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北區跨縣市國中「促進學生主動思考的工作單設計與實踐」工作坊

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內外之間─三角形的內心與外心

臺北市國中數學輔導團/臺北市興雅國中林壽福、吳如皓

高雄市國中數學輔導團/高雄市大仁國中廖惠儀

在幾何知識的汲取和學習中，現實與抽象、文字與圖像、理解和轉譯的距離

經常使學生顛蹼在跌倒、匍匐與飛奔之間；但同時，表徵、溝通和操弄幾何元素

的能力，則可以探究學生在解題之外，對「數學物件本質」或「物件之間關係」

的了解與駕馭程度。

本文即依據上述的前提所設計之診斷式教學工作單，教學單元是三角形的內

心、外心與重心，經過教學實驗及工作坊教授與伙伴的建議，教學單元改為三角

形的內心與外心。教學對象為九年級學生 30 人。

【工作單設計－初稿】

在數學的世界裡，有三個人物，今天你們要根據這三個人物的性格，為他們編一

個短篇的故事。

第一個角色：

1. （1）請你在紙上畫一個點。

（2）請你畫一個圓，使這個點在圓上。

2. （1）請你在紙上畫兩個點。

（2）請你畫一個圓，使這兩個點同時在圓上。

（3）請你再畫一個圓，半徑和剛剛的圓不同，但那兩個點也要在圓上。

3. （1）請你在紙上畫三個不共線的點。

（2）請你畫一個圓，使這三個點都在圓上。

這一個圓的圓心，名字叫做「外心」，這是第一個角色。

第二個角色：

4. （1）請你在紙上畫一條線。

（2）請你畫一個圓，使圓和這條線相切。

5. （1）請你在紙上畫兩條不平行的線（這兩條線可以構成一個角）。

（2）請你畫一個圓，使圓和兩條線都相切。

6. （1）請你在紙上畫三條都不平行的線（這三條線可以構成一個三角形）。

（2）請你畫一個圓，使圓和這三條線都相切。

這一個圓的圓心，名字叫做「內心」，這是第二個角色。

第三個角色：



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（2）請你在線上找一個點，使這個點可以把線分成一樣長的兩半。

8. （1）請你在紙上畫一個三角形。

（2）請你畫一條線，使這條線可以將三角形的面積平分。

9. （1）畫出三角形的三條中線。

（2）這三條中線對三角形來說有什麼作用呢？

這三條中線的交點，名字叫做「重心」，這是第三個角色。

現在請你思考這三個主角的成長歷程，不同的成長歷程使這三個角色塑造著各自

獨特的個性，請你依據三位主角的個性，為他們編寫一則短篇的故事。

【學生作業整理】

學生的作品中，沒有空白的情況，因為在作答前向學生說明的評分標準是：

「有作答就有分數，若能盡你所能地以有道理的方式使用尺規作圖來完成題目的

要求，分數就越高。」因此無論正確與否，從學生作品中能看到他們努力使用不

多的武器盡力將思維具體化刻畫表達，閱讀、欣賞著這些作品，使平時假裝無血

無淚的老師也不禁流露出一些感動……

以下所擷取之學生作品，以錯誤類型為主，輔以部分有數學式樂趣、較特殊

或有創意的作圖。

第一個角色：

1. （1）請你在紙上畫一個點。

（2）請你畫一個圓，使這個點在圓上。

學生多能掌握到圓、圓心、半徑之間的關係。

2. （1）請你在紙上畫兩個點。

（2）請你畫一個圓，使這兩個點同時在圓上。

（3）請你再畫一個圓，半徑和剛剛的圓不同，但那兩個點也要在圓上。


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僅一位學生無法掌握題意（圖 1）。

圖 2 的作圖類型，則顯示可了解題意，並能轉譯文字為圖形，但未能運用中

垂線性質來支持題目的要求。

3. （1）請你在紙上畫三個不共線的點。

（2）請你畫一個圓，使這三個點都在圓上。

這一個圓的圓心，名字叫做「外心」，這是第一個角色。

學生均能理解題意，並轉化為圖形，只是未必能想到有用的策略。圖左的作

圖類型顯示部分學生未能將題目的要求和中垂線性質作聯結。

值得注意的是，理論上，題目 2 是題目 3 的前導性問題，圖 2 可說是完成圖

3 需具備的先備知識。然而，在這次的教學實驗中，能完成題目 2 的學生，僅有

一位未能正確完成外心的作圖；但有 5 位學生能正確完成外心的作圖，卻沒能畫

出題 2。


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第二個角色：


（2）請你畫一個圓，使圓和這條線相切。

圖左類型的學生已能理解題目的敘述與要求，但還無法挑選或運用有效的幾

何工具來解決問題。

有興趣的讀者可以猜想看看，您認為您任教的班級中，怎麼樣程度、有多少

學生會畫像圖右那樣的作圖呢？

5. （1）請你在紙上畫兩條不平行的線（這兩條線可以構成一個角）。

（2）請你畫一個圓，使圓和兩條線都相切。

圖左為正確的完成圖，圖右則只將題意畫出來，但這樣作圖類型的學生只有

兩位。


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左圖和右圖的思路十分類似，都是由題目 4 的作法延伸得來。但左圖的作法

稍有錯誤。

上圖是一個相當有趣的作圖，他用了一個特別的方法來作角平分線。首先他

造了一個等腰三角形，然後作底邊的中垂線，利用「等腰三角形底邊的中垂線會

平分頂角」性質來造角平分線。之後利用半圓的圓周角是直角，找到了所求圓的

半徑。您認為這是功課很好的學生甚至是資優生畫的嗎？

6. （1）請你在紙上畫三條都不平行的線（這三條線可以構成一個三角形）。

（2）請你畫一個圓，使圓和這三條線都相切。

這一個圓的圓心，名字叫做「內心」，這是第二個角色。

上面這三個圖，似乎學生並沒有掌握到切點、垂直的重要特質，或說在訊息

很多時，便忽略了那項特質。

上圖也顯示了一個有趣的現象，「知道要得到內心要畫角平分線」，但題目 5

卻不知如何著手……


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左圖實在難以解讀，以那個圓心，到底是如何畫出圓的呢？？

右圖又是一個有趣的作圖。先從左下角來看，他先畫了一個弧後，分別以角

的兩邊（等長）作中垂線，於是根據三角形全等性質，可以得到兩條等長的垂直

線段，同時，在公共邊上的所有的點都得到了同樣的 VIP 待遇，然後他在上方作

了一樣的步驟，來得到內心。這個學生具體掌握到垂直及相等的特質，並把這個

特質當成他要解決的首要目標，依此目標去尋找他的工具。是不是很有歐基里德

的感覺呢？請容筆者再問一次同樣的問題，您認為這是功課很好的學生甚至是資

優生畫的嗎？或說，您對這位學生所具備的數學能力會給予如何的評價呢？

以下的題目 7、8、9，由於教學實驗時的時間掌控不良，因此僅要求學生使

用測量來迅速完成圖形。

第三個角色：


（2）請你在線上找一個點，使這個點可以把線分成一樣長的兩半。

8. （1）請你在紙上畫一個三角形。

（2）請你畫一條線，使這條線可以將三角形的面積平分。


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9. （1）畫出三角形的三條中線。

（2）這三條中線對三角形來說有什麼作用呢？

這三條中線的交點，名字叫做「重心」，這是第三個角色。

而短篇小說的部分由於不是本文討論的重點，因此僅挑選特別有創意的一份

作品收錄於附件一。

【評論者意見】

林福來教授：何不讓學生寫下他的作法與想法？

【對評論的回應】

非常贊同老師的建議！

【工作單設計－2 版】

請你依照你自己所畫的圖，以文字記錄你的觀察和想法。可以是你作圖的方法，

可以是你所觀察到的一些現象或性質，用文字盡可能清楚地描述你所作的、看到

的、想到的。

你所觀察到的越多、描述得越清楚、看到別人所沒有看到的（卓越的洞察力），

你的分數就越高。

【學生作業】

由於學生作品差異性十分大，因此本文在呈現學生作品上分成兩個部分。第

一部份選取一位學生完整的作業單，呈現學生作品的橫切面；第二部分則選取較

特別的片段，呈現學生作品的縱切面。並以 Skemp 新智力模式學習理論中之「建

築與檢驗」為工具來作分析。以下簡略介紹 Skemp 之「建築與檢驗的六種方式」。

Skemp 認為，有意義的學習是在建築（building）和檢驗（testing）有組織的

知識結構。比如說砌牆時，將磚塊與水泥疊起來是建築，利用鉛垂線測量是否平

整垂直是檢驗，兩者交互進行，牆才能砌得漂亮。建築與檢驗進行的方式各有三

種，一種建築方式對應一種檢驗方式，圖示如下：


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Schema 的建構

建築檢驗

實際經驗

（experience） ←→

預測，實驗

（prediction experiment）

溝通

（communication） ←→

討論

（discussion）

創造

－探索、想像、直觀

（mental creativity）

←→ 內在的一致性

（internal consistency）

以實際經驗來建築，檢驗的方式則是依據事前的假設與預測進行實驗。利用

探索、想像、直觀來發想創造，所得的新想法必須與既有的知識取得一致，所以

要檢驗的是內在已有知識與新創概念間的一致性。

這一位學生，學科成績表現中等，上課態度積極認真，在課堂上也頗勇於表

達自己的想法，但自信心不足，總認為自己數學不好；他有著雙重國籍，是半個

希臘與半個台灣的混合體。

建築 1：實際經驗

檢驗 1：預測、實驗

建築 2：溝通

建築 3：創造


建築 3：創造

檢驗 3：內在一致性


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建築 3：創造


建築 3：創造




建築 2：溝通



建築 3：創造


建築 2：溝通


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這圖以造內心來看，方法上似乎並不正確。

但細看作圖的步驟，可發現他一開始便畫了

一個正三角形。

再想想題目：「請你在紙上畫三條都不平行

的線（這三條線可以構成一個三角形）；請

你畫一個圓，使圓和這三條線都相切。」

似乎，也不能完全說這答案不正確呢……

由這位學生對幾何物件的觀察和描述中，可以發現，文字書寫能讓學生自然

而然地與知識作雙向的互動，他讀取，同時也創造。而記錄想法其實並沒有想像

中那樣容易，在素描思維的同時，他也正用更深邃的方式在「建築」與「檢驗」

自己獨樹一格的數學結構。化身為讀者的教師，則能藉由這些字句，得以一窺隱

身於分數背後，更彌足珍貴的學生數學王國的風貌。

以下選取幾則或為古典派、浪漫派、抽象派、印象派、野獸派的作品，有些

著實需要花些時間來解讀，筆者則效法後現代主義的精神，將解碼的樂趣留給和

愛因斯坦一樣「我沒有特殊天賦，我只是非常好奇」的讀者。



建築 3：創造




建築 3：創造



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建築 3：創造




建築 3：創造




建築 3：創造


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建築 3：創造



建築 2：溝通




215

建築 3：創造




建築 2：溝通




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數學是不是一個優雅而難以親近的存在？又或者是因為太過深刻因此難以

引起共鳴？然而，在卸下應付考試的左支右絀時，卻能看見學生與數學此起彼落

的恣縱嬉戲。很感謝林福來老師的指導啟發與伙伴們的呼應撞擊，使我在教學的

田園中，得以看見枝葉錯落間，嫩芽閃爍著光！



建築 3：創造





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附件一


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