例 1. 已知：如图，△ ABC 中， P 是 AB 边上的一点，连结 CP ．满足一个什么条件时△ ACP A∽△BC ． 解 : A= A⑴∵∠ ∠ ，∴当∠ 1= ACB ∠ （或∠ 2= ∠

B ）时，△ ACP ABC ∽△ A

P

B C

12

1 、条件探索型

答：当∠ 1= ACB ∠ 或∠ 2= B ∠ 或 AC:AP ＝ AB:AC时 , ACP ABC.△ ∽△

⑵∵∠A= A∠ ，∴当 AC:AP ＝ AB:AC 时， △ ACP ABC∽△

请问：

ΔABC 与 的相似比是多少？

ΔABC 与 的周长比是多少 ? 面积比是多少？

4×4正方形网格

看一看：

ΔABC 与 有什么关系？ 为什么？

（相似）

√2

2

▲ 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

√2

A B

C

A’

C’B’2

5

1

210

2

▲ 对应角相等，对应边成比例▲ 对应角平分线、对应中线、对应高线之比都等于相似比。

A B C

A B C

A B C

某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为 100 平方米，周长为 80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边 AB 的长由原来的 30 米缩短成 18 米 . 现在的问题是 : 被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？

D E

30m

18m

BC

A

例 2. 将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来 .

解：有相似三角形，它们是：△ADE BAE, BAE CD∽△ △ ∽△A ，△ ADE CDA∽△ （ △ ADE BAE CDA∽△ ∽△ ）

2 、结论探索型

C

A

B DE

G

F

１ 2

µÈÑüÖ±½ÇÈý½ÇÐÎ.gsp

一 . 填空、选择题 :1 、如图， DE∥BC, AD:DB=2:3,

则△ AED 和△ ABC

的相似比为＿＿＿ .

A

B C

D E

2:5

5

2cm

2 、 已知三角形甲各边的比为 3:4:6 ， 和它相似的三角形乙的最大边为 10cm ，则三角形乙的最短边为 ______cm.

3 、等腰三角形 ABC 的腰长为 18cm ，底边长为 6cm, 在腰 AC 上取点 D, 使△ ABC ∽△BDC, 则 DC=______.

4. 如图，△ ADE∽ △ACB,

则 DE:BC=_____ 。

5. 如图， D 是△ ABC 一边 BC

上一点，连接 AD, 使 △ ABC ∽ △DBA 的条件是（ ） .

A. AC:BC=AD:BD

B. AC:BC=AB:AD

C. AB2=CD·BC

D. AB2=BD·BC

6. D 、 E 分别为△ ABC 的 AB 、 AC 上

的点，且 DE∥BC ，∠ DCB= ∠ A ，

把每两个相似的三角形称为一组，那

么图中共有相似三角形 _______ 组。

D

A

CB

A

CB

DE

2

7

3

3

1:3

D

4

A

B

ED

C

二、证明题：1. D 为△ ABC 中 AB 边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. 求证： AC2=AD·AB.2. △ABC 中 ,∠ BAC 是直角，过斜 边中点 M 而垂直于斜边 BC 的直线 交 CA 的延长线于 E ，交 AB 于 D ， 连 AM. 求证：① △ MAD ∽ △ MEA ② AM2=MD · ME

EA

B C

D

M

A B

C

D

例 3 、如图，已知： AB DB⊥ 于点 B ， CD D⊥B 于点 D ， AB=6 ， CD=4 ， BD=14.

问：在 DB 上是否存在 P 点，使以 C 、 D 、 P为顶点的三角形与以 P 、 B 、 A 为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点 P 的位置；如果不存在，请说明理由。

46

14

A

D

C

B

解（ 1 ）假设存在这样的点 P ，使△ ABP C∽△DP

设 PD=x ，则 PB=14―x ，∴6 ： 4= （ 14―x ） :x

则有 AB:CD=PB:PD

∴x=5.6

P

6

x 14―x

4

A

D

C

B

P（ 2 ）假设存在这样的点 P, 使△ ABP PDC,∽△则 则有 AB:PD=PB:CD

设 PD=x ，则 PB=14―x ，∴6 ： x = （ 14―x ） : 4

∴x=2 或x=12∴x=2 或 x=12 或 x=5.6 时，以 C 、 D 、 P 为顶点

的三角形与以 P 、 B 、 A 为顶点的三角形相似

4

6

x 14―xD B

C

A

p

巩固提高： 在∆ ABC 中， AB=8cm,BC=16cm, 点 P 从点A 开始沿 AB 边向 B 点以 2cm/ 秒的速度移动，点 Q 从点B 开始沿 BC 向点 C 以 4cm/ 秒的速度移动，如果 P 、 Q分别从 A 、 B 同时出发，经几秒钟∆ BPQ 与∆ BAC 相似？

分析：由于∆ PBQ与∆ ABC有公共角∠ B；所以若∆ PBQ与∆ ABC相似，则有两种可能一种情况为 ,即 PQ AC;∥ 另一种情况为

CB

QB

AB

PB

AB

QB

CB

PB

B

CA

QP8

16

2cm/秒

4cm/秒

1.

解 : DE BC∵ ∥ ∴△ADE ABC∽△ ∵AD:DB=2:3 ∴DB:AD=3:2 ∴(DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 ∴AD:AB=2:5 即△ ADE 与△ ABC 的相似比为 2:5

A

B C

D E

如图， DE BC, AD∥ :DB=2:3, 则△ AED

和△ ABC 的相似比为＿＿＿ .

2. 已知三角形甲各边的比为 3:4:6 ， 和它相似的三角形乙

的最大边为 10cm ， 则三角形乙的最短边为 ______cm.

D E

FA B

C解 : 设三角形甲为△ ABC ，三角

形乙为 △ DEF ，且△ DEF 的最大

边为 DE ，最短边为 EF

∵△DEF ABC∽△

∴ DE:EF=6:3

即 10:EF=6:3

∴ EF=5cm

3. 等腰三角形 ABC 的腰长为 18cm ，底边长为 6cm, 在

腰 AC 上取点 D, 使△ ABC BDC, ∽△ 则 DC=______.

A

B C

D

解 : ABC BDC∵△ ∽△

∴

即

∴ DC=2cm

186 =

6DC

ACBC =

BCDC

4.

A

B C

D

E

3

3

2

7 AEAB =

ADAC =

13

解 : ADE ACB∵△ ∽△

且

∴

如图，△ ADE ACB, ∽△ 则 DE:BC=_____ 。

DEBC =

AEAB =

13

6. D 、 E 分别为△ ABC 的 AB 、 AC 上的点， DE∥BC ，

∠DCB= A∠ ，把每两个相似的三角形称为一组，

那么图中共有相似三角形 _______ 组。A

B

ED

C

解 : DE BC∵ ∥ ∴∠ADE= B,∠ ∠EDC= DCB= A∠ ∠① ∵ DE BC∥ ∴△ADE ABC ∽△② ∵∠A= DCB, ADE= B∠ ∠ ∠ ∴△ADE CBD∽△③ ∵△ADE ABC ∽△ △ADE CBD∽△ ∴△ABC CBD∽△

④ ∵∠DCA= DCE, A= EDC∠ ∠ ∠ ∴△ADC DEC∽△

1. D 为△ ABC 中 AB 边上一点，∠ ACD= AB∠C.

求证： AC2=AD·AB 分析 : 要证明 AC2=AD·AB ，需

要先将乘积式改写为比例

式 ，再证明 AC 、

AD 、 AB 所在的两个三角形相

似。

ACAD =

ABAC

证明 : ACD= ABC∵∠ ∠ ∠A = A∠ ∴△ABC ∽ ACD△ ∴

∴ AC2=AD·AB

ACAD =

ABAC

A B

C

D

2. ABC△ 中，∠ BAC 是直角，过斜边中点 M 而垂直于

斜边 BC 的直线交 CA 的延长线于 E ， 交 AB 于 D ，连 AM.

求证：① △ MAD ～△ MEA AM② 2=MD · ME分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC, 所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。 AM 是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边 MD 、 ME 的比例中项。

证明：①∵∠ BAC=90° M 为斜边 BC 中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴∠B= MAD∠又 ∵ ∠ B+ BDM=90°∠ ∠E+ ADE= 90°∠ ∠BDM= ADE∠

∴∠B= E∠∴∠MAD= E∠又 ∵ ∠ DMA= AM∠E∴△MAD MEA∽△ ② ∵△MAD MEA∽△

∴ 即 AM2=MD·ME

AMMD =

MEAM

A

B C

D

E

M