山西出版传媒集团主管 山西三晋报刊传媒集团主办 学习报社编辑出版 总编辑 苗俊青 国内统一刊号 CN14-0708/（F） 邮发代号 21-147

八年级

数 学

人 教

笠广告经营许可证号/员源园园园园源园园园园源源 笠本报向全国各省（市）级教研员赠报，欢迎来电咨询 笠随时征订热线 / 0351-3239622 邮政订户服务热线 / 0351-3239623

291605

2020年 2月 5日

人教

生活是数学的源泉，生活中更是充满着数学问

题，下面对与实际生活较贴近的平行四边形为背景

的几道例题进行分析援一、巧设计

例1 如图1，某市有一个呈四边形的休闲广场，在它的

四个角A，B，C，D处均有一棵古树. 为了响应建设文明优美城市的需要，决定将广场面积

扩大一倍，又必须保留这四棵

古树，并要求扩建后的休闲广场呈平行四边形，则

该市能否实现这一设想？若能，请设计并画出图形；

若不能，请说明理由援（画图要保留痕迹，不写画法）

分析：由于四边形粤月悦阅是不规则图形，要求将它的面积扩大一倍，并呈平行四边形，通过添加对

角线，将四边形变为三角形，化不规则图形为规则

图形，利用平行四边形的一条对角线将原图形分成

两个面积相等的三角形进行画图援解：如图2，连接AC，BD，

分别过A，C，B，D作对角线BD，AC的平行线，得到平行四边形EFGH，则四边形EFGH就是符合条件的平行四边形，因此该市能实

现这一设想援

二、妙计算

例2 如图3，阳光透过长方形玻璃投射到地

面上，地面上出现了一个

平行四边形 .小刚用量角器量出这个平行四边形

的一个锐角恰好是30毅，又用直尺量出一组邻边

的长分别是40 cm和55 cm.小刚说，用这些数据就能

计算出平行四边形的面积和周长，你知道小刚是如

何计算的吗？计算的根据是什么？

解：如图3，粤阅越源园 糟皂，粤月越缘缘 糟皂，过点阅作阅耘彝粤月于耘.

根据“平行四边形的对边相等”可得它的周长

为圆（粤阅垣粤月）越圆伊（源园垣缘缘）越员怨园（糟皂）；根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于猿园毅，

那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得阅耘越员圆 粤阅越圆园 糟皂，所以平行四边形的面积为粤月·阅耘越缘缘伊圆园越员 员园园（糟皂圆）援

阴江苏 孙业民

身 边 数 学

；

；

m 姨 ，c =

m+1，b2=+1）2 =m2 +

1+4m=m2+

角三角形.

C=AD=2，股定理得

2 =2 2 姨 .

2 姨 ）2 =，

角形，且

的面积 =12 伊2伊2+

.中，AD2=，亦AD =24，处经过的

）.，则OC =

据勾股定

得x= 52748 .

2748 海里.为直角三

于H.动了 t秒，=12-2-t=

BF2 =BE2 +AH2+HF2=

，由勾股

ABF=90毅，

0 -t）2 +62 =

，由勾股

BAF=90毅，

2 -t）2 +32 =

屹AB2，即

秒或7.5秒形.

E

F

H

图

节测试

案

版中缝）

阴江西 许生友

思 路 点 拨例1 （山东临沂）如图 1，在荀ABCD中，AB =10，AD=6，AC彝BC，则BD=________.

思路：

AB=10AC彝BC

BC=6

荀ABCD对边相等

对角线互相平分

BD=2BO

｝勾股定理 AC=8

BC=6BC彝OC

OC=4

｝ BO=2 13 姨勾股定理

［答案：4 13 姨 ］想一想：本题考查了平行四边形的哪些性质？

你还有其他解法吗？

例2 （湖南衡阳）如图2，荀ABCD的对角线相交于点O，且AD屹CD，过点O作OM彝AC，交A D于点M.如果吟CDM的周长为8，那么荀ABCD的周长是________.

思路：

OA=OC荀A BCD 对角线互相平分 ｝

AD+CD荀ABCD的周长

OM彝ACMA=MC

吟CDM的周长｝［答案：16］

例3 （江苏宿迁）如图3，在荀ABCD中，点E，F分别在边CB，AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB，CD交于点G，H.

求证：AG=CH.思路：

｝ AF=CE

荀ABCD 蚁A=蚁C

AD椅BC 蚁E=蚁F

｝对边相等对角相等

ASA 吟AGF艺吟CHE

AG=CH对边平行

BE=DFAD=BC

例4 （陕西）如图4，点O是荀ABCD的对角线的交点，AD跃AB，E，F是AB边上的

点，且EF= 12 AB；G，H是BC边

上的点，且GH= 13 BC.若S1，S2分别表示吟EOF和

吟GOH的面积，则S1，S2之间的等量关系是______.思路：

过点O分别作OM彝BC，垂足为点M，作ON彝AB，垂足为点N，根据点O是平行四边形ABCD的对角线的交点以及平行四边形的面

积公式可得AB·ON=BC·OM，再根据S1= 12 EF·

ON，S2= 12 GH·OM，EF= 1

2 AB，GH = 13 BC，即

可得答案.解：如图4，过点O分别作OM彝BC，垂足为点

M，作ON彝AB，垂足为点N.疫点O是荀ABCD的对角线的交点，亦S荀ABCD=AB·2ON，S荀ABCD=BC·2OM，亦AB·ON=BC·OM.疫S 1= 1

2 EF·ON，S 2= 12 GH·OM，EF= 1

2 AB，

GH= 13 BC，

亦S1= 14 AB·ON，S2= 1

6 BC·OM，亦2S1=3S2.

图 1

A D

O

CB

AD

CB

H

G

F

E

图 2

AD

CB

图 1

A EB C

D

图 3

A M D

CBO

图 2

图 3

AH

FD

CBEG

DAEN

FB G H C

O

M

S1S2

图 4

学 习 报八年级数学人教责编 张 琴

美编 海平面

学 习 报·八 年 级 数 学 人 教

笠各科主编电话（区号 0351） 数 学 猿圆猿怨远源1 语 文 猿圆猿怨远猿园 英 语 猿圆猿怨远远圆 物理、化学、生物、科学 猿圆猿怨远37 道德与法治、历史 猿圆猿怨远缘6 小 学 猿圆猿怨远缘怨

自学导引

平行四边形的对角、邻角具有什么性质？

平行四边形的对角 、邻角 .课堂小练

复习巩固

1. 在荀ABCD中，蚁C比蚁D大20毅，则蚁A的度数为 （ ）

A.40毅 B.80毅 C.100毅 D.120毅2. 如图，在荀ABCD中，蚁A=125毅，P是BC上一动点（与B，C点不重合），PE彝AB于E，则蚁CPE等于 （ ）

A.125毅 B.135毅 C.145毅 D.155毅A D

CPB

EA D

CBE

第 2题图 第 3题图3. 如图，在荀ABCD中，若蚁BAD与蚁CDA的平

分线交于点E，则蚁AED的度数为 .4. 如图，在荀ABCD中，蚁D=

100毅，蚁DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE，若AE=AB，则蚁EBC的度数为____________.综合运用

5. 如图，已知P是荀ABCD的边BC上一点，且AB=AD=AP，若蚁B=80毅，则蚁CDP的度数为 （ ）

A.20毅 B.25毅C.30毅 D.35毅

6. 如图，在荀ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点.求证：蚁ABF=蚁CDE.

D C

EB

F

A第 6题图

自学导引1. 什么叫做平行四边形？两组对边分别________的四边形叫做平行四边形.

2. 平行四边形的对边具有什么性质？平行四边形的对边______且______.

3. 什么叫做两条平行线之间的距离？两条平行线中，一条直线上任意一点到另一

条直线的_________，叫做这两条平行线之间的距离.课堂小练复习巩固

1. 已知荀ABCD的周长为24 cm，AB颐AD=1颐2，那么AB的长是 （ ）

A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.15 cm2. 如图，在荀ABCD中，连接AC，蚁ABC=蚁CAD=

45毅，AB=2，则BC的长为 （ ）

A. 2 姨 B.2 C.2 2 姨 D.4A D

B C DB

A C E F

第 2题图 第 3题图3. 如图，四边形ABDC和BDFE都是平行四边形，下面给出四个结论：淤BE椅DF；于AC=EF；盂S荀A BDC=S荀BDFE；榆S吟A BE=S吟DCF.其中正确的有

（ ）

A.1个 B.2个C.3个 D.4个

4. 如图，将荀ABCO放置在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若点A的坐标

是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是___________.综合运用5. 如图，在荀ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O.求证：OB=OD.

E A D

FCBO

第 5题图

6. 在荀ABCD中，AD=20，AB=16，AD，BC间的距离为8，试求AB，CD间的距离.解：设直线AB，CD间的距离为h，则S荀ABCD=BC·8=CD·h，即20伊8=16h，解得h=10，故AB，CD间的距离为10.请仿照上题思路解答下题：如图，在荀ABCD中，AE彝BC于E，AF彝CD于F，已知AE=4，AF=6，荀ABCD的周长为40，试求荀ABCD的面积.

A D

CEBF

第 6题图

自学导引平行四边形的对角线具有什么性质？

平行四边形的对角线互相______.课堂小练复习巩固

1. 如图，在荀ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AC+BD=20，BC=7，则吟AOD的周长为 （ ）

A.10 B.15 C.17 D.202. 在荀ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论：淤AO=OC；于蚁BAD=蚁BCD；盂AC彝BD；榆蚁BAD+蚁ABC=180毅.其中正确的个数有 （ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 如图，在荀ABCD中，AC彝BC，AD=AC=4，则BD的长为 （ ）

A.8B.4 2 姨C.2 5 姨D.4 5 姨

4. 在荀ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若BD=10，AC=14，则BC的取值范围为___________.综合运用5. 如图，已知荀ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF彝AD，垂足为E，EF与BC相交于点F.（1）EF与BC垂直吗？请说明理由；（2）OE与OF相等吗？请说明理由.

A E D

B F C

O

第 5题图

6. 如图，在荀ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OC，AO的中点，那么BE与DF有什么关系？说明你的理由.

A

OCB

FE

D

第 6题图

18.1.1平行四边形的性质（1）

命题/湖北 杨育颖（参考答案见下期）

圆园20年 2月 5日 第 29期随堂演练

17.2 勾股定理的逆定理

1.A. 2.B. 3.C.4.1或 5 姨 . 5.14，48，50.6.疫吟ABC的两条直角边分

别是a，b，斜边为c，斜边上的高为h，亦ab=ch，a2+b2=c2.疫（c+h）2=c2+2ch+h2，（a+b）2=

a2+2ab+b2=c2+2ch，亦（a+b）2+h2=c2+2ch+h2=（c+

h）2.亦根据勾股定理的逆定理

可得以c+h，a+b，h为边构成的三角形是直角三角形.

7.（1）四边形ABCD的面积为

14.5，周长为 26 姨 +3 5 姨 + 17 姨 .（2）连接BD援疫BD2=32+42=25，BC2=22+42=

20，CD2=12+22=5，亦BC2+CD2=20+5=25=BD2，

亦吟BCD是直角三角形，且蚁BCD=90毅援

上期“随堂演练”参考答案

上期“中考训练营（二）”参考答案

一、1.B. 2.C.二、3.5. 4.45.5.2或2 3 姨 或2 7 姨 .

23.疫AC彝OB，亦在Rt吟ACO和Rt吟ACB

中，由勾股定理得AC2=OA 2-OC2

淤，AC2=AB2-BC2于.淤+于得2AC2 =OA 2 +AB2 -

OC2-BC2.疫AC2 =OC·BC，亦2OC·BC =

OA 2+AB2-OC2-BC2，

亦OA2+AB2 =OC2 +2OC·BC+BC2，亦OA 2+AB2=（OC+BC）2，

亦OA2+AB2=OB2.亦吟OAB为直角三角形，且

蚁OAB=90毅.（2）疫OA 颐OB=1颐 5 姨 ，

亦设OA=x，则OB= 5 姨 x.疫蚁OAB=90毅，亦在吟OAB中，

由勾股定理得AB= OB2-OA2 姨 =（ 5 姨 x）2-x2 姨 =2x.疫S吟OA B=16，亦 1

2 AB·OA=16，

亦 12·2x·x=16，解得x=4或

x=-4（不合题意，舍去）.亦OB=4 5 姨 .疫AC彝OB，

亦 12 OB·AC=16，

亦 12 伊4 5 姨 AC=16，

解得AC= 8 5 姨5 .

在Rt吟OAC中，由勾股定理

得 OC = OA 2-AC2 姨 =42-（8 5 姨

5 ）2 姨 = 4 5 姨

5 .

亦点A的坐标为（4 5 姨5 ，

8 5 姨5 ）.

（上接 1~4版中缝）

18.1.1平行四边形的性质（2）

18.1.1平行四边形的性质（3）

A D

CBO

第 1题图

B C

DA

第 3题图

y

x

BC

O第 4题图

A

第 4题图

D E C

BA

A

B C

D

P第 5题图

人教 学 习 报·八 年 级 数 学 人 教

笠报社地址/太原市三墙路坝陵北街盛世华庭 粤员 座 圆员 层 邮编/0300园怨 笠投稿邮箱/rj8_xxb@126.com 电话/0351 -猿圆猿怨远源员 笠编辑质量监督电话/0351 -猿圆猿怨远圆5

责编 张 琴

美编 海平面

三

一、选择题（每小题4分，共32分）1. 已知荀ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为

（ ）

A.4 B.12 C.24 D.282. 如图，在荀ABCD中，若BC=BD，蚁C=74毅，则蚁ADB的度数是 （ ）

A.16毅 B.22毅 C.32毅 D.68毅A

C

D

B

A

C

D

B

O

第 2题图 第 3题图3. 如图，在荀ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是 （ ）

A.AC=BD B.OB=ODC.AB=CD D.蚁ABD=蚁BDC

4. 如图，荀ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB彝A C，若AB=4，AC=6，则BD的长为（ ）

A.8 B.9 C.10 D.11A D

CEBF

A D

B CO

第 4题图 第 5题图5. 如图，在荀ABCD中，AE彝BC于点E，AF彝DC于点F，若蚁EAF=56毅，则蚁B的度数为（ ）

A.28毅 B.34毅 C.56毅 D.62毅6. 如图，在荀ABCD中，AB跃

AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F；再分别以点

E，F为圆心，大于 12 EF的长为半径画弧，两弧

交于点G；作射线A G交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是 （ ）

A.AG平分蚁DAB B.AD=DHC.DH=BC D.CH=DH

7. 如图是用平行四边形纸条沿着E，F所在直线折成的V形图案，得到平行四边形BEFC和平行四边形AEFD，若图中蚁B=55毅，则蚁2的度数为 （ ）

A.55毅 B.65毅 C.70毅 D.75毅B C A D

FE1 2

D B C

EG

AF

第 7题图 第 8题图8. 如图，在荀ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A，E之间，连接CE，CF，EF，有下列四个结论：淤吟CDF艺吟EBC；于蚁CDF=蚁EAF；盂吟ECF是等边三角形；榆CG彝AE.其中正确的是 （ ）

A.淤于 B.淤于盂C.盂榆 D.淤于盂榆

二、填空题（每小题4分，共24分）9. 在平行四边形ABCD中，若蚁A =3蚁B+20毅，则蚁C的度数为_______.

10. 在平面直角坐标系中，荀ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（4，2），则顶点D的坐标为____________.

11. 如图，在荀ABCD中，已知 AB =3 cm，AB彝BD，点O是两条对角线的交点，OD=2 cm，则平行四边形的边 AD的长为______cm.

12. 如图，荀A BCD的对角线交于点O，且AB=5，吟OCD的周长为23，则荀ABCD的两条对角线的和是______.

A D

CBO

CFB

A E D

第 12题图 第 13题图13. 如图，E，F分别是荀ABCD的边AD，BC上的点，在不连接其他线段的前提下，若再增加

一个条件： ，就可以推得

BE=DF.14. 在荀ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，若蚁EBD=20毅，则蚁A的度数为___________.

三、解答题（共44分）15.（7分）如图，点E是荀ABCD的边CD的中点，

AE，BC的延长线交于点F，若CF=3，CE=2，求荀ABCD的周长.

F

CED

A B第 15题图

16.（7分）如图，在荀ABCD中，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F，A B=2BC，蚁F=36毅，求蚁B的度数.

A

BCF

ED

第 16题图

17.（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，A，F在同一直线上，蚁EAD=蚁BAF.（1）证明：吟CEF是等腰三角形；（2）猜测CE+CF的和与荀A BCD的周长之间的关系，并说明理由.

F

A

B C

D

E

第 17题图

18.（10分）如图，在荀ABCD中，AB跃BC，蚁BAD与蚁ADC的平分线交于点E，蚁ABC与蚁BCD的平分线交于点F，连接EF，延长DE交AB于点M，试探究图中与线段EM一定相等的线段有哪几条，并说明理由.（不再另外添加字母和辅助线）

A M B

FED C

第 18题图

19.（12分）如图，在荀A BCD中，蚁BCD的平分线CF交边AB于点F，蚁ADC的平分线DG交边AB于点G .（1）求证：AF=GB；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得吟EFG为等腰直角三角形，并说明理由.

A F G B

CD

E

第 19题图

命题/湖北 杨育颖（参考答案见下期）

（本卷满分员园园分）（测试范围：18.1.1平行四边形的性质）

实战达标 圆园20年 2月 5日 第 29期

班级：

姓名：

得分：

逆定理

，48，50.直角边分

边上的高

2，（a+b）2=

h+h2=（c+

的逆定理

构成的三

的面积为

5 + 17 姨 .

BC2=22+42=+CD2=20+

三角形，且

练”

营（二）”

7 .

Rt吟ACB=OA 2-OC2

OA 2 +A B2 -

OC·BC =

OC·BC+BC）2，

三角形，且

5 ，5 姨 x.

吟OAB中，

OB2-OA 2 =

·OA=16，

解得x=4或）.

16，

勾股定理

-AC2 =5 .

（4 5 姨

5 ，

D C

BA

O

第 11题图

F

D

A B

C

EG

H

第 6题图

学 习 报·八 年 级 数 学 人 教

责编 张 琴 美 编 海平面

执 行 主 编、终 审 白雪梅

笠印刷 /河南鑫泽印刷有限责任公司 地址 /郑州市马寨工业园先锋路 3号 笠本报四开四版 笠订阅/全国各地邮局（所） 笠每学期 圆4期 单价 1.25元 学期定价 30.00元

教你一招

阴湖北

张彩明

一、选择题

1. 如图，在荀ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AF彝BD于F，CE彝BD于E，则图中全等三角形的对数共有 （ ）

A.5对B.6对C.7对D.8对

二、填空题

2. 如图，荀ABCD的对角线交于点O，过点O的线段EF分别交AD，BC于点E，F，当AE=ED时，吟AOE

的面积为4，则四边形EFCD的面积为________.A EE D

CFB

O

CB

P Q

A

O

第 2题图 第 3题图3. 如图，在吟ABC中，蚁BAC=45毅，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，对角线交于点O，则对角线PQ的最小值为__________.

4. 如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S吟A PD=15 cm2，S吟BQC=25 cm2，则黑色部

分的面积为__________cm2.

三、解答题

5. 如图，在荀ABCD中，AB=2，BC=4，蚁ABC=60毅，BE平分蚁ABC交AD于点E，交CD的延长线于点F.（1）证明：吟ABE艺吟DFE；（2）求CF的长；（3）若连接CE，则CE与BE有怎样的位置关系？并说明理由；

（4）能否求出CE的长？

B C

DA E

F

第 5题图

圆园20年 2月 5日 第 29期能力拓展

学 习 报八年级数学人教

为了进一步提高同学们分析问题的全面性和

思考问题的周密性，现就平行四边形中的“无图”问

题举例解析如下，供同学们学习时参考.例1 在荀ABCD中，AE平分蚁BAD交边BC于

点E，DF平分蚁ADC交边BC于点F，若AD=11，EF=5，则AB=__________.

分析：由于AE和DF的位置不确定，应分两种情况讨论：

（1）当AE和DF相交于平行四边形内部一点时；（2）当AE和DF在平行四边形的内部不相交时.由平行四边形的性质和角平分线的定义可得

蚁DFC=蚁FDC，则CF=CD，同理可得BE=AB，进而根据线段间的关系可求得AB的长.

解：分两种情况讨论：

（1）当AE和DF相交于平行四边形的内部一点G时，如图1所示.

疫四边形ABCD是平行四边形，亦BC=AD=11，BC椅AD，CD=AB，亦蚁DAE=蚁AEB，蚁ADF=蚁DFC.疫AE平分蚁BAD，DF平分蚁ADC，亦蚁BAE=蚁DAE，蚁ADF=蚁CDF，亦蚁BAE=蚁AEB，蚁CFD=蚁CDF，亦AB=BE，CF=CD，亦AB=BE=CF=CD.疫EF=5，亦BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11，亦AB=8；

A

C

D

B EF

G A

CD

B E F图 1 图 2

（2）当AE和DF在平行四边形的内部不相交时，如图2所示.

同（1）可得AB=BE=CF=CD.

疫EF=5，亦BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11，亦AB=3.综上所述，AB的长为3或8.例2 （2019年云南）在平行四边形ABCD中，

蚁A =30毅，AD=4 3 姨 ，BD=4，则平行四边形ABCD的面积等于_____________.

分析：由于本题没有给出图形，需先画出平行

四边形ABCD，然后过D作DE彝AB于E，此时DE可能在平行四边形内部或外部，即有两种情况，然后根

据直角三角形30毅角的性质和勾股定理解决.解：如图3，过点D作DE彝AB于E.在Rt吟ADE中，疫蚁A=30毅，AD=4 3 姨 ，

亦DE= 12 AD=2 3 姨 ，亦AE= AD2-DE2 姨 =6.

在Rt吟BDE中，疫BD=4，亦BE= BD2-DE2 姨 = 42-（2 3 姨 ）2 姨 =2.亦AB=AE+BE=8，亦平行四边形ABCD的面积=AB·DE=8伊2 3 姨 =

16 3 姨 ；

A

D C

B EA

D C

BE图 3 图 4

如图4，同上可得DE=2 3 姨 ，AE=6，BE=2，亦AB=AE-BE=4，亦平行四边形ABCD的面积=

AB·DE=4伊2 3 姨 =8 3 姨 .故填16 3 姨 或8 3 姨 援解后反思：解决与平行四边形有关的双解问题

时，要充分考虑其有形无图的特点，有时需要仔细

画出图形，还应考虑按一定标准进行分类讨论，以

获取完整的解答，应尽量避免因思维定势造成漏解

的情形.

命题/湖北 杨育颖（参考答案见下期）

指点迷津

阴山西 栗 子

三

一、1~5.BADAC；6~10.DBBCC.二、11.蚁A； 12.3；13.30 cm；14.0.3，2

5 ，0.5；15.4n，4n2-1，4n2+1；16.2 505 姨 .三、17.AC=8 2 姨 .18.BD=2.19.疫a=m -1，b =2 m 姨 ，c =

m+1，亦a2=（m-1）2=m2-2m+1，b2=

（2 m 姨 ）2 =4m，c2 =（m+1）2 =m2 +2m+1.亦a2+b2=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=c2.亦这个三角形是直角三角形.20.连接AC.疫蚁B=90毅，AB=BC=AD=2，

亦在Rt吟ABC中，由勾股定理得

AC= AB2+BC2 姨 = 22+22 姨 =2 2 姨 .疫CD=2 3 姨 ，

亦AD2 +AC2 =22 +（2 2 姨 ）2 =12，CD2=（2 3 姨 ）2=12，亦AD2+AC2=CD2，亦吟ACD是直角三角形，且

蚁CAD=90毅.亦四边形 ABCD的面积 =

12 AB·BC+ 1

2 AD·AC= 12 伊2伊2+

12 伊2伊2 2 姨 =2+2 2 姨 .

21.（1）在Rt吟AOD中，AD2=OA 2-OD2=252 -72 =242，亦AD=24，亦外国渔船从A处移到D处经过的时间为24衣20=1.2（小时）.（2）设CD=x海里，则OC =

AC=（24-x）海里.在Rt吟ODC中，根据勾股定

理，得x2+72=（24-x）2，解得x= 52748 .

亦C，D两处相距 52748 海里.

22.吟ABF能成为直角三角形.过点A作AH彝EF于H.设吟ABC向右移动了t秒，

则CD=t，BE=12-BC-t=12-2-t=10-t，AH=12-t，HF=3.由勾股定理得BF2 =BE2 +

EF2=（10-t）2+62，AF2=AH2+HF2=（12-t）2+32.

当AB2+BF2=AF2时，由勾股

定理的逆定理得蚁ABF=90毅，吟ABF为直角三角形，

亦（ 13 姨 ）2 +（10 -t）2 +62 =（12-t）2+32，解得t=1.

当AB2+AF2=BF2时，由勾股

定理的逆定理得蚁BAF=90毅，吟ABF为直角三角形，

亦（ 13 姨 ）2 +（12 -t）2 +32 =（10-t）2+62，解得t=7.5.

显然，AF2 +BF2 屹AB2，即

蚁AFB不可能为90毅.综上所述，当t=1秒或7.5秒

时，吟ABF为直角三角形.

A

B E

F

CD

H

第 22题答案图

上期“第十七章章节测试

题”参考答案

（下转 2~3版中缝）

A E B

CFDP Q

第 4题图

我们知道“平行四

边形一边所在的直线

上的任意一点与其对

边所构成的三角形的

面积等于平行四边形

面积的一半”援即如图1，M为荀ABCD的边AD所在直线上的任意一点，

则S吟BCM= 12 S荀ABCD.

图 1

A M

C

D

B

我们称图1为这个结论的基本图形，下面

举例说明这个结论在

解题中的应用.一、求三角形的面积和

例1 如图2，点P为荀ABCD内一点，吟PAB，吟PCD的面积分别记为S1，S2，荀ABCD的面积记为S，试探究S1+S2与S之间的关系援

分析：过点P作EF椅AB，可得荀ABFE和荀EFCD.

由上面的结论可得S1= 12 S荀ABFE，S2= 1

2 S荀EFCD，继而

可得出S1+S2= 12 S援

二、证明两个角相等

例2 如图3，在荀ABCD中，设E，F分别是BC，AB上的点，AE与CF相交于点P，且AE=CF援

求证：蚁DPA=蚁DPC援分析：要证蚁DPA=蚁DPC，即证PD平分蚁APC，

需证点D到蚁APC的两边PA，PC的距离相等.为此过点D作DQ彝AE，DG彝CF，只需证明DQ=

DG即可.又因为AE=CF，所以要证DQ=DG，需证S吟ADE=S吟DFC，

由上面的结论可证明S吟ADE=S吟DFC= 12 S荀ABCD .

图 3

A D

B PQ

GE C

F

A E

PD

FB

S1 S2

C图 2

A

C

D

B F OE

第 1题图