82 Ⅱ.방정식과부등식

2한계를 뛰어넘다.

패럴림픽(Paralympics), 즉국제장애인올림픽은 1960년로마하계장애인올림픽, 1976년

외른셸스비크동계장애인올림픽을시작으로현재는올림픽개최국에서동반개최되고있다. 2012년

제14회런던하계장애인올림픽에서는 165개국에서 4250여명의선수가참가하였으며, 양궁, 육

상, 사격, 좌식배구, 휠체어농구등 20개종목의

경기가열렸다.

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 92̀쪽

휠체어농구경기에서농구공의높이를식으로표현할수있을까?

이차방정식과이차함수

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지82 mac01 T

2.이차방정식과이차함수 83

01●이차함수와이차방정식의관계를이해한다.

이차함수와이차방정식의관계

물로켓

물 로켓은 공기의 압력을 이용하여 플라스

틱용기에든물을뒤로뿜어생기는추진력

으로 용기를 멀리 날리는 장치이다. 비스듬

히발사된물로켓은포물선을그리며날아

간다.

탐구 활동 어느 물 로켓이 지면에서 발사된 지점으로부터 수평 거리로 xm를 지날 때의 높이를

ym라고하면 y=-5x¤ +20x의관계가성립한다고하자. 다음물음에답하여보자.

1. 물로켓이지면에다시떨어질때물로켓의높이는몇m인가?

2. 물 로켓이 발사된 지점에서 떨어진 지점까지의 수평 거리 x m를 구하려면 어떤 방정식을

풀어야하는가?

생각 열기

이차함수 y=-5x¤ +20x의그래프와 x축의교점의 x좌표

는 y=-5x¤ +20x에 y=0을대입하여구할수있다.

따라서교점의x좌표는이차방정식-5x¤ +20x=0, 즉

-5x(x-4)=0의실근과같으므로 0, 4이다.

일반적으로이차함수

y=ax¤ +bx+c (a+0)

의그래프와x축의교점의x좌표는이차방정식

ax¤ +bx+c=0

의실근과같다.

y=-5x@+20x

x

y

O 4

y=ax@+bx+c{a>0}

O x

y

ax@+bx+c=0의 실근

이차함수와 이차방정식은 어떤 관계가 있는가?

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지83 mac01 T

84 Ⅱ.방정식과부등식

따라서 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프와 x축의 교점의 개수는 이차방정식

ax¤ +bx+c=0의실근의개수와같다. 그러므로이차방정식 ax¤ +bx+c=0의판

별식을D=b¤ -4ac라고할때, 이차함수의그래프와이차방정식의해사이에는다

음과같은관계가성립한다.

판별식의부호 D>0 D=0 D<0

이차함수

y=ax¤ +bx+c

(a>0)의그래프

이차함수의그래프와이차방정식의해

xå ∫ å=∫ x x

이차함수

y=ax¤ +bx+c

(a<0)의그래프

xå ∫

å=∫x

x

이차방정식

ax¤ +bx+c=0

(a+0)의해

이차함수의

그래프와 x축의

위치관계

서로다른

두점에서만난다.

한점에서

만난다(접한다).만나지않는다.

x=a 또는 x=b

(서로다른두실근)x=a(중근) 서로다른두허근

예제 01

⑴이차방정식 x¤ -2x-3=0의판별식 D=(-2)¤ -4¥1¥(-3)=16>0이므로이

차함수 y=x¤ -2x-3의그래프는 x축과서로다른두점에서만난다.

⑵이차방정식 x¤ -2x+1=0의 판별식 D=(-2)¤ -4¥1¥1=0이므로 이차함수

y=x¤ -2x+1의그래프는 x축과한점에서만난다(접한다).

⑶이차방정식 x¤ +x+1=0의 판별식 D=1¤ -4¥1¥1=-3<0이므로 이차함수

y=x¤ +x+1의그래프는 x축과만나지않는다.

답 ⑴서로다른두점에서만난다.

⑵한점에서만난다(접한다).

⑶만나지않는다.

다음이차함수의그래프와 x축의위치관계를말하여라.

⑴ y=x¤ -2x-3 ⑵ y=x¤ -2x+1 ⑶ y=x¤ +x+1

풀이

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.8.8 5:1 PM 페이지84 mac01 T

2.이차방정식과이차함수 85

다음이차함수의그래프와 x축의위치관계를말하여라.

⑴ y=x¤ +4x-1 ⑵ y=2x¤ -4x+2

⑶ y=-2x¤ +2x-1 ⑷ y=-x¤ -3x+1

1문제

이차함수 y=x¤ -x+k의그래프와 x축의위치관계가다음과같을때,실수 k의값또는

그범위를구하여라.

⑴서로다른두점에서만난다.

⑵한점에서만난다.

⑶만나지않는다.

2문제

이차함수 y=x¤ -2ax+b의 그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), (2, 0)에서 만날 때, 다음을

구하여라.

⑴이차방정식 x¤ -2ax+b=0의해

⑵실수 a, b의값

3문제

이차함수 y=x¤ -2ax+4의그래프가오른쪽그림과같을때,

실수 a, b의값을구하여라.

4문제

O x

y

1 b

y=x@-2ax+4

예제 02

⑴이차함수 y=x¤ +ax+b의그래프와 x축이 x=1에서접하므로이차방정식

x¤ +ax+b=0의해는 x=1(중근)이다.

⑵ 1을중근으로하고, x¤의계수가 1인이차방정식은 (x-1)¤ =0, 즉

x¤ -2x+1=0이므로 x¤ +ax+b=x¤ -2x+1에서　a=-2, b=1

답 ⑴ x=1(중근) ⑵ a=-2, b=1

이차함수 y=x¤ +ax+b의그래프와 x축이 x=1에서접할때, 다음을구하여라.

⑴이차방정식 x¤ +ax+b=0의해

⑵실수 a, b의값

풀이

발전

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지85 mac01 T

86 Ⅱ.방정식과부등식

02●이차함수의그래프와직선의위치관계를이해한다.

이차함수의그래프와직선의위치관계

이차함수의 그래프와 직선은 어떤 위치 관계에 있는가?

레이저광선

레이저 광선은 일반적인 빛에 비하여 퍼지지

않고직선처럼곧바로진행하는빛으로, 단위

넓이당에너지가커서먼거리통신이나의료

기기등에서이용되고있다.

한편 포물선을 따라 움직이는 물체를 레이저

광선을 쏘아서 맞히려면 포물선을 나타내는

이차함수의그래프와레이저광선을나타내는

직선이서로만나야한다.

탐구 활동 포물선 모양을 따라 움직이는 물체와 레이저 광선의 경로를 좌표평면 위에 나타내면 각각

함수 f(x)=ax¤ +bx+c (a<0)와함수 g(x)=mx+n의그래프와같다고하자. 다음

물음에답하여보자.

1. 두함수 f(x)=ax¤ +bx+c (a<0)와 g(x)=mx+n의그래프가다음과같을때, 물체와

레이저광선이만나는횟수를구하여보자.

⑴ ⑵ ⑶

x

y

y=f{x}

y=Ì{x}

Ox

y

y=f{x}

y=Ì{x}

Ox

y

y=f{x}

y=Ì{x}

O

2. 다음그림과같이물체와레이저광선이만났을때의물체의 x좌표를 a라고할때, a는방정

식 f(x)=g(x)의실근임을설명하여보자.

생각 열기

x

y

y=f{x}

y=Ì{x}

O å

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지86 mac01 T

2.이차방정식과이차함수 87

이차함수의그래프와직선의위치관계에대하여알아보자.

이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)의 그래프와 직선 y=mx+n의 교점의 x좌표

는 y=ax¤ +bx+c에 y=mx+n을대입하여얻은이차방정식

ax¤ +bx+c=mx+n, 즉

ax¤ +(b-m)x+c-n=0 yy①

의실근과같다.

따라서 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프와 직선 y=mx+n의 교점의 개수는

이차방정식①의실근의개수와같다.

그러므로이차방정식①의판별식

D=(b-m)¤ -4a(c-n)

의부호에따라이차함수의그래프와직선의위치관계는다음과같음을알수있다.

⁄ D>0인경우

방정식①은서로다른두실근을가지므로서로다

른두점에서만난다.

¤ D=0인경우

방정식①은중근(실근)을가지므로한점에서만난다

(접한다).

‹ D<0인경우

방정식①은실근을가지지않으므로만나지않는다.

이상을정리하면다음과같다.

두 그래프의 교점과 방정식

의실근

두함수 y=f(x)와 y=g(x)의

그래프의 교점의 x좌표는 방정

식 f(x)=g(x)의실근이다.

x

y=ax@+bx+c

y=mx+n

D>0

D=0

D<0

O

y

이차함수의그래프와직선의위치관계

이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)의그래프와직선 y=mx+n의위치관계는이차방정식

ax¤ +(b-m)x+c-n=0의판별식을D라고할때

⑴ D>0이면서로다른두점에서만난다.

또 서로다른두점에서만나면 D>0이다.

⑵ D=0이면한점에서만난다(접한다).

또 한점에서만나면(접하면) D=0이다.

⑶ D<0이면만나지않는다.

또 만나지않으면 D<0이다.

이차함수 y=x¤의그래프와직선 y=x+1은 y=x¤에 y=x+1을대입하여얻은이차방

정식 x¤ -x-1=0의판별식이

D=(-1)¤ -4¥1¥(-1)=5>0

이므로서로다른두점에서만난다.

보기

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지87 mac01 T

88 Ⅱ.방정식과부등식

이차함수 y=-x¤ +x+1의 그래프와 직선 y=2x+a의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실

수 a의값또는그범위를구하여라.

⑴서로다른두점에서만난다.

⑵한점에서만난다.

⑶만나지않는다.

2문제

직선 y=2x+1과 평행하고 이차함수 y=x¤ -2x+1의 그래프와 접하는 직선의 방정식을

구하여라.

3문제

예제 01 이차함수 y=x¤ -x의 그래프와 직선 y=x+a의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수

a의값또는그범위를구하여라.

⑴서로다른두점에서만난다.

⑵한점에서만난다.

⑶만나지않는다.

y=x¤ -x에 y=x+a를대입하여정리하면

x¤ -2x-a=0 yy①

이차방정식①의판별식을D라고하면

D=(-2)¤ -4¥1¥(-a)=4+4a

⑴서로다른두점에서만나려면D=4+4a>0이어

야하므로　a>-1

⑵한점에서만나려면D=4+4a=0이어야하므로

a=-1

⑶만나지않으려면D=4+4a<0이어야하므로　a<-1

답 ⑴ a>-1 ⑵ a=-1 ⑶ a<-1

풀이

xO

y y=x@-x D>0

D=0

D<0

-1y=x+a

발전

다음이차함수의그래프와직선 y=2x의교점의개수를구하여라.

⑴ y=-x¤ +6x-4 ⑵ y=x¤ +3x+1

1문제

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지88 mac01 T

2.이차방정식과이차함수 89

03●이차함수의최대, 최소를이해하고, 이를활용할수있다.

이차함수의최대,최소

이차함수의 최댓값과 최솟값을 어떻게 구하는가?

백두산과화산폭발

백두산은한반도에서가장높은산으로

높이는 2750 m이다. 백두산의 천지를

만든대규모화산폭발은지금으로부터

약 1000년전인고려시대초기에일어

난것으로알려져있다.

탐구 활동 지면으로부터 높이가 2500 m인 지점에서 어느 화산이

폭발하여 초속 150 m의 속력으로 용암을 분출하였을

때, 분출물의 x초후의높이를 ym라고하면

y=-5x¤ +150x+2500 (x>0)

의관계가성립한다고하자. 다음물음에답하여보자.

1. 이차함수 y=-5x¤ +150x+2500을 y=a(x-p)¤ +q

의꼴로나타내어보자.

2. 분출물이최대로높이올라갔을때의높이와그높이까지올라가는데걸린시간을구하여

보자.

생각 열기

y=-5x@+150x+2500

2500

x

y

O

x

y

O

a>0

최솟값

x값의범위가실수전체일때, 이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)는

a>0인경우꼭짓점에서최솟값을가지고, 최댓값은없다.

a<0인경우꼭짓점에서최댓값을가지고, 최솟값은없다.

xO

ya<0

최댓값

x값의 범위가 실수 전체일

때, 이차함수 y=ax¤ +bx+c

(a+0)의최댓값, 최솟값을구

하려면 y=a(x-p)¤ +q의 꼴

로변형하여꼭짓점을구한다.

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.8.30 10:37 AM 페이지89 mac02 T

90 Ⅱ.방정식과부등식

다음이차함수의최댓값또는최솟값을구하여라.

⑴ y=-x¤ -4x+1 ⑵ y=2x¤ -6x+4

1문제

이제x값의범위가제한되어있을때, 이차함수의최댓값과최솟값을구하여보자.

x값의범위가 a…x…b일때, 이차함수 f(x)=a(x-p)¤ +q (a+0)에서

⁄ 꼭짓점의x좌표x=p가x값의범위에포함될경우

f(a), f(b), f(p)중에서가장큰값이최댓값이고, 가장작은값이최솟값이다.

¤ 꼭짓점의x좌표x=p가x값의범위에포함되지않을경우

f(a), f(b) 중에서큰값이최댓값이고,작은값이최솟값이다.

x

y

O å p ∫

f{p}

f{å}

f{∫}

최대

최소

a>0

x

y

O å p ∫

f{å}

f{p}

f{∫}

최대

최소

a<0

xOå ∫p

f{å}

f{∫}

f{p}

최대

최소

ya>0

xO å ∫p

f{å}

f{∫}

f{p} 최대

최소

ya<0

예제 01 이차함수 y=x¤ +4x+5의최댓값또는최솟값을구하여라.

y=x¤ +4x+5=(x¤ +4x+4)+1=(x+2)¤ +1

이므로그래프는오른쪽그림과같다.

따라서이함수의최솟값은 x=-2일때 1이고, 최댓값은

없다.

답 최솟값은 1이고, 최댓값은없다.

풀이

xO

y=x@+4x+5 y

-21

5

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지90 mac01 T

꼭짓점의 x좌표가 x=1이

므로 x값의 범위 -1…x…2

에포함된다.

예제 02 -1…x…2일때, 이차함수 y=x¤ -2x-1의최댓값과최솟값을구하여라.

y=x¤ -2x-1=(x-1)¤ -2에서 꼭짓점의 x좌표는

x=1이고, x값의범위는-1…x…2이므로

x=-1일때　y=2-

x=1일때- y=-2

x=2일때- y=-1

따라서최댓값은 2이고, 최솟값은-2이다.

답 최댓값은 2이고, 최솟값은-2이다.

풀이

2.이차방정식과이차함수 91

이차함수의최댓값과최솟값을활용하여여러가지문제를해결할수있다.

x

y=x@-2x-1

O

2

1-1

-1-2

2

y

주어진범위에서다음이차함수의최댓값과최솟값을구하여라.

⑴ y=2x¤ -4x+1 (0…x…2) ⑵ y=-x¤ -6x+3 (1…x…4)

2문제

예제 03 어느 항공사의 현재 서울-제주 간 노선의 항공료는 6만 원이고 이 노선을 하루 평균

300명의 승객이 이용한다고 한다. 항공료의 가격을 x만 원 올리면 하루 평균 30x명의

승객이 감소한다고 할 때, 이 노선의 하루 매출액이 최대가 되도록 하는 항공료를 구하

여라. (단, 0…x…10)

풀이 (항공료)=6+x(만원)

(하루평균승객수)=300-30x(명)

이므로하루매출액을 y만원이라고하면

y=(6+x)(300-30x)

=-30(x-2)¤ +1920 (0…x…10)

따라서 하루 매출액의 최댓값은 x=2일 때 1920만 원이

고, 이때항공료는 8만원이다.

답 8만원

O x

y

2

1920

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지91 mac01 T

92 Ⅱ.방정식과부등식

어떤 농작물 x톤을 팔면 1톤당 {100- }만 원의 이익이 생기고, x톤을 운송하는 데

드는 비용은 (50+10x)만 원이라고 한다. 이익금에서 운송비를 뺀 순이익금이 최대가 되

도록하려면몇톤을팔아야하는지구하여라. (단, 0<x<1000)

x13104문제

오른쪽 그림과 같이 직각을 이루는 두 벽면에 길이가 10 m

인 철망을 이용하여 직사각형 모양의 가축우리를 만들려고

한다. 가축우리의 넓이가 최대가 되도록 하는 가로와 세로

의길이를구하여라. (단,철망의두께는생각하지않는다.)

3문제

두양수 a, b의합이일정할때, 두수의곱 ab가최대가되려면 a와 b 사이에는어

떤관계가성립해야하는지설명하여보자.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

지면에서 수직 방향으로 am/s의 속력으로 던진 농구공의

x초후의높이를 ym라고하면

y=ax-bx¤ (a>0, b>0)

의 관계가 성립한다고 하자. 농구공을 던지는 속력이 2배가

되면농구공이가장높이올라갔을때의높이는몇배가되는

지구하여라.

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지92 mac01 T

2.이차방정식과이차함수 93

1 다음이차함수의그래프가 x축과만나는지알아보고, 만나는경우에는 x축

과만나는점의 x좌표를구하여라.

⑴ y=(x+1)(x-2) ⑵ y=-x¤ -2x+8

⑶ y=2x¤ +4x+2 ⑷ y=-3x¤ +2x-1

3 이차함수 y=x¤ -3x+2의 그래프와 직선 y=x+k의 위치 관계가 다음과

같을때, 실수 k의값또는그범위를구하여라.

⑴서로다른두점에서만난다.

⑵한점에서만난다.

⑶만나지않는다.

2 이차함수 y=x¤ +ax+1의 그래프가 x축과 접하도록 하는 실수 a의 값을

모두구하여라.

4 다음이차함수의최댓값또는최솟값을구하여라.

⑴ y=2x¤ -4x+3 ⑵ y=-x¤ +3x-2

5 -1…x…2일때, 다음이차함수의최댓값과최솟값을구하여라.

⑴ y=2(x-1)¤ +3 ⑵ y=-(x-3)¤ +2

중단원 기초 수준별학습

01 이차함수와이차방정식의관계

01 이차함수와이차방정식의관계

02 이차함수의그래프와직선의위치관계

03 이차함수의최대, 최소

03 이차함수의최대, 최소

[̀해답 p.̀221]

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지93 mac01 T

94 Ⅱ.방정식과부등식

1 이차함수 y=x¤ +x+k의그래프가 x축과만나는두점을 A, B라고하자.

선분AB의길이가 '5일때, 실수 k의값을구하여라.

2 오른쪽 그림과 같이 이차함수 y=x¤ -2x-3의

그래프가 x축과 만나는 두 점을 A, B라 하고,

꼭짓점을 C라고 할 때, 삼각형 ABC의 넓이를

구하여라.

3 직선 y=x+m이이차함수 y=x¤ -x+1의그래프와서로다른두점에서

만나고, y=x¤ +x+1의 그래프와는 만나지 않을 때, 실수 m값의 범위를

구하여라.

4 이차함수 y=x¤ -4x+a의최솟값이 3일때, 실수 a의값을구하여라.

5 이차함수 y=-x¤+4x+a (1…x…4)의최댓값이 2일때, 다음을구하여라.

⑴실수 a의값 ⑵최솟값

중단원 기본 수준별학습

x

y y=x@-2x-3

OA B

-3C

01 이차함수와이차방정식의관계

01 이차함수와이차방정식의관계

02 이차함수의그래프와직선의위치관계

03 이차함수의최대, 최소

03 이차함수의최대, 최소

[̀해답 p.̀221]

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지94 mac01 T

2.이차방정식과이차함수 95

1 이차함수 y=f(x)의그래프가오른쪽그림과같을

때, 방정식 f(x+1)=0의두근의합을구하여라.

2 점 A는이차함수 y=x¤ 의그래프위에있고, 점 B는직선 y=2x-2 위에

있다. 두 점 A, B에대하여선분 AB의길이가최소일때, 점 A의좌표를

구하여라.

3 두함수 f(x)=-x¤ +ax+b, g(x)=mx+n의

그래프가오른쪽그림과같을때, f(x)-g(x)의

최댓값을구하여라.

4 xæ0, yæ0이고 x+y=3일때, 2x¤ +y¤의최댓값과최솟값을구하여라.

5 길이가 40m인조립식벽면을모두 이용하여

오른쪽그림과같이세개의직사각형모양의

방으로이루어진건물을만들려고한다. 전체

건물의밑면의넓이가최대일때, x의값을구

하여라. (단, 벽면의두께는생각하지않는다.)

중단원 실력 수준별학습

y`m

x`m

O x

y

1 5

Ì{x}=mx+n

f{x}=-x@+ax+b

O x

y y=f{x}

31

-4

-1

01 이차함수와이차방정식의관계

02 이차함수의그래프와직선의위치관계

03 이차함수의최대, 최소

03 이차함수의최대, 최소

03 이차함수의최대, 최소

[̀해답 p.̀221]

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지95 mac01 T