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BINOMIO DE NEWTON

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Sobre una mesa hay 2 bandejas en cada una hay una carta con la letra X y la otra con la letra A. Un niño debe elegir una carta de cada bandeja.

X A X A

X X

X A

A X

A A

X2

XA

AX

A2

X2 + 2XA + A2

3 TERMIMOS

(X + A)2 cuadrado de la suma

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Sobre una mesa hay 3 bandejas y en cada uno hay una tarjeta con la letra X y en la otra con la letra A. Un niño debe elegir una carta de cada

bandeja.

X A X A X A

X X X

X A A

X X A

X A X

A A X

A X X

A X A

A A A

X3

XA2

X2A

X2A

XA2

X2A

XA2

A3

X3 + 3X2A + 3XA2 + A3

4 TERMIMOS

(X + A)3

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    El producto notable , sabemos que(a+b)² = a² + 2ab + b².    Si quisieramos calcular (a + b)³, podemos escribir:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    Si quisieramos calcular (a + b)4 , podemos seguir el mismo procedimiento :

(a + b)4 = (a + b)3.(a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3).(a+b)= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Del mismo modo, podemos calcular la quinta y sexta potencia y, en general , para obtener el desarrollo de: (a+b)n a partir del anterior, o sea, de (a+b) n - 1 .    Sin embargo, cuando el valor de n es grande, este proceso de cálculo gradual es muy laborioso.    Hay un método para desarrollar la enésima potencia de un binomio , conocido como binomio de Newton (Isaac Newton, matemático y físico inglês, 1642 - 1727). Para este método que usted necesita saber cuáles son los coeficientes binomiales , algunas de sus propiedades y el triángulo de Pascal.

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   La disposición ordenada de los números binomiales , como se muestra al lado, que se llama el Triângulo de Pascal

Substituyendo cada número binomial por su respectivo

valor, tenemos:

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Como vimos, la potência de forma              , en que a,                             , é llamada binômio de Newton. :

•cuando n = 0 tenemos

                    

•cuando n = 1 tenemos

                              

•cuando n = 2 tenemos

                                             •cuando n = 3 tenemos

                                                                                                       

                    

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De modo general, cuando un exponente n, podemos escribir la fórmula de desenvolvimento de binómio de Newton:

Tenga en cuenta que los exponentes dex va disminuyendo la unidad , que van desde n hasta 0,

Los exponnentes de a van aumentando de unidade en unidad, variando de 0 hasta n.

El desarrollo de (x + a)n tiene      n + 1 terminos. 

Ejemplo: (2x – 3y)10 tiene 11 termimos

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En el desarrollo del binomio (x – a) n , Los signos de cada término del desarrollo se alternan , es decir, los términos de orden incluso (2o, 4o, 6o

…) son negativos , y el orden impar(1o, 3o, 5o…) son positivos.

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Si se requiere la suma de coeficientes numéricos el desarrollo de un binómio, no es necesario hacer todo el desarrollo por Newton binomial, el hecho de saber el siguiente tip :-cambiar cualquier letra del binomio por 1 - calcular la cantidad que será dentro de los paréntesis , y listo , simplemente elevarla a n .

Obtenemos la expresión:1.16x4.1 + 4.8x3.1 + 6.4x2.1 + 4.2x . 1 + 1.1.1

16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

En el desarrollo anterior, la suma de los coeficientes es 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), ahora usando la sugerencia dada :(2x+1)4

(2.1 + 1)4 = 34 = 81

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Es necesario desarrollar todos los términos de un binomio para encontrar un término en particular

La formación de cada término obedece a una ley.

T 1 = C n,0 . a0. x n-0

T 2 = C n,1 . a1. x n-1

T 3 = C n,2 . a2. x n-2

T 4 = C n,3 . a3. x n-3

T p+1 = C n,p . ap. x n-p

T n + 1 = C n,n . an. x n-n

En cada termino de (x + a) n, o coeficiente de Cn,p, o exponente de a en p o exponente de x en n-p

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Termino general de desarrollo de:

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Determine el 7.° termino del binómio (2x + 1)9

Vamos aplicar la fórmula del término generalde (x + a)n , donde x = 2x , a = 1 y n = 9. Como

queremos el séptimo término, hacemos p = 6, la fórmuladel término general, efetuamos los cálculos indicados.

Entonces tenemos :

T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6 . (1)6 = 9! /[(9–6)! . 6!] .(2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Por tanto el séptimo término buscado es 672x3.

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Calcule el coeficiente del termino en x9 en el desarrollo de de (x2 – 2x)6.

Tp+1 = C6,p . (x2)6–p . (-2x)p =

C6,p .x12-2p . (-2x) p = C6,p .x12-2p . (-2) p .x p = Agrupando las potências de x, tenemos: Tp+1 = C 6,p. x 12-2p+p. (-2)p

Tp+1= C 6,p . x 12-p. (-2)p Para que el exponente de x sea igual a 9, debemos tener 12 – p =9, o sea, p =3P = 3 T3+1= C6,3. x 12 -3 . (-2)3

T4= 20. x9.(-8) T4 = -160x9

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Determine el sexto termino de desarrollo de (x + 2)6.

T5+1 = C 6,5 . x6-5 . 25

T6 = 6 . x. 32

T6 = 192x

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¿Cuál es el plazo promedio de desarrollo(2x + 3y)8 ?

Tenemos que = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que el desarrollo del binómio tendrá 9 términos, porque n = 8.

Ahora siendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 los términos de desarrollo de binómio, el término medio será o T5 (quinto termo). Por lo tanto, nuestro

problema se reduce Si el calculo de T5 .

Para esto, basta hacer p = 4 en la fórmula del término general y no surjan los cálculos. Teremos:

T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4

Haciendo:T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que él termino médio buscado.