Dodtatak 1-Metoda sila201 Mihanovi, TrogrliGraevna statika II DODATAK 1 METODA SILA D1.1Osnovni sustav u svjetlu statike neodreenosti Poetnikorakuprimjenimetodesilajeprovjerakinematikestabilnostiiodreivanje stupnja statike neodreenosti. Primjerice konstrukcija na crteu D1.1 ima s = = 1 3 2 3 3(D1.1) stupnjeva slobode, odnosno sustav je kinematiki stabilan i tri puta statiki neodreen jer ima tri prekobrojne veze.Nakonpotvrdekinematikestabilnostiistupnjastatikeneodreenostipristupase kreiranjuosnovnog sustava. Osnovni sustav nastaje modifikacijom polaznog sustava tako da seodbacionolikovezakolikoihjeprekobrojnihtakodaosnovnisustavpostajestatiki odreenikinematikistabilan.Openitojetomogueuinitinavie,aponekadaina beskonano mnogo naina. Bira se onaj koji daje krai proraun U konkretnom primjeru to je prikazano na crteu D1.2.

Crte D1.1 Zadani sustav Crte D1.2 Osnovni sustav Polaznisustavucjelostinadomjetamoosnovnimsustavomnakojidjeluju:(1)redom nepoznate sile na mjestu odbaenih veza sada kao vanjske sile prikazane na crteima D1.3 - D1.5,(2)vanjskesilaodnosnooptereenjezadanokaoinapolaznomsustavu, prikazane na crteima D1.6.Odbacivanjem prekobrojnih veza fiktivno se pojavljuje diskontinuitet pomaka na mjestu i u smjeru odbaene veze.Jednadbe neprekinutostiOdgovor osnovnog sustava moe se prikazati kao superpozicija svih djelovanja xo n xn i xi x xO x o x o x o O + + + + + =1 1(D1.2) Rjeenje se moe postaviti i za pomake na bilo kojem mjestu pa tako i za pomake na mjestu i usmjeruobaenihveza.Ulinearnojkombinaciji(D1.2)moesepostavitizahtjevouvanja neprekinutosti upravo natim mjestima to daje sustav jednadbi neprekinutosti 0001 11 11 1 1 111= + + + + += + + + + += + + + + +on nn i ni non in i ii ion n i inip x p x p x pp x p x p x pp x p x p x p (D1.3) 2021. Neodreeni punostijeni nosai Graevna statika IIMihanov, Trogrli ili skaraeno op x P =(D1.4) kojiosiguravatraenorjeenje.Ujednadbi(D1.3je:(1) pij relativnipomaknamjestiiu smjerudjelovanjajedininesileiusljeddjelovanjajedninesilexj = 1,(2) pio relativni pomak na mjesti i u smjeru sile i usljed djelovanja zadanog optereenja. MatricaPjezapravomatricapomaka.Jojusenazivamatricadeformabilnostiausluaju deformiranjasamosavijanjemmoesenazvatisavojnommatricom.^imjeosnovnisustav odabran kao kinematiki stabilan, matrica pomaka je regularna i simetrina. Ukratko, naelo metode sila je da se iz lineare kombinacije uravnoteenih stanja (D1.3) bira onokojajodajeikontinuitetnamjestimaodbaenihveza,imejezapravopostignuto rjeenje statike zadae na polaznom sustavu. Upraktinojprovedbimetodepotrebnojeodreditireznesilezapojedinnadjelovanja jedininih, dakle nepoznatnih sila,izadanog optereenja, a pomou njih i relativne pomake na mjestima prekinutih veza. Odgovor osnovnog sustava na optereenja jedininih sila Optereenje silom x11 = Dijagrami rezni sila ikao i skica polja pomaka prikazani su na crteu D1.3. (a) (b) (c) (d)

(e)

Crte D1.3 Odgovor osnovnog sustava na prvu jedinu sila Optereenje silom x21 = Dijagrami rezni sila ikao i skica polja pomaka prikazani su na crteu D1.4. Dodtatak 1-Metoda sila203 Mihanovi, TrogrliGraevna statika II

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Crte D1.4 Odgovor osnovnog sustava na drugu (i-tu) jedininu silu Optereenje silom x31 = Dijagrami rezni sila ikao i skica polja pomaka prikazani su na crteu D1.5. (a) (b) 2041. Neodreeni punostijeni nosai Graevna statika IIMihanov, Trogrli (c) (d)

(e)

Crte D1.5 Odgovor osnovnog sustava na treu (n-tu) jedininu silu Odgovor osnovnog sustava na zadano optereenjeDijagrami rezni sila ikao i skica polja pomaka prikazani su na crteu D1.6.

(a) (b) (c) (d) Crte D1.6 Odgovor osnovnog sustava na zadano optereenjeOdreivanje relativnih pomaka naelom virtualnog rada. Relativnepomakeumetodisilaodreujesenaelomvirtualnograda.Sukladnoizrazu (D1.xx) u bilo kojem presjeku tapa u ravnini deformacije su izraene kao: { } { }Ts pTs pv v u dx v d dx dv dx du = = , , / , / , /2 2(D1.5) dok je veliina reznih sila u presjeku sukladno (D1.94) , (D1.95) dana kao )` ((((

=)`=sp yxxxxvvuEIGAEAMTN0 00 00 0Q(D1.6) Izjednaenjem rada vanjskih i unutranjih sila, sukladno relaciji (D1.xy) izlazi: Dodtatak 1-Metoda sila205 Mihanovi, TrogrliGraevna statika II ( )( )dx EI M m GA T t EA N n pdx EI m m GA t t EA n n pLox xi yox xi xox xioiLxj xi y xj xi x xj xi ij+ + =+ + =/ / // / / (D1.7) gdje se integracija vri po svim dijelovima konstrukcije. Upraktinojprovedbirelacija(D1.7)integracijaseobavljaodtapadotapakoristei principenumerikeintegracije,Gaussoveiostale.Akosenekaoddeformacijamoe izostavitijerjenjenutjecajmalen,obino deformacija poprene sile, a esto i uzdune sile, tada se postupak integracije bitno pojednostavnjuje. Unastavkuseprikazujeizraunkoeficijenata op p1 11,zakonkretnevrijednosti mehanikih veliina za okvir s crtea D1.1 visine 4.0 m poprenog presjeka 40/40 cm, zatim prekaraspona8.0mpoprenogpresjeka80/40,temodulmaterijalaE=30GPa.Prvi koeficijent deformabilnosti se moe prikazati kao 3 2 1 112 I I I p + + = gdje je: =((

||

\|++ ||

\|++ + = =hdx I 64 / 5 . 03213124 5 . 05 . 03113224 12400 / 4 5 . 0 4800 / 4 5 . 02 21 D [ ] MNm 0371 . 0 036458 . 0 000417 . 0 000208 . 0 = + + = Vidljivojedaseutjecajuzdunogipoprenogdeformiranjauodnosunasavijanjemoe zanemariti. [ ] MNm dx Ix x000325 . 0 512 / 5 . 03124 5 . 02 /1 1 2== =l D [ ] MNm dx Ihx x00264 . 0 64 / 5 . 03124 5 . 01 1 3== = D [ ] MNm p 0404 . 0 00264 . 0 000325 . 0 2 0371 . 011= + + = Drugi koeficijent imati e veliinu: 3 2 1 12 I I I po+ + = gdje je: [ ] MNm dx Ihox x00307 . 0 64 / 5 . 03213124 08 . 05 . 0211213 / 24 02 . 01 1=((

||

\|++||

\|+= = D [ ] MNm dx Iox x000052 . 0 512 / 5 . 03124 08 . 02 /1 2== =l D [ ] MNm dx Ihox x000885 . 0 64 / 5 . 03124 08 . 05 . 0213 / 24 02 . 01 3=||

\|+= = D [ ] MNm po00400 . 0 000885 . 0 000052 . 0 2 00307 . 01= + + = 2061. Neodreeni punostijeni nosai Graevna statika IIMihanov, Trogrli Cjeloviti sustav jednadbi neprekinutosti za promatrani primjer ima oblik 33213100 . 400 . 4104 . 40 .65 . 0 29 . 5748 . 21 65 . 0 4 . 40 )`=)`((((

xxxsim ije je rjeenje MNm x x MNm x 0647 . 0 , 0 , 0647 . 03 2 1= = = Primjer obostrano ukljetene grede Analizira se obostrano ukljetena greda prikazana na crteu D1.7. Osnovni sustav je odabran kako je prikazano su na crteu D1.8.Optereenjajedininimsilamaizadanimoptereenjatepripadnidijagramiprikazanisuna crteu D1.9. Crte D1.7 Zadani sustavCrte D1.8 Osnovni sustav

Crte D1.9 Optereenja i rezne sile osnovnog sustava Redom su koeficijenti matrice pomaka EIqp p EI p EI po/21328, 0 , / 0 . 13121, / 0 . 1322121 3 , 1 12 11ll l l= === 0 , / 0 . 1 1 , , 0 ,3 33 1 2 3 , 2 11 22= = = = =o o op EA p p p p p p l Jednadba neprekinutosti glasi )`=)`((((

024 /24 /1A/I .0 3 /0 6 / 3 /133321lllll lqqEIxxxsimEI s rjeenjem : 0 , 12 / , 12 /3 2 1= = = x q x q x2 2l l Dodtatak 1-Metoda sila207 Mihanovi, TrogrliGraevna statika II Primjer mosta s poputanjem oslonaca PratisenosaprekotriosloncaprikazannacrteuD1.10kojemjepopustiosrednji oslonac.Traiseodgovorsustavametodomsila.Izborosnovnogsustava,optereenjai pripadni dujagrami prikazani suna crteu D1.11. Crte D1.10 Optereenja i rezne sile osnovnog sustava (a)

(b) Crte D1.11 Osnovni sustav, optereenja, rezne sile i pomaci osnovnog sustava Crte D1.12 Osnovni sustav, optereenja, rezne sile i pomaci osnovnog sustava Jednadba neprekinutosti ima oblik op x p1 1 11 =, gdje je ll/ 2 , / 0 . 1322121 11 ==op EI p, te je traeno rjeenje21/ 3 l EI x =. Pripadajui dijagrami momenata savijanja i poprenih sila prkazani sun a crteu D1.12. 2081. Neodreeni punostijeni nosai Graevna statika IIMihanov, Trogrli D1.2 LITERATURA [D1.A1] Aneli M., Statika neodreenih tapnih konstrukcija, DHGK Zagreb 1933. [D1.1] uriM.iJovanoviP.,Teorijaokvirnihkonstrukcija,Graevinskaknjiga Beograd, 1977. [D1.N1] Noris C. D., Wilbur J. B. and Utku S.,Elementary Structural Analysis, McGraw-Hill, New York 1976. [D1.P3]ProkofjevI.P.iSmirnovA.F.,TeorijakonstrukcijaIII,Graevinskaknjiga, Beograd 1961. [D1.S1]Schreyer.,RammH.undWagnerW.,PrakticsheBaustatikTeil2, Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1960.