บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

บทท่ี 7

การเคล่ือนท่ีแบบหมุน

อ.ณภทัรษกร สารพฒัน์อ.ณภทัรษกร สารพฒัน์สาขาวิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยัราชภฏัเทพสตรี ลพบรีุ

• ปริมาณตา่ง ๆ ท่ีเก่ียวข้องกบัการหมนุ

• ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉ่ือยการเคลื่อนท่ีแบบหมนุ

• โมเมนความเฉ่ือยรอบแกนหมนุสมมาตร

• พลงังานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหนนุ

• โมเมนตมัเชิงมมุ และอตัราการเปลี่ยนโมเมนตมัเชิงมมุ

• การเคลื่อนที่ทัง้แบบเลื่อนที่ และแบบหมนุ

หวัขอ้บรรยาย

3

การเคล่ือนท่ีแบบหมุน และ แบบกล้ิง

( Rotational and rolling motion)

• เม่ือวตัถเุช่น ล้อหมนุรอบแกนของมนั การเคลื่อนท่ีของมันไม่สามารถวิเคราะห์โดยถือให้วัตถุเป็นอนภุาคได้เน่ืองจาก ณ เวลาหนึ่ง ส่วนต่าง ๆ ของวตัถุจะมีความเร็ว และความเร่งต่างกันด้วยเหตุนี ้จึงเป็นการสะดวกท่ีจะพิจารณาวัตถเุหล่านี ้คล้ายกับว่ามนัคืออนุภาคจ านวนมาก ซ่ึงอนุภาคแต่ละ

ตวัจะมีความเร็วและความเร่งเฉพาะตวั

4

การเคล่ือนท่ีแบบหมุน และ แบบกล้ิง

( Rotational and rolling motion)

• ในบทนีจ้ะถือวา่การหมนุของวตัถแุข็งเกร็ง รอบแกนท่ีอยู่กบัท่ี คือ การเคล่ือนท่ีแบบหมุนบริสุทธ์ิ ( pure

rotational motion )

• การหมุนของวัตถุจะวิเคราะห์ได้ง่ายมากขึน้ โดยสมมตุิให้วตัถเุป็น วตัถุแข็งเกร็ง (rigid object)

ซึ่งคือ วัตถุท่ีไม่สามารถเปลี่ยนรูปร่างได้หรืออาจกลา่วได้วา่ระยะหา่งของ อนภุาคทกุคูค่งท่ี

5

• 2p เรเดียน = 360o

• 1 เรเดียน = 57.3o

𝑠 = 𝑟𝜃 หรือ 𝜃 =𝑠

𝑟

• 𝐬 คือ การขจดัเชิงเสน้

(the linear displacement)

𝑟

𝑟

𝑄𝑦

𝑥

𝑆

𝜃𝑃

• การก าหนดพิกดัของอนภุาคโดยใช้พิกดัเชิงขัว้ (r,q)

7.1 ปริมาณต่าง ๆ ท่ีเก่ียวขอ้งกบัการหมุน

6

𝑟

𝑟

𝑄𝑦

𝑥

𝑆

𝜃𝑓𝑃

∆𝜃 = 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖

• Dq คือ การขจดัเชิงมมุ(the angulardisplacement)

เมือ่ i = initial และ f = final

• อนภุาคบนวตัถแุข็งเกร็ง ท่ีก าลงัหมนุเคลื่อนท่ีจากจดุ P ไปยงัจดุ Q ตามแนวเส้นโค้งในช่วงเวลา Dt = tf-ti เวคเตอร์รัศมีกวาดเป็นมมุ Dq = qf- qi

𝜃 𝑖


7

𝑟

𝑟

𝑄𝑦

𝑥

𝑆

∆𝜃𝑃

𝜔 =∆𝜃

∆𝑡=

𝜃𝑓 − 𝜃𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

• ω คือ อตัราส่วนของการกระจดัเชิงมุมต่อ

ช่วงเวลา (the angular speed )

เมือ่ i = initial และ f = final

• เรานิยามอตัราเร็วเชิงมุมเฉล่ีย ( the average angular speed : 𝜔 “omega bar ”)


8

𝑟

𝑟

𝑄

𝑦

𝑥

𝑆

∆𝜃

𝑃

𝜔 = lim∆𝑡→0

∆𝜃

∆𝑡=

𝑑𝜃

𝑑𝑡

• อตัราเร็วเชิงมมุบดัดล (instantaneous angular speed) w คือลมิิตของอตัราสว่นของการขจดัเชิงมมุตอ่ช่วงเวลา Dt เม่ือ Dt เข้าสู่ศนูย์

• w มีหน่วยเป็น rad/s หรือ s-1 เน่ืองจาก radian ไมมี่มิติหน่วย


𝜔

𝜔• w มีคา่เป็นบวกเม่ือ q มีคา่เพิ่มขึน้

(การเคลื่อนท่ีทวนเข็มนาฬิกา)

• w มีคา่เป็นลบเมื่อ q มีคา่ลดลง ( การเคลื่อนท่ีตามเข็มนาฬิกา)


10

𝑟

𝑟

𝑄𝑦

𝑥

𝑆

∆𝜃𝑃

• อตัราเร่งเชิงมมุเฉลี่ย (the average angular acceleration :

a ) คืออตัราสว่นของการเปลี่ยนแปลงอตัราเร็วเชิงมมุ ตอ่ช่วงเวลา Dt

• a มีหน่วยเป็น rad/s2 หรือ s-2 เน่ืองจาก radian ไมมี่มิติหน่วย

𝛼 =∆𝜔

∆𝑡=

𝜔𝑓 − 𝜔𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖


𝜔

𝛼

• 𝛼 มีทิศเดียวกบั 𝜔 เม่ือหมนุเร็วขึน้กว่าเดมิ

• 𝛼 มีทิศตรงข้าม𝜔 เม่ือหมนุช้าลงกวา่เดิม

7.1 การขจดัเชิงมุม ความเร็ว และความเร่ง

(Angular Displacement Velocity and

Acceleration)

𝜔 𝛼

• ในการศกึษาการเคลื่อนท่ีเชิงเส้น พบว่ารูปแบบท่ีง่ายส าหรับการวิเคราะห์การเคลื่อนท่ีอย่างมีอัตราเร่ง คือการก าหนดให้อัตราเร่งมีค่าคงท่ี การเคลื่อนท่ีเชิงมมุก็เช่นกนั

𝛼 ≡ คงท่ี เช่นเดียวกบั 𝑎 ≡ คงท่ี

𝜔


𝑣

การเคล่ือนท่ีเชิงเสน้ การเคล่ือนท่ีเชิงมุม

𝑣 = 𝑢 + 𝑎𝑡 𝜔𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼𝑡

𝑠 = 𝑢𝑡 + 12𝑎𝑡 2 ∆𝜃 = 𝜔𝑖𝑡 + 1

2𝛼𝑡 2

𝑣2 = 𝑢2 + 2𝑎𝑠 𝜔𝑓2 = 𝜔𝑖

2 + 2𝛼(∆𝜃)

𝑠 =𝑣 + 𝑢

2𝑡 ∆𝜃 =

𝜔𝑓 + 𝜔𝑖

2𝑡


14

นายสดใสซ่อมจักรยาน และทดลองหมุนล้อจักรยานดังรูปพบว่าจุด ก มีความเร็วเชิงมมุ 20 เรเดียนต่อวินาที และเม่ือเวลาผ่านไป 4 วินาที จดุ ก มีความเร็วเชิงมมุ 10 เรเดียนต่อวินาที จงหาก) ขนาดความเร่งเชิงมมุของล้อจกัรยานข) ในเวลา 4 วินาที หลงัจากเร่ิมหมนุล้อ จดุ ก เคลื่อนท่ีได้ก่ีรอบ และ

กวาดมมุท่ีศนูย์กลางได้ก่ีเรเดียนค) ล้อหยดุหลงัจากเร่ิมหนนุในเวลาเทา่ใด

ตวัอย่าง

15

วงล้ออนัหนึง่มีการหมนุด้วยความเร่งเชิงมมุคงท่ีเทา่กบั 3.5 rad/s2

ถ้าอตัราเร็วเชิงมมุของวงล้อคือ 2.00 rad/s ณ เวลา ti = 0 จงหาวา่ก) เม่ือวงล้อหมนุไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะหมนุได้มมุเทา่ไรข) เม่ือวงล้อหมนุไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะมีอตัราเร็วเชิงมมุ

เทา่ไร


16

เฟือง A รัศมี 100 มิลลิเมตร ขบกบัเฟือง B รัศมี 200 มิลลิเมตร ดงัรูป ถ้าเฟือง A หมนุด้วย ความเร็ว wA = 10 เรเดียนต่อวินาที ตามเข็มนาฬิกา เฟือง B จะหมนุด้วย ความเร็ว wB = ?


A

B

wA = 10 rad/s

wB = ?

17

ตามรูป นกัข่ีจกัรยานถีบจกัรยาน ท าให้จานหมนุหนึ่งรอบในเวลา 2 วินาที ถ้าจาน A, จาน B และล้อหลงั C มีรัศมี 10 เซนติเมตร , 2.5 เซนติเมตร และ 35 เซนติเมตรตามล าดบั จกัรยานจะวิ่งด้วยอตัราเร็วเทา่ใด


RA = 10 cm.

RA = 2.5 cm.

RC = 35 cm.

T = 2 s

18

𝑟

𝑦

𝑥

𝑣• พิจารณาจดุ P บนวตัถแุข็งเกร็งซึง่เคลื่อนท่ีเป็น

วงกลม เวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นจะสมัผสักบัเส้นทางการเคลื่อนท่ีวงกลมซึง่เรียกวา่ความเร็วในแนวเส้นสมัผสั (tangential velocity) ซึง่ขนาดของมนัมีคา่เทา่กบัอตัราเร็วในแนวเส้น

สมัผสั 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡เม่ือ s คือระยะทางท่ีจดุ P

เคลื่อนท่ีได้ในเส้นทางการเคลื่อนท่ีแบบวงกลม มีขนาด 𝑠 = 𝑟𝜃 โดยท่ี r คือรัศมีซึง่มีคา่คงท่ีจะได้วา่


19

𝑟

𝑦

𝑥

𝑎𝑟

𝑎𝑡

𝑣𝑡 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝑟𝜔

• จากความสมัพันธ์ของการกระจัดเชิงเส้น และเชิงมุม คือ 𝑠 = 𝑟𝜃 ดังนัน้ ความสัมพันธ์ของอัตราเ ร็วเชิงมมุ และอตัราเร็วเชิงเส้น ได้ดงันี ้

• จากความสมัพนัธ์ของอตัราเร็วเชิงเส้นและเชิงมุม คือ 𝑣𝑡 = 𝑟𝜔 ดงันัน้ ความสมัพนัธ์ของอตัราเร่งเชิงมมุ และอตัราเร่งเชิงเส้น ได้ดงันี ้

𝑎𝑡 = 𝑟𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝑟𝛼


20

𝑟

𝑦

𝑥

𝑎𝑟• ดังนัน้อัตราเร่งของวัตถุท่ี P จะมีทัง้อัตราเร่งเข้าสู่

ศนูย์กลาง และ อตัราเร่งตามแนวสมัผสั สรุปได้วา่

• อตัราเร่งเข้าสูศ่นูย์กลาง

• อตัราเร่งตามแนวสมัผสั

𝑎

𝑎 = 𝑎𝑡2 + 𝑎𝑟

2 = 𝑟2𝛼2 + 𝑟2𝜔4 = 𝑟 𝛼2 + 𝜔4

𝑎𝑡

𝑎𝑡 = 𝑟𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝑟𝛼

𝑎𝑟 =𝑣2

𝑟= 𝑟𝜔2


21

นกักีฬาขว้างจกัรถือจกัรห่างจากแกนหมนุรัศมี 80 ซม. นกักีฬาเร่ิมหมนุด้วยความเร็วเชิงมมุ 10 เรเดียนต่อวินาที และความเร่งมุม 50 เรเดียนต่อวินาที ความเร่งของจกัรท่ีนกักีฬาขณะนัน้เป็นเทา่ใด


𝑎𝑟

𝑎𝑎𝑡

22

บนแผ่น CD ข้อมลูของเสียงจะถกูบนัทกึลงในร่องและผิวเรียบบน CD ในรูปของเลขฐานสองเม่ือมีการอ่านโดยเคร่ืองเลน่ CD ข้อมลูจะถกูแปลกลบัไปเป็นคลื่นเสียง ร่องและพืน้ท่ีเรียบท่ีมีความยาวเท่ากันจะถูกอ่านโดยเลเซอร์และเลนส์ เพ่ือให้เวลาในการอ่านสญัญาณแต่ละสญัญาณมีค่าเท่ากนัทัว่ทัง้แผ่น ๆ อตัราเร็วเชิงเส้นของแผ่น ณ ต าแหน่งท่ีผ่านเลเซอร์ จะต้องมีค่าคงท่ี ดังนัน้อตัราเร็วเชิงมุมจะต้องมีค่าเปลี่ยนไปเม่ือระบบเลเซอร์มีการเปลี่ยนต าแหน่งตามแนวรัศมีถ้าแผ่น CD มีการหมนุทวนเข็มนาฬิกาและมีความเร็วของพืน้ผิวท่ีต าแหน่งเลเซอร์เป็น 1.3 m/s


23

ก) จงหาวา่อตัราเร็วเชิงมมุของแผ่นดิสก์เป็นก่ีรอบตอ่นาทีเม่ือเร่ิมต้นอา่นจาก track ด้านในซึง่มี r = 23 mm ออกไปยงั track ด้านนอกท่ีมี r = 58

mm

r = 23 mm

r = 58 mm

24

ข) ถ้าเวลามาตรฐานในการเลน่ CD คือ 77 นาที 33 วินาที ดิสก์จะเคลื่อนท่ีได้ก่ีรอบ

r = 23 mm

r = 58 mm

25

ค) จงหาความยาวของ track ท่ีเคลื่อนท่ีผ่าน เลนส์ในช่วงเวลา 4473 s

r = 23 mm

r = 58 mm

𝜏 = 𝑟 × 𝐹

26

7.2 ทอรก์ และโมเมนตค์วามเฉ่ือยการเคล่ือนท่ีแบบหมุน

• ทอรก์(Torque) คือ ผลคณูแบบเวกเตอร์

ของแรงกบัการกระจดัท่ีวดัจากจุดหมุน มี

หน่วยเป็น นิวตนัเมตร 𝐹

𝑦

𝑥

𝑧

𝑟

𝜏 o แรงที่ท าให้เกิดการหมนุจะต้องตัง้ฉากกบัรัศมีเท่านัน้

τ = 𝑟 ∙ 𝐹 sin 𝜃

27

• ทอรก์(Torque) คือ ผล

คณูแบบเวกเตอรข์องแรงกบั

การกระจดัท่ีวดัจากจุดหมุน

𝐹

𝑟

𝜃

แรงท่ีท าให้เกิดการหมนุจะต้องตัง้ฉากกับรัศมีเทา่นัน้

28

ออกแรงขนัสกรูดงัรูป กดด้วยแรง 150 นิวตนั ในแนวดิ่งผ่านปลายด้ามจบัประแจ และห่างจากจดุหมนุ 25 เซนติเมตร เม่ือด้ามจบัท ามมุ 30 องศา กบัแนวระดบั ทอร์กของการขนัสกรูเป็นเทา่ใด


150 N

30o

29

ทรงกระบอกชิน้หนึ่งลักษณะดังรูป มีส่วนของแกนโผล่ออกมาจากทรงกระบอกใหญ่ ทรงกระบอกหมุนอย่างอิสระรอบแกนกลาง มีเส้นเชือกคล้องรอบทรงกระบอกรัศมี R1 ออกแรง F1 กระท าไปทางขวาของทรงกระบอก ออกแรง F2 กับเส้นเชือกท่ีคล้องอยู่ ท่ีแกนซึ่งมีรัศมี R2 ในแนวดิ่ง ทอร์กสทุธิท่ีกระท าต่อทรงกระบอกรอบแกนหมนุ ( แกน z ) มีค่าเทา่ไร


𝑦

𝑥

𝐹1

𝐹2

𝑅1

𝑅2

• ดงันั้น 𝒎𝒓𝟐 เรียกว่า โมเมนตค์วามเฉ่ือย

(moment of inertia, 𝐼 ) คือ ปริมาณ

ของมวลตา้นการหมุนของวตัถุ มีหน่วยเป็น

กิโลกรมั เมตร2

𝜏 = 𝑚𝑟2𝛼 = 𝐼𝛼

• แทนค่าในสมการของ ทอรก์ ไดว่้า

𝐹 = 𝑚𝑎𝑡และ 𝑎𝑡 = 𝑟𝛼

30

7.2 ทอรก์ และโมเมนตค์วามเฉ่ือยการเคล่ือนท่ีแบบหมุน

𝑟1

𝑦

𝑥

𝑟2𝑟3

𝐼 = 𝑚1𝑟12 + 𝑚2𝑟2

2 + 𝑚3𝑟32

𝑚1

𝑚2𝑚3

31

วตัถมุวล 100 กรัม และ 200 กรัม ติดอยู่กบั ปลายทัง้สองของแท่งโลหะเบายาว 120 เซนติเมตร ดงัรูป จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยรอบแกน AB


120 cm

100 cm20 cm

100 g 200 g

32

ทรงกลมเลก็ ๆ 4 อนัยดึติดกบัมมุทัง้สี่ของกรอบ วางตวัอยู่ในระนาบ xy ดงัรูป โดยสมมตุิว่าทรงกลมมีรัศมีน้อยมากเม่ือเทียบกบัขนาดของกรอบ โมเมนต์ความเฉ่ือยของระบบเป็นเทา่ใด เม่ือก) แกนหมนุเป็นแกน xข) แกนหมนุเป็นแกน yค) แกนหมนุเป็นแกน z


a

m

a

m

m

m

bb

y

x

33

7.3 โมเมนความเฉ่ือยรอบแกนหมุนสมมาตร

ตาราง : โมเมนต์ความเฉ่ือยรอบแกนหมนุสมมาตรของวตัถรูุปทรงตา่งๆรปูร่างวตัถุ แกนหมุน รปู โมเมนตค์วามเฉ่ือย(I)

ทรงกลมตนัมวล mรัศมี R

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวล 𝐼 =2

5𝑚𝑅2

ทรงกลมกลวงมวล m

รัศมี Rรอบแกนผ่านศนูย์กลางมวล 𝐼 =

2

3𝑚𝑅2

𝑅

𝑅

34


ตาราง : โมเมนต์ความเฉ่ือยรอบแกนหมนุสมมาตรของวตัถรูุปทรงตา่งๆ

รปูร่างวตัถุ แกนหมุน รปู โมเมนตค์วามเฉ่ือย(I)

ทรงกระบอกตนัมวล m รัศมี R

ยาว L

รอบแกนของทรงกระบอก 𝐼 =1

2𝑚𝑅2

ทรงกระบอกตนัมวล m รัศมี R

ยาว L

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวลตัง้ฉากกบัระนาบ

ทรงกระบอก𝐼 =

1

4𝑚𝑅2 +

1

12𝑚𝐿2

𝐿

𝑅

𝐿

𝑅

35




ทรงกระบอกกลวงมวล m รัศมี

ภายใน R1 รัศมีภายนอก R2

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวลตัง้ฉาก

กบัระนาบทรงกระบอก

𝐼 =1

2𝑚 𝑅1

2 + 𝑅22

วงแหวนบางมวลm รัศมีภายใน R

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวลตัง้ฉากกบัระนาบของวง

แหวน

𝐼 = 𝑚𝑅2

𝑅1

𝑅2

𝑅

36


ตาราง : โมเมนต์ความเฉ่ือยรอบแกนหมนุสมมาตรของวตัถรูุปทรงตา่งๆรปูร่างวตัถุ แกนหมุน รปู โมเมนตค์วามเฉ่ือย(I)

วงแหวนบางมวลm รัศมีภายใน R

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวลบนระนาบวงแหวน

𝐼 =1

2𝑚𝑅2

แผ่นกลมบางมวลm รัศมี R

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวลตัง้ฉาก

กบัระนาบแผ่น𝐼 =

1

2𝑚𝑅2

𝑅

𝑅

37




แผ่นกลมบางมวลm รัศมี R

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวลบนระนาบแผ่นกลม 𝐼 =

1

4𝑚𝑅2

แท่งวตัถเุลก็มวลm รัศมี R

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวลตัง้ฉากกบัแท่ง 𝐼 =

1

12𝑚𝐿2

𝑅

𝐿

38




แท่งวตัถเุลก็มวล m รัศมี R

รอบแกนผ่านปลายตัง้ฉากกบัแท่ง 𝐼 =

1

3𝑚𝐿2

แผ่นวตัถรูุปสี่เหลี่ยมมวล m

กว้าง a ยาว b

รอบแกนผ่านศนูย์กลางมวลตัง้ฉากกบัระนาบแผ่น

วตัถุ

𝐼 =1

12𝑚 𝑎2 + 𝑏2

𝐿

𝑏

𝑎

39






รอบแกนผ่านปลายตัง้ฉากกบั

ด้าน a𝐼 =

1

3𝑚𝑎2



รอบแกนผ่านปลายตัง้ฉากกบั

ด้าน b𝐼 =

1

3𝑚𝑏2

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

40

• พิจารณาแท่งวตัถแุข็งเกร็ง มวล M ความยาว L ดงัรูป จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของแท่งรอบแกนซึ่งตัง้ฉากกับแท่งซึ่งผ่านปลายด้านหนึ่ง (แกน y ในรูปท่ี)

ตวัอย่างท่ี : การประยุกตใ์ชท้ฤษฎีบทแกนขนาน

L

𝐼𝐶𝑀 =1

12𝑀𝐿2 𝐼 =?

𝐶𝑀

41

ระบบล้อกบัเพลาประกอบด้วยล้อมวล M1 รัศมี R ยดึติดกบัเพลามวล M2

รัศมี r ถ้าถ่วงน า้หนกัของมวล m ท่ีเชือกพนัรอบล้อ ดงัรูป ขนาดความเร่งเชิงมมุของล้อและเพลาเป็นเทา่ใด


𝑅

𝑟

𝑚

𝑀1

𝑀2

42

ทรงกระบอกกลวงบางมวล m รัศมี R กลิง้ลงพืน้เอียงท ามมุ q กบัแนวราบ โดยการกลิง้ไม่มีการไถล ศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกกลวงจะมีขนาดความเร่งเชิงเส้นเทา่ใด


𝑁

43

7.4 พลงังานจลนข์องการเคล่ือนท่ีแบบหนุน

• พลงังานจลนข์องการหมุนรอบแกน z ของวตัถุแข็งเกร็ง ไดด้งัน้ี

𝐸 𝑘หมุน = 12𝐼𝜔2

𝐸𝑘เล่ือนท่ี = 1

2𝑚𝑣2

• พลงังานจลนข์องการเล่ือนท่ี

44

ม้าหมุนชุดหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉ่ือยรอบแกนหมุนมนแนวดิ่ง 900 กิโลกรัม เมตร2 ถ้าผลกัให้หมนุรอบแกนหมนุนีใ้นอตัรานาทีละ 12 รอบ จงหาพลงังานจลน์ของม้าหมนุนี ้


45

มวล 1 กิโลกรัม และ 2 กิโลกรัม ผกูด้วยเชือกเบาตรึงกบัเสาซึง่อีกปลายยาว 2

เมตร และ 3 เมตร ตามล าดบั ทัง้ระบบหมนุรอบแกนตรึงซึง่อยู่ในแนวดิ่งกลางเสาด้วยความถ่ี 50 รอบต่อนาที จงหาพลงังานจลน์ของการหมนุรวมของมวลทัง้สอง โดยไมค่ิดโมเมนต์ความเฉ่ือยของเสา


1 kg

2kg

2 m

3 m

46𝑳 = 𝒎𝒓𝟐𝝎

7.5 โมเมนตมัเชิงมุม และอตัราการเปล่ียนโมเมนตมัเชิงมุม

𝑟m

𝐿

𝑣

𝑦

𝑥

𝑧

• โมเมนตมัเชิงมุม (Angular Momentum ; L) คือ ผลคณูระหวา่งโมนเมนต์ความเฉ่ือยกบัความเร็วเชิงมมุ

𝑳 = 𝒓 × 𝒑

𝒑

• เม่ือ 𝑝 = 𝑚𝑣 และ 𝑣 = 𝑟𝜔

• โมเมนตมัเชิงมุมขณะหน่ึง

(Instantaneous angular momentum)

• โมเมนตมัเชิงมุม

𝐿𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 = 𝐿𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝜔𝑖 < 𝜔𝑓

𝐼𝑖 > 𝐼𝑓

47

7.5 โมเมนตมัเชิงมุม และอตัราการเปล่ียนโมเมนตมัเชิงมุม

• กฎการอนุรกัษโ์มเมนตมัเชิงมุม (Law of conservation of angular

momentum) กล่าวได้ว่า ถ้าทอร์กหรือผลรวมทอร์กเน่ืองจากแรงภายนอกกระท าตอ่วตัถท่ีุก าลงัหมนุเทา่กบัศนูย์ ท าให้โมเมนตมัเชิงมมุของวตัถคุงตวั

𝜏รวม = 0

𝐿𝑖 = 𝐼𝑖 × 𝜔𝑖 𝐿𝑓 = 𝐼𝑓 × 𝜔𝑓

𝜔𝑖

𝐼𝑖

𝜔𝑓

𝐼𝑓

𝜔𝑝 =𝑚𝑔𝑟

𝐿

48

7.5 โมเมนตมัเชิงมุม และ อตัราการเปล่ียนโมเมนตมัเชิงมุม

𝑦

𝑥

𝑧

𝜃

𝐿

𝐿 sin 𝜃

Δ𝐿

Δ𝜙 =Δ𝐿

𝐿 sin 𝜃

𝑟𝑚𝑔

𝑟 sin 𝜃

τ = 𝑚𝑔 𝑟 sin 𝜃 =Δ𝐿

Δ𝑡

• การหมุนควง (precession) หมายถึง การหมนุของวตัถรุอบแกน โดยแกนในการหมนุก็หมนุเป็นวงกลมอยู่ด้วย

𝜔𝑝 =Δ𝜙

Δ𝑡

𝜔𝑝 =Δ𝐿

Δ𝑡 𝐿 sin 𝜃=

𝜏

𝐿 sin 𝜃=

𝑚𝑔 𝑟 sin 𝜃

𝐿 sin 𝜃

49

มวล 1 กิโลกรัม และ 2 กิโลกรัม ผกูด้วยเชือกเบาตรึงกบัเสาซึง่อีกปลายยาว 2

เมตร และ 3 เมตร ตามล าดบั ทัง้ระบบหมนุรอบแกนตรึงซึง่อยู่ในแนวดิ่งกลางเสาด้วยความถ่ี 50 รอบต่อนาที จงหาพลงังานจลน์ของการหมนุรวมของมวลทัง้สอง โดยไมค่ิดโมเมนต์ความเฉ่ือยของเสา


1 kg

2kg

2 m

3 m

50

จงหาขนาดของโมเมนตมัเชิงมมุของลกูโบลิง่มวล 6 กิโลกรัม รัศมี 12

เซนติเมตร ซึง่หมนุ 10 รอบตอ่วินาที ดงัรูปท่ีตวัอย่าง

51

มวล 2 อนัถกูแขวนอยูท่ี่รอกท่ีมีมวล แสดงดงัรูป จงหาความเร่งของระบบดงักลา่ว


m1

m2

𝑅𝑀

a

a aT1 T2

52

7.6 การเคล่ือนท่ีทัง้แบบเล่ือนท่ี และแบบหมุน

• การเคลื่อนที่ของวัตถุบางครัง้อาจมีการเคลื่อนที่แบบเลื่อนต าแหน่งร่วมกับการเคลื่อนที่แบบหมนุด้วย เช่น การเคลื่อนที่ของลกูบอล ลกูกอล์ฟ ลกูเทนนิส ลกูปิงปอง ล้อรถจกัรยาน ซึ่งเป็นการหมนุ รอบจุดศนูย์กลางมวล (เมื่อเคลื่อนที่อย่างอิสระ) และเป็นการหมนุรอบแกนคงตวั

พลงังานจลนข์องการกล้ิง

𝜔

𝑣K𝐸𝑅 = 1

2𝐼𝜔2

K𝐸𝑀 = 12𝑚𝑣2

พลังงานของการเคล่ือนท่ี

แบบเล่ือนต าแหน่ง

พลังงานจลน์ของการ

เคล่ือนท่ีแบบหมุน

K𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 12𝑚𝑣2 + 1

2𝐼𝜔2

53

ทรงกลมตนักลิง้ลงจากพืน้เอียงจงค านวณอตัราเร็วเชิงเส้นของศนูย์กลางมวลท่ีจุดต ่าสุดของพืน้เอียง และขนาดของอัตราเร่งเชิงเส้นของจุดศนูย์กลางมวล


M

M

h w

v

54

ทรงกลมตนัและกลอ่งมีมวลเท่ากนัมีความเร็วในแนวระนาบเท่ากนั ลกูบอลกลิง้โดยปราศจากการไถลและกล่องเกิดการไถลโดยไม่คิดแรงเสียดทานอยากทราบวา่วตัถชุนิดใดจะขึน้ไดสงูกวา่กนั


M v

M v

55

ทรงกลมตนักลิง้ลงจากพืน้เอียงจงค านวณอตัราเร็วเชิงเส้นของศนูย์กลางมวลท่ีจุดต ่าสุดของพืน้เอียง และขนาดของอัตราเร่งเชิงเส้นของจุดศนูย์กลางมวล


v

w

56

ทรงกลมตนัมวล 50 กรมั กลิง้ไปตามพืน้ราบด้วยอตัราเร็ว 8 เมตร/วินาที กลิง้มาถึงฐานของพืน้เอียง ซึ่งเอียงท ามมุ 30o กบัแนวราบ ถ้าไม่คิดพลงังานสญูหายไปเน่ืองจากความเสียดทาน จงหา(ก) พลงังานทัง้หมดของทรงกลมมีคา่เทา่ใด?

(ข) ทรงกลมกลิง้ขึน้ไปตามพืน้เอียงได้สงูจากพืน้ราบตามแนวดิ่งเทา่ใด?


50 g 8 m/s

57

ทรงกระบอกตนั A รัศมี R มวล M และ ทรงกระบอกตนั B รัศมี R/2 มวล M/4 เม่ือ เร่ิมปลอ่ยกลิง้จากพืน้เอียงท่ีความสงู h เท่ากนั เม่ือพืน้เอียงท ามมุกบัแนวระดบัเป็นมมุ q จงหาสดัสว่นของอตัราเร็งเชิงเส้นของทรงกระบอก A

ตอ่ B เป็นเทา่ใด ?


q

h

AB

บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

Education