objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función

Objetos didácticos para el

aprehendizaje del concepto de función en estudiantes

de grado noveno

John Faibert Quintero Oviedo

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería y Administración

Palmira, Colombia

2013

Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de

función en estudiantes de grado noveno

John Faibert Quintero Oviedo

Trabajo Final presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Directora:

Lucy Janeth Medina

M. Sc. en Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería y Administración

Palmira, Colombia

2013

Contenido III

A mi familia, por su irrestricto apoyo, sacrificio

y comprensión.

Una experiencia no es una verdadera

experiencia hasta que no se reflexiona sobre

ella.

John Dewey

Agradecimientos

Gracias a mis estudiantes y maestros. Estar en medio me concedió el beneficio de

aprender de ambas partes, a tal punto que ello resulta inconmensurable.

Resumen El presente Trabajo Final presenta una propuesta didáctica para el aprehendizaje de las

funciones, centrado en estudiantes de grado noveno. Consiste en el diseño y desarrollo

de dos objetos didácticos que favorecieron la apropiación conceptual y operativa sólida

del objeto matemático función. Éstos fueron validados en el aula con dos grupos de 20

estudiantes cada uno, de dos instituciones educativas localizadas en contextos distintos

en la Santiago de Cali, Colombia. Para tal fin, se implementó como proceso metodológico

la Ingeniería Didáctica, concebida por De Faria (2006) como un conjunto de secuencias

de clase que de manera coherente un profesor – ingeniero, aplica para un proyecto de

aprendizaje de un contenido matemático. Se centró en la identificación y atención de

obstáculos cognitivos asociados al concepto de función y sus distintas representaciones

semióticas, evidenciables en los educandos del grado noveno de la Institución Educativa

Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y del Colegio de La Sagrada Familia de

Cali. Producto de la implementación de la estrategia metodológica fue posible identificar

diez obstáculos cognitivos, haciéndose muy notorias la pobreza de los educandos en

cuanto a su memoria semántica y en su manejo del lenguaje matemático. Para la

superación de los obstáculos se diseñaron, desarrollaron e implementaron tres objetos

didácticos: un objeto manipulativo virtual, un objeto manipulativo físico y una secuencia

didáctica; centrados en la apropiación conceptual y operativa del objeto matemático

función. El análisis a posteriori, mostró que un setenta y tres porciento de los estudiantes

logró una óptima apropiación de los saberes cognitivos y procedimentales objeto de

estudio. Finalmente, se presentan el análisis de los resultados y una serie de

recomendaciones que favorecen la apropiación del concepto de función por parte de los

educandos del grado noveno de la Institución Educativa Técnico Comercial José María

Vivas Balcázar y del Colegio de La Sagrada Familia.

Palabras clave: Obstáculo cognitivo, función, ingeniería didáctica, Objeto físico de

aprendizaje, secuencia didáctica, juegos matemáticos, manipulativos.

VI Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en

estudiantes de grado noveno

Abstract

This final work presents a methodological approach to the aprehendizaje of functions,

focusing on students of grade nine. It consists of the design and development of two

learning objects that favored the appropriation conceptual and operational solid

mathematical object function. These were validated in the classroom with two groups of

20 students each, two educational institutions located in different contexts in Cali,

Colombia. To this end, we implemented as methodological process Engineering

Teaching, designed by De Faria (2006) and Douady (1996) as a set of sequences of

class consistently a teacher - engineer, applied for a learning project content

mathematician. Focused on identifying and addressing barriers related cognitive function

concept and its various semiotic representations, put into evidence in the students of the

ninth grade of Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar and

the Colegio de La Sagrada Familia. Product of the implementation of the methodological

strategy was possible to identify ten obstacles cognitive, becoming very notorious poverty

of the students in their semantic memory and handling of mathematical language. For

overcoming the obstacles, we designed, developed and implemented three learning

objects: an object manipulative virtual, an object manipulative physical and teaching

sequence; focusing on the appropriation conceptual and operational mathematical object

function. The post hoc analysis showed that seventy-three percent of students achieved

an optimal appropriation of cognitive knowledge and procedural under study. Finally, we

present the analysis results and a series of recommendations that favor the appropriation

of the concept of function by the students from the ninth grade of Institución Educativa

Técnico Comercial José María Vivas Balcázar and the Colegio de La Sagrada Familia.

Keywords: cognitive obstacle, function, educational engineering, physical object of

learning, teaching sequence, math games, manipulative.

VII Resumen y Abstract

Contenido

Pág.

Resumen……………………………………………………………………………………….…VI

Lista de figuras………………………………………………………………………………..…X

Lista de tablas…………………………………………………………………………..……….XI

Introducción………………………………………………………………………………………1

Definición del problema …………...…………………………………………………….…….3

Justificación ……………………………………………………………………………….……4 Objetivos ………………………………………………………………………………………….6

1. Marco referencial.........................................................................................................7

1.1 Referentes teóricos………………………………………………………………..……7

1.2 Desarrollo histórico del concepto de función……………………………..……..….16

1.3 Las funciones en la educación matemática escolar…………...…….…...............20 2. Metodología…………………………………………………………………………………..24

2.1 Marco metodológico…………………………………………………………..….……24

2.2 Diseño metodológico……………………………………………………………...…..25

2.2.1 Caracterización de la población ……………………………..……………..27

2.2.2 Fase de planeación…………………………...……………………..….…...30

2.2.3 Fase de diseño y experimentación………………………..………………..34

2.2.4 Fase de validación y análisis a posteriori……………………………........42

VIII Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en


3. Resultados y análisis de losresultados…………………………………………….…..46

3.1 Resultados…………………………………………………………...........................46

3.2 Análisis de los resultados………………………...…………………………………..50

4. Conclusiones y recomendaciones………………………………………………..…….52

4.1 Conclusiones………………………………………………….………………………..52

4.2 Recomendaciones………………………………………………………….………….57

A. Anexo: Conducta de entrada……………………………………………………………..59

Bibliografía………………………………………………………………………………………55

IX Contenido

Lista de figuras

Pág.

Figura 1-1: Mapa mental de los obstáculos cognitivos…………………………….......13 Figura 2-1: Diagrama de las fases de proceso metodológico………………..……......26 Figura 2-2: Edades de los estudiantes del grupo experimental …………..……...…..27

Figura 2-3: Distribución de los estudiantes del grupo experimental por sexo ……...28

Figura 2-4: Distribución de los estudiantes del grupo experimental como repitentes y no repitentes …………………………………………………………….....28 Figura 2-5: Procedencia de los estudiantes del grupo experimental de la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar…………………………………………………...29 Figura 2-6: Respuestas de los estudiantes respecto de la pregunta ¿considera usted que tiene o ha tenido dificultades en el área de matemáticas?................29 Figura 2.7: Niveles de apropiación de los educandos según prueba diagnóstica y rúbrica de indicadores………………………………………………………..33 Figura 2-8: Primera validación del OFA………………………...…………………........36 Figura 2-9: Proceso de validación inicial con educandos del grupo experimental ...37

Figura 2-10: Diseño final del OFA……………………………...………..………………..39 Figura 2-11: Componentes del OFA ………………………………………………….…..40 Figura 2-12 Interacción de las estudiantes de un mismo equipo del Colegio de La Sagrada Familia…………………………………………………………..40 Figura 2-13: Revisión del producto final…………………………………………..……...41 Figura 2-14: Momentos de la actividad en un aula de clase del grado noveno de la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar.….41 Figura 2-15 : Producto de la etapa final de la actividad…………………..………….…41 Figura 3-1: Resultados conducta de salida frente a los indicadores de superación

de obstáculos cognitivos…………………………………..……………….48

X Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en


Lista de tablas

Pág.

Tabla 1-1: Desarrollo histórico del concepto de función hasta el año 1700. ..........…..17

Tabla 1-2: Desarrollo histórico del concepto de función de 1700 a 1830 ............. ……18

Tabla 1-3: Desarrollo histórico del concepto de función de 1830 a 1940. ................. ...19

Tabla 1-4: Síntesis del estado del arte en relación al concepto de función…………....21

Tabla 2-1: Posibles obstáculos cognitivos en estudiantes del grado noveno asociados al concepto de función. ....................................................................... ……..31

Tabla 2-2: Rúbrica diagnóstica……………………………………………………………...32

Tabla 3-1: Indicadores asociados a los obstáculos después de la intervención en el aula………………………………………………………………………….…..47

Tabla 3-2: Análisis de la superación de los obstáculos cognitivos……………..……...49

XI Contenido

Introducción

El estudio de las funciones ocupa un lugar relevante en la formación matemática escolar

y universitaria. Muchos de los desarrollos científicos y tecnológicos, tan comunes hoy,

han sido posibles gracias a la modelación matemática que involucra funciones y a la

comprensión de múltiples fenómenos naturales, económicos y sociales que ellas

permiten.

Su desarrollo como objeto matemático ha sido determinado, desde la antigüedad, por un

gran número de aportaciones teóricas de matemáticos y hombres de ciencia

prominentes, que de modo explícito y consciente o inconsciente y tangencial

coadyuvaron a estructurar las definiciones formales que conocemos y aceptamos hoy,

particularmente, la más difundida en los textos escolares: una función f de un conjunto A

a un conjunto B, es una regla de correspondencia que asigna a todo y cada elemento de

A un único elemento f(x) en B.

En Colombia, habitualmente el estudio de las funciones empieza a abordarse de manera

más o menos formal en la educación básica, más concretamente en los grados octavo y

noveno. No obstante, el concepto de función tiene asociados otros conceptos que

resultan trascendentales para su comprensión y apropiación por parte del educando.

Esto lo convierte en un objeto matemático complejo, que demanda un cuerpo de

conocimientos básico para su correcta conceptualización.

En la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar de la comuna

10 de Santiago de Cali, con frecuencia los estudiantes de la media técnica (grados

décimo y undécimo) evidencian dificultades en el área de matemáticas cuando abordan

conceptos como el de periodicidad, covariación, crecimiento, límite, derivada, entre otros.

Esto se hace visible, al analizar los resultados del proceso evaluativo escolar y de los

resultados de pruebas estandarizadas como las pruebas saber 11.

Esto no es exclusivo de esta institución, se presenta incluso en instituciones educativas

que atienden estudiantes de otro nivel socioeconómico y de otros niveles de formación,

tal es el caso de los estudiantes que toman los cursos de cálculo en las universidades. Lo

cual ha generado múltiples estudios sobre cómo se apropian los estudiantes del

concepto de función y que mecanismos de orden didáctico y/o epistemológico inciden en

un “mejor aprendizaje”. Varias de estas investigaciones se abordan en este estudio,

consolidando un estado del arte.

Siendo un concepto tan relevante en la matemática escolar es motivo del presente

estudio, que busca identificar en los educandos de grado noveno de la Institución

Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y del Colegio de La Sagrada

Familia, identificar qué obstáculos cognitivos de orden epistemológico y didáctico

generan un aprendizaje considerado negativo y cómo pueden superarlo mediante el

diseño, desarrollo e implementación de objetos didácticos. Para este fin, se empleó la

Ingeniería Didáctica como metodología; centrando el proceso metodológico en cuatro

fases: Planeación, Diseño, Experimentación y Validación.

Fue necesario, indagar sobre la epistemología del las funciones; y consolidar una base

teórica fuerte que sustentara el estudio y los objetos didácticos concebidos para la

experimentación. Se destacan las afirmaciones de Godino (2004) respecto de la

profundidad con la que debe abordarse el estudio de cualquier noción matemática en

procura del saber que resulte más cercano al saber erudito. Sólo así el educando estará

en capacidad de enfrentar con éxito situaciones problémicas en distintos contextos y

cimentar una base de conocimientos sólidos que le posibiliten acceder a conceptos

estructuralmente más complejos.

El diseño, desarrollo e implementación de los objetos didácticos de aprehendizaje y su

posterior validación en ambas instituciones, generó información de tipo cualitativo y

cuantitativo que sustentan la factibilidad de implementar dos objetos didácticos en la

mediación del conocimiento alrededor de las funciones: un Objeto Físico de Aprendizaje

(OFA) y una secuencia didáctica, apoyada por una guía académica. Ambos objetos,

consideraron el trabajo cooperativo y el aprendizaje colaborativo, así como la lúdica y el

uso de manipulativos como mediadores en el proceso educativo.

2 Introducción

Definición del problema

Los desempeños de los estudiantes de los grados décimo y undécimo, de la jornada de

la tarde, de la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar de

Cali en el área de matemáticas, en relación a conceptos asociados a las funciones, tales

como dominio y rango, continuidad, interceptos con los ejes, máximos y mínimos,

simetría de la gráfica de una función, determinación de una función inversa, aplicaciones

de las funciones, entre otros, no son satisfactorios. Prueba de esto son los bajos

desempeños de los educandos cuando son evaluados por sus docentes o por

evaluadores externos mediante la aplicación de pruebas estandarizadas.

En la discusión pedagógica, con frecuencia los maestros resaltan que los educandos

evidencian dificultades en el manejo del número y sus múltiples representaciones, el

desconocimiento o apropiación inadecuada de las operaciones entre conjuntos, las

dificultades para localizar puntos en un sistema coordenado y limitaciones al transformar

expresiones algebraicas en otras equivalentes, la modelación de situaciones en

contextos matemáticos y no matemáticos y en la interpretación de tablas y gráficas.

Comúnmente, los docentes de matemáticas, en torno a las funciones en la educación

básica, limitan su enseñanza a la construcción de tablas a partir de fórmulas y su

representación en el plano coordenado; sin ahondar en el análisis de sus

características, generalidades, relaciones, transformaciones y aplicaciones. Merece la

pena preguntarse si los procesos de mediación entre los saberes y los estudiantes, de

los cuales son responsables los maestros, están siendo eficaces. Tomando dicho

interrogante como premisa, se plantea como problema de investigación: ¿Cómo lograr

en los estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Técnico Comercial

José María Vivas Balcázar de Cali el aprehendizaje del concepto de función y los

subconceptos asociados a éste?

3 Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en


Justificación

El concepto de función es, quizá, el concepto más amplio y relevante de la educación

matemática escolar. Su estudio involucra múltiples saberes que el educando debe

estructurar y emplear durante todo su proceso formativo y que se va haciendo más

formal a medida que cursa grados superiores.

La noción de función, de manera intuitiva, se encuentra instalada en el lenguaje natural:

los impuestos que pagan las personas están en función de sus ingresos, el consumo de

gasolina en un viaje es función de los kilómetros recorridos, los recargos en el salario de

un obrero dependen de la cantidad de horas nocturnas y festivas laboradas o el número

de escaños obtenidos por un partido político después de unas elecciones es función del

número de votos obtenidos, son algunos ejemplos. Las aplicaciones de las funciones se

extienden a campos como el de las ciencias naturales, las ciencias sociales, las ciencias

de la salud, la ingeniería y las ciencias económicas. Prueba de ello son los modelos

matemáticos que determinan el crecimiento de un grupo de bacterias en un cultivo o los

modelos funcionales que establecen la relación costo – beneficio de un producto o

servicio.

Por otra parte, las funciones han tenido un papel histórico fundamental en el desarrollo

de las matemáticas y otras ciencias, lo cual puede constatarse, por ejemplo, en los

registros de datos astronómicos en las tablas que se encuentran en el Almagesto1,

escrito por Ptolomeo hacia el año 150 d.C.

1 El ¨Almagesto¨ es un gran tratado astronómico escrito por Ptolomeo en el que se presenta la

totalidad de la astronomía matemática de la época de una forma lógica y comprensible, otorgándole autoridad en el campo de la astronomía científica. MINGUEZ, Carlos. Prefacio al Almagesto de Ptolomeo. La Filosofía de los Científicos. Universidad de Valencia (1995), 17-35.

4 Introducción

En la práctica educativa, el estudio riguroso del concepto de función presenta a los

estudiantes de la educación básica, media y superior múltiples dificultades. Esto puede

obedecer a una inadecuada cimentación en los grados de la educación básica de

conceptos como el de par ordenado, producto cartesiano, relaciones entre conjuntos,

representación sagital y cartesiana, proporcionalidad y covariación entre magnitudes y

del desconocimiento, cada vez más marcado de los símbolos propios del lenguaje

matemático.

Es común observar dificultades en el manejo del concepto de función y los subconceptos

asociados a éste en los estudiantes que toman cursos de precálculo, trigonometría o

cálculo. En muchos casos sólo son capaces de aplicar una regla para determinar si una

relación es o no una función, o también, evaluar números en una expresión algebraica.

En el mejor de los casos, son capaces de representar gráficamente algunas funciones de

tipo continuo.

Abordar el estudio de las funciones con la convicción de mejorar los procesos de

enseñanza y aprendizaje, diseñando estrategias e instrumentos didácticos más efectivos

y eficientes, es un reto educativo interesante para ser objeto de estudio, diseño y

desarrollo.



Objetivos

Objetivo general

Desarrollar objetos didácticos que faciliten a los estudiantes del grado noveno de

educación básica de la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas

Balcázar el aprehendizaje del concepto de función y los subconceptos asociados a éste.

Objetivos específicos

Identificar obstáculos cognitivos que pueden condicionar la estructuración del

concepto de función los estudiantes del grado noveno.

Diseñar objetos didácticos que faciliten el aprehendizaje, por parte de los estudiantes

del grado noveno, de los saberes conceptuales y procedimentales asociados

al concepto de función.

6 Introducción

1. Marco referencial

1.1 Referentes teóricos

Definir un modelo que direccione el proceso de formación matemática en las instituciones

educativas, que responda a las necesidades de los educandos y que sea acorde al

modelo pedagógico institucional, es un requisito infranqueable. Sin este direccionamiento

no es viable emprender un proceso de educación matemática exitoso. La definición de

las estrategias y los objetos didácticos que se adecúen al contexto institucional,

demandan un ejercicio intelectual y pedagógico permanente, que resultará siempre

inacabado, debido a la dinámica de la población estudiantil que año a año conforma las

escuelas y colegios.

El conocimiento de la población estudiantil, de sus necesidades cognitivas, así como el

horizonte institucional son el punto de partida para definir las estrategias metodológicas a

implementar para direccionar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de cada una

de las áreas fundamentales. Dichas estrategias no pueden ser ajenas al modelo

pedagógico institucional que delimita la acción pedagógica en cada centro educativo. No

obstante, el currículo al ser considerado flexible, favorece el que se implementen

estrategias metodológicas diversas y novedosas que puedan responder de mejor manera

a las necesidades cognitivas de los educandos.

Citando las palabras del profesor Carlos Augusto Hernández (2010)2:

[…] podría decirse que actualmente hay un paradigma

hegemónico: el paradigma del constructivismo, el aprendizaje por

problemas, la autorregulación, el aprendizaje significativo, el

2 HERNÁNDEZ, Carlos Augusto. Aproximación a un estado del arte de la enseñanza de las

ciencias en Colombia. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, 2010. 72 páginas.

aprendizaje meta cognitivo, la teoría y el análisis del cambio

conceptual, entre otras.

Todas parecen converger en un principio: el conocimiento se

construye; lo que hoy se pone en tela de juicio es la eficacia de la

estrategia transmisionista, el desconocimiento de las distancias

entre el conocimiento previo de los estudiantes y el conocimiento

científico que pretende enseñar la escuela…

[…] pero hay confluencias respecto de la necesidad de considerar

las ideas previas de los estudiantes, de reconocer la complejidad

de los cambios conceptuales en que consiste el aprendizaje, de

invitar a los estudiantes a exponer sus puntos de vista, escuchar

los de los compañeros y argumentar buscando un consenso, de

evaluar para conocer, tomando la evaluación como punto de

partida para la elaboración de propuestas de intervención y de

considerar no sólo los contenidos escolares sino los métodos de

construcción de conocimiento y los procesos mentales

involucrados en esa construcción.

El maestro debe definir los referentes teóricos que fundamentarán su labor y cuáles son

las estrategias que empleará en procura de lograr niveles de apropiación conceptual y

procedimental óptimos para formar ciudadanos competentes de acuerdo a las

necesidades de sus educandos y el contexto en el que desempeña su labor; para esto es

necesario que realice un diagnóstico objetivo de la realidad de sus educandos y de sus

conceptos previos respecto del área que orienta. No es un acto responsable que el

maestro, movido simplemente por su intuición, “planifique” su clase sin conocer la

realidad de sus educandos y sin soportar su labor formadora en un piso teórico

disciplinar y pedagógico sólido. Es necesario que el maestro explore, se documente, se

vincule a redes pedagógicas y conozca de otras experiencias que pudieron resultar o no

exitosas.

El concepto de función, por su amplitud y relevancia en las ciencias experimentales y

sociales, es un objeto de estudio interesante que se espera posibilite un cambio de

mentalidad frente a las matemáticas, concebidas como ciencia dura; se encuentra

8 Capítulo 1 : Marco referencial

estrechamente ligado al estudio del cálculo. De hecho, la enseñanza del cálculo

constituye uno de los mayores desafíos de la educación matemática actual, ya que su

aprendizaje demanda procesos de pensamiento de orden superior en el que se

involucran procesos tales como la abstracción, el análisis y la demostración, que deben

cimentarse desde la educación básica. Al respecto, Vrancken y otros3 (Año sin

establecer) coinciden en que los alumnos con frecuencia fracasan por tener una

preparación inadecuada, que hace evidente su desconocimiento de conceptos

algebraicos, numéricos y geométricos.

No obstante, la manera como se acerca al educando al concepto de función puede

resultar equivocada. Esto puede evidenciarse en los comúnmente bajos desempeños de

los estudiantes en las pruebas de estado en matemáticas y los cursos de cálculo, donde

se precisa un nivel de conceptualización y formalización sólido para el análisis de la

variación y el comportamiento de las funciones en situaciones problémicas diversas.

Lograr un nivel de apropiación conceptual y procedimental significativa respecto de las

funciones debe ocupar el interés de las matemáticas en la Educación Básica. Esto debe

concebirse de modo que, para los estudiantes, el estudio de las funciones tenga

significado. A la luz de los resultados en algunas pruebas diagnósticas, aplicadas a los

jóvenes educandos, es necesario replantear los procesos de enseñanza y aprendizaje

frente al concepto de función en los estudiantes de grado noveno, puesto que la manera

en que tradicionalmente se ha estudiado el concepto de función en la formación

matemática escolar ha permitido, escasamente, el aprendizaje memorístico de su

definición y la representación gráfica y tabular de algunas funciones de variable real, sin

que éstos tengan significado para ellos. Esta aseveración coincide con las afirmaciones

de López (2005), citado por Sarmiento y Manzanilla (2010).

La búsqueda de objetos didácticos y de situaciones problema, cercanas al entorno de los

educandos, que vinculen el concepto de función y lo contextualicen, permitiría que los

3 VRANCKEN, Silvia; GREGORINI, María Inés; ENGLER, Adriana; MÜLLER, Daniela;

HECKLEIN, Marcela. Dificultades relacionadas con la enseñanza y el Aprendizaje del concepto de límite. Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral Esperanza. Provincia de Santa Fe (Argentina). Año sin establecer, probablemente posterior al 2000. 11 páginas.



estudiantes comprendieran la aplicación del mismo y por ende les facilitaría su

aprehensión, puesto que tomaría para ellos significado y valor. De este modo, se podría

lograr un nivel de formalización adecuado del concepto de función, que el estudiante

aprenderá y podrá emplear posteriormente, cuando estudie trigonometría o cálculo.

Al respecto, afirma Godino (2004), citado por Bencomo, Godino y Wilhelmi (2004):

Cuando nos interesamos por la enseñanza y aprendizaje de

cualquier noción matemática no podemos limitarnos a explicar la

definición más general posible; cualquier definición de un

concepto matemático es como la punta del iceberg de un sistema

de prácticas operativas y discursivas, relativas a diversos

contextos de uso, que constituyen su origen y razón de ser.

Específicamente, del concepto de función y de cómo éste ha sido abordado desde una

perspectiva teórica o práctica y de cómo se plantea en los textos escolares que,

comúnmente, hemos empleado los educadores matemáticos, existen múltiples estudios

entre los cuales se destacan los realizados por García y Llinares4 (1995), García,

Serrano y Espitia (1997), Godino, Wilhelmi y Bencomo (2004), entre otros. Sus

conclusiones coinciden en indicar que los libros de texto escolares, comúnmente

ofrecen al lector distintas representaciones de una idea o concepto poco estructurado de

función, en espera que este lo comprenda.

El concepto de función, en particular admite dichas representaciones; lo que realmente

resulta inquietante es la superficialidad con la que pueden presentarse dichas

representaciones, modificando sustancialmente el concepto y en consecuencia

subyacen en obstáculos didácticos que dificultan la aprehensión de saberes más

estructurados en relación al concepto inicial. Esto conduce a reflexionar en torno al

papel que tendrían las actividades y ejercicios planteados en los textos y por los

4 GARCÍA, Blanco Mercedes; LLINARES, Ciscar Salvador. El concepto de función a través de los

textos escolares: reflexión sobre una evolución. Revista Qurrículum / Número 10 y 11, Noviembre

de 1995. ISSN 1130-5371. Publicación del Departamento de Didáctica e Investigación Educativa de la Universidad de La Laguna, España. Páginas 103-115.


http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaRevistaIU.visualiza&revista_id=12

http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaNumeroRevistaIU.visualiza&numeroRevista_id=191

educadores matemáticos en relación a los modos de representación de las funciones y si

éstos permiten al educando acceder de manera estructurada y pertinente a un concepto

de función próximo al del conocimiento científico. Justamente, los aspectos didácticos

acerca del concepto de función y de cómo éste es comprendido por los estudiantes y los

maestros, han motivado investigaciones en el campo de la educación matemática en

países como Colombia, España, Estados Unidos, Inglaterra y México.

Las investigaciones sobre el concepto de función y como se presenta a los educandos

se han centrado principalmente en identificar los sistemas de representación y los

procesos de pensamiento necesarios para la comprensión del concepto. Con este

enfoque se encuentran amplios estudios, entre los que se destacan los de García,

Serrano y Espitia (1997, págs. 36–38), quienes citan a Vinner y Dreyfus (1983),

Markovits (1986), Janvier (1992), Sierpinska (1992); Cotret (1985); Sfard (1992) y

Dubinsky (1992), entre otros.

En su estudio, El concepto de función en textos escolares, Espitia, García y Serrano

(1997, pág. 37), indican que de tales investigaciones se han logrado caracterizar dos

perspectivas para analizar la comprensión: la perspectiva del proceso y la del objeto. En

la primera, la noción de función se asocia a la idea de dependencia entre variables; no

obstante, se corre el riesgo de trivializar el concepto si se le enfoca desde la

manipulación algebraica de valores numéricos sin relacionarlo con fenómenos reales de

cambio que impliquen modelar variaciones. En la segunda perspectiva es necesario

emplear y relacionar entre si los distintos sistemas de representación (fórmula, tabla,

diagrama sagital, máquina funcional, gráfica o expresión verbal), sin privilegiar alguno,

puesto que pueden generarse significaciones restringidas del concepto, estableciendo

así obstáculos didácticos. Tales obstáculos, en palabras de Trujillo, Castro y Guerrero5

(2010, pág. 111) son producto de la forma como se presenta y gestiona la enseñanza de

un saber específico, bajo el marco de un proyecto educativo. Bajo este enfoque, los

obstáculos didácticos pueden considerase una categoría de los obstáculos cognitivos,

5 Myriam Trujillo, Nivia Castro y Juan de Jesús Medina (q.e.p.d.), publicaron en 2010 su estudio

con estudiantes de primer semestre de ingenierías de la Universidad de La Salle, centrados en el impacto de la calculadora graficadora como instrumento didáctico en el aprendizaje del concepto matemático de función y en la mediación de situaciones didácticas que incluyen su uso en la superación de obstáculos cognitivos en el aprendizaje del concepto matemático de función.

11

Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en


puesto que los primeros pueden dar origen a estos últimos. En su estudio, estos autores

citan las investigaciones de Sierpinska (1992) y la de Álvarez y Delgado (2001) respecto

de los obstáculos cognitivos sobre el concepto de función.

En estas investigaciones se aduce que los errores de los estudiantes y sus

incomprensiones se encuentran arraigadas, parcialmente, por las prácticas de

enseñanza que presentan el saber matemático en forma acabada y la manera como los

estudiantes acceden a este saber. Señalan que pese a ello, es posible superar dichos

errores e incomprensiones a través nuevas prácticas de enseñanza que incorporen

nuevos medios a la actividad matemática escolar.

Un obstáculo (Trujillo, Castro y Guerrero, 2010, pág.109) se hace evidente a partir de los

errores asociados a él, pero dichos errores no son fruto del azar; pueden ser

reproducidos y permanecen en el tiempo y no son necesariamente explícitos; su

desaparición es paulatina y empieza a gestarse una vez que el sujeto rechaza de su

sistema cognitivo consciente el “conocimiento que no se adapta”.

En este sentido, un obstáculo es conocimiento mediado por la cultura, que ofrece

respuestas adecuadas en contextos particulares, pero que no permite resolver

adecuadamente situaciones en otros contextos, es decir que no es universal. Como dicho

conocimiento, funciona en contextos que son familiares para el sujeto, éste se resiste a

modificarlos (Brousseau, 1983, citado por Trujillo, Castro, Guerrero, 2010, pág.111).

La definición de obstáculo cognitivo, sus orígenes y cómo se visibiliza, se ilustra en el

mapa mental de la Figura 1-1.


Figura 1-1 Mapa mental de los obstáculos cognitivos.

OBSTÁCULO COGNITIVO

Barrera franqueable

es una

que conlleva a

Dialécticas

cognoscitivas

entre

Educando Objeto de

conocimiento

que genera

Conocimiento

en sentido

Negativo Positivo

porque se interpone al

porque es

Parte constitutiva

Conocimiento que

debe ser conocido

Se hace visible a través del

Error

Sistemático

Resistente a ser modificado

No idiosincrásico

Exige toma de conciencia del

mismo

Orígenes

Puede tener diferentes

Ontogenético

Didáctico

Epistemológico

Consecuencia de limitaciones

fisiológicas, entre otras, del sujeto

durante su desarrollo

Propio de la manera de presentar y

gestionar la enseñanza, delimitada

por un modelo educativo

Ligado a la naturaleza

del conocimiento mismo y que es propio

de él. Establece un paradigma resistente a

evolucionar

del

Validado por comunidades científicas y académicas

que ha sido

como

Si es

al determinarlo permite definir los

Subsistemas

Alumno Maestro Saber

sobre los cuales ejercer

Acciones

conducentes a que

Sujeto

se apropie del

13



Es necesario que un maestro identifique, en principio, los obstáculos cognitivos de sus

educandos frente al objeto matemático que estudia. Deberá reflexionar en torno a los

efectos que, en el aprendizaje de sus educandos, tiene su práctica pedagógica, dado que

resulta posible que reiteradamente haya reproducido “errores”, sin tomar consciencia de

ello, suscitando obstáculos de tipo didáctico. Acto seguido, el maestro deberá diseñar,

rediseñar, adaptar y aplicar situaciones y objetos didácticos que permitan a sus

estudiantes superar los obstáculos.

Las matemáticas que tradicionalmente trabajan los estudiantes en la escuela deben

enseñarse con un enfoque distinto, de modo que los niños y jóvenes alcancen niveles de

competencia adecuados y aprendan a valorarla, sintiéndose seguros de su capacidad

para hacer matemáticas, lleguen a resolver problemas y aprendan a razonar y

comunicarse matemáticamente (N.C.T.M. 1991, 2000). Esto conlleva a un cambio

sustancial en la forma como los educadores matemáticos establecen el puente entre el

conocimiento científico matemático y el educando, para lo cual deberá emplear recursos

suficientemente atractivos para el estudiante sin descuidar el rigor de los conceptos.

Este enfoque, tal como lo expresan Chamoso y Durán (2004), implica que las

matemáticas dejen de verse como un cuerpo estático de conocimientos que se deben

recibir, aprender y dominar; dando paso a unas matemáticas en las cuales la exploración,

la construcción de conocimiento y el aprendizaje colaborativo (que ofrece múltiples

ventajas como la adquisición de competencias interpersonales y de trabajo en equipo,

visibles en la realización de tareas) que conduzcan a la formalización y estructuración de

los saberes conceptuales y procedimentales como estadio final y no como el punto de

partida.

Es evidente que para lograr una verdadera educación matemática, se requiere de una

dinámica cognitiva distinta en la cual se den interrelaciones entre, según Brousseau

(1997), citado por Chavarría (2006), tres elementos fundamentales: el estudiante, el

profesor y el medio didáctico (facilitado por el profesor), en el que el primero construye su

conocimiento. Todo lo anterior invita al educador matemático a proveer medios didácticos

que faciliten el aprehendizaje (entendido como la apropiación significativa de saberes).

Así, el juego genera escenarios en los que la construcción de conocimiento y el

aprendizaje colaborativo están involucrados directamente.


Para Piaget, citado por Casas (1998), “Los juegos ayudan a construir una amplia red de

dispositivos que permiten la asimilación de toda la realidad, incorporándola para revivirla,

dominarla o compensarla. De tal modo, el juego es esencialmente la asimilación de la

realidad al yo”.

Para Casas (1998), los juegos en matemáticas son útiles en tres momentos y con tres

finalidades:

1. Para presentar contenidos matemáticos.

2. Para trabajar a la vez los contenidos matemáticos que se presentan en clase.

3. Para afianzar contenidos matemáticos ya presentados.

Por otra parte, algunas tesis sostienen que diferentes representaciones de los conceptos

matemáticos son necesarias para su comprensión. Son muchos los investigadores que

han centrado su interés en el concepto de representación y en analizar su papel en los

razonamientos de los educandos. El mejor ejemplo es el de Duval (1999), citado por

Lupiañez y Moreno (2001), quien afirma que las representaciones (notaciones

simbólicas, notaciones gráficas o manifestaciones verbales) se clasifican en registros de

representación según sus características.

El concepto de función tiene asociados registros gráficos, algebraicos, tabulares y

verbales, entre otros; resulta importante reconocer que al interior de cada registro se

pueden llevar a cabo procesamientos o transformaciones y entre diferentes registros se

pueden realizar conversiones o transformaciones. Tal es el caso de la operación de

conversión que se da cuando se traduce información de una tabla sobre una función en

una gráfica.

Se propuso aportar medios didácticos que posibilitara a los estudiantes la comprensión

y apropiación de las diferentes representaciones semióticas de las funciones reales y una

adecuada estructuración del concepto de función que les permita, durante su proceso de

formación matemática, pensar las funciones no sólo en términos de manipulaciones

simbólicas y técnicas operativas, sino comprender esquemas más amplios en cuanto a la

estructura conceptual de la modelación de fenómenos en los que hay covariación entre

magnitudes (valores de entrada y de salida) y que son necesarios para la comprensión

15



de objetos matemáticos más “fuertes” como en el cálculo, indispensable en la formación

de futuros científicos, ingenieros, economistas o matemáticos (Carlson y Oehrtman,

2005).

1.2 Desarrollo histórico del concepto de función

No se precisa el origen exacto del concepto de función. Algunos investigadores lo

relacionan con los trabajos de astronomía de los babilonios, de Ptolomeo o de los árabes

y con el carácter funcional de otros cálculos matemáticos de la antigüedad. Otros lo

sitúan en la misma época en que Descartes publica su trabajo, “Le Géometrie”, que

marcó las bases de la geometría analítica. Por otra parte, a mediados del siglo XVII se

conjugaron una serie de sucesos matemáticos de gran trascendencia para el análisis

numérico y el cálculo infinitesimal que posibilitaron abordar la idea de función con

suficiente generalidad como para formular las primeras definiciones de este concepto.

El desacuerdo en torno a su origen es entendible, dado que es un concepto de carácter

muy amplio, como lo son el concepto de número y el de medida. En sus publicaciones

sobre la historia de las matemáticas, O'Connor y Robertson6 indican que es común

encontrar definiciones de distintos matemáticos sobre qué son las funciones, enfocadas

desde el estudio de las relaciones entre conjuntos o desde el estudio de las

dependencias entre cantidades variables. Afirman que el concepto de función debió

aparecer tempranamente en las etapas de desarrollo de las matemáticas.

A continuación se presenta una síntesis de la epistemología del concepto de función, que

diferencia cuatro periodos: el primero desde el 2000 a. C. hasta el siglo XIV, el segundo

entre los siglos XV y XVII, el tercero entre los siglos XVIII y XIX, finalmente el siglo

XX (Tablas 1-1, 1-2 y 1-3).

6 Edmund Robertson y John J. O'Connor son los editores de “Mac Tutor History of Mathematics

archive”, miembros de Sociedad Matemática de Londres.


Tabla 1-1. Desarrollo histórico del concepto de función hasta el año 1700

EDAD ANTIGUA - SIGLO XIV

2000 – 1600 a.C. Siglo II Siglo XIV

En las tablillas de barro del 2000 a. C. se encuentran tablas de cuadrados, cubos y recíprocos de los números naturales. Sin duda, definen funciones de los números naturales sobre sí mismos o de los números naturales sobre los racionales. También se encuentran modelos de crecimiento exponencial aplicados a cálculo de intereses sobre préstamos.

Ptolomeo realizó mediciones de las cuerdas de un círculo, registrándolas sistemáticamente en tablas, lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas. Además, generó modelos geométricos sobre el movimiento de los planetas, que figuran en el Almagesto. Es comprensible que no fuese consciente del concepto de función implícito en ello.

Hacia 1350, Nicolás de Oresme se aproximó al concepto de función mediante los análisis y consideraciones que realizó al describir las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra. Introdujo un método que empleaba coordenadas para representar gráficamente la variación de cualidades como las velocidades, con éste representó el movimiento uniformemente acelerado.

SIGLOS XV – XVII

Siglo XVII

La noción de una función aparece en una forma más estructurada, por primera vez, durante el siglo XVII en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París. Es en ese momento cuando Galileo empezó a analizar, y a entender el concepto con mayor claridad. Sus estudios acerca del movimiento contienen evidencias sobre su nivel de comprensión de una relación entre variables.

Descartes afirmó que una curva podía dibujarse al permitir que una línea tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Descartes pensaba en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos valores a partir de una segunda magnitud, tomando un infinito número de valores.

Como otros tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con significado no matemático. Leibniz escribió en 1673: “…otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función”.

Johann Bernoulli, quien escribe sobre “funciones de ordenadas” en un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos.

17



http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3548



Tabla 1-2. Desarrollo histórico del concepto de función de 1700 a 1830

SIGLOS XVIII - XIX

Euler7 estructuró una teoría general de curvas basada

en la idea de función que había desarrollado en Introductio in Analysin Infinitorum (1747), en la que la distinción cartesiana entre curvas geométricas y mecánicas aparece ya en terminología moderna de curvas algebraicas y trascendentes. Introdujo las coordenadas mediante el uso de un único eje sobre el que al fijar un punto como origen, define las abscisas y levanta ordenadas perpendiculares u oblicuas. En 1755, publicó “Institutiones Calculi Differentialis”, donde definió una función de manera totalmente general y “moderna”: […] “Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas”... Categorizó las funciones como continuas y mixtas.

En 1746 D’Alembert publicó una solución al problema de una cuerda tensa que vibra. La solución, depende de la forma inicial de la cuerda e insistió en su solución que la función que describe las velocidades iniciales de cada punto de la cuerda tenía que ser continua, es decir, expresada mediante una sola expresión analítica. Euler objetó la restricción impuesta por D’Alembert, afirmando que, por razones físicas, expresiones más generales para la forma inicial tenían que permitirse.

SIGLOS XVIII - XIX

Condorcet retomó la definición general de Euler de 1755. Distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.

Fourier quien afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado. Fourier demostró que algunas funciones discontinuas podían representarse por lo que hoy llamamos una serie de Fourier; con lo que la diferencia entre funciones continuas y funciones discontinuas de Euler no existía.

En 1829 Johann Dirichlet8, clarificó la diferencia entre una función y su representación.

7 Leonhard Paul Euler, es considerado el principal matemático del siglo XVIII, introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática. En Boyer (2003, citado por Trujillo y Castro, 2010, pág. 112), Euler propuso una definición de función que hoy resultaría inaceptable, puesto el significado de expresión analítica.

8 Según Luzin (1998), el trabajo de Fourier llevaría finalmente a clarificar el concepto de función

cuando, en 1829 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, demostró algunos resultados concernientes a la convergencia de las series de Fourier y aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos. Perfeccionó la definición y concepto de función. http://es.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet

Tabla 1-3. Desarrollo histórico del concepto de función de 1820 a 1940

SIGLOS XVIII - XIX

En 1821, en “Course d'analyse”, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función.

“Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable”.

En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general, en la que aún se necesitaba que ésta fuera continua: “Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida”.

SIGLO XX

Edouard Goursat, en su Curso de Análisis Matemático en 1923, escribió: “Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)”.

Esta definición es hoy aceptada por la comunidad matemática, pero resulta, por si sola, escueta y poco precisa.

Bourbaki9, en 1939, planteó una formulación general de función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos, el dominio y el rango (Youschkevitch, 1976): “Sean E y F dos conjuntos, que pueden ser distintos o no. Una relación entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F se llama una relación funcional en y, si para

toda x E, existe un único y F el cual está en la relación dada con x. Dos relaciones funcionales equivalentes

determinan la misma función”.

Bourbaki también formuló una definición de función equivalente, como un conjunto de pares ordenados: “Una función del conjunto E en el conjunto F se define como un sub conjunto especial del producto cartesiano E x F”.

9 Nicolas Bourbaki es el nombre de un grupo de matemáticos franceses que en los años 30 del

siglo XX se propuso revisar los fundamentos de las matemáticas con una exigencia de rigor mucho mayor que la que entonces era corriente en esta ciencia. Inició la publicación de sus monumentales Elementos de Matemáticas de acuerdo con el nuevo canon de rigor y el método axiomático, pretendiendo cubrir las bases de todas las matemáticas. http://www.bourbaki.ens.fr/

19



http://es.wikipedia.org/wiki/A%C3%B1os_1930

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma

http://www.bourbaki.ens.fr/

Los conocimientos matemáticos inherentes a las funciones se han construido

históricamente alrededor de ideas previas que se reafirmaban y ampliaban o se

controvertían, todo sobre la base de los intereses, las ideas, las posibilidades y

limitaciones de cada época. Situar el origen específico del concepto de función resulta

complejo. Sin embargo, al considerar los significativos aportes de Euler y sus ingentes

esfuerzos por definir razonablemente las funciones continuas, discontinuas y

trascendentes, es justo y razonable adjudicarle la autoría del concepto. La famosa

controversia entre D'Alembert y Euler centrada alrededor del significado del término

función y el problema de la cuerda vibrante, fue punto de partida de análisis y

disquisiciones conducentes al desarrollo del concepto moderno de función.

Es evidente que las matemáticas son el fruto de una construcción histórica, resultado de

interacciones sociales, culturales, políticas, religiosas e incluso económicas, que hacen

de ella un producto humano inacabado y mutable. Las funciones en particular, se abren

paso en un mundo en el que cada vez resulta más necesario la construcción de modelos

matemáticos que permitan determinar parámetros de optimización, razones de variación

relacionadas, de comportamientos o tendencias, de crecimiento, entre otros; que son

susceptibles de ser presentados y comunicados en diferentes registros y

representaciones, con lo que la comunicación matemática y el razonamiento develan su

relevancia.

Conocer el origen de los conceptos matemáticos, suscita una apreciación distinta y

profunda de los saberes que se construyen alrededor de las ciencias exactas y

naturales. Con ello, se despierta la necesidad imperiosa de acercarnos y acercar a las

nuevas generaciones, representadas en los educandos, al conocimiento matemático;

reconociendo su génesis y valorando el trabajo de las mentes brillantes, de hombres y

mujeres que dedicaron sus vidas a la comprensión y modelación del mundo y la

naturaleza.

1.3 Las funciones en la educación matemática escolar

Por su relevancia en las ciencias exactas, el concepto de función ha sido objeto de

múltiples investigaciones. Desde la perspectiva de la didáctica, en Latinoamérica y

España, se han realizado investigaciones que se centran en comprender cómo el


concepto de función es enfocado y presentado en los textos escolares, otros estudios

analizan el papel de la modelación en la adquisición del concepto de función y otros

exploran el impacto de programas graficadores y otros recursos tecnológicos como

recurso en la adquisición del concepto de función. A continuación se presenta una

síntesis de algunas de estas investigaciones (Tabla 1-4).

Tabla 1- 4. Síntesis del estado del arte en relación al concepto de función.

ESTUDIO AÑO INVESTIGADORES

PAÍS ÁMBITO ASPECTOS FUNDAMENTALES

El concepto de función a través de los textos escolares: reflejos sobre una evolución

1995 García y Llinares

España

Concepto de función en los textos escolares

Examina y caracteriza la manera en que es presentado el contenido asociado al concepto de función en los textos escolares de matemáticas dirigidos a los estudiantes en un rango de edades que va de los 11 a los 16 años. Se centra en el análisis de las tareas y actividades presentadas en diversos textos desde los sistemas de representación utilizados y la perspectiva adoptada en relación al concepto de función. El estudio concluye que se observa una transición en la conceptualización de la noción de función desde una perspectiva bourbakista (conjuntista) hacia una noción de función como modelo matemático de situaciones de covariación.

El concepto de función en los textos escolares y el cuaderno didáctico, hacia la noción de función como dependencia y patrones de la función lineal

1997

García, Serrano y Ospitia

Colombia

Concepto de función en los textos escolares

Muestra que “rastrear” la forma como el concepto de función es presentado en los textos escolares que promueven las editoriales y son utilizados por los maestros en el país obedece a la necesidad de dar a conocer que existe una distancia significativa entre el saber matemático académico y el saber que se enseña. Así mismo, que en el proceso trasposición didáctica, los objetos matemáticos utilizados deforman el saber matemático académico. Indica que es necesario ejercer vigilancia epistemológica sobre el saber que se va a enseñar.

21



Tabla 1- 4. Continuación.



El concepto de función en los textos escolares de EGB 3 y educación Polimodal

¿2001?

Veleiro10

Argentina

Concepto de función en los textos escolares Epistemología del concepto Obstáculos cognitivos

Plantea que en los textos escolares de matemáticas de EGB 3 y Polimodal, publicados alrededor del año 2000, el concepto de función se centra en la formalización de la idea de asignación, atribuyendo un número a elementos de categorías disímiles. Cuestiona si dicho enfoque es adecuado para favorecer en los educandos el aprendizaje del concepto. Sus conclusiones indican que las respuestas de los alumnos no obedecen a sus diferentes capacidades para razonar sino a las diferencias entre sus experiencias y referencias personales. Sostiene que existe una tendencia entre los alumnos de replicar lo que el docente hace. Ello no implica errores de razonamiento en los jóvenes, pero si refleja que no hay claridad en torno al concepto que el maestro busca estructurar en clase. Propone emplear una metodología de resolución de problemas utilizando la simulación como herramienta didáctica para superar obstáculos.

Construcción del concepto de función en estudiantes de grado octavo

11

2009 Quintero y Cadavid

Colombia

Obstáculos cognitivos

Analiza el proceso de construcción del concepto de función en estudiantes de grado octavo, mediado por actividades orientadas bajo un abordaje sociocultural. Aduce que todo proceso de construcción conlleva una relación entre el sujeto que construye conocimiento y el objeto a conocer. De este planteamiento se puede inferir que la cultura en la que se encuentra inmerso el educando, condiciona la forma como éste estructura sus conceptos, dado que su conocimiento del mundo limitará sus estadios de desarrollo; con lo que considerar el contexto de los educandos es fundamental, dado que el conocimiento podría estar condicionado por el lenguaje, tornándose en un obstáculo.

10 Marta Elena Veleiro realizó estudios de postgrado en matemática para profesores de nivel

superior. Es formadora de maestros de matemáticas en la Universidad Tecnológica Nacional de Buenos Aires Argentina. Disponible en: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/veleiro.htm 11

QUINTERO, Claudia; CADAVID, Luz. Construcción del concepto de función en estudiantes de grado octavo, Avances. Universidad de Antioquia, Grupo Matemática, Educación y Sociedad (MES). Presentación en el X Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, en 2009. Disponible en: http://funes.uniandes.edu.co/705/


http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/veleiro.htm

http://funes.uniandes.edu.co/705/

Contrastando estos planteamientos con los referentes teóricos citados, se encuentra

coincidencia en la necesidad de dar significado al concepto de función en procura de una

adecuada estructuración del mismo, sorteando los obstáculos a través de estrategias que

recreen situaciones reales, partiendo de situaciones problémicas que no sean ajenas a

los contextos de los educandos hasta llegar a situaciones problémicas propias de las

ciencias sociales y naturales.

Se debe tener cuidado en el proceso de Transposición Didáctica13, lo cual implica que el

educador matemático debe tener pleno conocimiento y dominio del concepto de función

que procura estructurar en sus educandos, siendo éste lo más próximo posible al saber

erudito.

12 DEL CASTILLO, Alejandro; MONTIEL, Gisela. El concepto de función en un ambiente

geométrico dinámico bajo el enfoque covariacional. Instituto Tecnológico de Ciudad Madero, Tamaulipas, México. Memorias de la XI Escuela de Invierno de Matemáticas, págs. 568 a 580. Disponible en: http://www.red-cimates.org.mx/Documentos/xieime.pdf 13

El concepto de Transposición Didáctica es un objeto fundamental en la Didáctica Antropológica propuesta por Chevallard. El concepto presupone la idea de saber científico y manipulación sobre el mismo, siendo este último pensado como un producto emergente de las prácticas sociales. En estas prácticas, el saber tiene cierta distancia del saber científico o “saber sabio”, puesto que esta mediado por el maestro.

Tabla 1- 4. Continuación



El concepto de función en un ambiente geométrico dinámico bajo el enfoque covariacional

12

2007

Del castillo y Montiel

México

Epistemología del concepto

Obstáculos cognitivos

Recursos

tecnológicos como

mediadores del conocimiento

Presentan un análisis respecto del concepto de función predominante en la escuela. Estudian las nociones que el alumno construye respecto del concepto de función en un entorno geométrico dinámico, empleando Cabri y Geogebra, con un enfoque covariacional. Plantean que ambientes de este tipo, posibilitan que el alumno analice funciones de tipo polinómico y trascendente. Proponen el uso de recursos tecnológicos para realizar simulaciones que recreen problemas complejos del mundo real como estrategia didáctica.

23



http://www.red-cimates.org.mx/Documentos/xieime.pdf

2. Metodología

2.1 Marco metodológico

El concepto de Ingeniería Didáctica surgió en el seno de la escuela francesa,

puntualmente a principio de la década del ochenta del siglo XX. Se pensó como una

metodología para las realizaciones de los hallazgos de la Teoría de Situaciones

Didácticas14 y de la Transposición Didáctica, propias de la didáctica de las matemáticas.

El nombre Ingeniería Didáctica, se deriva de la analogía con la actividad propia del

ingeniero, dado que éste al realizar un proyecto se apoya en los conocimientos y

métodos de las ciencias para la toma de decisiones. No obstante, normalmente se ve

obligado a trabajar con objetos más complejos que aquellos propios de las ciencias,

abordando con todos los medios a su alcance problemas de los que la ciencia, por si

sola, no puede ocuparse.

En concordancia con De Faria15 (2006, págs. 1 y 2) , quien plantea que:

[…] el término ingeniería didáctica designa un conjunto de secuencias de

clase concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de manera

coherente por un profesor – ingeniero para efectuar un proyecto de

aprendizaje de un contenido matemático dado para un grupo concreto

de alumnos. A lo largo de los intercambios entre el profesor y los

alumnos, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de los alumnos en

14 En la teoría de Situaciones Didácticas, planteada por Guy Brousseau, intervienen tres

elementos fundamentales: el estudiante, el profesor y el medio didáctico; así, el profesor es quien facilita el medio en el cual el estudiante construye su conocimiento. 15

DE FARIA, Campos Edison. Ingeniería Didáctica. Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-matemáticas Universidad de Costa Rica; Escuela de matemáticas de la Universidad Nacional; Escuela de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Estatal a Distancia Cuadernos de Investigación y Formación Matemática, N

o 2, año 1, 2006. Páginas 1 - 9. Disponible

en: http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/CIFEM/article/download/12/17

http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/CIFEM/article/download/12/17

función de las decisiones y elecciones del profesor. Así, la ingeniería

didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un análisis a

priori, y un proceso, resultante de una adaptación de la puesta en

funcionamiento de un producto acorde con las condiciones dinámicas de

una clase.

La Ingeniería Didáctica se utiliza en la didáctica de las matemáticas en dos sentidos:

cómo metodología de investigación y como producciones de situaciones de enseñanza y

aprendizaje. Como metodología de investigación, según De Faria (2006, pág. 2), la

Ingeniería Didáctica se caracteriza por ser un esquema experimental basado en la

concepción, la realización, la observación y el análisis de secuencias de enseñanza.

También se caracteriza por el registro de los estudios de caso y su posterior validación a

partir del parangón entre los análisis a priori y a posteriori.

2.2 Diseño metodológico

El diseño metodológico definido para el desarrollo del estudio y la concepción de la

propuesta se apoyó en la Ingeniería Didáctica. Con este, se buscó sustentar la hipótesis:

La identificación de obstáculos epistemológicos en los educandos permite el diseño de

objetos y situaciones didácticas pertinentes para la estructuración del concepto de

función en educandos del grado noveno.

Básicamente esta metodología, según Artigue (1995), Farfán (1997) y Lezama y Farfán

(2001), citados por García16 (2007, pág. 62), contempla cuatro fases que se ilustran en el

diagrama de la figura 2-1.

16 GARCÍA, Mónica; MONTIEL, Gisela. Resignificando el Concepto de Función Lineal en una

Experiencia de Educación a Distancia. Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada; Instituto Politécnico Nacional de México. Disponible en: http://www.educ.uvic.ca/faculty/mroth/

25



http://www.educ.uvic.ca/faculty/mroth/

Figura 2-1. Diagrama de las fases del proceso metodológico

Basado en los elementos y fases de la Ingeniería Didáctica, el proceso metodológico

implementado resultó flexible debido a que era posible que las consideraciones de tipo

epistemológico, cognitivo y didáctico respecto de los obstáculos en los educandos no

necesariamente resultaran válidas. Los obstáculos encontrados definieron las

restricciones y variables de control, además del enfoque y la situaciones y objetos

didácticos a implementar en la fase de “experimentación”.

En principio se consideró realizar el estudio sólo con educandos del grado noveno de la

I.E.T.C. José María Vivas Balcázar , institución educativa oficial, mixta, localizada en la

comuna 10 de Santiago de Cali. Luego, en busca de desarrollar objetos de aprendizaje

que fuesen más universales, se determinó vincular al estudio a las estudiantes del grado

noveno del Colegio de La Sagrada Familia17, ubicado en la misma ciudad en el sector de

Pance, institución femenina de carácter privado.

17 La orientación del curso de álgebra en ambas instituciones favoreció vincular estudiantes de

ambas instituciones al estudio, logrando establecer comparaciones entre dos grupos cultural, social y económicamente distintos.

CONFRONTACIÓN

CONFRONTACIÓN

26 Capítulo 2 : Metodología

10%

55%

22%

10% 3%

13 14 15 16 17

Una vez se dio inicio a la fase de “experimentación”, se realizaron observaciones y se

recolectó información de tipo cualitativo y cuantitativo, en cuanto que la implementación

de pruebas estandarizadas de seguimiento y control ofrecen resultados de tipo numérico

continuo, pudiendo categorizarse como desempeños superior, alto, básico o bajo,

acompasándose al Decreto 129018 de 2009 emanado del Ministerio de Educación

Nacional de Colombia, transformándose así en información de tipo cualitativo.

El análisis de la información recabada permitió confrontar la información derivada de una

prueba diagnóstica inicial con las observaciones durante el proceso, evidenciándose los

niveles de avance o retroceso de los educandos, permitiendo realizar inferencias

respecto de las situaciones y objetos didácticos implementados. De este modo se pone

en marcha la fase de validación.

2.2.1 Caracterización de la población

Se aplicó una encuesta con la que se pretendió caracterizar a los educandos que

conformaron el grupo experimental de 40 estudiantes (n=40), 20 de cada institución (ver

Anexo A). Los resultados de la sistematización de la información colectada en la

encuesta se ilustran en las figuras 2 - 2 a 2 – 6.

Figura 2-2. Edades de los estudiantes del grupo experimental

18 El Decreto 1290 de 2009, reglamenta la evaluación del aprendizaje y la promoción de los

estudiantes de los niveles de Educación Básica y Media, de las instituciones de carácter oficial y privado en Colombia. Da autonomía a las instituciones educativas para definir su propio Sistema Institucional de Evaluación de los Estudiantes (SIEE), siendo parte de sus Proyectos Educativos Institucionales, contemplando, entre otros aspectos, los criterios de evaluación y promoción, así como la escala de valoración institucional y su equivalente con la escala nacional que considera cuatro niveles de desempeño: Superior, Alto, Básico y Bajo.

Edad (Años)

Número de estudiantes

13 4

14 22

15 9

16 4

17 1 Fuente: Conducta de entrada

27



En la figura 2-2, se observa que las edades de los estudiantes que conformaron el grupo

de estudio, varía de 13 a 17 años. Concentrándose en mayor número entre los 14 y 15

años, lo que representa el 77 % del grupo experimental.

Figura 2-3. Distribución de los estudiantes del grupo experimental por sexo

Fuente: Conducta de entrada

En el gráfico de la figura 2-3, puede observarse que la razón entre el número de

estudiantes de sexo masculino y el de estudiantes de sexo femenino es de 1 : 2.6; con lo

que por cada estudiante hombre que hizo parte del estudio, hubo 2,6 estudiantes

mujeres. Esto se debe a que el Colegio de La Sagrada Familia es Femenino y la

I. E. T. C. José María Vivas Balcázar tiene modalidad comercial, siendo su población

estudiantil mayormente femenina.

Figura 2-4. Distribución de los estudiantes del grupo experimental como repitentes y no

repitentes.


La información ilustrada en la figura 2-4 muestra que sólo el 17% de los estudiantes del

grupo de estudio probablemente conoció el objeto matemático función en la clase de

matemáticas, esto puede obedecer a que cursaron el grado por segunda vez. El restante

Sexo Número de estudiantes

Masculino 11

Femenino 29

Aprobación grado durante 2011


Repitente 7

No repitente 33


83%, corresponde a educandos que probablemente no había estudiado de manera

formal el objeto matemático función.

Figura 2-5. Procedencia de los estudiantes de la I. E. T.C. José María Vivas Balcázar


En la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar 4 de los 20

estudiantes que conformaron el grupo de estudio, por parte de esa institución, procedían

de otras instituciones educativas de la ciudad o de otras ciudades; esta cifra representa

el 10% de todo el grupo experimental.

Figura 2-6 Respuesta de los estudiantes respecto del interrogante ¿considera usted que

tiene o ha tenido dificultades en el área de matemáticas?


El gráfico 2-6, proporciona información respecto del juicio valorativo que cada estudiante

del grupo de estudio realizó sobre su habitual desempeño en el área de matemáticas;

indicando si actualmente o en años anteriores habían tenido dificultades en el área o no.

Una gran mayoría, equivalente al 85%, expresó que si había presentado dificultades en

el área. Tan sólo el 5% manifestó no tener dificultades en el área y el 10% restante no

Colegio de procedencia


I.E.T.C. José María Vivas Balcázar

16

Otro colegio de la ciudad

2

Otro colegio de otra ciudad

2

Dificultades en el área


Si 34

No 2

No responde 4

29



respondió. De lo anterior se infirió que probablemente los estudiantes han tenido una

percepción de las matemáticas como ciencia dura, que posiblemente les condicionaría en

el proceso de apropiación de saberes conceptuales y procedimentales asociados a las

funciones y pudieren ser factor de obstáculo cognitivo.

2.2.2 Fase de planeación

Extender el estudio a dos grupos de estudiantes en instituciones educativas de

contextos disímiles, supone obstáculos cognitivos de orden epistemológico y didáctico un

tanto distintos. No se reconocen obstáculos de tipo ontogenéticos; el conocimiento de

los grupos al momento de ejecutar la etapa de planeación resulta insuficiente para definir

este tipo de obstáculos, por lo que no se consideraron en esta etapa ni en las

subsiguientes.

Los obstáculos epistemológicos al ser dificultades que se encuentran en la historia

misma del concepto y de su “evolución”, mediados por la cultura, sumados a aquellos

que dependen del modelo de enseñanza en el que se ha “inscrito” el proceso de

mediación del objeto matemático función, pueden ser o no perceptibles y debe decidirse

cuáles pueden o no evitarse y definir cómo serán superados.

Para establecer los obstáculos cognitivos subyacentes, se tomó como referente el listado

de obstáculos epistemológicos asociados al concepto de función planteado por

Sierpinska (1992), citado por Trujillo, Castro y Guerrero (2010). Se asumió que no había

obstáculos de origen ontogenético, puesto que no se conoció evidencia de limitaciones

de tipo neurofisiológico de los estudiantes durante su proceso de desarrollo; se

consideraron obstáculos de origen didáctico, que resultan bastante comunes y que son

propios de las formas como se ha mediado un saber; por último, se consideraron

obstáculos de orden epistemológico, ligados a la naturaleza misma del concepto de

función y de otros conceptos de la aritmética, el álgebra y de la lógica, que muestra

resistencia a ser modificados y que también pueden conducir a “conocimiento negativo”.

Se analizó que saberes específicos previos eran “prerrequisito” para abordar con éxito el

concepto de función y que preconcepciones tienen los educandos frente al área. Lo

anterior, implicó un análisis de elementos tales como: el uso de la simbología

matemática, vinculando símbolos propios de la lógica que permiten establecer relaciones


entre elementos y conjuntos; la falta de significado de expresiones como x o y; la

dificultad para transferir lo numérico a lo geométrico y viceversa (Tabla 2-1). La

sistematización se realizó a través de una rúbrica diagnóstica (Tabla 2-2), en la que se

definieron doce indicadores, registrando el nivel de apropiación de los estudiantes frente

a éstos a partir de la prueba diagnóstica (Anexo B, en formato electrónico, en disco

adjunto, disponible en jfquinteroo.blogspot.com).

Tabla 2-1. Posibles obstáculos cognitivos en estudiantes del grado noveno asociados al

concepto de función.

Obstáculo

O 1 Concebir las matemáticas como demasiado complejas e incomprensibles (rechazo arraigado culturalmente – vista como ciencia dura).

O 2 El lenguaje matemático asociado a las funciones no está articulado a su memoria semántica.

O 3 Concebir un conjunto de manera incompleta o incorrecta.

O 4 Asumir por igual constantes y variables.

O 5 Concebir la definición como una descripción de un objeto conocido por percepción.

O 6 Visualizar la covariación en un fenómeno; centrándose en cómo cambian las magnitudes involucradas, sin dar cuenta de qué cambia.

O 7 Mostrar imprecisión al presentar los conceptos de relación y función.

O 8 Desconocer como válidas otras representaciones semióticas de las funciones, además de la descrita por fórmulas analítica.

O 9 No es posible transponer una función de una representación semiótica a otra.

O 10 No identificar conjuntos como dominio y el rango de una función.

Este análisis se apoyó en una prueba diagnóstica aplicada a los 40 estudiantes del grupo

experimental. Su propósito fue el de identificar los obstáculos didácticos de mayor

impacto en la apropiación del concepto de función. Se estableció una rúbrica diagnóstica

en la que se registran una serie de observaciones en relación a los indicadores derivados

de la prueba diagnóstica y el listado de obstáculos (Tablas 2-1 y 2-2).


31



Tabla 2-2. Rúbrica diagnóstica

INDICADORES

NIVEL DE APROPIACIÓN EN LOS

ESTUDIANTES

No apropiado Apropiado

parcialmente

Apropiado

satisfactoriamente

I.E.V.B. C.S. F. I.E.V.B. C.S. F. I.E.V.B. C.S. F.

I 1 Reconoce a partir de un grafo cuando una relación es una función. 7 3 4 7 9 10

I 2 Explica por qué un grafo representa o no una función. 6 4 9 10 5 6

I 3 Reconoce a partir de un diagrama sagital cuando una relación es una función.

2 2 5 2 13 16

I 4 Explica por qué un diagrama sagital representa o no una función.

6 3 7 8 7 9

I 5 Reconoce a partir de un diagrama cartesiano cuando una relación es una función.

10 9 8 10 2 1

I 6 Explica por qué un diagrama cartesiano representa o no una función. 15 13 4 6 1 1

I 7

Establece, a partir de una tabla de valores, la regla que determina una relación de covariación lineal entre dos

magnitudes o variables.

3 2 12 14 5 4

I 8

Escribe en el lenguaje matemático la regla que determina una relación de covariación lineal entre dos magnitudes o variables.

15 15 4 3 1 2

I 9

Establece, a partir de una tabla de valores, la regla que determina una relación de covariación no lineal entre

dos magnitudes o variables.

16 10 5 7 0 2

I 10

Escribe en el lenguaje matemático la regla que determina una relación de covariación no lineal entre dos magnitudes o variables.

19 18 0 1 1 1

I 11 Representa correctamente una función gráficamente a partir de su registro tabular.

10 7 8 9 2 4

I 12 Escribe la fórmula (lenguaje matemático) correspondiente a una función dada en lenguaje natural.

15 11 4 6 1 3

Los colores representan una escala que asocia de menor grado (verde), de grado

intermedio (amarillo), a mayor grado (rojo) los procesos en los que se observan

debilidades en los educandos y en consecuencia, que podrían considerarse obstáculos

cognitivos.


Figura 2-7. Niveles de apropiación de los educandos según prueba diagnóstica y rúbrica

de indicadores.

Fuente: prueba diagnóstica

En cada indicador se observan tres pares de barras, las amarillas representan a los

educandos de la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar

(I.E.V.B.) y las azules representan a las estudiantes del Colegio de La Sagrada Familia

(C.S.F.). El primer par de barras muestra, de ambas instituciones, para cuántos

educandos no está apropiado el indicador; el segundo par de barras, representa para

cuantos educandos el indicador está apropiado parcialmente; el tercer par de barras,

representa la cantidad de estudiantes en los que el indicador si se ha apropiado.

De la información sistematizada pudo inferirse que los educandos evidenciaron

dificultades marcadas para comunicar ideas matemáticas en el lenguaje matemático,

además de la dificultad que mostraron para realizar la traducción del lenguaje natural al

lenguaje matemático. Esto pudo ser consecuencia de una “memoria semántica”

relativamente pobre, derivada del limitado o inexistente uso y apropiación de la

simbología matemática que les dificulta leer, comprender y escribir en lenguaje

matemático (comunicación matemática). Por otra parte, hubo indicios de una base

conceptual y procedimental débil en torno a la covariación de magnitudes, las

operaciones entre conjuntos -especialmente el producto cartesiano- y las relaciones

I -

1

I -

2

I -

3

I -

4

I -

5

I -

6

I -

11

I -

7

I -

8

I -

9

I -

10

I -

12

33



entre conjuntos; con lo que comprender y estructurar conceptos como el de función,

dominio, codominio, rango, grafo, entre otros, les resultó más complejo.

2.2.3 Fases de diseño y experimentación

Tomando como base los posibles obstáculos cognitivos y los resultados del diagnóstico

se diseñaron dos objetos didácticos. El primero, sacando provecho del curso Diseño y

desarrollo de Objetos Físicos19, un objeto físico de aprendizaje (manipulativo), que

vincula elementos lúdicos y del aprendizaje colaborativo como estrategia. Para tal fin se

contó con el apoyo de los estudiantes de pregrado del programa de Diseño Industrial:

Ramiro Álvarez20 y Edwin Ramos21, quienes aportaron todos los conocimientos teóricos y

técnicos necesarios en el proceso de diseño y desarrollo de un objeto como solución a un

problema. el segundo, una secuencia didáctica cuyo propósito fue el de cimentar

preconceptos asociados al concepto de función desde la perspectiva del trabajo

autónomo con el acompañamiento del maestro y colaborativo (entre pares), en el que la

lectura, el análisis de situaciones problémicas modelo, la búsqueda, selección y análisis

de información y la resolución de situaciones problémicas contextualizadas constituyeron

la estrategia edificadora.

2.2.3.1 Diseño y desarrollo de la actividad y del Objeto Físico de Aprendizaje

Al diseñar una actividad y un objeto de aprendizaje, asumidos como elementos

mediadores para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las funciones en

los educandos de noveno grado de educación Básica Secundaria, se debieron tomar

objetos que vincularan elementos manipulables, de recomposición, visualmente

19 Este curso hace parte del componente electivo de la Maestría en la Enseñanza de las Ciencias

Exactas y Naturales de la Universidad Nacional, sede Palmira, tomado durante el semestre 2011-II, fue orientado por el profesor Boris Villamil Ramírez con el apoyo de Miguel Fernando González. El curso estaba abierto a estudiantes de la Maestría y del programa de Diseño Industrial. 20

Ramiro Antonio Álvarez es estudiante de último semestre de Diseño Industrial de la Universidad Nacional de Colombia, sede Palmira; desde 2009 pertenece al grupo de investigación de Ergonomía y Sustentabilidad de la Universidad Nacional. 21

Edwin Ramos es estudiante de último semestre de Diseño Industrial de la universidad Nacional de Colombia , sede Palmira; ha centrado sus estudios en la gestión de proyectos interdisciplinares y producción de objetos, en su configuración formal de uso bajo el análisis integral y sistémico en sus aspectos contextuales, ambientales e industriales.


impactantes; que recurrieran al juego y a la lúdica como elemento motivador; que

evocaran experiencias conocidas por los usuarios, conteniendo elementos de su agrado;

que ofrecieran retos al intelecto, al razonamiento lógico y la creatividad.

La actividad se centró en la representación de funciones reales en el lenguaje verbal, el

lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico. Fundamentalmente, la actividad buscó que los

educandos, organizados en equipos de tres integrantes, a partir de una función dada

aleatoriamente, en un registro algebraico, pasaran a un registro verbal y luego, a partir de

la evaluación de cantidades reales predefinidas en la expresión algebraica de la función,

construyeran una tabla de valores y dibujaran su gráfica en un plano coordenado. Cada

tarea, sería realizada por un miembro del equipo contando con el apoyo de otro. Se

buscó identificar el nivel de manejo de las distintas representaciones semióticas de una

función.

Partiendo de las anteriores consideraciones y del concepto del OFA se definió que éste

debería: abordar funciones con variados niveles de dificultad, permitir la manipulación por

parte de más de un estudiante usuario (3 a 5 personas), facilitar la “traducción” de una

representación semiótica a otra (cambio de registros verbal – algebraico – tabular –

gráfico), permitir la identificación de elementos característicos de las funciones como su

dominio y rango, estar compuesto por partes que se complementen, facilitar la

comunicación, guardar relación con la “escala humana” (aspecto propio del diseño y la

ergonomía), ser de fácil comprensión y uso. Por otra parte debería ser fácilmente

reproducible.

Se optó por un diseño simple, que tomó la idea de las tarjetas con información. En la que

se presente una función representada algebraicamente y cuatro en representación

verbal, de modo que se establezca una correspondencia entre una y otra (“traducción”).

Luego, después de realizada la transición de representación algebraica a representación

verbal, el estudiante que cumple las veces de “tabulador”, completa la tabla dada en la

tarjeta seleccionada para que, finalmente, el estudiante “graficador” trace la gráfica de la

función a partir de la representación tabular.

35



La etapa de validación inicial de la actividad y del objeto de aprendizaje, en etapa de

desarrollo, se ejecuta en dos momentos. El primero, una validación al interior del curso

Diseño y Desarrollo de Objetos Físicos y el segundo, una validación en el aula, en dos

instituciones: la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y el

Colegio de La Sagrada Familia de Cali, con estudiantes del grado noveno.

De la validación al interior del curso, en la que se recreó toda la actividad con el uso de

un objeto de aprendizaje preliminar (prototipo), se recogieron apreciaciones desde la

óptica de los maestros y de los diseñadores, que aportaron elementos valiosos para el

posterior rediseño del Objeto Físico y de la actividad misma. Dichas recomendaciones se

centraron más en la actividad que en el objeto mismo. Se sugirió que la dinámica de la

actividad debería permitir la interacción permanente de los miembros del equipo puesto

que, si uno fallaba en su tarea o tardaba demasiado tiempo, afectaría el desempeño de

todo el equipo, incluso podría impedir que se cumpliera con la tarea de presentar la

función en cada una de las representaciones indicadas. Por otra parte, cada estudiante

podría asumir el rol en que se sintiera más “fuerte” y de este modo no se podría valorar

como realiza la “traducción” a las demás representaciones (Figura 2-8).

Figura 2-8. Primera validación del OFA

Nota: Las imágenes presentan el proceso completo de la validación de la actividad en el grupo del curso de

Diseño y Desarrollo de Objetos Físicos, haciendo uso del OFA en su versión preliminar.

Las recomendaciones fueron analizadas e implementadas de modo que en la validación

en el aula, con los estudiantes de grado noveno, la dinámica de la actividad facilitara su

ejecución. El equipo se inclinó por realizar una variación al Objeto y a la actividad: a los

estudiantes se les presentaría una función representada en el lenguaje verbal y tres


funciones en su representación algebraica (fórmula); una de las funciones dadas en el la

representación algebraica corresponde a la “traducción” de la función dada en lenguaje

verbal. Realizada la selección de la función equivalente, otro estudiante, miembro del

equipo, debía realizar la representación tabular, ayudada por el primer estudiante y

finalmente, el tercer miembro del equipo graficaría la función a partir de la tabla de

valores (ayudado por los otros dos), identificando previamente el dominio de la función.

El mismo objeto fue validado, en esta etapa, en ambas instituciones con dos equipos de

tres estudiantes cada uno, conformados de modo que tres estudiantes, considerados

“aventajados” conformaran un equipo y los restantes tres, que evidencian ciertas

dificultades, conformaron el otro equipo.

Figura 2-9. Proceso de validación inicial con educandos del grupo experimental

Nota: Las imágenes presentan el proceso de validación inicial en el Colegio de La Sagrada Familia y en la

Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar respectivamente.

En la primera validación con los estudiantes de grado noveno, se observó que los

tiempos de ejecución de la actividad fueron distintos. Los equipos del Colegio de La

Sagrada Familia, conformados por tres niñas, tardaron en promedio 17 minutos en

cumplir con la tarea; mientras que, los equipos de la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar,

conformados por dos niñas y un niño, tardaron en promedio 38 minutos en completar la

actividad. Esto fue motivo de análisis y se determinó que en relación a la apropiación del

lenguaje algebraico, necesario para realizar la transición de la representación verbal a la

representación algebraica, las estudiantes del Colegio de la Sagrada Familia se

mostraron mejor estructuradas.

37



Pese a tardar más tiempo, los estudiantes de la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar,

mostraron un desempeño similar en el proceso de representación tabular y graficación al

de las Estudiantes de La Sagrada Familia. En ambos casos, se cometieron errores de

graficación de la función definida por partes “la ordenada es 6 cuando la abscisa es par y

es -7 cuando la abscisa es impar”. Evidenciaron dificultad al tomar el cero como

preimagen y al trazar la gráfica de la función, puesto que unían los puntos

correspondientes a cada par ordenado de la función, lo cual resulta incorrecto.

El objeto y la actividad hicieron visibles dificultades en la realización de cálculos con

valores racionales, no enteros, que se daban como predefinidos en la tabla de valores.

En especial en la I. E. T. C. José María Vivas Balcázar fue necesario intervenir durante

las clases posteriores a la validación y trabajar con los estudiantes frente a la apropiación

de términos asociados al lenguaje matemático, tales como “el quíntuplo”, “las dos

terceras partes”, “el cuadrado de la diferencia”, entre tantos otros, puesto que no estaban

integrados a la memoria semántica de los educandos. Esto visibilizó la necesidad de

diseñar una secuencia didáctica que subsanara dichos vacíos.

2.2.3.2 Etapa de ajuste y desarrollo del objeto físico de aprendizaje

Pudo evidenciarse que el objeto físico de aprendizaje debería tener un tamaño tal, que

permitiera la manipulación en una mesa o en un pupitre, sin que se viera afectada su

funcionalidad. Por otra parte, el objeto debería favorecer el registro ágil y correcciones

continuas de los educandos durante el desarrollo de la actividad. Esto llevó al equipo a

discutir acerca de los materiales más adecuados para la construcción del Objeto, así

como las dimensiones que éste debía tener, sin descuidar su concepto.

Se determinó que el Objeto Físico de Aprendizaje estaría compuesto por tres partes

independientes entre sí, que se integrarían para llevar a cabo la transición de una

representación semiótica a otra (ver anexo C, en formato electrónico, en disco adjunto,

disponible en: jfquinteroo.blogspot.com). Se definió como material de construcción

acrílico transparente de 3 mm de espesor. Se determinó dicho material porque es

durable, moldeable, resistente, puede ser rayado con marcador y ser borrado sin que se

deteriore, entre otras características (Figura 2-10).


Figura 2-10. Diseño final del OFA.

Se optó en definitiva por el uso de cartas en las que se presenta una baraja de funciones

dadas en el lenguaje verbal, de las cuales cada equipo selecciona una aleatoriamente.

Además de la carta con la función dada en lenguaje verbal, se entrega al equipo cuatro

cartas con expresiones algebraicas, de las cuales una sola corresponde a la función

dada inicialmente. Estas cinco cartas se disponen en una base, para que el traductor

ayudado por un cuarto miembro del equipo, seleccione la carta que asocia la función

correspondiente. Una vez seleccionada pasan al tablero de tabulación (representación

semiótica tabular) y construyen la tabla de valores, no predeterminados. Finalmente, a

partir de la tabla, los tres integrantes del equipo apoyan al graficador en la construcción

de la curva que representa la función (representación semiótica gráfica) en un tablero

que cuenta con un plano coordenado y una grilla, sin escala numérica predeterminada

(Figura 2-11)

39



Figura 2-11. Componentes del Objeto Físico de Aprendizaje.

2.2.3.3 Etapa de validación final del objeto

En esta etapa, la validación se realizó en ambas instituciones, con una variación respecto

de la validación inicial, ahora dos equipos estarían conformados por cuatro estudiantes

quienes podrían apoyarse entre sí durante toda la actividad. Los estudiantes fueron

otros, diferentes a los empleados durante la primera validación.

En esta ocasión, con el uso del Objeto Físico de Aprendizaje plenamente desarrollado,

se logró un mejor impacto visual que motivó a los estudiantes a trabajar de manera más

dinámica y concentrada. Se logró reducir los tiempos de realización de la actividad,

pasando de 17 minutos en el Colegio de La Sagrada Familia a 15 minutos y más

significativo aún, en la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar se pasó de 38 a 18 minutos

(Figuras 2-12 a 2-15)

Figura 2.12. Interacción de las estudiantes de un mismo equipo en el Colegio de La

Sagrada Familia.

Nota: En las imágenes se observa: a la izquierda, el proceso de representación tabular, y a la derecha, el

proceso de representación gráfica.


Figura 2-13. Revisión del “producto final”

Nota: Una vez el equipo de trabajo culminada la actividad, esta se revisa y socializa.

Figura 2-14. Momentos de la actividad en un aula de clase del grado noveno de la

I.E.T.C. José María Vivas Balcázar.

Nota: A la izquierda, se puede observar que el estudiante ha seleccionado una función dada en

representación verbal y recibe las tarjetas de las funciones en representación algebraica. A la derecha, se

observa la colaboración entre dos integrantes del grupo.

Figura 2-15. Producto de la etapa final de la actividad realizada por un equipo de

trabajo del grado noveno de la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar.

41



El proceso de validación permitió la recolección de información a partir de dos fuentes

principales: en primera instancia, las observaciones realizadas por el equipo de diseño

durante el desarrollo de las actividades, y en segunda instancia, los comentarios sobre

las percepciones del Objeto Físico de Aprendizaje y la actividad asociada a él, realizados

por los usuarios. Éstos comentarios fueron acopiados mediante registro en video, que

posteriormente fue reproducido y analizado.

2.2.4 Fase de validación – análisis a posteriori

Las validaciones se realizaron con el propósito de recabar información respecto del

objeto, su usabilidad, su relación con el concepto y sobre la pertinencia de la actividad

diseñada. Un aspecto a destacar es que la dinámica del Objeto y de la actividad permitió

que el número de usuarios durante cada validación cambiara, sin que ello comprometiera

la actividad o el Objeto.

Dentro de las observaciones realizadas por el equipo de diseño y desarrollo del Objeto se

destaca que:

La dinámica de presentar una función en representación algebraica, para luego

seleccionar la representación verbal correspondiente, entre tres opciones, debería

invertirse, de modo que la traducción se realice de verbal a algebraico,

seleccionando las cartas correspondientes.

La tabla de valores, no debería tener valores prestablecidos, puesto que es ideal

que el educando y su equipo deduzcan el dominio de la función y tomen los

valores que deseen.

El plano coordenado no debería tener una escala predefinida, puesto que esto

puede ser una limitante a la hora de graficar.

El Objeto permitió identificar fortalezas y debilidades en el manejo del lenguaje

algebraico y en las operaciones básicas con número reales.

Fue necesario ajustar el tamaño del Objeto de modo que éste sea fácilmente

manipulado en un laboratorio o en el aula tradicional.

El Objeto podría manejar distintos niveles de complejidad.


Entre los comentarios de los estudiantes usuarios del objeto, podemos rescatar las

apreciaciones de:

Luisa: “El trabajo en equipo es importante porque nos ayudamos entre nosotros”.

Heiner: “Es necesario conocer de otros temas, además de las funciones, para poder

pasar de una representación a otra”.

Daniela: “El juego nos sirve para aprender y practicar de manera más divertida”

Alejandro: “El trabajo en el cuaderno es parecido, pero uno se siente más motivado

trabajando así”.

Lucy: “Usar este tipo de estrategias nos facilita aprender y practicar toda esa teoría que

vemos en clase”.

Natalia: “Este tipo de trabajo nos lleva a comunicarnos y de pronto compartir con

compañeros con los que casi no hablamos”.

Daniel G.: “Ahora si comprendo cómo es que se grafica”.

A partir de las observaciones del equipo de diseño y desarrollo, además de los

comentarios de los estudiantes que participaron en el proceso de validación, se asumió

que la implementación en el aula del Objeto Físico de Aprendizaje, era posible. Además,

el uso del OFA en el aula cumple con el propósito de favorecer en los educandos la

comprensión de las distintas representaciones semióticas de las funciones reales.

Resulta válido el uso de Objetos de Aprendizaje para establecer un puente entre el

conocimiento y los estudiantes. Dichos objetos no necesariamente deben ser virtuales,

los OVA tan difundidos hoy, puesto que frecuentemente nos encontramos con educandos

que aprenden de manera distinta o en contextos donde el ordenador no es un recurso

disponible. El Objeto Físico de Aprendizaje de las funciones, debe cumplir con una serie

de requisitos más allá de lo didáctico; éste debe ser reproducible, adaptable, de fácil

manipulación y almacenaje y económicamente viable, entre otros. El acrílico empleado,

aunque durable, funcional y estético, resultó costoso; en consecuencia, se hace

necesario analizar otras opciones, que satisfagan los requisitos planteados

anteriormente, pero de menor costo.

43



Los resultados obtenidos mostraron que el Objeto Físico de Aprendizaje cumplió su

propósito en dos instituciones educativas ubicadas en contextos muy distintos. La

implementación del Objeto en el aula, y su incidencia en los desempeños de los

estudiantes podría ser un proyecto de investigación que motive el interés de otros

educadores matemáticos.

La secuencia didáctica (ver Anexo D, en formato electrónico, en disco adjunto, disponible

en jfquinteroo.blogspot.com) que complementa la propuesta presentó propósitos

educativos muy concretos, a saber:

Procurar en los estudiantes del grado noveno el aprehendizaje de los

conocimientos conceptuales y procedimentales asociados al concepto de

función, a través de una secuencia didáctica.

Promover el trabajo autónomo y el trabajo colaborativo, con el docente como

orientador y facilitador, como estrategia para el desarrollo de las tareas y

actividades.

Propiciar la búsqueda y selección eficaz de información de diversas fuentes, así

como su interpretación, validación, uso y transformación.

La secuencia propuso cuatro actividades que, al ser desarrolladas, favorecieron el

“conocimiento positivo” de otros objetos matemáticos fundamentales como conjunto, par

ordenado, producto cartesiano, diagrama cartesiano, relación, entre otros, asociados al

concepto de función. Las actividades tres y cuatro se centraron en el objeto matemático

función, sus representaciones en distintos registros, subconceptos como el de dominio y

rango, su definición formal de función y sus aplicaciones.

La propuesta didáctica, motivó en los educandos la búsqueda de información de

diferentes fuentes, su posterior selección, análisis y síntesis. Dicha información se

deconstruyó y reconstruyó mediante el uso de mapas mentales que fueron socializados

en puestas en común. Los ejemplos y ejercicios guiados que se propusieron,

favorecieron la estructuración semántica, conceptual y operativa, necesaria para facilitar

el aprehendizaje de las funciones. La secuencia didáctica se complementó con la Guía

de Funciones (ver Anexo E, en formato electrónico, en disco adjunto, disponible en

jfquinteroo.blogspot.com), en la que se propusieron ejercicios y problemas que


pretendieron coadyuvar en la estructuración cognoscitiva de las representaciones

semióticas de las funciones y su uso en la modelación matemática.

En la etapa de validación de la propuesta en su conjunto, se aplicó una prueba de

control, cuyos resultados se contrastan con los de la prueba diagnóstica inicial. Estos

resultados y su análisis se muestran en el capítulo siguiente.

45



3. Resultados y análisis de los resultados

3.1 Resultados

Los criterios establecidos para determinar si un educando había o no superado los

obstáculos cognitivos definidos, diferencian si el estudiante hacía evidente o no su

comprensión del concepto de función, sus representaciones y era capaz de explicar sus

respuestas. Para ello se consideraron los mismos doce indicadores definidos en la

rúbrica diagnóstica.

Dicho análisis se hizo a partir de observaciones derivadas de la manipulación del OFA

por parte de los educandos, de los “productos” de la secuencia didáctica y de una

conducta de salida (ver anexo F, Conducta de Salida, en formato electrónico, en disco

adjunto, disponible en jfquinteroo.blogspot.com) en la que se presentan situaciones

similares a las tratadas en la guía complementaria.

Los resultados se muestran en la tabla 3-1, en la que se presenta una síntesis para los

40 estudiantes, sin diferenciar la institución donde estudian. También se presentan

dichos resultados mediante un gráfico estadístico que favorece la interpretación de los

mismos.

En la tabla se empleó el mismo código de colores utilizado en el análisis a priori, en la

que verde indica que este proceso se puede considerar apropiado, amarillo que indica

que este proceso evidencia apropiación parcial y rojo que indica que este proceso no ha

sido apropiado. Los indicadores en color verde muestran que los obstáculos asociados a

él han sido superados. Aquellos señalados con color amarillo y rojo muestran que dicho

obstáculo no ha sido superado satisfactoriamente y ello puede obedecer a otros factores

(obstáculos) de un orden distinto.

Tabla 3-1. Indicadores asociados a los obstáculos después de la intervención en el aula

Indicador No apropiado Apropiado

parcialmente Apropiado

I 1 Reconoce a partir de un grafo cuando una relación es una función.

0 6 34

I 2 Explica por qué un grafo representa o no una función.

0 6 34

I 3

Reconoce a partir de un diagrama sagital cuando una relación es una función.

0 2 38

I 4 Explica por qué un diagrama sagital representa o no una función.

0 5 35

I 5

Reconoce a partir de un diagrama cartesiano cuando una relación es una función.

1 6 33

I 6

Explica por qué un diagrama cartesiano representa o no una función.

1 8 31

I 7

Establece, a partir de una tabla de valores, la regla que determina una relación de covariación lineal entre dos magnitudes o variables.

1 9 30

I 8

Escribe en el lenguaje matemático la regla que determina una relación de covariación lineal entre dos magnitudes o variables.

3 12 25

I 9

Establece, a partir de una tabla de valores, la regla que determina una relación de covariación no lineal entre dos magnitudes o variables.

6 13 21

I 10

Escribe en el lenguaje matemático la regla que determina una relación de covariación no lineal entre

dos magnitudes o variables.

7 18 15

I 11 Representa correctamente una función gráficamente a partir de su registro tabular.

2 6 32

I 12

Escribe la fórmula (lenguaje matemático) correspondiente a una función dada en lenguaje natural.

2 14 24

47



No apropiado

Apropiado parcialmente

Apropiado

Figura 3-1. Resultados conducta de salida frente a los indicadores de superación de

obstáculos cognitivos.

De acuerdo con los resultados obtenidos a partir de la observación, análisis de las

producciones de los educandos y de la conducta de entrada se encontró que:

En promedio, el 5,3% de los educandos no logró, ni siquiera en un nivel básico, la

comprensión del concepto de función y sus representaciones. También se

evidencia que en este subgrupo de estudiantes hubo marcadas limitaciones

semánticas que les dificultó la efectiva comunicación matemática.

El 21,9% de los educandos logró parcialmente la comprensión del concepto de

función y sus distintas representaciones semióticas. Se encontró que en este

subgrupo de estudiantes también hubo limitaciones semánticas que dificultaron su

efectiva comunicación matemática. Fueron capaces de resolver situaciones

problémicas asociadas a la covariación lineal entre dos magnitudes, pudiendo

escribir la expresión algebraica (fórmula) o la expresión verbal de funciones

elementales a partir de su registro tabular. Incluso representaron correctamente,

este tipo de funciones en un sistema coordenado.

El 73,1% de los estudiantes que hicieron parte del estudio, mostraron una

adecuada apropiación conceptual y operativa de las funciones. Evidenciaron una

sustancial superación en la apropiación del lenguaje matemático asociado a las

funciones (memoria semántica), siendo capaces de enunciar una función en los

distintos registros (representaciones semióticas) abordados: lenguaje natural,

Po

rce

nta

je d

e e

stu

dia

nte

s

48 Capítulo 3 : Resultados y análisis de los resultados

lenguaje matemático, grafo, diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de

valores. Comprendieron la covariación lineal entre dos magnitudes, la

representaron y explicaron el cómo y el por qué varían. Cuando la covariación es

no lineal, se evidenció dificultad para establecer analíticamente la expresión que

le representaba.

Los resultados en relación con los obstáculos cognitivos y su superación se presenta en

la tabla 3-2.

Tabla 3-2. Resultados de la superación de obstáculos cognitivos

OBSTÁCULO SUPERACIÓN

EVIDENCIA

PARCIAL PLENA

O 1 X Comentarios de los estudiantes.

O 2 X Puestas en común

Productos de los estudiantes

Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.




O 4 X Productos de los estudiantes











49



Tabla 3-2. Continuación

3.2 Análisis de los resultados

Los resultados derivados de la intervención sobre el grupo indican que fue posible la

superación parcial del obstáculo relacionado con la concepción “equivocada” que éstos

tenían de las matemáticas, al menos, en relación al objeto matemático función (O1 tablas

2-1 y 3-2). La implementación del OFA que vincula la lúdica, el uso de manipulativos, el

trabajo cooperativo y colaborativo al proceso de aprendizaje aportaron positivamente,

pero continúa siendo un arraigo cultural muy marcado y no existe en los jóvenes una

cultura académica bien cimentada.

El desarrollo de la secuencia didáctica, permitió la familiarización y la apropiación del

lenguaje matemático, asociado a las funciones en un alto porcentaje de educandos; sin

embargo, cuando debían representar algebraicamente una función que presentara una

relación de covariación no lineal entre dos magnitudes evidenciaron dificultad para

hacerlo correctamente. No obstante, mostraron una adecuada apropiación conceptual en

la diferenciación entre cantidades variables y constantes (O2 y O4, tablas 2-1 y 3-2).

Evidenciar que se consiguió una estructuración de conceptos matemáticos requirió un

análisis más profundo, que fue más allá de la revisión de la descripción del objeto

matemático función que los educandos hicieron a partir de su percepción (O5, tablas 2-1

y 3-2). Ello suscitó una diferenciación entre noción y concepto, que no se logró en la

totalidad de los educandos del grupo de estudio. La construcción de conceptos

OBSTÁCULO SUPERACIÓN

EVIDENCIA

PARCIAL PLENA



Manipulación del OFA.




O 10 X Resultados pruebas conducta de entrada y

conducta de salida.


50 Capítulo 3 : Resultados y análisis de los resultados

“positivos” visibilizó en cerca del 8% de los estudiantes la resistencia a modificar el

“concepto negativo” sobre el objeto matemático función, ello pudo obedecer a la forma en

que tradicionalmente los educandos se han acercado a los saberes matemáticos

escolares y a su pobre o inexistente cultura académica.

Después de la intervención, cuando se presentaron a los estudiantes situaciones en

diversos contextos familiares y no familiares, un pequeño porcentaje de estudiantes,

alrededor del 7%, mostró marcada dificultad para explicar por qué al variar una

magnitud la otra magnitud, dependiente, también cambiaba. Esto marca un alto índice de

superación de los obstáculos 4 y 6 (ver tablas tablas 2-1 y 3-2) puesto que el restante

93% fue capaz de explicar correctamente y con poca dificultad cómo el cambio en una

variable afectó a otra variable; con lo que fue evidente que hubo apropiación de los

subconceptos de constante, variable, variable independiente y variable independiente.

Al analizar si los estudiantes eran capaces de identificar a partir de distintos registros

(diagrama sagital, diagrama cartesiano, conjunto de pares ordenados, tabla de valores,

expresión verbal y expresión algebraica) cuándo una relación correspondía o no a una

función y argumentar el por qué, se encontró que el 85% de los educandos participantes

en el estudio logró superar los obstáculos 5,7, 8 y 9 (ver tablas 2-1 y 3-2). Gracias a la

implementación del OFA y de la Secuencia Didáctica, fueron capaces de sustentar a

partir de la definición formal de relación y función, así como de las condiciones de

existencia y unicidad si en una situación presentada estaba involucrada una función.

Los resultados de la conducta de salida y las observaciones realizadas indicaron que en

los educandos hubo dificultad para determinar con suficiencia el dominio y rango de una

función (O10, tablas 2-1 y 3-2) sobre todo si la función no era continua, no es de variable

lineal o está definida a trozos. Esto se hizo más visible cuando se les planteaban

situaciones problémicas en las que había restricciones para el conjunto de partida y

llegada, tales como la relación covariacional entre el costo a pagar por cierto artículo,

cuándo éstos solo admitían valores discretos.

Finalmente, los resultados indican que se logró el propósito de alcanzar niveles de

competencia adecuados en la resolución de problemas, la comunicación y el desarrollo

de habilidades de pensamiento asociadas a las funciones.

51



4. Conclusiones y recomendaciones

4.1 Conclusiones

La identificación de diez obstáculos cognitivos de orden epistemológico y didáctico,

relacionados con la concepción negativa que los educandos del grado noveno de la

Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y del Colegio de

La Sagrada Familia tenían de las matemáticas, las limitaciones en su memoria

semántica, el desconocimiento o “conocimiento negativo” de preconceptos como el

de constante, variable, conjunto, diagrama sagital, diagrama cartesiano, grafo,

relación, entre otros; que condicionarían negativamente la adecuada construcción del

concepto de función, y en general de cualquier concepto matemático, se constituyó

como el punto de partida para la definición de los objetos didácticos que sirvieron

como elementos mediadores entre el objeto matemático y el educando. Sin lo

anterior, resulta difícil asegurar el conocimiento.

El diseño, desarrollo e implementación de objetos didácticos manipulables (OVA u

OFA) acompañados de una secuencia didáctica concebida con el propósito de

superar obstáculos cognitivos en los educandos de grado noveno de la Institución

Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y del Colegio de La Sagrada

Familia fue posible, de modo que se logró un adecuado aprehendizaje de los saberes

conceptuales y procedimentales asociados al objeto matemático de función,

superando obstáculos epistemológicos y didácticos, empleando como estrategias

metodológicas la lúdica y el trabajo en equipo y el aprendizaje colaborativo.

El Objeto Físico de Aprendizaje, la Secuencia Didáctica y la Guía Académica

diseñadas pueden implementarse para los procesos de enseñanza y aprendizaje de

las funciones en instituciones educativas de características poblacionales y

socioeconómicas distintas; esto se debe a que responden a principios y metas

universales de la enseñanza y el aprendizaje matemático tales como: el alcance de

niveles de competencia adecuados, el autoconocimiento y la confianza en las

capacidades matemáticas, la resolución de problemas, el desarrollo de habilidades

de pensamiento y de comunicación matemática, la asimilación de la realidad, la

modelación y la experimentación, la búsqueda, selección y uso de información, con lo

que se aseguraría una cultura académica que favorece el aprehendizaje matemático.

4.2 Recomendaciones

A la luz de los resultados obtenidos después del desarrollo de la ingeniería didáctica al

concepto de función se recomienda que:

Se procure una adecuada cimentación conceptual y operativa de los conjuntos en los

grados previos al grado noveno. Es adecuado que se construya y desarrolle una

malla curricular que articule los sistemas lógicos, erradicados de los Estándares

Curriculares del área de Matemáticas del M.E.N., en los grados de la educación

básica, dado que esto favorece el uso y apropiación de la simbología matemática que

se emplea en la generalización y formalización de otros conceptos como el de

función.

Se genere una cultura académica en la Institución Educativa Técnico Comercial José

María Vivas Balcázar, con el concierto de todos los estamentos de la comunidad

educativa. Implementando acciones y estrategias que convenza a sus estudiantes

del valor de la educación y de cómo esta se convierte en un factor de cambio social,

mejorando su nivel de vida.

Diseñar, desarrollar e implementar objetos didácticos que den continuidad al proceso

de estructuración conceptual, operativa, semántica y semiótica de las funciones en

niveles superiores de desarrollo, haciendo seguimiento a su impacto en la mediación

del aprehendizaje. Para tal fin, el Objeto Físico de Aprendizaje diseñado e

implementado puede adaptarse, de modo que se amplíe el banco de funciones;

sirviendo como elemento mediador o como instrumento para la evaluación.

53



A. Anexo: Encuesta para la caracterización de los educandos que conformaron el grupo experimental

.

SEDE PALMIRA

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ADMINISTRACIÓN MAESTRÍA EN LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN: OBJETOS DIDÁCTICOS PARA EL APREHENDIZAJE DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN EN ESTUDIANTES DE GRADO NOVENO

ENCUESTA DE CARACTERIZACIÓN

Objetivo: Identificar características relevantes de los estudiantes que participarán en el estudio de

Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en estudiantes del grado noveno.

Observaciones:

Diligencie la siguiente encuesta de manera responsable y honesta, respondiendo a cada ítem con información verídica y comprobable.

La información consignada en la encuesta tendrá uso exclusivo para el proceso de investigación, se manejará con prudencia y total reserva.

La información consignada en ella no afectará de modo alguno sus desempeños en el área de matemáticas.

1. Estudiante: 2. Edad: años

3. Dirección de residencia:

4. Es usted estudiante repitente: SI NO

5. Es usted un estudiante “nuevo” en la institución:

SI NO

Responda los items 6 y 7 solamente si usted marcó SI en el item 5.

6. Si usted es nuevo en la institución, indique el nombre de su institución de procedencia:

7. Indique la ciudad donde se encuentra localizada esta institución:

Indique si usted considera que ha tenido dificultades en el área de matemáticas durante su proceso de formación:

SI NO

Gracias por su valiosa colaboración.

54 Anexos

Bibliografía

AUDOR, Clavijo Carolina., LURDUY, Orlando; SÁNCHEZ, Martínez Johan. Uso y manejo

del material didáctico para la construcción y comprensión de las representaciones de la

función lineal [En línea].Bogotá. (Año de publicación no establecido) ASOCOLME Págs.

1-6. [Citado en 15 de abril de 2011]. Disponible en:

http://funes.uniandes.edu.co/847/1/49comun.pdf

BALLESTER, Sampedro Sergio. Aplicaciones de las funciones matemáticas en la vida

real y otras áreas. Revista Digital Innovación y Experiencias Educativas [En línea].

Andalucía. 2009. No. 23, págs. 1-9. [Citado en 6 de marzo de 2011]. Disponible en:

http://www.csisif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/ ISSN:1988-

6047

BERNAL, Rodríguez Jesús. Las TIC en clase de matemáticas: viabilidad y tipos de

aprendizaje que fomentan. Revista Digital Innovación y Experiencias Educativas. [En

línea]. Andalucía. 2009. No. 23, págs. 1-10. [Citado en 6 de marzo de 2011] Disponible

en:

http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/JESUS_%20B

ERNAL%20RODRIGUEZ_1.pdf ISSN: 1988-6047

CARDELLI, Jorge. Reflexiones Críticas Sobre el concepto de Transposición Didáctica de

Chevallard. Cuadernos de Antropología Social [En línea]. 2004. No 19, págs. 49-61.

[Citado en 28 de junio de 2011]. Disponible en:

http://www.scielo.org.ar/pdf/cas/n19/n19a04.pdf ISSN: 0327-3776

CARLSON, Marilyn; OEHRTMAN Michael. Aspectos clave del conocimiento y el aprendizaje

del concepto de función. Asociación Matemática de América [En línea]. 2005. Págs. 1-21

[Citado en 10 de marzo de 2011]. Disponible en: www.maa.org/t_and_l/sampler/rs_9.html

CASAS, Esperanza. Juegos matemáticos. Aula alegre. Colombia. 1998. Págs. 9-13.

CHAMOSO, José María; DURÁN, Jesús; GARCÍA, Juan; LALANDA, Javier;

RODRÍGUEZ, Mercedes. Análisis y experimentación de juegos como instrumentos para

enseñar matemáticas. Revista SUMMA [En línea]. Torrent. 2004. No. 47, págs. 47-58.

[Citado en 15 de marzo de 2011] Disponible en: http://www.revistasuma.es ISSN: 1130-

488X

http://funes.uniandes.edu.co/847/1/49comun.pdf

http://www.csisif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/

http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/JESUS_%20BERNAL%20RODRIGUEZ_1.pdf

http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/JESUS_%20BERNAL%20RODRIGUEZ_1.pdf

http://www.scielo.org.ar/pdf/cas/n19/n19a04.pdf

http://www.maa.org/t_and_l/sampler/rs_9.html

http://www.revistasuma.es/

CHAVARRÍA, Jesennia. Teoría de las Situaciones Didácticas. Cuadernos de

Investigación y Formación en Educación Matemática [En línea]. Universidad Nacional de

Costa Rica. 2006. Año 1. Número 2, págs. 1-10. [Citado en 23 de junio de 2011]

Disponible en: cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/CIFEM/article/download/10/15 ISSN: 1659-

2573

DEL CASTILLO, Alejandro, MONTIEL, Gisela. El concepto de función en un ambiente geométrico dinámico bajo el enfoque covariacional. Memoria de la XI escuela de Invierno en Matemática Educativa [En línea]. Red Cimates. Yucatán. 2007, págs. 568-580. [Citado en 23 de abril de 2011]. Disponible en: http://www.red-cimates.org.mx/Documentos/xieime.pdf

DE FARIA, Campos Edison. Ingeniería Didáctica. Cuadernos de Investigación y

Formación en Educación Matemática [En línea]. Universidad Nacional de Costa Rica.

2006, año 1, Número 2, págs. 1-9. [Citado en 29 de junio de 2011. Disponible en:

http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/CIFEM/article/download/12/17 ISSN: 1659-2573

DÍAZ, Frida; HERNÁNDEZ, Gerardo. Estrategias docentes para un aprendizaje significativo una interpretación constructivista [En línea]. Mc GRAW-HILL, México, 1999. Capítulos 5 y 6. [Citado en 5 de marzo de 2011]. Disponible en: redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/biblioteca/articulos/pdf/estrate.pdf GARCÍA, Estelita; GARCÍA, Torres Erika. Un estudio socio epistemológico del concepto de función. Memoria de la XI escuela de Invierno en Matemática Educativa [En línea]. Red Cimates. Yucatán. 2007, págs. 551-554. [Citado en 23 de junio de 2011]. Disponible en: http://www.red-cimates.org.mx/Documentos/xieime.pdf

GARCÍA, Gloria, SERRANO, Celly, ESPITIA, Luis. El concepto de función en textos escolares. Colciencias, Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá. 1997. Págs. 22 -123. GARCÍA, Mercedes; LLINARES, Salvador. El concepto de función a través de los textos escolares: reflexión sobre una evolución [En línea]. Departamento de Didáctica e Investigación Educativa de la Universidad de La Laguna. Revista Qurrículum. 1995.

Número 10 y 11. España [Citado en 26 de junio de 2011]. Disponible en: http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaArticuloIU.visualiza&articulo_id=2686 ISSN 1130-5371 GARCÍA, Zatti Mónica; MONTIEL, Gisela. Resinificando el Concepto de Función Lineal en una Experiencia de Educación a Distancia [En línea]. Revista electrónica de investigación en educación en ciencias. Buenos Aires. 2008, Vol. 3, No. 2, págs. 12-25. [Citado en 30 de junio de 2011]. Disponible en: http://www.scielo.org.ar/pdf/reiec/v3n2/v3n2a02.pdf ISSN: 1850-6666

56 Bibliografía


http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/CIFEM/article/download/12/17


http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaRevistaIU.visualiza&revista_id=12

http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaNumeroRevistaIU.visualiza&numeroRevista_id=191

http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaArticuloIU.visualiza&articulo_id=2686

http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaArticuloIU.visualiza&articulo_id=2686

http://www.scielo.org.ar/pdf/reiec/v3n2/v3n2a02.pdf

GODINO, Juan; WILHELMI, Miguel; BENCOMO, Delisa. Criterios de Idoneidad de un

Proceso de Instrucción Matemática - Aplicación a una experiencia de enseñanza de la

noción de función [En línea]. Memorias de la Décima Octava Reunión Latinoamericana

de Matemática Educativa, México 2004 [Citado en 23 de junio de 2011]. Disponible en:

www.iberomat.uji.es/carpeta/comunicaciones/114_delisa_bencomo.doc

HERNÁNDEZ, Carlos Augusto. Aproximación a un estado del arte de la enseñanza de las ciencias en Colombia. BOGOTÁ: Universidad Nacional de Colombia, 2010, págs.1-72 INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICO COMERCIAL JOSÉ MARÍA VIVAS BALCÁZAR. PLAN DE ÁREA 2011. Departamento de Matemáticas. Santiago de Cali. 2011. LOMBARDO, Lucio. La Matemática de Pitágoras a Newton. Barcelona: Editiori Riutini. Tercera Edición. 1983. LUPIÁÑEZ, José Luis; MORENO, Luis. Tecnología y representaciones semióticas en el

aprendizaje de las matemáticas. Iniciación a la investigación en didáctica de la

matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro [En línea]. Editorial Universidad de

Granada. Granada, 2001, págs.. 291-300 [Citado en marzo 24 de noviembre de 2011].

Disponible en: http://funes.uniandes.edu.co/586/1/LupiannezJ01-2603.PDF

MINGUEZ, Carlos. El prefacio al Almagesto de Ptolomeo. La Filosofía de los Científicos. Revista Thémata [En línea]. Sevilla, Vol.14, 1995, págs. 17-35. [Citado en octubre 17 de 2010] Disponible en: http://institucional.us.es/revistas/revistas/themata/pdf/14/02%20Minguez.pdf ISSN: 0210-8365 MINGUEZ, Noemí. Las matemáticas que nos rodean [En línea] Revista Digital Innovación y Experiencias Educativas. Andalucía. 2009, No. 23, págs. 1-10. [Citado en 10 de marzo de 2011]. Disponible en: http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/NOEMI_MINGUEZ_LOPERA02.pdf. ISSN: 1988-6047 MINISTERIO DE EDUCACION NACIONAL. Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Bogotá.1998. Págs. 18-25, 49-84. MINISTERIO DE EDUCACION NACIONAL. Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Bogotá. 2008. Págs. 46-94. MORALES, Carolina.; MONGE, Adriana. Concepto de función: situaciones cotidianas [En línea]. V Congreso sobre la Enseñanza de la Matemática Asistida por Computadora, 5 a 7 de diciembre de 2007. ITRC. Costa Rica. [Citado en 5 de marzo de 2011] Disponible en: http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/5toCIEMAC/Talleres/Conceptodefuncionsituacionescotidianas.pdf

57



http://www.iberomat.uji.es/carpeta/comunicaciones/114_delisa_bencomo.doc

http://funes.uniandes.edu.co/586/1/LupiannezJ01-2603.PDF

http://institucional.us.es/revistas/revistas/themata/pdf/14/02%20Minguez.pdf

http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/NOEMI_MINGUEZ_LOPERA02.pdf

http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/NOEMI_MINGUEZ_LOPERA02.pdf

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/5toCIEMAC/Talleres/Conceptodefuncionsituacionescotidianas.pdf

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/5toCIEMAC/Talleres/Conceptodefuncionsituacionescotidianas.pdf

MUNICIPIO DE SANTIAGO DE CALI. Plan de desarrollo 2008-2011, Comuna 10. [En línea][Citado en 5 de marzo de 2011]Disponible en: http://planeacion.cali.gov.co/PlanDesarrollo/Planes_Territoriales/PERIODO%202008-2011/Comunas/Comuna%2010.pdf

O'CONNOR, John; ROBERTSON, Edmund. Historia de las Funciones. MacTutor, Archivo de Historia de las Matemáticas [En línea]. [Citado en octubre 17 de 2011] Disponible en: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ PALAREA, María Mercedes; SOCAS, Martín. Algunos obstáculos cognitivos en el aprendizaje del lenguaje algebraico [En línea]. Revista Summa. Andalucía, 1994, Vol.16, págs. 91-98. [Citado en 26 de noviembre de 2012] Disponible en: http://revistasuma.es/IMG/pdf/16/091-098.pdf ISSN:1130-488X QUINTERO, Claudia Patricia; CADAVID, Luz Adriana. Construcción del concepto de función en estudiantes de grado octavo, Memorias del X Encuentro Colombiano de Matemática Educativa [En línea]. ASOCOLME. Repositorio Digital de Documentos en Educación Matemática. 2009 [Citado en 29 de junio de 2011]. Disponible en: http://funes.uniandes.edu.co/705/ RÜTHING, D. Algunas definiciones del concepto de función de John Bernoulli a N. Bourbaki. Math. Intelligencer 6:4. 1984. Págs. 72-77. SARMIENTO, Santana Mariela; MANZANILLA, Jorge. Unidad didáctica para enseñar y aprender funciones matemáticas con Maple [En línea]. Repositorio Institucional de la Universidad de los Andes. Mérida, Venezuela. 2011. [Citado en 30 de enero de 2012].Disponible en: http://www.saber.ula.ve/ SASTRE, Patricia; REY, Graciela.; BOUBÉE, Carolina. El concepto de función a través de la Historia. Revista Iberoamericana de Educación Matemática. Granada, 2008. No.16 Págs. 141 – 155. ISSN: 1815-0640 TRUJILLO, Miryan; CASTRO, Nivia Marina; DELGADO, César Augusto. El concepto de Función y la teoría de las situaciones, bases epistemológicas y didácticas en la enseñanza del concepto de función con la ayuda de calculadoras graficadoras. Universidad de La Salle. Bogotá. 2010. VRANCKEN, Silvia; GREGORINI, María Inés; ENGLER, Adriana; MÜELLER, Daniela; HECKLEIN, Marcela. Dificultades Relacionadas con la Enseñanza y el Aprendizaje del Concepto de Límite [En línea]. Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral Esperanza. Provincia de Santa Fe (Argentina). Año sin establecer, probablemente posterior a 2000, págs.9-18 [Citado en 23 de junio de 2011]. Disponible en: www.soarem.org.ar/Documentos/29%20vrancken.pdf VELEIRO, Marta Elena. El concepto de Función en los Textos Escolares de EGB 3 Y Educación Polimodal. Estudio didáctico de la noción de Función [En línea]. Argentina. Fecha no disponible (probablemente posterior a 2001). [Citado en 25 de junio de 2011] Disponible en: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/PROYECTO%20FINAL/TRABAJO%20FINAL/principal.htm

58 Bibliografía

http://planeacion.cali.gov.co/PlanDesarrollo/Planes_Territoriales/PERIODO%202008-2011/Comunas/Comuna%2010.pdf

http://planeacion.cali.gov.co/PlanDesarrollo/Planes_Territoriales/PERIODO%202008-2011/Comunas/Comuna%2010.pdf

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

http://revistasuma.es/IMG/pdf/16/091-098.pdf

http://funes.uniandes.edu.co/705/

http://www.soarem.org.ar/Documentos/29%20vrancken.pdf

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/PROYECTO%20FINAL/TRABAJO%20FINAL/principal.htm

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/PROYECTO%20FINAL/TRABAJO%20FINAL/principal.htm

objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función

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