四、随机变量的数字特征
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四、随机变量的数字特征. （ 绝对收敛）. ( 级数 绝对收敛 ). 考试内容. （一）随机变量的数学期望. 1. 离散型随机变量的数学期望（均值）. 设 X 的分布律为. 则. 2. 连续型随机变量的数学期望. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x ), 则. 3. 随机变量函数的数学期望. （ 1 ） X 为 随机变量， y=g ( x ) 为实变量 x 的函数. 离散型：. 连续型：. (2)( X,Y ) 为二维 随机变量 , z=g ( x,y ) 为 x,y 的二元函数. 离散型：. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
四、随机变量的数字特征
考试内容（一）随机变量的数学期望
1. 离散型随机变量的数学期望（均值）设 X 的分布律为 ,2,1,)( ipxXP
ii
( 级数 绝对收敛 )k
kkpx
kkk
px)(XE则
2. 连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x), 则
dxxxfXE )()( （ 绝对收敛）
dxxxf )(
3. 随机变量函数的数学期望
（ 1 ） X 为随机变量， y=g(x) 为实变量 x 的函数 .离散型： ( ) [ ( )] ( ) ;k k
k
E Y E g X g x p 连续型： ( ) [ ( )] ( ) ( ) .E Y E g X g x f x dx
(2)(X,Y) 为二维随机变量 , z=g(x,y) 为 x,y 的二元函数 .离散型：连续型：
( ) [ ( , )] ( , ) ;i j iji j
E Z E g X Y g x y p
( ) [ ( , )] ( , ) ( , ) .E z E g X Y g x y f x y dxdy
4. 数学期望的性质(1) E(C)=C;
(2) E(aX+b)= aE(X)+b;
(3) E(X1+ X2+‥+Xn)=E(X1)+ E(X2)+‥+E(Xn);
(4) 若 X1, X2,‥,Xn 相互独立 , 则 E(X1 X2‥Xn)=E(X1) E(X2)‥E(Xn);
(5)).()()]([ 222 YEXEXYE
（二）方差1. 定义 D(X)=E{[X-E(X)]2}
均方差或标准差： )()( XDX
2. 计算(1) 离散型： .)]([)( 2
kk
kpXExXD 2( ) [ ( )] ( ) .D X x E X f x dx
(2) 连续型：
(3) 常用计算公式： D(X)=E(X2)-E2(X).
3. 方差的性质
(1) D(X)=E(X2)-E2(X) ， E2(X)=D(X)+E(X2)
(2) D(C)=0;
(3) E(aX+b)= a2D(X);
(4) D(X±Y)=D(X)+ D(Y) ±2Cov(X,Y);
若 X, Y 相互独立 , 则 D(X±Y)=D(X) +D(Y).
(5) D(X)=0 P(X=C)=1.
（三）协方差、协方差矩阵与相关系数
Cov(X,Y)= E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}1. 协方差
2. 相关系数.
)()(),(
),(YDXD
YXCovYX
XY
用来表征随机变量 X,Y 之间线性关系的紧密程度 .
当 较大时，说明 X,Y 线性关系程度较强；当 较小时，说明 X,Y 线性关系程度较弱；当 时，称 X 与 Y 不相关（线性） .
XY
XY
0XY
3. 协方差矩阵设 (X1, X2,‥,Xn) 是 n 维随机变量 , 若cij=Cov(Xi,Yj),
nji ,,2,1, 存在，则称矩阵
为 n 维随机变量 (X1, X2,‥,Xn) 的协方差矩阵 .
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
21
22221
11211
4. 协方差及相关系数的性质(1)Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y);
(3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X ） ;
(4)Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y);
(5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y);
(6)
(7) X 与 Y 以概率 1 线性相关 , 即存在 a,b,
1;XY
.1)( baXYP
1XY
且 a≠0, 使
),0(1)(1
),0(1)(1
abaXYP
abaXYP
XY
XY
(8)
（四）矩与混合矩
1. 随机变量 X 的 k 阶原点矩： ),2,1)(( kXE k
随机变量 X 的 k 阶中心矩：[( ( )) ]( 1,2, )kE X E X k
2. 设 (X,Y) 为二维随机变量 ,X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩为：
( )( , 1,2, );k lE X Y k l
X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩为：[( ( )) ( ( )) ]( , 1,2, )k lE X E X X E X k l
数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩，协方差是 1+1阶混合中心矩 .
（五）常见分布的数学期望与方差
分布 数学期望 方差0-1 分布 B(1,p) p p(1-p)
二项分布 B(1,p) np np(1-p)
泊松分布几何分布 G(p) (1-p)/p2
超几何分布 H(N,M,n)
均匀分布正态分布指数分布
)(P
( )E ),( 2N
),( baU
p/1
NM
n (1 )1
M M N nn
N N N
2/)( ba 12/)( 2ab 2/1 21/
（六）重要结论
5 个等价条件：
)()()()5(
)()()()4(
)()()()3(
0),()2(
0)1(
YDXDYXD
YDXDYXD
YEXEXYE
YXCovXY
注意： X,Y 相互独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件 .
考点与例题分析考点一：数学期望和方差的计算
考点二：随机变量函数的数学期望与方差
考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
考点一：数学期望和方差的计算
1. 对分布已知的情形，按定义求；2. 对由随机试验给出的随机变量，先求出分布，再按定义计算；3. 利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和方差计算；4. 对较复杂的随机变量 , 将其分解为简单随机变量 ,
特别是分解为 (0,1) 分布的随机变量和进行计算 .
例 1 一台设备由三大部件构成 , 在设备运转中各部件需要调试整的概率相应为 0.1,0.2,0.3, 假设各部件的状态相互独立 , 以 X 表示同时需要调整的部件数 , 试求 X 的 E(X) 和 D(X).解法 1 先求出分布律：设事件 Ak={ 第 k 个部件要调整 } （ k=1,2,3), 则
,3.0)(,2.0)(,1.0)(321 APAPAP
.092.0)3()1()0(1)2(
.006.0)()3(
.398.0)()()()1(
.504.0)()0(
321
321321321
321
XPXPXPXP
AAAPXP
AAAPAAAPAAAPXP
AAAPXP
即 X 具有的分布律为：
006.0092.0398.0504.0
3210~X
从而有 E(X)=0.6 ， D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46.
解法 2 用分解法：引进随机变量
)3,2,1( 0
,1
kA
AX
k
k
k ，，，
不出现出现
X~0-1 分布，
( ) ( ), ( ) (1 ) ( )[1 ( )].k k k k kE X p P A D X p p P A P A
且 X=X1+X2+X3 ， E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.6
D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46
注 :1. 将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单”的随机变量之和 是研究随机变量的一种基本方法，但必须注意：求方差时，应先判断 Xi 是否相互独立 . 若独立 , 则 D(X) 易求 ( 和 ), 否则不易求出 .
,1
n
ii
X
2. 求离散型随机变量的期望和方差时 , 会用到无穷级数求和，如下例 :
例 2 对某目标连续射击 , 直到命中 n 次为止 , 设每次射击的命中率为 p ，求消耗子弹的数学期望 .解 设 Xi 表示第 i-1 次命中至第 i 次命中之间所消耗的子弹数 ( 含第 i 次命中不含第 i-1 次命中 ), 则
n
ii
XX1
,2,1 ,)1(}{ 1 kppkXP k
i
于是有1
21
1 1( ) (1 ) , 1,2, ,
[1 (1 )]k
ik
E X k p p p i np p
12
1 1
1 1(1 ) [(1 ) ] ( 1)
1 (1 ) [1 (1 )]k k
k k
k p pp p
故1
.n
ii
nEX EX
p
例 3 设随机变量的概率密度
，其它 ,0
,21 ,2
,10 ,
)( xx
xx
xf
求数学期望和方差 .
解 1)2()()( 2
1
1
0
2
dxxxdxxdxxxfXE
1 22 2 3 2
0 1
7( ) ( ) (2 ) .
6E X x f x dx x dx x x dx
2 2 7 1( ) ( ) ( ) 1 .
6 6D X E X E X
注：若已知分布函数，则需先求出密度函数 .
例 4 设 X 的密度函数 ,,1
)( 122
xexf xx
则 E(X)_______, D(X)_________.
2( 1)1
221 1
( ) , ~ (1, ),1 222
x
f x e X N
21
1
考点二：随机变量函数的数学期望与方差1. 先求概率密度或分布函数 , 再按期望定义计算 , 如
2. 直接利用函数期望的公式计算：( ) [ ( )] ( ) ;k k
k
E Y E g X g x p ( ) [ ( )] ( ) ( ) .E Y E g X g x f x dx
( ) [ ( , )] ( , ) ;i j iji j
E Z E g X Y g x y p ( ) [ ( , )] ( , ) ( , ) .E z E g X Y g x y f x y dxdy
3. 利用数学期望、方差的性质以及常见分布的数学期望与方差计算 .
( ) ( ) .YE Y yf y dy
例 5 设 X~E(1), 则数学期望 ._______)( 2 XeXE43
解 先利用期望的线性性质，再用随机变量函数的期望公式求得 .
因 X~E(1), 于是 E(X)=1, 而且 X 的密度函数为
,0 ,0
,0 ,)(
x
xexf
x
2 2
0
1( ) .
3X x xE e e e dx
2 2 4
( ) ( ) ( ) .3
X XE X e E X E e
指数分布
例 6 设 X 的密度函数 ,,)1(
1)(
2
x
xxf
求 )].1,[min( XE
解 直接利用函数期望的公式计算
1 1
1
2 20 1
2 10 1
[min( ,1)] min( ,1)
( ) ( )
12 2
(1 ) (1 )
1 ln 2 1[ln(1 ) 2arctan ]
2
x x
E X x dx
x f x dx f x dx
xdx dx
x x
x x
注：在求多个随机变量函数的数学期望时 , 若直接用公式计算 , 则需求多重积分 . 故不如先求出随机变量函数的概率分布 , 再用定义计算期望 , 例如
设随机变量 X1, X2, … Xn 独立同分布 , 其密度函数2( )2 , ,
( )0, .
xe xf x
x
试求 的数学期望和方差 .ni
XZ
1
}min{
为常数
（自行完成）
例 7 设是两个相互独立且均服从正态分布 ))2
1(,0( 2N
的随机变量，则 .______)( YXE
解 令 Z=X-Y ，则 E(Z)=0, D(Z)=1, 即 ).1,0(~ NZ
故积分，得2
21 2( ) .
2
z
E X Y z e dz
注：利用正态分布的性质、随机变量函数的期望公式
例 8 一工厂生产的某种设备的寿命 X （年）服从指数分布 , 概率密度函数为
41, 0,
( ) 40, 0,
x
e xf x
x
规定出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换 ,若工厂售出一台设备赢利 100 元 , 调换一台设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备赢利的数学期望 .
解 设出售一台赢利为 Y, 则 Y 的所有可能取值为100,-200. 因
分析：先求出赢利的分布 .
1 1
11 14 4 4
00
{ 1} ( ) ( )
1 1 ,
4
x x
P X f x dx f x dx
e dx e e
Y 的分布律为
kpY 100 -200
1
4e 1
41 e
所以，
64.33)1(200100)( 41
41
eeYE
注： Y 是 X 的函数 .X 是连续型的 , 而 Y 是离散型的 .
考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
1. 协方差、相关系数的计算实际上是随机变量函数的期望的计算，方法见考点二；
X,Y 相互独立 .0XY
若 (X,Y) 服从二维正态分布，则X,Y 相互独立 .0
XY
2. 独立性与相关性的关系
例 9 将一枚硬币重复掷 n 次 , 以 X,Y 分别表示正面向上和反面向上的次数 , 则 X 和 Y 的相关系数为 __.
1)( .21
)( .0)( .1)( DCBA
)(A
解 因 X+Y=n, 即 Y=n-X.
法 1 用定义求：D(Y)=D(n-X)=D(X))(),(),(),( XDYXCovnXXCovYXCov
因此，( , ) ( )
( , ) 1.( ) ( ) ( ) ( )
XY
Cov X Y D XX Y
D X D Y D X D Y
法 2 用性质 (7) ：因 Y=n-X ， Y 是 X 的线性函数 , 且 X 的系数为 -1<0,故 X 和 Y 的相关系数为 -1.
例 10 设 其中,21
31
YXZ )4,0(~),3,1(~ 22 YNX 且 .21
XY
(1) 求 E(Z), D(Z) ；（ 2 ）求 X,Z 的相关系数；（ 3 ） X 与 Z 是否相互独立？为什么？解（ 1 ）由期望和方差的性质有
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 0 .
3 2 3 2 3E Z E X E Y
2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( , )
3 2 3 2
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( , )
3 2 3 2
D Z D X D Y Cov X Y
D X D Y Cov X Y
1 1 1 1 9 16 ( ) ( ) 5 3 4 3.
9 4 3 2XY D X D Y
（ 3 ） X,Y 均服从正态分布 , 但不独立 , 故不能认为 Z服从正态分布，从而二维随机变量 (X,Y) 不一定服从二维正态分布 , 故尽管 X 与 Z 不相关 , X 与 Z仍不一定相互独立 .
（ 2 ）
2
1 1( , ) ( , ) ( , )
3 21 1 1
= 3 ( ) 3 4 0.3 2 2
Cov X Z Cov X X Cov X Y
故 ( , )0.
( ) ( )XY
Cov X Z
D X D Z
注： X 与 Z 均服从正态分布，且 X 与 Z 相互独立，则 (X,Z) 服从二维正态分布 .
例 11.(08) 设随机变量 ~ (0,1), ~ (1,4),X N Y N 且 则,1XY
.1}12{)( .1}12{)(
.1}12{)( .1}12{)(
XYPDXYPC
XYPBXYPA
考查：相关系数的性质：.1)( baXYP1XY 存在 a,b, 使
以及正态分布数字特征的性质 .
解 选 D. 由正态分布有 EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,.1)( baXYP1,XY 故存在 a,b, 使
从而 EY=aEX+b, 得 b=1. 而( ) ( ( )) 0 1
1 .2( ) ( ) 1 4
XY
E XY EXEY E X aX b a
D X D Z
.2a
考研题及练习题
1. 设随机变量 (X,Y) 在区域 D:0<x<1,-x<y<x 内服从均匀分布，求 Z=2X+1 的方差 .( 两种方法 )
答案： E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.
2.(08 ）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布 ,
则 P{X=EX2}______.e21
考查：泊松分布的数字特征及其概率分布 .
参数为 1 的泊松分布的 EX =DX=1, 从而EX2 =DX+(EX)2=2, P{X=EX2}=P{x=2}=1/2e.
3.(04134) 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布 ,
则
.____})({ XDXP e1
4.(041) 设随机变量 X1, X2, … Xn 独立同分布 , 且其
方差为 令 则.02
.1
),()( .2
),()(
.),()( .),()(
2
1
2
1
2
1
2
1
nn
YXCovDn
nYXCovC
YXCovBn
YXCovA
1
1,
n
ii
Y Xn
提示：用方差和协方差的运算性质直接计算即可 ,注意到利用独立性有：
1( , ) 0,( 2,3, )iCov X X i n
)(A
5. （ 0634 ）设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为
-1 a 0 0.2
0 0.1 b 0.2
1 0 0.1 c
Y X -1 0 1
其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 EX=-0.2 ，,5.0}0,0{ XYP 记 Z=X+Y ，求
（ 1 ） a,b,c 的值； （ 2 ） Z 的概率分布；（ 3 ） P(X=Z).
答案 : (1) a=0.2,b=0.1,c=0.1
(2) Zp
-2 -1 0 1 2
0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
(3) P(X=Z)=P(Y=0)=0.2.
6. （ 04134 ）设 A,B 为随机事件 , 且,
21
)(,31
)(,41
)( BAPABPAP
令 1,
0
AX
A
，发生 ,不发生 ,
1,
0
BY
B
，
发生 ,不发生 ,
求 (1) 二维随机变量 (X,Y) 的概率分布； (2) X,Y 的相关系数 .
XY
(3) Z=X2+Y2 的概率分布 .
提示：关键是求出 (X,Y) 的概率分布 .将 (X,Y) 的各取值对转化为随机事件 A,B 表示即可 .
XY
1 0
2 1
3 12
1 1
6 12
0
1
二维随机变量 (X,Y) 的概率分布
);(}1,0{ BAPYXP
{ 1, 0} ( );P X Y P AB { 1, 1} ( );P X Y P AB
{ 0, 0} ( ).P X Y P AB
答案：(1)
( , ) 15(2) .
15( ) ( )XY
Cov X Z
D X D Z
(3) Z=X2+Y2 的概率分布 :
Z
P
2 1 02 1 1
3 4 12
2{ 0} { 0, 0}
3P Z P X Y
1{ 1} { 1, 0} { 0, 1}
4P Z P X Y P X Y
1{ 2} { 1, 1}
12P Z P X Y