定义 设随机试验 e 的基本空间为 Ω , x 和 y 是定义在 Ω...
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定义 设随机试验 E 的基本空间为 Ω , X 和 Y 是定义在 Ω 上的两个随机变量,由它们构成的向量 (X , Y) 叫做二维随机变量.
第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量
一、二维随机变量及其分布函数
二维随机变量 (X , Y) 可以看作是 xoy 面上的随机点,它们的取值是 xoy 面上的一个定点( x , y ). (X , Y) 可能落在 xoy 面上的有限个点处,也可能落在 xoy 面上某个区域内的所有点上.我们把二维随机变量分成离散型和连续型两类.
y
xo
),( yx
定义 设 (X , Y) 为二维随机变量,对任意实数 x , y ,二元函数
称为二维随机变量 (X , Y) 的分布函数,或称为 X 与 Y 的联合分布函数 . .
},{),( yYxXPyxF
注: 1° 规定 { X ≤x , Y ≤ y } 表示事件 { X ≤x } 与 {Y ≤ y } 的积事件.
2° 分布函数 F(x , y) 在点 (x , y) 处的值,就是( X ,Y )的取值落在矩形 -∞< X ≤ x , -∞< Y ≤ y 上的概率.
二维随机变量 (X , Y) 的分布函数 F(x , y) 具有性质:
1°0≤F(x , y) ,且对任意 x , y 有
.
2°F(x , y) 是变量 x 和 y 的单调不减函数.
3°F(x , y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续
4°(X , Y) 落在矩形区域 x1 < X≤x2 , y1 < Y≤y2 上的概率为
.
,0),(,0),( xFyF
1),(,0),( FF
),(),(),(),(},{ 111221222121 yxFyxFyxFyxFyYyxXxP
y
xo
2y
1y
1x 2x
定义 若二维随机变量 (X , Y) 所有可能取的值是有限对或可列无穷多对,则称 (X , Y) 为二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量 (X , Y) 所有可能取值为
记 ( * )
且有
则称( * )式为 (X , Y) 的概率分布或 X 与 Y 的联合分布律.
,2,1,,2,1),,( jiyx ji
,2,1,},{ jiyYxXPp jiij
ji
ijij pp,
1,0
二、二维离散型随机变量
Y
y1 y2 y3 . . .
X
x1 p11 p12 p13 . . .
x2 p21 p22 p23 . . .
x3 p31 p32 p33 . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
例 1 设试验 E 为掷一颗骰子,观察出现的点数,定义两个随机变量如下
X 表示骰子出现的点数 .
试求 X 与 Y 的联合分布律.
.,2
,,1
当出现偶数点时当出现奇数点时
Y
解 (X , Y) 可能取值为 (1,1) 、 (1,2) 、 (2,1) 、 (2,2) 、 (3,1) 、(3,2) 、 (4,1) 、 (4,2) 、 (5,1) 、 (5,2) 、 (6,1) 、 (6,2) .
,6
11
6
1}1|1{}1{}1,1{11 XYPXPYXPp
,06
1}1|2{}1{}2,1{12 XYPXPYXPp
同理
,6
16251423122 ppppp
06152413221 ppppp
YX 1 2 1 1 / 6 0 2 0 1 / 6 3 1 / 6 0 4 0 1 / 6 5 1 / 6 0 6 0 1 / 6
二维离散型随机变量 (X , Y) 的分布函数为 .
yyxx
ij
j
i
pyxF ),(
三、二维连续型随机变量 定义 设二维随机变量 (X , Y) 的分布函数为 F(x,y) ,
如果存在非负函数 f(x,y) ,使对任意 x,y 有
.
则称 (X , Y) 为二维连续型随机变量,称 f(x,y) 为 (X , Y) 的概率密度或 X 、Y 的联合概率密度.
x yyxyxfyxF dd),(),(
x yvuvuf dd),(
0),( yxf
1dd),( yxyxf
性质 1 .
性质 2 .
性质 3 在 f(x,y) 的连续点处有 .
性质 4 设 G 为 xoy 面上一个区域,点 (X , Y) 落在 G 内的概
率为 .
yx
yxFyxf
),(
),(2
G
yxyxfGYXP dd),(}),{(
例 2 设二维随机变量 (X , Y) 的概率密度为
( 1 )求 k ;( 2 )求分布函数 F(x,y) ;( 3 )求 P
{X > Y} .
.,0
,0,0,),(
)32(
其它yxke
yxfyx
解 ( 1 )由 .而
1dd),( yxyxf
0 0
)32( dddd),( yxkeyxyxf yx
6dd
0
3
0
2 kyexek yx
则有 k =6 .
( 2 )当 x > 0 , y > 0 时
.
对于其它点 (x , y) ,由于 f (x,y)=0 ,则 F(x,y)=0 .
于是
x y yxx yyxeyxyxfyxF
0 0
)32( dd6dd),(),(
)1)(1( 32 yx ee
.,0
,0,0),1)(1(),(
32
其它yxee
yxFyx
y
xo
1G
( 3 )以 G 表示区域 {(x,y)|x > y} ,则有 }),{(}{ GYXPYXP
G G
yxyxfyxyxf1
dd),(dd),(
5
3d6d
0
)32(
0
yexx yx
四、均匀分布和正态分布 1 .均匀分布
设 D 为 xoy 面上的有界区域,其面积为 S ,如果二维随机变量 (X ,Y) 具
有概率密度
则称 (X , Y) 在区域 D 上服从均匀分布.
.,0
,),(,1
),(其它
DyxSyxf
例 3 设二维随机变量 (X , Y) 在 上服从均匀分布,求:
( 1 ) (X , Y) 的概率密度;
( 2 ) .
}10,0|),{( xxyyxD
4
30,
4
3
2
1YXP
解 ( 1 )如图,区域 D 的面积为 ,因此
(X , Y) 的密度为 2
1S
.,0
,),(,2),(
其它Dyx
yxf4
3
y
xo1G
2G
2
1
4
3 1
( 2 )记区域 ,
,
4
30,
4
3
2
1),( yxyxG
4
3
2
1,0),(1 xxyyxG
4
3
2
1,
4
3),(2 xyxyxG .
则有
.
}),{(4
30,
4
3
2
1GYXPYXP
16
5dd0dd2dd),(
21
GGG
yxyxyxyxf
2 .正态分布
设二维随机变量 (X , Y) 的概率密度为
,
22
22
21
2121
12
)())((2
)(
)1(2
1
221 12
1),(
yyxx
eyxf
yx ,
其中 均为常数,且 ,则称 (X , Y) 服从参数为 的二维正态分布,记作 (X , Y) ~ .
,,,, 2121 11,0,0 21 ,,,, 2121
),,,,( 22
2121 N
例 4 设二维随机变量 (X , Y) 的概率密度为
,求 .
yxeyxfyx
,,2
1),(
)(2
1
2
222
}|),{( 222 yxyxG }){}(),{( 222 YXPGYXP
解
.
G
yxyxfGYXP dd),(}),{(
rre
yxe
r
yx
G
dθd2
1
dd2
1
0
22
02
)(2
1
2
2
2
222
2
1
1
e
第二节 边缘分布
一、二维随机变量 (X , Y) 的边缘分布函数
设 (X , Y) 的分布函数为 F(x , y) ,关于 X 的边缘分布函数为
.
关于 Y 的边缘分布函数为
.
),(},{}{)( xFYxXPxXPxFX ),(lim yxFy
),(lim),()( yxFyFyFx
Y
二、二维离散型随机变量的边缘分布律 设 (X , Y) 的联合分布律为
,
则
),2,1,(},{ jipyYxXP ijji
},{}{ YxXPxXP ii
11
},{})(,{j
jij
ji yYxXPyYxXP
11
},{j
iijj
ji ppyYxXP .
),2,1(}{1
ippxXP
jijii
即关于 X 的边缘分布律为
,
关于 Y 的边缘分布律为
.),2,1(}{1
jppyYP
iijjj
例 1 设 (X , Y) 的联合分布律为
Y
X 1 2 1 1 / 6 0 2 0 1 / 6 3 1 / 6 0 4 0 1 / 6 5 1 / 6 0 6 0 1 / 6
求关于 X 、 Y 的边缘分布律.
6
10
6
1}1{ 12111 pppXP解 ,
,
… … …
,
6
1
6
10}2{ 22212 pppXP
6
1
6
10}6{ 62616 pppXP
即关于 X 的边缘分布律为
X 1 2 3 4 5 6
P 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6
2
10
6
10
6
10
6
1}1{ 6151413121111 pppppppYP
2
1
6
10
6
10
6
10}2{ 6252423222122 pppppppYP
,
,
即关于 Y 的边缘分布律为
Y 1 2
P 1 / 2 1 / 2
例 2 设 (X , Y) 的联合分布律为
X 1 2 3 4 Y 的边缘分布
Y
1 1 / 4 1 / 8 1 / 12 1 / 16 25 / 48
2 0 1 / 8 1 / 12 1 / 16 13 / 48
3 0 0 1 / 12 1 / 16 7 / 48
4 0 0 0 1 / 16 3 / 48
X 的边缘分布律 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1
X 的分布律
X 1 2 3 4
P 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4
Y 的分布律
X 1 2 3 4
P 25 / 48 13 / 48 7 / 48 3 / 48
三、二维连续型随机变量的边缘概率密度 设 (X , Y) 的联合概率密度为 f (x, y) ,则关于 X 的边缘分布函数为
,
x
X xyyxfxFxF dd),(),()(
关于 X 的边缘概率密度为
. )(d),()(
xyyxfxf X
y
xo
1
2xy
x
D
例 3 设 (X , Y) 在由曲线 y=x2 与 y=x 围成的区域 D 上服从均匀分布,求关于 X 、 Y 的边缘密度.
同理,关于 Y 的边缘概率密度为
. )(d),()(
yxyxfyfY
解 如图 D 的面积为
.
因此 (X , Y) 的概率密度为6
1d)(
1
0
2 xxxS
.,0
,),(,6),(
其它Dyx
yxf
当 0 < x < 1 时, .
当 x≤0 或 x ≥1 时, .
)(6d6d),()( 22
xxyyyxfxfx
xX
0d),()( yyxfxf X
因此
.,0
,10),(6)(
2
其它xxx
xf X
同理
.,0
,10),(6)(
其它yyy
yfY
练习 1 .设 (X , Y) 在由 x=0 , y=0 , x+y=1 围成的区域上服从均匀分布,求关于 X 、 Y 的边缘分布.
.,0
,10),1(2)(
.,0
,10),1(2)(
其它其它yy
yfxx
xf YX
2 .设 (X , Y) ~ ,即
),,,,( 22
2121 N
22
22
21
2121
21
2221
)())((2
)(
)1(2
1exp
12
1),(
yyxxyxf
),( yx
关于 X 、 Y 的边缘密度分别为
即 , .
yeyf
xexf
x
Y
x
X
,2
1)(
,2
1)(
22
22
21
21
2
)(
2
2
)(
1
),(~ 211 NX ),(~ 2
22 NY
第四节 随机变量的相互独立性 定义 设 (X , Y) 是二维随机变量,若 X 与 Y 的联合分布等于边缘分布的乘积,则称 X 与 Y 相互独立.
对于二维离散型随机变量 (X , Y) , X 与 Y 相互独立的充要条件是联合分布律等于边缘分布律的乘积,即
若 (X , Y) 的分布函数为 F(x , y) ,关于 X 、 Y 的边缘分布函数为 FX(x) 、FY(y) ,则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 .)()(),( yFxFyxF YX
,2,1
,2,1}{}{},{
j
iyYPxXPyYxXP jiji .
对于二维连续型随机变量 (X , Y) , X 与 Y 相互独立的充要条件是联合概率密度等于边缘概率密度的乘积,即
y
xyfxfyxf YX )()(),(
定理 设随机变量 X 与 Y 相互独立,则
( 1 )对任意常数 a , b , c , d ,事件 与 相互独立;
( 2 )对任意常数 a , b , c , d ,随机变量 与 相互独立;
( 3 ) X2 与 Y2 相互独立;
( 4 )对任意连续函数 h , g ,随机变量 与 相互独立.
}{ bXa }{ dYc
baX dcY
)(Xh )(Yg
例 1 第二节例 1 中的随机变量 X 与 Y 不相互独立,因为 , 而 ,
, .
6
111 p
6
11 p
1111 ppp2
11 p
例 2 设二维随机变量 (X , Y) 的概率密度为
问 X 与 Y 是否相互独立?
.,0
,0,0,),(
)(
其它yxxe
yxfyx
,0,0
,0,d),()(
x
xxeyyxfxf
x
X 解
对任意 x , y 有 ,即 X 与 Y 相互独立.
.0,0
,0,d),()(
y
yexyxfyf
y
Y
)()(),( yfxfyxf YX
,,0
,10,1)(
其它x
xf X
0,0
,0,)(
y
yeyf
y
Y 例 3 设 X 与 Y 独立, , ,
求 .
20,
2
10 YXP
解 }20{2
1020,
2
10
YPXPYXP
2
1
0
22
02
1
0
2
0)1(
2
1dd1d)(d)( eyexyyfxxf y
YX ..
例 4 设 (X , Y) ~ ,证明 X 与 Y 相互独立的充要条件是 .
),,,,( 22
2121 N
0
证:
22
22
21
2121
21
2
)())((2
)(
)1(2
1
221 12
1),(
yyxx
eyxf
1° 充分性:设 ,则有
,
0
22
22
21
21
2
)(
2
)(
212
1),(
yx
eyxf
而
,
于是 ,即 X 与 Y 相互独立.
22
22
21
21
2
)(
2
2
)(
1 2
1)(,
2
1)(
y
Y
x
X eyfexf
)()(),( yfxfyxf YX
2° 必要性:设 X 与 Y 相互独立,即对任意 x , y 有 ,
即
= ,
特别令 , 则得
,
从而有 .
)()(),( yfxfyxf YX
22
22
21
2121
21
2
)())((2
)(
)1(2
1
221 12
1
yyxx
e
22
22
21
21
2
)(
2
2
)(
1 2
1
2
1
yx
ee
21 , yx
212
212
1
12
1
0
第五节 两个随机变量的函数的分布 定义 设 ( X,Y ) 是二维随机变量 , z = f (x, y) 是二元函数,若当 (X,Y) 取值 (x, y) 时,随机变量 Z 取值为 z = f (x, y) ,则称 Z 是 X 、 Y 的函数,记作 Z = f (X,Y) .
一、 的分布 YXZ 例 1 设 相互独立, , ,求 的分布. )(~ 1X )(~ 2Y YXZ YX ,
解 的可取值为 0, 1, 2,… ,对任意正整数 k ,有YXZ
)!(
e
!
e
}{}{},{
},{}{}{
212
0
1
0 0
0
iki
ikYPiXPikYiXP
ikYiXPkYXPkZP
ikk
i
i
k
i
k
i
k
i
,e!
)(
!
1
)!(!
!e
)(21
021
)(
21
21
k
kiki
k
k
k
i
iki
)(~ 21 YXZ即 .
设二维连续型随机变量 (X,Y) 的概率密度为 f ( x, y), 则 Z = X+Y 的分布函数
为
由于 ,
所以
,
.dd),(
dd),(
}{)(
xyyxf
yxyxf
zZPzF
xz
zyx
Z
zxzuxuxfyyxf xuy d),(d),(
xuxuxfzFz
Z dd),()(
假设uxxuxf
zdd),(
y
zyx
z xo
从而得到 的概率密度为
.
同理可得
.
YXZ
)(d),()(
zxxzxfzfZ
)(d),()(
zyyyzfzfZ
当 X 与 Y 相互独立时,有
,
或 .
dy)()()( yfyzfzf YXZ
xxzfxfzf YXZ )d()()(
例 2 设 X 、 Y 相互独立,均服从标准正态分布,求 Z = X + Y 的概率密度.
,,e2
1)( 2
2
xxfx
X 解
即 .
,,e2
1)( 2
2
yyfy
Y
.e22
1e
2
1
dee2
1dee
2
1
de2
1
2
1d)()()(
2
22
2
22
2
22
)2(24
4)
2(
4
2
)(
2
zz
tzz
xz
xzx
YXYXZ
tx
xexxzfxfffzf
))2(,0(~ 2NYXZ
可以证明,若 X 与 Y 相互独立,且均服从正态分布,则 Z = X + Y 仍服从正态分布. 例 3 设 X 与 Y 相互独立,且都在区间 (0, 1) 上服从均匀分布,求 Z = X + Y 的概率密度.
解
由卷积公式有
,,0
,10,1)(
其它x
xf X
.,0
,10,1)(
其它y
yfY
.d)(
d)(d)()()(
1
1
0
z
z X
XYXZ
ttf
yyzfyyfyzfzf
yzt
(1) 当 时, ,此时 .
(2) 当 时, ,此时 .
(3) 当 2 时, ,此时 .
(4) 当 时, ,此时 .
0z 01 z 0)( zfZ
10 z 01 z ztzfz
Z 0d1)(
z1 110 z ztzfzZ
2d1)(1
1
2z 11 z 0)( zfZ
因此
.02,0
,21,2
,10,
)(
zz
zz
zz
zfZ
或
例 4 设随机变量 X 和 Y 相互独立,并且都服从正
态分布 ,求 的分布.),0( 2N )0( 22 YXZ
xxfx
X ,e2
1)(
2
2
2
yyfy
Y ,e2
1)(
2
2
2
解
2
22
22
e2
1)()(),(
yx
YX yfxfyxf
设 的分布函数为 ,当 时,有22 YXZ )(zFZ 0z
.e1
de1
d2
1
dde2
1
dd),(
}{}{)(
2
2
2
2
22
2
22
22
2
0
22
2
0
22
22
z
zr
zyx
yx
zyx
Z
rr
yx
yxyxf
zYXPzZPzF
当 时, .0z 0)(}{)( 22 PzYXPzFZ
综上
.0,0
,0,e1)(2
2
2
z
zzF
z
Z
从而得到 Z 的密度为
.0,0
,0,e)(2
2
22
z
zz
zf
z
Z
二、 及 的分布),max( YXM ),min( YXN 设 X 与 Y 相互独立,分布函数分别为 、 .
则
)(xFX )(yFY
.)()(
}{}{
},{}{)(
zFzF
zYPzXP
zYzXPzMPzF
YZ
M
.)](1)][(1[1
}]{1}][{1[1
}{}{1
},{1
}{1}{)(
zFzF
zYPzXP
zYPzXP
zYzXP
zNPzNPzF
YX
N
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