함수의연속viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%ea%b5%90%ea%b3%bc%ec%84... ·...

66 Ⅱ.함수의극한과연속

2소득이있는우리나라국민은소득세납부의의무가있다.

소득세는개인이회사에서월급을받거나, 장사를해서이익이났을경우에그개인의소득에대

하여납부하는세금이다. 특히회사에서받는월급이개인의주소득일경우에그개인을근로소득

자라고하며, 근로소득에대한세금을근로소득세라고한다.

하지만소득이많은사람과적은사람이모두똑같이세금을내는것은아니다. 국세청에서는소

득이높아과세표준금액이많은사람에게는더높은세율을통해누진세를부과하고있다.

2012년9월개인의과세표준금액에대한기본세율은다음과같다.

그런데과세표준금액의경계에있는사람은소득차이가얼마나지않더라도

세율이크게달라지는불합리한면이있다.

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 71̀쪽

근로소득세부과의불합리한면을보완할수있는방법은무엇일까?

함수의연속

1200 4600 8800 30000과세 표준 금액(만 원)

세액(만 원)

O

100020003000400050006000700080009000

10000110001200013000

과세표준금액

1200만원이하

1200만원초과 4600만원이하


8800만원초과 3억원이하

3억원초과

<국세청, http://www.nts.go.kr>

세율

6 %

15 %

24 %

35 %

38 %

근로소득간이세액표

(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:34 PM 페이지66 mac02 T

2.함수의연속 67

함수 f(x)=x+1에서

f̀(x)=f(1)

이성립하고, 그그래프는오른쪽그림과같이x=1에서

연결되어있다.

그러나함수 g(x)= 에서

g̀(x)+g(1)

이성립하고, 그그래프는오른쪽그림과같이x=1에서

끊어져있음을알수있다.

limx⁄1

x¤ -1112 (x+1)x-1

1 (x=1)

({9

limx⁄1

01●함수의연속의뜻을안다.

함수의연속

함수의 연속이란 무엇인가?

탐구 활동 다음은세함수 y=f(x), y=g(x), y=h(x)의그래프이다. 다음물음에답하여보자.

㉠㉡㉢

1. x=1에서의함숫값이존재하는그래프를찾아보자.

2. x ⁄ 1일때의극한값이존재하는그래프를찾아보자.

3. x=1에서의함숫값과 x ⁄ 1일때의극한값이같은그래프를찾아보자.

생각 열기

O x

y

1

y=f{x}

21

O x

y

1

1

y=Ì{x}

21

O x

y

1

1

y=h{x}

함수가 정의되지 않는 점에

서도극한값은존재할수있다.

1

2

1

-1

y=f{x}

O x

y

1

2

1

-1

y=Ì{x}

O x

y

그래프가어떤점에서

끊어지지않았다는걸

어떻게알수있을까?

그래프를직접

그려보면되지.

그래프를그려야만

알수있는거야?

아니, 함수의극한을

이용해서알아볼

수도있어.



일반적으로함수 f(x)가실수 a에대하여다음조건을만족시킬때, 함수 f(x)는

x=a에서연속이라고한다.

한편함수 f(x)가 x=a에서연속이아닐때, 함수 f(x)는 x=a에서불연속이라

고한다. 즉, 함수 f(x)가❶, ❷, ❸ 중에서어느한가지라도만족시키지않으면

f(x)는x=a에서불연속이다.

예제 01

⑴함수 f(x)=x¤ +x에대하여

❶ f(1)=2

❷`f(x)=2

❸`f(x)=f(1)

따라서 f(x)는 x=1에서연속이다.

⑵함수 g(x)=‡ 에대하여

❶ g(1)=1

❷`g(x)=2

❸`g(x)+g(1)

따라서 g(x)는 x=1에서불연속이다.

답 ⑴연속　⑵불연속

limx⁄1

limx⁄1

x+1 (x+1)

1 (x=1)

limx⁄1

limx⁄1

다음함수가 x=1에서연속인지불연속인지조사하여라.

⑴ f(x)=x¤ +x ⑵ g(x)=‡

x+1 (x+1)

1 (x=1)

풀이 y=f{x}

-1 O x

y

1

2

1

2

1

-1

y=Ì{x}

O x

y

다음함수가 x=2에서연속인지불연속인지조사하여라.

⑴ f(x)=x¤ -1 ⑵ f(x)=

⑶ f(x)=‡ ⑷ f(x)=

x¤ -3x+2111132 (x+2)x-2

1 (x=2)

({9

'ƒx-2 (xæ2)

-1 (x<2)

x¤ -4111x-2

1문제

❶함숫값 f(a)가정의되어있다. 즉, a는함수 f의정의역에속한다.

❷극한값 f(x)가존재한다.

❸ f(x)=f(a)limx ⁄a

limx ⁄a

(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.30 10:32 AM 페이지68 mac02 T


이제어떤범위에서함수의연속에대하여알아보자.

먼저어떤범위에속하는모든실수를기호로나타내는방법에대하여알아보자.

두실수 a, b (a<b)에대하여실수의집합

{x|a…x…b}, {x|a<x<b}

{x|a…x<b}, {x|a<x…b}

를각각구간이라하고, 차례로기호

[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]

와같이나타낸다.

이때 [a, b]를닫힌구간, (a, b)를열린구간이라하고,

[a, b), (a, b]를반닫힌구간또는반열린구간이라고한다.

또실수의집합

{x|x…a}, {x|x<a}

{x|xæa}, {x|x>a}

도구간이라하고, 차례로기호

(-¶, a], (-¶, a), [a, ¶), (a, ¶)


특히실수전체의집합도하나의구간으로보고, 기호로(-¶, ¶)와같이나타낸다.

함수 f(x)가어떤열린구간의모든점에서연속일때, 함수 f(x)는그구간에서

연속이라고한다.

또닫힌구간 [a, b]에서정의된함수 f(x)가열린구간 (a, b)에서연속이고

f̀(x)=f(a), f̀(x)=f(b)

일때, 함수 f(x)는구간 [a, b]에서연속이라고한다.

일반적으로함수 f(x)가정의역전체에서연속일때, 함수 f(x)를연속함수라고

한다.

limx⁄b-

limx ⁄a+

[a,`b]

{a,`b}

[a,`b}

{a,`b]a b

a b

a b

a b

{- ,`a}

{- ,`a] a

a

{a, }

[a, }a

a

다음함수의정의역을구간의기호를이용하여나타내어라.

⑴ f(x)= ⑵ f(x)="√4-x¤2113

x-1

2문제

⑴함수 f(x)='ƒx+1의정의역을구간의기호로나타내면 [-1, ¶)이다.

⑵함수 g(x)=;[!;의정의역을구간의기호로나타내면 (-¶, 0)'(0, ¶)이다.

⑶함수 h(x)=x¤의정의역을구간의기호로나타내면 (-¶, ¶)이다.

보기

반열린구간이나구간

[a, ¶), (-¶, a]에서의함수

의 연속도 마찬가지 방법으로

정한다.



예를들어함수 f(x)='ƒx-1은

⁄ 구간 (1, ¶)에서연속이고

¤ f(x)=f(1)

이므로함수 f(x)는구간 [1, ¶)에서연속이다.

또함수 g(x)=x¤ 은

⁄ 열린구간 (1, 2)에서연속이고

¤ g̀(x)=g(1), g̀(x)=g(2)

이므로함수 g(x)는구간 [1, 2]에서연속이다.

limx⁄2-

limx⁄1+

limx⁄1+

O x

y

f{x}=Âx°-·1·

1

O x

y

21

1

4

Ì{x}=x@

다음함수가연속인구간을구하여라.

⑴ f(x)=x¤ -3x-4 ⑵ f(x)='ƒ2x+3 ⑶ f(x)=2x+1111x-1

3문제

함수 f(x)= 의연속성을조사하여라.x« -11124x« +1

limn⁄¶4문제

예제 02x의값에따라구간을나누어함수 f(x)를구하면다음과같다.

⁄ |x|<1일때, x¤ « =0이므로　f(x)= =0

¤ |x|>1일때, x¤ « =¶이므로　f(x)= = =1

‹ |x|=1일때, x¤ « =1이므로　f(x)= =

f(x)=

따라서함수 f(x)는 x=1, x=-1에서불연속이고, 그밖의모든점에서연속이다.

답 x=1, x=-1에서불연속, 그밖의모든점에서연속

0 (|x|<1)

1 (|x|>1)

;2!; (|x|=1)

(\{\9

112

x¤ «111x¤ « +1

limn⁄¶

limn⁄¶

111121

1+12x¤ «

limn⁄¶

x¤ «111x¤ « +1

limn⁄¶

limn⁄¶

x¤ «111x¤ « +1

limn⁄¶

limn⁄¶

함수 f(x)= 의연속성을조사하여라.x¤ «1123

x¤ « +1limn⁄¶

풀이

O x

y

21

1

-1 1

y=f{x}



함수 f(x)= 가모든실수 x에서연속이되도록하는실수 a, b의값

을구하여라.

'ƒx+3+a11113 (x+1)x-1

b (x=1)

({95문제

예제 03

함수 f(x)가모든실수 x에서연속이려면 x=2에서연속이어야하므로

`f(x)=f(2)에서　 =b yy`①

의값이존재하고 (x-2)=0이므로

(x¤ -ax+2)=0에서　a=3

a=3을①에대입하면

= = (x-1)=1=b

따라서　a=3, b=1

답 a=3, b=1

limx⁄2

(x-2)(x-1)1111112x-2

limx⁄2

x¤ -3x+2111123x-2

limx⁄2

limx⁄2

limx⁄2

x¤ -ax+2111123x-2

limx⁄2

x¤ -ax+2111123x-2

limx⁄2

limx⁄2

함수 f(x)= 가 모든 실수 x에서 연속이 되도록 하는 실수 a, b

의값을구하여라.

x¤ -ax+2111123 (x+2)x-2

b (x=2)

({9

풀이

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

근로 소득세 부과의 불합리한 면

을보완하기위하여국세청에서는

‘누진 공제’방법을 사용하여 세금

을 부과하고 있다. 즉, 오른쪽 표

와 같이 과세 표준 금액에서 누진

공제 금액 만큼을 빼서 세액이 급

격하게변화하지않도록하고있다.

과세표준금액을 x만원, 세액을 f(x)만원이라고할때, 물음에답하여라.

⑴함수 f(x)를구하여라.

⑵함수 f(x)가 x=1200에서연속인지불연속인지조사하여라.

⑶함수 f(x)가 x=4600에서연속이되도록하는상수 k의값을구하여라.

과세표준금액

1200만원이하



8800만원초과 3억원이하

3억원초과

(세액)=(과세표준금액)_(세율)-(누진공제)

세율

6 %

15 %

24 %

35 %

38 %

누진공제

-

108만원

k만원

490만원

900만원



02●연속함수의성질을이해하고, 이를활용할수있다.

연속함수의성질

연속함수에 대한 성질은 어떠한가?

탐구 활동 두함수 f(x)=x¤ , g(x)=x-1은 x=1에서연속이다. 다음 세 학생의의견중잘못된

의견을찾고, 그 이유를설명하여보자.

두함수 f(x), g(x)가x=a에서연속이면

f̀(x)=f(a), g̀(x)=g(a)

이므로함수의극한에대한성질에의하여

c̀f(x)=c f(x)=cf(a) (단, c는상수)

`{ f(x)+g(x)}= f(x)+ g̀(x)=f(a)+g(a)

`{ f(x)-g(x)}= f(x)- g̀(x)=f(a)-g(a)

f(x)g(x)= f(x)¥ g̀(x)=f(a)g(a)

가성립한다. 특히 g(a)+0이면

= =

가성립한다.

따라서함수 cf(x), f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), 도 x=a에서

연속이다.

f(x)112g(x)

f(a)112g(a)

lim f(x)x⁄a1111lim g(x)x⁄a

f(x)112g(x)limx ⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx ⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx ⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx ⁄a

limx⁄a

limx ⁄a

limx ⁄a

limx ⁄a

f(x)+g(x)=x¤ +x-1

도x=1에서연속이야.

f(x)g(x)=x‹ -x¤ 도

x=1에서연속이야.= 도

x=1에서연속이야.

x¤113x-1

f(x)113g(x)



일차함수 y=x는모든실수에서연속이므로연속함수의성질⑶에의하여이함수

의곱으로나타나는함수

y=x¤ , y=x‹ , y, y=x« (n은자연수)

도모든실수에서연속이다.

따라서연속함수의성질⑴, ⑵에의하여이들함수에상수를곱하여더한다항함수

f(x)=a«x« +a«–¡x« —⁄ +y+a¡x+aº (a«, a«–¡, y, a¡, aº은상수)

도모든실수에서연속이다.

또유리함수는두다항식의몫

f(x)= (P(x), Q(x)는다항식)

의꼴로나타나므로연속함수의성질⑷에의하여분모를 0으로하는 x의값을제외

한모든실수에서연속이다.

P(x)112Q(x)

이상을정리하면다음과같다.

연속함수의성질

두함수 f(x), g(x)가 x=a에서연속이면다음함수도모두 x=a에서연속이다.

⑴ cf(x) (̀단, c는상수) ⑵ f(x)—g(x)

⑶ f(x)g(x) ⑷ (̀단, g(a)+0)f(x)112g(x)

⑴함수 f(x)=x¤ -2x-3은모든실수에서연속이다.

⑵함수 g(x)= 는 x+-1인모든실수에서연속이다.2x113x+1

보기

다음함수의연속성을조사하여라.

⑴ f(x)=-x¤ +4 ⑵ f(x)=(3x+1)(x‹ -2) ⑶ f(x)=2x113

x+2

1문제

유리함수중실수전체의집합에서연속인예를말하여보자.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결 유리함수는분모를

0으로하는x의값에서

불연속이지?

음~

그렇지.

그럼, 유리함수는

항상모든실수에서

연속이될수없겠네.

글쎄……. 그렇지

않은예를찾아볼까?



최대·최소 정리란 무엇인가?

위의그래프에서기온은측정시각에따라연속적으로변하므로일정한범위에서

반드시최댓값과최솟값을가진다.

이를테면닫힌구간 [-2, 1]에서연속인함수 f(x)=x¤

은이구간에서 x=-2일때최댓값 4를가지고, x=0일

때최솟값 0을가진다.

한편열린구간 (-2, 1)에서함수 f(x)=x¤ 은이구간

에서최댓값은갖지않고최솟값만을가진다.

일반적으로닫힌구간에서연속인함수에대하여다음과

같은최대·최소정리가성립한다.

1

1

4

-2

y=x@최댓값

최솟값

O x

y

최대·최소정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이면, f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값

을가진다.

닫힌 구간 [-1, 2]에서 함수 f(x)=2x¤ -4x-3은 연속이

므로최댓값과최솟값을가진다.

즉, 치역이 닫힌 구간 [-5, 3]이므로 x=-1일 때 최댓값

은 3이고, x=1일때최솟값은-5이다.

보기

닫힌 구간이 아닌 구간에서

정의된 연속함수는 최댓값과

최솟값을갖지않을수도있다.

1

1

4

-2

y=x@

최솟값

O x

y

다음주어진구간에서함수 f(x)의최댓값과최솟값을구하여라.

⑴ f(x)=-x¤ -2x+3 [-2, 1] ⑵ f(x)= [2, 5]

⑶ f(x)='ƒ2-x [-3, 2]

2113x-1

2문제

O x

y

1

3

-3

-5

2-1

y=2x@-4x-3

오른쪽그래프는어느날오전 6시부터오후 6시까지

12시간 동안 기온 변화를 측정하여 나타낸 것이다.

다음물음에답하여보자.

1. 기온이최대일때의시각과온도를말하여보자.

2. 기온이최소일때의시각과온도를말하여보자.

O 시각(시)

기온(æC)

6

5

16

22

15 18

탐구 활동



사이값 정리란 무엇인가?

김포 공항에서 제주 공항까지 가는 비행기에 탑승한

채영이는 이륙 후 기내의 화면에서 현재 고도가

5638 m임을확인하였다. 다음물음에답하여보자.

1. 이륙후부터착륙시까지비행기의고도는연속적으

로변하겠는가?

2. 착륙 시까지 비행기의 고도가 5000 m인 순간이 반

드시있다고할수있는지말하여보자.

비행기의 고도는 연속적으로 변하므로

시간에따른고도의그래프는연속이다. 따

라서 현재 고도가 5638 m이므로 이륙 후

5000 m인순간과착륙전 5000 m인순간

이반드시존재한다고할수있다.

이를테면함수 f(x)=x¤ 은닫힌구간 [1, 2]에서연속

이므로 이 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 두 점

A(1, 1), B(2, 4) 사이에서이어져있다.

따라서 1<k<4인임의의 k에대하여 x축에평행한직

선 y=k는이그래프와적어도한점에서만난다.

즉, 1과 4 사이의임의의값 k에대하여 f(c)=k인 c가

열린구간 (1, 2)에적어도하나존재한다.

일반적으로닫힌구간에서연속인함수에대하여다음과같은사이값정리가성립

한다.

10

500056388400

60시간(분)

고도(m)

O

10분간 순항

y=k

1

4

1 2c

y=x@

k

A

B

O x

y

사이값정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)+f(b)

이면, f(a)와 f(b) 사이의임의의값 k에대하여

f(c)=k (a<c<b)

인 c가적어도하나존재한다.

O x

y

y=k

y=f{x}

ba

k

f{b}

f{a}

c™c¡ c£

탐구 활동

비행기의고도변화



특히함수 f(x)가닫힌구간 [a, b]에서연속이고 f(a)

와 f(b)의부호가서로다르면, f(c)=0인 c가열린구간

(a, b)에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 f(x)=0은

열린구간 (a, b)에서적어도하나의실근을가진다.

예제 01f(x)=x‹ +3x-2라고하면함수 f(x)는닫힌구간 [0, 1]에서연속이고

f(0)=-2<0, f(1)=2>0

이므로사이값정리에의하여 f(c)=0인 c가열린구간 (0, 1)에적어도하나존재

한다.

즉, 방정식 x‹ +3x-2=0은열린구간 (0, 1)에서적어도하나의실근을가진다.

방정식 x‹ +3x-2=0은열린구간 (0, 1)에서적어도하나의실근을가짐을보여라.

풀이

다음방정식이주어진구간에서적어도하나의실근을가짐을보여라.

⑴ x‹ -3x+1=0 (1, 2) ⑵ -5x+1=0 { , 1}112

31x

3문제

다음물음에답하여라.

⑴열린구간에서연속이지만, 최댓값또는최솟값을갖지않는예를찾아라.

⑵함수 f(x)가닫힌구간 [a, b]에서연속이고 f(a)와 f(b)의부호가같을때,

f(c)=0인 c가열린구간 (a, b)에존재하는지설명하여라.

4문제

발전

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 도형이 있다. 이 도형의

넓이를 y축과 평행한 직선으로 이등분할 수 있는지를 사이

값정리를이용하여설명하여라.

창up의

O x

y

O x

y y=f{x}

f{b}

f{a}

abc¡c¡ c£



중단원 기초 수준별학습

1 다음함수가 x=0에서연속이아닌이유를설명하여라.

⑴ ⑵

O x

y y=f{x}

1

2

O x

y y=f{x}

1

2

3 두함수 f(x)=x+1, g(x)=x¤ -3x+2에대하여다음함수가연속인 x값

의범위를구간의기호로나타내어라.

⑴ 2f(x)+g(x) ⑵ f(x)g(x) ⑶f(x)112g(x)

01 함수의연속

2 다음함수가연속인 x값의범위를구간의기호로나타내어라.

⑴ f(x)='ƒ5-x ⑵ f(x)= ⑶ f(x)=22112x+1

01 함수의연속

02 연속함수의성질

4 다음함수가주어진구간에서최댓값과최솟값을가지면그값을구하여라.

⑴ f(x)=x¤ -6x+4 [-2, 3]

⑵ f(x)= [1, 4]2x+11123x-1

최대·최소 정리


5 다음방정식이주어진구간에서적어도하나의실근을가짐을보여라.

⑴ x‹ +3x-2=0 (-1, 1)

⑵ x› +x‹ -8x+1=0 (1, 2)

사이값 정리


[̀해답 p.̀198 ]̀



중단원 기본 수준별학습

4 두함수 f(x), g(x)가 x=a에서연속일때, 다음함수중 x=a에서항상

연속인함수의개수를구하여라. (단, g(a)+0이고 g(x)의치역은 f(x)의

정의역에포함된다.)

1 -2…x…2에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프

가오른쪽그림과같을때, 이구간에서함수 f(x)

의극한값이존재하지않는점의개수를 a, f(x)

가불연속인점의개수를 b라할때, a+b의값을

구하여라.

01 함수의연속

3 함수 f(x)= 가 x=1에서연속이되도록상수 a의값을구하

여라.

x« ±⁄ +a11125x« +1

limn⁄¶

01 함수의연속

2 함수 f(x)=

가 x=0에서연속이되도록상수 a의값을구하여라.

'ƒ1+x-'ƒ1-x11111123 (x+0)x

a (x=0)

({9

01 함수의연속


O x

y

21

-2-1

-1

21

㉠ f(x)-2g(x) ㉡ { f(x)}¤

㉢㉣ f(g(x))f(x)112g(x)

5 방정식 x¤ -2x+k=0이 구간 (1, 3)에서 실근을 갖도록 하는 실수 k값의

범위를구하여라. 사이값 정리


[̀해답 p.̀199]



중단원 실력 수준별학습

4 연속함수 f(x)가모든실수 x에대하여 f(x)=f(-x)를만족시키고

f(0)f(1)<0, f(2)f(3)<0일 때, 방정식 f(x)=0은 적어도 몇 개의 실근

을갖는지구하여라.

3 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,

다음의함수 y=g˚(x) (k=1, 2, 3)의그래프중함

수 y=f(x)g˚(x)가 구간 [-1, 3]에서 연속이 되는

것을모두찾아라. O x

y

2

-1 32

y=f{x}

1 함수 f(x)= 가모든실수 x에서연속이되도록상수

a, b의값을구하여라.

x¤ « ±⁄ +ax+b1111114x¤ « +1

limn⁄¶

2 함수 f(x)=x¤ + + + +y에대하여다음물

음에답하여라.

⑴함수 f(x)의그래프를그려라.

⑵함수 f(x)가불연속인 x의값을구하여라.

x¤11115(1+x¤ )‹

x¤11115(1+x¤ )¤

x¤11241+x¤

㉠㉡㉢

O x

yy=Ì£{x}1

-1-1 2

3

-1 3

2 y=Ì™{x}

O x

y

O x

y

1

1-1 3

y=Ì¡{x}

01 함수의연속

01 함수의연속


사이값 정리


[̀해답 p.̀199 ]̀



이분법(Bisection method)

함수 f(x)가닫힌구간 [a, b]에서연속이고 f(a)f(b)<0이면, 사이값정리에의하여

방정식 f(x)=0의실근이열린구간 (a, b)에적어도하나존재한다.

이때열린구간 (a, b)를계속절반으로줄여가면서사이값정

리를 이용하면 방정식 f(x)=0의 실근에 가까운 값을 구할 수

있다. 즉, 구간 [a, ]와구간 [ , b]에사이값정리를

다시한번적용하면실근이둘중적어도한곳에반드시있다고

말할수있다.

이와같이주어진구간을절반씩나누어반드시실근이존재하

는구간을선택하는과정을반복하면방정식 f(x)=0의실근에거의가까운값을원하

는만큼정확하게구할수있다. 이런방법을이분법(Bisection method)이라고한다.

a+b1122

a+b1122

예를들어 f(x)=x‹ +3x-1이라고하면, 함수 f(x)는닫힌구간 [0, 1]에서연속이고

f(0)=-1<0, f(1)=3>0이므로방정식 x‹ +3x-1=0의한실근은열린구간 (0, 1)

에있다. 이때다음사실을알수있다.

⑴ f{ }= >0이므로이실근은열린구간 {0, }에있다.

⑵ f{ }=- <0이므로이실근은열린구간 { , }에있다.

이와같은과정을반복하면주어진방정식의한실근은다음구간에있음을알수있다.

{ , }, { , }, { , }, { , }, y211364

51316

111332

51316

318

51316

318

114

112

114

151364

114

112

518

112

방정식 x‹ -2x-3=0은 열린 구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 가진다. 이분법을 세 번 이

용하여방정식 x‹ -2x-3=0의실근이존재하는구간을구하여라.

| 과 제 | 1

수행 과제

O x

y

f{a}

a b

f{b}

y=f{x}

2a+b


대단원학습내용정리 81

대단원 학습 내용 정리

함수의 극한의 뜻

함수의 극한

함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질

때, f(x)의값이일정한값 a에한없이가까워지면함수 f(x)

는 a에 수렴한다고 하고, a를 x의 값이 a에 한없이 가까워질

때의함수 f(x)의극한값또는극한이라고하며, 기호로

f(x)=a 또는　x ⁄ a일때 f(x) ⁄ a


좌극한과 우극한

⑴ x의값이a보다작으면서a에한없이가까워질때, 함수 f̀(x)

의 극한값 a를 f(x)=a와 같이 나타내고, a를 x=a

에서의함수 f(x)의좌극한이라고한다.

⑵ x의값이 a보다크면서 a에한없이가까워질때, 함수 f(x)

의극한값 b를 f(x)=b와같이나타내고, b를 x=a

에서의함수 f(x)의우극한이라고한다.

limx⁄a+

limx⁄a-

limx⁄a

1

함수의 극한에 대한 성질

함수의 극한에 대한 성질

`f(x)=a,

`g(x)=b(a, b는실수)일때

⑴`cf(x)=ca (단, c는상수)

⑵`{ f(x)+g(x)}=a+b

⑶`{ f(x)-g(x)}=a-b

⑷`f(x)g(x)=ab

⑸ = (단, b+0)

함수의 극한의 대소 관계

`f(x)=a,

`g(x)=b`(a, b는실수)일때, a에가까운모

든 x의값에대하여

⑴ f(x)…g(x)이면　a…b⑵ f(x)…h(x)…g(x)이고 a=b이면　 h(x)=a

⑶ f(x)<g(x)라고 해서 반드시`f(x)< g(x)가 성

⑶ 립하는것은아니다.

limx⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx⁄a

a1bf(x)112g(x)lim

x⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx⁄a

limx⁄a

⑷ f(x)<h(x)<g(x)라고해서반드시

⑶`f(x)< h(x)< g(x)가성립하는것은아니다.lim

x⁄alimx⁄a

limx⁄a

2

함수의 연속

연속과 불연속

함수 f(x)가실수 a에대하여

❶함숫값 f(a)가정의되어있다.

❷극한값 f(x)가존재한다.

❸ f(x)=f(a)

를만족시키면 f(x)는 x=a에서연속이라고한다.

한편함수 f(x)가위의세조건중어느하나라도만족시키지

않으면 f(x)는 x=a에서불연속이라고한다.

limx⁄a

limx⁄a

3

연속함수의 성질

연속함수의 성질

두함수 f(x), g(x)가 x=a에서연속이면다음함수도모두

x=a에서연속이다.

⑴ cf(x) (단, c는상수)

⑵ f(x)—g(x)

⑶ f(x)g(x)

⑷ (단, g(a)+0)

최대·최소 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]

에서 연속이면, f(x)는 이 구

간에서 반드시 최댓값과 최솟

값을가진다.

사이값 정리

함수 f(x)가닫힌구간 [a, b]에서

연속이고 f(a)+f(b)이면, f(a)

와 f(b) 사이의임의의값 k에대

하여 f(c)=k (a<c<b)인 c가

적어도하나존재한다.

f(x)112g(x)

4

O x

yf{b}

f{a}

f{c}

a c b

y=f{x}최댓값

최솟값

O x

yf{b}

k

f{a}

a c™c¡ c£ b

y=f{x}

용어와 기호 구간, 닫힌 구간, 열린 구간, 반닫힌(반열린) 구간, 좌극한, 우극한, 연속, 불연속, 연속함수, 최대·최소 정리, 사이값 정리,

[a, b], (a, b), [a, b), (a, b], f̀(x), f̀(x), f̀(x)limx⁄a

limx⁄a+

limx⁄a-

(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.30 10:32 AM 페이지81 mac02 T


대 /단 /원 평가 문제

함수 y=f(x)의그래프가다음과같을때,

`f(x)의값이존재하는것은?

① ②

③ ④

⑤

a x

a xa x

a x

a x

limx⁄a

1

의값은?

①-3 ②-2 ③-1

④ 0 ⑤ 1

"√x¤ +3-4x111112x-1

limx⁄¶4

두함수 y=f(x), y=g(x)의그래프가각각다

음과같을때, 다음중에서옳은것을있는대로

고른것은?

6

Ⅱ. 함수의극한과연속

선 택 형

두함수 f(x), g(x)가

f(x)=2, g(x)=3을만족시킬때,

다음중계산이옳지않은것은? (단, g(x)+0)

① { f(x)+g(x)}=5

② { f(x)}¤ =4

③ =

④ =

⑤ =-113

f(x)-g(x)111112g(x)

limx⁄1

219

f(x)1114{g(x)}¤

limx⁄1

312

f(x)112g(x)

limx⁄1

limx⁄1

limx⁄1

limx⁄1

limx⁄1

2

①ㄱ ②ㄴ ③ㄷ

④ㄱ, ㄷ ⑤ㄴ, ㄷ

ㄱ. f(x)의값은존재하지않는다.

ㄴ. f(g(x))=0

ㄷ. 합성함수 g(f(x))는x=1에서연속이다.

limx⁄1

limx⁄1

O x

y

1

1

y=f{x}

O x

y

1

1

y=Ì{x}

의값은?

① ② ③ 1

④ ⑤513

413

213

113

x-3111124"√x¤ +7-4

limx⁄33

=3일때, 상수 a, b에대하여

ab의값은?

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

3x¤ +ax+b111113x-1

limx⁄15


대단원평가문제 83

삼차함수 f(x)에대하여

=-3, =-6일때,

f(x)를구하여라.

f(x)112x-2

limx⁄2

f(x)112x+1

limx⁄-1

11

|서|술|형 |̀

|서|술|형 |̀

서 답 형

모든실수에서연속인함수 f(x)가

(x-2)f(x)=x¤ +ax+6

을만족시킬때, f(2)의값은?

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

8

임의의실수 x에대하여함수 f(x)가

5x¤ -2…f(x)…5x¤ +7

을만족시킬때, 의값을구하여라.f(x)112x¤

limx⁄¶

12

성진이는 2014년 4월 1일에자신의손목시계를

보니 정확한 시각보다 10분 빨랐었고, 2014년

5월 1일에는정확한시각보다 5분늦게가고있

었다고한다. 이기간동안에성진이의시계가정

확한시각을나타내는순간이적어도한번있었

음을보여라.

14연속함수 f(x)에대하여

f(-1)=-2, f(0)=2, f(1)=-1, f(2)=3

일때, 방정식 f(x)-x=0은구간 (-1, 2)에

서적어도n개의실근을가진다. 이때n의값은?

① 0 ② 1 ③ 2

④ 3 ⑤ 4

10

함수 f(x)= 이 불연속인 x의 개

수는?

① 0 ② 1 ③ 2

④ 3 ⑤ 4

x¤ «1112x¤ « ±⁄ +1

limn⁄¶7

두 함수 f(x), g(x)에 대하여 다음 중에서 옳

은것을있는대로고른것은?

9

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. f(x), f(x)+g(x)가 x=a에서 연속이

면함수 g(x)도 x=a에서연속이다.

ㄴ. f(x), g(x)가 x=a에서 연속이면 함수

f(x)g(x)도 x=a에서연속이다.

ㄷ. f(x), g(x)가 x=a에서 연속이면 함수

도 x=a에서연속이다.f(x)112g(x)

함수 f(x)= 가 x=1에

서연속이되도록하는상수 a, b의값을구하는

풀이과정과답을서술하여라.

a'ƒx+3+b11111 (x+1)x-1

1 (x=1)

({9

13

[̀해답 p.̀200 ]̀


현재도 쓰고 있는 소행성의 궤도 계산에 지대한 공헌을 한 독일의 천문학자인 올베르스

(Olbers, H. W. M. ; 1758~1840)는무수한별이하늘에균등히분포되어있다면밤하늘의

밝기가낮과똑같아야한다고지적하며정적인무한우주에대한역설을발표하였다.

우주공간에균일한평균밀도를지닌별들이고르게흩어져있다면변하지않는무한히많은

별들에서비춰지는전체별빛은쉽게계산할수있다.

별의밝기는거리의제곱에반비례하므로어떤별이지구와태양사이의거리의k배멀리있다

고생각하면, 그별빛의세기는태양빛의 배로희미해진다.

그러나반지름의길이가r인구의겉넓이는4pr¤이고, 반지름의길이가kr인구의겉넓이

는 4pk¤ r¤이기때문에우주공간에균등한평균밀도를가진별들이고르게흩어져있다

면, 거리에대한별들의숫자는거리의제곱에비례하여증가한다.

따라서우주가균일한빛을가진별을가진다고가정했을때전

체별빛과태양빛의세기는동일하고, 하늘은늘정오의태양

처럼밝아야한다는결론이나온다.

실제로우리에게는어두운밤이있고, 낮도한없이밝은

것은아니다. 역설을제기한장본인인올베르스는그이유로

우주공간에퍼져있는방대한양의먼지와가스구름들이

별빛을흡수하기때문에모든별빛이지구에도달할수없다

는‘가스층흡수이론’을주장하였다.

115k¤

Real Life

밤하늘은왜어두울까?

-̀올베르스의역설(Olbers’paradox)

수 학 실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활실 생 활


r

¬r


수학플러스 85

그러나오랜세월동안별들이우주공간으로방출한열과빛에노출된먼지와가스층이발광성운이되어

흡수한복사와똑같은강도의복사를방출하게되고, 별들이영원히타오른다면이러한복사는무한대의세

기를가질것이다. 따라서우주는수천æ의온도를가진열복사로가득차서밤하늘은어둡기보다는높은

온도에서환하게빛날것이기때문에올베르스의역설을완전히해결할수는없다.

영국의물리학자켈빈(Kelvin, W. T. ; 1824~1907)은유한한속도를가지고있는빛이특정거리

를진행하려면반드시시간이소요되므로밤하늘을가득메우고있는별의모습은지금이순간의모습이

아니라과거의모습이라고하면서, 밤하늘이밝게빛

나려면우주는적어도수백조광년이상뻗어있어

야하지만우리우주가아직그정도나이를먹지

않았기때문에밤하늘이어둡게보인다고설명하

였다.

즉, 빛의속도는유한하여일부빛은아직지

구에도달하지않았으며, 빅뱅우주론에따

르면우주는유한한나이를가지기때문에

별들이일정거리안에만존재하고, 우

주가팽창하기때문에세월이흐를수

록아직도달하지못한별빛들이마

저도달하여밤하늘의밝기가점

차 밝아지는 현상도 나타나지

않는다.


함수의연속viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%ea%b5%90%ea%b3%bc%ec%84... ·...

Documents