第二章 一维随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布函数

2.2 离散型随机变量

2.3 连续型随机变量

2.4 随机变量的函数的分布

第二章 一维随机变量及其分布【内容提要】

1. 两个重要概念：随机变量、随机变量的分布函数；

2. 离散型随机变量：离散型随机变量的分布律及其性质，利 用分布律计算随机事件的概率，分布律与分布函数的关系；

3. 连续型随机变量：连续型随机变量的定义，概率密度函数及性质，利用概率密度函数计算随机事件的概率，概率密度函数与分布函数的关系；

4. 常见的离散型和连续型分布： 0-1 分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，指数分布，正态分布；

5. 随机变量的函数的分布。

【基本要求】

1. 理解随机变量及其分布函数的概念，熟悉分布函数的性质；

2. 掌握离散型随机变量的分布律及其性质，熟练利用分布律计算随机事件的概率，熟练掌握分布律与分布函数的关系，

熟记 0-1 分布，二项分布，泊松分布的分布律；

3. 理解连续型随机变量的定义，掌握概率密度函数的性质，熟练利用概率密度函数计算随机事件的概率，熟练掌握概率密度函数与分布函数的关系，熟练掌握均匀分布，指数分布，

正态分布及有关计算；

4. 会求简单的随机变量的函数的概率分布。

【重点难点】重点：

1 ．随机变量和分布函数的定义；

2 ．离散型随机变量的分布律及其性质，几种常见的离散型随机变量的分布；

3 ．连续型随机变量的概率密度函数及其性质，几种常见的连续型随机变量的分布；

4 ．分布律或概率密度函数与分布函数的关系，利用概率分布求随机事件发生的概率。

难点：

1 ．某些离散型随机变量的分布律；

2 ．如何确定随机变量，如何用随机变量表示随机事件从而求其概率；

3 ．某些与积分有关的计算；

4 ．分布函数法求连续型随机变量的函数的概率密度 .

2.1 随机变量及其分布函数 本章引进随机变量的概念，使得任何的随机事件都可用变量

来表示，引进分布函数的概念使得随机事件的概率都可用函数的形式表达。本章主要介绍一维离散型随机变量和一维连续型随机分布。重点是常见的几种分布及如何利用这些类型来求随机事件的概率。

2.1.1 随机变量（ Random Variable ）

随机试验的结果可能是数量，但也不一定。例如：

1) 记录候车室中旅客的人数（结果为数量）；

2) 从一批产品中任取一件，观察是否为次品（结果为非数量）。

0( )

1X

为次品为正品

这样定义的函数具有以下两个特点：

为了能够用数学的方法去讨论，我们将试验的每一种可能的结果都赋予一个确定的实数，这样就定义了一个函数：

. （比如对于上面的例子 2 ）可以这样定义：( )X ，

(1) 函数的取值由试验的结果决定（定义在样本空间上）；

(2) 每个取值都有相应的概率值。

( 1) 1P X p

假设例子 2 ）中产品的次品率为 ，那么 ，( 0)P X p p

，而是 0 还是 1 由抽取的产品为次品还是正品决定。

定义 2-1 设 是试验 的样本空间，如果 都有唯一确定 E

的实数 与之对应，则称单值实函数 为一随机变量。( )X ( )X

随机变量的引入使得任何的随机事件都可用随机变量的一个取值范围来表示，而随机变量的一个取值范围都是某个随机事件。看下面的例子：

(1) 候车室旅客的人数记为 。X

是一个随机变量， 的取值范围： 0 ， 1 ， 2 ，…， M （ M 为X X

候车室的容量），事件 = { 人数超过 100 人 } 可以用A

表示。{100 }A X M

(2) 一射手连续向目标射击直到击中为止，用 表示射击的次数。X

3) 抛一颗骰子一次，用表示抛出的点数。

是一个随机变量， 的取值范围： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，1C

X X

事件 = { 偶数点 } 可以用 或者1 { 2 4 6}C X ，， 1 { 2} { 4}C X X

表示。事件 = {1 点 } 可以用 表示， 也{ 6}X 2C { 1}X 2 { 1}C X

可以表示事件 ，而 、 都是不可能事件。2C { 0}X { 10}X

4) 用 表示灯泡的寿命。X

是一个随机变量， 的取值范围： ，如果寿命不低0X

{ 5000}D X

XX

于 5000 小时的称为优质灯泡，那么事件 = { 优质灯泡 } 可以用D

表示。

是一个随机变量， 的取值范围： 1 ， 2 ， 3 ，…，事件 =XX B

{ 三次之内击中 } 可以用 表示。{ 3}B X

2.1.2 随机变量的分布函数

如： ， ，( ] ( ] ( ]a b b a ， ， ， ( ) ( ]a R a ， ，

因此 ， 等 . P a X b P X b P X a 1P X a P X a

X

定义 2-2

( )F x P X x x

X

称为 的分布函数。

设 是一个随机变量，函数

在实际问题中，我们常常遇到随机变量取某个特定值的概率，还会遇到随机变量在某个区间内取值的概率，如灯泡的寿命，人的身高，等候飞机的时间等在某个范围内变化的概率。当随机变量在某个区间内取值时，其取值区间也可以用 ]( x，

形式的运算表示，那么只要知道概率 就可以了。 xXP

分布函数的定义域为全体实数 ；x

的值表示随机变量 落入区间 上的概率（图 2-1 ）。( )F x ( ]x ，X

X x

xX

图 2-1

2.1.3 分布函数的性质1 ． ，x R 0 ( ) 1F x

2 ． 是单调不减函数，即 时 ( )F x 1 2x x1 2( ) ( )F x F x

3 ． ， ( ) lim ( ) 0x

F F x

( ) lim ( ) 1x

F F x

4 ． 右连续，记作( )F x ( 0) ( )F x F x

5 ．利用分布函数计算概率

设 ，记 ，则a b 0

lim ( ) ( 0)x a

F x F a

( ) ( )P a X b F b F a （ 1 ）

( ) ( 0)P X a F a F a （ 2 ）

1 ( )P X a F a ( 0)P X a F a

1 ( 0)P X a F a

（ 3 ）

（ 4 ） ( ) ( 0)P a X b F b F a

( 0) ( )P a X b F b F a

( 0) ( 0)P a X b F b F a

典型例题分析

解：当 时 是不可能事件， ；1x X x ( ) 0F x P X x

当 时事件 发生的概率，1 5x X x

1 1( ) ( 1)

5 1 4

xF x P X x x

；

5x 当 时 是必然事件， X x ( ) 1F x P X x

所以分布函数为0 1

1( ) ( 1) 1 5

41 5

x

F x x x

x

例 2-1 在区间 [1 ， 5] 上任意投点，用 表示落点的坐标。求分布函数。

X

X

自测题 2.1.1

1. 设随机变量 的分布函数为 ，且 ， ，( )F x (0) 0.3F (1) 0.7F

{0 1}P X

X

求 。2. 对于随机变量 有， ， 求其分布函数。{ 1} 0.2P X { 2} 0.8P X X

自测题 2.1.2

1. 如果口袋中装有 10 个白色球， 6 个红色球和 4 个黄色球，从中任取一球，用随机变量 描述取出的球的颜色。求随机变量

的分布函数。X

X

2.盒子中装有一幅完整的中国象棋，从中一次随机取出三颗棋子，用 描述取出的棋子中“卒”的颗数，求 的分布函数。XX

2.2 离散型随机变量2.2.1 离散型随机变量及其分布律

定义 2-3 若随机变量 只能取有限个数值 或1 2 nx x x， ， ，X

X无穷可列个数值 ，则称 为离散随机变量。1 2 nx x x ， ， ， ，

定义 2-4 如果离散随机变量 取得任一可能值 时的概率为X kx kp

1 2k ，， 则称 为 的分布律（或者概率分布）。 k kP X x p X

分布律也可以用表格的形式直观地表示为 :

x

kp

1x 2x nx

1p 2p np

分布律的性质：

(1) 0kp 1 2k ，，

1

1kk

p

(2)

1kP X k

N

例 2-2 设随机变量 的分布律 ， ，X 0 1 2 5k ，，， ，

N试确定常数 。5 5

0 0

1 21( ) 1

k k

kP x k

N N

21N 解： 所以

例 2-3 某系统有两台机器相互独立工作，第一台与第二台机器发生故障的概率分别是 0.1 、 0.2 。用 表示发生故障的机器台

数，求 的分布律及分布函数。X

X

解： 为一随机变量，取值 0 ， 1 ， 2 ，对应的概率（设X 1 2A A，

表示第 1 ， 2台发生故障）即分布律如下：

1 2( 0) ( ) 0.9 0.8 0.72P X P A A

1 2 21( 1) ( ) 0.9 0.2 0.1 0.8 0.26P X P A A A A

1 2( 2) ( ) 0.1 0.2 0.02P X P A A

列表如下X

kp

0 1 2

0.72 0.260.02

分布函数： 0 0

0.72 0 1( )

0.98 1 2

1 2

x

xF x

x

x

2.2.2 常见的离散型分布1 ． 0-1 分布

称随机变量 服从 0-1 分布。X

定义 2-5 随机变量 只取 2 个可能的值： 0 ， 1 ，其分布律为 :X

0 1P X p 1P X p 即

X

kp

0 1

1 p p

X例 2-2 设袋中有红球 4 个，白球 6 个，从中任意取球 1 个，用表示取得的球的颜色：

0

1X

取得白球取得红球

求随机变量 的分布律。X

{ 1} 0.4P X 解 { 0} 0.6P X

即X

kp

0 1

0.6 0.4

2 ． n 重伯努利（ Bernoulli ）试验与二项分布

定义 2-6 试验 只有两个可能结果：事件 发生或者 不发生A

AE

( )P A p

A

（ 发生），设 ，称试验 为伯努利试验；如果将此E

试验独立地重复 n 次，称此系列试验为 n 重伯努利试验。

A

n 重伯努利试验是一种很重要的概率模型。对于这类试验，我们关心在 n 次试验中事件 发生的次数及相应的概率。

用 表示 n 重伯努利试验中事件发生的次数，则 是一随机X

P X k

X

变量，可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ，…， n ，那么事件恰好发生 k 次的概率可记为 。

事件 恰好发生 k 次，指 n 次试验中任意 k 次，那么可能的情A

A

(1 )k n kp p (1 )k k n knP X k C p p

knC况有 种；而每一种情况下，事件 发生 k 次且另外 n−k 次不发生，

概率为 ，因此

X

定义 2-7 如果随机变量 可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ，…， n ，且

(1 )k k n knP X k C p p

X

那么称随机变量 服从参数为 n ， p 的二项分布，记作 。 ~ ( )X B n p，

显然， n 重伯努利试验中事件 出现的次数 服从二项分布。A X

二项分布满足分布律的两个基本性质（各种离散型分布的分布律都满足这两个性质，以后不再叙述）：

(1) 0kp (2) 1kp

二项分布是一类相当重要的分布，它在产品抽样（有放回抽样）分析等概率问题中有广泛应用。

从分布律可以推出当 为整数时，在 取值( 1)n p( 1)k n p ( 1) 1k n p

( 1)k n p

( 1)k n p

X

和 时概率最大，而 为非整数时，取 [ ] 时概率最大。

例 2-3 某批产品的次品率为 0.2 ，先从中任取 20 只（放回）。问恰好取得 k 只次品的概率？

解：设抽取次品的次数为 ，则 ，即~ (20 0.2)X B ，X

2020 0.2 (1 0.2)k k kP X k C 0 1 2 20k ，，， ，

将计算结果列表和用图形显示如下：

x

kp

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.0120.0580.1370.205 0.218 0.1750.1090.0550.0220.0070.002<0.001

2 4 6 8 100

0.22

x

图 2-1 二项分布

例 2-4 某人射击，命中率为 0.001 ，独立射击 5000 次，求至少 2

次击中目标的概率。

解 将每次射击看成是一次试验，这是一个 5000 重的贝努利试验。设击中目标的次数为 ，则 ，即~ (5000 0.001)X B ，X

50005000 0.001 (1 0.001)k k kP X k C 0 1 2 5000k ，，， ，

所求概率为：

2 1 0 1 0.9596P X P X P X

这个例子让我们了解道：虽然一个事件在一次试验中发生的

概率很小（ 0.001 ），但只要试验独立重复的次数很多（ 5000 ），

例 2-5 一汽车行驶要经过 4 个路口，每个路口设有红绿灯，假设各路口信号灯独立工作且每个路口红绿灯显示时间相等。

用 X 表示汽车未遇红灯而通过的路口数， Y 表示在遇到第一个红灯之前通过的路口数。求 和 分布律。X Y

解：根据题意1

~ (4 )2

X B ， 0 1 2 3 4X取值 ，，，，

4 4

4 4

1 1 11

2 2 2

k kk kP X k C C

那么这一事件的发生几乎是肯定的（ 0.9596 ）。说明不能轻视小

概率事件。

0 1 2 3 4Y取值 ，，，， 0 1 2 3k 当 ，，，时

1

1 1 11

2 2 2

k k

P Y k

Y

kp

0 1 2 3 4

1/2 1/4 1/8 1/16 1/16

4k 当 1 43

0

1 14 1

2 2

k

k

P Y

X

kp

0 1 2 3 4

1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

3 ．泊松分布（ Poisson ）分布

定义 2-8 如果随机变量 可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ，…，且X

!

k

P X k ek

泊松分布是一种描述大量试验中稀有事件出现的频数的概率模型。泊松分布的图形特点：

，图形向右下倾斜， 时，先增后减，增得快减得1 1

慢， 越大越趋于对称；

（其中 ，常数）那么称随机变量 服从参数为 的泊松分布，0 X

记作 （也有教材记作 )~ ( )X P ~ ( )X

例２ -６　已知一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为 4 的泊松分布，求 :

1) 每分钟恰有 8 次呼叫的概率；

2) 每分钟呼叫次数大于 8 的概率。

解：

2 ）

8

448 0.02977

8!P X e 1 ）

8 1 8 1 0.97864 0.02136P X P X

利用泊松分布表，这里的 就可用 计算。( 8)P X ( 8) ( 7)P X P X

从分布律可以推出当 为整数时， 和 处概率最k 1k

大，而 为非整数时， 处概率最大。[ ]k

1 2 1[(1 )(1 ) (1 )](1 ) (1 )

!

kn kk

k n n n n n

*3. 泊松定理

设随机变量序列 服从二项分布，分布律为 1 2 3nX n ，，，

(1 )k k n kn n n nP X k C p p 0 1 2k n ，，， ，

!limk

nn

P X k ek

0 1 2k n ，，， ，

0nnp 又设 为常数，那么

证明 ： (1 )k k n kn n n nP x k C p p

( 1) ( 1)( ) (1 )

!k n kn n n k

k n n

由于对于固定的 ，k1 2 1

(1 )(1 ) (1 ) 1k

n n n

且已知 nnp

所以 (1 )!limk

k k n kn n n

n

C p p ek

实际应用时，当 n很大而 p较小时，使用下面的近似公式

(1 )!

kk k n knC p p e

k

例２ -7 设一个纺织工人照看 800 个纱锭，在某个时间段内每个纱锭断头的概率为 0.005 ，求该时间段内：

1 ）最大可能的断头数； 2 ）断头数不超过 10 的概率。解：设 表示断头数，则 ~ (800 0.005)X B ，X

2 ） ，根据泊松定理： 近似服从 ，800 0.005 4np

1 ）由于 ，所以最大可能的断头数为 4 ；[( 1) ] 4n p

X (4)P

查表得到：

104

0

410 0.9972

!

k

k

P X ek

*4 ．几何分布

定义 2-9 如果在一次试验中只考虑某事件 出现或不出现，

设 ，做独立重复试验直到事件出现为止。 ( ) 0 1P A p p

那么试验次数 是一个离散型随机变量，它可能取的值是1 ， 2 ，…，其概率分布为：

X

A

1(1 )kP X k p p 1 2k ，，

称 服从参数为 p 的几何分布，记作X ~ ( )X G p

例２ -8 某种彩票中奖的概率为 0.0002 ，某人欲购买该种彩票直到中奖为止。求此人购买彩票的次数的分布律。

解：设购买彩票的次数为 ，则 是一个随机变量， 取值X X X

0 1 2 ，，， 且~ (0.0002)X G

10.0002 1 0.0002

kP Y k

( 0 1 2 )k ，，，

在放回的抽样中，摸球直到摸出某种球为止，摸球的次数；射击直到击中为止，射击的次数；抽取产品直道抽到某类产品为止，抽样的次数等都是服从几何分布。

*5 ．超几何分布

所有可能取的值是 0 ， 1 ，…，　　　　，其概率分布为

定义 2-10 设一批产品共　件，其中　件次品，现从中任取N M n

件　　　，则此 n 件产品中的次品数　是一个离散型随机变量， n N X

X min( )n M，

0 1 2 min( )k n M ，，， ， ， k n kM N M

nN

C CP X k

C

称　服从参数为　，　，的超几何分布，记作X MN n ~ ( )X H n N M， ，

例２ -9 一批产品共 2000 个，其中有 40 个次品，随机抽取 100 个

样品。求下列两种抽样方式下样品中次品数 的分布律：X

（ 1 ）不放回抽样 （ 2 ）放回抽样

解：（ 1 ） 100

40 19601002000

k kC CP X k

C

0 1 2 40k ，，， ，

（ 2 ） 400.02

2000p ~ (100 )X B p，

100100 0.02 0.98k k kP X k C 0 1 2 100k ，，， ，

不放回抽样和放回抽样不仅概率分布不同，而且可能取值的范围也有可能不同。

自测题 2.2.1

1. 填空题：1 2k N ，， ，（ 1 ）设离散型随机变量 的分布律为 ， ，{ }

aP X k

N

a

X

那么 ；（ 2 ）某射手连续向目标射击 200 次，每次命中率都是 0.8 ，则击

中目标的次数 服从 ，其分布律 = ；X { }P X k

（ 4 ）设随机变量 服从参数为 的泊松分布，且X { 1}P X

{ 4}P X { 2}P X 那么 。

（ 3 ）一射手连续向目标射击直到击中为止，如果每次射击命中率都是 0.8 ，用 表示射击的次数，那么 ；{ 3}P X X

2. 设离散型随机变量 的分布律为X { }10

kP X k , 1 2 3 4k ，，，

1 5{ }

2 2P X 求

3. 已知离散型随机变量 的分布律为X

X

kp

-1 0 1 2

0.1 0.3 0.4 0.2

求其分布函数。4. 已知离散型随机变量 的分布函数为：X

0 1

0.2 1 0( )

0.7 0 1

1 1

x

xF x

x

x

求其分布律。

5. 设 10 件产品中含有 3 件次品，现从中连续抽取产品作不放回抽样，每次抽取一件直到取得正品为止。求抽取产品的次

数的分布律和分布函数。6. 一段公路上某个时段有大量汽车通行，假设每辆汽车在该时段的事故率为 0.0001 且每辆汽车是否发生事故互不影响。在该时段内如果有 1000辆汽车通过时，不发生事故的概率为多少？事故发生不超过 1 次的概率是多少？

自测题 2.2.2

1. 从次品率为 0.1 的一批产品中随机抽取 20 件检查，求抽取的产品中次品率不大于 0.15 的概率。

2. 盒子中装有红球 8 个白球 2 个，从中随机取出一球，如果是红球就将该球换一个白球放回袋中，直到取到白球为止。

求取球次数的分布律。3. 为了保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人。现有同型的设备 400台，相互独立工作，每台故障率为 0.01 。通

常情况下一台设备发生故障只需一人处理。问需要配备多少维修工人才能保证设备发生故障时不能及时维修的概率小于

0.01？

4. 设某地在一周内发生交通事故的次数服从参数为 0.3 的泊松分布，试求：

(1) 在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率；

(2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率。

2.3 连续型随机变量

2.3.1 定义和性质

( ) ( )x

F x f t dt

定义 2-11 对于随机变量 的分布函数 ，如果存在非负的X ( )F x

( )f x x函数 ，使对于任意的实数 有

X ( )f x则称 为连续型随机变量，称函数 为的概率密度函数，简称概率密度或密度。

由定义可知函数 是连续函数，它的图形位于直线( )F x

0 1y y 与 之间的单调上升的连续曲线，如图 2.3 所示

F x

1

2 3图 分布函数

x

f x

x1x 2x

2 4图 密度函数

密度函数的 值并非随机变量 在 处的概率值，但它( )f x xX

的大小能反应随机变量 落在该处附近概率的大小。 X

概率密度函数及分布函数的性质（ 1 ）非负性： ( ) 0f x

( ) 1f x dx

（ 2 ）规范性：

性质（ 1 ），（ 2 ）是 为概率密度的充要条件。( )f x

（ 3 ） 2

11 2 1 2( ) ( ) ( )

x

xP x X x F x F x f x dx

（ 4 ）若 在点 处连续，则有( )f x x ( ) ( )F x f x

能事件，但有 ，因此有：对于连续型随机变量 来说，虽然 不一定是不可X X a

0P X a

1 2 1 2 1 2 1 2P x X x P x X x P x X x P x X x

2.3.2 连续型随机变量的分布函数举例

例２ -11 设连续型随机变量的分布函数为

0( )

00

x xA BeF x

x

解： 1 ） 根据分布函数的性质 1 ( ) lim ( )x

xF A Be A

0lim ( ) (0) 0x

F x F A B

解得 1,A 1B

01( )

00

x xeF x

x

即

2 ） 1 1 (1) ( 1) (1 ) 0 1P X F F e e

3 ）　由于　　　　　，所以( ) ( )f x F x

0( )

00

x xef x

x

( )f x

求 1 ）常数 的值；,A B 2) 1 1P X

3) 的密度函数 。X

例 2-12　已知 的概率密度X

sin 0( )

0

A x xf x

其它求 1) 常数 ；A

2) 分布函数 ；( )F x

3) 04

P X

解： 1 ）　0

11 ( ) sin 2

2f x dx A xdx A A

0 x 时，

2 ） 时，0x ( ) 0F x P X x

0

0

1 1( ) ( ) 0 sin (1 sin )

2 2

x xF x f t dt dt tdt x

x 时，0

0

1( ) ( ) 0 sin 0 1

2

xF x f t dt dt tdt dt

即

00

1( ) (1 sin ) 0

21

x

F x x x

x

3 ）　 2 20 ( ) (0)

4 4 4P X F F

此概率也可以用概率密度函数计算得到。

2.3.3 常见的连续型分布

1 ．均匀分布（ uniformly distribution ）

定义 2-12 设连续型随机变量 的概率密度为X

1a b

( )

0

xf x b a

其它

则称 在区间 上服从均匀分布，记作 。X ( )a b， ~ ( )X U a b，

其分布函数为0

( )

1

x a

x aF x a x b

b ax b

a b

1

b a

f x

x

图２－６均匀分布的密度函数

a b

F x

x

1

图２－７均匀分布的分布函数

直观上，均匀分布可以理解为向区间　　　上随机投点，( )a b，

( )a b，

或者质点在区间　　　上作匀速直线运动，点（质点）的坐标X 的分布。

例２ -13 甲、乙、丙三人分别独立地等候 1 ， 2 ， 3路公共汽车，每人等车时间都服从 [0 ， 5] 上的均匀分布。

求至少有二人等车时间不超过 2 分钟的概率。

解：设任意一人等候公共汽车的时间为 ，则 ，X

p

~ [0 5]X U ，

22

5p P X

记任意一人等候公共汽车时间不超过 2 分钟的概率为 ，那么

设等车人数为 ，则 ，至少有二人等车时间不Y ~ (3 )Y B p，

超过 2 分钟的概率为

2 1 0 1 0.352P Y P Y P Y

0( )

0 0

xe xf x

x

2 ．指数分布（ exponential distribution ）

定义 2-13 设随机变量的概率密度为

其中 为常数，则称 服从参数为 的指数分布，0 X

~ ( )X E 记为

的分布函数为X

1 0( )

0 0

xe xF x

x

* 指数分布有一个有趣的性质，称为“无记忆性”：

|P X s t X s P X s t

P X s t X sP X s P X s

，

( )x s t

ts tsx

s

e dx ee P X t

ee dx

若视 为寿命，则这一性质表示，在寿命已达 s年的条件X

下，再活 t年的概率与已有的寿命无关。若视 为某系统接连X

发生两次故障的时间间隔，此性质表明，在时段（ s, s+t ）上

例 2-14 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 （以分计）服X

从指数分布，其概率密度为

510

( ) 50 0

x

X

e xf x

x

某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开，他一个月要到银行 5 次，如果以 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的

次数，写出 的分布律，并求 。Y 1P Y

Y

无故障的概率只与时段的长度 t 有关，而与系统过去无故障工

作的时间 s无关，所以，这一性质叫“无记忆性”。

解：设任意一次未等到服务（即超过 10 分钟）而离开窗口的概率为 ，则p

25

10 10

110 ( )

5

x

xp P X f x dx e dx e

Y而 ，故 的分布律为 ~ (5 )Y B p，

, 1, 2,3, 4,5k 2 2 55{ } (1 )k k kP Y k C e e

所以 1 1 0 0.5167P Y P Y

本例和上面例 2-13 相似，只不过是上例子中利用均匀分布求出二项分布的参数 p ，而本例中利用指数分布求出。

3 ．正态分布（ normal distribution ）

定义 2-14 设随机变量的概率密度为

, x R2

2

( )

21( )

2

x

f x e

其中 。则称 服从参数 为 ， 的正态分布，记作 ，X 2~ ( )X ，

0

在实际问题中，大量的随机变量服从或近似服从正态分布，例如人的身高，体重，农作物的收获量等都可以认为服从正态分布。正态分布是概率统计中最重要的一种分布，尤其在误差理论中（测量误差，系统误差等）正态分布是最基本的分布。

正态分布的概率密度 的性质（图 2-8 ） f x

（ 1 ） 密度曲线 以 为对称轴，即 f x x

0 ( ) ( )h p h x p x h 有1

( )2

f

（ 2 ） 密度函数 在 处达到最大值 ，( )f x x x 离

越远值越小，表明对于同样长度的区间，当区间离 越远时， 落在这个区间上的概率越小。

X

（ 3 ） 位于 轴上方，以 轴为渐近线，即 ( )f x lim ( ) 0x

f x

x x

（ 4 ） 的图形依赖于两个参数 ：( )f x 和

动而不改变形状，故 称为 的位置参数；( )f x

若固定 的值改变 的值，则 的图形沿着 轴平行移 x( )f x

随 的增大而减小。故称 为 的形状参数（图 2-9 ）。

若固定 的值改变 的值，由于最大值为 ，

1( )

2f

( )f x

可知当 越小时， 越大， 的图形越尖陡；当 越大时，

( )f

( )f

( )f x

越小， 的图形越低平。因而， 落在 附近的概率( )f x X

h h

f x

x

2 8图 正态分布

2 323

2 9 图 标准正态分布及3 法则

标准正态分布定义 2-15 当 时，即密度函数为0, 1

2

21

( )2

x

x e x R

称 服从标准正态分布，记作 。~ (0 1)X N ，X

其分布函数为2

21

( )2

tx

x e dt

标准正态分布的性质：（ 1 ） 1

(0)2

（ 2 ） ( ) ( ), ( ) 1 ( )x x x x

~ (0 1)X

N

，（ 3 ） 若 ，则2~ ( )X ，

性质（ 3 ）非常重要，它表明任何正态分布都可转化为标

准正态分布来计算，而标准正态分布可以查表。性质（ 3 ）还可以用分布函数的形式表达：

( )x

F x

例２ -15 设 ，求~ (1.5 4)X ，

1 ） 3.5P X

2 ） 3P X

解： 1 ） 3.5 1.53.5 (3.5) (1) 0.8413

2P X F

(0.75) ( 2.25) (0.75) 1 (2.25) 0.7612

2 ） 3 (3) ( 3)P X F F

例 2-16 已知 , 求2~ ( )X ， ( ) ,P X k k 其中k， =1, 2, 3

( ) ( ) ( )P X k k F k F k ，

( ) ( ) 2 ( ) 1k k k

解：

查表得

(| | ) 0.6826P X

(| | 2 ) 0.9544P X

(| | 3 ) 0.9973P X

计算结果表明正态随机变量几乎以概率 1 落在区间( 3 3 ) ， 内，称为 法则。3

例 2-17 已知某班有 38名同学，《高等数学》期末考试成绩2~ (83 12 )X N ，，某同学考试成绩为 95 ，试推测他的排名。

解： 先求出超过 95 分的同学的概率，再根据这个值推测人数。

95 1 95 1 (95)P X P X F

95 831 1 1 0.1587

12

38 0.1587 6.0306

表明超过 95 分的有 6 人，推测他排在第 6名以后。

自测题 2.3.1

1.填空：

则 ；

(1) 设连续型随机变量 的概率密度函数 ，2 0 1

( )0

x xf x

其它

( 0.5)P X

X

(2) 设连续型随机变量 ，那么 = ，~ (1)X E 0P X

4P X = ；(3) 设连续型随机变量 ，且 ，；~ (1 4)X N ， P X c P X c

则常数 =___＿ _____ ；c

1 0 2( )

0

kx xf x

其它k

(4) 设连续型随机变量 的概率密度函数，X

则 = 。

2. 一条毛毛虫在线段 上作匀速往返运动，求：[0 20]，

(1) 毛毛虫的运动位置 的分布函数X

(2) 它位于线段 的概率；[5 10]，

(3) 位于刻度 5处的概率。3. 设连续型随机变量 ，求概率 和2~ (3 2 )X N ， 4 10P X

2P X 。

4. 已知随机变量的密度函数

0.5 0 2( )

0

x xf x

其它

且 ，求 。 0.5P X a

X5. 连续型随机变量 的分布函数 ，( ) ( )1 x

AF x x

e

求 : (1) 常数 ；(2) 的概率密度函数 。X ( )f x

A

X6. 设连续型随机变量 的分布函数1 0

( )0 0

xe xF x

x

(1) 的概率密度函数 ；X ( )f x

(2) 概率 1 3P X P X 和

7. 设连续型随机变量 的密度函数X

8. 设连续型随机变量 的密度函数X

(0 2)( )

0 (0 2)

Ax xf x

x

，，

(1) 常数 ；

( )F x(2) 的分布函数 ；

(3) 概率 。 1P X

A

X

求 :

a1

0 2( ) 2

0

x xf x

其它

且 ，求 。 1

2P X a

自测题 2.3.2

1. 已知连续型随机变量 的概率密度函数 ， 0( )

0 0

kxsx xf x

x

k s

X

则 和 满足关系 _______ 。2. 设随机变量 的密度函数X

0.2 [1 ]( )

0

x af x

，其它

求：a(1) 常数 ；

(2) 概率 ；

(3) 概率 ；

{0 2}P X

{3 }P X a

3. 设连续型随机变量 ， 2~ (10 2 )X N ，

（ 2 ）若 ， ，求 。

（ 1 ）求 ； 13 10 2P X P X 和

10 0.95P X c 0.0668P X d c d和

4. 设某种电池的寿命 ，求：2~ (300 35 )X N ，

(1) 电池寿命在 250 小时以上的概率；(2) 求 ，使得寿命在 与 之间的概率不小于 0.9 。300 x300 xx

5. 设随机变量 的分布函数：X

0 1

( ) ln 1

1

x

F x x x e

x e

1P X e求下面的概率： （ 1 ） 2P X （ 2 ） （ 3 ） 0.5 1.5P X

6. 设连续型随机变量 的密度函数X

cos( ) 2

0

A x xf x

其它

7. 设连续型随机变量 的密度函数X

0 1

( ) 2 1 2

0

x x

f x x x

其它

试求：(1) 其分布函数并作出图形。

(2) 概率 。 0.5 1.5P X

（ 1 ）常数 ；（ 2 ） 的分布函数 ；

A

X ( )F x

(3) 概率 。 1sin

2P X

求求

记 ，那么 k kp P X x

( )Y g X如果 是一个离散型随机变量，则 也是一个离散X

型随机变量。设 的分布律为X

( )k ky g x

2.4 随机变量的函数的分布若 是一个随机变量， 是一个实函数，则 也( )g x ( )Y g XX

是一个随机变量。根据随机变量 的分布可以求出随机变量X Y

的分布。2.4.1 离散型随机变量的函数的分布

1) 当 各不相同时 ,ky k kP Y y P X x

即： 。 k iP Y y P X x 取相同值的全部 对应的概率值之和，ixY

2) 当有几个 使得 时，那么 的概率为使得( )k iy g xkY yix

例 2-18 已知 的分布律X

X

kp

0 1 2 3 4 51

12

1

6

1

3

2

9

1

12

1

9

求　　　　和　　　　　的分布律。2 1Y X 2( 2)Z X

解 先求对应的　和　的所有可能取值Y Z

X 0 1 2 3 4 5

kp 1 3 5 97 11

Z 4 1 0 41 9

再求 取值 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 时对应得概率和 取值 0 ，Y Z

1 ， 4 ， 9 时对应的概率。每一个不同 的对应不同 的值，因此X Y

Y

kP Y y

0 1 2 3 4 51

12

1

6

1

3

2

9

1

12

1

9

有 2 个 的值使得 取值 1 ，因此X Z

1 1 11 1 3

6 3 12P Z P X P X

同理可得 114

36P Z

Z

kP Z z

0 1 4 91

3

1

4

11

36

1

9

2.4.2 连续型随机变量的函数的分布

如果 是一个连续型随机变量， 是一个连续实函数，( )g x

( )Y g X

( )Xf x( )Y g X

X

则 也是一个连续型随机变量。设 的概率密度为 ，X

则 的分布函数为

( )

( ) ( ) ( )Y X

g x y

F y P Y y P g X y f x dx

例 2-19 设 的概率密度为X

0 4( ) 8

0X

xx

f x 其它

求　　　　 的概率密度。2 8Y X

解：由于 ，所以当 时， 。此时2 8y x 0 4x 8 16y

8 8( ) 2 8

2 2Y X

y yF y P Y y P X y P X F

利用复合函数的导数8 8 8 8

( ) ( )2 2 2 32Y Y X

X yy

y y y yf y F y F f

也可以用密度函数的积分来表示，然后利用变上限积分的导数来计算

8

21 8 8 8

8 ( ) ( )2 2 2 32

y

X Y Xy

y y yP X y f x dx f y f

当时 ， ，此时 ，(0 4)x ， (8 16)y ， ( ) 0Xf x ( ) 0Yf y

因此 的概率密度为2 8Y X

88 16

( ) 320

Y

yy

f y

其它

X

这样求出 的分布，称为分布函数法。其关键在于将关于Y

的不等式 转化为关于的不等式（解不等式），再根据Y Y y

的已知分布求出 的分布。这里要注意的一个问题是：任何密Y

度函数的定义域都为全体实数，那么由两个随机变量的关系函数 和已知的密度函数 （多为分段函数）将定义域( )Y g X ( )Xf x

划分为不同区间。本例中，当 时， 。0 4x 8 16y 8 16y

就是由函数 和 确定。下例 2-21 中， 和2 8Y X ( )Xf x 0y 0y

就是由 及 共同确定。2Y X ( )Xf x

当 为单调函数时，可直接由下面的定理计算，但( )Y g X

当它不单调时，不可以用此定理（例 2-20 ）

[ ( )] ( )( )

0X

Y

f h y h y yf y

其它

( )x h y

定理 设 为连续型随机变量，概率密度为 ，函数( )Xf x ( )y g x

( )Y g X

X

严格单调且其反函数 具有连续导数，则连续型随机变量的概率密度为

min ( )g max ( )g 其中： ， 。证明（略，用分布函数法）

例 2-20 设随机变量的概率密度为23 0 1

( )0

X

x xf x

其它

求 的概率密度。2 3Y X

解：由于 ，反函数 的导数 ，由定理2 3y x 1( 3)

2x y

1

2yx

中的公式得到：

2 23 1 33[( ) ] ( 3) 3 5

( ) 2 2 80

Y

yy y

f y

其它

2y x

应用公式时一定要注意条件： 严格单调且其反函数( )y g x

( )x h y 具有连续导数！不合条件的不用。下面的例子 中不是单调函数不可用。

10

2( )

0 0

X X

Y

f y f y yyf y

y

解：由于 ，所以当 ；2Y X 0 , ( ) 0Yy f y 时

例 2-21 设 的概率密度为 ， 。求 的概率密度。2Y X( )Xf x x RX

当 时0y

2( )YF y P Y y P X y P y X y

X XF y F y

( ) ( )Y Y X Xy

f y F y F y F y

1

2X Xf y f y

y

即

自测题 2.4.1

X1. 已知离散型随机变量 的分布律为

0 1~

0.5 0.5X

求： 及 的分布律。2 1Y X 2Z X

X2. 已知离散型随机变量 的分布律为：1 0 1

~0.25 0.5 0.25

X

求： 及 的分布律。Y X 21Z X

3. 设随机变量 ，求： 的概率密度。2 1Y X ~ (0 1)X U ，

X4. 连续型随机变量 的密度函数

2 0 1( )

0

x xf x

其它

求： 及 的概率密度。3 1Y X 2Z X

X5. 已知设连续型随机变量 的密度函数

0( )

0

xe xf x

其它

试求：　的概率密度。2X

自测题 2.4.2

2. 设随机变量 ，求 的概率密度。~ (1 2)X U ， 2XY e

3. 设随机变量 ，试求： 的概率密度。~ (0 1)X N ， Y X

4. 设随机变量 ，求： 的概率密度。~ (0 1)X U ， ln 2Y X

1. 根据下表给出的圆半径 的测量值的分布律，求出圆周长R

和面积的分布律。C

kP

10 1211 13

0.20.30.40.1

测试题 2.1

一、填空题：1 ．设随机变量 的分布律为 ，X { }

1

CP X k

k

则常数 =_______.

1,2,3k

C

2 ．设随机变量 可能取值为 1 ， 2 ， 3 ，其分布律为X

那么 ________.{ 1} 0.1P X , { 2} 0.2,P X {1 3}P X

2P X 3 ．设随机变量 服从参数为的泊松分布，且X

，则 = _________ ； 3P X

k

4 ．设连续型随机变量 的概率密度函数X

则 =__________ ；

0( )

0 0

kxx xf x

x

5 ．若 ，则 _________.2~ (2 2 )X N ， 2 ~Y X

二、计算题

1 ．设随机变量的概率密度2 1

( )0

Ax xf x

其它

求 :(1) 常数 ；A

(2) 的分布函数 ；X ( )F x

(3) 概率 。 1

2P X

3 ．设随机变量 的概率密度为：X

44 0( )

0 0

xe xf x

x

求 的概率密度。XY e

三、应用题

1 ．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的 2倍，三级品是二级品的一半，丛这批产品中随机抽取一件进行检测，试用随机变量描述检测的结果，并求出其分布律。

2 ．一间教室有 4盏 40W日光灯，假设每盏灯开灯的概率为0.6 ，求下面事件的概率：

3 ．测量球的直径并计算球的体积。设直径的测量值服从 a b，

均匀分布，求体积的计算值的概率密度。

四、证明题

X设随机变量 服从参数为 2 的指数分布 ,

证明： 在区间上服从均匀分布。21 XY e

（ 1 ）只有 1盏灯在使用；（ 2 ）至少有 3盏灯在使用。

测试题 2.2

1. 盒子中装有编号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 5 个球，现从中任取 3 个，求取出的 3 个球中的最大号码 的分布律。X

2. 设事件 在一次试验中发生的概率为 0.3 ，当 发生不少于A

三次时，指示灯发出信号。求进行 5 次独立试验指示灯发出信号的概率。

3. 有甲乙二人投篮的命中率分别为 0.6 ， 0.7 ，今各投三球，试求：

(1) 两人投中次数相等的概率；

(2) 甲比乙投中次数多的概率。

4. 有甲乙两种味道和颜色极为相似的名酒各 4杯，如果从中挑选 4杯能将甲种酒全部挑出，算是成功一次。问：

(1) 如果随机地选择 4杯，能够成功一次的概率是多少？

(2) 某人通过品尝，在连续 10 次独立试验中成功了 3 次，问他是否有辨别能力？

5. 随机变量 的分布函数 ， 求：X ( ) arctanF x A B x x R

(3) 的概率密度。X

(1) 参数 ；,A B

{ 1}P x (2) 概率 ；

2~ (170 6 )X N ，

6. 公共汽车的车门高度按男子与车门碰头的概率在 0.01 以下设计，假设男子身高 （单位： cm ）问车门的高 度如何设计？

7. 甲乙丙三人独立地等候 1 ， 2 ， 3路公共汽车，假设公汽每 5 分

钟一班，求至少有 2 人等候公汽不超过 2 分钟的概率。

8. 设 ，求方程 有实根的概率。~ (0 5)K U ， 24 4 2 0x Kx K

9. 如果某品牌电视机能正常使用的年数 ，某人购买~ (0.1)X E

使用了 5年的该品牌旧电视机，问这台电视机还能正常使用5年的概率。

10. 某种型号的电子管寿命 （单位：小时）的概率密度为X

2

10001000

( )0

xf x x

其它

现从一批该种元件中任取 5 只，问其中至少有 2 只的寿命大于 1500 小时的概率是多少？

11. 设随机变量的概率密度为

2

20

( )0

xx

f x

其它

求 的概率密度。sinY X

1/ 2 1 0

( ) 1/ 4 0 2

0

x

f x x

其它

12. 随机变量 的概率密度为X

2Y X求 的分布函数和概率密度。

小 结本章在建立随机变量的基础上 , 讨论了随机变量的概率分布

问题。

随机变量 是定义在样本空间 上的实值单值函数 . X X

随机变量的建立 , 使得试验的任一事件都可用随机变量在一定范围内的取值来表示。

根据随机变量的取值特点 , 可将其分为离散型随机变量和非离散型随机变量 . 而随机变量的分布函数 ,F x P X x

x 可用于描述任何类型的随机变量的分布 ,若已知分布函数 , 可计算出有关事件的概率。

由于离散型随机变量只取有限或可列无穷多个值 , 因此用分布律

, 1, 2,3,k kP X x p k

或写成X 1x

kp

2x kx

1p 2p kp

( 这里 ) 来描述其概率分布情况 ,显然更为直观和1

0, 1k kk

p p

简洁 . 常用的离散型随机变量的分布有 0-1 分布、二项分布和泊松分布 , 要记住这些分布的分布律、性质 ,并会利用这些分布计

算有关事件的概率。

连续型随机变量的分布函数可写成

,x

x f t dt x

因此我们必须理解连续型随机变量的分布函数和概率函数之间

f x

其中非负函数 为概率密度函数 , 由于 所具有的特点和性 f x f x

质 , 使得用 描述随机变量的分布函数描述更为直观和方便 ,

关系 , 理解和掌握概率密度函数的概念和性质 ,并能利用它求有关

事件的概率的 . 常见的连续型随机变量的分布有均匀分布、指数分布、正态分布 , 应记住这些随机变量的概率密度函数表达式及分布趋向图形 ,并会利用它们计算有关事件的概率。

随机变量 的函数 也是一个随机变量 , 掌握由随机 X Y g x

变量 的分布求其函数 的分布的方法。X Y g x