vestibular professor binomio newton

7/23/2019 Vestibular Professor Binomio Newton

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MATEMÁTICA PROFESSOR TENANI www.professortenani.com.br

149

BINÔMIO DE

NEWTON

NÚMEROS BINOMIAIS

Dados os números naturais, n e p , chamamos númerobinomial ao número.

!

( )! !

n n

p n p P

com n p

Dizemos que n é o numerador e p é o denominador.

Obs.

,n p

n

C p

Consequências:

10

n

n

1

n

n n

1n

n

n

Propriedade

n n

p n p

Chamamosn

p

en

n p

de números binomiais

complementares.

RELAÇÃO DE STIFEL

1 1

1

n n n

p p p

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) (UEL-PR) A solução da equação

1

4 7

1 2

2

n

n

é um número

múltiplo de:

a)

11

b)

9

c)

7

d)

5

e)

6

02) (MACK-SP) Os números binomiais2

3

k

e2

5

k

são

completares, k e 3k . Então k vale:

a)

6

b)

15

c)

8

d) 5

e)

10

03)

(FUVEST-SP) Lembrando que

!

! !

n n

p p n p

,

a)

Calcule6

4

b)

Simplifique a fração

12

4

12

5

c)

Determine os inteiros n e p de modo que

1 2

1 2 3

n n n

p p p

.




150

TRIÂNGULO DE PASCAL

01

0

1 11 1

0 1

2 2 2 1 2 10 1 2

3 3 3 31 3 3 1

0 1 2 3

4 4 4 4 41 4 6 4 1

0 1 2 3 4

PropriedadesI)

Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes dos

extremos são complementares.

5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

5 51 10 10 1

II)

A soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma

linha é igual ao binomial situado imediatamente do

binomial da direita.

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

III)

A soma de todos os binomiais da linha n é 2n

0

1

2

3

4

01 2 1

0

1 11 1 2 2

0 1

2 2 21 2 1 2 4

0 1 2

3 3 3 31 3 3 1 2 8

0 1 2 3

4 4 4 4 41 3 6 4 1 2 16

0 1 2 3 4

Genericamente, temos:

... 20 1 2

nn n n n

n

ou 2

n

n

p o

n

p


04)

(UNIFOR-CE) Por uma das propriedades do triângulo de

Pascal, a soma50 50 51 52

20 21 22 23

é igual a:

a)

53

23

b)

52

21

c)

52

22

d)

51

21

e)

51

22

05)

(UEMS) O somatório10 11

k o k

é igual a:

a)

34.572b)

34.571

c) 2.048

d)

2.047

e)

2.045

06)

(MACK-SP) A partir de um grupo de 10 pessoas, devemos

formar k comissões de pelo menos dois membros, sendo

que em todas deve aparecer uma determinada pessoa A

do grupo. Então k vale:

a)

1024

b)

512

c)

216

d)

511e)

1023




151

BINÔMIO DE NEWTON

0 1 1 0... ...

0 1

n n n n p p nn n n n

x a x a x a x a x a p n

ou

n

n n p p

p o

n x a x a

p

Obs.

(I)

Possui 1n termos.

(II) A soma dos expoentes de um termo é o grau do binômio.

(III)

O expoente do primeiro termos decresce e do segundo

cresce.

(IV)

Os coeficientes do desenvolvimento de n

x a são os

elementos da linha n do triângulo de Pascal.


07)

(PUC-PR) O valor da expressão4 3 2 2 3 4

103 4.103 .3 6.103 .3 4.103.3 3 é igual a:

a)

1410

b)

1210

c)

1010

d)

810

e)

610

08)

(UNB) A expressão 17

17

17

0

1712 2 2

2

k k

k k

é

equivalente a :

a)

17

17

1 2 22

b)

17

17

12

2

c)

1

d)

17

17

2

2

09)

(ITA-SP) O valor de10 8 2 6 4 4 6 2 8 10

5 sec 10 sec 10 sec 5 sec sectg x tg x x tg x x tg x x tg x

, para todo 0,2

x

, é:

a) 1

b)

2

2

sec

(1 )

x

sen x

c)

2sec tgx

d) 1

e)

Zero

TERMO GERAL.Essa fórmula nos permite encontrar o termos do

desenvolvimento de certa ordem conhecida.

1

n p p

p

nT x a

p


10)

(UFPA) No desenvolvimento do binômio

5

2

3

1 x

x

, qual

o termo independente de x ?

a) 2º

b)

3º

c)

4º

d)

5º

e)

6º

11)

(MACK-SP) No desenvolvimento 2 3

t

x x

, t os

coeficientes de binomiais do quarto e do décimo terceiro

termo são iguais. Então, o termo independente de x é o :

a) Décimo

b)

Décimo primeiro

c) Nono

d)

Décimo segundo

e)

Oitavo




152

EXERCÍCIOS PROPOSTOS.

1)

(FMABC-SP) O número de raízes da equação2

12 12

2 x x

é:

a)

0

b)

1

c)

2

d)

3

e) Maior que 3.

2) (PUC-RS) Sendo18 18

4k k

, então !k vale:

a)

120

b) 720

c)

840

d)

5040

e)

40320

3)

(UNIRIO-RJ) Calcule o valor de

...0 1 2 3 1

n n n n n n

n n

, sendo n ímpar;

justifique sua resposta.

4)

(UFSM-RS) Se6 6 6

...0 2 6

x

e

... 2551 2

y y y y

y

, então x

y

vale:

a)

5

b) 6

c)

8

d)

7

e)

9

5)

(ITA-SP) Dadas as afirmações:

.

... 20 1 2 1

nn n n n n

n n

, para n .

I.

, , 0,1, 2,...,n n

n k nk n k

.

II.

Existem mais possibilidades de escolher 44 números

diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que

escolher 6 números diferentes entre os inteiros de 1 a 50.

Conclui-se que:

a)

Todas são verdadeiras.

b)

Apenas (I) e (II) são verdadeiras.

c) Apenas (I) é verdadeira.

d)

Apenas (II) é verdadeira.

e)

Apenas (II) e (III) são verdadeiras.

6) (UFSE) A soma5 5 6 7

2 3 4 5

é:

a) 6

5

b) 7

6

c) 8

6

d)

8

4

e)

8

5

7) (UCSAL-BA) Se um número natural n é tal que

2

10 10 11 12

5 6 7 2n

, então n é:

a) Igual a 6 ou -6.

b)

Um número par.

c)

Um número quadrado perfeito.

d)

Um número maior que 10.

e)

Divisor de 15.

8)

(UNIFOR-CE) A soma30 30 30

2.8 9 10

é igual a:

a) 30

11

b) 31

9

c) 31

10

d)

32

9

e)

32

10

9)

(UFPR) Sejam n e p números inteiros positivos, tais que

1n p . Então,1 1

1 1

n n n

p p p

é igual a:

a)

1

1

n

p

b)

n

p

c)

1n

p

d)

1

1

n

p

e)

1

1

n

p




153

10) (PUC-SP) Se1

101

m

p

e 55m

m p

, então1m

p

é

igual a:

a) 40

b)

45

c)

50

d)

55

e)

60

11)

(UNIFOR-CE) Se o desenvolvimento do binômio 4( )ax b ,

com a e b reais, é 4 3 216 96 216 216 81 x x x x ,

então os números a e b são tais que:

a)

b é um número inteiro.

b)

3b é um número par.

c) a b

d) 29a

e)

. 6a b

12)

(PUC-MG) No desenvolvimento de10( 1) x , o termo de

grau três tem coeficiente:

a)

80

b)

95

c) 100

d)

120

e)

135

13)

(UFSE) No desenvolvimento do binômio 6( ) x a ,

segundo as potências decrescentes de x , o termo central

é 3540 x . Nessas condições o valor de a é:

a)

-3

b) -2

c)

2

d) 3

e)

4

14) (UCSAL-BA) Dos coeficientes dos termos do

desenvolvimento do binômio

8

12 x

x

, o maior é:

a)

512

b)

1024

c) 1120

d)

1792

e)

3548

15)

(UEPI) O coeficiente de 3 x no desenvolvimento de

5

13

3

x

é:

a)

15

b)

18

c)

27

d)

30

16)

(UFMT) O coeficiente do 4º termo do desenvolvimento de6(2 3 ) x y , segundo as potências decrescentes de x , é:

a)

-4230

b) 4230

c)

4320

d)

-4300

e)

-4320

17) (FMJ-SP) No desenvolvimento do binômio

150

3

2

12 x

x

segundo potências decrescentes de x, o termo

independente de x é o:

a) 71º

b)

85º

c) 91º

d)

100º

e)

121º

18)

(UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do

desenvolvimento de 11( ) x a igual a 51386 x , o valor de

a deve ser:

a)

63

b)

32 6

c)

10

d) 3

e) 310

19)

(FURG-RS) O termo independente de x no

desenvolvimento de

6

2

2 x

x

é:

a)

4

b)

15

c)

30

d)

60

e)

Inexistente

20)

(UFOP-MG) No desenvolvimento de

6

3

1 x

x

, qual o

coeficiente do termo em 2 x ?

a)

20

b)

35

c)

56

d) 70

e)

15

21)

(USJT-SP) Qual é o termo independente de x no

desenvolvimento do binômio de Newton

6

1 x

x

?

a)

16b)

20

c)

24

d)

28

e) 32




154

22)

(UFAL) O 4º termo do desenvolvimento do binômio2 8(2 ) x kx , segundo as potências decrescentes de x , é

igual a 1328 x . Nessas condições, k é um número:

a)

Negativo.

b) Divisível por 3.

c)

Irracional.

d)

Racional e não inteiro.

e)

Múltiplo de 6.

23) (MACK) O sistema

3 2 2 3

2 2

3 3 3 38

0 1 2 3

6

x x y xy y

x y

tem por solução

um par ordenado ( ; ) x y cuja representação gráfica é um

ponto do:a)

Primeiro quadrante

b)

Segundo quadrantec)

Terceiro quadranted)

Quarto Quadrantee)

Eixo das abscissas

24)

(MAUÁ) Calcular a e b, sabendo-se que 3( ) 64a b e

que

5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5

321 2 3 4

a a b a b a b ab b

25)

(UEL-PR) No desenvolvimento do binômio

10

4 1

x x

,

segundo potências decrescentes de x, o sétimo termo é:

a)

4210. x

b)

11

4120. x

c)

2210. x

d)

11

4120. x

e)

4210. x

26)

(UEL-PR) No desenvolvimento do binômio

8

ykx

k

,

segundo as potências decrescentes de x, o quarto termo é5 3

224 x y . Nessas condições, 4k é um número

compreendido entrea)

1 e 5b) 6 e 11c)

12 e 17d)

18 e 23e)

24 e 29

27)

(UECE-CE) O coeficiente de x na expansão de

7

1 x

x

é:

a)

0b) 7c)

28d)

35e)

49

28)

(UNESP-SP) No desenvolvimento de 6

3 x , segundo as

potências crescentes de x , o termo central é:

a) 210 x

b)

324 x

c)

330 3 x

d)

360 x

e)

360 3 x

29)

(PUC-RS) Se o terceiro termo do desenvolvimento de

n

a b é 5 221. .a b , então o sexto termo é:

a)

4 335. .a b

b)

3 421. .a b

c)

2 521. .a b

d)

67. .a b

e)

2 57. .a b

30)

(UFPI) Se a e b são números reais tais que

10

1024a b e se o 6º termo do desenvolvimento

binomial é igual a 252, então:

a)

1

2a e

3

2b

b) 3a e 1b

c)

2

3a e

4

3b

d)

1

3a e

5

3b

e) 1a e 1b

31)

(UNIFOR-CE) No desenvolvimento do binômio

8

4 2 x

x

,

segundo as potências decrescentes de x , o quarto termoé:

a)

17448 x

b) 1756 x

c)

20448 x

d)

2056 x

e)

23448 x

GABARITO

01) C 02) D 03) 0 04) C 05) B

06) E 07) E 08) E 09) 0 10) B

11) E 12) D 13) D 14) D 15) D

16) E 17) C 18) A 19) D 20) A

21) B 22) D 23) D 24) * 25) C

26) C 27) C 28) E 29) C 30) E

32)

A

* a)1a

e3b

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