ： (a)首先將 ab 兩端點右側之電阻器 R4移走，並將電壓源關閉，亦即使它

成為短路，使電路呈現如圖 3-9 所示的結果。

圖 3-8 圖 3-9 R4移走及電壓源關閉

所得到的結果

2-1135

例 3-3( 續 ) 由 ab 兩端點看入左側的等效電阻為：

RTh=Req=R3+(R1R2)[]

接上電壓源，如圖 3-10 所示，可得跨於 ab 兩端點的開路電壓為： VTh=V[R2/(R1+R2)][V]

因此可得到如圖 3-11 所示的戴維寧等效電路

圖 3-10 RL移走但電壓源 圖 3-11 戴維寧等效電路

存在時的電路情形

2-1 136

例 3-3( 續 ) (b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似，即 RTh=Req=R3+(R1R2)[]

欲求等效電流源時，只需將 R4移走，並使 ab 兩端點短路，亦即使電路呈現如圖 3-12 所示的情形。此時可用分流器法則求出流過 R3 的電流，此一電流即短路電流為：

因此可得到如圖 3-13 所示的諾頓等效電路。

　　　　

]A[VRRRRRR

RII

323121

2NSC

2-1 137

例 3-3( 續 )

圖 3-12 求等效電流源 圖 3-13 諾頓等效電路

的電路結構

2-1 138

3-5重疊原理 考慮下圖的電路，並求跨於 R2電阻器的電壓 V2，此一

電路雖然十分簡單，但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源，因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解。

2-1

139

重疊原理 直接對電路應用 KCL、 KVL 及歐姆定律，可得 　　　　 V1＝ I1R1　　　　　　　　 (3-5-1)

　　　　 V2＝ I2R2　　　　　　　　 (3-5-2)

　　　　－ V1＋ V2＋ VS＝ 0 　　　　 (3-5-3)

　　　　－ IS＋ I1＋ I2＝ 0 　　　　　 (3-5-4)

將 (3-5-1)及 (3-5-2) 式代入 (3-5-4) 式可得

(3-5-5)

聯解 (3-5-3)及 (3-5-5) 以消除 V1可得

]A[R

V

R

VI

2

2

1

1S

2-1 140

重疊原理

由上式發現 V2包含有兩部分，其中一部分是由電流源IS所產生，另一部分是由電壓源 VS所產生，兩者互不干擾。由此可知若將電壓源關閉，亦即 VS＝ 0 時可得到純由電流源 IS所形成的結果；同樣的若將電流源關閉，亦即 IS＝ 0 時可得到純由電壓源 VS所形成的結果。

上式所說明的就是重疊原理。

]V[RR

RV)RR(I

)R/1()R/1(

)R/V(IV

21

2S21S

21

1SS2

2-1 141

重疊原理 重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡，任一元件或部份電路之電壓或電流，為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和。當單獨考慮某一電源的作用時，其他電源必須關閉，也就是指不產生作用之電壓源視為短路，而不產生作用之電流源視為開路。

重疊原理只能用在線性電路裡的線性項，對於非線性電路或線性電路裡的非線性項，例如功率的計算，則重疊原理不適用。

2-1 142

例 3-4試求跨於圖 3-14 電路上 3 電阻器的電壓 。

圖 3-14

[解 ] ：電路共有三個電源，分別為 4A及 5A 的電流源以及一個 6V 的電壓源。

2-1143

例 3-4( 續 )

在圖 3-16 的電路裡， 2 電阻器及 3 電阻器是串聯在一起，然後與 1 電阻器及 5A 電流源並聯，可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流，然後再利用分壓器法則來求知跨於 3 電阻器的電壓。

比較圖 3-15 及圖 3-16 ，可發現雖然這兩電路相似，但電流源流動的方向相反，所以在同一電阻器 (3) 上所形成的電壓極性相反。

]V[5.232

3

1)32(

1)32(5V5

2-1 144

例 3-4( 續 )

首先考慮 4A 電流源的作用，此時將 5A 電流源及 6V 電壓源關閉，也就是將 5A 電流源視為開路及 6V 電壓源視為短路，此時電路的結構如圖 3-15 所示。

圖 3-15 只有 4A 電流源工作而其他電源為關閉的情形

2-1 145

例 3-4( 續 )

在圖 3-15 的電路裡， 2 電阻器及 3 電阻器是串聯在一起，然後再與 1 電阻器及 4A 電流源並聯，應用分流器法則可得：

因此跨於 3 電阻器的電壓為：

]A[3

2

1

1

32

132

1

4I

]V[23A3

2V4

2-1146

例 3-4( 續 )

只考慮 5A 電流源工作，而 4A 電流源及 6V 電壓源為關閉的情形，此時電路如圖 3-16 所示。

圖 3-16只有 5A 電流源工作而其他電源為關閉的情形

2-1 147

例 3-4( 續 )

在圖 3-16 的電路裡， 2 電阻器及 3 電阻器是串聯在一起，然後與 1 電阻器及 5A 電流源並聯，可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流，然後再利用分壓器法則來求知跨於 3 電阻器的電壓。

比較圖 3-15 及圖 3-16 ，可發現雖然這兩電路相似，但電流源流動的方向相反，所以在同一電阻器 (3) 上所形成的電壓極性相反。

]V[5.232

3

1)32(

1)32(5V5

2-1 148

例 3-4( 續 )

圖 3-17 所示為只有 6V 電壓源工作時所得到的情形，此時三個電阻器是與 6V 電壓源串聯，因此經由分壓器法則就可以得知跨於 3電阻器的電壓為：

因此由重疊原理可知，跨於 3 電阻器兩端的電壓為：　　　 V＝ V4＋ V5＋ V6＝ 2V－ 2.5V＋ 3V＝ 2.5[V]

圖 3-17 只有 6V 電壓源工作而其他電源為關閉的情形

]V[3321

36V6

2-1 149

例 3-5 在圖 3-18 的電路裡，欲使跨於 4 電阻器的電壓為零時，

則電流源 IS的大小為多少？

圖 3-18 [解 ]： 10V 電壓源在 4 電阻器上所形成的電壓為

　　　　此一電壓的正極在上方，負極在下方。]V[33.3

642

410V10

2-1 150

例 3-5( 續 )

因電流源所產生的電壓為：　　

此一電壓的極性與 V10相反，也就是指正極在下方，負極在上方，欲使跨於 4 電阻器的電壓為零，則

　　 V10＝ VIs

　　 3.33＝ 2.67×IS

　　 IS＝ 1.25[A]

]V[I67.2264

)26(4IV SSIS

2-1 151

3-6密爾曼定理 密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源。若每一個電壓源的電壓為 Vi(i＝ 1n) 且其內阻為Ri，則經由

]V[GGGG

GVGVGVGVV

n321

nn332211eq

][G

1

GGGG

1RRRRR

eqn321

n321eq

2-1 152

密爾曼定理相似的若是多個電流源串聯在一起，每一個電流源的電流為 Ii及其並聯內阻為 Ri，則同樣可用單一的等效電流源來替代，其中等效電流 Ieq

及其等效電阻 Req為：

]A[RRRR

RIRIRIRII

n321

nn332211eq

n

1iin321eq ][RRRRRR

2-1 153

例 3-6

利用密爾曼定理求圖 3-19 電路的電流 IL。

圖 3-19 [解 ] ：由密爾曼定理可知：

]V[91.40)15/1()10/1()5/1(

)15/1)(V90()10/1)(V50()5/1)(V20(Veq

2-1 154

3-7最大功率轉移 在理想狀況之下，電源所產生功率會全部轉移至負載；

但在實際情形裡，因電源有內電阻會消耗部分功率，所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定，通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變。

若將電源以戴維寧等效電路來替代，則等效電阻可視為電源的內電阻，也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗。當負載電阻增加時，電源所提供的電流會減少，但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加，在 RL＝ Req時所轉移的功率為最大，若負載電阻繼續增加，則電流與所轉移的功率兩者都會減少。由此可知，某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時，可得到最大的功率轉移。

當最大功率轉移發生時，兩電路 ( 其中之一為電源電路另一為負載電路 ) 之間存在有阻抗匹配的現象。

最大功率亦稱為有效功率， Pav。

2-1 155

最大功率轉移 設 Req及 RL分別表示電源的內電阻及負載電阻，當 Req =RL[]

時，電源所提供的電流及功率分別為：　　　　

　　　　 　

]A[R2

V

RR

VI

eqLeq

]W[R4

VR

R4

VRIP

eq

2

eq

eq

2

L

2

max

2-1 156

例 3-7

在圖 3-20 的電路裡 RL需為多少才能得到最大功率轉移，此一最大功率為多少？若 RL＝ 2k 時，其功率為多少？

圖 3-20

[解 ] ：欲得到最大功率轉移則 RL＝ 4[k] ，此一最大功率為：

當 RL＝ 2k 時，所得到的功率為：

]mW[156k44

)V50(

R4

VP

2

L

2

max

]mW[1392)24(

V50RIP

2

2

L

2-1 157

例 3-8

標準汽車電池的開路電壓為 12.6V ，其短路電流約為300A 。試求此一電池的有效功率為多少？

[解 ] ：電池的輸出電阻為：

其有效功率為：

][042.0300

6.12

I

VR

N

Theq

]W[945042.04

)6.12(

R4

VP

2

eq

2

Thav

第三章習題

3-1.用網目電流法求圖中各支路電流 I1 、 I2 及 I3 。

3-2. 用節點電壓法求圖中之節點電壓 Va 及 Vb。

3-3.試用戴維寧等效電路求圖 中之 I3 。

3-4.用重疊定理求圖中之電流 I1 、 I2 及 I3 。

習題解答3-1.

3-2.

3-3.

3-4.