有向數運算、分數運算

變換主項、解一次方程、解一次不等式、因式分解、多項式的加減乘除： 1. 兩邊做相同運算（eg：兩邊同時 加、減、乘、除、平方、開方…..等） eg：兩邊同時 乘 分母的 LCM，使分母等於“1＂、“交差相乘＂、移項…. 2. 同類項相加減 3. 分配律拆括號___抽公因子 4. 利用恆等式 5. 兩邊同時 乘/除 負數 ， 不等式方向改變

百分法：

( )百分數增減原值新值 +×= 1 %100×−=原值

原值新值百分數增減

盈利： 售價 = 成本 ×（1 ＋ 盈利％）

虧蝕： 售價 = 成本 ×（1 － 虧蝕％）

折扣： 售價 = 標價 × (1 － 折扣％）

利息：

本利和 = 本金 + 利息

單利利息= 本金 × 每期的利率 × 期數、單利本利和 = 本金 ( 1 + 每期的利率 × 期數)

複利利息 = 本金 ( 1 + 每期的利率 )期數 － 本金

複利本利和 = 本金 ( 1 + 每期的利率 )期數

增長及折舊：

增長新值 ( )期數每期的增長率原值 +×= 1 折舊新值 ( )期數每期的折舊率原值 −×= 1

數與代數：

指數運算：

(1) 1. ( am ) ( an ) = am + n e.g. 23 × 27 = 210 = 1024

2. ( am ) ÷ ( an ) = am - n e.g. 497777 235

3

5

=== −

3. ( am )n = amn e.g. ( 52 )3 1562555 632 === ×

4. ( ab )m = ambm e.g. ( 2 × 5 )3 33 52 ×=

左方 1000103 == , 右方 10001258 =×=

5. mmm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ e.g. 4

44

210

210

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

其中 0≠b 左方 62554 == , 右方 62516

10000==

6. mm aa−=

1 e.g. 22 771 −=

其中 0≠a 491

7177

77

2253

5

3

==== −−

7. 10 ≡a

其中 0≠a ， 00 無定義

恆等式：

(2) 1. ( )222 2 bababa +=++ e.g. 72＋2 ( 7 ) ( 3 )＋32 = ( 7＋3 )2 = 100

2. ( )222 2 bababa −=+− e.g. 72－2 ( 7 ) ( 3 )＋32 = ( 7－3 )2 = 16

3. ( )baba +=− 22 ( )ba − e.g. 72－32 = ( 7＋3 ) ( 7－3 ) = 40

4. ( )baba +=+ 33 ( )22 baba +− e.g. 103＋23 = ( 10＋2 ) ( 102－10 × 2＋22 ) = 1008

5. ( )baba −=− 33 ( )22 baba ++ e.g. 103－23 = ( 10－2 ) ( 102＋10 × 2＋22 ) = 992

6. ( )axxa −−=− e.g. 2－9 = －( 9－2 )

7. xa

xa

xa

−=−

=−

e.g. 999＋8

7−

= 999＋87− = 999－

87

根號運算：

將分母有理化： =+3

313

3333

331 +

=⋅+

對於整數 p 和 q ：

( ) q ppqqp

aaa == ，其中 a、q > 0 abba =× ba

ba

=

誤差：

真確值量度值絕對誤差 −= 、 真確值一般是無法得知的

2度之間所代表的量量度工具上兩個相鄰刻

最大誤差 =

相對誤差 = 量度值

最大誤差 、 百分誤差 =

量度值

最大誤差 %100× %100×= 相對誤差

真確值上限 = 量度值 ＋ 最大誤差 、 真確值下限 = 量度值 － 最大誤差

最大誤差 最大誤差

x

真確值下限 量度值 真確值上限

真確值所在之範圍

例題：一枝鉛筆長 16.5 cm，準確至 0.5 cm。

(i) 求百分誤差。 （ii）下列哪項可能是鉛筆的實際長度？

16 cm 、 16.2 cm、 16.7 cm、 16.8 cm

解答：(i) 0.5 cm 就是 兩相鄰刻度之間 所代表的量

最大誤差 25.025.0== cm， 百分誤差 %100

5.1625.0

×= %515.1= (3.d.p.)

(ii) 量度值 5.16= cm (準確至最接近的 0.5 cm)

25.05.16

25.05.16 +

十進數和二進數 / 十六進數的互換：

例： 201010111010

1396

41632642561024212121212121 2456810

=+++++=

×+×+×+×+×+×=

例： 210 100001167 =

例： A 1685

2693

512825601651681610 012

=++=

×+×+×=

例： =103574 DF 166

有效數字 (最為主要，由最左數起)

4237 4 s.f. 6.45 3 s.f. 0.00025 2 s.f. 5.200 4 s.f.

730000726058 = (2 s.f.) 726000= (3 s.f.)

726100= (4 s.f.)

02.0015029.0 = (1 s.f.)

015.0= (2 s.f.) 0150.0= (3 s.f.) 0150.0= 3 (4 s.f.)

指數記數法

na 10× ，其中 101

初中幾何定理 反射對稱 旋轉對稱 ； n 重旋轉對稱 反射變換 旋轉變換 平移變換 放大或縮小變換 尤拉公式 F + V－E = 2 直線上的鄰角和【為 180°】 繞一點的鄰角和 / 同頂角之和【為 360°】 對頂角【相等】 同位角, PQ // RS 內錯角, PQ // RS 同旁內角, PQ // RS

已知 PQ // RS，則會有 同位角相等；內錯角相等；同旁內角互補

同位角相等 內錯角相等 同旁內角互補

這三個方法用來證明兩條直線平行

Δ內角和 【等於 180°】 全等Δ的對應角 【相等】

Δ外角 【等於兩內對角之和】 全等Δ的對應邊 【相等】 多邊形內角和 【(n-2)X180°】 SSS

多邊形外角和 【360°】 ASA AAS

SAS 畢氏定理 ； 畢氏定理的逆定理

RHS

這五個方法用來證

明兩個三角形全等

相似Δ對應角【相等】 等腰Δ底角 【相等】

相似Δ對應邊 【成比例】 等角對邊相等 AAA 等邊Δ性質 三邊成比例

兩邊成比例且夾角相等

這三個方法用來證

明兩個三角形相似

等腰Δ性質

圖形與幾何：

Δ任何兩邊之和必大於第三邊 中點定理 截線定理 角平分線 內心、傍心 垂直平分線 外心 中線 形心（重心） 頂垂線 (高) 垂心

定義： 性質

1.梯形：

有一組對邊平行的四邊形

2.平行四邊形：

有兩組對邊平行的四邊形

> 兩組對邊分別相等

> 兩組對角分別相等

> 對角線互相平分

> 對邊平行且相等

充要條件；連同定義，

共有五個方法去判斷一

個四邊形是否是平行四

邊形

3.菱形：

四條邊的長度都相等的四邊形

> 具有平行四邊形全部性質

> 對角線互相垂直

4.長方形：

四個角都相等的四邊形

> 具有平行四邊形全部性質

> 對角線長度相等

> 所有內角都是直角

> 對角線互相平分成四條等長線

段

5.正方形：

各邊的長度相等及各內角都相

等的四邊形

> 具有平行四邊形全部性質

> 對角線與邊的夾角是 45°

求積法

任何柱體體積 = 底面積 × 高 任何錐體體積 = 31 × 底面積 × 高

圓形面積 = 2rπ 圓周 = rπ2 扇形面積及弧長 均與圓心角成正比

正方形面積

=（邊長）2

長方形面積

= 長 × 闊

平行四邊形面積

= 底 × 高

梯形面積

= 21

（高）（上底 +下底 ）

Δ面積

( )( )( )csbsass −−−=

Δ面積

θsin21 ab=

Δ面積21

= (底)(高)；

兩Δ同高同底面積相等；

兩Δ同高不同底，面積與底長成正比

相似平面圖形： 面積比例 =（對應邊比例）2

相似立體圖形：

體積比例 =（對應邊比例）3

〝對應面〞面積比例 =（對應邊比例）2

球體 體積 = 34 πr 3 表面積 = 4πr 2

圓柱 體積 = πr 2h 側面積 = 2πrh

圓錐 體積 = 31 πr 2h 側面積 = πrl 其中 222 hr +=l

角柱 體積 = 底面積 × 高

會考

試卷

上的

參考

公式 角錐 體積 = 31 × 底面積 × 高

直角坐標、 極坐標：

1. 兩點 ( )11, yxA 和 ( )22 , yxB 間的距離： ( ) ( )212212 yyxxAB −+−=

水平線上的兩點的距離

12 xxAB −= 。

鉛垂線上的兩點的距離

12 yyPQ −= 。

2. 直線的斜率

(a) 過 ( )11, yxA 和 ( )22 , yxB 的直線斜率 m 是： 12

12

xxyym

−−

=

(b) 水平線的斜率是 0；鉛垂線的斜率是沒有意義的。

坐標幾何學：

3. 平行線與垂直線

若 CDAB // ，則 21 mm = 。 若 CDAB ⊥ ，則 121 −=×mm 。

若 21 mm = ，則 CDAB // 。

若 121 −=×mm ，則 CDAB ⊥ 。

4. 分點

(a) 若 ( )yxP , 是線段 AB 的中點，則

2

21 xxx +=

221 yyy +=

（b）若 ( )yxP , 是線段 AB 上的某點，

且 srPBAP :: = ，則

srsxrxx

++

= 12

srsyryy

++

= 12

三角學：

三角比：

θsin =斜邊

對邊、 θcos =

斜邊

鄰邊、 θtan =

鄰邊

對邊

解直角三角形，只需要用到 sin、 cos、 tan、 及畢氏定理

常用的三角恆等式：

(a) θθθ

cossintan ≡

(b) 1cossin 22 ≡+ θθ 亦可寫成 θθ 22 cos1sin −= 或 θθ 22 sin1cos −=

(c) ( )θθ −°≡ 90cossin

(d) ( )θθ −°≡ 90sincos

(e) ( )θθ −°≡ 90tan1tan 即 ( )

θθ

tan190tan ≡−°

θ

三角比 °30 °45 °60

θsin 21

21

或22

23

θcos 23

21

或22

21

θtan 3

1或

33 1 3

2

1

30°

60°

45°

2

1

1

斜率、傾角、仰角、俯角、方位：

AB 的斜率ACBC

BABA

==的平移距離至由

的上升距離至由

斜率和傾角

在圖 10 中，θ 是斜坡 AB 與水平線 AC

的夾角，稱為 AB 的傾角。

AB 的斜率 θtan=

仰角

視線與水平線所形成的角稱為仰角。

例如：在圖 11 中，由 P 測得 Q 的仰角是θ 。

俯角

視線與水平線所形成的角稱為俯角。

例如：在圖 12 中，由 P 測得 Q 的俯角是φ 。

由一點 B 測得另一點 A 的仰角等於由 A 點測得 B 點的俯角。

方位

A. 基本方法

圖 13 所示為常用的方位：東(E)、

東南(SE)、南(S)、西南(SW)、

西(W)、西北(NW)、北(N)和東北(NE)。

B. 準確表示方位的方法

(a) 象限角

它的形式是 N °x E、N °x W、S °x E

或 S °x W， 其中 °x 是由 N 或 S 開始量得

的角度，且 900

離散數據、連續數據

（甲）

1. 離散數據的整理和組織：頻數分佈表：

2. 離散數據的表達及闡釋

A. 圓形圖 B. 折線圖

統計及概率：

C. 幹葉圖

圖(C)所示為 25 位同學測驗分數的幹葉圖。

圖(D)所示為牌子甲和牌子乙(各 30 個)電池的壽命(單位是小時)的背靠背幹葉圖。

D. 散點圖

（乙）

1. 連續數據的整理和組織：頻數分佈表：

以下是 35 位同學的跳高成績(單位是 cm)。

120 127 125 134 140 135 145 134 121 124 132 133 135 136 131 122 125 126 134 137 144 138 130 130 129 128 147 150 139 141 139 142 143 153 149

把以上的數據先歸入不同的組區間，然後得出以下的頻數分佈表。

高度(cm) 120 - 124 125 - 129 130 - 134 135 – 139 140 - 144 145 - 149 150 - 154

頻數 4 6 8 7 5 3 2

在 120 cm – 124 cm 這個組區間中，

(i) 組中點是 122 cm；

(ii) 下組限是 120 cm 而上組限是 124 cm；

(iii) 下組界是 119.5 cm 而上組界是 124.5 cm。

2. 組織圖、頻數多邊形及頻數曲線

A. 組織圖

B. 從已知

組織圖

也可以得出

頻數多邊形

C. 頻數曲線：

把頻數多邊形繪畫

成平滑的曲線圖

像。

3. 累積頻數

A. 累積頻數表

B. 累積頻數多邊形和累積頻數曲線

（丙）

集中趨勢的量度

平均數 n

xxxxx n++++= L321 、 中位數、 眾數

在頻數分佈表中，計算離散數據的集中趨勢

(a) 如果數據 1x ， 2x ， 3x ，…， nx 的頻數分別是 1f ， 2f ， 3f ，…， nf ，則

平均數n

nn

fffffxfxfxfxx

L

L

+++++++

=321

332211 。

(b) 中位數可由頻數分佈表中位於中間位置的數據求得。

(c) 眾數可由頻數分佈表中頻數最高的數據求得。

計算以 區間分組的數據 的集中趨勢

(a) 在一組已分組的數據中，每組數據的組中點可用來代表整組數據，從而求出全組

數據的平均數。

(b) 在累積頻數多邊形/曲線中，對應於累積頻數為總頻數的一半的數據就是中位數；

對應於總頻數的41

、42

和43

的數據分別稱為第 1、第 2 和第 3 個四分位數；而對

應於總頻數的100

1、

1002

、100

3、

10099

、L 的數據分別稱為第 1、第 2、第 3、 、第L 99

個百分位數。

(c) 頻數分佈表中頻數最高的組別稱為眾數組。

數據變化 對集中趨勢的影響

(a) 假設一組數據的平均數、中位數和眾數分別是 m、p 和 q。

(i) 如果把這組數據的每一項都加上一個常數 k，則平均數、中位數和眾數會分別

變成 km + 、 kp + 和 kq + 。

(ii) 如果把這組數據的一每一項都乘以一個常數 k，則平均數、中位數和眾數會分

別變成 km 、 kp 和 kq 。

(b) 當一組只有正數的數據加入「0」這項後，平均數會減少，中位數會減少，而眾數

卻不變。

(c) 由一組數據中剔除一個項目，

(i) 如果所剔除的項目較平均數大(小)，則平均數會減少(增加)。

(ii) 一般來說，如果所剔除的項目較中位數大(小)，則中位數會減少(增加)。

(iii) 無論該項目是多少(只要不是眾數)，對眾數都沒有影響。

加權平均數

(a) 權(或權數)是用來表示一組數據中每一項目的相對重要性。

(b) 如果一組數據 1x ， 2x ， 3x ，…， nx 的權分別是 1w ， 2w ， 3w ，…， nw ，則

加權平均數n

nn

wwwwwxwxwxwx

++++++++

=L

L

321

332211 。

(c) 加權平均數可用來求某實驗的期望值，或日常生活中某類事物的指數。

概率

(a) 設 E 是一件事件，而 )(EP 則是事件 E 發生的概率。如果所有可能結果都屬於等可

能結果，則

P(E)所有可能結果的總數

的結果的數目符合E= 。

(b) 對於任何一件事件 E，它發生的概率 P(E)有以下的性質：

(i) 當 )(EP 越大時，E 發生的機會越大。

(ii) 1)(0 ≤≤ EP

(iii) 如果以 E′代表「E 沒有發生」這個事件，則

( ) ( ) 1=′+ EPEP 。

較複雜的概率問題

(c) 以下較有系統的方法，有助於列出某事件的所有可能結果。

I. 樹形圖

例如：一個家庭有兩個孩子。該兩個孩子性別的所有可能結果顯示如下：

第一個孩子 第二個孩子 結果

男 …… 男男

男 女 ..........男女

女 男 ...........女男

女 … ..…女女

II. 列表

例如：擲兩枚骰子一次，骰子的點數和的所有可能結果表列如下：

第二枚骰子

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

幾何概率：考慮幾何圖形的面積或線段的長度而計算出的概率。

實驗概率

利用邏輯推理所求得的概率稱為理論概率；透過實驗及數據的收集，利用相對頻數所

求得的概率稱為實驗概率。對大量試驗而言，實驗概率≈理論概率。

期望出現的次數

如果在一次試驗中，一件事件出現的概率是 p，在經過 n 次試驗後，我們期望該事件

會出現 np 次。

試驗的期望值

(a) 對於一個有 n 個可能結果的試驗，如果每個結果發生的概率分別是 1p ， 2p ，….， np ，

且對應取得的值分別是 1a ， 2a ，…， na ，則這個試驗的期望值是 nnapapap +++ L2211 。

(b) 期望值可幫助我們決定一件物件是否物有所值。

第 一 枚 骰

子