SZAKDOLGOZAT

Kondor István

2008

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK

CSATORNÁBAN LEJÁTSZÓDÓ HŐÁTADÁS NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓJA

Kondor István

Konzulens: Lohász Máté Márton

2008

2

­­FELADATKIÍRÁS­­

3

Alulírott Kondor István, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és a szakdolgozatban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, a forrás megjelölésével egyértelműen megjelöltem.

………………………………Kondor István

4

TARTALOMJEGYZÉK

1 BEVEZETÉS.....................................................................................................................111.1 IPARI HÁTTÉR........................................................................................................111.2 ELMÉLETI HÁTTÉR...............................................................................................111.3 A SZAKDOLGOZAT CÉLJA..................................................................................12

2 IRODALMI ÁTTEKINTÉS..............................................................................................122.1 DIREKT NUMERIKUS SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK...................................12

2.1.1 A vizsgált mennyiségek.....................................................................................122.1.2 Irodalmi előzmények.........................................................................................13

2.2 NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK..............................................143 MATEMATIKAI HÁTTÉR..............................................................................................14

3.1 A SZÁMÍTÁSI TARTOMÁNY...............................................................................143.2 AZ ÁRAMLÁST LEÍRÓ EGYENLETEK...............................................................153.3 AZ ÁRAMLÁS PERIODIKUSSÁGA......................................................................163.4 A HŐMÉSRÉKLET PERIODIKUSSÁGA..............................................................173.5 PEREMFELTÉTELEK.............................................................................................19

4 NUMERIKUS SZIMULÁCIÓ..........................................................................................204.1 A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ ELVE.............................................................204.2 HÁLÓ KÉSZÍTÉS.....................................................................................................214.3 NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ FLUENT PROGRAMMAL..............................22

5 KIÉRTÉKELÉS ÉS VALIDÁLÁS...................................................................................245.1 A SZIMULÁCIÓ FUTÁSÁNAK ELLENŐRZÉSE.................................................245.2 FELTÉTELES ÁTLAGOLÁS..................................................................................305.3 SEBESSÉGMEZŐ VALIDÁLÁSA..........................................................................305.4 A HŐMÉRSÉKLET-ELOSZLÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA...................................33

5.4.1 Az UHF peremfeltétel........................................................................................335.4.2 A CTD peremfeltétel..........................................................................................365.4.3 Korrelációk........................................................................................................37

5.5 KOHERENS STRUKTÚRA.....................................................................................416 ÖSSZEFOGLALÁS..........................................................................................................44

5

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS

Ezúton szeretnék köszönetet mondani konzulensemnek, Lohász Máté Mártonnak, hathatós segítségéért és hogy mindig rendelkezésemre állt, ha elakadtam.

Külön szeretném megköszönni Illyés László Zoltánnak és Mach Évának szíves segítségüket és végtelen türelmüket.

6

JELÖLÉSJEGYZÉK

A csatorna keresztmetszete

C Courant­szám

CS Smagorinsky konstans

cp állandó nyomáson vett fajhőG térbeli átlagolás magfüggvények turbulens kinetikus energiaL periódus hosszam tömegáramNu Nusselt­számp nyomásP csökkentett nyomásPr Prandtl számq fajlagos bevezetett hőmennyiségqw fali hőáramQ sebességgradiens tenzor második invariánsaReb  átlagos Reynolds­számReτ turbulens Reynolds­számSij alakváltozási tenzort időtavg átlagolási időT súrlódási hőmérséklet

T csökkentett hőmérséklet⟨ T m

⟩ kevert átlaghőmérséklet

ui, u, v, w sebességkomponenseku súrlódási sebességub átlagsebesség

xi, x, y, z koordináta irányok

Görög jelölések:

hőátadási tényező nyomás gradiens hőmérséklet gradiens a csatorna magasságának feleij Kronecker delta szűrő szélességt időlépés nagyságaT hőmérséklet­különbség

7

kinematikai viszkozitás

t örvényviszkozitás

sűrűség

ij szűrőméret alatti feszültség tenzor

w fali csúsztató feszültség

transzformált hőmérséklet

ij örvénytenzor

Indexek:

( )' ingadozó komponens

( )+ u­val, T­val és ­vel dimenziótlanított

( )* ­val és T­vel deimenziótlanított

( )rms root mean square

( )max pontbeli maximum

⟨ ⟩ csatorna keresztmetszetében átlagolt

( )_mean statisztikailag átlagolt

8

TARTALMI ÖSSZEFOGLALÓ

A szakdolgozatomban ismertetem a direkt numerikus szimuláció és a nagy örvény szimuláció alapvető elméleti hátterét, a csatornaáramlásban való alkalmazásuk fontosabb irodalmi eredményeit,  valamint  bemutatom a periodikus  hőátadás  számításának módját. Ezt  követően nagy örvény szimuláció   segítségével  vizsgálom végtelen  síklapok közötti kialakult   turbulens   áramlásban   a   hőtranszportot   különböző   termikus   peremfeltételek esetén. A sebesség­ és hőmérsékletmező főbb mennyiségeinek pillanatnyi értékeit valamint időbeli és térbeli átlagait is közlöm.

A   számítástechnika   rohamos   fejlődésének   köszönhetően   lehetővé   vált   a   Navier­Stokes   egyenlet   numerikus   megoldása,   s   elérhetővé   vált   az   áramlások   időfüggő modellezése. Napjainkban egyre többen végeznek nagy örvény szimulációt, így a módszer fejlesztése   és   ellenőrzése   különösen   fontos.   A   dolgozatban   vizsgált   áramlás   turbulens Reynolds­száma   180,   míg   Prandtl­száma   0,71.   A   számítás   során   kétféle   peremfeltételt alkalmazok a hőmérsékletre vonatkozóan. Az egyik esetben a fali hőáram állandó, míg a másikban a két fal hőmérsékletkülönbségét tartom konstans értékén.

A kiértékelés során feltételes átlagolást végzek, az alkalmazott feltétel a Q­kritérium. Ellenőrzöm a sebesség­ és hőmérséklet­profilokat, valamint ezek ingadozásait is. Továbbá vizsgálom   ezek   korrelációit,   az   eredményeket   pedig   DNS   adatokhoz   viszonyítom.   A koherens struktúrákat a Q­kritérium alapján tanulmányozom.

9

ABSTRACT

In my thesis I review the basic theoretical background of direct numerical simulation and large eddy simulation, the most important results of their usage and I also present a method to compute periodic heat transfer. After that I study the turbulent heat transfer in a fully developed channel flow. I analyzed two different thermal boundary conditions with the help of large eddy simulation. I report the main characteristics of the velocity­ and thermal field including instantaneous values and both spatial and temporal averages.

Thanks   to   the   rapid   development   of   computer   science   it   became   possible   to numerically solve the Navier­Stokes equation. Consequently, time­dependent modeling of flows are now available. Nowadays large eddy simulations are performed more frequently, therefore its development and validation became crucial. In the present study the turbulent Reynolds  number  of   the   flow was  180,  while   the   applied  Prandtl  number  was 0.71.   I examine the effect of two thermal boundary conditions. The first case is the uniform heat flux (UHF) over the surfaces, while the second one is the constant temperature difference (CTD) between the top and bottom walls.

I   adopt   a   conditional   averaging   method   in   the   evaluation   process,   in   which   the applied condition is the Q­criteria. I verify the profiles of the velocity and thermal fields and also their fluctuations. In addition, I study their correlations and compare the results to DNS data. I examine the coherent structures from the viewpoint of Q­criteria.

10

1 BEVEZETÉS

1.1 IPARI HÁTTÉR

A   mérnöki   gyakorlatban   egyre   fontosabbá   válik,   hogy   a   gyártást,   felépítést megelőzően már pontos ismeretekkel rendelkezzünk a termék leendő tulajdonságairól. Ez különösen   lényeges   az   áramlástani   és   hőtani   problémák   esetében,   példának   okáért gondoljunk egy turbina lapátkerékre, amelyet 1100­1600°C körüli hőmérsékletű gáz forgat. Ez   magasabb   érték,   mint   a   lapátok   anyagának   olvadáspontja,   ezért   a   megfelelő üzembiztonság   eléréséhez   elengedhetetlen   megfelelő   hűtésről   gondoskodni.   A   belső hűtőrendszer   tervezésekor   jól   kihasználható   a   turbulens   áramlások   jobb   hővezetése   a laminárisokhoz   képest,   ám   ennek   elengedhetetlen   feltétele,   hogy   a   turbulenciát   kellő pontossággal   modellezzük.   Fontos   tudni   például,   hogy   a   forgás   hogyan   hat   a   hűtő csatornában kialakuló  áramlásra és ezek hatására milyen hőmérséklet­eloszlás  jön létre. Hogy   idáig   eljussunk   először   az   alapjelenségeket   kell   megértenünk,   majd   a   lényeges tulajdonságaikat a modellbe be kell építenünk. Ennek szellemében a szakdolgozat témája a turbulens hőátadás számítása kialakult csatornaáramlásban.

1.2 ELMÉLETI HÁTTÉR

Az   áramlástan   alapegyenletei   régóta   ismertek,   ám   megoldásuk   néhány   egyszerű esetet leszámítva gyakorlatilag lehetetlen volt. A helyzet az 1980­as években változott meg, a számítógépek rohamos fejlődésének köszönhetően. Ekkor vált lehetővé az áramlásokat leíró Navier­Stokes egyenlet (NS) numerikus megoldása.

A csatornában kialakult áramlás jól dokumentált, bőséges irodalommal rendelkezik. Ezek nagy része a Reynolds átlagolt Navier­Stokes (RANS) egyenleten alapuló turbulencia modelleket használja.  Gyorsaságuk mellett  legnagyobb hátrányuk, hogy a Navier­Stokes egyenletet időben átlagolják, így időfüggő szimulációra csak korlátozottan alkalmazhatók.

A direkt  numerikus  szimuláció   (DNS)  során a  Navier­Stokes,  a  kontinuitási  és  a transzport egyenleteket is közvetlenül, numerikusan megoldják. Ez a módszer semmilyen közelítést  nem alkalmaz,  ugyanakkor  a  pontos  eredmény feltétele  a  megfelelően  finom háló, ami a turbulencia legkisebb léptékének felbontására is alkalmas. Következésképpen számításigénye hatalmas, a mindennapi mérnöki feladatok megoldása során használata a jelenlegi számítógépekkel nem gazdaságos.

A fenti probléma megoldására dolgozták ki a nagy örvény szimulációt (LES). Mivel a kialakult  áramlás   tulajdonságait   elsősorban  a  nagyobb  örvények  határozzák  meg,   ezért elegendő olyan háló készítése, mely ezeket felbontja, az ennél kisebb léptékű örvényeket pedig valamilyen turbulencia modellel közelíti, ezeket Subgrid Scale (SGS) modelleknek nevezzük.

11

1.3 A SZAKDOLGOZAT CÉLJA

A   szakdolgozat   célja   a   csatornában   kialakult   turbulens   áramlás   áramképének meghatározása,   valamint   a   hőmérséklet­eloszlás   vizsgálata   különböző   peremfeltételek mellett,   a   kapott   eredmények   összehasonlítása   az   irodalomban   közöltekkel.   A   feladat elvégzése során ismertetem a periodikus hőátadás számításának módját, a numerikus háló készítésének   lépéseit   Gambit   szoftverben,   továbbá   a   nagy   örvény   szimuláció alapkoncepcióját és alkalmazásának mikéntjét a Fluent rendszerben.

A dolgozatban bemutatom a témában megjelent fontosabb irodalmi eredményeket, kiemelve   a   direkt   numerikus   szimulációval   és   a   nagy   örvény   szimulációval   végzett vizsgálatokat.   Ezt   egy   áttekintés   követi,   melyben   a   számítások   matematikai   hátterét közlöm. A szimuláció menetének részletes leírására a negyedik fejezetben kerül sor. Ezután elvégzem   az   eredmények   kiértékelését   és   validálását,   utóbbi   során   direkt   numerikus szimulációs adatokat tekintek referenciának.

2 IRODALMI ÁTTEKINTÉS

2.1 DIREKT NUMERIKUS SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK

2.1.1 A vizsgált mennyiségek

A csatornaáramlás mindenkori dimenziós jellemzői  függnek a csatorna geometriai alakjától, az áramló közeg anyagjellemzőitől és az áramlási sebességtől, következésképpen ezekből   az   adatokból   nem   vonhatunk   le   általános   következtetéseket.   Éppen   ezért   a probléma vizsgálatakor szükségünk van olyan dimenziótlan mennyiségekre, melyekkel a különböző egyedi áramlások összehasonlíthatóak.

Az áramlási sebesség jellemzésére a Reynolds­számot használjuk, kétféle definíció szerint. Az átlagos Reynolds­számot a (2.1) egyenlet írja le:

Reb=u⋅

(2.1)

ahol u az áramlás (x) irányú (lásd 1. ábra) átlagsebesség a keresztmetszetben,  a csatorna magasságának   fele,    pedig   a   közeg  kinematikai   viszkozitása.  A   (2.2)   összefüggésből látható, hogy hasonlóan értelmezhető a turbulens Reynolds­szám (Reτ) is:

Re=u⋅

(2.2)

ahol az u súrlódási sebességet a  fali csúsztató feszültség segítségével a (2.3) egyenlet adja meg:

12

u= w

(2.3)

A hőmérséklet transzport jellemzésére a Prandtl­számot használjuk a (2.4) definíció szerint:

Pr=

(2.4)

ahol  a hőátadási tényező.

A   hőmérsékletek   dimenziótlanítására   a   súrlódási   hőmérsékletet   (T)   alkalmazzuk (2.5) szerint:

T =qw

⋅c p⋅u(2.5)

Az eredményeket általában a dimenziótlanított  fali  koordináta függvényében adják meg, melyet definíció szerint a (2.6) ír le:

y=u y

(2.6)

A Reynolds­szám a legkisebb és legnagyobb örvények léptékének arányát is jellemzi, tehát   ennek   növekedésével   a   hálót   finomítani   kell.   A   csatornában   kialakuló   áramlás biztosan turbulens, ha az átlagos Reynolds­száma nagyobb, mint 1800. A kutatások során általában   ennél   magasabb   értékekkel   dolgoznak,   jellemzően   2800­3300   között.   Ennek numerikus számítására már az 1990­es évek elején lehetőség nyílt, nem meglepő hát, hogy erre az esetre vonatkózóan áll a rendelkezésre a legtöbb adat. A szerzők praktikus okok miatt általában a turbulens Reynolds­számot adják meg, ez a fentiek szerint általában 180.

Látható   tehát,   hogy   a   Reynolds­szám  növelésével   drasztikusan   növekedik   a   háló szükséges cellaszáma és ezzel együtt  a számításigény is. Még nehezebb a helyzet, ha a Prandtl­számot   növeljük,   mivel   a   hőmérséklet­fluktuációk   legkisebb   mérettartománya fordítottan   arányos  Pr1/2­vel  (bővebben   lásd   [1]   és   [2]).   Ebből   következik,   hogy   a hőmérséklet­ és a sebességmező felbontásához szükséges cellaszám hányadosa arányos a Prandtl­szám 3/2­ik hatványával (bővebben lásd [3]).

2.1.2 Irodalmi előzmények

Napjainkban   a   turbulens   hőátadásra   egyre   többen   végeznek   direkt   numerikus szimulációkat különböző geometriai elrendezésekre. A kialakult turbulens csatornaáramlás a   leggyakrabban   vizsgált   eset,   köszönhetően   egyszerű   alakjának   és   annak,   hogy segítségével mégérthetjük a szilárd fal és folyadék közötti hőátadás alapvető természetét.

A témában az első kutatás Kim & Moin [4] nevéhez fűződik, három Prandtl­számot vizsgáltak: Pr=0,1; 0,71 és 2; Re=180 mellett még 1989­ben. Állandó térfogati hőforrást és konstans fali hőmérsékletet tételeztek fel. Az átlaghőmérséklet, a hőmérséklet változás, valamint a   turbulens hőáram profilokat közölték,  de a magasabb rendű  momentumokra 

13

vonatkozó   mérkegegyenletek   tagjait   nem   részletezték.   Később   valamivel   alacsonyabb Reynolds­szám mellett,  Re=150,  Kasagi  et   al.   [5]  és  Kasagi  & Ohtsubo  [6]  végeztek számításokat  Pr=0,025  és  0,71­re. Ők prezentálták a   hőmérséklet változás, a turbulens hőáram és disszipációik mérlegegyenleteinek tagjait is. A falak mentén az átlagos hőáramot állandónak   tekintették,   de   a   pillanatnyi   értéke   változhat   a   helytől   és   időtől   függően. Kawamura   et   al.   [7]   vizsgálták   a   Prandtl­szám   hatását,  Pr=0,025  és  5  között   nyolc lépésben  Re=180  mellett.   Mivel   az   eddig   felsorolt   eredményeket   alacsony   Reynolds­számon kapták,  érvényességük általánosságát  óvatosan  kell  kezelni.  Később  [8]   tovább emelték   a   Reynolds­számot,   egészen   395­ig.   Mindkét   esetben   állandó   fali   hőáramot alkalmaztak   fali   peremfeltételnek.   Wikström   &   Johansson   a   falak   közötti   állandó hőmérsékletkülönbség feltételt vizsgálták  Re=265  esetén. A peremfeltételek hatását Seki et al. [9] részletesen ellenőrizték  Re=180 és  395 mellett, miközben a Prandtl­szám 0.71 volt. Napjainkban Fukugata et al. [10] folytattak kutatásokat a bőrsúrlódás csökkentése és a hővezetés   javítása   érdekében,   ennek   során   az   állandó   hőáram   és   állandó hőmérsékletkülönbség feltételt is alkalmazták.

2.2 NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK

A nagy örvény szimuláció egy erős eszköz a mérnökök kezében az időfüggő áramlási problémák megoldásához. Az utóbbi néhány évben gyors fejlődésen ment keresztül és az iparban   is   egyre   szélesebb   körben   alkalmazzák.   Mivel   a   kicsi   örvényeket   közelítő eljárásokkal modellezi, ezért fontos kérdés, hogy mennyire pontos a számítás és az adott problémánál melyik SGS modell használata javasolt. A módszer részletes bemutatására a negyedik fejezetben kerül sor.

Chatelain   et   al.   [11]   a   hőmérséklet­eloszlás   vizsgálatakor   különböző   numerikus módszereket hasonlított össze. Munkájukban rámutatnak, hogy jobb eredmény érhető el, ha a hőmérséklet transzport egyenletére regularizáló, a sebességére pedig középpontos sémát alkalmazunk,   mintha   mindkettőre   az   utóbbit   használnánk.   Montreuil   et   al.   [12]   öt különböző  SGS modellt vizsgált a skalár transzport leírására, Fick­féle és nem­Fick­féle módszereket egyaránt.

3 MATEMATIKAI HÁTTÉR

3.1 A SZÁMÍTÁSI TARTOMÁNY

A dolgozatban  két   párhuzamos,   végtelen  kiterjedésű,  2  távolságú   síklap  közötti kialakult áramlást tanulmányozok. A tényleges számítási tartomány ennek egy 3 széles és 5 hosszú, téglatest alakú része, amely az (1. ábrán) látható. A későbbiekben használt koordinátarendszer a következőképp definiálható:  x  az áramlás  iránya,  y  a fali normális 

14

irány, míg z az előző kettőre merőleges irányba mutat.

(1. ábra: Vizsgált geometria, forrás: [3])

A kiválasztott térről feltételezzük, hogy a belépéstől elegendően messze van, tehát az az   áramképet   már   nem   befolyásolja,   az   áramlás   kialakultnak   tekinthető.   A   vizsgált geometria oldalarányai úgy lettek meghatározva, hogy minden irányban azonos cellaszámot véve   a   felbontott   örvénnyesség   anizotrópiájához   illeszkednek,   ezért   a   numerikus szimuláció   során   a   cellák   hossz­   és   keresztirányú   méretének   (x+  és  z+)   vizsgálatát mellőzöm, csak az y+ értékének megfelelő beállítását ellenőrzöm.

3.2 AZ ÁRAMLÁST LEÍRÓ EGYENLETEK

Az   áramlástanban   a   folyadékok   mozgását   irányító   összefüggés   a   Navier­Stokes egyenlet (3.1):

∂ui∂ t

u j

∂u i

∂ x j

=−1∂ p∂ x i

∂

2u i

∂ x j∂ x j

(3.1)

és a kontinuitási egyenlet (3.2):

∂ui∂ x i

=0 (3.2)

ahol xi a koordináta­irányokat, ui a a folyadékrész adott irányba eső sebességét, p a nyomást és  t  az   időt   jelöli.  Bár   a   mérnöki   gyakorlatban   nagy   sikereket  ért   el   a   Navier­Stokes egyenlet,   mégis   a   hét   legfontosabb   matematikai   probléma   között   szerepel,   mivel   a megoldások  egzisztenciája   és   unicitása,   ami   a   lehetséges   megoldások   keresésének alapfeltétele,   a   mai   napig   nem   bizonyított.   Ennek   ellenére   a   numerikus   megoldások pontosan egyeznek a mérésekkel, így használata kézenfekvő.

A (3.1) egyenlet implicit módon tartalmaz egy elhanyagolást, nevezetesen a sűrűséget 

15

állandónak feltételezi, így a természetes konvekciót figyelmen kívül hagyjuk.

A koordinátákat ­val, a változókat ­vel, u­val és T­val, a súrlódási hőmérséklettel dimenziótlanítjuk.   Így a Navier­Stokes egyenlet  a  (3.3),  a  kontinuitási  egyenlet  pedig a (3.4) alakban írható:

∂u i

∂ t∗u j

∂ui

∂ x j∗=−

∂ p

∂ x i∗

1Re

⋅∂

2 ui

∂ x j∗2∂ p

∂ x1∗⋅ i1 (3.3)

∂ui

∂ x i∗=0 (3.4)

ahol a (3.3) jobb oldalának utolsó tagja az áramlás irányú átlagos nyomás gradiens.

3.3 AZ ÁRAMLÁS PERIODIKUSSÁGA

Az áramlást a kialakultnak tekinthető tartományban periodikusnak tekintjük, amihez a   szükséges   feltételeket   először   Patankar   et   al.   [13]   vezette   le1977­ben.  Nem szabad azonban megfeledkezni  arról,  hogy a  turbulencia,  mint hely­ és időfüggő jelenség sosem lehet periodikus. Ez a tulajdonsága, bár még nem nyert explicit bizonyítást [14], feltehetően kaotikus viselkedéséből adódik. Mivel azonban a turbulencia jellemzőinek statisztikai átlagát vizsgáljuk, így a periodizálás nem okoz súlyos hibát.

Tekintsük két  kellően nagy síklap közötti  áramlásnak egy olyan részét,  mely elég messze van a belépéstől ahhoz, hogy a belépési problémát elhanyagolhassuk. Az így kapott térben az áramlás kialakultnak tekinthető. Vegyük észre, hogy ez a definíció ekvivalens azzal   amikor   végtelennek   tekintjük   a   csatorna   oldalait.   A   koordinátarendszert   a   3.1 fejezetben tárgyaltaknak megfelelően vegyük fel. Ekkor nyilvánvaló, hogy az áramlásban a sebesség   nagysága   független   az  x  koordinátától,   amit   dimenziótlan   alakban   a   (3.5) összefüggés fejez ki.

∂u

∂ x∗=0 (3.5)

A (3.5) feltétel szerint az  x  irányú periodikusság végtelen rövid lehet. Az áramlás modellezésekor azonban figyelmbe kell venni a turbulencia hosszléptékét is, a vizsgálati tartományt úgy kell felvenni, hogy az minden irányban nagyobb legyen, mint a legnagyobb örvények adott irányú kiterjedése. A 3.1 fejezetben ennek szellemében jártam el.

Lamináris   esetben   ezt   a   v=0   feltétel   egészíti   ki,   de   turbulens   áramlásnál   ez   a pillanatnyi   sebességekre  nem   igaz,   csak   az   időátlagokra,   ezért  más   peremfeltételt   kell keresni. Most a vizsgált tartományt osszuk fel az áramlás irányában n darab L hosszúságú részre.   A   (3.5)   egyenlettel   összhangban   felírható   (3.6),   mely   a   sebességmező 

16

periodikusságát fejezi ki és turbulens esetben is helyes.

ux , y , z =u xL , y , z =u x2L , y , z = ...=u xn⋅L , y , zv x , y , z =v xL , y , z =v x2L , y , z =...=v xn⋅L ,y , z

w x , y , z=v xL , y , z=wx2L , y , z =...=wxn⋅L , y , z (3.6)

Habár  u,  v  és  w  nagysága   folyamatosan   változik   az   áramlási   térben,   a   (3.6) összefüggés   lehetővé   teszi,   hogy   a   sebességkomponenseket   csak   egy  L  hosszúságú térrészben vizsgáljuk. Továbbá a kialakult áramlás jellemzőit anélkül határozhatjuk meg, hogy a belépési problémával foglalkoznánk.

Ahhoz,   hogy   a   csatornában  x  irányú   áramlás   jöjjön   létre,   abban   az   irányban nyomásesésre van szükség, ebből következik, hogy nem vonatkozhat rá a sebességeket leíró periodikusság. Ha a nyomást felrajzoljuk az y koordináta függvényében egy tetszőleges  x és  x+L  helyen vett keresztmetszetben, azt tapasztaljuk, hogy a két görbe alakja hasonló, csak el vannak tolva egy konstanssal. Ha az x+2L­hez tartozó görbét is berajzoljuk, látható lesz, hogy az is ugyanannyival van eltolva lefelé, mint az  x+L  helyhez tartozó  az  x­ben levőhöz képest. Következésképpen a (3.7) egyenlet minden x­re teljesül:

px , y , z −p xL , y , z =p xL , y , z−p x2L , y , z = ... (3.7)

Ez az állandó nyomásesés hozza létre az átlagos tömegáramot a csatornában. A (3.7) összefüggés alapján definiálható  konstans (3.8) szerint:

=p x , y , z −p xL , y , z

L(3.8)

Ezután   Patankar   et   al.   [13]   javaslata   alapján   érdemes   a   nyomást   (3.9)   szerint szétválasztanai:

px , y , z =P x , y , z − x (3.9)

Belátható,   hogy   a  x  okozza   a   globális   tömegáramot,  P(x,y,z)  pedig   a   helyi mozgásokért felelős. Utóbbira a sebességeket leíró periodikusság is jellemző, vagyis (3.10) felírható:

Px , y , z =P xL , y , z =P x2L , y , z=... (3.10)

3.4 A HŐMÉSRÉKLET PERIODIKUSSÁGA

A hőmérsékletmező leírásakor Patankar et al. [13] és Seki et al. [9] gondolatmenetét követtem.

Hasonlóan ahhoz ahogy azt már a nyomás vizsgálatakor láttuk, ha a hőmérsékletet az y koordináta függvényében felrajzoljuk különböző x, x+L és x+2L helyeken, kiderül, hogy a kapott görbék hasonlóak, csak egy konstans értékkel el vannak tolva egymáshoz képest. Ebből adódik, hogy a (3.7)­hez hasonlóan a hőmérsékletre felírható a (3.11) egyenlet:

T xL , y , z −T x , y , z=T x2L , y , z−T xL , y , z =... (3.11)

17

Ezt követően definiáljuk ­t (3.12) szerint:

=T xL , y , z −T x , y , z

L(3.12)

Könnyen belátható, hogy  (3.13) szerint is felírható:

=q

m⋅c p⋅L (3.13)

ahol q a fajlagos bevezetett hőmennyiség,  m  a tömegáram, cp pedig a folyadék fajhője. Ezután a hőmérséklet a nyomáshoz hasonlóan szétválasztható, melyet a (3.14) összefüggés mutat be:

T x , y , z = x T x , y , z (3.14)

T ­ról belátható, hogy (3.15) szerint periodikus:

T x , y , z = T xL , y , z= T x2L , y , z=... (3.15)

A hőmérsékletre vonatkozóan kétféle peremfeltételt vizsgáltam. Az első esetben a fali hőáram nagysága volt állandó (Uniform Heat Flux – UHF), a másodikban a falak állandó, de   eltérő   hőmérsékletűek   (Constant   Temperature   Difference   –   CTD)   voltak.   A   két különböző feltételnél a számítás menete eltérő.

Állandó   fali  hőáram esetén a    transzformált  hőmérsékletet  célszerű  a   (3.16)­nak megfelelően bevezetni:

  =T w−T (3.16)

ahol Tw a fali hőmérséklet.

Ekkor a (3.14) összefüggés dimenziótlanítva a (3.17) alakot ölti:

Tx∗ , y∗ , z∗=

d ⟨ T m⟩

dx∗x∗−

x∗ , y∗ , z∗

(3.17)

ahol  ⟨ T m⟩  az ún. kevert átlaghőmérséklet, mely (3.18) szerint fejezhető ki:

⟨ T m⟩=∫0

1u1T dy∗

∫0

1

u1dy∗

(3.18)

A jelen elrendezésben az áramlás irányú gradiense (3.19) egyenletté egyszerűsödik:

d ⟨ T m⟩

dx∗=

1⟨u1

⟩

(3.19)

ahol   ⟨u1⟩   az átlagsebesség a keresztmetszetben. A fenti átalakítások után az energia 

egyenlet a (3.20) formában írható fel:

∂

∂ t∗u j

∂

∂ x j∗=

1Re⋅Pr

⋅∂

2

∂ x j∗2

u1

⟨u1⟩

(3.20)

18

Az állandó hőmérséklet­különbség esetén a transzformált hőmérskletet (3.21) szerint célszerű bevezetni:

=T−T 1

T2−T 1

(3.21)

A pillanatnyi hőmérséklet ebben az esetben is szétválasztható, ekkor a (3.14) egyenlet dimenziótlan formában a (3.22) alakot ölti:

Tx∗ , y∗ , z∗=

T

2y∗

x∗ , y∗ , z∗ (3.22)

ahol T a két fal közötti hőmérsklet­különbség.

Ezt az energia egyenletbe beírva arra a (3.23) összefüggés adódik:

∂

∂ t∗u j

∂

∂ x j∗=

1Re⋅Pr

⋅∂

2

∂ x j∗2−

T

2u2 (3.23)

3.5 PEREMFELTÉTELEK

A   fenti   egyenletek   megoldásához   szükség   van   megfelelő   számú   peremfeltétel megadására.  A sebességekre vonatkozóan a falak felületén a szokásos  tapadási  törvényt alkalmazzuk, amit a (3.24) egyenlettel fejezhetünk ki:

ui=0  az y=0 és y=2 helyeken (3.24)

Amint   azt   az   előző   fejezetben  megjegyeztük   az   egyik   esetben   a   falakon  állandó hőáramot   feltételezünk.  Ez  azt   jelenti,  hogy a   felületen   időegység alatt  átmenő  átlagos hőmennyiség   konstans,   de   a   pillanatnyi   értéke   változhat   térben   és   időben.   Ennek megfelelően a hőmérsékletre vonatkozó peremfeltétel (3.25) szerint írható:

=0  az y=0 és y=2 helyeken (3.25)

Ezt a premfeltételt használják a DNS kutatások jelentős részénél. Ebben az esetben feltételezik, hogy a fal végtelenül jó hővezető és ezért a hőmérséklete is mindig állandó. Én ettől egy kicsit eltérő esetet vizsgáltam, mert csak a fali hőáramot írtam elő, de az előbbi egyszerűsítéssel   nem   éltem.   A   falakon   használt   másodfajú   peremfeltételeket   a   (3.26) egyenlet írja le:

∂

∂ x2

=1  az y=0 helyen,

∂

∂ x2

=−1  az y=2 helyen (3.26)

19

A második esetben a falakon állandó a hőmérséklet, itt a hőáram változhat. Ekkor a peremfeltételek a (3.27)­nak megfelelően alakulnak:

=−1  az y=0 helyen,

=1  az y=2 helyen (3.27)

A   feladat   így   már   lezárt   és   megoldható.   A   következő   fejezetben   a   szoftveres megoldás lépéseit mutatom be, majd a kapott eredményeket értékelem.

4 NUMERIKUS SZIMULÁCIÓ

4.1 A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ ELVE

Ahogy a  bevezetésben már  megemlítettem,  direkt  numerikus  szimuláció   során az áramlás összes mérettartományát felbontják, így ez az eljárás adja az elméletileg elérhető legpontosabb eredményt. Ugyanakkor éppen a teljes felbontás adja a módszer legnagyobb gyakorlati   hátrányát   is,   mivel   óriási   számítási   kapacitást   igényel.   Ebből   kifolyólag   az elérhető számítógépes erőforrások a viszonylag alacsony Reynolds­számú  tartományokra korlátozzák a kutatásokat. Mint a neve is sugallja a nagy örvény szimuláció az áramlásnak csak a nagyobb léptékű részeit próbálja meg leírni. A DNS­hez hasonlóan itt is a Navier­Stokes   egynletet   oldják   meg,   de   a   háló   térbeli   felbontása   nem   elégséges   a   legkisebb örvények modellezésére. Ebből adódóan a LES a valóságos áramlás egy olyan közelítését adja, melyből egy bizonyos méret alatti rész hiányzik. Ugyanakkor dinamikai szempontból a kis mérettartományok is fontosak lehetnek, ezért az eredmény korrekcióra szorul. Ezt úgy oldják meg,  hogy egy új   tagot  adnak a mozgásegyenlethez,  amit  SGS (Subgrid  Scale) modellnek nevezünk. Legfőbb tulajdonsága,  hogy csak a LES által  felbontott   legkisebb léptékeket módosítja, pontosítja ezek leírását, miközben a nagyobbakat nem befolyásolja. A   nehézséget   az   adott   geometriához   és   numerikus   módszerhez   megfelelő   SGS   típus kiválasztása   jelenti.   Ennek   bonyolultsága   és   terjedelme   meghaladja   jelen   dolgozat célkitűzéseit.

Ahhoz,   hogy   csak   a   nagy  örvényeket   vegyük   figyelembe   a   teljes   sebességmezőt szűrnünk kell.  Így a Navier­Stokes egyenletet csak a felbontott mérettartományra oldjuk meg, a kisebbeket az SGS modell segítségével közelítjük. A LES­ben általánosan használt szűrő operátort a (4.1) egyenlet mutatja be:

x , t =∫VG y−x , x ⋅ y , t d y (4.1)

ahol  G  a  magfüggvény, melynek (4.2)­nek megfelelően kompakt   tartójúnak kell   lennie, valamint teljesülnie kell (4.2)­nek:

∫VG r , xdr=1 (4.2)

Az előző összefüggésekben  a szűrő szélességére utal. Lényegében a ­nál nagyobb örvények nagynak tekintjük és kiszámítjuk, az ennél kisebbeket pedig csak modellezzük. Ha a  G  függvény homogén és izotróp, akkor a szűrt Navier­Stokes egyenlet (4.3) szerint 

20

írható fel:

∂ ui∂ t

∂ ui u j

∂ x j

=−1∂ p∂ x i

−∂

2ui

∂ x j2 −

∂ij

∂ x j

(4.3)

A kontinuitási egyenlet lineáris, ezért az továbbra is a (3.5) alakban írható. A (4.3) összefüggésben szereplő  ij­t tradícionálisan hálóméret alatti (SGS) feszültségnek nevezik. Valójában szűrőméret alatti feszültség lenne a helyes megnevezése, mivel ­tól függ, ami viszont, mint később látni fogjuk, elméletileg független a hálótól. Az SGS feszültség (4.4) egyenlettel fejezhető ki:

ij=uiu j−ui u j (4.4)

A (4.5) összefüggés jobb oldalának első tagját nem lehet kiszámolni, ezért ij­re az örvényviszkozitás modellt használjuk, így a (4.5) kifejezés adódik:

ij−13kkij=−2t Sij (4.5)

ahol   az   örvényviszkozitás,   ezt   kell   valahogyan   közelíteni.   Az   első   és   legelterjedtebb megoldást Smagorinsky dolgozta ki, melyet a (4.6) összefüggés mutat be:

t=CS2∣S∣ (4.6)

ahol  S  az alakváltozási tenzorból számolható és a (4.7) egyenlettel definiálhatjuk:

∣S∣= S ij Sij (4.7)

  CS  pedig   a   Smagorinsky   konstans,   mely   különböző   módszerekkel   határozható   meg, például mérési vagy DNS eredményekből.

4.2 HÁLÓ KÉSZÍTÉS

Numerikus   szimuláció   során   a  problémát  modellező   differenciálegyenleteket  nem analitikusan   oldjuk   meg,   hanem   azokat   valamilyen   módszer   segítségével differenciaegyenletekkel  helyettesítjük.  Mivel  ezek  az  egyenletek  a   tér  adott  pontjaiban érvényesek, ezért a megoldás sem lesz folytonos. Az eredmény pontossága nagyban függ attól, hogy a vizsgált tartományt hogyan diszkretizáljuk.

Mivel a csatorna geometriája egyszerű,  ezért  a háló  elkészítése nem jelent akkora problémát, mint egy átlagos mérnöki feladatnál. Ettől függetlenül persze néhány dologra különös figyelmet kell fordítani.

A hálót a Gambit szoftver segítségével készítettem. Az alapelgondolás az volt, hogy először  40x40x40 cellára  osztom a  csatornát,   ami  már  elég  ahhoz,  hogy a  kiszámított áramlás turbulens legyen. Ennek segítségével meg tudtam határozni, hogy mekkorának kell lennie a fal melletti első cellának és az áramlás főbb jellemzőiről is nagyságrendi képet kaptam. Ezt követően létrehoztam egy 72x72x72 elemet tartalmazó hálót, amit később a végső számításnál használtam.

21

A háló néhány egyszerű lépésben előállítható:

­   A   csatorna   magasságának   felét   ()   egységnyinek   választva   létrehoztam   egy téglatestet az (1. ábrának) megfelelően.

­ Tekintve a 3. fejezetben leírtakat, az áramlás periodikus, mind x és z irányban, ezért szükséges   a   megfelelő   oldalak   összekapcsolása.   Két   párt   hoztam   létre,   az   egyik   az áramlásra   merőleges   két   lapból   áll,   a   másikat   az   áramvonalakkal   párhuzamos   kisebb téglalapok alkotják. Erre azért van szükség, mert ahhoz, hogy a periodikus peremfeltételt pontosan definiálhassuk garantálni kell az egyforma hálót a felületpárokon.

­ Ezek után az élek hálózása következett. Mivel a csatorna méreteit úgy határoztuk meg a 3.1 fejezetben, hogy az már “tartalmazza” a turbulencia anizotrópiáját, ezért x és z irányban egyforma hosszúságú részekre osztottam az oldalakat.  Y  irányban sűríteni kell a hálót,  hogy a fali  határréteg is  megfelelően fel   legyen bontva.  Itt  a “Successive Ratio” opciót használtam kétoldali sűrítéssel, melynek mértéke mindkét oldalnál 1,05 volt. Így az első cella mérete 0,010434452 lett.

­   A   három   élen   lévő   háló   egyértelműen   meghatározza   a   testhálót,   így   ennek generálása már nem jelent problémát.

­  A lapokra vonatkozó  peremfeltételeket  is   itt  kell megadni,  beállítottam az előbb említett   két   periodikusságot,   valamint   a   fennmaradó   két   oldalt   alsó   és   felső   falként definiáltam.

4.3 NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ FLUENT PROGRAMMAL

A szimulációt Fluenttel végeztem, melyben a lamináris és RANS modellek mellett lehetőség van nagy örvény számításra is. A különböző hőmérséklet peremfeltételek miatt két   számításra   van   szükség,   az   egyikben   az   átlagos   fali   hőáram,   a   másikban   a   fali hőmérséklet állandó. A DNS eredményekkel való összehasonlíthatóság miatt a kiindulási adatok Pr=0,71 és  Re=180.

Időfüggő   szimulációt   végeztem   másodrendű   implicit   formulációval.   A   számítás három dimenzióban, nyomás alapú implicit módszerrel történt. A nagy örvény számításhoz a sebességek pontosítására a Smagorinsky­Lilly­féle SGS modellt használtam dinamikus feszültségek opcióval. A Fluent periodikus peremfeltétel esetén lerögzíti a hőmérsékletet egy   cellában   azért,   hogy   az   ne   növekedhessen   a   végtelenségig.   Viszont   ennek következtében   mindkét   peremfeltétel   esetében   hibás   lesz   az   eredmény.  Mivel   a   (3.1) egyenletben   már   feltételeztük,   hogy   a   közeg   összenyomhatatlan,   vagyis   a   hőmérséklet változása nem módosítja  a   tulajdonságait,  ebből  kifolyólag  a  hőmérséklet modellezhető passzív skalárként, s ez megoldja a fenti problémat is. A hőmérsékletmezőre semmilyen SGS modellt nem használtam, tehát a fel nem bontott skálákat teljesen elhanyagoltam.

Ezután a közeg anyagjellemzőit  adtam meg. Mivel a kiértékelést dimenziótlanított mennyiségekkel   végzem,   ezért   az   egyszerűség   kedvéért   a   független   anyagjellemzőket egységnyinek választottam. A DNS kutatások során az áramlást a periodikus falak között 

22

előírt  nyomáseséssel  hozzák  létre,   így  Re  értékét  közvetlenül  be  tudják állítani.  Én az átlagos Reynolds­számot állítottam be a tömegáram meghatározásával. Az áramlás irányára merőleges   keresztmetszet   nagysága   A=2⋅2=12,566 m2 .   Az   átlagsebességet 

ub=1ms

  és   a   sűrűséget   =1kg

m3   egységnyinek   feltételezve   a   tömegáramra   (4.8) 

adódik:

m=A⋅⋅ub=12,566kgs

(4.8)

A (4.1) szerinti tömegáramot létrehozó nyomásgradienst a Fluent számítja ki és minden iterációs lépés után korrigálja.

Az átlagos Reynolds­szám értékét úgy vettem fel, hogy az egyezzen a Kasagi [17] által   találttal,   mivel   az   áramkép   validálásánál   azt   veszem   majd   referenciának.   Ennek megfelelően  Reb=3245­öt   felvéve   a   kinematikai   viszkozitás   számítható   (4.9)­nek megfelelően:

=ub⋅

Reb

=3,08166⋅10−4 kgm⋅s

; (4.9)

Mivel a Prandtl­szám adott, így a hőátadási tényező (4.10) szerint kifejezhető:

=

Pr=4,34037⋅10−4 kg

m⋅s(4.10)

Fontos a peremfeltételek megfelelő  megadása is, a két  periodikussal nincs további teendő, de a falakra elő kell írni első esetben az állandó hőáramot, a másodikban az állandó hőmérsékletet. Az UHF esetében a falakon keresztül bekerülő hőt el kell vonni, különben a hőmérséklet a számolás során végig emelkedni fog.  Erre a tanszéki fejlesztésű, C­ben írt átlagoló   program   megfelelő   forrástag   függvényét   használtam.   Ez   annyi   hőt   von   ki egyenletesen a térfogatból, mint amennyi a falakon beérkezik, így anélkül küszöbölhető ki a   túlmelegedés,   hogy   a   hőszállítás   jellemzőit   befolyásolnánk,   ugyanakkor   az  x  irányú átlaghőmérséklet­növekedést elveszítjük.

A   nyomás   diszkretizálására   másodrendű,   a   hőmérsékletre   harmadrendű,   míg   a sebességre   “kötött”   középpontos   differenciáló   (Bounded   Central   Differencing)   sémát alkalmaztam   a   lehető   legpontosabb   eredmény   érdekében.   A   sebesség   és   nyomás összekapcsolására   a   SIMPLE   eljárást   használtam.   Az   alulrelaxációs   faktorok módosításával elméletileg csökkenthető a számításigény, de a próbák azt mutatták, hogy nem gyorsul a konvergencia, ezért az alapbeállítással futtattam a számítást.

Az inicializálás során a hőmérsékletet nullára állítottam, az x irányú sebességet pedig 1­re.  Ezt  követően a  három sebességkomponenst állítottam be egy ad­hoc függvénnyel. Ezzel egy instabil állapotot hoztam létre, ami garantálta, hogy turbulens lesz az áramkép. Minderre azért volt szükség, mert a viszonylag alacsony Reynolds­szám miatt előfordulhat, hogy   a   lamináris   áramlásként   inicializált   számítás   “nem   csap   át”   turbulensbe,   hanem megmarad egy instabil lamináris állapotban. Az alkalmazott függvény a (4.11) összefüggés 

23

volt:

f x , y , z =0,3⋅sin3⋅x⋅y⋅z (4.11)

Mindkét   szimuláció   során   figyelemmel   követtem   az  y=1  egyenletű   sík   (azaz   a középsík)   átlaghőmérsékletét,   a   falak   melletti   áramlás   irányú   nyírófeszültség   átlagos értékét,   valamint   egy   keresztmetszetben   az  y  és  z  irányú   sebességkomponensek négyzetösszegének a síkra vett térbeli átlagát. A CTD peremfeltétel esetében vizsgáltam továbbá az áramlási térben előforduló legnagyobb hőmérsékletet is.

Az   időlépés   nagyságát   úgy   kell   meghatározni,   hogy   a   leggyorsabban   mozgó részecske se haladhasson egy cellánál többet egy lépés alatt. Ellenkező esetben a számítás pontatlanná   válik.   Az   előzetes   szimulációk   alapján   úgy   találtam,   hogy   az   előforduló 

legnagyobb sebesség nagysága  ∣v∣max=1,35ms

.  Ennek felhasznlásával az időlépés (4.12) 

szerint meghatározható:

t=5

72⋅

1∣v∣max

≈0,16 s (4.12)

ahol 5

72 a cellák x irányú hossza.

A szimuláció során először a tranzíciós szakaszt kell kiszámolni, amelynek során az áramlás az inicializált állapotból eljut a kialakultnak tekinthető fázisba. Annak eldöntése, hogy ez pontosan mikor következik be igen nehéz, a fentebb említett figyelemmel kísért mennyiségek változásából  próbáljuk  meg meghatározni.  Mindez  azért   lényeges,  mert  a turbulencia statisztikai jellemzőit úgy tudjuk meghatározni, hogy a vizsgált mennyiségeket időben átlagoljuk. Amennyiben ezt túl korán kedjük el valószínűleg nagy hibát fog okozni a tranziens szakasz jelentős változékonysága. Az átlagolást a korábban említett  tanszéki program   végzi.   Ennek   működéséhez   felhasználói   memória­helyeket   (User   Defined Memory) kell  létrehozni Fluentben,  ezekben tárolódnak az átlagolt  értékek. Ezeket úgy számolja  a  kód,  hogy minden  időlépés  végén  lekérdezi  az  adott  mennyiség pillanatnyi értékét és azt súlyozva hozzáadja az előző lépésbelihez. Az is fontos, hogy mennyi időn keresztül végezzük az átlagolást. Elméletileg végtelenül hosszan kellene, általánosságban elmondható, hogy minél tovább, annál pontosabb lesz az eredmény. Ideális minimumnak tekinthető Kawamura [16] összefüggése, melyet a (4.13) egyenlet prezentál:

t avg=

u2 (4.13)

Ez az időmennyiség jelen esetben a csatorna kb. 50 átöblítésének felel meg. Kasagi [17] valamivel hosszabb átlagolási időt javasol (4.14), ami közelítőleg 75 átáramlást jelent:

t avg=5u

(4.14)

24

5 KIÉRTÉKELÉS ÉS VALIDÁLÁS

5.1 A SZIMULÁCIÓ FUTÁSÁNAK ELLENŐRZÉSE

A futtatás során a számítás ellenőrzésére az előző fejezetben említett néhány alpvető mennyiség alakulását követtem figyelemmel. A (2. ábrán) az UHF, a (3. ábrán) a CTD peremfeltételhez tartozó eredmények időlépésenkénti alakulása látható.

(2.a ábra: Az y és z irányú sebességkomponenseknégyzetösszegének a síkra vett térbeli átlaga)

25

(2.b ábra: Az y=1 egyenletű középsík átlaghőmérséklete)

(2.c ábra: Az x irányú fali nyírófeszültség két falon vett átlaga)

26

(3.a ábra: Az y és z irányú sebességkomponenseknégyzetösszegének a síkra vett térbeli átlaga)

(3.b ábra: Az y=1 egyenletű középsík átlaghőmérséklete)

27

(3.c ábra: Az x irányú fali nyírófeszültség két falon vett átlaga)

(3.d ábra: Az áramlási térben előforduló legmagasabb hőmérséklet)

28

A   CTD   peremfeltétel   esetén   az   átlagolás   során   vizsgáltam   az   áramlási   térben előforduló legmagasabb hőmérsékletet (lásd 3.c ábra), de nem találtam a Chatelain et al. [11] által   jelentett   irreális  értékhez hasonló   jelenséget. Valószínű,  hogy ez a numerikus eljárásukból adódó hiba volt.

Először   a   tranzíciós   szakaszt   számítottam   ki,   aminek   hossza   közelítőleg   1000 időlépésnek,   azaz   körülbelül   10   átáramlásnak   adódott.   Ezt   követően   kapcsoltam   be   a tanszéki   átlagoló   programot,   melyet   további  13000   időlépésen   keresztül   futtattam.   Ez 2080s áramlási időnek és kb. 130 teljes átáramlásnak felel meg.

Ellenőrzés   szempontjából   fontos   mennyiségek   továbbá   az  x  irányú   sebesség,   a csatornán keresztül haladó tömegáram, a fal melletti első cellában y+ értéke és a turbulens Reynolds­szám. Az első  kettőnek a  t=2240s  időpillanathoz   tartozó,  utóbbi  kettőnek az átlagolás során kapott értékét, és ezek célértékét tüntettem fel az (1. táblázat)­ban:

(1. táblázat: Ellenőrzött mennyiségek)

x irányú sebesség[m/s]

Tömegáram[kg/s]

y+ az első cellában

Reτ

Peremfeltétel Valós Cél Valós Cél Valós Cél Valós Cél

UHF 1,000012 1 12,56599 12,566 0,9257 1 177 180

CTD 0,999959 1 12,56597 12,566 0,9272 1 178 180

Lényeges   még   a   Courant­szám   cellákban   vett   értékének   eloszlása   is.   Ezzel ellenőrizhető a számítás időbeli felbontása. Az adott áramlás esetén ennek az átlaga egy körüli   kell,   hogy   legyen.   Továbbá   törekedni   kell   arra,   hogy   minél   kevesebb   cellában kapjunk egy fölötti értéket. A (4.a ábrán) látható hisztogram prezentálja a Courant­szám eloszlását a teljes vizsgált tartományban. Látható, hogy az előbbi feltételeknek megfelelő mértékben sikerült eleget tenni, az átlagos Courant­szám C=0,8893376, maximális értéke Cmax=1,664092  és a cellák több, mint 95%­a 1,2 alatt  van.  A (4.b ábra) mutatja az y+ 

értékének alakulását a két fal mellett.  Maximuma  y+max=1,549662; átlaga  y+=0,9190032; 

egy cellában sem kisebb az értéke mint 0,6; tehát a fal melletti réteg felbontása megfelelő.

29

(4.a ábra: A cellák Courant­számának eloszlásaa teljes áramlási térre vonatkoztatva)

(4.b ábra: y+ megoszlása a falak melletti első cellarétegekben)

30

5.2 FELTÉTELES ÁTLAGOLÁS

A számítás során a tanszéki program segítségével ún. feltételes átlagolást végeztem, melyről bővebb leírás található Lohász et al. [16] cikkében. A feltétel a  Q­kritérium volt, melynek   segítségével   a   vizsgált   mennyiségeket   négy   különböző   csoportra   bontottam. Annak függvényében, hogy egy cella az adott pillanatban melyik  Q  osztályba tartozik, a változókat külön átlagolja. Így minden csoportra külön eredmény adódik, melyeket az adott osztályba való tartozás idejével súlyozni kell, majd a vizsgált mennyiségeket csoportonként összegezni. Az így kapott időbeli átlagokat térben vízszintes síkonként újból átlagoltam. Az   ilyenformán   adódó   eredményeket   használtam   a   sebesség­   és   hőmérséklet­profilok elkészítéséhez. A Q­kritériumról bővebben az 5.5 fejezetben lesz szó.

5.3 SEBESSÉGMEZŐ VALIDÁLÁSA

A   sebességek   vizsgálatakor   Kawamura   [19]   és   Kasagi   [20]   DNS   eredményeihez hasonlítom a számításomat. A sebességprofilok a hőmérséklet peremfeltételtől függetlenek, ezért itt nem közlöm őket külön­külön.

Az  x  irányú átlagsebességet  u­val dimenziótlanított formában és a fali koordináták függvényében a (5. ábra) mutatja be:

31

(5.a ábra: Dimenziótlan sebességprofil a fali koordináták függvényében)

(5.b ábra: Logaritmikus dimenziótlan sebességprofil a fali koordináták függvényében)

32

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

5

10

15

20

25

Átlagsebesség

LESKasagiKawamura

y+

u_m

ean+

0.18 1.8 18 180

0

5

10

15

20

25

Átlagsebesség

LESKasagiKawamura

y+

u_m

ean+

A  három   sebességkomponens   rms   értékét   a   fali   koordináták   függvényében   a   (6. ábra) szemlélteti, a dimenziótlanítás itt is  uτ­val történt.

(6. ábra: Sebességkomponensek ingadozásának rms értéke a fali koordináták függvényében)

A   két   előző   ábrából   jól   látható,   hogy   a   profilok   jellege   megfelelő,   azonban pontosságuk hagy kívánni valót maga után. A maximális relatív hiba megközelíti a 25%­ot. Ennek oka feltehetően az, hogy ilyen kis cellaszám mellett nagy örvény szimulációval csak kisebb   tartományt   vizsgálva   kapható   pontosabb   eredmény.  A   kisebb   modellezett   tér azonban felveti a kérdést, hogy elegendően nagy­e ahhoz, hogy a turbulencia hosszléptékét magába foglalja. A (7. ábra) egy pillanatnyi hőmérséklet­eloszlást mutat a két falon. Jól megfigyelhetők a felső   lapon lévő,  a tartomány hosszának felénél  határozottan nagyobb örvények, melyekből arra következtethetünk, hogy ezek alapján  3­nál rövidebbre nem vehető a vizsgált térfogat hosszúsága.

33

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Sebesség-ingadozások rms értéke

u'+v'+w'+u'+ (Kasagi)v'+ (Kasagi)w'+ (Kasagi)u'+ (Kawamura)v'+ (Kawamura)w'+ (Kawamura)

y+

u'+

v'+

w

'+

(7. ábra: Pillanatnyi hőmérséklet­eloszlás a falakonUHF peremfeltétel esetén)

5.4 A HŐMÉRSÉKLET­ELOSZLÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA

5.4.1 Az UHF peremfeltétel

A   transzformált   hőmérséklet   eloszlása  Tτ­val   dimenziótlanítva   a   csatorna keresztmetszetében a (8. ábrán) látható.

34

(8.a ábra: Dimenziótlanított hőmérséklet­eloszlás a fali koordináták függvényében)

(8.b ábra: Logaritmikus dimenziótlanított hőmérséklet­eloszlás a fali koordináták függvényében)

35

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Hőmérséklet-eloszlás

y+

T_m

ean

T_meanT_mean (Kasagi)T_mean (Kawamura)

0.18 1.8 18 180

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Hőmérséklet-eloszlás

y+

T_

me

an

T_meanT_mean (Kasagi)T_mean (Kawamura)

A transzformált hőmérséklet fluktuációja a (9. ábrán) látható. A DNS eredményektől való  eltérés  a  különböző  peremfeltételből   adódik.   Jól   látható,  hogy az  általam vizsgált esetben   a   hőmérséklet   ingadozása   a   falon   nem   nulla,   mivel   nem   használtam   azt   az egyszerűsítést, hogy a fal hővezetése végtelen nagy. Így nagyobb gradiensek alakulhatnak ki,  melyek hatékonyabb hővezetést  tesznek lehetővé  a fal közelében, ami magyarázza a görbék eltolt helyzetét.

(9. ábra: Transzformált hőmérsklet ingadozásának rms értéke Tτ­valdimenziótlanítva a fali koordináták függvényében)

36

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Hőmérséklet-ingadozások rms értéke

y+

T'

T'T' (Kasagi)T' (Kawamura)

5.4.2 A CTD peremfeltétel

A transzformált hőmérséklet eloszlása a csatorna keresztmetszetében a (10. ábrán) látható.

(10. ábra: Transzformált hőmérséklet­eloszlás a csatorna keresztmetszetében)

37

0 0.5 1 1.5 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hőmérséklet-eloszlás

T_meanT_mean (Seki)

y

T_m

ean

A transzformált hőmérséklet ingadozását a (11. ábra) szemlélteti.

(11. ábra: Transzformált hőmérsklet ingadozásának rms értéke Tτ­valdimenziótlanítva a fali koordináták függvényében )

5.4.3 Korrelációk

A két  peremfeltétel kereszt­korrelációit a könnyebb áttekinthetőség kedvéért közös grafikonban ábrázolom.

A (12. ábrán) az x és y irányú sebességek korrelációja látható. A csatorna belsejében kb.  y+=60­nál   nagyobb   értékeknél   a   nyírófeszültség   már   lineárisan   közelíthető,   mely analitikusan levezethető. Az általam kapott eredmény ennél magasabb, ami arra utal, hogy mivel   az  SGS  feszültséggel  nincsenek  korrigálva   az   adatok,  ott   annak  negatívnak  kell lennie.

38

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Hőmérséklet-ingadozás rms értéke

CTD

y+

T'

(12. ábra: x és y irányú sebességkomponensek korrelációja)

Az  x  irányú  sebesség és a hőmérséklet korrelációját a (13. ábra), míg az  y  irányú sebesség és a hőmérséklet korrelációját a (14. ábra) szemlélteti.

39

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Sebesség-hőmérséklet korreláció

CTDUHF

y+

u-T

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Sebesség korreláció

uv+uv+ (Kasagi)uv+ (Kawamura)

y+

uv+

(13. ábra: u'' korreláció a fali koordináták függvényében)

(14. ábra: v'' korreláció a fali koordináták függvényében)

Az   UHF   és   a   CTD   peremfeltételek   között   a   legnagyobb   különbség   a   csatorna közepénél   mutatkozik.   Állandó   hőáram   esetén   az  v''  kereszt­korrelációs   együttható   a középsíknál nullához tart, mert a falra merőleges irányú turbulens hőáram inverz módon szimmetrikus   a   csatorna   középsíkjára.   Az   állandó   hőmérséklet­különbség   esetén  u'' hasonló okok miatt tart nullához. A másik két esetben, az UHF­nél u'', míg CTD­nél v'' közel állandó  marad egészen a csatorna közepéig.  Ennek oka,  hogy a megfelelő   irányú turbulens hőáram is konstans.

Mivel a korábban többször említett tanszéki átlagoló az UHF peremfeltétel esetére lett   kifejlesztve,   ezért   működése   korlátozott   volt   a   CTD   számítása   során.   Ennek következtében   a   (13.   és   14.   ábra)   elkészítéséhez   lineáris   transzformációkat   kellett alkalmaznom.

A   (15.   ábra)   a   sebességmező   és   a   hőmérséklet   pillanatnyi   eloszlását   mutatja   a t=2240s  időpontban.   A   két   kép   inverz   hasonlóságából   jól   látható,   hogy   a   konvektív hővezetés egyértelműen domináns, a konduktív hőtranszport szinte elhanyagolhatóan kicsi.

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Sebesség-hőmérséklet korreláció

CTDUHF

y+

v-T

(15.a ábra: Pillanatnyi sebességeloszlás a periodikus falakon)

(15.b ábra: Pillanatnyi hőmérséklet­eloszlás a periodikus falakon)

41

5.5 KOHERENS STRUKTÚRA

A   koherens   struktúra   alapötlete,   hogy   a   sebességkomponensek   ingadozó   tagját felbontják egy koherens  mozgásra  és  egy  turbulens  háttérre.  Az az  elképzelés,  hogy a koherens   mozgás   sokkal   könnyebben   leírható,   mint   az   utóbbi,   ugyanakkor   dinamikai szempontból is meghatározóbb. Jeong & Hussian [16] szerint a koherens struktúrát térben koherens, időben fejlődő örvénylő mozgás alkotja.

A  turbulencia koherens struktúráinak vizsgálatakor a  Q­kritériumot használtam az örvények azonosítására, ahol Q az (5.1) egyenlet szerint a sebességgradiens tenzor második invariánsa:

Q=12ij ji−S ij S ji (5.1)

ahol ij az örvénytenzor, melyet definíció szerint az (5.2) összefüggés ír le:

ij=12∂iu j−∂ jui  (5.2)

Sij pedig az alakváltozási tenzor, mely az (5.3) szerint fejezhető ki:

S ij=12∂iu j∂ ju i  (5.3)

Bővebb leírásért lásd [17], valamint [18], utóbbiban más leírási módszerek (például 2) részletes bemutatása is megtalálható.

A   szimuláció   során   négy  Q  osztályt   definiáltam,   ezek   határait   ad­hoc   módon   a következőkben állapítottam meg:

Első osztály: ­ < Q < 0

Második osztály: 0      <  Q < 0,01

Harmadik osztály: 0,01  <  Q < 0,1

Negyedik osztály: 0,1 <  Q <

A (16. ábrán) adott pillanatban kialakuló Q= állandó felületek láthatóak.

42

(16.a ábra: Q iso­felületek; kék: Q=0; zöld: Q=0,01)

(16.a ábra: Q iso­felületek; sárga: Q=0,1; piros: Q=0,2)

43

A   (2.   táblázat)   a  Q  osztályokba   tartozás   százalékos   arányát   mutatja,   a   két peremfeltétel mellett feltüntettem Lohász Máté [17] eredményeit is. Ez részben megerősíti a konzulensem által felfedezetteket, miszerint az örvényesség nem a leggyakoribb folyadék állapot a turbulenciában. Ő úgy találta, hogy a  blokkolt  csatornaáramlásban az örvények valószínűsége 40%, lásd [17] 143­166 oldalán. Meglepő módon a  bordát  nem tartalmazó csatornában ugyanazzal a számítási módszerrel ennél valamivel magasabb értéket kaptam, 42%­ra   adódott   az   örvények   aránya   az   áramlásban.   Az   előzőek   ellent   mondanak   az intuíciónak, miszerint a  borda  felkavarja az áramlást, sok új örvényt létrehozva. Mindez látszólag arra utalhat, hogy jobb hűtést lehet elérni borda nélkül, de ez nyilvánvalóan nem igaz. Ez valószínűleg azzal magyarázható, hogy a konzulensem által vizsgált csatornában az   átlagos   örvények   nagyobb   intenzitásúak,   amik   jobb   hatásfokkal   szállítják   el   a   hőt. Sajnos   ennek   vizsgálata   nem   megoldható,   mert   a  Q  osztályokra   előírt   határok   nem konzekvensek, ad­hoc módon lettek meghatározva. Továbbá nem szabad megfeledkezni a borda felületnövelő hatásáról sem, ami szintén a jobb hőtranszportot segíti.

(2. táblázat: Q osztályok százalékos aránya a különböző peremfeltételek esetén)

Vizsgált eset QI

[%]QII

[%]QIII

[%]QIV

[%]

UHF 57,79 9,96 22,04 10,20

CTD 57,83 9,90 21,93 10,35

45° 1 59,7 38,8 1,4 0,09

90° 1 60 37,6 1,9 0,081: lásd [17] 147. oldalán

A (3. táblázatban) található a  Q  osztályok átlagos  x  irányú sebessége. Jól látható, hogy minél nagyobb intenzitású egy örvény, annál lassabban halad az áramlás irányában.

(3. táblázat: Q osztályok átlagos x irányú sebessége)

Peremfeltétel QI QII QIII QIV

UHF 1,0032 1,0254 0,9992 0,9548

CTD 1,0032 1,0253 0,9992 0,9546

44

6 ÖSSZEFOGLALÁS

A szakdolgozatom során megismerkedtem a direkt numerikus szimuláció és a nagy örvény szimuláció  alapvető  elméleti hátterével, a csatornaáramlásban való  alkalmazásuk fontosabb   irodalmi   eredményeivel,   valamint   elsajátítottam   a   periodikus   hőátadás számításának módját.

Ezt   követően   nagy   örvény   szimuláció   segítségével   vizsgáltam   végtelen   síklapok közötti   kialakult   turbulens   áramlásban   a   hőtranszportot   különböző   termikus peremfeltételek esetén. A sebesség­ és hőmérsékletmező főbb mennyiségeinek pillanatnyi értékeit   valamint   időbeli   és   térbeli   átlagait   is   tanulmányoztam.   A   kapott   eredmények alátámasztják a nagy örvény szimuláció létjogosultságát, ugyanakkor a kapott nagy relatív hiba miatt a további eredmények fenntartással kezelendőek. A hiba oka feltehetően az adott cellaszám mellett vizsgált túl nagy tartomány volt, ezt célszerű volna újabb számításokkal ellenőrizni.

A   kiértékelés   során   feltételes   átlagolást   végeztem   a  Q­kritérium   alapján.   Az örvényesség vizsgálatakor kimutattam, hogy a turbulens áramlásban nem az örvények a leggyakoribbak,   valamint   hogy   minél   nagyobb   intenzitású   egy   örvény,   az   áramlás irányában annál lassabban halad.

45

IRODALOMJEGYZÉK

[1] Batchelor,  G. K.,  1959, “Small­Scale  Variation of Convected Quantities Like Temperature   in   Turbulent   Fluid:   Part   1.   General   Discussion   and   the   Case   of   Small Conductivity” J. Fluid Mech., Vol. 5, pp. 113­133.

[2] Tennekes, H., Lumley, J.L.,  1972, “A First Course in Turbulence”  MIT Press, Cambridge, MA, pp. 96­97. 

[3]   Kasagi,   N.,   Iida,   O.,   1999,   “Progress   in   Direct   Numerical   Simulation   of Turbulent Heat Transfer ” Proceedings of the 5th ASME/JSME Joint Thermal Engineering Conference , San Diego, California

[4] Kim, J., Moin, P., 1989, “Transport of Passive Scalars in a Turbulent Channel Flow” Andre, J. ­C. (Ed.), Turbulent Shear Flows 6, Springer, Berlin, pp. 85–96.

[5] Kasagi, N., Tomita Y. and Kuroda A., 1992, “Direct Numerical Simulation of Passive Scalar Field in a Turbulent Channel Flow” ASME J. Heat Transfer, 114:598–606.

[6]  Kasagi  N.,  Ohtsubo Y.,  1993,  “Direct  Numerical  Simulation of  Low Prandtl Number Thermal Field in a Turbulent Channel Flow”  Durst, F. et al.  (Eds.),  Turbulent  Shear Flows 8, Springer, Berlin, pp. 97–119.

[7] Kawamura, H., Ohsaka, K., Abe H. and Yamamoto K., 1998, “DNS of Turbulent Heat Transfer in Channel Flow with Low to Medium­high Prandtl Number” Int. J. of Heat  and Fluid Flow, 19:482–491. 

[8] Kawamura, H., Abe H. and Matsuo Y., 1999, “DNS of Turbulent Heat Transfer in Channel Flow with Respect to Reynolds and Prandtl Number Effect” Int. J. of Heat and Fluid Flow, 20:196–207. 

[9] Seki, Y., Abe, H., Kawamura H., 2003, “DNS of Turbulent Heat Transfer in a Channel   Flow   with   Different   Thermal   Boundary   Conditions   ”  The   6th   ASME­JSME Thermal Engineering Joint Conference

[10] Fukagata, K., Iwamoto K. and Kasagi, N., 2005, “Novel Turbulence Control Strategy   For   Simultaneously   Achieving   Friction   Drag   Reduction   and   Heat   Transfer Augmentation   ”  Proc.   4th   Int.   Symp.   Turbulence   and   Shear   Flow   Phenomena  Williamsburg, Virginia, pp. 307­312. 

[11]   Chatelain,   A.,   Ducros,   F.   and   M´tais,   O.,   2004,   “LES   of   Turbulent   Heat Transfer:   Proper   Convection   Numerical   Schemes   for   Temperature   Transport   ”  Int.   J.  Numer. Meth. Fluids; 44:1017–1044

[12] Montreuil, E., O. Labbé, O. and Sagaut, P., 2005, “Assessment of non­Fickian Subgrid­Scale Models for Passive Scalar in a Channel Flow ” Int. J. Numer. Meth. Fluids, 49:75–98

[13] Patankar, S. V., Liu, C. H. and Sparrow, E. M., 1977, “Fully Developed Flow and   Heat   Transfer   I   Ducts   Having   Streamwise­Periodic   Variations   of   Cross­Sectional Area” Journal of Heat Transfer, 99:180­186

46

[14] Mathieu, J., Scott, J., 2000, “An Introduction To Turbulent Flow” Cambridge University Press, pp. 23­27

[15]  Kim,  S­E,   2004,   “Large  Eddy  Simulation  Using  Unstructered  Meshes   and Dynamic   Subgrid­Scale   Turbulence   Models”,  American   Institute   of   Aeronautics   and Astronautics Paper, 2004­2548

[16] Jeong, J., Hussian, F., 1995, “On the Identification of a Vortex”,  Journal of  Fluid Mechanics, vol. 285, pp. 69­94

[17] Lohasz, M., M., Rambaud, P., Benocci, C., 2005, “Conditional Averaging of the Fully Developed Stationary Ribbed Duct Flow Using Q Criteria ”, Proceedings of the iTi  Conference in Turbulence, pp. 285­288

[18] Lohasz,  M.,  M.,  2008, “Large Eddy Simulation of Heat Transfer  in Ribbed Ducts”, Ph.d. Thesis, pp. 40­44

INTERNETES HIVATKOZÁSOK

[19] http://murasun.me.noda.tus.ac.jp/turbulence/poi/text/Poi180_4th_C.dat

[20] http://www.thtlab.t.u­tokyo.ac.jp/DNS/CH122_PG.WL3

47