§1.2 概率

随机事件A发生可能性大小的数值度量，称为A的概率。

1

设 随机试验E 具有下列特点： 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生

则称 E 为 古典概型

古典概型中概率的计算：

记 N = Ω中包含的基本事件总数

M A=组成的基本事件个数

( ) /P A M N=则

古典概率

概率的 古典定义

2

加法原理 完成一件事情有n 类方法，第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有 ∑

=

n

iim

1

种不同的方法.

乘法原理 完成一件事情有n 个步骤，第 i 个 步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有 ∏

=

n

iim

1

种不同的方法.

组合记数 (复习)

3

排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有

( 1)( 2) ( 1)mnP n n n n m= − − − +

全排列 !nPnn =

可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有

mn种.

4

组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有

!!( )!

n nm m n m

= −

1n rr+ −

重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有

0! 1 10n

= =

和

5

bam +≤例 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率 mkak ≤≤ ,

bam +≤

)1()1)(()( +−+−++== + mbababaAn mba Ω

解 （1）不放回情形 E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复 m 次

: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则

)!(!

)!(!

)!(!!

kmbb

kaa

kmkm

AACn kmb

ka

kmA

+−⋅

−⋅

−=

= −

6

又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色 m

baCn +=1Ω1:

记事件 A 为m个球中有k个白球，则 km

bkaA CCn −=

不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同.

则 m

ba

kmb

ka

km

AAACAP+

−

=)( mkak ≤≤ ,

因此 m

ba

kmb

ka

CCCAP+

−

=)( mkak ≤≤ , 称超几 何分布

7

（2）放回情形

E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次

mban )(2

+=Ω2:

记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则

m

kmkkm

babaCBP

)()(

+=

− kmkkm ba

bba

aC−

+

+=

baap+

=记

),min(,,2,1)1()( makppCBP kmkkm =−= −

称二项分布 8

例(球入盒子模型)设有 k 个不同的球, 每个

球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设

每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: （1）某指定的 k 个盒子中各有一球；

（4）恰有 k 个盒子中各有一球； （3）某指定的一个盒子没有球；

（5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.

（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) m k≤

k N≤

9

解 kn N=设 (1) ~ (6)的各事件分别为 1 6A A→

则 1

!Am k= 11

!( ) Ak

m kP An N

= =

4!( )

kN

k

C kP AN

=

3( 1)( )

k

k

NP AN−

=

2( 1)( )

m k mk

k

C NP AN

−−=

5!( )

k kN

k

N C kP AN−

= 41 ( )P A= −

3( 1)k

Am N= −2

( 1)m k mA km C N −= −

4!k

A Nm C k=

5!k k

A Nm N C k= −

6!k

A Nm C k= 6 4( ) ( )P A P A= 10

5 , 4 , 例有双不同型号的鞋子从中任取只求

( ) ; 4 1 只鞋恰好为两双取出的

: 下列各事件的概率

( ) ; 4 2 只鞋都是不同型号的取出的

( ) . 4 3 双只鞋恰好有两只配成一取出的

解 , 4 A 只鞋恰好为两双取出的设 =

, 4 B 只鞋都是不同型号的取出的=

. 4 C 双只鞋恰好有两只配成一取出的=

( ) , 4 10 5 取法总数为只中任取只双鞋子从 . 410C

11

为中所含有的基本事件数A . 25C

为中所含有的基本事件数B . 12

12

12

12

45 CCCCC

为中所含有的基本事件数C . 12

12

24

22

15 CCCCC

于是可得

( ) ( )AP 1 410

25

CC

=

123478910

1245

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

= . 211

=

( ) ( )BP 2 410

12

12

12

12

45

CCCCCC

= 21080

= . 218

=

( ) ( )CP 3 410

12

12

24

22

15

CCCCCC

= 210120

= . 74

=12

例 由 n 个人组成的团队参加团体操训

练，其中甲乙两人是好朋友，若

(1) n 个人任意排成一列；或

(2) n 个人任意围成一圈，

求甲乙两人之间恰有 k 个人（k < n-1）的概率。

13

(1)几何概型 设Ω为试验E的样本空间，若 ①试验Ω的样本空间是直线上某个区间，或者面、

空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; ②每个样本点发生具有等可能性 ; 则称E为几何概型。 (2)几何概型概率的定义

设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随

机点M，且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:

几何概型

( )P(A)( )

m Dm

=Ω

( ) ( )m m DΩ Ω

Ω

注：及在是区间时，表示相应的长度；

在是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积。14

例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于 十分钟的概率.

9点 10点

10分钟

61

6010)( ==AP

15

例 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.

解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 y < 24

设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头．

16

x

y

24

24

y = x 224=ΩS

( )22 222321

+=AS

1207.01)( =−=ΩS

SAP A

240,240),( <≤<≤=Ω yxyx( , ) ( , ) ,

1, 2A x y x y

x y x y x y= ∈Ω

≤ ≤ + ≤ ≤ +

17

“概率为 1 的事件不一定发生”

如图，设试验E 为“ 随机地向边

0 1 x

Y

1 长为1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”

11111)( 2

121

=×

×+×=

+=

正方形

蓝三角形黄三角形

SSS

AP

由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.

)(AP 求

18

设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，

频率

nmfn =则称 为事件 A 发生的 频率

19

频率的性质 0 ( ) 1nf A≤ ≤

1)( =Ωnf 事件 A, B互斥，则

)()()( BfAfBAf nnn +=∪

可推广到有限个两两互斥事件的和事件

非负性 归一性

可加性

稳定性 某一定数

)()(lim APAfnn=

∞→

20

试验者 抛币次数n “正面向上”次数m 频率

De Morgan 2084 1061 0.518

Bufen 4040 2048 0.5069

Pearson 12000 6019 0.5016

Pearson 24000 12012 0.5005

( )nf A

抛掷钱币试验记录 频率稳定性的实例

21

( )Afn , 的频率正面向上出现从上表中可以看出

, 次但总的趋势是随着试验的不同而变动虽然随 n

. 5.0 这个数值上数的增加而逐渐稳定在

可见, 在大量重复的试验中, 随机事件出现

的频率具有稳定性. 即通常所说的统计规律性.

22

例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：

A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006

23

概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次

试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).

24

设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：

非负性： , ( ) 0A P A∀ ⊂ Ω ≥ 归一性： ( ) 1P Ω =

11

( )i iii

P A P A∞ ∞

==

=

∑

可列可加性：

其中 为两两互斥事件 1 2, ,A A

概率的公理化定义

25

概率的性质 ( ) 0P ∅ =

( ) 1 ( )P A P A= − ( ) 1P A⇒ ≤

有限可加性: 设 nAAA ,, 21 两两互斥

∑==

=

n

ii

n

ii APAP

11)(

若 A B⊂ ( ) ( ) ( )P B A P B P A⇒ − = −( ) ( )P A P B⇒ ≤

26

对任意两个事件A, B, 有

)()()( ABPBPABP −=−

B

A B=AB+(B – A)

P(B)=P(AB)+

P(B – AB)

B - AB

AB

27

加法公式：对任意两个事件A, B, 有

)()()()( ABPBPAPBAP −+=∪)()()( BPAPBAP +≤∪

推广：

)()()()(

)()()()(

ABCPBCPACPABP

CPBPAPCBAP

+−−−

++=∪∪

28

)()1()(

)()()(

211

1

111

nn

n

nkjikji

njiji

n

ii

n

ii

AAAPAAAP

AAPAPAP

−

≤<<≤

≤<≤==

−+++

+−=

∑

∑∑

一般：

右端共有 项. 12 −n

29

例 “球入盒子模型”的应用

生物系二年级有 n 个人，求至少有两 人生日相同（设为事件A ) 的概率.

30

解

为 n 个人的生日均不相同,这相当于 A

本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子”

若 n = 64，

每个盒子至多有一个球. 365 !

( )365

n

n

C nP A

⋅= 365 !

( ) 1 ( ) 1 .365

n

n

C nP A P A

⋅⇒ = − = −

( ) 0.997.P A⇒ ≈

31

例 某市发行A,B,C三种报纸。已知在市民中订阅A报的有45%，订阅B报道有35%，订阅C报道有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A,B,C报的有3%，试求下列事件的概率：

(1)只订A报； (2)只订A及B报； (3)至少订一种报纸； (4)不订任何报纸； (5)恰好订两种报纸； (6)恰好订一种报纸； (7)至多订一种报纸。 32

小结

概率的公理化定义及概率的性质

事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发

生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率

是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.

它介于0与1之间.

古典概型的定义 古典概率的求法

33