pedido de autorizaÇÃo aos ncarregados …area.fc.ul.pt/en/teses mestrado e doutoramento/tese...

ANEXO I: PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO

Exmo. Sr. Encarregado de Educação do(a) aluno(a) ______________

A professora de Matemática do(a) seu(sua) educando(a), Sónia Cristina Almeida

Cardoso F. S. Dias, encontra

em Didáctica da Matemática, pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

No âmbito do plano curricular previsto, o presente ano lectivo destina

uma investigação. O tema que estará na base da investigação que irá realizar é a

avaliação reguladora das aprendizagens, pretendendo estudar a forma como o

escrito dado pela professora às produções escritas dos alunos contribui para as suas

aprendizagens.

Assim, a professora gostaria que o(a) seu(sua) educando(a), que se mostrou

interessado(a), participasse na respectiva investigação, pelo que, vem por este meio

solicitar a sua autorização. Os alunos participantes no estudo não serão avaliados de

forma diferente dos restantes colegas da turma. A diferença será que algumas das suas

produções escritas, antes e depois de receberem

de base à investigação. A professora pede, portanto, autorização para fotocopiar e

guardar algumas produções escritas d

entrevistas e as aulas em que esteja a trabalhar em grupo no âmbito da investigação.

Será mantido o anonimato d

não sendo divulgado o seu nome, turma ou Escola.

Desde já agradece a atenção dispensada.

A professora

221

ANEXOS

EDIDO DE AUTORIZAÇÃO AOS ENCARREGADOS DE EDUCAÇÃO

12 de Outubro de 2007

Exmo. Sr. Encarregado de Educação do(a) aluno(a) ______________


Cardoso F. S. Dias, encontra-se, desde o ano lectivo 2006/2007, a frequentar o mestrado


o do plano curricular previsto, o presente ano lectivo destina-se à realização de


avaliação reguladora das aprendizagens, pretendendo estudar a forma como o

ado pela professora às produções escritas dos alunos contribui para as suas



citar a sua autorização. Os alunos participantes no estudo não serão avaliados de


produções escritas, antes e depois de receberem feedback escrito, serão as que servirão


guardar algumas produções escritas do(a) aluno(a) bem como para gravar em áudio as


mantido o anonimato do(a) aluno(a)

não sendo divulgado o seu nome, turma ou Escola.


_____________________________________(Sónia Cristina Almeida Cardoso F. S. Dias)

DUCAÇÃO



se, desde o ano lectivo 2006/2007, a frequentar o mestrado


se à realização de


avaliação reguladora das aprendizagens, pretendendo estudar a forma como o feedback

ado pela professora às produções escritas dos alunos contribui para as suas



citar a sua autorização. Os alunos participantes no estudo não serão avaliados de


escrito, serão as que servirão


bem como para gravar em áudio as


,

_____________________________________ (Sónia Cristina Almeida Cardoso F. S. Dias)

ANEXO II: INFORMAÇÃO E

Destinado

da Charneca de Caparica,


Assunto: Realização de uma investigação em Educação Matemática

A professora Sónia Cristina Alme

ano lectivo 2006/2007, a frequentar o mestrado em Didáctica da Matemática, pela

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. No âmbito do plano curricular

previsto, o presente ano lectivo destina

estará na base da investigação que irá realizar é a avaliação reguladora das

aprendizagens, pretendendo estudar a forma como o

professora às produções escritas dos alunos contribui para as suas

professora pretende realizar um estudo empírico com alguns alunos da turma A do

oitavo ano, pelo que vem por este meio pedir autorização ao Conselho Pedagógico para

o realizar. Estes alunos mostraram interesse em colaborar na investigação,

se à formalização desta situação, pedindo autorização, por escrito, aos Encarregados de

Educação destes alunos, no sentido de permitirem a sua participação na referida

investigação. Os alunos participantes no estudo não serão avaliados de forma

dos restantes colegas da turma. A diferença será que algumas das suas produções

escritas, antes e depois de receberem

investigação. Será pedido aos Encarregados de Educação autorização para fotoc

guardar algumas produções escritas dos alunos bem como para gravar em áudio as

entrevistas e as aulas em que estejam a trabalhar em grupo no âmbito da investigação.

Pretende ainda informar os Encarregados de Educação que será mantido o anonimato

dos alunos, não sendo divulgados os seus nomes, turma ou Escola.

Desde já agradece a atenção dispensada.A professora

222

NFORMAÇÃO E PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AO CONSELHO P

Destinado ao Conselho Pedagógico da Escola Básica Integrada

da Charneca de Caparica,


: Realização de uma investigação em Educação Matemática

A professora Sónia Cristina Almeida Cardoso F. S. Dias encontra



previsto, o presente ano lectivo destina-se à realização de uma dissertação. O tema que


aprendizagens, pretendendo estudar a forma como o feedback escrito dado pela

professora às produções escritas dos alunos contribui para as suas aprendizagens. A



o realizar. Estes alunos mostraram interesse em colaborar na investigação,



investigação. Os alunos participantes no estudo não serão avaliados de forma


escritas, antes e depois de receberem feedback escrito, serão as que servirão de base à

investigação. Será pedido aos Encarregados de Educação autorização para fotoc




s alunos, não sendo divulgados os seus nomes, turma ou Escola.


_____________________________________(Sónia Cristina Almeida Cardoso F. S. Dias)

PEDAGÓGICO

ao Conselho Pedagógico da Escola Básica Integrada

ida Cardoso F. S. Dias encontra-se, desde o



ção de uma dissertação. O tema que


escrito dado pela

aprendizagens. A



o realizar. Estes alunos mostraram interesse em colaborar na investigação, procedendo-



investigação. Os alunos participantes no estudo não serão avaliados de forma diferente


escrito, serão as que servirão de base à

investigação. Será pedido aos Encarregados de Educação autorização para fotocopiar e




_____________________________________ (Sónia Cristina Almeida Cardoso F. S. Dias)

223

ANEXO III: GUIÃO DA 1ª ENTREVISTA – OUTUBRO DE 2007

CONCEPÇÃO DOS ALUNOS FACE À MATEMÁTICA

1. Vou mostrar-te três situações. Depois de as leres, quero que me digas se, na tua

opinião, são ou não problemas de Matemática e porquê.

Situação 1

Ementa de grupo

Ao fim-de-semana, o António costuma fazer um bolo. A receita que usa é adequada

para quatro pessoas e utiliza os seguintes ingredientes:

• 250 g de farinha

• 125 g de açúcar

• 6 ovos

• 0,5 l de leite

• 100 g de chocolate em pó

Este fim-de-semana vai receber a visita dos tios Manuel e Maria. Terá então de

adequar a receita. Que quantidade de cada ingrediente terá de utilizar?

Situação 2

in PROTESTE nº 278,

Março de 2007

224

Situação 3

Sorteio da Liga dos Campeões

No dia 2 de Novembro de 2001 realizou-se o sorteio para a segunda fase de grupos da Liga

dos Campeões (Edição 2001/2002). Em virtude das regras do sorteio, verificou-se que:

1. As equipas foram divididas em quatro potes, com quatro equipas diferentes, e os

grupos foram formados com um clube de cada pote.

2. A seguinte tabela identifica a distribuição das equipas por potes, o grupo em que

jogaram na primeira fase e o país a que pertencem:

Equipas Potes Grupo da 1ª fase País

Real Madrid Verde A Espanha

Bayern de Munique Verde H Alemanha

Barcelona Verde F Espanha

Juventus Verde E Itália

Liverpool Azul B Inglaterra

Deportivo da Corunha Azul G Espanha

Nantes Azul D França

Panatinaikos Azul C Grécia

Manchester United Amarelo G Inglaterra

Arsenal Amarelo C Inglaterra

Galatasaray Amarelo D Turquia

F. Clube do Porto Amarelo E Portugal

Roma Vermelho A Itália

Bayer Leverkusen Vermelho F Alemanha

Sparta de Praga Vermelho H República Checa

Boavista Vermelho B Portugal

3. As regras do sorteio indicam que equipas do mesmo país não se podem encontrar,

assim como clubes que tenham sido adversários na primeira fase.

4. A primeira equipa a ser extraída foi o Boavista, que foi colocado juntamente com a

Juventus.

5. A segunda equipa a ser extraída foi o Arsenal, que foi colocado no grupo do Sparta de

Praga.

6. A seguir foi extraído o Manchester United para o grupo da Roma.

Não houve necessidade de extrair mais equipas pois só havia uma solução possível para que

as regras fossem respeitadas. Como ficaram agrupadas as equipas?

Adaptado de: http://www.mycharades.com/mostra_charada.asp?id=166

225

2. Qual o tempo razoável para se resolver um problema de matemática? O que fazer no

final desse tempo, caso não se tenha conseguido resolvê-lo?

3. Os alunos podem descobrir coisas em matemática ou tudo lhes tem de ser ensinado?

CONCEPÇÃO DOS ALUNOS FACE À DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

1. Qual a tua disciplina preferida? Porquê? E qual a que gostas menos?

2. E o que pensas da disciplina de Matemática? Porquê?

3. Para que serve a disciplina de Matemática?

4. Estudas Matemática fora da sala de aula? Em que situações? Como, sozinho, com

outros, …

5. Que tipo de tarefas gostas mais de realizar nas aulas de Matemática?

6. Como seria para ti uma boa aula de Matemática?

7. Se fosses professor de matemática, como farias para que todos os alunos

aprendessem?

CONCEPÇÃO DOS ALUNOS FACE À AVALIAÇÃO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

1. Quando ouves falar em avaliação, em que pensas?

2. Na tua opinião, para que serve a avaliação?

3. Como é que costumas ser avaliado na disciplina de Matemática?

4. O que achas que é valorizado nesta disciplina?

5. Quando fazes um instrumento de avaliação, eu corrijo e dou uma nota. Voltas a usar

esse instrumento em algum outro momento?

6. Durante o ano lectivo passado, fizeram algumas tarefas que eu recolhi, mas que vos

devolvi sem classificação e com comentários. Lembras-te? (Se sim, pergunto 6.1,

6.2 e 6.3; se não termino a entrevista)

6.1 O que faziam quando eu vos devolvia a tarefa sem estar classificada?

6.2 Por que razão achas que eu fazia isso?

6.3 Achas que era útil para vocês? Porquê?

226

ANEXO IV: GUIÃO DA 2ª ENTREVISTA – MARÇO DE 2008 (ALBERTINA )

Desde o início do ano lectivo, já tiveste possibilidade de melhorar quatro tarefas após eu

ter feito alguns comentários. Essas tarefas foram: a pesquisa bibliográfica sobre

Pitágoras (em grupo), um teste (individual), o relatório realizado no Geogebra sobre a

influência de k e b na representação gráfica de funções do tipo y=kx+b, com k e b

números racionais (em grupo) e o problema sobre a altura da torre e a altura da Joana

(individual). É sobre algumas opções que fizeste na segunda fase da elaboração das

tarefas que hoje vamos conversar um pouco.

MOSTRAR TRABALHO DE PESQUISA SOBRE PITÁGORAS

1. Aqui no 2º slide, eu escrevi como observação “Atenção à construção frásica”. O que

entenderam desta observação? O que é que eu poderia ter escrito que vos levasse a

conseguir corrigir correctamente a construção frásica?

2. No 4º slide tinham um parágrafo, a respeito do qual eu escrevi o seguinte comentário

“Este parágrafo não parece muito explícito. Será que percebem toda a informação?”.

Durante a aula de melhoria chamaram-me e perguntaram se substituir a árvore de

Pitágoras por outra coisa. Acabaram por não eliminar a árvore de Pitágoras, optaram

por eliminar este parágrafo na 2ª fase da tarefa, substituindo-o por uma imagem e

um parágrafo escrito por vocês. Porquê?

3. Ainda no 4º slide, eu escrevi também “Tentem desenvolver mais um pouco este

tópico. Procurem, por exemplo, números que Pitágoras tenha explorado,…”. Vocês

não seguem esta sugestão. Porquê?

4. No 5º slide tinham a definição de catetos e de hipotenusa. Por que retiraram esta

informação da segunda fase do trabalho?

MOSTRAR RELATÓRIO SOBRE A INFLUÊNCIA DE K E B NA

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE Y = KX + B, COM K E B NÚME ROS

RACIONAIS COM RECURSO AO GEOGEBRA

5. No relatório eu começo por referir novamente que a capa está incompleta, o que já

tinha acontecido no trabalho sobre Pitágoras. Por que razão achas que cometeram

novamente esta falta?

6. Na página 1, no ponto 2. respondem que na função y = -3x + 1/2 , 3 é o declive. Eu

pergunto “[3] é o número que está a multiplicar por x?”. Vocês corrigem e

227

respondem que -3 é o declive. No ponto 5. escrevem que na função y = 5, 5 é o

declive, e eu agora pergunto “Se quisessem escrever y = 5 na forma y = kx + b, que

valor colocariam no lugar de k? E de b?”, que, para mim, era uma pergunta com o

mesmo objectivo da anterior. No entanto aqui vocês não conseguiram corrigir.

Porquê? O que é que, na tua opinião, eu deveria ter escrito, para vocês perceberem o

que tinham de corrigir?

7. Queria que lesses o que vocês responderam à pergunta 5., na página 3. Agora queria

que lesses o meu comentário. O que entendes do meu comentário? Por que razão

decidem responder à minha 2ª pergunta? A 1ª pergunta não vos disse nada?

8. Na página 6., não seguem a minha sugestão para melhorarem a vossa produção.

Porquê?

MOSTRAR TESTE SOBRE TEOREMA DE PITÁGORAS E FUNÇÕES

9. Queria que lesses a observação que eu escrevi na tua resposta à pergunta 2.

Respondes à última pergunta que eu faço, mas não utilizas, aparentemente nenhuma

das outras perguntas para conseguires melhorar a tua produção. Porquê?

MOSTRAR PROBLEMA SOBRE A ALTURA DA TORRE E A ALTURA DA

JOANA

10. Queria que observasses as tuas tentativas de resolução do problema bem como as

observações que eu escrevi e que fosses comentando o que achas de cada

observação. Se percebeste, se não percebeste, etc.

CONCLUSÃO

11. O que pensas da possibilidade de poderes melhorar as tuas produções antes de eu as

classificar?

12. O que achas que eu pretendo quando desenvolvo esta prática?

13. Pensas que no grupo de colegas ao qual pertences no âmbito da minha investigação

e com quem tens de trabalhar nos trabalhos de grupo, há um elemento dominante?

Porquê?

228

ANEXO V: GUIÃO DA 2ª ENTREVISTA – MARÇO DE 2008 (MANUEL )










entenderam desta observação? Porquê? O que é que eu poderia ter escrito que vos

levasse a conseguir corrigir correctamente a construção frásica?














RACIONAIS, COM RECURSO AO GEOGEBRA






229



valor colocariam no lugar de k? E de b?”, que, para ,mim, era uma pergunta com o








Porquê?

MOSTRAR TESTE

9. Queria que lesses as observações que eu escrevi às tuas respostas às perguntas 2. e

3.. Não tentaste melhorar a tua produção na 2ª fase do teste. Porquê?


JOANA




12. Conseguiste resolver o problema correctamente, mas não és muito explícito nas

explicações/justificações. Por que não explicas o teu raciocínio?

CONCLUSÃO


classificar?




Porquê?

230

ANEXO VI: GUIÃO DA 2ª ENTREVISTA – MARÇO DE 2008 (RICARDO )
































231










Porquê?

MOSTRAR TESTE

9. Queria que lesses a observação que eu escrevi na tua resposta à pergunta 2.

Respondes a uma das perguntas que eu faço, mas não utilizas, aparentemente

nenhuma das outras perguntas para conseguires melhorar a tua produção. Porquê?


JOANA




11. A 1ª fase da tua resolução do problema estava já bastante boa. O que te impediu de

completar a resolução do problema correctamente?

CONCLUSÃO


classificar?




Porquê?

232

ANEXO VII: GUIÃO DA 2ª ENTREVISTA – MARÇO DE 2008 (TIAGO )































233











Porquê?

MOSTRAR TESTE

9. Queria que lesses as observações que eu escrevi à tua resposta à pergunta 2. Quando

eu pergunto “Quando fazes a 1ª afirmação estás a basear-te em que resultado?”, o

que é que tu achas que eu pretendia? Como é que eu poderia ter formulado a questão

para perceberes logo o que se pretendia?


JOANA




CONCLUSÃO


classificar?




Porquê?

234

ANEXO VIII: GUIÃO DA 3ª ENTREVISTA – JUNHO DE 2008 (ALBERTINA , RICARDO E

TIAGO )







aprendessem?






8. Depois de eu avaliar um instrumento de avaliação, voltas a usá-lo?

9. Durante este lectivo passado, desenvolveram algumas actividades em duas fases, ou

seja, numa primeira fase faziam uma primeira resolução, eu depois levava para casa,

fazia alguns comentários escritos e numa segunda fase voltavam a pegar na tarefa e

podiam continuá-la.

a. O que achas desta situação, isto é, da possibilidade de poderes

continuar as tuas resoluções depois de eu escrever alguns comentários e

antes de serem classificadas?

b. O que achas que eu pretendo com esta situação?

c. Quando eu devolvo uma tarefa que ainda não foi classificada, mas na

qual estão escritos comentários, e que eu pretendo que continuem, o que

é que tu fazes?

d. Classificar e avaliar: são a mesma coisa?

e. O que pensas quando vês que fizeste alguns erros?

10. Faz um balanço da tua evolução ao longo deste ano lectivo (o que fazes melhor, o

que fazes pior, as razões para essa evolução).

235

ANEXO IX: GUIÃO DA 3ª ENTREVISTA – JUNHO DE 2008 (MANUEL )







aprendessem?






8. Depois de eu avaliar um instrumento de avaliação, voltas a usá-lo?

9. Durante este lectivo passado, desenvolveram algumas actividades em duas fases, ou

seja, numa primeira fase faziam uma primeira resolução, eu depois levava para casa,

fazia alguns comentários escritos e numa segunda fase voltavam a pegar na tarefa e

podiam continuá-la.

a. O que achas desta situação, isto é, da possibilidade de poderes

continuar as tuas resoluções depois de eu escrever alguns comentários e

antes de serem classificadas?

b. O que achas que eu pretendo com esta situação?

c. Quando eu devolvo uma tarefa que ainda não foi classificada, mas na

qual estão escritos comentários, e que eu pretendo que continuem, o que

é que tu fazes?

d. Classificar e avaliar: são a mesma coisa?

e. O que pensas quando vês que fizeste alguns erros?

10. Faz um balanço da tua evolução ao longo deste ano lectivo (o que fazes melhor, o

que fazes pior, as razões para essa evolução).

11. A última tarefa que vos dei oportunidade de melhorar foi a resolução do problema

“Conferência Internacional”. Eu fiz comentários à tua primeira fase, mas na segunda

236

fase tu não escreveste absolutamente nada na folha de resposta, ou seja, não

melhoraste a tua produção. Porquê?

237

ANEXO X: 1ª PESQUISA BIBLIOGRÁFICA – PITÁGORAS

ESCOLA ___________________________________________

Ano lectivo 2007 / 2008

MATEMÁTICA – 8º Ano – Turmas _________

Pesquisa bibliográfica sobre Pitágoras

Grupo:............................................................................... N.ºs............ Professora: Sónia Dias Outubro de 2007

Competência específica a avaliar � Comunicação e organização matemáticas

Durante as próximas quatro aulas (dois blocos de

noventa minutos) a vossa tarefa é elaborar uma apresentação em PowerPoint sobre o matemático Pitágoras. A estrutura da apresentação deve ser a seguinte:

Slide 1 – Capa Slide 2 – Introdução Slides 3 a 9 (no máximo) – Desenvolvimento

o Biografia de Pitágoras o Obra de Pitágoras o Demonstração do Teorema de Pitágoras

Slide 10 – Conclusão Slide 11 – Bibliografia Slide 12 – Competência a avaliar

Observações – O fundo dos slides, o tipo e tamanho de letra do corpo do texto, o tipo e tamanho de letra dos títulos devem ser sempre os mesmos. No final o trabalho deve ser enviado para [email protected]

Bom trabalho!!!

238

ANEXO XI: 1ª PESQUISA BIBLIOGRÁFICA – DIOFANTO

ESCOLA _______________________________________________


MATEMÁTICA – 8º Ano

Pesquisa bibliográfica sobre Diofanto

Grupo:..........................................................................................N.ºs............ Professora: Sónia Dias Fevereiro de 2008

Competência específica a avaliar � Comunicação e organização matemáticas

Nesta aula a vossa tarefa é elaborar uma apresentação em PowerPoint sobre o matemático Diofanto. A estrutura da apresentação deve ser a seguinte: Slide 1 – Capa Slide 2 – Introdução Slides 3 a 9 (no máximo) – Desenvolvimento

o Biografia de Diofanto o Obra de Diofanto o Alguma da simbologia utilizada o Alguns problemas de Diofanto o O enigma de Diofanto

Slide 10 – Conclusão Slide 11 – Bibliografia Slide 12 – Competência a avaliar Observações – O fundo dos slides, o tipo e tamanho de letra do corpo do texto, o tipo e tamanho de letra dos títulos devem ser sempre os mesmos. No final o trabalho deve ser enviado para [email protected]

Bom trabalho!!!

239

ANEXO XII: 1º TESTE – TEOREMA DE PITÁGORAS E FUNÇÕES

Nome:________________________ N.º___ Turma: _____ Professora: Sónia Dias Encarregado de Educação: __________________________________________

Competências a avaliar e respectiva avaliação: � Comunicação e organização matemáticas _______________ � Decisão crítica face à apresentação de informação _______________

1. A figura ao lado mostra a vista lateral da

garagem do António (a figura não está à escala). De acordo com os dados da figura, calcula a distância de A a B. Apresenta todos os cálculos efectuados.

2. O quadrado Q está dividido em quatro

quadrados geometricamente iguais. O triângulo [CDE] é rectângulo em D. Explica por que razão é verdadeira a seguinte igualdade:

4Q quadrado do Área

DECD22

=+

(Adaptado do Projecto 1000 ítens) ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ESCOLA _______________________________________ Ano lectivo 2007/2008 MATEMÁTICA – 8º Ano

240

3. Considera as duas correspondências seguintes:

Correspondência 1 Correspondência 2

Indica se cada uma das correspondências pode representar uma função. Justifica para ambas as correspondências. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. A Teresa aumentou mais do que 10 kg e menos do que 15 kg. O Paulo e a

Teresa são dois irmãos gémeos de 20 anos de idade. Os seguintes gráficos permitem comparar a evolução dos pesos de ambos, ao longo dos seus anos de vida.

4.1 Indica a variável

dependente. ___________________

4.2 Faz uma estimativa do peso do Paulo à nascença. __________________

4.3 Com que idades o

Paulo e a Teresa pesavam o mesmo? __________________

4.4 Qual a diferença de pesos dos dois irmãos aos 20 anos? ___________________________________________________________

4.5 Assinala com X a afirmação correcta sobre o aumento de peso da

Teresa, entre os 5 e os 10 anos de idade.

A Teresa aumentou mais do que 10 kg e menos do que 15 kg. A Teresa aumentou exactamente 15 kg. A Teresa aumentou mais do que 15 kg e menos do que 20 kg. A Teresa aumentou exactamente 20 kg.

(Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3º CEB, 2003) Bom trabalho!!!

241

ANEXO XIII: 2º TESTE – SEQUÊNCIAS, MMC , REGRAS DA POTENCIAÇÃO , NOTAÇÃO

CIENTÍFICA

ESCOLA ___________________________________________ Ano lectivo 2007 / 2008 Ficha – Ainda os números MATEMÁTICA – 8º Ano

Nome:..................................................................................... N.º... Turma: ….. Professora: Sónia Dias

Competências a avaliar e respectiva avaliação: ♦ Comunicação e organização matemáticas ___________________ ♦ Resolução de problemas ___________________ ♦ Mobilização de saberes na intervenção em situações reais ___________________ 1. A mãe do Afonso gosta de lhe propor charadas utilizando fósforos. Desta vez, construiu-

lhe as três primeiras figuras de uma sequência onde cada termo corresponde ao número de fósforos de cada figura.

1.1 Com base na figura, completa a tabela, pressupondo que se mantém a regra de formação:

Figuras 1 2 3 5

Nº de fósforos

1.2 Escreve a expressão geradora que permite determinar o número de fósforos da figura n. (Observação – Se não conseguires escrever a expressão geradora, explica por palavras tuas como se poderá obter).

__________________________________________________________________________________________________________

1.3 Com 51 fósforos fez-se uma figura. Qual será o seu número de ordem?

_____________________________________________________ 1.4 Será possível construir uma figura com 55 fósforos? Explica a tua resposta.

__________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________

242

2. Considera a sequência cujo termo geral é n2

5.

2.1 Calcula o 1º e o 6º termos. _______________________________________________

2.2 Qual a ordem do termo 8

5? Justifica.

__________________________________________________________________________________________________________

3. Em todas as ilhas dos Açores existem faróis. Os faróis da Ribeirinha (no Faial), de Ponta da Barca (na Graciosa) e do Aeroporto (em S. Miguel) acendem de 2 em 2 minutos, de 3 em 3 minutos e de 5 em 5 minutos respectivamente. Se às 21 horas acenderam os três faróis simultaneamente, a que horas voltarão a acender simultaneamente?

(Prova de Aferição Interna Integrada de Ciências Naturais, Ciências

Físico-Químicas e Matemática, 8º ano, 6 de Março de 2006)

Resposta: ____________________________________________________ 4. Calcula o valor da seguinte expressão numérica, utilizando sempre que possível as regras

das potências:

( )2

5

42

2

35

2

18202

÷

−−×−+

5. Em laboratório os cientistas analisaram a forma de reprodução de duas bactérias ao fim

de um certo número de dias e registaram o seu tamanho aproximado.

Nº de novas bactérias Tamanho das bactérias Bactéria A 160 000 000 0,000 2 mm

Bactéria B 7102 × 3101,8 −× mm

5.1 Escreve em notação científica o número de novas bactérias do tipo A, bem como

o seu tamanho.

_____________________________________________________

243

5.2 Comenta a seguinte afirmação: “A bactéria B reproduz-se mais rapidamente, mas

o seu tamanho é menor que o da bactéria A”

__________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________

6. Calcula apresentado o resultado em notação científica

6.1 2104

6102,26−×

×

6.2 31084103,81 ×+×

Bom trabalho!!!

244

ANEXO XIV: 1º RELATÓRIO – INFLUÊNCIA DE K E B NA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE

FUNÇÕES DO TIPO Y = KX + B, COM K E B NÚMEROS RACIONAIS

ESCOLA ___________________________________________________


Influência de k e b na representação gráfica de y = kx + b, sendo k e b números racionais

MATEMÁTICA – 8º Ano Grupo:................................................... N.ºs.............. Turma: ….. Professora: Sónia Dias Dezembro de 2007

Competências a avaliar:

→ Comunicação e organização matemáticas

→ Decisão crítica face à apresentação de informação

Objectivos do trabalho:Objectivos do trabalho:Objectivos do trabalho:Objectivos do trabalho: Estudar a influência de k e b na representação gráfica de y = kx + b, sendo k e b números racionais; Utilizar o programa Geogebra; Elaborar um relatório descritivo da actividade.

O trabalho que agora vão iniciar em grupo vai terminar com a elaboração de um relatórioelaboração de um relatórioelaboração de um relatórioelaboração de um relatório sobre toda a actividade. Para isso, devem abrir um ficheiro Word e, simultaneamente com a exploração que fizerem no Geogebra, irem elaborando o relatório. O que deve compor esse O que deve compor esse O que deve compor esse O que deve compor esse relatório?relatório?relatório?relatório? Capa, Índice, Introdução, Desenvolvimento, Conclusão

Definições As funções da família y = kx + b, com k e b números racionais, chamam-se funções afins e são representadas graficamente por rectas. Ao coeficiente de x (número que está a multiplicar por x e neste caso representado por k) chama-se declive e ao termo independente (neste caso representado por b) chama-se ordenada na origem. Existe uma função afim especial, que é dada por y = kx, sendo k um número racional. É especial pois é o caso particular da função afim y = kx + b, sendo k um número racional e b = 0. Às funções da família y = kx, sendo k um número racional, chama-se funções lineares. Exemplos

245

Classifica cada uma das seguintes funções em afins ou lineares e indica o declive e a ordenada na origem de cada uma.

1. 1x2y += 2. 21x3y +−= 3. x58y −=

4. x5y = 5. 5y =

IINNFFLLUUÊÊNNCCIIAA DDEE KK EE BB NNAA RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDEE YY == KKXX ++ BB,, SSEENNDDOO KK EE BB NNÚÚMMEERROOSS RRAACCIIOONNAAIISS

1. Inicia o programa Geogebra No teu ecrã tens agora a janela principal do Geogebra. Começa por escrever x e y junto dos eixos das abcissas e ordenadas, respectivamente. Para isso, no menu Opções escolhe Janela de Visualização e muda o rótulo para o Eixo X e depois para o Eixo Y

246

2. Esboça o gráfico de y = 2x + 6 utilizando o programa Geogebra. Para isso:

�� Introduz y = 2x + 6 em �� Faz Enter. �� Copia o gráfico para o ficheiro Word. Para isso:

AtençãoAtençãoAtençãoAtenção Não te esqueças de Não te esqueças de Não te esqueças de Não te esqueças de legendar cada legendar cada legendar cada legendar cada

gráfico, isto é, dizer gráfico, isto é, dizer gráfico, isto é, dizer gráfico, isto é, dizer qual a expressão qual a expressão qual a expressão qual a expressão analítica analítica analítica analítica

correspondente!!!correspondente!!!correspondente!!!correspondente!!!

3. Descreve o gráfico obtido referindo-te aos seguintes aspectos (e a outros que aches importantes):

247

�� Aspecto do gráfico (recta ou curva); �� Intersecção do gráfico com o eixo das abcissas (xx); �� Intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas (yy); �� Monotonia (consulta esquema em baixo);

4. Apaga o ecrã do Geogebra. Para isso tens de apagar a expressão analítica.

5. Considera a família de funções y= kx + 4 , onde k é um número racional. Escolhe cinco valores positivos para k. Esboça as cinco funções no mesmo referencial. Copia os gráficos para o ficheiro Word e responde à seguinte questão:

De que forma kkkk influencia a inclinação do gráfico?

6. Apaga o ecrã do Geogebra.

7. Considera a família de funções y= kx + 4 , onde k é um número racional.

7.1 Escolhe três valores positivos e três valores negativos para k. Esboça as seis funções no mesmo referencial. Copia os gráficos para o ficheiro Word e responde à seguinte questão:

De que forma é que o facto de o valor de kkkk ser positivo ou negativo influencia a monotonia da função?

7.2 Apaga o ecrã do Geogebra. 7.3 Substitui k por zero. Esboça a função. Copia os gráficos para o

ficheiro Word e responde às seguintes questões:

Crescente

Decrescente

Constante

x

y

0

248

De que forma é que o facto de o valor de kkkk ser zero influencia a monotonia da função? Que tipo de função obtemos?

7.4 Apaga o ecrã do Geogebra.

8. Considera a família de funções y= 2x + b , onde b é um número racional. Escolhe cinco valores para b (devem ser positivos, negativos ou zero). Esboça as cinco funções no mesmo referencial. Copia os gráficos para o ficheiro Word e responde às seguintes questões:

De que forma é que o facto de o valor de kkkk ser sempre igual influencia a posição relativa das rectas?

De que forma o valor de bbbb influencia o gráfico das funções?

Bom trabalho!!!Bom trabalho!!!Bom trabalho!!!Bom trabalho!!!

ANEXO XV: 2º RELATÓRIO

ESCOLA

Elaboração de relatório descritivo da actividade

Grupo:................................................... N.ºs.............. Turma: ….. Professora: Sónia Dias

Competências a avaliar e respectiva avaliação:→ Comunicação e organização matemáticas → Resolução de problemas ___________________→ Decisão crítica face à apresentação de informação ___________________

Procurar e explorar padrões numéricos; Utilizar a calculadora de forma crítica; Elaborar um relatório descritivo da actividade, que deve conter: capa, índice, introdução, desenvolvimento e conclusão.

1. Representa as seguintes fracções em forma de dízimas

11

2

2. Observa as dízimas anteriores. O que podes concluir relativamente ao

período de cada dízima?

3. Será possível, sem efectuar a divisão, indicar o período da dízima

correspondente a qualquer fracção de denominador 11? Investiga e

apresenta as tuas conjecturas.

Extensão à investigação...

O que acontece se os denominadores forem 111? E 1111? ...

1 Tarefa adaptada do dossier “Matemática para todos

249

ELATÓRIO – DIVISÕES POR 11

ESCOLA __________________________________________Ano lectivo 2007 / 2008

Investigação – No interior das dízimasElaboração de relatório descritivo da actividade

MATEMÁTICA – 8º Ano

Grupo:................................................... N.ºs.............. Turma: ….. Sónia Dias

Competências a avaliar e respectiva avaliação: Comunicação e organização matemáticas ___________________Resolução de problemas ___________________Decisão crítica face à apresentação de informação ___________________

Objectivos do trabalho:Objectivos do trabalho:Objectivos do trabalho:Objectivos do trabalho: Procurar e explorar padrões numéricos;

calculadora de forma crítica; Elaborar um relatório descritivo da actividade, que deve conter: capa, índice, introdução, desenvolvimento e conclusão.

Divisões por 111

Representa as seguintes fracções em forma de dízimas

11

4086

11

129

11

43

11

15

11

7

as dízimas anteriores. O que podes concluir relativamente ao

período de cada dízima?

Será possível, sem efectuar a divisão, indicar o período da dízima


apresenta as tuas conjecturas.

Extensão à investigação...

O que acontece se os denominadores forem 111? E 1111? ...

Bom trabalho!!!

adaptada do dossier “Matemática para todos – Investigações na sala de aula”, APM

__________________________________________

No interior das dízimas Elaboração de relatório descritivo da actividade

Grupo:................................................... N.ºs.............. Turma: …..

___________________ Resolução de problemas ___________________ Decisão crítica face à apresentação de informação ___________________

Elaborar um relatório descritivo da actividade, que deve conter: capa, índice, introdução,

as dízimas anteriores. O que podes concluir relativamente ao

Será possível, sem efectuar a divisão, indicar o período da dízima


Bom trabalho!!!

Investigações na sala de aula”, APM

250

ANEXO XVI: 1º PROBLEMA – A ALTURA DA TORRE E A ALTURA DA JOANA

ESCOLA _____________________________________________


Resolução de problemas MATEMÁTICA – 8º Ano

Nome:…............................ N.º…... Turma:….. Professora: Sónia Dias Fev. de 2008

Competência a avaliar e respectiva avaliação: � Resolução de problemas __________________________ Lê atentamente o seguinte problema.

A altura da torre e a altura da Joana 2

No Natal, a Joana recebeu como presente uma caixa com cubos. Os cubos eram todos

do mesmo tamanho, as suas arestas mediam 5 cm e enchiam completamente a caixa que também era em forma de cubo.

Como muitas crianças, a Joana adora construir torres e não demorou muito a tirar todos os cubos da caixa e a fazer construções. Começou por construir um cubo grande, depois fez outro cubo mais pequeno e colocou em cima desse e, por fim, formou outro cubo ainda mais pequeno que assentou sobre o anterior.

Quando acabou de montar a torre, percebeu que tinha usado todos os cubos que havia na caixa. Mesmo assim a sua torre era mais baixa do que ela, o que a deixou um pouco desapontada.

Consegues dizer que altura tinha a torre feita pela Joana? Depois de uma ou mais leituras atentas, resolve-o. Lembra-te que podem existir muitas formas de resolver o problema e que todas são válidas. Deves justificar: todos os passos, todos os cálculos, todas as opções, todos os esquemas,…

Bom trabalho!!!

2 Adaptado de Bolt, B. (1992). Mais actividades matemáticas. Edições Gradiva.

251

ANEXO XVII: 2º PROBLEMA – A CONFERÊNCIA INTERNACIONAL

ESCOLA _______________________________________________


Resolução de problemas MATEMÁTICA – 8º Ano

Nome: …................................................................................ N.º…... Turma:….. Professora: Sónia Dias Junho de 2008

Competência a avaliar e respectiva avaliação: � Resolução de problemas __________________________ Lê atentamente o seguinte problema.

Conferência Internacional 3

Uma conferência internacional reúne 15 delegados de África, Ásia, América e Europa. Cada continente enviou um número diferente de delegados, mas cada um está

representado pelo menos por 1 delegado. A América e a Ásia enviaram, no total, 6 delegados. A Ásia e a Europa enviaram, no total, 7 delegados. Qual o continente que enviou 4 delegados?

Depois de uma ou mais leituras atentas, resolve-o. Lembra-te que podem existir muitas formas de resolver o problema e que todas são válidas. Deves justificar: todos os passos, todos os cálculos, todas as opções, todos os esquemas,…

Bom trabalho!!!

3 Retirado de Berloquin, P. (1999). 100 Jogos Numéricos. Edições Gradiva.

pedido de autorizaÇÃo aos ncarregados …area.fc.ul.pt/en/teses mestrado e doutoramento/tese...

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