ชุดกิจกรรมการเรียนการสอน...

ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ปรญญานพนธ

ของ ปณยพล จนทรฝอย

เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา

ตามหลกสตรปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร ธนวาคม 2551

ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

ปรญญานพนธ

ลขสทธเปนของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

บทคดยอ ของ

ปณยพล จนทรฝอย

ปณยพล จนทรฝอย. (2551). ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4. ปรญญานพนธ กศ.ม.

(คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

คณะกรรมการควบคม: อาจารยธนชย ภอดม, ผชวยศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยร.

ในการจดการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต ในระดบชนมธยมศกษาปท 4 นน จากการศกษางานวจยทเกยวของและจากการสมภาษณ พบวานกเรยนมปญหาในการเรยนเรอง

ฟงกชนตรโกณมต โดยเฉพาะอยางยงการหาคาของฟงกชนตรโกณมต การระบเครองหมายใน จตภาคตางๆ และการเขยนกราฟฟงกชนตรโกณมตมากทสด เปนเพราะนกเรยนไมสามารถมองเหน

รปธรรมของเนอหาได และนกเรยนไมสามารถทจะสราง สารวจ ซาๆ กนไดหลายครง ดงนนผวจยจง

มองหาวธทจะมาชวยแกปญหาทเกดขน ซงโปรแกรม C.a.R. เปนโปรแกรมทมความสามารถในทางเรขาคณตและพชคณต ซงเหมาะสมทจะนามาสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน เพอใหนกเรยน

สามารถสราง สารวจ ตงขอคาดการณ และสามารถทาการศกษาซาๆ ได อกทงโปรแกรม C.a.R. ยงมจดเดนในการสรางงานแบบ HTML การสรางงานในลกษณะของแบบทดสอบ และการสรางการ

เคลอนไหวได ดงนน การวจยครงนมจดมงหมายเพอ (1) เพอสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 (2) เพอศกษา

ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. (3) เพอศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากทไดทาชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. กลมตวอยางเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2551 โรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา

เขตธนบร จงหวดกรงเทพมหานคร จานวน 1 หองเรยน มนกเรยนจานวน 53 คน จากประชากรทงหมด

126 คน 3 หองเรยน โดยสมตวอยางแบบเกาะกลม (Cluster Sampling) โดยจดหองเรยนแบบคละ

ความสามารถของนกเรยนทมระดบเกง ปานกลาง และออนอยในหองเดยวกน ซงผวจยทาการทดลอง

นกเรยนกลมตวอยางดวยชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

ทผวจยสรางขน ผวจยไดทาการทดลองทงหมด 20 คาบ ซงทง 20 คาบ ผวจยทาการสอนในหอง

คอมพวเตอร โดยใชโปรแกรม C.a.R. ในการสอน ซงเครองมอทใชในการวจยครงนประกอบดวย

(1) ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ประกอบดวย คมอ

การใชชดกจกรรม ใบกจกรรมแบบรายบคคล และแผนการจดการเรยนร (2) แบบทดสอบวดผลสมฤทธ

ทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. และ (3) แบบทดสอบวดความพงพอใจ

ของนกเรยนทมตอชดกจกรรม เมอสนสดการสอนใหนกเรยนกลมตวอยางทาแบบทดสอบวดผล

สมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. และตอบแบบวดความพงพอใจ

ของนกเรยนในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ในการผานเกณฑนนนกเรยน

ตองไดคะแนนตงแต 60 คะแนนจากคะแนนเตม 100 คะแนน มาจากใบกจกรรม 20 และการทดสอบ

วดผลสมฤทธ 80 คะแนน

ผลการวจยพบวา

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนดวยชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สามารถสอบผานเกณฑไดมากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยน

ทงหมด ทระดบนยสาคญ .01 และนกเรยนกลมตวอยางมความพงพอใจในการเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. อยในระดบมาก ดงนนจงสรปไดวา นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ม

ความสามารถในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขน

INSTRUCTIONAL ACTIVITY PACKAGE ON TRIGONOMETRIC FUNCTION

BY USING C.a.R. SOFTWARE FOR MATHAYOMSUKSA IV STUDENTS

AN ABSTRACT

POONYAPON CHANFOY

Presented in Partial Fulfillment of the Requirements for the

Master of Education Degree in Mathematics

at Srinakharinwirot University

December 2008

Poonyapon Chanfoy. (2008). Instructional Activity Package on Trigonometric

Functions by Using C.a.R. Software for Mathayomsuksa IV Students.

Master thesis, M.Ed. (Mathematics). Bangkok: Graduate School,

Srinakharinwirot University. Advisor Committee: Mr. Thanuchai Pooudom,

Assist. Prof. Chutiwon Penpean.

From various studies and students’ interviews about learning and teaching

trigonometric functions, three points of students’ difficulties were found. They are

1). determining values of trigonometric functions when a real number is given 2). assigning

the positive or negative values of trigonometric functions in each quadrant and 3). draw the

graphs, determine their periods and amplitudes of trigonometric functions. The researcher

found that computer software C.a.R. could help students to overcome those difficulties.

When C.a.R. was used, students could construct, investigate and make conjectures as

many times as they wanted. Moreover C.a.R. can be linked with HTML for learning

convenience. The purposes of this study were (1) to design instructional activity package

on trigonometric functions by using C.a.R. software, (2) to determine the effectiveness of

such activity package in terms of students’ achievement, and (3) to evaluate students’

attitude toward instructional activity package.

The study took place at Bansomdej Chaopraya Rajabhat University Demonstration

Secondary School in Bangkok during the first semester of the 2008 academic year with 53

students participated as subjects. The experimental group was selected by the use of the

cluster sampling. The researcher taught them a total of 20 periods in a computer laboratory.

Each topic gave the students opportunity to use C.a.R. software. At the end of the

instruction, an achievement test was given to measure their performance on trigonometric

functions. To pass the instructional package, students’ must obtain at least 60% of the total

scores, the score form lesson activities and achievement test. The researcher hypothesized

that more than 70% of the experimental group can pass the instructional package. To find

out their preference toward the instructional, a questionnaire was also given to each student

in the experimental group.

The results showed that more than 70% of the experimental group pass the

instruction at .01 level of significant. This clearly indicated that Matthayomsuksa IV students

profit from the instructional package designed by the researcher. The scores on

questionnaire showed an average satisfaction of the experimental group toward the

instruction.

ปรญญานพนธ เรอง

ไดรบอนมตจากบณฑตวทยาลยใหนบเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตร

ปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร

ของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

................................................................... คณบดบณฑตวทยาลย

(รองศาสตราจารย ดร. สมชาย สนตวฒนกล)

วนท...........เดอน.............................พ.ศ. 2551

คณะกรรมการควบคมปรญญานพนธ คณะกรรมการสอบปากเปลา

.............................................. ประธาน .......................................... ประธาน

(อาจารยธนชย ภอดม ) (อาจารย ดร. สายณห โสธะโร)

.............................................. กรรมการ ........................................ กรรมการ

(ผชวยศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยร) (รองศาสตราจารย อษาวด จนทรสนธ)

........................................ กรรมการ

(อาจารยธนชย ภอดม)

........................................ กรรมการ

(ผชวยศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยร)

ประกาศคณปการ

ปรญญานพนธนสาเรจไดดวยด เปนเพราะผวจยไดรบความเมตตากรณาและความ

ชวยเหลออยางหาทสดมไดจากอาจารยธนชย ภอดม ประธานกรรมการควบคม และผชวย

ศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยร กรรมการควบคม โดยทานไดเสยสละเวลาอนมคาเพอใหคาปรกษา

และขอเสนอแนะตางๆ ทเปนประโยชนในการทางานวจยนทกขนตอน ตลอดจนตรวจแกไขปรญญา

นพนธฉบบนอยางละเอยดมาโดยตลอด ผวจยรสกดใจและซาบซงเปนอยางมาก จงกราบขอบพระคณ

เปนอยางสงไว ณ ทน

ขอกราบขอบพระคณ อาจารยเมตต แยมวงษ อาจารยสวรรณา คลายกระแส และอาจารย

ธนชย ภอดม ทชวยกรณาเปนผเชยวชาญในการตรวจสอบความเทยงตรงของเนอหา ความถกตองของ

ภาษา และแกไขชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต ไดแก ใบกจกรรม แบบทดสอบ

วดผลสมฤทธ แบบทดสอบวดความพงพอใจ และแผนการจดการเรยนร อกทงใหขอคดในสงทเปน

ประโยชนตอผวจย สงผลใหปรญญานพนธฉบบนสมบรณยงขน

ขอกราบขอบพระคณอาจารย ดร. สายณห โสธะโร ทกรณาเปนประธานกรรมการสอบปาก

เปลา และอาจารยธนชย ภอดม ผชวยศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยรและรองศาสตราจารยอษาวด

จนทรสนธ ทกรณารวมเปนกรรมการสอบปากเปลา และใหขอคดในสงทเปนประโยชนตอผวจย สงผล

ใหปรญญานพนธฉบบนสมบรณยงขน

ขอกราบขอบพระคณ ผอานวยการ คณะครหมวดคณตศาสตรและคอมพวเตอร โรงเรยนว

สทธกษตร โดยเฉพาะอยางยงอาจารยสมลย ออมสน ทอานวยความสะดวกในการทดลองใชเครองมอ

กบกลมนารอง และขอกราบขอบพระคณผอานวยการ คณะครหมวดคณตศาสตรและคอมพวเตอร

โรงเรยนไตรมตรวทยาลย โดยเฉพาะอยางยงอาจารยพสทธศลป โพธอะ ทชวยเปนธระในการตดตอขอ

ทดลองงานวจยกลมนารองและอานวยความสะดวกในการเกบขอมลเปนอยางยง และขอกราบ

ขอบพระคณอาจารยธนญญา คนอย และอาจารยสวทย เจรญผล ครหมวดคณตศาสตร โรงเรยน

มธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา เขตธนบร จงหวดกรงเทพฯ โดยเฉพาะอยางยง

อาจารยทวศกด จงประดบเกยรต ผอานวยการ อาจารยวรวฒ วรนมมานนท ทกรณาใหความ

ชวยเหลออานวยความสะดวกในการทดลองใชเครองมอและเกบรวบรวมขอมลทใชในการวจยครงนจน

สาเรจลลวงไปไดดวยด

ขอขอบใจนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ของโรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบาน

สมเดจเจาพระยาและโรงเรยนไตรมตรวทยาลย และขอขอบใจนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนว

สทธกษตร ทใหความรวมมอในการวจยครงนดวยด

ขอกราบขอบพระคณนางวรรณภา จนทรฝอย มารดาของขาพเจาและนางสาวชนกนาถ

จนทรฝอย นองสาวของขาพเจา ทใหความชวยเหลอกาลงทรพยและเปนกาลงใจดวยดเสมอมา

ขอกราบขอบพระคณ อาจารย ดร. รงฟา จนทจารภรณ ทไดกรณาใหยมหนงสอดๆ เพอการ

คนควาสาหรบใชในงานวจยและขอบคณ พ เพอน และนองนสตปรญญาโท สาขาคณตศาสตรทกคนท

ใหคาแนะนาและเปนกาลงใจดวยด ตลอดระยะเวลาทาปรญญานพนธฉบบน

ขอกราบขอบพระคณ ผศ. ดร. สพจน ไชยสงข ทไดกรณาเสยสละเวลาในการทางานในการ

ตรวจและปรบปรง แกไข บทคดยอทเปนภาษาองกฤษ พรอมทงใหคาแนะนาทด สงผลใหปรญญา

นพนธฉบบนสมบรณยงขน

ปณยพล จนทรฝอย

สารบญ

บทท หนา 1 บทนา ….…………………………..………………...……………...………………… 1

ภมหลง ……….………………………..……………………………………………. 1

โปรแกรมคอมพวเตอรสาหรบสรางชดกจกรรม …………………………………….. 5

ความมงหมายของการวจย ….…………..……..……………………….…….……. 6

ความสาคญของการวจย …………………………………………………………… 6

ขอบเขตของการวจย …………..……………………………………………………. 7

ประชากรทใชในการวจย …………………………………………………….…. 7

กลมตวอยางทใชในการวจย ……………………………………………………. 7

ระยะเวลาทใชในการวจย ………………………………………………….…… 7

เนอหาทใชในการวจย ………………………………………………………….. 7

ตวแปรทศกษา …………………………………………………………………. 7

นยามศพทเฉพาะ ………………………………………………………………. 8

สมมตฐานในการวจย ………………………………………………………………. 9

2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ …………………………………………………… 10

หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ………………….………………. 10

เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน ………………….. 13

เอกสารทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน ……………………………. 13

งานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน …………………………… 33

เอกสารและงานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต ……………………………... 35

เอกสารทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต ……………………………………….. 35

งานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต …………………………………….... 39

เอกสารและงานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ………… 44

เอกสารทเกยวของกบการใชคอมพวเตอรในการเรยนการสอน ………………… 44

เอกสารทเกยวของกบซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต …………………………. 45

งานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต …………………. 47

สารบญ (ตอ)

บทท หนา 3 วธดาเนนการวจย …………………………………………………………………… 52

การกาหนดประชากรและการสมกลมตวอยาง ……………………………………. 52

การสรางเครองมอทใชในการวจย …………………………………………………. 52

การเกบรวบรวมขอมล ……………………………………………………………… 63

การจดกระทาขอมลและการวเคราะหขอมล ………………………………………. 64

4 ผลการวเคราะหขอมล ……………………………………………………………… 66

5 สรปผล อภปรายผล และขอเสนอแนะ …………………………………………… 74

ความมงหมายของการวจย ………………………………………………………... 74

สมมตฐานในการวจย ……………………………………………………………… 74

วธดาเนนการวจย ………………………………………………………………….. 74

สรปผลการวจย …………………………………………………………………….. 77

อภปรายผล ………………………………………………………………………… 77

ขอเสนอแนะ ……………………………………………………………………….. 79

บรรณานกรม ………………………………………………………………………………... 81

ภาคผนวก ……………………………………………………………………………………. 91

ภาคผนวก ก รายนามผเชยวชาญ …………..………………………………...………… 92

ภาคผนวก ข การวเคราะหขอมล ………………………………………………………… 94

สารบญ (ตอ)

บทท หนา ภาคผนวก (ตอ) ............................................................................................................

ภาคผนวก ค คมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน ………………………….………. 108

ภาคผนวก ง แผนการจดการเรยนรเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. 131

ภาคผนวก จ ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ……………………………..

ภาคผนวก ฉ แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. ……………………………………………………….………

ภาคผนวก ช เฉลยชดกจกรรมการเรยนการสอนและแบบทดสอบวดผลสมฤทธ

ทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ……………….……...

ภาคผนวก ซ แบบวดความพงพอใจของนกเรยนตอการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. …………………………………………………….…………

ประวตยอผวจย ……………………………………………………………………………... 429

บญชตาราง

ตาราง หนา

1 ผลการสอบวดคณภาพการศกษาระดบชาต ดานผลสมฤทธทางการเรยน (GAT) …… 3

2 เกณฑการตรวจใหคะแนนของแบบทดสอบอตนย เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. ………………………………………………………..……………

3 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนจากการทาใบ

กจกรรมแบบรายบคคลของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ……………

4 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนจากการทา

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยม

ศกษาปท 4 ……………………………………………………………………….…

5 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนผลสมฤทธ

ทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. …………………………….………

6 คารอยละของจานวนนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ทไดคะแนนผลสมฤทธ

ทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ตงแตรอยละ 60 ขนไป

ของคะแนนเตม ……………………………………………………………………..

7 การทดสอบจานวนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทสอบผานเกณฑ เรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. มจานวนมากกวารอยละ 70 ของจานวน

นกเรยนทงหมด ……………………………………………………………….…….

8 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานและระดบความพงพอใจของนกเรยนกลม

ตวอยางหลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ……….……

9 แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

(แบบปรนย 4 ตวเลอก) ………………………………………………...................

10 แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

(แบบอตนย) …………………………………………………………………..……

11 แสดงคาความยากงาย (p), คาอานาจการจาแนก (r) และคาความเชอมนของ

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม

C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเปนกลมนารอง ……………..……

บญชตาราง (ตอ)

ตาราง หนา

12 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

นารองทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. และคาความเชอมน

ของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมนารอง ……………………………….

13 การหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดระหวางเรยนจาก

ใบกจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.ของนกเรยนกลมตวอยาง

14 การหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากการทา

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม

C.a.R. ของนกเรยนกลมตวอยาง …………………………………………………

15 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากการทา

ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. คะแนนเตม 100 คะแนน ……….

16 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากใบ

กจกรรมแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน และผลสมฤทธทางการเรยนของ

นกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 จานวน 53 คน ………………………

17 คะแนนแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. …………………………………………………………..

18 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

ตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. …………………..

บญชภาพประกอบ

ภาพประกอบ หนา

1 แผนผงขนตอนการสรางและออกแบบชดกจกรรมการเรยนการสอน …………………. 25

2 แสดงการเขยนนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน โดยวธเซอรคลาฟงกชน ………… 37

3 แสดงการอธบายนยามของฟงกชนตรโกณมต โดยวธการ The Wrapping Function .. 38

4 หนาหลกชดกจกรรมการเรยนการสอน ………………………………………………… 56

5 บางสวนของสารบญหลก ………………………………………………………………. 57

6 บางสวนของสารบญยอย ………………………………………………………………. 57

7 ตวอยางกจกรรมหนวยการวดมมเรเดยน ………………………………………………. 58

บทท 1 บทนา

ภมหลง คณตศาสตรเปนวชาทมบทบาทสาคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ทาใหมนษย

มความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผล เปนระบบระเบยบมแบบแผน สามารถวเคราะหปญหา

และสถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ ทาใหสามารถคาดการณวางแผนตดสนใจและแกปญหา

ไดอยางถกตองเหมาะสม (กรมวชาการ. 2545ก) อกทงคณตศาสตรเปนเครองมอทใชในการศกษา

วทยาศาสตรและเทคโนโลยตลอดจนศาสตรอนๆ ทเกยวของทงในอดตและปจจบน คณตศาสตร

จงเปนประโยชนตอการดารงชวต และชวยพฒนาคณภาพชวตใหดขน เชน การบอกเวลาจากเขม

นาฬกา สงเหลานเปนผลมาจากคณตศาสตรทงนน นอกจากนคณตศาสตรยงชวยพฒนามนษยให

สมบรณ มความสมดลทงทางรางกาย จตใจ สตปญญา และอารมณ สามารถคดเปน ทาเปน

แกปญหาเปน และสามารถอยรวมกนกบผอนไดอยางมความสข (กรมวชาการ. 2545ข: 1) ดงนน

การจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรควรจดใหนกเรยนสามารถคดอยางมเหตผล เขาใจ

หลกการพนฐานของโครงสรางทางคณตศาสตรและกาวตามทนยคสมยใหมทมการเปลยนแปลง

และแขงขนกนทางดานความรและเทคโนโลย และเพอใหสอดคลองกบพระราชบญญตการศกษา

แหงชาต พ.ศ. 2542 มาตรา 22 ระบวาการจดการศกษาตองยดหลกวานกเรยนทกคนม

ความสามารถเรยนรและพฒนาดวยตนเองได และถอวานกเรยนมความสาคญทสด กระบวนการ

จดการศกษาตองสงเสรมใหนกเรยนสามารถพฒนาตนเองไดตามธรรมชาตและเตมศกยภาพ และ

ในมาตรา 24 ไดระบถงการจดกระบวนการเรยนรไวสวนหนงวาใหฝกทกษะ กระบวนการคด การ

เผชญสถานการณ และการประยกตความรมาใชเพอปองกนแลแกไข

ปญหา อกทงระบใหจดกจกรรมใหนกเรยนไดเรยนรจากการลงมอปฏบตจรงฝกการปฏบตใหทาได

คดเปน ทาเปน รกการอานและเกดการใฝรอยางตอเนอง และจากการวจยเพอการพฒนาหลกสตร

ของกรมวชาการ (2545จ: 1) ไดพบขอจากดของการใชหลกสตรประถมศกษา พทธศกราช 2521

(ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2533) หลกสตรมธยมศกษาตอนตน พทธศกราช 2521 (ฉบบปรบปรง พ.ศ.

2533) และหลกสตรมธยมศกษาตอนปลาย พทธศกราช 2524 (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2533) ประการ

หนงคอ การนาหลกสตรไปใชยงไมสามารถสรางพนฐานในการคด สรางวธการเรยนรใหคนไทยม

ทกษะในการจดการและทกษะในการดาเนนชวต สามารถเผชญปญหาสงคมและเศรษฐกจท

เปลยนแปลงอยางรวดเรวไดอยางมประสทธภาพซงเปนสาเหตประการหนงททาใหประเทศไทยได

มการปรบปรงหลกสตรการเรยนการสอน โดยกระทรวงศกษาธการไดใหสถาบนสงเสรมการสอน

วทยาศาสตรและเทคโนโลยดาเนนการจดทาหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ของ

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรขนมา ซงการศกษาคณตศาสตรสาหรบหลกสตรการศกษาขน

พนฐาน พทธศกราช 2544 มสาระการเรยนรประกอบดวย

สาระท 1 จานวนและการดาเนนการ

สาระท 2 การวด

สาระท 3 เรขาคณต

สาระท 4 พชคณต

สาระท 5 การวเคราะหและความนาจะเปน

สาระท 6 ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร

สาหรบสาระท 4 พชคณต และสาระท 6 ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร หลกสตร

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ไดกาหนดมาตรฐานการเรยนรไว ดงน

มาตรฐาน ค 4.1 : อธบายและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน

ตางๆ ได

มาตรฐาน ค 4.2 : ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และแบบจาลองทาง

คณตศาสตรอนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใชแกปญหาได

มาตรฐาน ค 6.1 : มความสามารถในการแกปญหา

มาตรฐาน ค 6.2 : มความสามารถในการใหเหตผล

มาตรฐาน ค 6.3 : มความสามารถในการสอสาร การสอความหมายทาง

คณตศาสตรและการนาเสนอ

มาตรฐาน ค 6.4 : มความสามารถในการเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร

และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ ได

มาตรฐาน ค 6.5 : มความคดรเรมสรางสรรค

จากการศกษามาตรฐาน ค 4.1 และมาตรฐาน ค 6.1 ตองการใหนกเรยนไดเกดการ

เรยนรดงน ตามลาดบ

• มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชนตรโกณมตและเขยนกราฟของฟงกชนท

กาหนดใหไดและความรเรองฟงกชนตรโกณมตไปใชได

• ใชความร ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการ

แกปญหาไดอยางเหมาะสม

ถงแมวาในปจจบนการเรยนการสอนกลมสาระการเรยนรคณตศาสตรไดมการพฒนา

และปรบปรงหลกสตรอยางมาก จากการตดตามผลและการดาเนนการวจยเพอพฒนาหลกสตร

ของกระทรวงศกษาธการโดยกรมวชาการ พบวา การจดหลกสตรและการเรยนรวชาคณตศาสตร

วทยาศาสตรและเทคโนโลย ยงไมสามารถผลกดนใหประเทศไทยเปนผนาดานวทยาศาสตร

คณตศาสตร และเทคโนโลยในภมภาคอาเซยน ซงจาเปนตองปรบปรงกระบวนการเรยนการสอน

ใหคนไทยมทกษะกระบวนการและเจตคตทดทางคณตศาสตร วทยาศาสตรและเทคโนโลย พรอม

ทงมความคดสรางสรรค (กรมวชาการ. 2545จ: 1) และจากผลการประเมนคณภาพการศกษา

ระดบชาต นกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลาย วนท 12-13 พฤศจกายน ปการศกษา 2546 ดาน

ผลสมฤทธทางการเรยน (GAT) ระดบชาต จะแสดงตามตารางตอไปน

ตาราง 1 ผลการสอบวดคณภาพการศกษาระดบชาต ดานผลสมฤทธทางการเรยน (GAT)

รอยละของจานวนนกเรยน

แยกตามเกณฑ วชา จานวน

นกเรยน

คะแนน

เตม

คะแนน

เฉลย

คะแนนเฉลย

รอยละ

ความ

เบยงเบน

มาตรฐาน ปรบปรง พอใช ด

ภาษาไทย 345,463 50 22.25 44.49 6.72 26.12 61.05 12.84

ภาษาองกฤษ 345,425 50 19.57 39.14 9.25 27.36 62.79 9.85

สงคมศกษา 345,241 40 16.74 41.85 6.08 37.92 50.77 11.31

วทยาศาสตรฯ 155,350 50 24.41 48.82 7.32 18.07 57.36 24.57

เคม 189,626 40 15.46 38.65 6.87 49.02 40.22 10.76

ชววทยา 188,986 40 14.70 36.76 5.59 48.45 43.27 8.28

ฟสกส 189,568 40 13.03 32.59 6.38 51.27 40.53 8.20

คณตศาสตร 244,720 40 13.60 33.99 6.81 57.49 35.32 7.18

ทมา: สานกงานทดสอบทางการศกษา. (2546). ผลการสอบวดคณภาพการศกษา. (ออนไลน)

จากตาราง 1 จะพบวาวชาคณตศาสตร มอตราสวนทควรปรบปรงสงกวาวชาอนๆ ซง

กรมวชาการ (2545จ: 4) กลาววาการจดการเรยนรในกลมสาระการเรยนรตางๆ ครตองคานงถง

พฒนาการทางดานรางกาย สตปญญา วธการเรยนร และความสนใจของนกเรยน ซงปจจยเหลาน

สงผลตอการเรยนรของนกเรยน ครควรมวธการสอนทหลากหลายเพราะหากนกเรยนไดเรยนรแต

เนอหาวชาแตเมอตองเผชญกบสถานการณ ทเปนปญหาในชวตประจาวนหรอสถานการณใหมๆ

กลบไมสามารถแกไขปญหาเหลานนไดเนองจากขาดทกษะกระบวนการและประสบการณในการ

แกปญหา ดงนนถาครสามารถจดชดกจกรรมการเรยนการสอนใหนกเ รยนเรยนรจาก

ประสบการณจรงจากการฝกปฏบต ฝกใหนกเรยนคดวเคราะหและแกปญหา ซงครจะตองเนน

บทบาทของตนเองอยางเหมาะสมและเพมบทบาทของนกเรยนใหมากขน โดยใหนกเรยนเปน

ผกระทา เปนผแกปญหา เปนผคนควาแลกเปลยนความรและประสบการณซงกนและกน

ชวยเหลอกนซงทาใหนกเรยนรสกสนกสนานในการเรยนรกจะชวยกระตนใหนกเรยนใฝเรยนใฝร

มากขน และเมอไดเผชญกบสถานการณจรงกจะทาใหนกเรยนรจกใชทกษะในการแกปญหา

เฉพาะหนาได

สาหรบเนอหาวชาคณตศาสตรในเรอง ฟงกชนตรโกณมต จากการศกษางานวจยท

เกยวของและการสอบถามสภาพปญหาจรง เกยวกบการเรยนการสอน เรอง ฟงกชนตรโกณมต

พบวาปญหาทเกดขนกบนกเรยนในการเรยนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมต มดงน

กตยารตน ภรพฒน (2545: 60-70) ไดพบวานกเรยนมปญหาเกยวกบการเรยนการสอน

เรอง ฟงกชนตรโกณมต ดงน

1. นกเรยนไมเขาใจคาของฟงกชนตรโกณมต

2. บกพรองเรองการหาคาฟงกชนตรโกณมต

3. ไมเขาใจในการกาหนดเครองหมายในจตภาค

4. ไมเขาใจการระบคาพกดของจด

5. นกเรยนแยกแยะกราฟของแตละฟงกชนไมได

ศรลกษณ กโบลา (2547: 4) การสอน เรองฟงกชนตรโกณมต มปญหาดงน

1. ขาดสอการเรยนการสอนทมประสทธภาพ

2. เนอหาสวนมากเปนนามธรรม

สมศกด อวนสาเล (2540: 92–103) ไดพบวานกเรยนมปญหาดงน

1. การหาคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน

2. การหาตาแหนงจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวย

3. สบสนเรองเครองหมายของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนในชวงตางๆ

4. การใชสตรตางๆ ของฟงกชนตรโกณมตอนๆ

5. ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต

6. ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบคาบของฟงกชนตรโกณมต

ครพสมร สทธกลด (2551: สมภาษณ) ตาแหนง คร คศ.3 โรงเรยนศกษานาร ผม

ประสบ

การณในการสอน วชาคณตศาสตร ในระดบมธยมศกษาตอนปลาย มานานกวา 25 ป ไดพบปญหา

ดงน

1. เนอหาเรองฟงกชนตรโกณมตเปนเรองทนกเรยนมปญหามากทสด ในระดบชน

มธยมศกษาปท 4 ซงไดแกเนอหาดงน

1.1 การหาคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน

1.2 สบสนเรองเครองหมายของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนในชวงตางๆ

1.3 ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต

1.4 ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบคาบของกราฟฟงกชนตรโกณมต

2. ขาดสอการเรยนการสอนทจะชวยใหนกเรยนทาการสารวจ สงเกต ตงขอ

คาดการณ และสรปความสมพนธของฟงกชนตรโกณมต

จากปญหาตางๆ ขางตนจะเหนวาในการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชน

ตรโกณมต คอนกเรยนไมเขาใจเรองคาของฟงกชนตรโกณมต การหาคาของฟงกชนตรโกณมต

มากทสด และไมเขาใจการระบเครองหมายในจตภาคตางๆ และไมเขาใจความคดรวบยอดเกยว

กบการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต ปญหาเหลานนกเรยนควรไดรบการแกไขจากคร ซงผวจย

ไดพยายามหาวธทางในการปรบปรงและพฒนาการเรยนการสอน เพอแกไขขอบกพรองของ

นกเรยนทเปนปญหาในการเรยน เรอง ฟงกชนตรโกณมต

ดวยความกาวหนาของเทคโนโลยทางคอมพวเตอรไดเขามามบทบาทในดานการเรยน

การสอนคณตศาสตร มซอฟตแวรทางคอมพวเตอรมากมายทเกยวของกบการเรยนการสอนวชา

คณตศาสตร ทงทางดานเรขาคณต พชคณต จานวนและการดาเนนการ โดยเฉพาะในสวนของ

เรขาคณต ซงซอฟตแวรคอมพวเตอรทดจะชวยใหนกเรยนสามารถสรางรปเรขาคณต และวดขนาด

ความยาวสวนของเสนตรง ความยาวสวนโคง และมมไดอยางรวดเรวถกตอง ทงยงชวยใหนกเรยน

สรางรปสองมตและสามมตบนหนาจอแลวสามารถพลก หมน หรอเลอนรปในมมมองตางๆ ทา

กจกรรมการสารวจดวยการพลก เลอน หมน ยอ ขยาย เพอเรยนรมโนทศนตางๆ ทางเรขาคณตได

รวดเรว และสามารถทดลองสรางรปเรขาคณต หรอกราฟ ในลกษณะตางๆ ไดหลายๆ ครง ซง

นาไปสการคนหาสมบตตางๆ ทางเรขาคณต นกเรยนสามารถสารวจตงขอคาดการณ และสบเสาะ

ตรวจคนรปตางๆ ในหลายลกษณะเพอยนยนเหตผลของตนเองสงเสรมใหนกเรยนเกดจนตนาการ

ในการคนควาหาเหตผลและเพมพนความร ซงการเรยนรเรขาคณตในลกษณะดงกลาว จะทาให

นกเรยนมองสงตางๆ รอบตวไดอยางมความหมายมากขน (วรรณวภา สทธเกยรต. 2542: 3-4)

นอกเหนอจากงานวจยทเกยวของทผวจยไดทาการศกษาในบทท 2 ผวจยยงไดทาการ

ศกษาโปรแกรมทเกยวกบเรขาคณตแบบพลวต ไดแก GSP, Geogebra และ C.a.R. ซงโปรแกรม

ทงสามนมความสามารถในการใชงานทคลายคลงกน คอเปนโปรแกรมทสามารถสรางภาพ

เคลอนไหว ยอ ขยายภาพไดตามทตองการ ซงเหมาะทจะนามาใชเปนประโยชนในการเรยนการ

สอน ปรบปรง และพฒนารปแบบการสอนใหดขน

โปรแกรมคอมพวเตอรสาหรบสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน ในการวจยครงนโปรแกรมทผวจยนามาใชสาหรบสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน คอ

โปรแกรมคอมพวเตอร ชอ C.a.R. ยอมาจาก Compass and Ruler, Construct and Rule ซง

เปนโปรแกรมซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ทพฒนาขนเพอใชเปนสอในการเรยนการสอนวชา

คณตศาสตร โดย Prof Dr. René Grothmann ในเวอรชน 8.0 ซงเปนโปรแกรมทสามารถสรางรป

เรขาคณต รปกราฟตางๆ สามารถเลอน หมน ยอ ขยาย และเคลอนไหวได ทาใหนกเรยนสามารถ

สบเสาะ คนหา และคาดเดา และสรปหาเหตผลดวยตนเองได แตยงคงรกษาสมบตและ

ความสมพนธของรปนนไวเสมอ เชน เมอกาหนดรปสามเหลยมหนาจวเปนรปสามเหลยมหนาจว

ไมวาจะเคลอนยายจด ยอ ขยาย หรอหมนรปในลกษณะใดกตาม โปรแกรม C.a.R. กยงคงรกษา

สมบตของรปสามเหลยมหนาจวไว สาเหตทผวจยเลอกโปรแกรม C.a.R. มาใชในงานวจยเพราะ

เปนโปรแกรมทมความสามารถในการใชงานทางเรขาคณตและพชคณต และจดเดนของโปรแกรม

C.a.R. คอ 1. สามารถแปลงเปนแฟมงาน HTML ได 2. สามารถสรางงานในลกษณะของ

แบบทดสอบได 3. สามารถทาการเคลอนไหวในลกษณะ Animationได อกทงยงเปนโปรแกรมท

ไดรบอนญาตใหทาการเผยแพรโดยไมเสยคาลขสทธ ดวยความสาคญและเหตผลดงกลาวขางตน

ผวจยจงสนใจทจะนาโปรแกรม C.a.R. เขามาใชในการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรเพมเตม

เรองฟงกชนตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 เพอสงเสรมใหนกเรยนสารวจ ตงขอ

คาดการณ และสบเสาะหาเหตผลดวยตนเอง เพอเปนอกแนวทางหนงในการจดชดกจกรรมการ

เรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต

ความมงหมายของการวจย ในการวจยครงนผวจยไดตงความมงหมายไวดงน

1. เพอสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม

C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

2. เพอศกษาผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

3. เพอศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากทไดทาชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

ความสาคญของการวจย 1. ไดชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

2. ไดแนวทางในการจดชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต ซงนกเรยน

เปนผลงมอปฏบตเอง โดยอาศยการสารวจ ตงขอความคาดการณ การสราง และหาเหตผลเพอ

ตรวจสอบขอความคาดการณทตงไว

3. ทราบความพงพอใจของนกเรยนหลงจากใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

4. ผลทไดจากการศกษาวจยครงนจะเปนแนวทางในการสรางหรอพฒนาบทเรยนโดยใช

โปรแกรมซอฟตแวรทางคอมพวเตอร ในคณตศาสตรแขนงอนๆ และสาขาวชาอนๆ ตอไป

ขอบเขตของการวจย 1. ประชากรและกลมตวอยางทใชในการวจย 1.1 ประชากร นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลย

ราชภฏบานสมเดจเจาพระยา เขตธนบร จงหวดกรงเทพมหานคร

1.2 กลมตวอยาง นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2551

โรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา จานวน 1 หอง 53 คน จาก

ทงหมด 3 หองจานวน 126 คน โดยสมตวอยางแบบเกาะกลม (Cluster Sampling) โดยจด

หองเรยนแบบคละความสามารถของนกเรยนทมระดบเกง ปานกลาง และออนอยในหองเดยวกน

2. เนอหาทใชในการวจย เนอหาการทาวจยครงนเปนชดกจกรรมการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรเพมเตม

เรองฟงกชนตรโกณมต องตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ประกอบดวย

หนวยยอย 7 หนวย ใชเวลา 18 คาบ คาบละ 50 นาทและทาการทดสอบวดผลสมฤทธ 2 คาบ ดงน

2.1 หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

2.2 หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง เวลา 2 คาบ

2.3 หนวยท 3 ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เวลา 1 คาบ

2.4 หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เวลา 4 คาบ

2.5 หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธ เวลา 2 คาบ

ระหวางฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

2.6 หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม เวลา 3 คาบ

2.7 หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต เวลา 4 คาบ

2.8 ทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

3. ตวแปรทศกษา 1. ตวแปรอสระ คอ ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขนเอง

2. ตวแปรตาม ไดแก

2.1 ผลสมฤทธทางเรยนของนกเรยนทเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

2.2 ความพงพอใจของนกเรยนทมตอการเรยนหลงเรยนดวยชดกจกรรมการ

เรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. 4. นยามศพทเฉพาะ 1. ชดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใชโปรแกรม C.a.R. หมายถง ชดกจกรรม

การเรยนการสอนทผวจยสรางขน ซงจดลาดบเนอหาของบทเรยนเปนหนวยยอย ๆ เรยกวา กรอบ

(frame) ซงแตละกรอบมการอธบายเนอหาและมกจกรรมทผวจยสรางขนจากโปรแกรม C.a.R. ซง

เปนโปรแกรมททาใหนกเรยนไดทาการสารวจ วเคราะห สงเกต ตงขอคาดการณ ตรวจคาตอบ และ

สรปความรไดดวยตนเองภายใตคาสอนของคร ชดกจกรรมจะมสสนทสวยงาม สามารถ ยด ยอ

ขยาย เคลอนไหว ทาใหนกเรยนเกดการกระตอรอรนในการเรยนมากขน เนอหาทใชทากจกรรม คอ

เรอง ฟงกชนตรโกณมต ประกอบดวย

1.1 หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต

1.2 หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง

1.3 หนวยท 3 ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

1.4 หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

1.5 หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธระหวางฟงกชนไซน

และฟงกชนโคไซน

1.6 หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม

1.7 หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

2. ผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต หมายถง คะแนนรวมของ

นกเรยนทไดจากการประเมนผล ดงน

2.1 การประเมนผลระหวางเรยน จากใบกจกรรม มนาหนกคะแนนคดเปน

รอยละ 20 ของคะแนนทงหมด

2.2 การประเมนผลหลงเรยน จากการทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการ

เรยนเรอง ฟงกชนตรโกณมต มนาหนกคะแนนคดเปนรอยละ 80 ของคะแนนทงหมด

3. แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต หมายถง

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนทผวจยสรางขน เพอวดความรความเขาใจ ของนกเรยน

ระดบชนมธยมศกษาปท 4 หลงจากทไดเรยนผานชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

4. เกณฑผานการสอบ หมายถง คารอยละ 60 ของคะแนนรวม กลาวคอ ถา

นกเรยนไดคะแนนสอบไมนอยกวารอยละ 60 ของคะแนนรวม ถอวานกเรยนสอบผานเกณฑ 5. ความพงพอใจของนกเรยนในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช โปรแกรม C.a.R. หมายถง การแสดงออกของนกเรยนถงความพงพอใจในชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ซงวดจากแบบสอบถามวดความพงพอใจของ

นกเรยนทผวจยสรางขน เปนชนดมาตราสวนประมาณคา (Rating Scale) 5 สเกล คอ 5, 4, 3, 2 และ

1 หมายถง มากทสด มาก ปานกลาง นอย และนอยทสด ตามลาดบ และนาเสนอนาหนกความคด

โดยใชการประเมนคาความคดเหนของประคอง กรรณสต (2538: 77) ดงน

คะแนนเฉลย 4.50–5.00 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบมากทสด

หลงจากเรยนชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 3.50–4.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบมาก

คะแนนเฉลย 2.50–3.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบปานกลาง

คะแนนเฉลย 1.50–2.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบนอย

คะแนนเฉลย 1.00–1.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบนอยมาก

สมมตฐานในการวจย นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 สามารถสอบผานเกณฑการเรยน เรอง ฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. มากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยนทงหมด

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ

ในการวจย เรองชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. ครงน ผวจยไดศกษาเอกสารและงานวจยทเกยวของ และไดนาเสนอโดยแบง

ออกเปน 3 ตอน ดงน

ตอนท 1 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน

ตอนท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต

ตอนท 3 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมทใชซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวต

ตอนท 1 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน 1. หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ในการวจยครงนผวจยไดทาการศกษาแนวนโยบายทางการศกษา ของหลกสตร

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 เพอเปนกรอบแนวคดในการสรางชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. โดยผวจยไดทาการศกษาแนวนโยบาย ดงน 1.1 ความสาคญ คณตศาสตรมบทบาทสาคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ทาใหมนษยม

ความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผล เปนระบบ ระเบยบ มแบบแผน สามารถวเคราะหปญหาและ

สถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ ทาใหสามารถคาดการณ วางแผน ตดสนใจ และ แกปญหาได

อยางถกตองและเหมาะสม คณตศาสตรเปนเครองมอในการศกษาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

ตลอดจนศาสตรอนๆ ทเกยวของ คณตศาสตรจงมประโยชนตอการดารงชวตและชวยพฒนาคณภาพ

ชวตใหดขน นอกจากนคณตศาสตรยงชวยพฒนาคนใหเปนมนษยทสมบรณ มความสมดลทงทาง

รางกายจตใจ สตปญญา และอารมณ สามารถคดเปน ทาเปน แกปญหาเปน และสามารถอยรวมกบ

ผอนไดอยางมความสข 1.2 วสยทศน การศกษาคณตศาสตรสาหรบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 เปน

การศกษาเพอปวงชนทเปดโอกาสใหเยาวชนทกคนไดเรยนรคณตศาสตรอยางตอเนองและตลอดชวต

ตามศกยภาพ ทงนเพอให เยาวชนเปนผทมความรความสามารถทางคณตศาสตรทพอเพยง สามารถ

นาความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรทจาเปนไปพฒนาคณภาพชวตใหดยงขน รวมทง

สามารถนาไปเปนเครองมอในการเรยนรสงตางๆ และเปนพนฐานสาหรบการศกษาตอ ดงนนจงเปน

ความรบผดชอบของสถานศกษาทตองจดสาระการเรยนรทเหมาะสมแกนกเรยนแตละคน ทงนเพอให

บรรลตามมาตรฐานการเรยนรทกาหนดไว 1.3 คณภาพของนกเรยน เมอนกเรยน เรยนจบการศกษาขนพนฐาน 12 ปแลว นกเรยนจะตองมความรความ

เขาใจในเนอหาสาระคณตศาสตร มทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร มเจตคตทดตอคณตศาสตร

ตระหนกในคณคาของคณตศาสตร และสามารถนาความรทางคณตศาสตรไปพฒนาคณภาพชวต

ตลอดจนสามารถนาความรทางคณตศาสตรไปเปนเครองมอในการเรยนรสงตางๆ และเปนพนฐานใน

การศกษาในระดบทสงขน

1.3.1 คณภาพของนกเรยนเมอจบชวงชนท 4 (ชนมธยมศกษาปท 4-6)

เมอนกเรยนจบการเรยนชวงชนท 4 นกเรยนควรจะมความสามารถดงน

1. มความคดรวบยอดเกยวกบระบบจานวนจรงและสามารถนาสมบตของ

จานวนจรงไปใชได

2. นาความรเรองอตราสวนตรโกณมตไปใชคาดคะเนระยะทาง ความสง และ

แกปญหาเกยวกบการวด

3. มความเขาใจและสามารถใชการใหเหตผลแบบอปนยและนรนยได

4. มความคดรวบยอดในเรองเซตและการดาเนนการของเซต สามารถบอกไดวา

การอางเหตผลสมเหตสมผลหรอไมโดยใชแผนภาพแทนเซต มความคดรวบยอดเกยวกบความสมพนธ

และฟงกชนสามารถใชความสมพนธและฟงกชนแกปญหาในสถานการณตางๆ ได

5. สามารถหาพจนทวไปของลาดบทกาหนดให เขาใจความหมายของผลบวก

ของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต อนกรมเรขาคณต และหาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลข

คณต และอนกรมเรขาคณตโดยใชสตรและการนาไปใช

6. สามารถสารวจรวบรวมขอมล วเคราะหขอมล และนาผลจากการวเคราะห

ขอมลไปชวยในการตดสนในบางอยางได

7. นาความรเรองความนาจะเปนของเหตการณไปใชได

8. มทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรทจาเปน สามารถแกปญหาดวยวธ

การทหลากหลายและใชเทคโนโลยทเหมาะสม สามารถใหเหตผล สอสาร สอความหมายทาง

คณตศาสตร และนาเสนอมความคดรเรมสรางสรรค สามารถเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร

และเชอมโยงคณตศาสตร กบศาสตรอนๆ ได

1.4 มาตรฐานการเรยนร มาตรฐานการเรยนรทจาเปนสาหรบนกเรยนทกคน มดงน

สาระท 1: จานวนและการดาเนนการ

มาตรฐาน ค 1.1 เขาใจถงความหลากหลายของการแสดงจานวนและการใช

จานวนในชวตจรง

มาตรฐาน ค 1.2 เขาใจถงผลทเกดขนจากการดาเนนการของจานวนและความ

สมพนธระหวางการดาเนนการตางๆ และสามารถใชการดาเนนการในการแกปญหาได

มาตรฐาน ค 1.3 ใชการประมาณคาในการคานวณและแกปญหาได

มาตรฐาน ค 1.4 เขาใจระบบจานวนและสามารถนาสมบตเกยวกบจานวนไปใช

สาระท 2: การวด

มาตรฐาน ค 2.1 เขาใจพนฐานเกยวกบการวด

มาตรฐาน ค 2.2 วดและคาดคะเนขนาดของสงทตองการวดได

มาตรฐาน ค 2.3 แกปญหาเกยวกบการวดได

สาระท 3: เรขาคณต

มาตรฐาน ค 3.1 อธบายและวเคราะหรปเรขาคณตสองมตและสามมตได

มาตรฐาน ค 3.2 ใชการนกภาพ (visualization) ใชเหตผลเกยวกบปรภม

(spatial reasoning) และใชแบบจาลองทางเรขาคณต(geometric model) ในการแกปญหาได

สาระท 4: พชคณต

มาตรฐาน ค 4.1 อธบายและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และ

ฟงกชนตางๆ ได

มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และแบบจาลองทาง

คณตศาสตรอนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใชแกปญหาได

สาระท 5: การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวธการทางสถตในการวเคราะหขอมลได

มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการ

คาดการณไดอยางสมเหตสมผล

มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจ

และแกปญหาได

สาระท 6: ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา

มาตรฐาน ค 6.2 มความสามารถในการใหเหตผล

มาตรฐาน ค 6.3 มความสามารถในการสอสาร การสอความหมายทาง

คณตศาสตรและการนาเสนอ

มาตรฐาน ค 6.4 มความสามารถในการเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร

และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ ได

มาตรฐาน ค. 6.5 มความคดรเรมสรางสรรค

สาหรบสาระการเรยนรคณตศาสตรพนฐาน เปนสาระการเรยนรทจดขนให

สอดคลองกบมาตรฐานการเรยนรชวงชนทนกเรยนทกคนตองบรรล

2. เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน 2.1 ความหมายของชดกจกรรม ชดการสอนหรอชดการเรยนมชอเรยกตางกน เชน ชดการสอน ชดการเรยนการสอนชด

การเรยนสาเรจรป ชดการสอนรายบคคล ชดการเรยนดวยตนเอง ชดกจกรรม ซงในการวจยครงนผวจย

ขอใชคาวา “ชดกจกรรม” แทนชอตางๆ ดงกลาวขาง ซงมผใหความหมายไวตางๆ กนดงน

บราวน และคนอนๆ (Brown; et al. 1973: 338) ใหความหมายไววาชดกจกรรม คอ

ชดของสอผสม ทสรางขนเพอชวยเหลอครใหสามารถสอนไดอยางมประสทธภาพ ชดกจกรรมมกจะ

ประกอบไปดวยสงของหลายอยาง เชน ภาพโปรงใส ฟลมสครป ภาพเหมอน และแผนภม บางชดอาจ

ประกอบดวยเอกสารเพยงอยางเดยวบางชดอาจจะเปนโปรแกรมทมบตรคาสงใหนกเรยน เรยนดวยตนเอง

วาสนา ชาวหา (2525: 32) ไดใหความหมายของชดกจกรรมวาหมายถง การวางแผน

การเรยนการสอนโดยใชสอตางๆ รวมกน (Multi Media Approach) หรอหมายถงการใชสอประสม

(Multi Media) เพอสรางประสบการณในการเรยนรอยางกวางขวางและเปนไปตามจดมงหมายทวางไว

โดยจดไวเปนชดหรอกลอง

วชย วงษใหญ (2525: 185) กลาววา ชดกจกรรมเปนระบบการผลตและการนาสอ การ

เรยนหลายๆ อยางมาสมพนธกน และมคณคาสงเสรมซงกนและกน สอการเรยนอยางหนงอาจใชเพอ

การเราความสนใจ ในขณะทอกอยางหนงใชเพออธบายขอเทจจรงของเนอหาและอกอยางหนงอาจใช

เพอกอใหเกดการเสาะแสวงหาอนนาไปสความเขาใจอนลกซงและปองกนการเขาใจความหมายผด สอ

การเรยนเหลานเรยกอกประการหนง สอประสมทเรานามาใชใหสอดคลองกบเนอหาวชา เพอชวยให

นกเรยนมการเปลยนแปลงพฤตกรรมการเรยนรใหเปนไปอยางมประสทธภาพยงขน

ยพน พพธกล (2530: 212) ไดใหความหมายของชดกจกรรมเปนรายบคคลวา เปนชด

กจกรรมทนกเรยนเรยนดวยตนเอง ในชดกจกรรมจะประกอบดวย บตรคาสง บตรกจกรรม บตรเนอหา

บตรแบบฝกหด หรอบตรงานพรอมเฉลยและบตรทดสอบพรอมเฉลย ในชดกจกรรมนนจะมสอการ

เรยนการสอนไวพรอมเพอทนกเรยนจะใชประกอบการเรยนเรองนนๆ

บญชม ศรสะอาด (2541: 95) ไดใหความหมายของชดกจกรรม หมายถง สอการเรยน

หลายอยางประกอบกนจดเขาไวเปนชด เรยกวา สอประสม (Multi Media) เพอมงใหนกเรยนเกดการ

เรยนรอยางมประสทธภาพ

บญเกอ ควรหาเวช (2545: 91) ไดใหความหมายชดกจกรรม หมายถง สอการสอนชนด

หนงซงเปนชดของสอประสม (หมายถง การใชสอการสอนตงแตสองชนดขนไปรวมกน เพอใหนกเรยน

ไดรบความรตามทตองการ สอทนามาใชรวมกนนจะชวยเสรมประสบการณซงกนและกนตามลาดบขน

ทจดเอาไว) ทจดขนสาหรบหนวยการเรยนตามหวขอเนอหาและประสบการณของแตละหนวยทตอง

การจะใหนกเรยนไดรบ โดยจดเอาไวเปนชดๆ บรรจอยในซอง กลอง หรอกระเปา

กองพฒนาการการศกษานอกโรงเรยน (2542: 5) กลาวา ชดกจกรรม หมายถง งานหรอ

ภารกจทกาหนดใหนกเรยนลงมอปฏบตระหวางศกษาหรอหลงจากศกษาเนอหาสาระตาง ๆ ในชดวชา

แตละเรองจบแลว ชดกจกรรมตองสอดคลองกบวตถประสงค นกเรยนไดลงมอปฏบตและมสวนรวมใน

การเรยนดวยตนเองตามทกาหนดในชดวชา เมอทากจกรรมเสรจเรยบรอยแลว จะสามารถตรวจสอบ

แนวตอบทนทวงทเปนการเสรมแรงและประสบการณทเปนความภาคภมใจใหแกนกเรยน

กาญจนา เกยรตประวต (2524: 175) กลาววา ชดกจกรรม หมายถง ระบบการผลตและ

การนาสอการเรยนตางๆ ทสมพนธกบเนอหา มาสงเสรมใหเกดการเปลยนแปลงพฤตกรรมการเรยนร

ตามจดประสงคอยางมประสทธภาพมากขน

สมานน รงเรองธรรม (2526: 112) กลาววาชดกจกรรม หมายถง ระบบการผลตและการ

นาสอการเรยนหลายๆ อยางมาสมพนธกนและมคณคาสงเสรมซงกนและกน หรอการนาระบบสอ

ประสม (Multi Media) ทสอดคลองกบเนอหาและประสบการณของแตละหนวยวชา มาชวยใหการ

เปลยนแปลงพฤตกรรมการเรยนรเปนไปอยางมประสทธภาพมากขน วฒนาพร ระงบทกข (2542: 27) กลาววา ชดกจกรรม คอ กจกรรมการเรยนรทไดรบการ

ออกแบบและจดอยางเปนระบบ ประกอบดวยจดมงหมาย เนอหาและวสดอปกรณ โดยกจกรรมตางๆ

ดงกลาว ไดรบการรวบรวมไวเปนระเบยบในกลองเพอเตรยมไวใหนกเรยนไดศกษาจากประสบการณ

ทงหมด

จากการศกษาความหมายตางๆ ของชดกจกรรมผวจยไดรวบรวมและไดสรปความหมาย

ของชดกจกรรมการเรยนการสอน ไวดงน

ชดการสอนหรอชดกจกรรมการเรยนการสอน หมายถง ระบบการผลตโดยครผสอนและ

การนาสอการเรยนหลายๆ อยางประผสมผสานกนหรอเรยกวาสอประสม (Multi Media) โดยจดอยาง

เปนระบบ ประกอบดวยจดมงหมาย เนอหา แบบฝกหดและวสดอปกรณประกอบการเรยน สาหรบการ

เรยนรเปนรายบคคลหรอการเรยนเปนกลม ซงจะชวยใหนกเรยนไดสมฤทธผลทางการเรยนตาม

เปาหมาย นกเรยนจะเรยนไปตามอตราความสามารถและความตองการของตนเองทาใหนกเรยนมการ

เปลยนแปลงพฤตกรรมการเรยนรใหเปนไปอยางมประสทธภาพยงขน 2.2 ประเภทของชดกจกรรม คณะอนกรรมการพฒนาการสอนและผลตอปกรณการสอนคณตศาสตร (2524: 250–251)

ไดแบงประเภทของชดกจกรรมออกเปน 3 ประเภท คอ

1. ชดกจกรรมสาหรบคร เปนชดสาหรบจดใหครโดยเฉพาะ มคมอและเครองมอ

สาหรบครซงพรอมทจะนาไปใชสอนใหเดกเกดพฤตกรรมทคาดหวง ครเปนผดาเนนการและควบคม

กจกรรมทงหมด นกเรยนมสวนรวมกจกรรมภายใตการดแลของคร

2. ชดกจกรรมสาหรบนกเรยน เปนชดกจกรรมการเรยนสาหรบจดใหนกเรยน เรยน

ดวยตนเอง ครมหนาทเพยงจดอปกรณและมอบชดการเรยนให แลวคอยรบรายงานผลเปนระยะๆ ให

คาแนะนาเมอมปญหาและประเมนผล ชดการเรยนนจะฝกการเรยนดวยตนเอง เมอนกเรยน เรยนจบ

การศกษาจากโรงเรยนไปแลวกสามารถเรยนรหรอศกษาสงตางๆ ไดดวยตนเอง

3. ชดกจกรรมทครและนกเรยนใชรวมกน ชดนมลกษณะผสมระหวางชดแบบ

ท 1 และชดแบบท 2 ครเปนผคอยดแล และกจกรรมบางอยางครตองเปนผแสดงนาใหนกเรยนด และ

กจกรรมบางอยางนกเรยนตองทาดวยตนเอง ชดการเรยนแบบนเหมาะอยางยงทจะใชกบนกเรยน

ระดบมธยมศกษาซงจะเรมฝกใหรจกการเรยนดวยตนเองภายใตการดแลของคร

กาญจนา เกยรตประวต (2524: 175)ไดจาแนกประเภทของชดกจกรรมไว 2 ประเภท คอ

1. ชดกจกรรมสาหรบกจกรรมกลม สงเสรมใหนกเรยนศกษาหาความรดวยตนเอง

โดยใชกจกรรมกลม เชน ในวธการของศนยการเรยน (Learning Center) หรอบทเรยนโมดลเมอ

ออกแบบใหใชกจกรรมกลมเปนวธเรยน

2. ชดกจกรรมรายบคคล สงเสรมการเรยนดวยตนเองตามลาพง เพอพฒนาความ

รบผดชอบของนกเรยน และความกาวหนาในการเรยนตามความสามารถในเวลาทแตกตางกนนกเรยน

สามารถทดสอบเพอทราบผลความกาวหนาของตนเองไดทกเวลา และตรวจคาตอบไดทนท

วชย วงษใหญ (2525: 174–175) ไดแบงชดกจกรรมตามลกษณะของการใชออก

เปน 3 ประเภท คอ

1. ชดกจกรรมสาหรบการบรรยาย หรอเรยกอกอยางหนงวา ชดการเรยนสาหรบคร

ใช คอเปนชดการเรยนการสอนสาหรบกาหนดกจกรรมและสอการเรยนใหครใชประกอบคาบรรยาย

เพอเปลยนบทบาทการพดของครใหนอยลง และเปดโอกาสใหนกเรยนรวมกจกรรมการเรยนมากยงขน

ชดการเรยนการสอนนจะมเนอหาเพยงหนวยเดยวและใชกบนกเรยนทงชน

2. ชดกจกรรมสาหรบกจกรรมแบบกลม ชดการเรยนการสอนนมงเนนทตวนกเรยน

ไดประกอบกจกรรมรวมกน และอาจจดการเรยนการสอนในรปศนยการเรยน ชดการเรยนการสอนแบบ

กจกรรมกลมอาจจะตองขอความชวยเหลอจากครเพยงเลกนอยในระยะเรมตนเทานน หลงจากเคยชน

ตอวธการใชแลวนกเรยนสามารถชวยเหลอ ซงกนและกนไดเอง ในขณะทากจกรรมการเรยนหากม

ปญหานกเรยนสามารถซกถามครไดเสมอ เมอจบการเรยนแตละศนยแลว นกเรยนอาจจะสนใจการ

เรยนเสรมเพอเจาะลกสงทเรยนรไดอกจากศนยสารองทครจดเตรยมไวเพอเปนการไมเสยเวลาทจะตอง

รอคอยผอน

3. ชดกจกรรมรายบคคล เปนชดกจกรรมทจดระบบขนตอนเพอใหนกเรยนใชเรยน

ดวยตนเองตามลาดบขนความสามารถของแตละคน เมอศกษาครบแลวจะทาการทดสอบประเมนผล

ความกาวหนา และศกษาชดการเรยนการสอนชดอนตอไปตามลาดบ เมอมปญหานกเรยนจะปรกษา

กนไดในระหวางเรยน และผสอนพรอมทจะใหความชวยเหลอทนทในฐานะผประสานงานหรอผชแนะ

แนวทาง การเรยนดวยชดการเรยนการสอนนจดเพอสงเสรมศกยภาพการเรยนรของแตละบคคลให

พฒนาการเรยนรของตนเองไปจนเตมสดขดความสามารถโดยไมตองเสยเวลารอคอยผอน ชดการเรยน

การสอนแบบนบางครงเรยกวาบทเรยนโมดล

บญเกอ ควรหาเวช (2545: 94–95) ไดแบงประเภทของชดกจกรรมเปน 3 ประเภทใหญ ๆคอ

1. ชดกจกรรมการสอนประกอบคาบรรยาย เปนชดการสอนสาหรบผสอนจะใชสอน

นกเรยนเปนกลมใหญ หรอการสอนทตองการปพนฐานใหนกเรยนสวนใหญรและเขาใจในเวลาเดยวกน

มงในการขยายเนอหาสาระใหชดเจนยงขน ชดการสอนแบบนจะชวยใหผสอนลดการพดใหนอยลงและ

ใชสอการสอนทมความพรอมอยในชดการสอนในการเสนอเนอหามากขน สอทใชอาจไดแก รปภาพ

แผนภม สไลด ฟลมสครป ภาพยนตร เปนตน ขอสาคญคอสอทจะนามาใชนตองใหนกเรยนไดเหน

อยางชดเจนทกคน ชดการสอนชนดนบางคนอาจเรยกวาชดการสอนสาหรบคร

2. ชดกจกรรมการสอนแบบกลมกจกรรม เปนชดการสอนสาหรบใหนกเรยนเรยน

รวมกนเปนกลมเลกๆ ประมาณ 5–7 คน โดยใชสอการสอนทบรรจไวในชดการสอนแตละชด มงทจะฝก

ทกษะในเนอหาวชาทเรยนและใหนกเรยนมโอกาสทางานรวมกน ชดการสอนชนดนมกจะใชในการ

สอนแบบกจกรรมกลม เชน การสอนแบบศนยการเรยน การสอนแบบกลมสมพนธ เปนตน

3. ชดกจกรรมการสอนแบบรายบคคลหรอชดการสอนตามเอกตภาพ เปนชดการ

สอนสาหรบเรยนดวยตนเองเปนรายบคคล คอ นกเรยนจะตองศกษาหาความรตามความสามารถและ

ความสนใจของตนเองอาจจะเรยนทโรงเรยนหรอทบานกได สวนมากมกจะมงใหนกเรยนไดทาความ

เขาใจในเนอหาวชาทเรยนเพมเตม นกเรยนสามารถจะประเมนผลการเรยนดวยตนเองไดดวย ชดการ

สอนชนดนอาจจะจดในลกษณะของหนวยการสอนยอยหรอโมดลกได

สมานน รงเรองธรรม (2526: 112) ไดแบงประเภทของชดกจกรรมเปน 3 ประเภทใหญๆ

1. ชดกจกรรมการสอนประกอบการบรรยาย หรอ ชดการสอนสาหรบคร เปนชดการ

สอนทกาหนดกจกรรมและสอการเรยนใหครหรอผสอนใชประกอบการบรรยาย เปนเนอหาและประสบ การณทผสอนตองการพนฐานใหนกเรยนไดเรยนพรอมกน โดยมเวลาใหนกเรยนไดเขาเรยนรวมกน

บางครงตามทกาหนดไวในตารางเรยนของแตละคน ชดการสอนนนจะมเนอหาวชาเพยงหนวยเดยว 2. ชดกจกรรมการสอนแบบกลมกจกรรม ชดการสอนแบบนใชในการประกอบ

กจกรรมของนกเรยนเปนกลม หรออาจจดในรปของศนยการเรยน (Learning Center) ซงแตละศนยน

จะมสอการเรยนหรอบทเรยนครบชดตามจานวนนกเรยนในศนยกจกรรมนน นกเรยนสามารถศกษา

ดวยตนเอง หรอชวยเหลอซงกนและกนในศนยตางๆ จนครบ ในตอนแรกอาจจาตองขอความชวยเหลอ

จากผสอนบาง แตเมอเกดความเขาใจแลวการขอคาปรกษาจากผสอนกจะลดนอยลง 3. ชดกจกรรมการสอนรายบคคล สาหรบนกเรยนทจะเรยนตามความสนใจ และ

ระดบความสามารถของตนเอง ชดการสอนแตละชดมคาแนะนาใหนกเรยนไดทากจกรรมตางๆ

ตลอดจนแหลงวสดอปกรณอนๆ ทจะตองไปศกษาเพมเตม นกเรยนสามารถทดสอบเพอทราบผล

ความกาวหนาของตนเองไดทกเวลาและทราบผลการเรยนไดทนท เพอจะศกษาตอในชดอนๆ ชยยงค พรหมวงศ และคนอนๆ (2523: 118) ไดแบงชดกจกรรมออกเปน 4 ประเภท

ใหญ ๆ ดงน คอ

1. ชดกจกรรมประกอบการบรรยาย เปนชดกจกรรมทกาหนดกจกรรมและสอ

การสอนใหครประกอบการสอนแบบบรรยาย เพอเปลยนบทบาทใหครพดนอยลง และเปดโอกาส

ใหนกเรยนมสวนรวมกจกรรมการเรยนมากยงขน ชดกจกรรมประกอบการบรรยายมงชวยขยายเนอหา

สาระการสอนแบบบรรยายใหชดเจนขน ชวยใหผสอนพดนอยลง และใหสอการสอน ทาหนาทแทน

ชดกจกรรมแบบบรรยายนนยมใชกบการฝกอบรม

2. ชดกจกรรมแบบกลมกจกรรม เปนชดกจกรรมทมงใหนกเรยนไดประกอบ

กจกรรมกลมรวมกน นกเรยนจะสามารถชวยเหลอกนและกนไดเองระหวางประกอบกจกรรมการเรยน

หากมปญหานกเรยนสามารถซกถามครไดเสมอ

3. ชดกจกรรมเอกตภาพหรอชดกจกรรมรายบคคล เปนชดกจกรรมทจดระบบขน

ตอนเพอมงใหนกเรยนสามารถศกษาหาความรดวยตนเองตามลาดบความสามารถของแตละคน

เพอใหนกเรยนกาวไปขางหนาตามความสามารถ ความสนใจ และความพรอมของนกเรยน

4. ชดกจกรรมทางไกล เปนชดกจกรรมทผสอนกบนกเรยนอยตางถนตางเวลากน

มงสอนใหนกเรยนศกษาไดดวยตนเองโดยไมตองมาเขาเรยน ประกอบดวยสอประเภทสงพมพ

รายการวทยกระจายเสยง วทยโทรทศน ภาพยนตร และการสอนซอมเสรมตามศนยบรการ

การศกษา เชน ชดกจกรรมทางไกล มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช นอกจากนยงมชดการฝก

อบรม ชดกจกรรมของผปกครอง ชดกจกรรมทางไปรษณย จรภทร แกวก (2547: 112) ไดแบงชดกจกรรมออกเปน 2 ประเภทใหญๆ คอ

การจดกจกรรมการเรยนรแบบทวไปหรอแบบอสระ และการจดกจกรรมการเรยนรแบบกระบวนการ

การจดกจกรรมการเรยนรแบบทวไป หรอแบบอสระ หมายถง กจกรรมตางๆ ทแสดง ถงความพยายามทจะใหนกเรยนเกดการเรยนรในเรองราวทไดกาหนดไวแลว รวมทงการจดบรรยากาศ

การเรยนรทเอออานวยตอการพฒนาพฤตกรรมดานพทธพสย เจตพสย และทกษพสย กจกรรมการเรยนรเหลานมชอเรยก และรปแบบตางๆ กนไป ดงรายการตอไปน 1. วธสอนแบบบรรยาย (Lecture) 2. วธสอนแบบสาธต (Demonstration) 3. วธสอนแบบทดลอง (Experiment) 4. วธสอนแบบนรนย (Deduction) 5. วธสอนแบบอปนย (Induction)

6. วธสอนแบบทศนศกษา (Field Trip)

7. วธสอบแบบอภปรายกลมยอย (Small Group Discussion)

8. วธสอนแบบแสดงบทบาทสมมต (Role Playing)

9. วธสอนแบบกรณตวอยาง (Case)

ฯลฯ

จากการศกษาเรองประเภทของชดการสอนผวจยไดทารวบรวมและไดสรปประเภทของชด

การสอนไว 3 ประเภทดงน

ประเภทท 1 ชดกจกรรมประกอบการบรรยาย หรอ ชดการสอนสาหรบคร

ประเภทท 2 ชดกจกรรมแบบกลมกจกรรมหรอชดการสอนทครและนกเรยนรวมกนทา

ประเภทท 3 ชดกจกรรมแบบเอกตภาพ หรอชดการสอนรายบคคล

และในปจจบนนกไดมการพยายามพฒนารปแบบการสอนใหมการเผยแพรไปทวประเทศ

เพอใหนกเรยนในโรงเรยนทขาดแคลนครผสอนไดมโอกาสไดศกษา เราเรยกวา ชดการสอนทางไกล 2.3 จตวทยาทนามาใชในชดกจกรรม เปรอง กมท (2519: 42) ไดกลาวถงเทคนคการเรยนรดวยชดกจกรรม ดงน

1. สอนดวยวธใหนกเรยนกระทาหรอสนองตอบอยตลอดเวลา

2. ทกครงทนกเรยนตอบ กจะไดรบรผลการสนองตอบของตนทนทวาถกหรอผดและ

คาตอบทถกเปนอยางไร

3. สอนใหนกเรยนพยายามทาในสงทตองการ เพอทเขาจะไดไมเบอหนายทจะเรยน

และมกาลงใจเรยน

4. สอนไปตามลาดบขนตอน ครงละเลกนอย ไมยดเยยดครงละจานวนมาก

ชยยงค พรหมวงศ และคนอนๆ (2523: 110–120) ไดเสนอจตวทยาการเรยนรทนามาส

การผลตชดกจกรรม ดงน

1. เพอสนองความแตกตางระหวางบคคล

2. เพอยดนกเรยนเปนศนยกลางดวยการใหศกษาคนควาดวยตนเอง

3. มสอการเรยนใหมๆ ทชวยในการเรยนของนกเรยน เพอชวยการสอนของคร

4. มปฏสมพนธระหวางครกบนกเรยนทเปลยนไป เปลยนจากครเปนผนาเปนผม

อทธพลตอนกเรยนมาก

5. การจดสภาพสงแวดลอมการเรยนรไดยดหลกจตวทยาการเรยนมาใชโดยจด

สภาพการณออกมาเปนการสอนแบบโปรแกรม ซงหมายถง ระบบการเรยนการสอนทเปดโอกาสให

นกเรยน

5.1 ไดเขารวมในกจกรรมการเรยนดวยตนเอง

5.2 มทางทราบวาการตดสนใจหรอการทางานของตนถกหรอผดอยางไร

5.3 มการเสรมแรงบวกททาใหนกเรยนภาคภมใจทไดทาถก หรอคดถกอนจะ

ทาใหกระทาพฤตกรรมนนซาอกในอนาคต

5.4 เรยนรไปทละขนตามความสามารถ และความสนใจของนกเรยนเองโดย

ไมมใครบงคบ การจดสภาพการณทจะเอออานวยตอการเรยนรตามนยดงกลาวขางตนน จะม

เครองมอชวยใหบรรจจดหมายปลายทาง โดยการจดการสอนแบบโปรแกรมในรปของ กระบวนการ

และใชชดกจกรรมเปนเครองมอสาคญ

ไชยยศ เรองสวรรณ (2526: 199) กลาวถงการสรางชดกจกรรมวามหลกการและ ทฤษฎ ดงน

1. ทฤษฎทเกยวกบความแตกตางระหวางบคคล ชดกจกรรมนเปนสอและ กจกรรมการเรยน จดทาขนเพอสนองความสามารถ ความสนใจ และความตองการของนกเรยน เปนสาคญ

ทฤษฎทวาดวยความแตกตางระหวางบคคลจงนามาใชเปนทฤษฎพนฐานในการจดทาและใชชด

กจกรรม

2. หลกการเกยวกบสอประสมชดกจกรรม ซงหมายถง การใชสอหลาย ๆ อยางท

เสรมซงกนและกนอยางมระบบ มาใชเปนแนวทางการเรยนรและกจกรรมการเรยน ทาใหนกเรยนได

เรยนรจากสอ

3. ทฤษฎการเรยนร ชดกจกรรมเปนสอการเรยนทมงใหนกเรยนไดมสวนรวมในการ เรยนอยางแขงขน และไดรบขอมลยอนกลบอยางฉบพลน อกทงไดรบประโยชนแหง ความสาเรจหรอ

การเสรมแรง มการเรยนเปนขนตามความสามารถของนกเรยน

4. หลกการวเคราะหระบบ ชดกจกรรมจดทาโดยอาศยวธวเคราะหระบบมการ

ทดลองสอน และปรบปรงแกไขจนเปนทนาเชอถอได จงนาออกใชและเผยแพรกจกรรม การเรยน

การสอนโดยใชชดกจกรรม ทงนเพอใหกจกรรมการเรยนการสอนดาเนนไปอยางสมพนธกน

บรเนอร (สรางค โควตระกล. 2541: 31; อางองจาก Bruner. 1960, 1966, 1971: The

Relevance of Education) บรเนอรเชอวาการเรยนรจะเกดขนกตอเมอผเรยนไดประมวลขอมล

ขาวสารจากการทมปฏสมพนธกบสงแวดลอมและสารวจสงแวดลอม และเขาเชอวาการรบรของมนษย

เปนสงทเลอกหรอสงรบรขนกบความใสใจของผเรยนทมตอสงนนๆ การเรยนรจะเกดจากการคนพบ

เนองจากผเรยนมความอยากรอยากเหนซงเปนแรงผลกดนใหเกดพฤตกรรมการเรยนร ซงบรเนอรได

แบงเครองมอในการคนพบความรออกเปน 3 วธ

1. ขนเอนแอคทฟ (Enactive Mode) ซงเปนวธทมปฏสมพนธกบสงแวดลอมโดยการ

สมผสจบตองดวยมอ เชน การผลก การดง รวมทงการทเดกใชปากกบวตถสงของทอยรอบ ๆ ตว ขอ

สาคญทสดคอการกระทาของเดกเอง

2. ขนไอคอนนค (Iconic Mode) เมอเดกสามารถทจะสรางจนตนาการหรอมโนภาพ

(Imagery) ขนในใจได กจะสามารถทจะรจกโลกโดยวธไอคอนนค เดกวยนจะใชรปภาพแทนของจรง

โดยไมจาเปนจะตองแตะตองหรอสมผสของจรง นอกจากนเดกจะสามารถรจกสงของจากภาพ แมวา

จะมขนาดและสเปลยนไป

3. ขนใชสญลกษณ (Symbolic Mode) วธการนผเรยนจะใชในการเรยนร เมอผเรยนม

ความสามารถทจะเขาใจในสงทเปนนามธรรม หรอความคดรวบยอดทซบซอนและเปนนามธรรม จง

สามารถทจะสรางสมมตฐาน และพสจนวาสมมตฐานถกหรอผดได

ออซเบล (Ausubel. ทมา http://ednet.kku.ac.th/~sumcha/2545/nong. วนท 1 ธนวาคม

พ.ศ. 2551. ออนไลน) ออซเบลใหความหมายการเรยนรอยางมความหมาย ( Mearningful learning)

วา เปนการเรยนทผเรยนไดรบมาจากการทผสอน อธบายสงทจะตองเรยนรใหทราบและผเรยนรบฟง

ดวยความเขาใจ โดยผเรยนเหนความสมพนธของสงทเรยนรกบโครงสรางพทธปญญาทไดเกบไวใน

ความทรงจา และจะสามารถนามาใชในอนาคต ออซเบลไดชใหเหนวาทฤษฎนมวตถประสงคเพอทจะ

อธบายเกยวกบพทธปญญา ออซเบล ไดแบงประเภทของการเรยนรโดยรบอยางมความหมาย ดงน

1. Subordinate Learning เปนการเรยนรโดยการรบอยางมความหมาย โดยมวธการ

2 ประเภทไดแก

1.1 Deriveration Subsumption เปนการเชอมโยงสงทจะตองเรยนรใหมกบ

หลกการหรอกฎเกณฑทเคยเรยนมาแลว โดยการไดรบขอมลมาเพม เชน มคนบอก แลวสามารถดดซม

เขาไปในโครงสรางทางสตปญญาทมอยแลวอยางมความหมาย โดยไมตองทองจา

1.2 Correlative Subsumption เปนการเรยนรทมความหมายเกดจากการขยาย

ความ หรอปรบโครงสรางทางสตปญญาทมมากอนใหสมพนธกบสงทจะเรยนรใหม

2. Superordinate Learning เปนการเรยนรโดยการอนมาน โดยการจดกลมสงทเรยน

ใหมเขากบความคดรวบยอดทกวางและครอบคลมความคดยอดของสงทเรยนใหม เชน สนข แมว หม

เปนสตวเลยงลกดวยนม

3. Combinatorial Learning เปนการเรยนรหลกการ กฎเกณฑตางๆเชงผสม ในวชา

คณตศาสตร หรอ วทยาศาสตร โดยการใชเหตผล หรอการสงเกต เชนการเรยนรเกยวกบความสมพนธ

ระหวางนาหนกกบระยะทางในการททาใหเกดความสมดล

จากการศกษาเรองจตวทยาทจะนามาใชในการจดทาชดกจกรรมผวจยไดทารวบรวมและได

สรปแนวคดหลกในการนาจตวทยาทควรคานงมาใช ดงน

1. ความแตกตางระหวางบคคล ตองจดทาขนเพอสนองความสามารถ ความสนใจ และ

ความตอการของนกเรยนเปนสาคญ

2. การมสวนรวมในกจกรรมการเรยน เปดโอกาสใหนกเรยนมสวนรวมในกจกรรมการ

เรยน และมปฏสมพนธทดกบคร

3. การเสรมแรงในทางบวกททาใหนกเรยนภาคภมในสงทไดทาถก แตไมควรทาบอยๆ

เพราะจะทาใหนกเรยนมองเหนเปนเรองปกต 2.4 ขนตอนในการสรางชดกจกรรม กาญจนา เกยรตประวต (2524: 176–178) ไดวางแนวทางในการสรางชดกจกรรมไวดงน

1. เลอกเรอง เรองทจะทาจะตองรสกวามปญหาในการสอนดวยวธอนๆ จงจะม

คณคาพอสาหรบการสราง 2. พฒนาเรองใหเปนปญหา เพอยวยใหนกเรยนเกดความสงสยในคาตอบการ

พฒนาหวขอเรองใหเปนปญหา เชน วธเราความสนใจในการเรยนแกนกเรยนไดดขอสาคญปญหานน

จะตองสมพนธกบจดสาคญทครตองการสอน 3. เนอหาสาระ ครกาหนดเนอหาสาระจากการศกษาขอบเขตในหลกสตรการศกษา

หลกสตรจะทาใหครรระยะเวลาของการสอนวาควรเนนยารายละเอยดเพยงใด เชน ไมสอนทกสงทก

อยางทหลกสตรกาหนดใหสอนในเวลา 10 ชวโมง โดยใชชดการเรยนเพยง 2-3 ชวโมง 4. เขยนสงกป (Concept) หรอหลกการ (Generalization) ของเรองเพอเปนหลกในการจดกจกรรมและการตงคาถามของคร ครทสอนโดยคานงถงหลกการและสงกปของเรอง เทากบ

สงเสรมใหนกเรยนคดเปนดวย 5. เขยนจดประสงคเชงพฤตกรรม แลวเรยงลาดบโดยเรมจากสงทจะตองสอนกอน 6. ระบวชาทจะนามาสมพนธหรอบรณาการกนได จะชวยใหการคดกจกรรมการ

เรยนการสอนของครสงเสรมความคดของนกเรยนใหกวางขวางออกไปในเชงบรณาการ 7. คานงถงจตวทยาพฒนาการของนกเรยน นกเรยนแตละระดบมชวงเวลาความ

สนใจตางกน ลกษณะกจกรรมทจดจะตองคานงถงวยนกเรยนทจะเปนผลงมอกระทากจกรรมนนดวย 8. วเคราะหงาน โดยนาจดประสงคเชงพฤตกรรมแตละขอมาวเคราะหกจกรรมทคร

และนกเรยนจะตองทา ตลอดจนกาหนดสอทจาเปน แลวเรยงลาดบกจกรรมดงกลาว การกาหนดกจกรรมการเรยนการสอน จะตองระบชดเจนวาใครทาอะไร ทไหน อยางไร

เมอไร และเขยนเปนประโยคบอกเลาไมใชคาอธบายเชงคาถาม วสดอปกรณทใชประกอบ ใหวงเลบ

หมายเลขไว 9. รายการอปกรณ เอกสาร ประกอบการเรยน ควรมหมายเลขกากบเพอสะดวกตอ

การหยบใช สงของทหาไดจากตวทยาศาสตร หรอลาบากในการบรรจเขาแฟม เชน ขนนา ขวด ควรระบ

ไวเปนอปกรณสวนทครตองหามาเพมเตมกอนสอนแผนภมแผนใหญๆ ควรคดวธพบเกบใหเรยบรอย

10. การวดผล ไมวาจะเปนการวดกอนหรอหลงการเรยน จะตองใชจดประสงคเชง

พฤตกรรมเปนหลก วดพฤตกรรมทคาดหวงเปนสาคญ พยายามออกแบบการวดผลใหนกเรยนวด

กนเองและตรวจคาตอบเองได 11. กจกรรมสารอง จดไวสาหรบซอมพนฐานทจาเปนของเดกเรยนออนและเสรมความรของเดกทเรยนเรว สงเหลานมผลตอการรกษาวนยของหองเรยนดวย 12. คมอการใชชดการเรยน 13. แฟมสาหรบบรรจชดการเรยน ควรมขนาดมาตรฐานเพอสะดวกในการจดวาง

และการใช โดยถอหลกประโยชน ประหยด คงทน สะดวก และภมฐาน 14. การทดลองใช ปรบปรง แกไข ทดลอง เมอสรางเสรจควรไดมการทดลองใชกบ

นกเรยนในระดบทตองการกอน เพอการแกไขปรบปรง กอนนาไปใชจรง ในคมอครควรมแบบบนทกผล

การใชไวใหครบนทกขอด ขอบกพรองในการใชแตละครงไวดวย

ชยยงค พรหมวงศ และคนอนๆ (2523) แบงขนตอนในการผลตชดกจกรรมออก

เปน 10 ขนตอน ดงน

1. กาหนดหมวดหมเนอหาและประสบการณ อาจจะกาหนดเปนหมวดวชาหรอ

บรณาการเปนแบบสหวทยาการ ตามทเหนเหมาะสม 2. กาหนดหนวยการสอน แบงเนอหาวชาออกเปนหนวยการสอนโดยประมาณ

เนอหาวชาทจะใหครสามารถถายทอดความรแกนกเรยนไดในหนงสปดาหหรอหนงครง 3. กาหนดหวเรอง ผสอนจะตองถามตนเองวาในการสอนแตละหนวยควรให

ประสบการณออกมาเปน 4–6 หวเรอง 4. กาหนดความคดรวบยอดและหลกการ จะตองใหสอดคลองกบหนวยและหวเรอง โดยสรปรวมแนวคด สาระ และหลกเกณฑสาคญไวเพอเปนแนวทางในการจดเนอหาทสอนให

สอดคลองกน 5. กาหนดวตถประสงค ใหสอดคลองกบหวเรอง เปนจดประสงคทวไปกอนแลว

เปลยนเปนวตถประสงคเชงพฤตกรรมทตองมเงอนไขและเกณฑพฤตกรรมไวทกครง 6. กาหนดกจกรรมการเรยน ใหสอดคลองกบวตถประสงคเชงพฤตกรรม ซงจะเปน

แนวทางในการเลอกและการผลตสอการสอน กจกรรมการเรยน หมายถง กจกรรมทกอยางทนกเรยน

ปฏบต เชน การอาน บตรคาสง ตอบคาถาม เขยนภาพทาการทดลองทางวทยาศาสตร ฯลฯ 7. กาหนดแบบประเมนผล ตองออกแบบการประเมนผลใหตรงกบวตถประสงคเชง

พฤตกรรม โดยใชการสอบแบบองเกณฑ เพอใหผสอนทราบวา หลงจากผานกจกรรมมาเรยบรอยแลว

นกเรยนไดเปลยนพฤตกรรมการเรยนรตามวตถประสงคทตงไวหรอไม

8. เลอกและผลตสอการสอน วสดอปกรณและวธการทครใชถอเปนสอการสอน

ทงสน เมอผลตสอการสอนของแตละหวเรองแลวกจดสอการสอนเหลานนไวเปนหมวดหมในกลองท

เตรยมไว กอนนาไปทดลองหาประสทธภาพ เรยกกวา ชดกจกรรม 9. หาประสทธภาพชดการสอน เพอเปนการประกนวา ชดการสอนทสรางขนมาม

ประสทธภาพในการสอน ผสรางจาตองกาหนดเกณฑขนลวงหนา โดยคานงถงหลกการทวา การเรยนร

เปนการชวยใหการเปลยนพฤตกรรมของนกเรยนบรรลผล 10. การใชชดการสอน ชดการสอนทไดปรบปรงและมประสทธภาพตามเกณฑทตง

ไวแลว สามารถนาไปสอนนกเรยนไดตามประเภทของชดการสอนและระดบการศกษา

บญชม ศรสะอาด (2541: 99–100) ไดเสนอขนตอนในการสรางชดกจกรรมดงน

1. วเคราะหภารกจการเรยนสาหรบเนอหาวชาทจะสรางชดกจกรรม กาหนดจด ประสงคทวไป จดประสงคเชงพฤตกรรม และจาแนกเนอหาออกเปนหนวยยอย ๆสาหรบสอนแตละคาบเวลา 2. สรางชดกจกรรมตามลกษณะของชดการสอน และทฤษฎทเปนพนฐานและ

หลกการเรยนการสอนทไดกลาวมาแลว โดยมสวนประกอบดงน 2.1 ขอแนะนาในการใชจดประสงคของบทเรยน 2.2 กจกรรมของนกเรยนและผสอน 2.3 เอกสารสาหรบนกเรยนและผสอน 2.4 สอการเรยนการสอนตางๆ 2.5 การประเมนผล 3. ทบทวนและปรบปรง 4. ใหผเชยวชาญดานการพฒนาหลกสตร ดานเนอหาสาระ ดานสอการสอน

พจารณาใหขอเสนอแนะ ผสรางปรบปรงตามขอเสนอแนะนนๆ 5. ทดลองใชและปรบปรง โดยนาไปทดลองใชกบนกเรยนทเปนกลมเปาหมายของการสรางชดกจกรรม ดงน 5.1 ทดลองแบบหนงตอหนง โดยนาชดกจกรรมไปทดลองใชกบนกเรยนหนงคน

ทาการสงเกตและบนทกพฤตกรรมของนกเรยนระหวางเรยน จบเวลาทใชในการเรยน สมภาษณหรอให

นกเรยนเขยนวจารณชดการสอนนน แลวนาเอาขอสนเทศตางๆ ทไดมาปรบปรงแกไขขอบกพรอง 5.2 ทดลองกบกลมยอย โดยนาชดกจกรรมทไดรบการปรบปรงแลวในชน 5.1 ไปทดลองใชกบนกเรยนจานวน 10 คน โดยจะมการทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน แลวนาคะแนน

จากการทดสอบมาวเคราะหหาประสทธภาพของบทเรยนตามเกณฑมาตรฐาน 90/90 นาเอาผลมา

ปรบปรงกจกรรม เนอหาสาระและสอตางๆ ตามขอสนเทศทไดรบ

5.3 ทดลองกบกลมใหญ หลงจากทดลองและปรบปรงแกไขชดกจกรรมทงสองครงแลว นาเอาชดกจกรรมนไปทดลองใชกบนกเรยนหนงหองเรยน แลวนาผลการทดสอบผลสมฤทธ

ทางการเรยนมาหาประสทธภาพของบทเรยนตามเกณฑมาตรฐาน 90/90 วฒนาพร ระงบทกข (2545: 29–30) ไดเสนอแนวทางในการสรางและออกแบบชด

กจกรรมการสอนไวดงน

ตองการใหนกเรยนเกดพฤตกรรมดานใดในระดบใด

มความสามารถ ความสนใจและวธเรยนอยางไรบาง

• สามารถสรางเสรมความร ทกษะและคณลกษณะไดตรงกบ พฤตกรรมทกาหนดในผลการเรยนรหรอจดประสงค

ขนท 1 วเคราะหผลการเรยนรทคาดหวง และจดประสงคการเรยนร

ขนท 2 วเคราะหนกเรยน

ขนท 3 กาหนดรปแบบ วธการหรอเทคนคการจดการเรยนร

• เปดโอกาสใหนกเรยนไดแสดงบทบาทและมสวนรวมในกจกรรม การเรยนร

• กอประโยชนใหนกเรยนสงสด

• เหมาะสมกบจดมงหมาย กระบวนการเรยนรและผลทจะเกดขน กบนกเรยน

ขนท 4 ปรบและเรยบเรยงรปแบบ วธการหรอเทคนค

ภาพประกอบ 1 แผนผงขนตอนการสรางและออกแบบชดกจกรรมการเรยนการสอน

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช (2542: 782) ไดเสนอขนตอนในการสรางชดกจกรรมม

ขนตอนทตองดาเนน 4 ขนตอน ดงน

ขนท 1 การวเคราะหเนอหา

การวเคราะหเนอหา หมายถง การจาแนกเนอหาวชาออกเปนหนวยแยกยอยลง

ไปจนถงหนวยระดบบทเรยน ซงเปนหนวยทใชสอนได 1 ครง ชดการสอนทผลตขนจงเปนชดการสอน

ประจาหนวยระดบบทเรยน คอ 1 ชดการสอนสาหรบการสอนแตละครง

ขนท 2 วางแผนการสอน

การวางแผนการสอนเปนการคาดการณลวงหนาวา เมอครเรมสอนโดยใชชด

กจกรรมจะตองทาอะไรบางตามลาดบกอนหลง

ขนท 3 ผลตสอการสอน

ขนท 4 ทดสอบประสทธภาพชดกจกรรม

เปนการประเมนผลคณภาพชดการสอน ดวยการนาชดกจกรรมไปทดลองใช

แลวปรบปรงใหมคณภาพตามเกณฑทกาหนดไว

วชย วงษใหญ (2525: 189–192) ไดเสนอขนตอนในการสรางชดกจกรรมไว 10 ขนตอน คอ

1. ศกษาเนอหาสาระของวชาทงหมดอยางละเอยดวาตองการมงเนนใหเกดหลกการ

ของการเรยนรอะไรบางใหกบนกเรยน ควรจะเรยงลาดบขนตอนของเนอหาใหถกตองวาอะไรเปน

สงจาเปนทนกเรยนจะตองเรยนรกอนตามลกษณะธรรมชาตของวชานน

2. เมอศกษาเนอหาสาระและแบงหนวยการเรยนการสอนไดแลวจะตองพจารณา

ตดสนใจอกครงวา จะทาชดการสอนแบบใดโดยคานงถงขอกาหนดวา นกเรยนคอใคร จะใหอะไรกบ

นกเรยน จะทากจกรรมอยางไรและจะทาไดดอยางไร สงเหลานจะเปนเกณฑในการกาหนดการเรยน

3. กาหนดการเรยนการสอนโดยประมาณเนอหาสาระทเราจะสามารถถายทอด

ความรแกนกเรยน หาสอการเรยนไดงาย พยายามศกษาวเคราะหใหละเอยดอกครงหนงดงเอาแกน

ของหลกการเรยนรออกมาใหได

4. กาหนดความคดรวบยอดโดยทจะตองสอดคลองกบหนวยและหวเรอง โดยสรป

แนวความคดสาระและหลกเกณฑทสาคญ เพอเปนแนวทางในการจดกจกรรมการเรยนใหสอดคลอง

5. จดประสงคการเรยน การกาหนดจดประสงคการเรยนจะตองใหสอดคลองกบ

ความคดรวบยอด โดยกาหนดเปนจดประสงคเชงพฤตกรรม ซงหมายถงความสามารถของนกเรยนท

แสดงออกมาใหเหนไดภายหลงการเรยนการสอนบทเรยนแตละเรองจบไปแลวโดยผสอนควรใชเวลา

ตรวจสอบจดประสงคการเรยนแตละขอใหถกตอง และครอบคลมเนอหาสาระของการเรยนร

6. การวเคราะหงาน คอ การนาจดประสงคการเรยนแตละขอมาทาการวเคราะหงาน

เพอหากจกรรมการเรยนการสอน แลวจดลาดบกจกรรมการเรยนใหเหมาะสมถกตองสอดคลองกบ

จดประสงคทกาหนดไวแตละขอ

7. เรยงลาดบกจกรรมการเรยน ภายหลงจากทเรานาจดประสงคการเรยนแตละขอ

มาทาการวเคราะหงาน และเรยงลาดบกจกรรมของแตละขอ เพอไมใหเกดการซาซอนในการเรยนโดย

คานงถงพฤตกรรมพนฐานของนกเรยน (Entering Behavior) วธดาเนนการสอน (Instructional

Procedures) ตลอดจนการตดตามผลและประเมนผลพฤตกรรมทนกเรยนแสดงออกมาเมอมการเรยน

การสอนแลว (Performance Assessment)

8. สอการเรยน คอ วสดอปกรณและกจกรรมการเรยนทครและนกเรยนจะตอง

กระทาเพอเปนแนวทางในการเรยนร ซงครจะตองจดทาขนและจดหาไวเรยบรอย

9. การประเมน คอ การตรวจสอบดวา หลงจากการเรยนการสอนแลวไดมการ

เปลยนแปลงพฤตกรรมทจดประสงคการเรยนกาหนดไวหรอไม การประเมนผลนจะใชวธใดกตามแต

จะตองสอดคลองกบจดประสงคการเรยนทเราตงไว ถาการประเมนผลไมตรงตามจดมงหมายทตงไว

ชดการสอนทสรางขนมาเปนการเสยเวลาและไมมคณคา

10. การทดลองใชชดกจกรรมเพอหาประสทธภาพ การหาประสทธภาพของชด

กจกรรมเพอปรบปรงใหเหมาะสมควรนาไปทดลองใชกบกลมเลกๆ ดกอน และเมอตรวจสอบหา

ขอบกพรองพรอมกบแกไขปรบปรงอยางดแลว จงนาไปทดลองกบเดกทงชนหรอกลมใหญโดยกาหนด

ขนตอนไวดงน

1. ชดกจกรรมนตองการความรเดมของนกเรยนหรอไม

2. การนาเขาสบทเรยนของชดกจกรรมนเหมาะสมหรอไม

3. การประกอบกจกรรมการเรยนการสอน มความสบสนวนวายกบนกเรยนและ

ดาเนนไปตามขนตอนทกาหนดไวหรอไม

4. การสรปผลการเรยนการสอนเพอเปนแนวทางไปสความคดรวบยอดหรอหลก

สาคญของการเรยนรในหนวยนนๆ ด หรอไม หรอจะตองตรวจปรบเพมเตมอยางไร

5. การประเมนผลหลงการเรยนเพอตรวจสอบดวาพฤตกรรมการเรยนรท

เปลยนแปลงเกดขน ใหความเชอมนไดมากนอยแคไหนกบนกเรยน

นอกจากนการใชชดกจกรรมจะประสบผลสาเรจกตอเมอ ไดมการจดสภาพแวดลอมของ

หองเรยนทเอออานวยตอการเรยนรดงกลาวตอไปน

1. ใหนกเรยนมสวนรวมในการเรยนอยางแทจรง

2. ใหนกเรยนมโอกาสทราบผลการกระทาทนทจากกจกรรม

3. มการเสรมแรงนกเรยนจากประสบการณทเปนความสาเรจอยางถกจด

4. คอยชแนะแนวทางตามขนตอนในการเรยนรตามทศทางทครไดวเคราะหและ

กาหนดความสามารถพนฐานของนกเรยน 2.5 องคประกอบของชดกจกรรม บญเกอ ควรหาเวช (2545: 95–97) ไดกลาววา องคประกอบทสาคญๆ ภายในชด

กจกรรม สามารถจาแนกออกเปน 4 สวนดวยกน คอ

1. คมอคร เปนคมอและแผนการสอนสาหรบผสอนหรอนกเรยนตามแตชนดของชดกจกรรม ภายในคมอและชแจงถงวธการใชชดกจกรรมเอาไวอยางละเอยด อาจจะทาเปนเลมหรอแผน

พบกได ซงจะกลาวถงรายละเอยดและหลกการเขยนในตอนตอไป 2. บตรคาสงหรอคาแนะนา จะเปนสวนทบอกใหนกเรยนดาเนนการเรยนหรอ

ประกอบกจกรรมแตละอยาง ตามขนตอนทกาหนดไว บตรคาสงจะมอยในชดกจกรรมแบบกลมและ

รายบคคล ซงจะประกอบดวย 2.1 คาอธบายในเรองทจะศกษา 2.2 คาสงใหนกเรยนดาเนนกจกรรม 2.3 การสรปบทเรยน บตรคาสงน มกนยมใชกระดาษแขงตดเปนบตร ขนาด 6 คณ 8 นว 3. เนอหาสาระและสอ จะบรรจไวในรปของสอการสอนตางๆ อาจจะประกอบดวย

บทเรยนโปรแกรม สไลด เทปบนทกเสยง ฟลมสครป แผนภาพโปรงใส วสดกราฟฟกส หนจาลอง ของ

ตวอยาง รปภาพ เปนตน นกเรยนจะศกษาจากสอการสอนตางๆ ทบรรจอยในชดกจกรรม ตามบตรคา

ทกาหนดไวให 4. แบบประเมนผล นกเรยนจะทาการประเมนผลความรดวยตนเองกอนและหลง

เรยนแบบประเมนผลทอยในชดการสอนอาจจะเปนแบบฝกหดใหเตมคาในชองวางเลอกคาตอบทถก

จบค ดผลจากการทดลอง หรอใหทากจกรรม เปนตน บญชม ศรสะอาด (2541: 95) กลาววาชดกจกรรมมองคประกอบทสาคญ 4 ดาน ดงน

1. คมอการใชชดกจกรรม เปนคมอทจดทาขนเพอใหผใชชดกจกรรมศกษาและ

ปฏบตตามเพอใหบรรลผลอยางมประสทธภาพ อาจประกอบดวยแผนการสอน สงทครตองเตรยมกอน

สอนบทบาทของนกเรยน และการจดชนเรยน 2. บตรงาน เปนบตรทมคาสงวาจะใหนกเรยนปฏบตอะไรบาง โดยระบกจกรรม

ตามลาดบขนตอนของการเรยน

3. แบบทดสอบวดผลความกาวหนาของนกเรยน เปนแบบทดสอบทใชสาหรบ

ตรวจสอบวาหลงจากเรยนชดกจกรรมจบแลวนกเรยนเปลยนแปลงพฤตกรรมตามจดประสงคการ

เรยนรทกาหนดไวหรอไม 4. สอการเรยนตางๆ เปนสอสาหรบนกเรยนไดศกษามหลายชนดประกอบกน อาจ

เปนประเภทสงพมพ เชน บทความ เนอหาเฉพาะเรอง จลสาร บทเรยนโปรแกรม หรอประเภท โสตทศนปกรณ สมานน รงเรองธรรม (2526: 114–116) ไดกลาววา ชดกจกรรมมหลายประเภทตางๆ กน

อยางไรกดชดกจกรรมประเภทตางๆ น มสวนทเปนองคประกอบพนฐานทคลายคลงกน 7 ประการ คอ 1. หวเรอง เปนการแบงหนวยงานออกเปนสวนยอยใหนกเรยนไดเขาใจยงขน ซงหว

เรองนตองตรงกบความตองการของนกเรยนและผสอนอกทงมคณคาแกการเรยนการสอนตามหลกสตร 2. คมอการใชชดกจกรรม เปนสงทจาเปนมากซงผใชชดกจกรรมนนจะศกษาจากคมอเปนอนดบแรกดงนนคมอการใชชดกจกรรมจงประกอบดวย 2.1 หวเรอง กาหนดเวลาเรยนและจานวนนกเรยน 2.2 เนอหา สาระสาคญจากรายละเอยดของเนอเรองทงหมด ควรจะบรรยาย

เนอหาอยางสนๆ 2.3 ความคดรวบยอด (Concept) กลาวถงหลกการเรยนรทมงเนน 2.4 วตถประสงคเชงพฤตกรรม เปนวตถประสงคของการเรยนรทมงจะให นกเรยนไดรบ

2.5 สอการเรยนหรอวสดประกอบการเรยน ระบรายการศกษาคนควา และ ทผสอนจะใชประกอบการสอน

2.6 กจกรรมการเรยน เปนการกาหนดกจกรรมการเรยนการสอน และการ ใชอปกรณ

2.7 การประเมนผล 3. วสดประกอบการเรยนหรอสอ รายการทระบไวในคมอการใชชดกจกรรมจะตองมไวในชดกจกรรมจรงๆ และตองระบรายการวสดอปกรณ หรอสอทมอยดวยหมายเลขใหแนชด 4. การประเมนผล แบบประเมนผลเพอดพฤตกรรมของนกเรยน อาจเปนลกษณะของ

แบบทดสอบ หรอการใหแสดงผลงาน ซงจะตองกาหนดใหชดเจนและออกแบบมาใหเขาใจ 5. สงทใชบรรจ ขนาดรปแบบของชดกจกรรม ไมควรจะใหญเกนไป ตองคานงถง

ความสะดวกในการขนยายและการนาไปใช

6. กจกรรมสารอง ถาเปนชดกจกรรมแบบกลมกจกรรม ควรจะจดกจกรรมสารองไว

สาหรบนกเรยนบางคนททาเสรจกอนผอนไดมกจกรรมอยางอนทา 7. ทดลองใช เพอปรบปรงแกไขกอนทจะนาออกใชประกอบการสอน จากการศกษาเรององคประกอบของชดกจกรรมผวจยไดทารวบรวมและไดสรป

องคประกอบของชดกจกรรมไวดงน

1. คมอการใชชดกจกรรมประกอบไปดวยหวขอเรองจดประสงคของการจดทาชด

กจกรรม คาอธบายการใชเครองมอของชดกจกรรม เวลาทใชในการทากจกรรมแตละหนวย เกณฑในการ

ประเมนผล เปนตน

2. ชดกจกรรมทจะนามาใชในการเรยนการสอน ประกอบไปดวยสอตางๆ อาจจะเปน

บตรคา โปรแกรมคอมพวเตอร แผนใส หรอวสดอปกรณตางๆ เปนตน อกทงควรมกจกรรมสารองเอาไว

ในกรณทกจกรรมหลกนนนกเรยนทาเสรจไว

3. แบบทดสอบวดผลความกาวหนาของนกเรยน หรอแบบประเมนผลการเรยน 2.6 คณคาของชดกจกรรม ชดกจกรรมเปนสอการสอนทมคณคาตอระบบการสอน เพราะเปนตวชวยใหเกดการ

ถายทอดการเรยนรอยางมประสทธภาพ นกการศกษากลาวถงคณคาของชดกจกรรมไวหลายทานดงน

กาญจนา เกยรตประวต (2524: 175–176) ไดกลาวถงคณคาของชดกจกรรม ไวดงน

1. ชวยเพมประสทธภาพในการสอนของคร ลดบทบาทในการบอกของคร

2. ชวยเพมประสทธภาพในการเรยนของนกเรยน เพราะสอประสมทไดจดไวในระบบ

เปนการแปรเปลยนกจกรรมและชวยรกษาระดบความสนใจของนกเรยนอยตลอดเวลา

3. เปดโอกาสใหนกเรยนศกษาดวยตนเอง ทาใหมทกษะในการแสวงหาความร

พจารณาขอมล และฝกความรบผดชอบ การตดสนใจ

4. เปนแหลงความรททนสมย และคานงถงหลกจตวทยาการเรยนร

5. ชวยขจดปญหาการขาดคร เพราะนกเรยนสามารถศกษาดวยตนเอง

6. สงเสรมการศกษานอกระบบ เพราะสามารถนาไปใชไดทกเวลาและไมจาเปนตอง

ใชเฉพาะในโรงเรยน

บญเกอ ควรหาเวช (2545: 110–111) ไดกลาวถงคณคาของชดกจกรรม ไวดงน

1. สงเสรมการเรยนแบบรายบคคล นกเรยนเรยนไดตามความสามารถ ความสนใจ

ตามเวลาและโอกาสทเหมาะสมของแตละคน

2. ชวยขจดปญหาการขาดแคลนคร เพราะชดกจกรรมชวยใหนกเรยน เรยนไดดวย

ตนเองหรอตองการความชวยเหลอจากผสอนเพยงเลกนอย

3. ชวยในการศกษานอกระบบโรงเรยน เพราะนกเรยนสามารถนาเอาชดกจกรรมไป

ใชไดทกสถานทและทกเวลา 4. ชวยลดภาระและชวยสรางความพรอมและความมนใจใหแกครเพราะชดกจกรรมผลตไวเปนหมวดหม สามารถนาไปใชไดทนท 5. เปนประโยชนในการสอนแบบศนยการเรยน 6. ชวยใหครวดผลนกเรยนไดตรงตามความมงหมาย 7. เปดโอกาสใหนกเรยนไดแสดงความคดเหน ฝกการตดสนใจแสดวงหาความรดวย

ตนเอง และมความรบผดชอบตอตนเองและสงคม 8. ชวยใหนกเรยนจานวนมากไดรบความรแนวเดยวกนอยางมประสทธภาพ 9. ชวยฝกใหนกเรยนรจกเคารพ นบถอ ความคดเหนของผอน สมานน รงเรองธรรม (2526: 113–114) ไดกลาวถงคณคาของชดกจกรรมหรอชดการ

สอนไวดงน

1. ใหผสอนรจกใชเทคนคในการสารวจนกเรยนจากพฤตกรรมทเดกแสดงออกมา 2. ใหผสอนรจกนานกเรยนเขามสวนรวมในการเรยน 3. ใหผสอนรจกใชการเสรมแรง 4. ชวยแบงเบาภาระของผสอนและขจดปญหาการขาดแคลนคร 5. เปดโอกาสใหนกเรยนเรยนตามความสามารถ ความสนใจ และความถนดของตนเอง 6. ชวยเหลอนกเรยนทเรยนชาผดปกต ซงอาจนาชดการสอนนไปเรยนเองทบานโดย

ทผปกครองคอยใหคาแนะนาชวยเหลอ 7. ชวยกระตนใหนกเรยนเกดความพยายามเรยนดวยตนเอง และลดเวลาในการเรยนลงไปได

สนทด ภบาลสข และพมพใจ ภบาลสข (2525: 199) ไดกลาวถงคณคาของชดการเรยน

การสอนไวดงน

1. ชวยเราความสนใจของนกเรยนตอสงทกาลงศกษาอย เพราะชดการเรยนจะเปด

โอกาสใหนกเรยนมสวนรวมในการเรยนของตนมากทสด

2. นกเรยนเปนผกระทากจกรรมการเรยนดวยตนเอง และเรยนไดตามความสามารถ

ความสนใจ หรอความตองการของตนเอง

3. เปดโอกาสใหนกเรยนไดแสดงความคดเหน ฝกการตดสนใจแสวงหาความรดวย

ตนเอง และมความรบผดชอบตอตนเองและสงคม

4. ชวยใหนกเรยนจานวนมากรบความรแนวเดยวกน

5. ทาใหการเรยนรเปนอสระจากอารมณของคร ชดการเรยนสามารถทาใหนกเรยน

เรยนไดตลอด ไมวาผสอนจะมสภาพหรอคบของทางอารมณมากนอยเพยงใด

6. ชวยใหการเรยนเปนอสรภาพจากบคลกภาพของคร เนองจากชดการเรยนชวย

ถายทอดเนอหาได ดงนนครทพดไมเกงกสามารถสอนใหมประสทธภาพได

7. ชวยใหครวดผลนกเรยนไดตรงตามจดมงหมาย

8. ชวยลดภาระและสรางความพรอมและความมนใจใหแกครเพราะชดการเรยน

ผลตไวเปนหมวดหม สามารถนาไปใชไดทนท

9. ชวยขจดปญหาขาดแคลนครผชานาญการ เพราะชดการเรยนชวยใหนกเรยนได

เรยนดวยตนเอง หรอตองการความชวยเหลอจากครเพยงเลกนอย

10. ชวยสรางเสรมการเรยนแบบตอเนองหรอการศกษานอกระบบ เพราะชดการ

เรยนสามารถนาไปสอนนกเรยนไดทกสถานททกเวลา

11. แกปญหาความแตกตางระหวางบคคล เพราะชดกจกรรมสามารถทาใหนกเรยน

ไดเรยนตามความสามารถ ความถนด และความสนใจ ตามเวลาและโอกาสทเอออานวยแกนกเรยนซง

แตกตางกน

ชยยงค พรหมวงศ และคนอนๆ (2523: 121) ไดกลาวถงคณคาของชดกจกรรมวา

“ไมวาจะเปนชดกจกรรมประเภทใด ยอมมคณคาตอการเพมคณภาพในการเรยนการสอน หากไดม

การผลตทมการทดสอบ วจยแลวดวยกนทงนน” คณคาของชดกจกรรมพอจะสรปไดดงน 1. ชวยใหผสอนถายทอดเนอหา ประสบการณทสลบซบซอน มลกษณะเปน

นามธรรมสง เชน การทางานของเครองจกรกล อวยวะของรางกาย การเจรญเตบโตของสตวชนตา

เปนตนซงผสอนไมสามารถถายทอดดวยการบรรยายไดด

2. ชวยเราความสนใจของนกเรยนตอสงทกาลงศกษา เพราะชดกจกรรม เปด

โอกาสใหนกเรยนมสวนรวมในการเรยนของตนเองและสงคม

3. เปดโอกาสใหนกเรยนไดแสดงความคดเหน ฝกการตดสนใจ แสวงหาความรดวย

ตนเองและสงคม

4. ชวยสรางความพรอม ความมนใจแกผสอน เพราะชดกจกรรมทผลตไวเปน

หมวดหม สามารถหยบใชไดทนท โดยเฉพาะผมเวลาในการเตรยมการสอนลวงหนา

5. ทาใหการเรยนการสอนเปนอสระจากอารมณของผสอน นกเรยนไดตลอดเวลาไม

วาผสอนจะมสภาพขดของทางอารมณเพยงใด

6. ชวยใหการเรยนเปนอสระจากบคลกภาพของผสอน ชดกจกรรมทาหนาท

ถายทอดความรแทนคร แมครจะพดหรอสอนไมเกง นกเรยนสามารถเรยนไดอยางมประสทธภาพจาก

ชดกจกรรมทไดผานการทดสอบประสทธภาพมาแลว

7. ในกรณทครขาด ครอนสามารถสอนแทนไดโดยใชชดกจกรรม ครไมตองเขาไป

นงคมชนหรอปลอยนกเรยนอยเฉย ๆ เพราะเนอหาอยในชดกจกรรมเรยบรอยแลว ครผสอนแทนไม

ตองเตรยมตวอะไรมากนก คณาภรณ รศมมารย (วารสารการศกษาวทยาศาสตร. 2547: ฉบบท 130) ไดกลาวถง

คณคาของชดกจกรรมตามแนวคดของแฮรสเบอรเกอร ม 5 ประการ คอ

1. นกเรยนสามารถทดสอบตนเองกอนวามความสามารถอยในระดบใด หลงจาก

นนกเรมตนเรยนในสงทตนเองกไมทราบ ทาใหไมตองเสยเวลากลบมาเรยนในสงทนกเรยนรแลว

2. นกเรยนสามารถนาบทเรยนไปเรยนทไหนกไดตามความพอใจไมจากดในเรอง

ของเวลา สถานท 3. เมอเรยนจบแลวนกเรยนสามารถทดสอบตวเองไดทนทเวลาไหนกได และได

ทราบผลการเรยนของตนเองเลยเชนกน 4. นกเรยนมโอกาสไดพบปะกบผสอนมากขน เพราะนกเรยนเรยนดวยตนเอง ครกม

เวลาใหคาปรกษากบผมปญหาในขณะทเรยนชดการเรยนทเรยนดวยตนเอง 5. นกเรยนจะไดรบคะแนนอะไรนนขนอยกบความสามารถของนกเรยนหรอ

ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนเอง ไมมคาวาสอบตกสาหรบนกเรยนไมสาเรจ แตจะใหนกเรยน

กลบไปศกษาเรองเดมนนใหมจนผลการเรยนไดตามเกณฑมาตรฐานทตงไว 2.7 งานวจยทเกยวของกบชดกจกรรม ธงชย ขาเทศเจรญ (2546) ไดทาการศกษาการเปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนวชา

คณตศาสตร เรองการหารของนกเรยนชนประถมศกษาปท 2 ระหวางการใชชดการสอนแบบศนยการ

เรยนกบชดการสอนแบบแบงกลมผลสมฤทธทมการนา เสนอในรปซนดเคท กลมตวอยางทใชในการ

ศกษาครงน เปนนกเรยนชนประถมศกษาปท 2 โรงเรยนบานหนองยาง (อนศาสนานสรณ) โรงเรยนกด

ตาดา (คงฤทธครราษฎรสามคค) และโรงเรยนถนนสรนารายณ (ครรฐประชาสรรค) กงอาเภอพระ

ทองคา จงหวดนครราชสมา ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2545 รวมทงสน 136 คน โดยแบงเปนกลม

ตวอยางในการหาประสทธภาพของชดการสอนแตละรปแบบ ซงม 3 ขนตอน คอ ขนทดสอบรายบคคล

ขนทดสอบกลมเลกและขนทดสอบภาคสนาม ผลการศกษา พบวา 1). ชดการสอนทพฒนาขน 2

รปแบบ คอ ชดการสอนแบบศนยการเรยนและชดการสอนแบบแบงกลมผลสมฤทธทมการนา เสนอ

เนอหาในรปการสอนแบบซนดเคท มประสทธภาพ 75.08/74.29 และ 79.34/76.30 ตามลาดบ เปนไป

ตามเกณฑทกาหนดไว 75/75 2). ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนทเรยนโดยใชชดการสอนแบบ

แบงกลม ผลสมฤทธทมการนา เสนอในรปซนดเคทสงกวานกเรยนทเรยนโดยใชชดการสอนแบบศนย

การเรยน อยางมนยสาคญทางสถตทระดบ .05 ผองศร หวานเสยง (2547) ไดทาการศกษาผลการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

คณตศาสตรทเนนกระบวนการเรยนแบบซปปาเรองโจทยปญหาการคณของนกเรยนชนประถมศกษาป

ท 3 โรงเรยนบานปาสกสานกงานเขตพนทการศกษาเชยงราย เขต 2 จานวน 25 คนเครองมอทใชใน

การวจยประกอบดวยแผนการจดการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตรเรองโจทยปญหาการคณ

ชนประถมศกษาปท 3 ชดกจกรรมคณตศาสตรทเนนกระบวนการเรยนแบบซปปาแบบทดสอบวด

ผลสมฤทธทางการเรยนและแบบวดเจตคตของนกเรยนตอการเรยนดวยชดกจกรรมคณตศาสตร

ผลการวจยพบวาชดกจกรรมคณตศาสตรทเนนกระบวนการเรยนแบบซปปาเรองโจทยปญหาการคณท

ผวจยสรางขน มประสทธภาพสงกวาเกณฑทกาหนดไวคอ 80/80 นกเรยนมผลสมฤทธทางการเรยน

สงกวาเกณฑทกาหนดไวคอรอยละ 65 นกเรยนมเจตคตในเชงบวกตอการเรยนการสอนโดยใชชด

กจกรรมคณตศาสตร ณฐกฤษ จนทรตะ (2548) ไดทาการศกษาการพฒนาชดการสอนคณตศาสตรทเนน

กระบวนการแกปญหา เรองความนาจะเปน สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3กลมตวอยาง เปน

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 3/3 จานวน 32 คน ทกาลงเรยนอยในภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2546

โรงเรยนหนองฉางวทยา อาเภอหนองฉาง จงหวดอทยธาน ผลการวจยพบวา 1). ชดการสอน

คณตศาสตรทเนนกระบวนการแกปญหา เรองความนาจะเปน สาหรบนกเรยน ชนมธยมศกษาปท 3

ทพฒนาขนมประสทธภาพ 90.00/78.94 ซงเปนไปตามเกณฑ 80/80 2). ผลสมฤทธทางการเรยนวชา

คณตศาสตรของนกเรยน ทไดรบการสอนโดยการใชชดการสอนคณตศาสตรทเนนกระบวนการแก

ปญหาหลงเรยนสงกวากอนเรยน อยางมนยสาคญทางสถตทระดบ .05 3). ความสนใจในการเรยน

วชาคณตศาสตรของนกเรยน ทไดรบการสอนโดยการใชชดการสอนคณตศาสตรทเนนกระบวนการ

แกปญหา หลงเรยนสงกวากอนเรยน อยางมนยสาคญทางสถตทระดบ .05

ถาวร ลกษณะ (2548) ไดทาการศกษาการพฒนาชดการสอนคณตศาสตร เรองสถต

เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตร และความสนใจในการเรยนวชาคณตศาสตร

ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ทไดรบการสอนดวยชดการสอนคณตศาสตร เรองสถตกบการสอน

ตามคมอคร เครองมอทใชในการวจย ไดแก 1). ชดการสอนคณตศาสตร เรอง สถต มประสทธภาพ

ตามเกณฑ 80 / 80 2). แผนการสอนตามคมอครอยในระดบทเหมาะสมดมาก 3). แบบทดสอบวด

ผลสมฤทธทางการวชาคณตศาสตร เรองสถต เปนแบบทดสอบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 30 ขอ

4). แบบวดความสนใจในการเรยนวชาคณตศาสตร มลกษณะเปนแบบลเคอรทสเกล 5 ตวเลอก

จานวน 26 ขอ ผลการวจยพบวา 1). ชดการสอนทพฒนาขนมประสทธภาพ 94.12 / 86.56 สงกวา

เกณฑ 80 / 80 2). ผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตร ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ทไดรบ

การสอนดวย ชดการสอนคณตศาสตร เรองสถต สงกวานกเรยนทไดรบการสอนตามคมอคร อยางม

นยสาคญระดบ .05 3). ความสนใจในการเรยนวชาคณตศาสตร ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ท

ไดรบการสอนดวยชดการสอนคณตศาสตร เรองสถต สงกวานกเรยนทไดรบการสอนตามคมอครอยาง

มนยสาคญระดบ .05

จากงานวจยทผวจยไดทาการศกษาขางบนนเปนเพยงสวนหนงเทานน แตจากการศกษา

พบวาชดการสอนหรอชดกจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกเรยนมผลสมฤทธทางการเรยนทดขน

ตอนท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต 1. ประวตโดยยอ การทจะบอกถงแหลงทมาของตรโกณมตนนยงไมมหลกฐานยนยน วธการของ

ตรโกณมตถกนามาใชใหเปนประโยชนในเรองของ การสารวจ การวดแผนท การคานวณพนท และการ

เดนเรอ ซงแนนอนวามนเปนสงทสาคญจรงๆ ซงวชาตรโกณมตนนไดถกนามาใหนกเรยนไดศกษาใน

ระดบชนมธยมศกษาตอนตนและตอนปลาย เปนการศกษาแนวคดทเกยวกบการใช ไซน โคไซน และ

แทนเจนต เพอวดมมของรปสามเหลยมมมฉากซงเปนสวนหนงของวชาตรโกณมต ซงตอมาในระดบท

สงขนจะเปนการศกษาทเปลยนจากเรองทเคยศกษาเกยวกบการวดมาเปนศกษาเกยวกบฟงกชนแทน

หรอทคนเคยกนคอฟงกชนตรโกณมต

คาวา “ตรโกณมต” ไมทราบวามจดกาเนดมาจากทใด แตจากภาษากรกคาวา trigonon ซง

หมายความวา “รปสามเหลยม” และจากภาษากรก คาวา metria ซงหมายความวา “การวด” เดมท

ตรโกณมตไดถกพฒนามาจากการศกษาของรปสามเหลยมมมฉากโดยศกษาจากการใชความสมพนธ

ระหวางการวดความยาวของดานและการวดมมของเรองทเกยวกบเรองรปสามเหลยมคลาย อยางไรก

ตามคาวา “ตรโกณมต” กยงไมสามารถบอกทมาไดอยางแนชดนก แตตอมาไดมนกคณตศาสตรและ

นกเรยนดาราศาสตรชาวเยอรมนไดแนะนาเกยวกบตรโกณมตลงไปในงานของเขาวา Trigonometria

sive de solutione triangularum tractatus brevis et perspicius… ซงมการประกาศในป 1595

จากนนในป 1600 ไดมการปรบปรงแกไข และประกาศอกครงวา Trigonometria sive de dimensione triangulae.

จดกาเนดของตรโกณมตและพฒนาการของฟงกชนตรโกณมตนนมประวตความเปนมาท

ตางๆ นาๆ กนมากมาย ตรโกณมตไมใชงานของคนใดคนหนงหรอชาตใดชาตหนง อนทจรงแลวในสมย

อยปตโบราณและสมยบาบโลนไดมการพฒนาทฤษฎบทของอตราสวนความยาวดานของรปสาม

เหลยมคลาย กอนทจะมตรโกณมตซงเปนสวนหนงของวชาคณตศาสตร ซงทงสองกลมนไดมการนา

ความรเกยวกบฟงกชนตรโกณมตไปใชแตยงไมชดเจนนก โดยทอยปตนาตรโกณมตไปใชประโยชน

เกยวกบการสารวจแผนทและการสรางพระมด สวนบาบโลนนกดาราศาสตรไดมการเชอมโยง

ความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตกบความยาวสวนโคงของวงกลมและระยะทางของคอรดทอยตรง

ขามกบสวนโคงบนวงกลม สาหรบชาวกรกมการคนพบวา ชาวกรกไดศกษาความสมพนธระหวาง

ความยาวของคอรดกบมมทรองรบคอรดนนอยางเปนระบบ ซงเรองเหลานเปนเรองทคนเคยสาหรบ

ชาวกรกในสมยของ ฮปโปเครตส (Hippocrates, ประมาณ 460 ปกอนครสตศกราช) และในเวลา

ใกลเคยงกนน ยโดซส (Eudoxus, ประมาณ 408–355 ปกอนครสตศกราช) ได ใชอตราสวนและการวด

มมในการหาขนาดของโลกและระยะทางสมพทธระหวางดวงอาทตยและดวงจนทร สวนผลงานของยค

ลดในทางเรขาคณตนนมทฤษฎบทอยหลายทฤษฎบททสามารถใชในการพสจนทฤษฎบททาง

ตรโกณมต โดยเฉพาะทฤษฎบททเกยวกบความยาวของคอรดซงคลายคลงกบไซนและโคไซนของ

ผลบวกและผลตางของมม บางทฤษฎบทกมความสมพนธโดยตรงกบกฎของไซน 2. แนวการสอนฟงกชนตรโกณมต ผวจยไดทาการศกษาเอกสารทเกยวของกบแนวการสอนฟงกชนตรโกณมต โดยศกษา

ขอบเขตของเนอหาวาควรทาการศกษาในแนวทางใด และการเรยบเรยงลาดบของเนอหา ซงผวจยได

ศกษาแนวทางการสอนฟงกชนตรโกณมต ดงน

ซลแวน (Sullivan. 1996: 495–567) ไดนาเสนอแบบเรยนเกยวกบพชคณตและฟงกชน

ตรโกณมต ในบททเกยวกบฟงกชนตรโกณมตเขาไดวางลาดบเนอหาพอจะสรปไดดงน

1. ตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก เปนการกลาวถงทฤษฎบทพทาโกรส และศกษา

เกยวกบอตราสวนความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก อตราสวนตรโกณมต ใชทฤษฏบทพทา

โกรสนาไปสเอกลกษณพนฐานของฟงกชนตรโกณมต

2. สมบตของฟงกชนตรโกณมตโดยผานวงกลมหนงหนวย เรมจากใหรจกวงกลมหนง

หนวย (Unit Circle) และความสมพนธระหวางเรเดยนกบความยาวสวนโคง และนาไปสการนยาม

ฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน สดทายกลาวถงโดเมนและเรนจของฟงกชนตรโกณมต

3. การหาคาของฟงกชนตรโกณมต กลาวถงการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวน

จรงและมม ทงทเปนพนฐานและจานวนจรงใดๆ

4. กราฟของฟงกชนตรโกณมต จะกลาวถงกราฟของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของ

จานวนจรงโดยจานวนจรงอยบนแกน X และคาของฟงกชนอยบนแกน Y และกลาวถงแอมพลจดและ

คาบของฟงกชน

เบคเคนบาค และดรยาน (Beckenbach ; & Drooyan. 1968: 155–215) ไดนาเสนอ

เนอหาเกยวกบฟงกชนตรโกณมต โดยแบงการนาเสนอทละสวนคอ เซอรคลาฟงกชน (Circular

Functions) และ ฟงกชนตรโกณมตโดยทวางลาดบเนอหา ดงน

1. เซอรคลาฟงกชน (Circular Functions) เรมจากการนยามฟงกชนไซนและฟงกชน

โคไซนของจานวนจรง โดยอาศยวงกลมหนงหนวย ดงน

ภาพประกอบ 2 แสดงการเขยนนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน โดยวธเซอรคลาฟงกชน

จากภาพประกอบ 2 จะไดวาเมอ P(x, y) เปนจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทวด

จากจด (1, 0) ยาว แลว cosine = {(θ , x)| x = cosθ }, sine = {( , y)| y = sinθ } จากนนไดอาศย

นยามนหาคาไซนและโคไซนของจานวนใดๆ เชน

2. เอกลกษณ จะกลาวถงเอกลกษณพนฐานของเซอรคลาฟงกชนพรอมทงพสจน

เอกลกษณของฟงกชน

3. ฟงกชนตรโกณมต บทนไดกลาวถงมมในตาแหนงมาตรฐาน การวดมมในระบบองศา

และเรเดยน ฟงกชนตรโกณมตของมม การใชตาราง ฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก

4. กราฟของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน กลาวถงการเขยนกราฟของไซนและโคไซน

และกลาวถงแอมพลจดและคาบของกราฟของฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x), y = T(k⋅x), y = T(x) + k

และ y = T(x+k)

ชโวลควอฟสก (Swokowski. 1978: 38–98) ไดนาเสนอเนอหาฟงกชนตรโกณมตโดย

เรมจากใหเรยนเซตของจานวนจรง ความสมพนธและฟงกชนซงเปนลกษณะทวๆ ไปของคณตศาสตร

แผนใหม เพอเปนพนฐานกอนทจะเรยนฟงกชนตรโกณมตในสวนทเกยวกบฟงกชนตรโกณมตเขาไดวางลาดบ

เนอหา สรปไดดงน

1. The Wrapping Function หมายถง ฟงกชนของสวนของเสนจานวนจรงททาบลงไป

บนวงกลมหนงหนวย โดยมโดเมนเปนจานวนจรงและเรนจเปนคอนดบ ดงน

ภาพประกอบ 3 แสดงการอธบายนยามของฟงกชนตรโกณมต โดยวธการ The Wrapping Function

ทกๆ คาของจานวนจรงบนวงกลมหนงหนวยจะจบคกบจด (x, y) ในระนาบเสมอ ดงนน

The Wrapping Function จงเปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรงไปยงเซตของคลาดบ (x, y) ดงกลาว

2. ฟงกชนตรโกณมต เปนการนยามฟงกชนตรโกณมตจาก The Wrapping Function

ในขอ 1 โดยท เมอ t เปนจานวนจรงบนวงกลมหนงหนวย ทจบคกบคลาดบ (x, y) แลว

sin t = y ; cos t = x

tan t = xy , ; cot t = 0x ≠

yx , 0y ≠

csc t = y1 , ; sec t = 0y ≠

x1 , x ≠ 0

3. คาของฟงกชนตรโกณมต กลาวถงคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงตางๆ ทงท

ใชและไมใชตาราง

4. การวดมม กลาวถงมมในตาแหนงมาตรฐาน การวดมมในระบบองศาและเรเดยน

5. ฟงกชนตรโกณมตของมม กลาวถงนยามของฟงกชนตรโกณมตของมมแบบเรเดยนซง

สมพนธกบฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง แลวจงเชอมโยงไปถงฟงกชนตรโกณมตของมมแบบองศา

และอตราสวนตรโกณมตของมมแหลมของรปสามเหลยมมมฉาก ตลอดจนการนาไปใชในการ

แกปญหาเกยวกบรปสามเหลยมมมฉาก

6. กราฟของฟงกชนตรโกณมต กลาวถงการเขยนกราฟของไซนและโคไซน และฟงกชน

ตรโกณมตทไดจากฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน กลาวถง แอมพลจดและคาบของกราฟของฟงกชน

ตรโกณมต

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (2548: 64–121) ไดมการจดเรยง

ลาดบเนอหา เรองฟงกชนตรโกณมตในหนงสอแบบเรยนดงน เรมจากวงกลมหนงหนวยและความยาว

สวนโคง แลวนาเขาสฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงและสตรตางๆ ในการหาคาของฟงกชน

ตรโกณมต จากนนกนาสฟงกชนตรโกณมตของมม โดยกลาวถงฟงกชนตรโกณมตของมมในระบบ

เรเดยนกอนแลวใชการแปลงมมจากระบบเรเดยนเปนระบบองศาและหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม

ตางๆ ในระบบองศาจากการเทยบคาไปยงมมในระบบเรเดยน จากนนจะกลาวถงอตราสวนตรโกณมต

ของมมของรปสามเหลยมมมฉาก และตารางคาฟงกชนตรโกณมต สดทายจะกลาวถงกราฟของ

ฟงกชนตรโกณมต

จากการศกษาเอกสารเกยวกบแนวการสอนฟงกชนตรโกณมต สรปไดวามวธการนาเสนอ

วธการทแตกตางกน ซงอาจนาเขาสฟงกชนตรโกณมต ขนอยกบวาผสอนจะเลอกใชวธการนาเสนอ

แบบใด แตการนาเสนอในแตละแบบกมสวนทเหมอนกนกคอตองคานงถงพนฐานความรของนกเรยน

กอนทจะนาเสนอเนอหาฟงกชนตรโกณมต 3. งานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต งานวจยในประเทศ สมศกด อวนสาเล (2540) ไดทาการศกษาการสรางแบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร

เรองฟงกชนตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนสงกดกรมสามญศกษา จงหวด

หนองบวลาภ แผนการเรยนวทยาศาสตร-คณตศาสตร ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2539 จานวน 286

คน โดยการสมแบบแบงชนภม (Stratified Random Sampling) จดมงหมายเพอ 1). เพอสราง

แบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร ใหมคณภาพ 2). เพอหาจดบกพรองทนกเรยนมปญหาในเรอง

ฟงกชนตรโกณมต เครองมอทใชในการวจยเปนแบบทดสอบวนจฉยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอกจานวน 5

ฉบบ ผลการวจยพบวาในแบบทดสอบวนจฉยฉบบท 1 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน นกเรยนม

จดบกพรอง คอ การหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงพนฐาน การหาตาแหนงจดปลาย

สวนโคงของวงกลมหนงหนวย และสบสนเรองเครองหมายของฟงกชนไซนและโคไซนในชวงตางๆ

แบบทดสอบวนจฉยฉบบท 2 เรองฟงกชนตรโกณมตอนๆ จดบกพรองของนกเรยนคอการใชสตรตางๆ

ของฟงกชนตรโกณมตอนๆ บกพรองเรองเครองหมายของฟงกชนตรโกณมตในควอดรนตตางๆ และ

การคดคานวณ แบบทดสอบวนจฉยฉบบท 3 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของมม จดบกพรองทพบคอเรอง

เครองหมายของฟงกชนตรโกณมตในควอดรนตตางๆ การใชสตรตางๆ ของฟงกชนตรโกณมตอนๆ

และการหาตาแหนงจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวย แบบทดสอบวนจฉยฉบบท 4 เรองฟงกชน

ตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก จดบกพรองคอ การใชอตราสวนตรโกณมตของรป

สามเหลยมมมฉาก แปลความหมายโจทยไมครบ และการใชทฤษฎบทพธาทอรส และแบบทดสอบ

วนจฉยฉบบท 5 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต จดบกพรองคอ นกเรยนไมเขาใจความคดรวบยอด

เกยวกบคาบของฟงกชนตรโกณมต ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบแอมพลจดของฟงกชน

ตรโกณมต และไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต

เกษม มงลอ (2544) ไดทาการศกษาการสรางชดการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต สาหรบชน

ประถมศกษาปท 5 โรงเรยนขอนแกงพฒนาศกษา อาเภอเมอง จงหวดขอนแกน จานวน 42 คน โดย

การสมแบบกลม ทดลองโดยใชชดการสอนประกอบคาบรรยาย ซงแบงเปน 3 ขนตอน คอ การทดลอง

แบบหนงตอหนง กบนกเรยน 3 คน แบบกลมเลกใชนกเรยน 9 คน และแบบภาคสนามใชนกเรยน

จานวน 30 คน ชดการสอนประกอบคาบรรยายทสรางขนม 16 คาบ ซงใชเวลาเรยนคาบละ 50 นาท

ซงผลของการศกษาพบวาชดการสอนประกอบคาบรรยายมประสทธภาพโดยพจารณาจากผลการ

วเคราะหหาประสทธภาพ E1/E2 = 85.72 / 80.33 และคาดชนประสทธผล E.I.= .72

บปผา เซยสกล (2544) ไดทาการศกษาการสอนคณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยน

สกลราชวทยานกล อาเภอเมอง จงสกลนคร ทกาลงเรยนวชาคณตศาสตร ค 012 ภาคเรยนท 2 ป

การศกษา 2542 เรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใชคอมพวเตอรชวยสอนซอมเสรม จานวน 40 คน ซง

ไดมาโดยการเลอกแบบเจาะจง เครองมอทใชในการวจย ไดแก แผนการสอนทใชในชนเรยนปกต

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนทมคาความเทยงตรง 0.7663 แบบบนทกการสงเกตพฤตกรรม

ทางการเรยน และบทเรยนคอมพวเตอร ซงประกอบดวย แบบทดสอบประจาหนวยกอนเรยน บทเรยน

คอมพวเตอรชวยสอนซอมเสรม และแบบทดสอบประจาหนวยหลงเรยน ผลการวจยพบวา นกเรยนท

เรยนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชคอมพวเตอรชวยสอนซอมเสรม มผลการเรยนด

ขน โดยนกเรยนสวนใหญมความกาวหนาทางการเรยนและมผลสมฤทธทางการเรยนสงกวาเกณฑรอย

ละ 50 เกอบทกจดประสงค และนกเรยนมความสนใจในการเรยนและมวนยในชนเรยนดมาก มความ

รบผดชอบในการเรยนและงานทไดรบมอบหมายสง

กตยารตน ภรพฒน (2545) ไดทาการศกษาการพฒนาแบบทดสอบวนจฉย วชาคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนในสงกดสานกงานสามญศกษาจงหวดอบลราชธาน จานวน 957 คนได

มาจากการสมตวอยางหลายขนตอน เรองฟงกชนตรโกณมต การวจยนมวตถประสงค 1). เพอพฒนา

แบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เรองฟงกชนตรโกณมต 2). หาคณภาพของ

แบบทดสอบวนจฉยทงฉบบและรายขอ และ 3). สรางคมอการใชแบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 4 เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชแบบทดสอบทสรางขนประกอบดวยแบบทดสอบ

ชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จานวน 6 ฉบบ คอ 1). ฟงกชนไซนและโคไซน 2). คาของฟงกชนไซนและ

โคไซน 3). ฟงกชนตรโกณมตอนๆ 4). ฟงกชนตรโกณมตของมม 5). การอานคาของฟงกชนตรโกณมต

จากตาราง 6). กราฟของฟงกชนตรโกณมต ผลการวจยพบวา สาเหตททาใหเกดจดบกพรองเรยง

ลาดบจากมากไปนอยคอ นกเรยนบกพรองการคดคานวณ นกเรยนไมเขาใจคาของฟงกชนตรโกณมต

บกพรองเรองการหาคาฟงกชนตรโกณมต ไมเขาใจในการกาหนดเครองหมายในควอดรนต บกพรอง

เรองการหาคาและไมเขาใจการเขยนคาของเลขคณตของพกดและการหารเศษสวน ตามลาดบ

วระศกด พทบร (2545) ไดทาการศกษาการพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนวชา

คณตศาสตรเรองฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงและมมระดบชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนสตล

วทยา ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2544 จานวน 102 คน โดยการสมอยางงาย จดมงหมาย 1). เพอ

พฒนาประสทธภาพของบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอน และ 2). เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยน

วชาคณตศาสตรระหวางกอนเรยนและหลงเรยน 3).เพอเปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนของ

นกเรยนทไดรบการสอนโดยใชบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนกบนกเรยนทไดรบการสอนโดยวธปกต

โดยแบงกลมตวอยางออกเปน 2 กลม กลมละ 30 คน โดยทกลมท 1 คอกลมทดลอง กลมท 2 คอกลม

ควบคม ผลการวจยพบวา บทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมตของ

จานวนจรงและมม มประสทธภาพ 84.83/82.67 และผลการเปรยบเทยบระหวางกอนเรยนและหลง

เรยน ของนกเรยนทไดรบการสอนโดยใชบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนปรากฏวา นกเรยนมผลสมฤทธ

ทางเรยนหลงเรยนสงกวาผลสมฤทธทางการเรยนกอนเรยนอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.05

และนกเรยนทเรยนโดยใชบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนมผลสมฤทธสงกวานกเรยนทไดรบการสอน

แบบปกตอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.05

จตราภรณ ภแกว (2547) ไดทาการศกษาการพฒนาชดกจกรรมการเรยนรทเนนนกเรยนเปน

สาคญ โดยใชกจกรรมทหลากหลาย เรองอตราสวนตรโกณมตและการนาไปใช ชนมธยมศกษาปท 5

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2547 โรงเรยนวฒนานคร อาเภอวฒนานคร จงหวดสระแกว ทไดมาโดยการ

สมแบบแบงกลม(Cluster Random Sampling)1หองเรยนจานวน 45 คน จดมงหมายเพอพฒนาชด

กจกรรมการเรยนรทเนนนกเรยนเปนสาคญโดยใชกจกรรมทหลากหลาย และหาคณภาพของชด

กจกรรม โดยพจารณาจากประสทธภาพตามเกณฑ 80/80 และผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยน

กอนและหลงจากไดรบการสอนดวยชดกจกรรมการเรยนรทเนนนกเรยนเปนสาคญ ดาเนนการสอนโดย

ใชเวลา จานวน 17 ชวโมง โดยใชแบบแผนการทดลองแบบ One Group Pretest – Postest Design

และวเคราะหขอมล โดยการใชการทดสอบคาสถต t-test Dependent ผลการวจยพบวาชดกจกรรม

การเรยนรทเนนนกเรยนเปนสาคญ โดยใชกจกรรมทหลากหลาย มประสทธภาพ 89.22/87.26 สงกวา

เกณฑทกาหนดไว และผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนหลงไดรบการจดการเรยนรโดยใชชด

กจกรรมสงกวากอนไดรบการจดการเรยนรอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.01

ชษณชา พระสวาง (2547) ไดทาการศกษาการพฒนาการจดกจกรรมการเรยนรแบบรวมมอ

วชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมตและการประยกต ชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนสรนารวทยา

จงหวดนครราชสมา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2546 จานวน 2 หองเรยน หองเรยนละ 40 คน ไดสม

ตวอยางแบบเจาะจง รปแบบการวจยเปนการวจยเชงปฏบตการ มจดมงหมายเพอพฒนากจกรรมการ

เรยนรคณตศาสตรแบบรวมมอกนเรยนร และศกษาความคงทนในการเรยนร ผลการวจยปรากฏวา

กจกรรมการเรยนรคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมตและการประยกต ทพฒนาขนมามประสทธภาพ

98.02/81.31 ซงสงกวาเกณฑทกาหนด และมคาดชนประสทธผล 0.75 ซงหมายความวานกเรยนม

ความรเพมขนหลงการเรยน รอยละ 75.00 และนกเรยนมความคงทนในการเรยนร เทากบ 0.36

ปยาพชร พวงมาลย (2547) ไดทาการศกษาการสรางชดการสอน วชาคณตศาสตร เรอง

ฟงกชนตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2546 โรงเรยนบาน

หนวทยา อาเภอเกษตรสมบรณ จงหวดชยภม จานวน 24 คน โดยการสมแบบกลม เพอทาการทดสอบ

หาประสทธภาพของชดการสอน เครองมอทใชในการศกษาครงประกอบดวย แบบทดสอบแบบปรนย 4

ตวเลอกจานวน 20 ขอและชดการสอนแบบบรรยาย เรองฟงกชนตรโกณมต ซงแบงเปน 3 ขนตอน คอ

การทดลองแบบหนงตอหนง กบนกเรยน 3 คน แบบกลมเลกใชกบนกเรยน 9 คน และแบบภาคสนาม

ใชกบนกเรยน 12 คน ชดการสอนแบบบรรยายทสรางขนม 6 คาบ ใชเวลาเรยนคาบละ 60 นาท

ผลการวจยพบวา ชดการสอนแบบบรรยายมประสทธภาพโดยพจารณาจากผลการวเคราะหหา

ประสทธภาพ E1/E2 = 92.12 / 82.08 และคาดชนประสทธผล E.I.= .72

มฑนย ศรนาค (2547) ไดทาการศกษาการพฒนากจกรรมการเรยนคณตศาสตรเรองการ

ประยกตฟงกชนตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2546

โรงเรยนหวหน จงหวดประจวบครขนธ จานวน 30 คน โดยเลอกมาทงหองเรยน จดมงหมายเพอ

1). พฒนากจกรรมการเรยนคณตศาสตรเรองการประยกตฟงกชนตรโกณมตโดยเนนการลงมอปฏบต

2). ศกษาความสามารถในการแกปญหาของนกเรยน เครองมอทใชการวจยประกอบดวย 2.1). แผนการ

จดกจกรรมการเรยนรทเนนการลงมอปฏบต 2.2). แบบทดสอบวดความสามารถในการแกปญหากอน-

หลงเรยนแบบคขนาน ผลการวจยพบวา กจกรรมการเรยนมประสทธภาพตามเกณฑ 75/75 และความ

สามารถในการแกปญหาของนกเรยนหลงการใชกจกรรมสงกวากอนการใชกจกรรมอยางมนยสาคญ

ทางสถตทระดบ 0.05

ศรลกษณ กโบลา (2547) ไดทาการศกษาการพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรวชาคณตศาสตร

เรอง อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต ชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนสรนารวทยา อาเภอเมอง จงหวด

นครราชสมา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2546 ไดมาจากการสมนกเรยน 1 หองเรยนจาก 7 หองเรยน

จานวนนกเรยน 41 คน จดมงหมาย 1). เพอหาประสทธภาพของบทเรยนคอมพวเตอรตามเกณฑ 75/75

2). หาดชนประสทธผลของบทเรยนคอมพวเตอร 3). ศกษาผลการใชบทเรยนคอมพวเตอร 4). ศกษา

ความพอใจของนกเรยนทมตอบทเรยนคอมพวเตอร ซงเครองมอทใชในการศกษาคนความดงน

1). บทเรยนคอมพวเตอร ทผานการประเมนของผเชยวชาญดานสอและโปรแกรมคอมพวเตอรวาอยใน

เกณฑดมาก 2). แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนแบบองเกณฑทเปนขอสอบแบบปรนย 4

ตวเลอก จานวน 40 ขอ 3). แบบสอบถามความพงพอใจทเปนแบบมาตราสวน ประมาณคา 5 ระดบ

จานวน 20 ขอ ผลการวจยพบวา การพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรวชาคณตศาสตร เรอง อนเวอรสของ

ฟงกชนตรโกณมต ชนมธยมศกษาปท 5 มประสทธภาพ 77.64/83.35 สงกวาเกณฑทตงไว ดชน

ประสทธภาพเทากบ 0.7725 แสดงวาบทเรยนคอมพวเตอรทาใหนกเรยนมความกาวหนาทางการเรยน

เพมขนคดเปนรอยละ 77.25 และผลการใชบทเรยนคอมพวเตอรทาใหบรรยากาศของการเรยนการ

สอนดขน นกเรยนมความสขในการเรยน แตมความยงยากในการจดเวลาการใชหองเรยน นกเรยนม

ความพงพอใจในระดบมาก งานวจยในตางประเทศ เคนดอล, มากาเรท และ สเตซ, เคย (Kendal, Margaret ; & Stacey, Kaye. 1997:

Abstract) ไดทาการศกษาวธการสอน เรองตรโกณมต ในโรงเรยนวคตอเรย ซงผวจยไดทาการศกษา

วธการสอน เรองตรโกณมตออกเปน 2 วธ ไดแก วธท 1 คอการสอนตรโกณมตโดยการเปรยบเทยบ

อตราสวน (Ratio method) ความยาวของดานในรปสามเหลยมมมฉาก และวธท 2 คอการสอน

ตรโกณมตโดยการใชวงกลมหนงหนวย (Unit circle- method) ผลของการวจยพบวานกเรยนทไดรบ

การสอนดวยวธท 1 สวนใหญมคะแนนสงกวานกเรยนทไดรบการสอนดวยวธท 2

ออลฮน, เนวน (Orhun, Nevin. 2000, July: Abstract) ไดทาการศกษาขอผดพลาด ของ

นกเรยนทเรยนเรองตรโกณมต กลมตวอยางจานวน 77 คน ทศกษาอยในเกรด 10 ในการวจยผวจยได

สรางคาถามทเกยวกบแนวคดพนฐานของตรโกณมตไว 15 ขอ และนาไปใชถามนกเรยนแตในทนผวจย

ไดเลอกคาถามมา 4 ขอจาก 15 ขอ ผลการวจยพบวา นกเรยนมความผดพลาดอยางมากเกยวกบ

รปแบบของความสมพนธระหวางมมกบจานวนจรง และฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก

เวบเบอร, เคอซ (Weber, Keith. 2005: Abstract) ไดทาการวจยเกยวกบการศกษาความ

เขาใจของนกเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต กลมตวอยางทใชแยกออกเปน 2 กลม กลมแรกเปน

นกศกษาในมหาวทยาลยในเขตทางใตของสหรฐอเมรกาทกาลงศกษาวชาตรโกณมต จานวน 31 คน

และกลมสองเปนนกศกษาในมหาวทยาลยเดยวกน จานวน 40 คน ซงในกลมแรกจะเปนการเรยนวชา

ตรโกณมตจากศาสตราจารยทมประสบการณสอนมามากกวา 30 ป ซงสอนโดยใชวธการบรรยายเปน

หลก ซงครผสอนจะเปนผอธบายซะสวนใหญ สาหรบกลมสองใชวธการสอนโดยใหนกศกษาเรยนโดย

การใชแบบรปเพอใหนกเรยนไดมองความสมพนธออกดวยการสงเกต และการทดลองปฏบต ผลของ

การวจยพบวา นกศกษาทเรยนดวยวธการบรรยายนนการพฒนาการความเขาใจเกยวกบฟงกชนนนถก

จากดไวแคทผสอน สาหรบนกศกษาทรบการทดลองการสอนมการพฒนาความเขาใจเกยวกบฟงกชน

ตรโกณมตไดอยางลกซงมากกวา

ฟอลน, แอคเซล เพอเซน และเมอรฟ, เทเรน เฟลเทอร (Faughn, Axelle Person ; &

Murphy, Terran Felter. 2007: Abstract) ไดทาการศกษาผลของการใชโปรแกรมซอฟตแวรทาง

เรขาคณตในการสอน เรองตรโกณมต เครองมอทใชในการวจยคอชดกจกรรมทผวจยสรางขนเพอให

นกเรยนไดทาการสารวจโดยการลงมอปฏบตจรง สงเกต และตงขอคาดการณ เพอศกษาแนวคดของ

ตรโกณมต กลมตวอยางคอนกศกษาทกาลงจะเขาเรยนในมหาวทยาลย ในการทดลองนนนกศกษาจะ

ไดประสบการณโดยการใชหองทดลองคอมพวเตอร ซงในคอรดหนงจะมเวลา 2 ชวโมง ผวจยให

นกศกษาใชเวลา 25 นาท ในการทาการสารวจศกษาโดยใชคอมพวเตอรโดยใหนกเรยนจบกลม กลม

ละ 3 คน แลวปฏบตตามคาสงทมอยในกจกรรมทผวจยไดสรางขน ผลของการวจยพบวา นกศกษาท

ไดรบการสอนโดยใชโปรแกรมซอฟตแวรเรขาคณตมความรทคงทนและอยไดนาน

ตอนท 3 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต 1. การใชคอมพวเตอรในการเรยนการสอน

การพฒนาทางดานเทคโนโลยคอมพวเตอรมความกาวหนาอยางรวดเรว โดยปจจบนไดม

การนาคอมพวเตอรไปใชในดานการเรยนการสอนมากขน โดยการนาคอมพวเตอรไปใชในการเรยนการ

สอนนมประโยชนสาคญๆดงน (ศรศกด จามรมาน. 2535: 10)

1. ทาใหนกเรยนไดมสวนรวมในกระบวนการเรยนการสอนมากขน ทาใหมความสนใจ

และความกระตอรอรนมากขน

2. ทาใหนกเรยนสามารถเลอกวธเรยนไดหลายแบบ ทาใหไมเบอหนาย

3. ทาใหนกเรยนเกดความเขาใจมากขน ลดการทองจา

4. ทาใหปรบปรง เปลยนแปลงการเรยนการสอนไดเหมาะสมกบความตองการของ

นกเรยนแตละคน

5. ทาใหนกเรยนมอสระในการเรยน

6. ทาใหนกเรยนสามารถสรปหลกการ

การพฒนาบทเรยนทางคณตศาสตรทใชคอมพวเตอรชวย ม 3 ลกษณะ

1. พฒนาบทเรยนโดยการสรางดวยโปรแกรมภาษาทางคอมพวเตอร เชน พฒนาโดยใช

ภาษา Basic, Fortran, Visual C, Visual Basic, Maple เปนตน ปญหาทพบในกรณนคอ ผพฒนาตอง

มความรและประสบการณทางคอมพวเตอรสงและใชเวลาในการพฒนามาก

2. พฒนาบทเรยนจากโปรแกรมบทเรยน (Authoring System) เชน โปรแกรมไทยทศน

บนภาพกราฟก มรปแบบตวอกษรตางๆ มภาพสามมต ลดความยงยากในการใชคาสงตางๆ นาเสนอ

เนอหา ตวอยางการทางาน การสรางภาพและเสยงประกอบคาถาม และการฝกปฏบต แตปญหาทพบ

คอ ผพฒนาสวนมากจะสรางบทเรยนสนๆแตการพฒนารปภาพทางเรขาคณตประกอบการคานวณ

ตองใชเวลามากและตองเรยนรเชอมโยงโปรแกรมเขาดวยกน

3. พฒนาจากโปรแกรมสาเรจรป ทมจาหนายทวไป ทเหมาะสมกบงานแตละงาน เชน

Microsoft Excel เหมาะกบการคานวณในลกษณะของแถวหรอหลก Microsoft Word เหมาะสมกบ

การทาเอกสาร Mathmatica Mathcad และ Mathlab ทงสามโปรแกรมนเหมาะสมกบการคานวณทาง

คณตศาสตร สามารถใชในแงของสญลกษณ การเขยนกราฟและฟงกชน การคานวณของแคลคลส

ชนสง (วรรณวภา สทธเกยรต. 2542: 28) 2. ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตเปนซอฟตแวรดานเรขาคณตซงเนนการสรางรปเรขาคณตใน

ลกษณะเดยวกบการใชสนตรงและวงเวยน แตมลกษณะปฏสมพนธ ผใชสามารถสรางรปและเคลอน

ยายรปได โดยการเคลอนยายจดหรอยายเสนนนสามารถทาไดโดยงาย และการเคลอนยายจะยงคง

รกษาสมบตทรวมกนของรปนนไวเสมอ เชน รปสามเหลยมหนาจวจะเคลอนยายจดมมในลกษณะใดก

ตามจะเปนรปสามเหลยมหนาจวเสมอ หรอจดซงอยบนสวนของเสนตรง การเคลอนยายจะยงคงรกษา

สมบตของจดบนสวนของเสนตรงนนเสมอ ทาใหซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตเหมาะสาหรบการเรยน

รเรขาคณตโดยทดลองสรางและสารวจสมบตหรอคนหาความจรงในเชงเรขาคณตจากรปหลายๆ ลกษณะ

ซงสอดคลองกบลาดบขนการเรยนรสามขนแรกของแวน ฮล (สธนนท บญพฒนาภรณ. 2549: 18)

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทมในปจจบนมสมบตพนฐานของการสรางและการ

เคลอนยายจด เสนตรง วงกลม มม พรอมทงเครองมออานวยความสะดวกเบองตน เชน ความยาว

ขนาดมม คลายคลงกน ซงสามารถจาแนกตามลกษณะการเผยแพรได 2 ลกษณะ ดงน

1. ซอฟตแวรธรกจ อาทเชน

1.1 CABRI (http://www.chartwellyorke.com/cabri.html. 2 กรกฏาคม 2551)

1.2 GSP (http://www.dynamicgeometry.com. 2 กรกฏาคม 2551)

1.3 CINDERELLA (http://www.cinderella.de/tiki-index.php. 2 กรกฏาคม 2551)

2. ซอฟตแวรทใชเผยแพรโดยไมเสยคาลขสทธ

2.1 C.a.R. (วนท 3 มถนายน 2551, http://www.z-u-l.de)

2.2 KSEG (วนท 23 มถนายน 2551, http://www.mit.edu/~ibaran/kseg.html.)

2.3 WinGeom (วนท 23 มถนายน 2551, http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html.)

2.4 GeoGebra (วนท 3 มถนายน 2551, http://www.geogebra.org.)

ผวจยเลอกใชซอฟตแวร C.a.R. (Compass and Ruler, Construct and Rule) เปน

เครองมอในการวจยครงนเนองจากเปนโปรแกรมซงอนญาตใหใชและเผยแพรไดโดยไมเสยคาลขสทธ

และมสมบตเบองตนของซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตพอเพยง และสามารถเพมเตมเครองมอโดย

ผใชดวยการสรางคาสงมาโคร (Macro) ซงโปรแกรม C.a.R. เปนซอฟตแวรทพฒนาขนโดย

ศาสตราจารย ดร. เรอเน กรอธมนน (Prof. Dr. Rene Grothmann) ชาวเยอรมน โดยมวตถประสงค

สาหรบนกเรยนตงแตชนประถมศกษาจนถงระดบสง รวมทงผใหญ เพอนามาใชในวชาคณตศาสตร

การใชโปรแกรมสามารถใชไดดวยการคลกเมาสและลากเมาส หรอใชคาสงเปนขอความโดยตรง

จดเดนของโปรแกรม C.a.R. คอ

1. การสรางแฟมงานแบบ HTML

โปรแกรม C.a.R. สามารถแปลงแฟมงานจากแฟมงานของ C.a.R. ใหเปนแฟมงานแบบ

HTML โดยทยงคงคณสมบตตางๆ ของโปรแกรมเสมอนอยในแฟมงานของ C.a.R. และสามารถเลอก

เครองมอทเคยใชงานในโปรแกรม C.a.R. เฉพาะทจาเปนมาใชงานในแฟมงานแบบ HTML ได

2. การสรางงานในลกษณะของแบบทดสอบการสราง

โปรแกรม C.a.R. มความสามารถในการสรางงานในลกษณะของแบบทดสอบการสราง

ได หมายความวาครผสอนสามารถทจะกาหนดคาตอบหรอวธการของกจกรรมทเกยวกบสรางนนๆ ได

ในขณะทนกเรยนปฏบตกจกรรมนนนกเรยนสามารถตอบสนองกบโปรแกรม C.a.R. ไดทนททนกเรยน

สรางไดถกตอง โปรแกรม C.a.R. จะมการตอบสนองวา Well Done ซงวธการเชนนทาใหนกเรยนนา

ความรทเคยเรยนมา ตอบคาถามกจกรรมการสราง โดยไมจากดวธสราง

3. การสรางภาพเคลอนไหว

โปรแกรม C.a.R. สามารถสรางภาพหรอขอความทเคลอนไหวได ซงการเหนความ

เคลอนไหว จะชวยใหนกเรยนมองเหนการเปลยนแปลง นาไปสการสารวจ สงเกต และตงขอคาดการณ

เปนแนวทางการเรยนร จะทาใหนกเรยนเขาใจเนอหาทเรยนไดดขน

3. งานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตสอนเรขาคณต งานวจยในประเทศ วรรณวภา สทธเกยรต (2542) ไดพฒนาบทเรยนเรขาคณตทใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบ

พลวตเปนเครองมอในการเรยนร สาหรบนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลาย แผนการเรยน

วทยาศาสตร-คณตศาสตร บทเรยนประกอบดวยเนอหาเรขาคณตทเปนพนฐานในการศกษาทางดาน

วทยาศาสตรและคณตศาสตร กจกรรมการเรยนรมลกษณะสงเสรมใหนกเรยนคดจนตนาการเพมพน

ความรทางเรขาคณตดวยการลงมอปฏบตเอง โดยการสารวจ ตงขอความคาดการณ และสบเสาะหา

เหตผลตามความเหมาะสมเพอตรวจสอบขอความคาดการณทตงไว กลมตวอยางทใชในการทดลอง

ตามขนตอนการพฒนาบทเรยนเรขาคณตไดแก นกเรยนอาสาสมครจานวน 42 คน ซงเปนนกเรยนชน

มธยมศกษาตอนปลาย แผนการเรยนวทยาศาสตร-คณตศาสตร โรงเรยนสามเสนวทยาลย ปการศกษา

2542 ผลการวจยพบวา บทเรยนเรขาคณตมคณภาพตามเกณฑการตดสน 70/70 ดงนนบทเรยน

เรขาคณตทพฒนาขนสามารถทาใหนกเรยนเรยนบรรลจดประสงคการเรยนรและมลกษณะตามท

กาหนด

สจรา มสกะเจรญ (2542) ไดเปรยบเทยบความสามารถดานมตสมพนธและผลสมฤทธ

ทางการเรยนเรองเสนขนานและความคลายของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ระหวางกลมทเรยนโดย

ใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตและไมใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ผลการวจยพบวา

1. นกเรยนทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตมความสามารถดานมตสมพนธ

แตกตางจากนกเรยนทเรยนโดยไมใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.5

2. นกเรยนทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตมผลสมฤทธทางการเรยน

คณตศาสตรเรองเสนขนานและความคลาย แตกตางจากนกเรยนทเรยนโดยไมใชซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวตอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.5

อรรถศาสน นมตพนธ (2542) ไดศกษาความสามารถในการเรยนวชาคณตศาสตรเรองความ

เทากนทกประการของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 ทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ประกอบกจกรรมการวชาเรยนคณตศาสตร 4 ขน ผลการวจยพบวา

1. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 ทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตประกอบ

กจกรรมการเรยนวชาคณตศาสตร 4 ขน มความสามารถในการเรยนวชาคณตศาสตร เรองความ

เทากนทกประการ ผานเกณฑรอยละ 60 ทกาหนดไว

2. นกเรยนทมผลระดบการเรยนทางคณตศาสตรสง ปานกลาง และตา ทมความสามารถ

ในการเรยนวชาคณตศาสตร เรองความเทากนทกประการ ผานเกณฑรอยละ 60 ทกาหนดไวมรอยละ

100, 63.64 และ 25 ตามลาดบ

3. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 ทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตประกอบ

กจกรรมการเรยนวชาคณตศาสตร 4 ขน มความสามารถในการเรยนวชาคณตศาสตร เรองความ

เทากนทกประการ หลงการเรยนสงการกอนเรยน อยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.5

4. นกเรยนทมระดบผลการเรยนทางคณตศาสตรสง ปานกลาง และตา มความสามารถใน

การเรยนวชาคณตศาสตร เรองความเทากนทกประการ หลงเรยนเพมขนจากกอนเรยนคดเปนรอยละ

เฉลย 40.30, 30.00, และ 26.39 ตามลาดบ

วชรสนต อนธสาร (2547) ไดทาการศกษาผลของการพฒนามโนทศนทางเรขาคณตและ

เจตคตตอการเรยนคณตศาสตร ของนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตน โดยใชโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad โรงเรยนสรนารวทยา อาเภอเมอง จงหวดนครราชสมา ปการศกษา

2547 จานวน 60 คน ทมผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรสง ปานกลาง และตา ใชเวลาทงหมด

5 สปดาห จดมงหมายเพอ 1). เพอศกษามโนทศนทางเรขาคณตของนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตน

2). เปรยบเทยบมโนทศนทางเรขาคณตของนกเรยนระหวางกอนเรยนและหลงเรยนโดยใชโปรแกรม

3). เปรยบเทยบมโนทศนทางเรขาคณตของนกเรยนหลงเรยนโดยใชโปรแกรม 4). เปรยบเทยบเจตคต

ตอการเรยนคณตศาสตรของนกเรยนระหวางกอนและหลงเรยนโดยใชโปรแกรม 5). เปรยบเทยบเจต

คตตอการเรยนคณตศาสตรของนกเรยน หลงเรยนโดยใชโปรแกรม ผลการวจยพบวา 1). นกเรยน

ระดบมธยมศกษาตอนตนมมโนทศนทางเรขาคณตหลงการเรยนโดยใชโปรแกรมผานเกณฑรอยละ 50

2). นกเรยนมมโนทศนทางเรขาคณตสงกวากอนเรยนอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.05

3). นกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตนทมผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรสง ปานกลาง และตา

มมโนทศนทางเรขาคณตหลงเรยนโดยใชโปรแกรมแตกตางกนอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.05

โดยนกเรยนทมผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรสงมมโนทศนทางเรขาคณตสงกวานกเรยนทม

ผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรปานกลางและตา และนกเรยนทมผลสมฤทธทางการเรยน

คณตศาสตรมมโนทศนสงกวานกเรยนทมผลสมฤทธตา 4). นกเรยนทมผลสมฤทธทางการเรยน

คณตศาสตรสงและปานกลางมเจตคตตอการเรยนคณตศาสตรสงกวากอนเรยน แตนกเรยนทม

ผลสมฤทธทางการเรยนตามเจตคตกอนเรยนและหลงเรยนไมแตกตางกน อยางมนยสาคญทางสถต

ทระดบ 0.05

สธนนท บญพฒนาภรณ (2549) ไดทาการศกษากจกรรมการเรยนการสอน เรองการแปลง

ทางเรขาคณต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตสาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ภาคเรยนท

1 ปการศกษา 2548 โรงเรยนศกษานาร เขตธนบร จงหวดกรงเทพฯ 1 หองเรยน จานวน 57 คน ซง

ไดมาจากการสมตวอยางแบบเกาะกลม จากประชากรทงหมด 12 หองเรยน จานวน 680 คน

จดมงหมายเพอ 1). เพอสรางกจกรรมการเรยนการสอนเรองการแปลงทางเรขาคณตโดยใชซอฟแวร

เรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 2). เพอศกษาผลสมฤทธทางการเรยนของ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ในการเรยนเรองการแปลงทางเรขาคณตโดยใชซอฟแวรเรขาคณตแบบ

พลวต 3). เพอศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากเรยนเรองการแปลงทางเรขาคณต โดยใช

ซอฟแวรเรขาคณตแบบพลวต เครองมอทใชในการวจยประกอบดวยกจกรรมการเรยนการสอนทผวจย

สรางขน และแบบวดความพงพอใจของนกเรยน ผลการวจยพบวานกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ทเรยน

โดยใชกจกรรมการเรยนการสอนเรองการแปลงทางเรขาคณต โดยใชซอฟแวรเรขาคณตแบบพลวต

สามารถสอบผานเกณฑการเรยนเรองการแปลงทางเรขาคณต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ไดมากกวารอยละ 60 ขนไปของนกเรยนทงหมดทระดบนยสาคญ .01 และนกเรยนมความพงพอใจใน

การเรยนเรองการแปลงทางเรขาคณตโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตอยในระดบปานกลาง

ดงนนจงสรปไดวา นกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 มความสามารถในการเรยนเรองการแปลงทาง

เรขาคณตโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทผวจยสรางขน

สภทรา เกดมงคล (2550) ไดทาการศกษากจกรรมการเรยนการสอน เรองสมบตของวงกลม

โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ผลการวจยพบวานกเรยน

ทเรยนโดยใชและไมใชซอฟตแวรทางเรขาคณตแบบพลวต มผลสมฤทธทางการเรยน เรองสมบตของ

วงกลม ไมแตกตางกน และนกเรยนมความพงพอใจในการเรยนเรองสมบตของวงกลม โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตอยในระดบปานกลาง

วรวรรณ กฤตยากรนพงศ (2551) ไดทาการศกษากจกรรมการเรยนการสอนเรองความ

เทากนทกประการ โดยใชการแปลงทางเรขาคณตและซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยน

ชนมธยมศกษาปท 2 ผลการวจยพบวา นกเรยนสามารถสอบผานเกณฑไดมากกวารอยละ 60 ของ

จานวนนกเรยนทงหมด และนกเรยนกลมตวอยางมความพงพอใจในการเรยนเรองความเทากนทก

ประการ โดยใชการแปลงทางเรขาคณตและซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตอยในระดบมาก งานวจยตางประเทศ พอเลททา (Foletta. 1995: 2311-A) ไดศกษาวจยผลของการสอนโดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวตในการเรยนการสอนเรองการสารวจพนทโดยแบงเปนรปสามเหลยมของนกเรยน

เกรด 9 และ 10 ของรฐไอโอวา สหรฐอเมรกา ป ค.ศ. 1994 ผลการวจยพบวา

1. การวาด การวด หรอการสารวจของนกเรยนจะเกดจากการผลกดนและแนะนาจากคร

2. ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต เปนเครองมอใหมของการเรยนรทางเรขาคณต

นกเรยนใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตในสวนทเพมเตมจากการใชกระดาษและดนสอ

3. การสบเสาะโดยการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตสาหรบนกเรยนทมผลสมฤทธ

ทางการเรยนตาสามารถทาไดด แตจะตองมขนตอนมากกวา

4. นกเรยนสามารถตงขอความคาดการณไดตงแตเมอเรมใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบ

พลวตในการสบเสาะ

เฟอรกง (Frerking. 1995: 3772-A) ไดศกษาวจยความสมพนธระหวางระดบขนของแวน ฮล

ผลสมฤทธทางการพสจนและการตงขอความคาดการณในการเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบ

พลวตของนกเรยนระดบมธยมศกษา ผวจยใหกลมทดลองเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ชวยในการตงขอความคาดการณสมบตของรปเรขาคณต สวนกลมควบคมเรยนโดยการสอนแบบปกต

ผลการวจยพบวา ความสามารถในการตงขอความคาดการณ และตรวจสอบขอความคาดการณนน

สมพนธกบความสามารถในการพสจนผลสมฤทธทางการเรยนเรขาคณตสมพนธกบระดบขนของแวน ฮล

เลสเตอร (Lester. 1996) ไดศกษาวจยผลของการสอนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ทมตอผลสมฤทธทางการเรยนเรขาคณตของนกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลาย รฐแคลฟอรเนย

สหรฐอเมรกา ในป ค.ศ. 1996 ผวจยใหกลมทดลองเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สวน

กลมควบคมเรยนตามปกตโดยใชไมบรรทด ดนสอ ไมโพรแทรกเตอรและวงเวยน ผลการวจยพบวา

คาเฉลยของผลการสอบหลงการเรยนเกยวกบการตงขอความคาดการณทางเรขาคณตของกลมทดลอง

สงกวากลมควบคมทระดบนยสาคญทางสถต .05

โยเซฟ (Yousif. 1997: 1631-A) ไดศกษาวจยผลการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทม

ผลตอเจตคตของนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนปลายโรงเรยนเซาทเวสเทน รฐโอไอว สหรฐอเมรกา

ผวจยใหกลมทดลองเรยนดวยกจกรรมสารวจโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สวนกลมควบคม

เรยนดวยกจกรรมสารวจโดยใชกระดาษและดนสอ ผลการวจยพบวา กลมทดลองมเจตคตตอวชา

เรขาคณตสงกวากลมควบคมอยางมนยสาคญทางสถต

เมลซาเรค (Melczarek. 1998: 2611-A) ไดศกษาวจยความสมพนธระหวางเทคโนโลย

คอมพวเตอรและการเรยนรดวยตนเอง (Self-directed learning) โดยมงประเดนศกษาเฉพาะผลของ

กจกรรมแกปญหาโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทมตอความพรอมในการเรยนรดวยตนเองและ

ทศนคตตอการเรยนคณตศาสตร ผลการวจยพบวา การใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตม

ความสมพนธทางบวกกบการเรยนรดวยตนเอง

มอสส (Moss. 2001: 4317-A) ไดทาการวจยเพออธบายธรรมชาตของซอฟแวรเรขาคณต

แบบพลวต ซงใชเปนเครองมอในการสารวจในวชาเรขาคณตสมยใหม (Modern Geometry) สาหรบ

นกเรยนในระดบมหาวทยาลย โดยขอมลเกบมาจากการสารวจในหองเรยน การสมภาษณผสอน

หลกสตรของนกเรยน แบบฝกหดเรขาคณตททดสอบกอนเรยนและหลงเรยน และการใชคอมพวเตอร

ทวๆไป ผลการวจยพบวา ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตไมเพยงแตพฒนาความเขาใจเกยวกบ

เรขาคณตเทานน แตยงพฒนาทกษะการใชคอมพวเตอรทวไปดวย

บาฮารวานด (Baharvand. 2002: 552-A) ไดเปรยบเทยบผลการสอนเรขาคณตระหวางสอน

โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตเทยบกบการสอนของครแบบปกตโดยใชกระดาษ ดนสอ และคร

เปนผบรรยาย โดยกลมควบคมเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 จานวน 26 คน ใหไดรบการสอนของ

ครแบบปกต และอกกลมเปนกลมทดลองซงเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 จานวน 24 คน ใหเรยน

ดวยเนอหาเดยวกบกลมควบคมแตใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตในการเรยน ผลการศกษาพบวา

นกเรยนซงเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตมคะแนนการทาแบบทดสอบหลงการเรยนท

ผวจยสรางขนสงกวานกเรยนกลมควบคม อยางมนยสาคญ ทระดบนยสาคญ .05 นอกจากนยงพบวา

นกเรยนในกลมทดลองมเจตคตตอวชาคณตศาสตร/เรขาคณตในทางบวก ซงแสดงใหเหนวาซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวตเปนเครองมอทมประสทธภาพในการเรยนการสอนเรขาคณตในระดบมธยมศกษา

ตอนตน

จากการศกษางานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตสอนเรขาคณต

พบวา ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตเปนสงทเออประโยชนตอการเรยนการสอนเรขาคณตทงในการ

สารวจ การตงขอความคาดการณ และการตรวจสอบขอความคาดการณทตงไว รวมทงยงสงผลใหเจต

คตของนกเรยนตอวชาคณตศาสตรเปนไปในทางบวกดวย ดวยเหตนผวจยจงนาซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวต คอโปรแกรม C.a.R. มาใชในงานวจย

บทท 3 วธดาเนนการวจย

ในการวจยครงน ผวจยไดดาเนนการตามขนตอนดงน

1. การกาหนดประชากรและการสมกลมตวอยาง

2. การสรางเครองมอทใชในการวจย

3. การเกบรวบรวมขอมล

4. การจดกระทาขอมลและการวเคราะหขอมล

การกาหนดประชากรและการสมกลมตวอยาง

ประชากร

ประชากรทใชในการวจยครงนไดแก นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนมธยมสาธต

มหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา เขตธนบร จงหวดกรงเทพมหานคร การเลอกกลมตวอยาง

กลมตวอยางทใชในการวจยครงนไดแกนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ป

การศกษา 2551โรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา จานวน 1 หอง 53 คน

จากทงหมด 3 หองจานวน 126 คน โดยสมตวอยางแบบเกาะกลม (Cluster Sampling) โดยจดหอง

เรยนแบบคละความสามารถของนกเรยนทมระดบเกง ปานกลาง และออนอยในหองเดยวกน

การสรางเครองมอทใชในการวจย

เครองมอทใชในการวจยประกอบดวย ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 พรอมทงคมอการใชชดกจกรรมการเรยน

การสอน แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต และแบบวดความพงพอใจ

ของนกเรยน ซงมรายละเอยดการดาเนนการ ดงน

ขนท 1 การเตรยมงานดานวชาการ

ขนท 2 การสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต

ขนท 3 การสรางแบบทดสอบวดผลสมฤทธ

ขนท 4 การสรางแบบทดสอบวดความพงพอใจ

ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. มขนตอน

ในการสรางดงตอไปน

ขนท 1 การเตรยมงานดานวชาการ

1. ศกษาบทความทางวชาการ ทเกยวกบปญหาการเรยนการสอนในประเทศไทยและแนว

ทางการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร รวมทงรายงานการประเมนผลการศกษาททาง

กรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ ไดจดทาขน

2. ศกษาหลกการ มาตรฐานการเรยนร และมาตรฐานการเรยนรชวงชนท 4 (มธยมศกษา

ปท 4–6) กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544

3. ศกษาเนอหาเรองฟงกชนตรโกณมตจากหนงสอตอไปน

3.1 หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม วชาคณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 (กระทรวงศกษาธการ. 2548)

3.2 หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมและพนฐาน วชาคณตศาสตร เลม 3 กลมสาระ

การเรยนรคณตศาสตร ชวงชนท 4 มธยมศกษาปท 4–6 (สมย เหลาวานชย. 2544)

3.3 หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานและเพมเตม วชาคณตศาสตร เลม 3 กลมสาระ

การเรยนรคณตศาสตร ชวงชนท 4 มธยมศกษาปท 4–6 (ธนวฒน สนทราพรพล. 2550?)

3.4 หนงสอเรยนสาระการเรยนร วชาคณตศาสตร ค 012 เลม 2 กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 (กมล เอกไทยเจรญ. 2533)

3.5 Elementary Functions and Analytic Geometry (Flanders, Harley; & Price,

Justin J. 1973?)

3.6 Fundamentals of Algebra and Trigonometry (Swokowski, Earl W. 1926)

3.7 Modern Trigonometry (Wooton; & Beckenbach. 1966)

3.8 Trigonometry. A Functions Approach (Bittinger, keedy. 1974)

3.9 Trigonometry (Baley, John; & Holstege, Martin.second edition. 1991)

3.10 Trigonometry (Sullivan, Michael. Third edition. 1993)

3.11 Trigonometry Activities for the TI-82 And TI-85 Graphing Calculators

(Dennis, Cynthia R.; & Neal, Linda M. 1995)

4. ศกษาเอกสารและงานวจยทเกยวของกบการสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมต และคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

5. กาหนดเนอหา ความคดรวบยอด และผลการเรยนรทคาดหวง เรองฟงกชนตรโกณมต

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โดยผวจยไดกาหนดเนอหาขน 7 หนวยการเรยน ใชเวลาในการ

สอนทงหมด 18 คาบ และทดสอบวดผลสมฤทธ 2 คาบ ใชเวลาคาบละ 50 นาท ไดแก

5.3 หนวยท 3 ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เวลา 1 คาบ

5.4 หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เวลา 4 คาบ

5.5 หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธ เวลา 2 คาบ

ระหวางฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

5.8 ทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน เวลา 2 คาบ

ขนท 2 การสรางชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. และคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

1. กาหนดกรอบเนอหาและรปแบบชดกจกรรมการเรยนการสอน โดยแบงออกเปน 7 หนวย

การเรยน ซงมรายละเอยดของเนอหาในแตละหนวยการเรยน ดงน

1.1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต จานวน 2 คาบ

คาบท 1–2 ทบทวนอตราสวนตรโกณมตและการวดมม

1.2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง จานวน 2 คาบ

คาบท 1 วงกลมหนงหนวย

คาบท 2 ความยาวสวนโคง

1.3 ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จานวน 1 คาบ

คาบท 1 นยามของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

1.4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จานวน 4 คาบ

คาบท 1 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน

คาบท 2–4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ

1.5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธระหวาง

ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จานวน 2 คาบ

คาบท 1 คาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงบางจานวน

คาบท 2 คาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ

1.6 ฟงกชนตรโกณมตของมม จานวน 3 คาบ

คาบท 1 คาของฟงกชนตรโกณมตของมม ของจานวนจรงใดๆ

คาบท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก

คาบท 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตารางและไมอยในตาราง

1.7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต จานวน 4 คาบ

2. จดทาแผนการจดการเรยนร เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ประกอบดวย

2.1 ชอเรอง

2.2 เวลาทใช

2.3 สาระสาคญ

2.4 จดประสงคการเรยนร

2.5 สาระการเรยนร

2.6 สอการเรยนร/แหลงการเรยนร ประกอบดวย

2.6.1 คมอการใชงานชดกจกรรมการเรยนการสอน

2.6.2 ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม

เรขาคณตแบบพลวต

2.6.3 ใบกจกรรมการเรยนการสอน

2.7 กจกรรมการเรยนร มขนตอนดงน

2.7.1 ครผสอนทาหนาทในการสอนโดยใชกจกรรม และดแลใหคาแนะนานกเรยน

2.7.2 ใหนกเรยนปฏบตตามคาสงในใบกจกรรม โดยนกเรยนใชคอมพวเตอร 1 คน

ตอ 1 เครอง ครผสอนจะเปนผสอนโดยใชกจกรรม แลวนกเรยนชวยกนหาคาตอบลงในใบกจกรรม

2.7.3 อภปรายและสรปผลการเรยนร

2.8 การวดผลและประเมนผลการเรยนร

หลงจากทผวจยไดทาการสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน และแผนการจดการเรยนรเสรจ

แลวกไดนาชดกจกรรมการเรยนการสอนและแผนการจดการเรยนรเสนอตอผเชยวชาญ 3 ทานเพอ

ตรวจสอบ ความเทยงตรงเชงเนอหา ความเหมาะสมของการจดกจกรรมและความเหมาะสมของปญหาท

นามาใช แลวปรบปรงและแกไขแผนการจดการเรยนร ตามคาแนะนาของผเชยวชาญ

แนวทางในการจดการเรยนการสอน โดยลกษณะกจกรรมโดยทวไปในแผนการจดการ

เรยนรแตละคาบจะเปนกจกรรมทใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตในการเรยนรทงหมด 20 คาบ โดย

ใชเวลาคาบละ 50 นาท ซงผวจยไดจดทากจกรรมทใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตในรปแบบของ

html เพอใหเกดความสะดวกในการเรยกใชในแตละกจกรรม โดยกจกรรมมองคประกอบ ดงน

1. หนาหลก

2. สารบญหลก

3. สารบญยอย

4. กจกรรม (ดงภาพประกอบ 4–7)

ภาพประกอบ 4 บางสวนของหนาเมนหลก

ภาพประกอบ 5 บางสวนของหนาสารบญหลก

ภาพประกอบ 6 บางสวนของหนาสารบญยอย

ภาพประกอบ 7 ตวอยางกจกรรมหนวยการวดมมเรเดยน

บทบาท ผวจยมบทบาทในชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ดงน (1) เปนผสอน (2) เปนผชแนะ (3) เปนผนา

การอภปราย (4) เปนผตรวจตราภายนอก และ (5) เปนผชวยเหลออานวยความสะดวก ซงสงตาง ๆ เหลาน

รวมถง

1. จดบรรยากาศทผอนคลายสาหรบการเรยนร

2. จดอานวยความสะดวกในการเรยนร โดยการเตรยมหนงสอคมอการใช

ชดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใชโปรแกรม C.a.R. เรองฟงกชนตรโกณมต และเครองคอมพวเตอร

ใหนกเรยนคนละ 1 เครอง

3. ครควรใชคาถามทเปนไปได และคาถามเปด พรอมทงฟงสงทนกเรยนพด

4. ครจะตองใหความสาคญกบกระบวนการตางๆ และการคด แมนกเรยนยงแกปญหา

ไมเสรจสมบรณ หรอถกตองเปนบางสวน

5. ตองใหความสาคญกบการประเมนนกเรยน และประเมนผลการสอนของตน

6. ครจะตองยอมรบความรสกของนกเรยน จะตองไมทาใหนกเรยนละอาย เยยหยน

หวเราะเหนบแนม ความผดพลาดและความเขาใจผดเปนผลเนองจากยงไมมความคดรวบยอด ควรให

การเสรมแรงทางบวกเมอนกเรยนทาถกหรอตอบคาถามได และกระบวนการ ควรนาขอผดพลาดมา

เปนพนฐานในการสรางความคดรวบยอดและกระบวนการตางๆ ใหชดเจนขน

บทบาทของนกเรยน ชดกจกรรมการเรยนการสอนโดยใชโปรแกรม C.a.R. เรองฟงกชน

ตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 นกเรยนแตละคนมบทบาท ดงน

1. นกเรยนจะตองใหความรวมมอกบครผสอนในการทากจกรรม กระบวนการเรยนร

ทางคณตศาสตร

2. นกเรยนจะตองทางานอยางอสระในกลมเลกๆ และชวยเหลอกนตามความแตกตาง

ทางความสามารถของนกเรยน

3. นกเรยนควรใชรปธรรมตางๆ ภาพ กราฟ สญลกษณ และอปกรณทเกยวกบ

อเลกทรอนกส เพอใหเกดความคดรวบยอด และวธการตางๆ อยางสมบรณ

4. นกเรยนจะตองทาความคดใหแจมแจง ในชนเรยน ความเขาใจทไดพฒนาเปน

รปธรรมหรอรปแบบอนจะตองเชอมโยงกบสญลกษณทเขยนและทพด

5. นกเรยนใชความคดรวบยอดและกระบวนการตางๆ ในบรบททมความหมาย

ใชคณตศาสตรเปนแรงกระตนการเรยนร และสถานการณเชอมโยงไปยงโลกแหงความเปนจรง

3. กาหนดการประเมนผลของนกเรยน โดยแบงการประเมนผลของนกเรยนออกเปนดงน

3.1 การประเมนผลระหวางเรยน ครผสอนประเมนจากการสรป และคาตอบของนกเรยน

โดยใชโปรแกรม C.a.R. ในการปฏบตกจกรรมจากใบกจกรรมมนาหนกคะแนนคดเปนรอยละ 20 ของ

คะแนนทงหมด

3.2 การประเมนผลหลงเรยน ครผสอนประเมนจากการทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธ

ทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขน มนาหนกของคะแนนคด

เปนรอยละ 80 ของคะแนนทงหมด

4. สรางคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนสาหรบครและนกเรยนเพอเปนแนวทางใน

การใชกจกรรมการเรยนการสอนทถกตองและมประสทธภาพ

5. หลงจากทผวจยไดทาการสรางเครองมอทใชในการวจย ไดแก ชดกจกรรมการเรยนการ

สอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. แผนการจดการเรยนร ใบกจกรรม เสรจแลวก

นาเสนอตอผเชยวชาญ 3 ทาน เพอตรวจสอบ ความเทยงตรงเชงเนอหา ความเหมาะสมของการจด

กจกรรม และความเหมาะสมกบจดประสงคการเรยนร แลวปรบปรงและแกไข ตามคาแนะนาของ

ผเชยวชาญ

6. นาชดกจกรรมการเรยนการสอนและคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนทไดรบการ

ปรบปรงแกไขตามคาแนะนาของคณะกรรมการควบคมปรญญานพนธและผเชยวชาญในการสอน

คณตศาสตรแลวนาไปทดลองสอนกบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2551

โรงเรยนไตรมตรวทยาลย จงหวดกรงเทพมหานคร ซงเปนนกเรยนกลมนารอง นอกเวลาเรยนปกต

จานวน 43 คน โดยนกเรยนใชคอมพวเตอร 1 คน ตอ 1 เครอง และนาไปทดลองสอนกบนกเรยนชน

มธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2551 โรงเรยนวสทธกษตร จงหวดสมทรปราการ ซงเปน

นกเรยนกลมนารอง จานวน 42 คน โดยใชนอกเวลาเรยนปกต

7. นาชดกจกรรมการเรยนการสอนและคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนจาก ขอ 6

มาปรบปรงแกไขขอบกพรอง และนาไปเสนอตอคณะกรรมการควบคมปรญญานพนธและผเชยวชาญ

ในการสอนคณตศาสตรตรวจสอบอกครงหนง

8. นาชดกจกรรมการเรยนการสอนและคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนไปใช ในการ

ทดลองกบกลมตวอยางตอไป ขนท 3 การสรางแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. แบบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต เปนแบบทดสอบทใชหลงจาก

ปฏบตกจกรรมการเรยนการสอนครบแลว ซงผวจยดาเนนการตามขนตอน ตอไปน

1. ศกษาทฤษฎและหลกการสรางแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนจากหนงสอ

เทคนคการเขยนขอสอบของชวาล แพรตกล (2520: 1–40) การวด การวเคราะห และการประเมนผลทาง

การศกษาเบองตนของกงวล เทยนกณฑเทศน (2540: 92–112) และเทคนคการวดผลการเรยนรของลวน

สายยศ และองคณา สายยศ (2543: 196–198)

2. วเคราะหเนอหา สาระสาคญ และจดประสงคการเรยนร ของเนอหาทใชในการทดลอง

ศกษางานวจยทเกยวของกบการสรางแบบทดสอบและการวเคราะหแบบทดสอบ เพอใชในการสราง

แบบทดสอบวดผลสมฤทธในการเรยน เรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

3. สรางแบบทดสอบวดผลสมฤทธในการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวต ตามจดประสงคการเรยนรเปนแบบทดสอบอตนยจานวน 10 ขอ และเปนแบบ

ทดสอบปรนยเลอกคาตอบชนด 4 ตวเลอก จานวน 60 ขอ ใหครอบคลมเนอหาและจดประสงคตามท

กาหนด

4. นาแบบทดสอบทสรางขนเสนอตอคณะกรรมการควบคมปรญญานพนธและผเชยวชาญ

การสอนคณตศาสตร 3 ทาน เพอตรวจสอบความเทยงตรงของเนอหา โดยพจารณาวาแบบทดสอบทสราง

ขนสอดคลองกบเนอหา และจดประสงคการเรยนรหรอไม โดยใชเกณฑการพจารณาดงน

คะแนน +1 สาหรบขอสอบทสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

คะแนน 0 สาหรบขอสอบทไมแนใจวาสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

คะแนน –1 สาหรบขอสอบทไมสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

5. นาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต ทไดรบการ

ตรวจสอบจากคณะกรรมการควบคมปรญญานพนธและผเชยวชาญการสอนคณตศาสตรมาคานวณหา

คา IOC แลวคดเลอกขอสอบทมคา IOC ตงแต 0.5 ขนไป โดยเลอกแบบทดสอบแบบอตนยจานวน 7 ขอ

และแบบทดสอบแบบปรนย จานวน 40 ขอ

6. นาแบบทดสอบไปทดลองใชกบนกเรยนทไมใชกลมตวอยาง ซงเปนนกเรยนกลมนารอง

โรงเรยนวสทธกษตร ชนมธยมศกษาปท 5 จานวน 42 คน ทใชในการทดลองชดกจกรรมการเรยนการสอน

7. วเคราะหแบบทดสอบ โดยนาแบบทดสอบทไดจากการสอบในขอ 6 มาตรวจ

ใหคะแนน ซงใชเกณฑการใหคะแนนของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

(2546: 121) โดยผวจยปรบใหเหมาะสมกบแบบทดสอบ ดงน

7.1 แบบทดสอบปรนย 4 ตวเลอก มเกณฑใหคะแนนในแตละขอตอไปน ขอทตอบ

ถกตองให 1 คะแนน ขอทตอบผด ไมตอบหรอตอบเกน 1 ตวเลอก ให 0 คะแนน

7.2 แบบทดสอบอตนยขอละ 4 คะแนน โดยใชเกณฑในการตรวจใหคะแนน ดงน

ตาราง 2 เกณฑการตรวจใหคะแนนของแบบทดสอบอตนยเรอง ฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนน เกณฑการใหคะแนน

4 คะแนน - การแสดงวธทาชดเจน สมบรณ คาตอบถกตอง ครบถวน

3 คะแนน - การแสดงวธทายงไมชดเจน แตอยในแนวทางทถกตอง คาตอบถกตอง

ครบถวน

2 คะแนน - การแสดงวธทายงไมชดเจน หรอไมแสดงวธทา คาตอบถกตอง ครบถวน

1 คะแนน - การแสดงวธทาไมชดเจน แตอยในแนวทางทถกตอง คาตอบไมถกตอง

0 คะแนน ไมมรองรอยการดาเนนการใดๆ

8. นาคะแนนทไดจากขอสอบแบบปรนยในขอ 7 มาวเคราะหหาความยากงาย (p) และคา

อานาจจาแนก (r) คดเลอกขอทมความยากงายตงแต .20 ถง .80 และมคาอานาจจาแนกตงแต .20 ขนไป

จานวน 30 ขอ

9. นาแบบทดสอบทผานการคดเลอกในขอ 8 มาคานวณเพอหาคาความเชอมน สาหรบ

แบบทดสอบปรนย จานวน 30 ขอใชสตร KR – 20 ของคเดอร รชารดสน (Kuder Richardson 20) และ

แบบทดสอบอตนย จานวน 5 ขอใชสตรสมประสทธแอลฟา (α - Coefficient) ของครอนบค (Cronbach)

10. นาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม

C.a.R. ไปใชกบกลมตวอยางตอไป

ขนท 4 การสรางแบบวดความพงพอใจของนกเรยน แบบวดความพงพอใจของนกเรยนหลงจากเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. จานวน 20 ขอ ซงผวจยดาเนนการสรางตามขนตอนดงน

1. ศกษาวธการสรางแบบวดความพงพอใจจากเอกสาร ตาราทเกยวของกบวธการ

และหลกการสรางแบบวดความพงพอใจ แลวกาหนดแนวทางในการออกแบบวดความพงพอใจตาม

วธการของลเคอรท (Likert)

2. สรางแบบวดความพงพอใจของนกเรยนตอการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดย

ใชโปรแกรม C.a.R. จานวน 20 ขอ โดยปรบปรงจากแบบสอบถามความพงพอใจของนกเรยน จาก

สธนนท บญพฒนาภรณ (2549) และสภทรา เกดมงคล (2550: 180–182) ลกษณะของแบบวดความ

พงพอใจเปนแบบมาตราสวนประมาณคา (Rating Scale) ซงม 5 ระดบ และขอความเปนขอความ

ทางบวก ซงมเกณฑการตรวจใหคะแนนในแตละความพงพอใจ ดงน เกณฑการตรวจใหคะแนน ในกรณขอความมความหมายทางบวก (Positive) กาหนดคะแนนแตละความพงพอใจ ดงน

มากทสด ใหคะแนน 5 คะแนน

มาก ใหคะแนน 4 คะแนน

ปานกลาง ใหคะแนน 3 คะแนน

นอย ใหคะแนน 2 คะแนน

นอยทสด ใหคะแนน 1 คะแนน

3. นาแบบวดความพงพอใจทสรางขนจานวน 20 ขอ ไปใหผเชยวชาญจานวน 3 ทาน

ตรวจสอบความถกตองและความเทยงตรงเชงโครงสราง (Construct Validity) ตลอดจนความ

เหมาะสมของภาษาทใช

4. นาแบบวดความพงพอใจทไดปรบปรงแกไขจากขอ 3 ไปทดสอบกบนกเรยนซงเปน

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทไมใชกลมตวอยาง ซงเปนกลมทผวจยใชในการทดลองนารอง ซงเปน

นกเรยนกลมเดยวกบทใชในการทดลองกจกรรมการเรยนการสอนและคมอการใชชดกจกรรมการเรยน

การสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

5. นาผลทไดจากขอ 4. มาหาความเชอมนของแบบวดความพงพอใจ โดยใชวธหา

สมประสทธแอลฟา (α - Coefficient) ของครอนบค (Cronbach)

6. นาแบบวดความพงพอใจของนกเรยนในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. ไปใชกบกลมตวอยางตอไป

การเกบรวบรวมขอมล

การวจยครงนผวจยทาการสอนนกเรยนกลมตวอยาง โดยใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทผวจยสรางขน

โดยใชเวลาสอนตามตารางสอนปกต รวมระยะเวลาทใชในการทดลอง 20 คาบ ดงน

1. ระยะเวลาทใชชดกจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 รวม 20 คาบ ดงน

1.3 หนวยท 3 ฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 1 คาบ

1.4 หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 4 คาบ

1.5 หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธระหวาง เวลา 2 คาบ

ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

1.8 ทดสอบวดผลสมฤทธการเรยนร เวลา 2 คาบ

แตละกจกรรมจะมการเกบคะแนนเพอประเมนผลระหวางเรยน

2. เมอสนสดการสอนและการทดสอบแลวใหนกเรยนทเรยนดวยชดกจกรรมทผวจยสรางขน

ตอบแบบวดความพงพอใจของนกเรยนในการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โดยใชเวลา 20 นาท

3. ผวจยนาคะแนนทไดทงหมดมาวเคราะหโดยใชวธทางสถต เพอทดสอบสมมตฐานทตงไว

การจดกระทาขอมลและการวเคราะหขอมล

1. หาคาสถตพนฐาน ไดแก คารอยละ คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน

2. ทดสอบสมมตฐานของการวจย ทวา นกเรยนระดบชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. มผลสมฤทธทางการเรยนผานเกณฑมากกวารอยละ

70 ของจานวนนกเรยนทงหมด

3. สถตทใชในการวเคราะหขอมล

3.1 สถตทใชในการทดสอบคณภาพเครองมอทใชในการทดลองดงน

3.1.1 หาคาดชนความสอดคลองจากความคดเหนของผเชยวชาญทมตอความ

สอดคลองระหวางแบบทดสอบ กบจดประสงคการเรยนรโดยใชสตร IOC

3.1.2 หาคาความยากงาย (p) และคาอานาจจาแนก (r) ของแบบทดสอบ

3.1.3 หาคาความเชอมนของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน โดยคานวณ

จากสตร KR – 20 สาหรบแบบทดสอบแบบปรนยและสตรสมประสทธแอลฟา (α - Coefficient)

ของครอนบค (Cronbach) สาหรบแบบทดสอบอตนย

3.2 สถตทใชในการวเคราะหขอมล

3.2.1 สถตพนฐาน

3.2.1.1 คารอยละ

3.2.1.2 คาเฉลยเลขคณต

3.2.1.3 สวนเบยงเบนมาตรฐาน

3.2.1.4 วเคราะหแบบวดความพงพอใจของนกเรยนโดยใชคาเฉลยเลขคณต

สวนเบยงเบนมาตรฐาน และนาเสนอนาหนกความคดโดยใชการประเมนคาความคดเหนของ

ประคอง กรรณสต (2538: 77) ดงน

คะแนนเฉลย 4.50–5.00 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบมากทสด

หลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 3.50–4.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบมากหลงจาก

เรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 2.50–3.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบปานกลาง

คะแนนเฉลย 1.50–2.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบนอยหลงจาก

เรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 1.00–1.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบนอยมาก

3.2.2 สถตสาหรบการทดสอบสมมตฐาน

- สถตทใชทดสอบ คอ การทดสอบ Z (Z– test for Population Proportion)

��

� �� !��"�#��!��"�$��"%�&��'��( �� )�*+�,�%-.��/��*+�,�01��2.)�3.�� 4�� )�*+�,�%-.��/�&15��*+�,��+��$�4�� .��!�� !��"�#��!�&15�� 1�� "�$�� !��"�#��!�"�$��"%�&��'��( �� )�*+�,�%-.��/�06�� '�� 01��5� 4��61��"�&(��%7 !� !��%7 1'��(��

�� !�"��#��"��#�$�%�� #��&'��(��#��)��"*+"�$��,-� � ,.#($�,&�/��

� 89��15��:1��14#�!�� (��( ��!�;� �4��5& ��.'�$(��&((��(�1�4�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/�� 9��15��:1��14#�!�&15�� (��( ��!�;� �4��5& ��.'�&((.��(��01��2.)�3.�� 4�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/�$ �� !��"�#��!�"�$��"%�&�� <9��15��:1��14#�!�&15�� (��( ��!�;� �4��5& 01��2.)�3.�� 4�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/�$ �� !��"�#��!�"�$��"%�&��

� 9��154��'� � �� 1��!�� )�*+�,�%-.��/�.��=��5& 01��2.)�3.�� !��"�#��!�"�$��"%�&��!��&!��15�>?�4+� =%4��5& �!@�� 9��.��(�'� � �� )�*+�,�%-.��.��(0�� #A �� !��"�#��!�"�$��"%�&��'� � ��15�B?�4��'� � �� .��

��0�"0�(1��"��#��2��)%��)��"*+"�$��,-� � �/��$3. 1��#�� %�5�� +��$�.��!�� !��"�#��!�&15�� 6��4�� 1��!��

� ��

�� $ ��*+�,�� 4��61.�� '��5� �=��&��5& .��=��.��( �� 1��!��C+��%7 �� )�*+�,�%-.��/�"�� )��)�!��.�1��D�E(�� @��5��4!) (��.�� D�� .��8�%-��*+�,��FGG8��'� � �8�� G<� ��5& 01��2.)�3.�� C+��%�5��(��5& .��=��$(��&155& ��&((.��(��01��2.)�3.�� !��"�#��!�"�$��"%�&��%7 &((%� ��<?�4��&15&((��! ��G�4��&155& ��+��$�4�� 1��!��1�� !��"�#��!�"�$��"%�&��

�� !�"��#��"��#�$�%�� #��&'��(��#��)��"*+"�$��,-� � ,.#($�,&�/��

�45��2��#��2�6��#��- ��2��#"��7��"��/��1��8(� 1��/��#�3��"��#��32��#2"$�%�� #��&'��%��E01��!��<��

!��15��:1��14#�!�&15�� (��( ��!�;� �4��5& ��.'�$(��&((��(�14�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/��

�1��!��'� � � ��

5& �!@��5& ��

��:1��14#�!��

��:1��14#�!��%7 ��154��5& �!@��

�� (��( ��!�;� �

��

�� )�*+�,�%-.��/�

�� F?� ��

� ��!��(��5& .��=��.'�$(��&((��(�1�4�� 1��!��'� � �� :1��14#�!�.��(��%7 ��15��4��5& �!@�&15�� (��( ��!�;� �.��(��

� ��

�5��2��#��2�6��#��- ��/��2��#"��7��"��/��1��8/��.��.�� !�"��#��"��#��32��#2"$�%�� #��&'��%��E01��!��/��

!��/��15��:1��14#�!�&15�� (��( ��!�;� 4��5& ��.'�&((.��(��01��2.)�3.�� 4�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/��

�1��!��'� � � ��

5& �!@��5& ��

��:1��14#�!��x ��

��:1��14#�!��%7 ��154��5& �!@��

�� (��( ��!�;� �

��

�� )�*+�,�%-.��/�

�� H?� ��

� ��!��(��5& .��=��.'�&((.��(��01��2.)�3.�� #�!*��!� �� !��"�#��!�4�� 1��!��'� � �� :1��14#�!�.��(��%7 ��15��4��5& �!@��&15�� (��( ��!�;� �.��(��

95��2��#��2�6��#��- ��/��2��#"��7��"��/�� !�"��#��"��#��32��#2"$�%�� #��&'��(��#��)��"*+"�$��,-� � ,.#($�,&�/��%��E01��!��G��

!��15��:1��14#�!�&15�� (��( ��!�;� �4��5& 01��2.)�3.�� 4�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/�$ �� !��"�#��!�"�$��"%�&��

�1��!��'� � � ��

5& �!@��5& ��

��:1��14#�!��x ��

��:1��14#�!��%7 ��154��5& �!@��

�� (��( ��!�;� �

��

�� )�*+�,�%-.��/�

��

� ��

� ��!��(��5& 01��2.)�3.�� 4�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/�$ �� !��"�#��!�"�$��"%�&��'� � �G<� ��:1��14#�!�%7 ��%7 ��15��4��5& �!@�&15�� (��( ��!�;� 4��5& �%7 ��

� ��!��5& 01��2.)�3.�� 4�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/�1�� "�$�� !��"�#��!��"�$��"%�&��=��5& �� 89��5& ��.'�$(��15�F?�4��5& �!@�.�� 9��5& ��.'�&((.��(��01��2.)�3.�� #�!*��!� �� !��"�#��!��15��4��5& �!@�.��&(��%7 �� 98��5& ��.'�&((.��(��01��2.)�3.�� #�!*��!� �� !��"�#��!��&((%� ��15��?�4��5& �!@�� 9F��5& ��.'�&((.��(��01��2.)�3.�� #�!*��!� �� !��"�#��!��&((��! ��15�F?�4��5& �!@��

�5��2��#��"18��#��32��#2"$�%�� #��&'��:.��/�� !�"��#��)��"*+"�$��,-� � ,.#($�,&�/��%"/�2��#��;<��%�:&��"��/��=��%��E01��!��>��

!��154��'� � �� 1��!�� )�*+�,�%-.��/�.��=��5& 01��2.)�3��.�� !��"�#��!�"�$��"%�&��!��&!��15�>?�4+� =%4��5& �!@��

�1��!��'� � � ��

�'� � �� .��=��5& �!��&!��15�>?�4+� =%�4��5& �!@��

��154��'� � �� .��=��5& !��&!��15�>?��4+� =%4��5& �!@��

�� )�*+�,�%-.��/� ��

� �

� ��

� ��!��(�� 1��!�� )�*+�,�%-.��/��'� � �� .��=��5& !��&!��15�>?�4+� =%4��5& �!@��'� � �� %7 ��15��4��'� � �� 1��!��.��

5��.��18��#�$�%�� #��&'��2��->��#��)��"*+"�$��,-� � �,.#($�,&�/��18��2��#��?<��"18��#��%"��.��%��E01��!��B��

!��.��(�'� � �� )�*+�,�%-.��/�.��(0�� #A �� !��"�#��!�"�$��"%�&��'� � ��15�B?�4��'� � �� .��

�1��!�� '� � � ��

�'� � �� .��=��5& !��&!��15�>?�4+� =%4��5& �!@��

�I�!�.��(��

��2!�

�� )�*+�,�%-.��/�

��

� �� '��J.��I�!�.��5��(�9?8��

� ��!��(�� )�*+�,�%-.��/��'� � �� .��(0�� #A �� !��"�#��!�"�$��"%�&��'� � ��15��4��'� � �� .��.��5��( ��'��J�9?8��

��0�"0�(1��"��#��2��)%��)��"*+"�$��,-� � �/��$3. 1��#��

�&�� 0�"0�(1��2��)%��*+"�$��,-� � /��$3. 1��#��"��#��32��#2"�8��/��@��.�1�� 2��)%��*+"�$��,-� � �/��$3. 1��#�� 06��=��*+�,�&15%��(%��& ��&((��(I��&((��(I��+��$�.��!��#�!*��!� 4��)� � . �(�J��K �D�# ��&15��D�.��1��1��,#54��&((��(I��+��$��%7 ��!�� %�5��#��G��5��(�4��$ &((��(I��%7 4��.��.��(��C+��#A ��$��5& ��

� ��

� � � � ��@ �� .�� $��5& �8�5& �� @ �� $��5& �F�5& �� @ ��%� �1�� $��5& �<�5& �� @ �� $��5& �/�5& �� @ ��.�� $��5& �G�5& �� &%1��4��5& �:1��C+��%7 014��!!�.��!�� .2,L��'� � �(��!� &15�� 6��.��:(�($��#A ��%�5�� 4��%�5��#�6!��FG<H�� 5& �:1��89??�89/M��I+��@ �� .�� 5& �:1��89G?�F9/M��I+��@ �� 5& �:1��F9G?�<9/M��I+��@ ��%� �1�� 5& �:1��<9G?�/9/M��I+��@ �� 5& �:1��/9G?�G9??��I+��@ ��.�� C+��%�5�� +��$�.��!�� !��"�#��!�&15�� 6��4�� 1��!��%��E01��!��

!��:1��14#�!�� (��( ��!�;� &15�5��(��+��$�4�� 1��!��1�� !��"�#��!�"�$��"%�&��

�5��(��@ �4��.��

� � �� X � �� &%101�

��

� ��

��

� ��

��

� ��

!��!��:1��14#�!�� (��( ��!�;� &15�5��(��+��$�4�� 1��!��1�� !��"�#��!�"�$��"%�&��

�5��(��@ �4��.��

� � �� X � �� &%101�

��

�� %� �1��

��

�� !��

��

� ��

!��!��:1��14#�!�� (��( ��!�;� &15�5��(��+��$�4�� 1��!��1�� !��"�#��!�"�$��"%�&��

�5��(��@ �4��.��

� � �� X � �� &%101�

��

� ��:1��

� ��!��&��$��@ ��5& �5��(��+��$�4�� 1��!��!��4��'�I��.�� @ �6�$ �5��(��&15��#�5& �:1��4��+��$�4�� 1��!��1�� !��"�#��!�"�$��"%�&��.��:(�(�C+��.��(��&�� 1��!��+��$��1�� !��"�#��!�"�$��"%�&��6�$ �5��(��

บทท 5 สรปผล อภปราย และขอเสนอแนะ

ความมงหมายของการวจย สมมตฐานในการวจย และวธดาเนนการวจย

ความมงหมายของการวจย 1. เพอสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

2. เพอศกษาผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

3. เพอศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากทไดทาชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สมมตฐานของการวจย นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 สามารถสอบผานเกณฑการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. มากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยนทงหมด

วธดาเนนการวจย กลมตวอยางทใชในการวจย

กลมตวอยางทใชในการวจยครงนเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนมธยม

สาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา เขตธนบร จงหวดกรงเทพมหานคร ภาคเรยนท 1

ปการศกษา 2551 จานวน 1 หองเรยน มนกเรยน 53 คน โดยการสมตวอยางแบบเกาะกลม (Cluster Sampling)

จากนกเรยนทงหมด 3 หองเรยน จานวน 126 คน โดยทโรงเรยนจดหองเรยนแบบคละความสามารถของ

นกเรยนทมการเรยนระดบ เกง ปานกลาง และออนอยในหองเดยวกน เครองมอทใชในการวจย เครองมอทใชในการวจยในครงน ประกอบดวย

1. ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ซงผานการตรวจสอบจากผเชยวชาญ และผานการทดลองใช

เครองมอกบกลมนารองประกอบดวย

1.1 คมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

1.2 ชดกจกรรมการเรยนการสอนประกอบดวย เอกสารหนวยการเรยน

จานวน 7 หนวย และเอกสารในแตละหนวย ประกอบดวย ใบกจกรรม และแบบฝกหด

1.3 แผนการจดการเรยนรวชาคณตศาสตร จานวน 18 แผน แผนละ 1 คาบ

แตละแผนจะสอดคลองตามเอกสารหนวยการเรยนแตละหนวย

2. แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขน ซงผานการตรวจสอบจากผเชยวชาญ และผานการทดลองใช

เครองมอกบกลมนารอง ประกอบดวย

2.1 แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชน

ตรโกณมต ตอนท 1 แบบปรนย จานวน 30 ขอ

2.2 แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชน

ตรโกณมต ตอนท 2 แบบอตนย จานวน 5 ขอ

3. แบบวดความพงพอใจทมตอเนอหาฟงกชนตรโกณมตและกจกรรมการเรยนร ซงผาน

การตรวจสอบจากผเชยวชาญ และผานการทดลองใชเครองมอกบกลมนารอง การเกบรวบรวมขอมล 1. ผวจยสอนนกเรยนกลมตวอยาง 1 หองเรยน จานวน 53 คน โดยใชชดกจกรรมการ

เรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

โดยใชเวลาสอนตามตารางสอนปกตจานวน 5 สปดาห สปดาหละ 4 คาบ ซงแบงเนอหาตามเอกสาร

หนวยการเรยนทงหมด 7 หนวย ใชเวลา 18 คาบ และทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน 2 คาบ ดงน

หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง เวลา 2 คาบ

หนวยท 3 ฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 1 คาบ

หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 4 คาบ

หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ เวลา 2 คาบ

หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม เวลา 3 คาบ

หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต เวลา 4 คาบ

ทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน เวลา 2 คาบ

ในสวนของการจดกจกรรมการร จะมใบกจกรรมใหนกเรยนปฏบตเปนแบบ

รายบคคล ผวจยจะนาใบกจกรรมไปตรวจใหคะแนนทกครง เพอเปนสวนหนงของการประเมนผลการ

เรยนร สาหรบใบกจกรรมแบบรายบคคล คดเปนรอยละ 20 ของคะแนนเตม

2. เมอนกเรยนกลมตวอยางปฏบตกจกรรม ครบทกเอกสารหนวยการเรยนในชด

การเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

เสรจแลว ผวจยดาเนนการดงน

2.1 ใหนกเรยนกลมตวอยาง ทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชา

คณตศาสตรเรองฟงกชนตรโกณมต แบบทดสอบม 2 ตอน ประกอบดวย ตอนท 1 แบบปรนย 30 ขอ

คะแนนเตม 60 คะแนน และตอนท 2 แบบอตนย 5 ขอ คะแนนเตม 20 คะแนน รวมทง 2 ตอน คะแนน

เตม 80 คะแนน ใชเวลาในการทดสอบ 2 คาบ

2.2 ใหนกเรยนกลมตวอยาง ตอบแบบสอบถามวดความพงพอใจของนกเรยน

ทมตอเนอหาฟงกชนตรโกณมตและกจกรรมการเรยนร จานวน 20 ขอ ใชเวลา 20 นาท การวเคราะหขอมล

1. คารอยละ คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนจากการทาใบ

กจกรรมแบบรายบคคล ของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4

2. คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนจากการทา

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

3. คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนผลสมฤทธ

ทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R.

4. คารอยละของจานวนนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ทไดคะแนน

ผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ตงแตรอยละ 60 ขนไปของ

คะแนนเตม

5. การทดสอบจานวนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทสอบผานเกณฑการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทมจานวนมากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยน

ทงหมด

6. การประเมนความพงพอใจทมตอเนอหาฟงกชนตรโกณมตและกจกรรมการเรยนร

ของนกเรยนกลมตวอยาง

สรปผลการวจย 1. คะแนนทไดจากใบกจกรรมของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 จานวน 53 คน

มคาเฉลยเลขคณตเปน 13 คดเปนรอยละ 60 ของคะแนนเตม และมสวนเบยงเบนมาตรฐานของ

คะแนนเปน 5.58

2. คะแนนจากการทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยาง

ชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. จานวน 53 คน

มคาเฉลยเลขคณตเปน 60.62 คดเปนรอยละ 75.78 ของคะแนนเตม และมสวนเบยงเบนมาตรฐาน

ของคะแนนเปน 7.34

3. คะแนนผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการ

เรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. จานวน 53 คน มคาเฉลยเลขคณตเปน 73.83

คดเปนรอยละ 73.83 ของคะแนนเตม และมสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนเปน 10.76

4. นกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ทไดคะแนนตงแตรอยละ 60 ขนไปของคะแนน

เตม มจานวน 48 คน คดเปนรอยละ 90.57 ของจานวนนกเรยนทเปนกลมตวอยางทงหมด

5. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทสอบผานเกณฑการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. มจานวนมากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยนทงหมด ทระดบนยสาคญ .01 ดงนน

จงสรปไดวา นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 มความสามารถในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชชด

กจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขน

6. ความพงพอใจของนกเรยนกลมตวอยางหลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. ทงฉบบซงประเมนจากคะแนนเฉลยทงฉบบของแบบวดความพงพอใจ พบวา

นกเรยนกลมตวอยางมความพงพอใจหลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

อยในระดบมาก

อภปรายผล จากการศกษาผลการเรยนรของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 หลงจากเรยนโดยใชชด

กจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. พบวานกเรยนชน

มธยมศกษาปท 4 มผลการเรยนรผานเกณฑผานการสอบเปนจานวนมากกวารอยละ 70 ขนไป ของ

จานวนนกเรยนทงหมด ทระดบนยสาคญ .01 จากผลการวจยการทนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

สามารถสอบผานเกณฑผานการสอบการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต เปนจานวนมากกวารอยละ 70

ขนไปของจานวนนกเรยนทงหมดอาจเนองมาจาก

1. กจกรรมการเรยนรทผวจยสรางขนนน ใชโปรแกรม C.a.R. ประกอบการเรยนการสอน

โดยโปรแกรม C.a.R. นทาใหนกเรยนสามารถมองเหนภาพ ทาการสารวจ สราง และสงเกตความ

แตกตางของเนอหาในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตจากนามธรรมเปนรปธรรมมากขน เชน การวด

มม การวดความยาวสวนโคง การหาจดปลายสวนโคง การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง

ใดๆ และการสรางกราฟฟงกชนตรโกณมต ซงสอดคลองกบทบรเนอร (สรางค โควตระกล. 2541: 31;

อางองจาก Bruner. 1960, 1966, 1971: The Relevance of Education) การเรยนรจะเกดจากการ

คนพบ เนองจากผเรยนมความอยากรอยากเหนซงเปนแรงผลกดนใหเกดพฤตกรรมการเรยนร ซงบร

เนอรไดแบงเครองมอในการคนพบความรออกเปน 3 วธ 1. ขนเอนแอคทฟ (Enactive Mode) ซงเปน

วธทมปฏสมพนธกบสงแวดลอมโดยการสมผสจบตองดวยมอ เชน การผลก การดง รวมทงการทเดก

ใชปากกบวตถสงของทอยรอบ ๆ ตว ขอสาคญทสดคอการกระทาของเดกเอง 2. ขนไอคอนนค (Iconic

Mode) เมอเดกสามารถทจะสรางจนตนาการหรอมโนภาพ (Imagery) ขนในใจได กจะสามารถทจะ

รจกโลกโดยวธไอคอนนค เดกวยนจะใชรปภาพแทนของจรงโดยไมจาเปนจะตองแตะตองหรอสมผส

ของจรง นอกจากนเดกจะสามารถรจกสงของจากภาพแมวาจะมขนาดและสเปลยนไป 3. ขนใช

สญลกษณ (Symbolic Mode) วธการนผเรยนจะใชในการเรยนร เมอผเรยนมความสามารถทจะเขาใจ

ในสงทเปนนามธรรม หรอความคดรวบยอดทซบซอนและเปนนามธรรมจงสามารถทจะสรางสมมตฐาน

และพสจนวาสมมตฐานถกหรอผดได โดยทชดกจกรรมจะเปนตวสงเสรมเนอหาทครไดสอนไปทาให

นกเรยนเกดความเขาใจในเนอหาและไดทาสงทหลากหลายมากยงขน

2. โปรแกรม C.a.R. เปนโปรแกรมทงายตอการใชงาน สามารถสรางรปไดอยางรวดเรว

รวมทงยงสามารถทาภาพเคลอนไหว มสสนสวยงาม และเนนใหนกเรยนไดลงมอปฏบตกจกรรมดวย

ตนเอง โดยมคมอการใชชดกจกรรม ทาใหนกเรยนมความกระตอรอรน เกดความสนใจอยากเรยนร ซง

สอดคลองกบศรศกด จามรมาน (2535: 10) ทกลาววา การนาคอมพวเตอรไปใชในการเรยนการสอน

นน ทาใหนกเรยนสนใจและกระตอรอรนมากขน เกดความเขาใจและมองเหนสงทเปนนามธรรมใหเปน

รปธรรม ซงในชดกจกรรมผวจยไดออกแบบใหนกเรยนสามารถทาการสารวจ สงเกต และเคลอนไหวได

อยางอสระ อกทงนกเรยนยงมปฏสมพนธกบบทเรยนได คอโปรแกรม C.a.R. จะมการตอบสนองทนทท

นกเรยนปฏบตไดถกตอง ทาใหบรรยากาศการเรยนไมนาเบอและไมเครยด

3. ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสราง

ขน ไดแบงเนอหาออกเปน 7 หนวยการเรยนรและมใบกจกรรมแตละหนวย โดยเรยงลาดบเนอหาจาก

งายไปหายากตามความสอดคลองของเนอหา และมการกาหนดจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนได

ทราบทกกจกรรม ทาใหนกเรยนทราบแนวทางการวดผลในแตละใบกจกรรมและทราบมงหมายของ

การเรยนในแตละหวขอวานกเรยน เรยนไปเพออะไร ซงในการเรยนนนผวจยจะเปนครสอนเนอหาทเปน

ทฤษฎกอนเพอใหนกเรยนเขาใจ แลวจงใหนกเรยนปฏบตกจกรรมโดยนาความรทไดจากครมาใช

ปฏบตกจกรรมซงสอดคลองกบท ออซเบล (Ausubel. ทมาhttp://ednet.kku.ac.th/~sumcha/2545-

-/nong. วนท 1 ธนวาคม พ.ศ. 2551. ออนไลน) ใหความหมายการเรยนรอยางมความหมาย

( Mearningful learning) วาเปนการเรยนทผเรยนไดรบมาจากการทผสอน อธบายสงทจะตองเรยนรให

ทราบและนกเรยนรบฟงดวยความเขาใจ โดยผเรยนเหนความสมพนธของสงทเรยนรกบโครงสรางพทธ

ปญญาทไดเกบไวในความทรงจา และจะสามารถนามาใชในอนาคต เมอนกเรยนเรยนจบแตละใบ

กจกรรม ผวจยจะเปนผตรวจคาตอบแลวสงคนกลบใหนกเรยน ทาใหนกเรยนทราบคาตอบและวธการ

ทาทถกตอง

4. ผลการศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากเรยน โดยใชชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเปนกลม

ตวอยาง ซงประเมนผลจากคะแนนเฉลยทงฉบบของแบบวดความพงพอใจ พบวานกเรยนกลมตวอยาง

มความพงพอใจหลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. อยในระดบมาก ทงน

อาจมสาเหตเนองมาจากนกเรยนไดมองเหนมโนภาพในการเรยนโดยการปฏบตตามกจกรรมทผวจย

สรางขนมากขน อกทงในขณะเรยนนกเรยนสามารถทาการสารวจ สงเกตซาๆ กนไดหลายครง ทาให

นกเรยนรสกสนก มอสระ ไมเครยด และไมหนกใจในการเรยนร

5. สาหรบนกเรยนทไมผานเกณฑการเรยน นนเปนผลมาจากนกเรยนไมใหความสนใจใน

การปฏบตกจกรรมตามทผวจยแนะนา ไมวาผวจยจะปฏบตอยางไรนกเรยนกไมใหความรวมมอแต

อยางใด อกทงใบกจกรรมรายบคคลทผวจยไดมอบหมายใหนกเรยนปฏบตในชนเรยน นกเรยนกลมนก

ไมใหความรวมมอใดๆ ทงสน จงเปนผลทาใหคาเฉลยของคะแนนใบกจกรรมทงหองนนคอนขางตา ซง

สาเหตทผวจยคดวาสงททาใหนกเรยนไมใหความรวมมอเพราะนกเรยนอาจจะไมชอบวชาคณตศาสตร

หรอเปนเพราะชดกจกรรมการเรยนการสอนไมเหมาะกบระดบความสามารถของนกเรยนกลมน จงเปน

ผลใหนกเรยนไมสนใจและไมผานเกณฑการเรยนในทสด

ขอเสนอแนะ 1. ขอเสนอแนะทวไป

1.1 ในการจดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใชโปรแกรม C.a.R. ครควรมผชวยในการ

สอนเพอจะไดใหคาแนะนานกเรยนไดอยางทวถงและรวดเรว

1.2 ควรมเครองคอมพวเตอรทมการตดตงโปรแกรมซอฟตแวร JAVA ตงแตเวอรชน 1.4

ขนไป และชดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใชโปรแกรม C.a.R. ประจาหองคอมพวเตอรของโรงเรยน

1.3 ควรใหนกเรยนไดรบ CD ชดกจกรรมการเรยนการสอนทกคน เพอใหนกเรยนไดม

การเตรยมความพรอมในการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน และสามารถทาการศกษานอกเวลาได

2. ขอเสนอแนะสาหรบงานวจย

2.1 ควรมการวจยเกยวกบการนาโปรแกรม C.a.R. ไปใชสอนวชาคณตศาสตรทเกยวกบ

เนอหาเชงเรขาคณตหรอพชคณต ในเรองอนๆ เชน เสนขนาน, พนฐานทางเรขาคณต, เวกเตอร และ

การสรางกราฟของฟงกชนตางๆ เปนตน

2.2 ควรทาการวจยเพอเปรยบเทยบระหวางการสอนคณตศาสตรในเนอหาตางๆ โดยใช

โปรแกรม C.a.R. กบการสอบแบบปกต

บรรณานกรม

กมล เอกไทยเจรญ. (2533). คณตศาสตร ม. 4 เลม 2. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง.

กรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ. (2545ก). หนงสอรายชอสอการเรยนการสอนทบงชเนอหา

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ศนยพฒนาหนงสอ กรมวชาการ.

-----------. (2545ข). หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544. พมพครงท 3. กรงเทพฯ:

ครสภาลาดพราว.

-----------. (2545ค). เอกสารประกอบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 คมอการจดการ

เรยนร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: องคการรบสงสนคาและพสดภณฑ.

-----------. (2545ง). หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 สาระและมาตรฐานการเรยนร

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: องคการรบสงสนคาและพสดภณฑ.

-----------. (2545จ). เอกสารประกอบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 การวจยเพอ

พฒนาการเรยนรตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน. กรงเทพฯ: องคการรบสงสนคาและ

พสดภณฑ.

กองพฒนาการศกษานอกโรงเรยน กระทรวงศกษาธการ. (2542). เทคนคการเขยนกจกรรมการเรยน

การสอนในชดวชา. กรงเทพฯ: กองพฒนาการศกษานอกโรงเรยน.

กระทรวงศกษาธการ. (2548). หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชน

มธยมศกษาปท 5. กรงเทพฯ: โรงพมพครสภา ลาดพราว.

กาญจนา เกยรตประวต. (2524). วธสอนทวไป และ ทกษะการสอน. กรงเทพฯ: ภาควชาหลกสตร

และการสอน มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

กตยารตน ภรพฒน. (2545). การพฒนาแบบทดสอบวนจฉย วชาคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

เรองฟงกชนตรโกณมต. วทยานพนธ ครศาสตรมหาบณฑต (วจยและประเมนผลการศกษา).

อบลราชธาน: บณฑตวทยาลย สถาบนราชภฏอบลราชธาน. ฐานขอมลปรญญานพนธ

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

เกษม มงลอ. (2544). การสรางชดการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต วชาคณตศาสตรสาหรบชน

มธยมศกษาปท 5. รายงานการศกษาอสระ กศ.ม.(เทคโนโลยการศกษา). ขอนแกน:

บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยขอนแกน. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

กลยา ตนตผลาชวะ. (2547). การจดกจกรรมการเรยนรสาหรบเดกปฐมวย. กรงเทพฯ: สาขาวชา

การศกษาปฐมวย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

กงวล เทยนกณฑเทศน. (2540). การวด การวเคราะห การประเมนทางการศกษาเบองตน.

พมพครงท 2. กรงเทพฯ: ศนยสอเสรมกรงเทพ.

คณะอนกรรมการพฒนาการสอนและผลตอปกรณการสอนคณตศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. (2524).

ชดการเรยนการสอนสาหรบครคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ทบวงมหาวทยาลย. อดสาเนา.

คณาภรณ รศมมารย. (2547). ประโยชนของชดการเรยนการสอน. ในวารสารการศกษาวทยาศาสตร

คณตศาสตรและเทคโนโลย ปท 32 ฉบบท 130 พฤษภาคม-มถนายน. หนา 24–28.

จตราภรณ ภแกว. (2547). การพฒนาชดกจกรรมการเรยนรทเนนผเรยนเปนสาคญ โดยใชกจกรรมท

หลากหลาย เรองอตรสวนตรโกณมตและการนาไปใช ชนมธยมศกษาปท 5.

ปรญญานพนธ กศ.ม. (การมธยมศกษา). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลย

ศรนครทรวโรฒ. อดสาเนา.

จรภทร แกวก. (2547). หลกและวธการเขยนแผนการจดการเรยนร. ขอนแกน: โรงพมพศรภณฑ

ออฟเซท ขอนแกน. อดสาเนา.

ชมนาด เชอสวรรณทว. (2542). การสอนคณตศาสตร (ศกษารปแบบการสอนวชาคณตศาสตร).

กรงเทพฯ: ภาควชาหลกสตรและการสอน มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

ชวาล แพรตกล. (2520). เทคนคการเขยนขอสอบ. กรงเทพฯ: ม.ป.พ. อดสาเนา.

ชษณชา พระสวาง. (2547). การพฒนาการจดกจกรรมการเรยนรแบบรวมมอวชาคณตศาสตร เรอง

ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต ชนมธยมศกษาปท 5. วทยานพนธ กศ.ม. (หลกสตร

และการสอน). มหาสารคาม: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยมหาสารคาม. ฐานขอมล

ปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ชยยงค พรหมวงศ; และคนอนๆ. (2523). เอกสารการสอนชดวชา เทคโนโลยและสอสารการศกษา.

กรงเทพฯ: สานกเทคโนโลยการศกษา. มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. อดสาเนา.

ชยศกด ลลาจรสกล. (2542). การจดกจกรรมคณตศาสตรในโรงเรยน. กรงเทพฯ: โรงเรยนสาธต

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ ปทมวน. อดสาเนา.

ไชยยศ เรองสวรรณ. (2526). เทคโนโลยทางการศกษา. กรงเทพฯ: วฒนาพานช. อดสาเนา.

ณฐกฤษ จนทรตะ. (2548). การพฒนาชดการสอนคณตศาสตรทเนนกระบวนการแกไขปญหา เรอง

ความนาจะเปน สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3. วทยานพนธ ค.ม. (หลกสตรและการ

สอนคณตศาสตร). นครสวรรค: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยราชภฎนครสวรรค.

ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ถาวร ลกษณะ. (2548). การพฒนาชดการสอนคณตศาสตร เรอง สถต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษา

ปท 3. วทยานพนธ ค.ม. (หลกสตรและการสอนคณตศาสตร). นครสวรรค: บณฑตวทยาลย

มหาวทยาลยราชภฎนครสวรรค. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ทฤษฎการเรยนรของออซเบล. (2551). สบคนเมอ 1 ธนวาคม 2551,

จาก http://ednet.kku.ac.th-/~sumcha/2545/nong.

ธงชย ขาเทศเจรญ. (2546). การเปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตร เรองการหาร

ของนกเรยนชนประถมศกษาปท 2 ระหวางการใชชดการสอนแบบศนยการเรยนกบชดการ

สอนแบบแบงกลมผลสมฤทธทมการนาเสนอในรปซนดเคท. วทยานพนธ ค.ม. (เทคโนโลย

และสอสารทางการศกษา). นครราชสมา: มหาวทยาลยราชภฎนครราชสมา. ฐานขอมล

ธนวฒน สนทราพรพล. (2550?). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานและเพมเตม วชาคณตศาสตร

เลม 3 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชวงชนท 4 มธยมศกษาปท 4–6. กรงเทพฯ: ม.ป.พ.

แนวคดการสรางกจกรรม เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชซอฟตแวร. (2550). สบคนเมอ 1 ธนวาคม

2550, จาก http://www.ies.co.jp/math/products/trig/menu.html.

-----------. (2551ก). สบคนเมอ 5 มกราคม 2551, จาก http://mathforum.org/mathtools/cell/tr.

-----------. (2551ข). สบคนเมอ 5 มกราคม 2551, จาก http://www.dynamicgeometry.com.

-----------. (2551ค). สบคนเมอ 6 มกราคม 2551, จากhttp://recursos.pnte.cfnavarra.es/

~msadaall/geogebra/trigono.htm.

บญชม ศรสะอาด. (2541). การพฒนาการสอน. มหาสารคาม: มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

มหาสารคาม. อดสาเนา.

บญเกอ ควรหาเวช. (2545). นวตกรรมการศกษา. กรงเทพฯ: หางหนสวนจากด SR Printing.

อดสาเนา.

บปผา เซยสกล. (2544). การสอนวชาคณตศาสตรชนมธยมศกษาตอนปลาย เรอง ฟงกชนตรโกณมต

โดยใชคอมพวเตอรชวยสอนซอมเสรม. วทยานพนธ กศ.ม. (คณตศาสตรศกษา). เชยงใหม:

บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยเชยงใหม. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครน ทรวโรฒ.

ประคอง กรรณสต. (2538). สถตเพอการวจยทางพฤตกรรมศาสตร. พมพครงท 2 (ฉบบปรบปรง

แกไข). กรงเทพฯ: ศนยหนงสอ ดร.ศรสงา.อดสาเนา.

ปยาพชร พวงมาลย. (2547). การสรางชดการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต วชาคณตศาสตร (ค 4111)

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4. รายงานการศกษาอสระ กศ.ม. (เทคโนโลยการศกษา).

ขอนแกน: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยขอนแกน. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลย

ศรนครนทรวโรฒ.

เปรอง กมท. (2519). เทคนคการเขยนบทเรยนโปรแกรม. กรงเทพฯ: ภาควชาเทคโนโลยทางการศกษา

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

ผองศร หวานเสยง. (2547). ผลการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตรทเนนกระบวนการ

เรยนแบบซปปา เรองโจทยปญหาการคณ ของนกเรยนชนประถมศกษาปท 3. วทยานพนธ

ค.ม. (หลกสตรและการสอนคณตศาสตร). เชยงราย: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลย

เชยงราย. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. บณฑตวทยาลย. (2548). คมอการจดทาปรญญานพนธและสาร

นพนธ. กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยฯ.

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. (2530). เอกสารการสอนชดวชา คณตศาสตร 4 (Mathematics)

หนวยท 8. กรงเทพฯ: มหาวทยาลยฯ. อดสาเนา.

-----------. (2542). ชดวชาสอการสอนระดบมธยมศกษา หนวยท 13. กรงเทพฯ: มหาวทยาลยฯ.

มณฑนย ศรนาค. (2547). การพฒนากจกรรมการเรยนคณตศาสตรเรองการประยกตฟงกชน

ตรโกณมตสาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนหวหน จงหวดประจวบครขนธ.

วทยานพนธ กศ.ม. (หลกสตรและการสอน). ประจวบครขนธ: บณฑตวทยาลย

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ยพน พพธกล. (2530). การสอนคณตศาสตร. กรงเทพฯ: จฬาลงกรณมหาวทยาลย.

ราชบณฑตยสถาน. (2549). ศพทคณตศาสตร. พมพครงท 9. กรงเทพฯ: สหมตรพรนตง.

ลวน สายยศ; และองคณา สายยศ. (2543). เทคนคการวดผลการเรยนร. พมพครงท 2. กรงเทพฯ:

สวรยาสาสน. อดสาเนา.

วรวรรณ กฤตยากรนพงศ. (2551). กจกรรมการเรยนการสอนเรองความเทากนทกประการ โดยใชการ

แปลงทางเรขาคณตและซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2.

ปรญญานพนธ กศ.ม. (คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนค

รนทรวโรฒ. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

วรรณวภา สทธเกยรต. (2542). การพฒนาบทเรยนเรขาคณตทใชซอฟตแวรคอมพวเตอรเปนเครองมอ

ในการเรยนร. ปรญญานพนธ กศ.ด. (คณตศาสตรศกษา). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

วาสนา ชาวหา. (2525). เทคโนโลยทางการศกษา. กรงเทพฯ: อกษรสยามการพมพ. อดสาเนา.

วชย วงษใหญ. (2525). การพฒนาหลกสตรและการสอนมตใหม. กรงเทพฯ: โอเดยนสโตร.

วระศกด พทบร. (2545). การพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชน

ตรโกณมตของจานวนจรงและมม ระดบชนมธยมศกษาปท 4. วทยานพนธ กศ.ม.

(เทคโนโลยและสอสารการศกษา). สงขลา: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยสงขลานครนทร.

ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

วชรสนต อนธสาร. (2547). ผลของการพฒนามโนทศนทางเรขาคณตและเจตคตตอการเรยน

คณตศาสตรของนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตน โดยใชโปรแกรม The Geometer’s

Sketchpad. วทยานพนธ ค.ม. (การศกษาคณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย

จฬาลงกรณมหาวทยาลย. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

วฒนาพร ระงบทกข. (2542). แผนการสอนทเนนผเรยนเปนศนยกลาง. กรงเทพมหานคร: แอล ท เพรส.

-----------. (2545). เทคนคและกจกรรมการเรยนรทเนนผเรยนเปนสาคญ ตามหลกสตรการศกษาขน

พนฐาน พ.ศ. 2544. กรงเทพมหานคร: พรกหวานกราฟฟค.

ศรศกด จามรมาน. (2535). การพฒนาและการใชคอมพวเตอรเพอการเรยนการสอน. วารสาร

รามคาแหง. 15(3): 10.

ศรลกษณ กโบลา. (2547). การพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรวชาคณตศาสตร เรองอนเวอรสของ

ฟงกชนตรโกณมต ชนมธยมศกษาปท 5. วทยานพนธ กศ.ม. (เทคโนโลยการศกษา).

มหาสารคาม: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยมหาสารคาม. ฐานขอมลปรญญานพนธ

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2546). การจดสาระการเรยนรกลมคณตศาสตร

ชวงชนท 3-4. พมพครงท 2. กรงเทพฯ: กราฟฟค โกร.

-----------. (2550). ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร. พมพครงท 1. กรงเทพฯ: สถาบนสงเสรม

การสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ.

สมศกด สนธระเวชญ. (2544). กจกรรมพฒนาผเรยนคณตศาสตร (ศกษาบทบาทของครและนกเรยน

ในการปฏบตกจกรรม). กรงเทพมหานคร: วฒนาพานช. อดสาเนา.

สมศกด อภบาลศร. (2537). การผลตชดการสอน. พมพครงท 1. ภาควชาเทคโนโลยและนวตกรรม

ทางการศกษา คณะครศาสตร. อดสาเนา.

สมศกด อวนสาเล. (2540). การสรางแบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมต

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในจงหวดหนองบวลาภ. วทยานพนธ กศ.ม. (การวดผล

และประเมนผลการศกษา). ขอนแกน: บณฑตวทยาลย มหาวทยาขอนแกน. ฐานขอมล

สมย เหลาวานชย. (2537). คณตศาสตร ม. 4-5-6. กรงเทพมหานคร: ไฮเอดพบลชชง.

-----------. (2544). คณตศาสตร พนฐาน+เพมเตม เลม 3. กรงเทพมหานคร: ไฮเอดพบลชชง.

สรพร ทพยคง. (2545). หลกสตร และการสอนคณตศาสตร. กรงเทพฯ: พฒนาคณภาพวชาการ.

สจรา มสกะเจรญ. (2542). การเปรยบเทยบความสามารถดานมตสมพนธและผลสมฤทธทาง การ

เรยนคณตศาสตร เรองเสนขนานและความคลายของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ระหวาง

กลมทเรยนโดยใชและไมใชซอฟตแวรคอมพวเตอรทางเรขาคณต. วทยานพนธ ค.ม.

(การศกษาคณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย จฬาลงกรณมหาวทยาลย. อดสาเนา.

สภทรา เกดมงคล. (2550). กจกรรมการเรยนการสอนเรองสมบตของวงกลม โดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวตสาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3. วทยานพนธ กศ.ม.

(คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. ฐานขอมล

สมานน รงเรองธรรม. (2526). กลวธสอน. กรงเทพมหานคร: คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยศร

นครนทรวโรฒ ประสานมตร. อดสาเนา.

สธนนท บญพฒนาภรณ. (2549). กจกรรมการเรยนการสอนเรองการแปลงเรขาคณตโดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวตสาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2. ปรญญานพนธ กศ.ม.

(คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

สรางค โควตระกล. (2541). จตวทยาการศกษา. กรงเทพฯ: จฬาลงกรณมหาวทยาลย. อดสาเนา.

สานกงานทดสอบทางการศกษา. (2546). ผลการสอบวดคณภาพการศกษาระดบชาต ระหวางวนท

12-13 พฤศจกายน ปการศกษา 2546. กรงเทพฯ. สบคนเมอ 9 มถนายน 2551,

จาก http://bet.bopp.go.th/gat_sat/bet/46.pdf.

สนทด ภบาลสข; และพมพใจ ภบาลสข. (2525). การใชสอการสอน. พมพครงท 2. กรงเทพฯ:

มหาวทยาลยขอนแกน. อดสาเนา.

องอาจ นยพฒน. (2549). วธวทยาการวจยเชงปรมาณและเชงคณภาพ ทางพฤตกรรมศาสตรและ

สงคมศาสตร. กรงเทพฯ: สามลดา.

อรรถศาสน นมตรพนธ. (2542). ผลของการใชซอฟตแวรคอมพวเตอรประกอบกจกรรมการเรยนวชา

คณตศาสตร 4 ขน ทมตอความสามารถในการเรยนวชาคณตศาสตร เรอง ความเทากนทก

ประการของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1. วทยานพนธ ค.ม. (การศกษาคณตศาสตร).

กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย จฬาลงกรณมหาวทยาลย. ออนไลน.

Adamek, Tara; & others. (2005, May). The History Of Trigonometry. Retrieved March 8,

2008, from http://www.math.rutgers.edu/~mjraman/History_Of_Trig.pdf.

Baharvand, Mohsen. (2002, June). A Comparison of the Effectiveness of Computer Assisted

Instruction Versus Traditional Approach to Teaching Geometry. Dissertation

Abstracts International. 40(3): 522-A.

Baley, John; & Holstege, Martin. (1991). TRIGONOMETRY. Second Edition. New york:

McGraw-Hill.

Beckenbach, Edwid F.; & Drooyan, Irving. (1968). Modern College Algebra and

Trigonometry. California: Wadsworth Publishing Company.

Bittinger, Marvin L; & Keedy, Marvin L. (1974). Trigonometry: A Functions Approach.

Brown, A.L; & others. (1973). Learning Remembering and Understandings. Handbook of

Child Psychology: Cognitive Development. New York: Wiley.

Dennis, Cynthia R.; & Neal, Linda M. (1995). Trigonometry Activities for the TI-82 And TI-85

Graphing Calculators. Boston: PWS publishing.

Faughn, Axelle Person; & Murphy, Terran Felter. (2007). USING INTERACTIVE GEOMETRY

SOFTWARE BASED INSTRUCTION IN A COLLEGE TRIGONOMETRY COURSE.

California: California State University. Retrieved June 10, 2008, from

http://www.rume.org/crume2007/papers/faughn-murphy.pdf.

Flanders, Harley; & Price, Justin J. (1973?). Elementary Functions and Analytic Geometry.

New York: ACADEMIC PRESS.

Foletta, Gina Marie. (1995, February). Technology and Guided Inquiry Understanding of

Student’s Thinking While Using A Cognitive Computer Tool, The Geometer’s

Sketchpad, in a Geometry Class. Dissertation Abstracts International. 55(8):

2311-A.

Frerking, Bonnie Giddens. (1995, June). Conjecturing and Proof-Writing in Dynamic

Geometry. Dissertation Abstracts International. 55(12): 3772-A.

Grothmann, Rene. (2007). Download Program Compass and Ruler (C.a.R.). Retrieved

January 5, 2008, from www.z-u-l.de.

Hudnutt, Bethany. (2007). TEACHING FUNCTIONS WITH DYNAMIC GRAPHING TOOLS:

A STUDY OF LESSON PLANS. Thesis for the degree of Master of Science

(MATHEMATICS EDUCATION). United State: North Carolina State University.

Ken. (1995, January). Why is Circle 360 Degree. Retrieved Jan 6, 2008 from

http://mathforum.org/dr.math/.

Kendal, Margaret ; & Stacey, Kaye. (1997). TEACHING TRIGONOMETRY. Australia:

University of Melbourne. Retrieved June 9, 2008, from

http://staff.edfac.unimelb.edu.au/~kayecs/publications/1997/kendalstacey-Trig.pdf.

Lester, Margaret Lynn. (1996, December). The Effects of The Geometer’s Sketchpad

Software on Achievement of Geometric Knowledge of High School Geometry

Students. Dissertation Abstracts International. 57(6): 2343-A.

List of Interactive Geometry Software. (2007). Retrieved March 4, 2008, from

http://en.wikipedia.org/wiki/Interactive_geometry_software.

Melczarek, Robert Jan. (1998, January). The Effects of Problem-Solving Activities Using

Dynamic Geometry Computer Software on Readiness for Self-Directed Learning.

Dissertation Abstracts International. 58(07): 2611-A.

Moss, Laura Jean. (2001, May). The Use of Dynamic Geometry Software as a Cognitive

Tool. Dissertation Abstracts International. 61(11): 4317-A.

Orhun, Nevin. (2000, July). Student’s Mistakes and Misconceptions on Teaching of

Trigonometry. Turkey: Anadolu University. Retrieved June 10, 2008, from

http://math.unipa.it/~grim/AOrhun.PDF.

Prus, Thomas ; & Bonk, Emily. (2003, December). History of Trigonometry and

Mathematicians. Retrieved March 18, 2008, from http://angel_blue01.tripod.

com/home/docs/grade12/history_of_trigonometry.pdf.

Shaffer, David. Exploring Trigonometry with The Geometer’s Sketchpad. California: Key

Curriculum Press.

Sullivan, M. (1996). Algebra and Trigonometry Enhanced with Graphing Utilities. New

Jersey: Preitice-Hall,Inc.

Swokoski, Earl W. (1978). Fundamentals of Algebra and Trigonometry. Massachusetts:

Pridle, Weber & Schmidt, Incorporated.

Weber, Keith. (2005). Student’s Understanding of Trigonometric Functions. United State:

Rutgers University. Retrieved June 10, 2008, from http://eric.ed.gov/ERICDocs-

-/data/ericdocs2sql/content_storage_01/0000019b/80/2a/f6/ba.pdf.

Yousif, Adil Eltayeb. (1997, November). The Effects of The Geometer’s Sketchpad on The

Attitude Toward Geometry of High School Students. Dissertation Abstracts

International. 58(5): 1631-A.

______________________________________

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก รายนามผเชยวชาญ

รายนามผเชยวชาญ

รายนามผเชยวชาญการสอนคณตศาสตร ทไดรบความอนเคราะหตรวจสอบความถกตอง

ดานเนอหาและความเหมาะสมของชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. ความเทยงตรงของเนอหา ความเหมาะสมของแผนการจดการเรยนร ความ

เหมาะสมของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต และการใชภาษาใน

แบบทดสอบวดความพงพอใจของนกเรยนทไดเรยนผานชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชน

ตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. มดงน

1, อาจารยธนชย ภอดม

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

2. อาจารยเมตต แยมวงษ

3. อาจารยสวรรณา คลายกระแส

ภาคผนวก ข การวเคราะหขอมล

ตาราง 9 แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

(แบบปรนย 4 ตวเลอก)

ผลการพจารณาของผเชยวชาญ แบบทดสอบขอท

คนท 1 คนท 2 คนท 3 IOC แปลผล

1 +1 +1 +1 1.00 ใชได 2 +1 +1 +1 1.00 ใชได 3 +1 +1 +1 1.00 ใชได 4 +1 +1 +1 1.00 ใชได 5 +1 +1 +1 1.00 ใชได 6 +1 +1 +1 1.00 ใชได 7 +1 +1 +1 1.00 ใชได 8 +1 +1 +1 1.00 ใชได 9 +1 +1 +1 1.00 ใชได 10 +1 +1 +1 1.00 ใชได 11 +1 +1 +1 1.00 ใชได 12 +1 +1 +1 1.00 ใชได 13 +1 +1 +1 1.00 ใชได 14 +1 +1 +1 1.00 ใชได 15 +1 +1 +1 1.00 ใชได 16 +1 +1 +1 1.00 ใชได 17 +1 +1 +1 1.00 ใชได 18 +1 +1 +1 1.00 ใชได 19 +1 +1 +1 1.00 ใชได 20 +1 +1 +1 1.00 ใชได 21 +1 +1 +1 1.00 ใชได 22 +1 +1 +1 1.00 ใชได 23 +1 +1 +1 1.00 ใชได 24 +1 +1 +1 1.00 ใชได 25 +1 +1 +1 1.00 ใชได 26 +1 +1 +1 1.00 ใชได

ตาราง 9 (ตอ) แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

27 +1 +1 +1 1.00 ใชได 28 +1 +1 +1 1.00 ใชได 29 +1 +1 +1 1.00 ใชได 30 +1 +1 +1 1.00 ใชได 31 +1 +1 +1 1.00 ใชได 32 +1 +1 +1 1.00 ใชได 33 +1 +1 +1 1.00 ใชได 34 +1 +1 +1 1.00 ใชได 35 +1 +1 +1 1.00 ใชได 36 +1 +1 +1 1.00 ใชได 37 +1 +1 +1 1.00 ใชได 38 +1 +1 +1 1.00 ใชได 39 +1 +1 +1 1.00 ใชได 40 +1 +1 +1 1.00 ใชได 41 +1 +1 +1 1.00 ใชได 42 +1 +1 +1 1.00 ใชได 43 +1 +1 +1 1.00 ใชได 44 +1 +1 +1 1.00 ใชได 45 +1 +1 +1 1.00 ใชได 46 +1 +1 +1 1.00 ใชได 47 +1 +1 +1 1.00 ใชได 48 +1 +1 +1 1.00 ใชได 49 +1 +1 +1 1.00 ใชได 50 +1 +1 +1 1.00 ใชได 51 +1 +1 +1 1.00 ใชได 52 +1 +1 +1 1.00 ใชได

ตาราง 9 (ตอ) แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

53 +1 +1 +1 1.00 ใชได 54 +1 +1 +1 1.00 ใชได 55 +1 +1 +1 1.00 ใชได 56 +1 +1 +1 1.00 ใชได 57 +1 +1 +1 1.00 ใชได 58 +1 +1 +1 1.00 ใชได 59 +1 +1 +1 1.00 ใชได 60 +1 +1 +1 1.00 ใชได

ตาราง 10 แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน (แบบอตนย)

1 +1 +1 +1 1.00 ใชได 2 +1 +1 +1 1.00 ใชได 3 +1 +1 +1 1.00 ใชได 4 +1 +1 +1 1.00 ใชได 5 +1 +1 +1 1.00 ใชได 6 +1 +1 +1 1.00 ใชได 7 +1 +1 +1 1.00 ใชได 8 +1 +1 +1 1.00 ใชได 9 +1 +1 +1 1.00 ใชได 10 +1 +1 +1 1.00 ใชได

หมายเหต คะแนน +1 สาหรบขอสอบทสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

คะแนน 0 สาหรบขอสอบทไมแนใจวาสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

คะแนน -1 สาหรบขอสอบทไมสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

ตาราง 11 แสดงคาความยากงาย (p), คาอานาจการจาแนก (r) และคาความเชอมนของแบบทดสอบ

วดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยน

ชนมธยมศกษาปท 4 ทเปนกลมนารอง

ขอท p r ขอท p r

1 0.95 0.10 21 0.78 0.37

2 0.80 0.55 22 0.50 0.64

3 0.98 0.10 23 0.21 0.45

4 0.92 0.10 24 0.26 0.73

5 0.92 0.10 25 0.24 0.73

6 0.71 0.37 26 0.45 0.27

7 0.69 0.27 27 0.45 0.55

8 0.92 0.20 28 0.21 0.20

9 0.80 0.20 29 0.64 0.00

10 0.52 0.55 30 0.21 0.45

11 0.67 0.10 31 0.71 0.27

12 0.71 0.45 32 0.52 0.27

13 0.59 0.45 33 0.62 0.27

14 0.21 0.36 34 0.71 0.27

15 0.59 0.82 35 0.55 0.27

16 0.43 0.45 36 0.45 0.27

17 0.26 0.20 37 0.36 0.27

18 0.36 0.10 38 0.45 0.27

19 0.41 0.27 39 0.31 0.27

20 0.21 - 0.10 40 0.41 0.27

คาความเชอมนของแบบทดสอบแบบปรนย 4 ตวเลอกจานวน 40 ขอ เทากบ 0.77

คาความเชอมนของแบบทดสอบแบบอตนยจานวน 5 ขอ เทากบ 0.89

คาความเชอมนของแบบทดสอบทงฉบบ เทากบ 0.87

ตาราง 12 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมนา

รองทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. และคาความเชอมนของแบบวด

ความพงพอใจของนกเรยนกลมนารอง

ระดบความคดเหน ขอท

5 4 3 2 1 X S.D. แปลผล

1 28.60%

(12 คน)

45.20%

(19 คน)

26.20%

(11 คน) - - 4.02 0.75 มาก

2 9.50%

(4 คน)

45.20%

(19 คน)

45.20%

(19 คน) - - 3.64 0.66 มาก

3 7.10%

(3 คน)

40.50%

(17 คน)

42.90%

(18 คน)

(4 คน) - 3.45 0.77 ปานกลาง

4 4.80%

(2 คน)

42.90%

(18 คน)

45.20%

(19 คน)

(3 คน) - 3.45 0.71 ปานกลาง

5 33.30%

(14 คน)

31.00%

(13 คน)

31.00%

(13 คน)

(2 คน) - 3.93 0.92 มาก

6 26.20%

(11 คน)

59.50%

(25 คน)

14.30%

(6 คน) - - 4.12 0.63 มาก

7 11.90%

(5 คน)

45.20%

(19 คน)

40.50%

(17 คน)

(1 คน) - 3.67 0.72 มาก

31.00%

(13 คน)

57.10%

(24 คน)

11.90%

(5 คน) - 3.19 0.63 ปานกลาง

9 14.30%

(6 คน)

31.00%

(13 คน)

50.00%

(21 คน)

(2 คน) - 3.55 0.80 มาก

10 16.70%

(7 คน)

52.40%

(22 คน)

31.00%

(13 คน) - - 3.86 0.68 มาก

ตาราง 12 (ตอ) คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

นารองทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. และคาความเชอมนของแบบ

วดความพงพอใจของนกเรยนกลมนารอง

5 4 3 2 1 X S.D. แปลผล

11 2.40%

(1 คน)

26.20%

(11 คน)

52.40%

(22 คน)

16.70%

(7 คน)

(1 คน) 3.10 0.79 ปานกลาง

12 9.50%

(4 คน)

38.10%

(16 คน)

47.60%

(20 คน)

(2 คน) - 3.52 0.74 มาก

13 7.10%

(3 คน)

31.00%

(13 คน)

54.80%

(23 คน)

(2 คน)

(1 คน) 3.36 0.79 ปานกลาง

14 2.40%

(1 คน)

19.00%

(8 คน)

64.30%

(27 คน)

14.30%

(6 คน) - 3.10 0.66 ปานกลาง

15 4.80%

(2 คน)

35.70%

(15 คน)

59.50%

(25 คน) - - 3.45 0.59 ปานกลาง

16 4.80%

(2 คน)

40.50%

(17 คน)

50.00%

(21 คน)

(2 คน) - 3.45 0.67 ปานกลาง

17 14.30%

(6 คน)

50.00%

(21 คน)

33.30%

(14 คน)

(1 คน) - 3.76 0.73 มาก

18 7.10%

(3 คน)

16.70%

(7 คน)

69.00%

(29 คน)

(3 คน) - 3.24 0.69 ปานกลาง

19 2.40%

(1 คน)

31.00%

(13 คน)

61.90%

(26 คน)

(2 คน) - 3.31 .60 ปานกลาง

20 16.70%

(7 คน)

42.90%

(18 คน)

40.50%

(17 คน) - - 3.76 0.73 มาก

คาความเชอมนของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมนารองทงฉบบ (α )

เทากบ 0.90

ตาราง 13 การหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดระหวางเรยนจากใบ

กจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ของนกเรยนกลมตวอยาง

กลมตวอยาง

จานวน

นกเรยน

(คน)

(คะแนน)

คาเฉลย

เลขคณต

คาเฉลยเลขคณต

คดเปนรอยละของ

สวนเบยงเบน

มาตรฐาน

(S.D.)

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 53 20 13.21 66% 5.58

ตาราง 14 การหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากการทา

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ของ

นกเรยนกลมตวอยาง

จานวน

นกเรยน

(คน)

(คะแนน)

คาเฉลย

เลขคณต

(S.D.)

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 53 80 60.62 75.78 7.34

ตาราง 15 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากการทา

ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. คะแนนเตม 100 คะแนน

จานวน

นกเรยน

(คน)

(คะแนน)

คาเฉลย

เลขคณต

(S.D.)

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 53 100 73.83 73.83 10.76

ตาราง 16 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากใบกจกรรม

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน และผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยาง

ชนมธยมศกษาปท 4 จานวน 53 คน

(คะแนน)

คาเฉลย

เลขคณต

(S.D.)

ใบกจกรรม 20 13.21 66 5.58

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน 80 60.62 75.78 7.34

ผลสมฤทธทางการเรยน 100 73.83 73.83 10.76

การทดสอบสมมตฐานเกยวกบจานวนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ซงใชการทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาสดสวนประชากร โดยใชการ

ทดสอบ Z (Z – test for Population Proportion)

สมมตฐาน คอ Ho : p ≤ 0.7

H1 : p > 0.7

สถตทดสอบ Z =

n)p(1p

−−

จาก 91.05348p == , po = 0.7

แทนคา Z =

53)30.0(70.0

7.091.0 −

= 00396.021.0

ดงนน Z = 3.338

จะปฏเสธ Ho เมอ Z > Z .01

จากตารางไดวา Z .01 = 2.326

และ 3.338 > 2.326 ซงตกอยในขอบเขตวกฤต

เพราะฉะนน ปฏเสธ Ho ยอมรบ H1 นนคอ นกรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สามารถสอบผานเกณฑไดมากกวา รอยละ 70 ของจานวนนกเรยน

ทงหมด

ตาราง 17 คะแนนแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

ขอท

คนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3 4 3 3 4 4 3 4 4 3 4 3 3 4 4 3 5 3 4 2 5 5 3 2 2 5 2 5 3 2 3 4 5 3 3 5 4 4 3 3 4 4 5 4 3 3 4 4 4 4 3 4 3 4 3 3 4 5 5 4 3 3 5 5 4 3 5 4 5 4 5 5 4 3 3 4 5 2 6 2 5 4 5 5 5 4 4 4 5 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 7 5 4 4 4 4 3 3 3 4 5 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 8 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9 4 3 3 3 3 5 3 3 3 5 4 4 3 3 3 4 5 4 3 3 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 11 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 12 3 3 3 3 2 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 13 3 3 4 3 4 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 4 3 4 3 3 14 4 3 3 4 5 5 4 4 3 3 3 4 3 3 3 4 4 3 3 4 15 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 4 5 4 5 4 16 4 3 3 3 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 4 4 4 5 17 4 3 4 4 4 2 4 5 4 3 4 5 3 4 4 2 5 3 5 5 18 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 19 3 3 3 3 3 3 4 3 4 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 20 2 4 2 4 3 5 5 3 5 4 3 4 4 3 4 5 5 4 2 5 21 2 3 3 3 3 4 4 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 22 4 2 3 3 4 4 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 23 4 4 4 4 4 5 4 0 3 3 3 4 5 3 4 3 4 4 4 5 24 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 25 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 2 3 3 2 3 3 26 4 4 3 4 4 5 4 4 4 5 4 5 4 4 3 5 5 3 4 4 27 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

ตาราง 17 (ตอ) คะแนนแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

ขอท

คนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

28 3 5 5 3 4 5 4 3 4 5 3 4 4 5 4 4 5 5 5 5 29 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 30 3 3 3 3 3 4 3 3 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 5 5 5 3 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 32 4 3 3 3 5 4 3 4 3 5 4 3 4 3 4 5 5 5 4 4 33 5 4 5 3 5 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 34 5 4 5 5 4 4 5 5 4 5 5 4 4 5 5 5 5 4 5 5 35 3 3 3 4 3 4 3 3 4 4 3 4 4 3 3 3 4 3 3 4 36 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 37 3 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 4 3 3 38 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 4 4 4 4 4 3 3 39 3 3 3 4 3 4 3 3 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 5 3 4 2 3 4 0 3 4 5 4 5 3 2 4 3 4 5 4 3 41 5 2 4 4 4 5 4 5 5 5 3 4 3 3 3 4 4 5 3 4 42 3 5 4 4 5 5 4 4 5 5 3 5 3 4 3 3 4 5 3 4 43 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 44 5 4 5 4 4 5 4 4 4 3 3 3 4 3 4 4 4 3 4 4 45 1 5 1 5 5 5 1 1 5 1 4 0 1 1 1 1 5 5 5 5 46 4 0 4 4 4 4 3 3 4 4 5 4 4 4 4 4 3 4 4 5 47 5 3 3 1 3 4 4 3 1 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 48 5 4 4 5 0 5 4 4 5 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 5 49 3 3 3 3 3 4 3 3 3 2 0 3 3 3 3 3 3 3 3 4 50 4 4 4 3 4 5 4 4 4 3 4 4 5 4 3 4 5 4 5 5 51 4 4 3 4 4 5 3 4 3 3 5 4 4 3 3 4 3 3 4 5 52 4 3 4 0 4 4 4 3 4 5 4 3 3 2 4 4 3 3 4 5 53 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 4 4 4 5 4 4 5 4 4 5

ตาราง 18 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

ตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

5 4 3 2 1 X S.D. แปลผล

1 30.20%

(16 คน)

34.00%

(18 คน)

28.30%

(15 คน)

(3 คน)

(1 คน) 3.85 0.99 มาก

2 15.10%

(8 คน)

34.00%

(18 คน)

45.30%

(24 คน)

(2 คน) - 3.55 0.93 มาก

3 17.00%

(9 คน)

39.60%

(21 คน)

39.60%

(21 คน)

(1 คน)

(1 คน) 3.68 0.85 มาก

4 17.00%

(9 คน)

41.50%

(22 คน)

34.00%

(18 คน)

(2 คน)

(1 คน) 3.62 1.00 มาก

5 15.10%

(13 คน)

34.00%

(24 คน)

45.30%

(13 คน)

(1 คน) - 3.81 1.08 มาก

6 43.40%

(23 คน)

37.70%

(20 คน)

17.00%

(9 คน)

(1 คน) - 4.23 0.80 มาก

7 13.20%

(7 คน)

47.20%

(25 คน)

35.80%

(19 คน) -

(1 คน) 3.64 0.92 มาก

8 13.20%

(7 คน)

30.20%

(16 คน)

49.10%

(26 คน)

(2 คน)

(1 คน) 3.43 0.97 ปานกลาง

9 20.80%

(11 คน)

39.60%

(21 คน)

35.80%

(19 คน)

(1 คน)

(1 คน) 3.75 0.88 มาก

10 35.80%

(19 คน)

35.80%

(19 คน)

24.50%

(13 คน)

(1 คน)

(1 คน) 4.02 0.93 มาก

ตาราง 18 (ตอ) คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

ตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

5 4 3 2 1 X S.D. แปลผล

11 18.90%

(10 คน)

37.70%

(20 คน)

34.00%

(18 คน)

(3 คน) - 3,58 1.10 มาก

12 24.50%

(13 คน)

39.60%

(21 คน)

32.10%

(17 คน) - - 3.77 1.07 มาก

13 18.90%

(10 คน)

35.80%

(19 คน)

41.50%

(22 คน) -

(1 คน) 3.64 0.98 มาก

14 20.80%

(11 คน)

26.40%

(14 คน)

43.40%

(23 คน)

(3 คน)

(1 คน) 3.53 1.07 มาก

15 18.90%

(10 คน)

37.70%

(20 คน)

37.70%

(20 คน)

(1 คน)

(1 คน) 3.64 1.00 มาก

16 20.80%

(11 คน)

41.50%

(22 คน)

28.30%

(15 คน)

(3 คน)

(1 คน) 3.68 1.05 มาก

17 37.70%

(20 คน)

28.30%

(15 คน)

28.30%

(15 คน)

(2 คน)

(1 คน) 3.94 1.06 มาก

18 24.50%

(13 คน)

35.80%

(19 คน)

32.10%

(17 คน)

(3 คน) - 3.74 1.02 มาก

19 24.50%

(13 คน)

32.10%

(17 คน)

39.60%

(21 คน)

(1 คน) - 3.74 0.98 มาก

20 37.70%

(20 คน)

34.00%

(18 คน)

24.50%

(13 คน)

(1 คน) - 4.02 1.01 มาก

คาเฉลย 3.74 0.98 มาก

ภาคผนวก ค คมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

คมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

คาชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยน

ชนมธยมศกษาปท 4

หลกการและเหตผล

ปจจบนประเทศไทยใชหลกสตร การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 โดยเรมใชใน

ปการศกษา 2546 ซงหลกสตรไดกาหนดสาระการเรยนรไว 6 สาระดงน

สาระท 1 จานวนและการดาเนนการ

สาระท 2 การวด

สาระท 3 เรขาคณต

สาระท 4 พชคณต

สาระท 5 การวเคราะหและความนาจะเปน

สาระท 6 ทกษะ / กระบวนการทางคณตศาสตร

สาหรบสาระท 4 พชคณต และสาระท 6 ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร หลกสตร

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ไดกาหนดมาตรฐานการเรยนรไว ดงน

มาตรฐาน ค 4.1 : อธบายและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน

ตางๆ ได

มาตรฐาน ค 4.2 : ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และแบบจาลองทางคณตศาสตร

อนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใชแกปญหาได

มาตรฐาน ค 6.1 : มความสามารถในการแกปญหา

มาตรฐาน ค 6.2 : มความสามารถในการใหเหตผล

มาตรฐาน ค 6.3 : มความสามารถในการสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตร

และการนาเสนอ

มาตรฐาน ค 6.4 : มความสามารถในการเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและ

เชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ ได

มาตรฐาน ค 6.5 : มความคดรเรมสรางสรรค

จากการศกษามาตรฐาน ค 4.1 และมาตรฐาน ค 6.1 ตองการใหผเรยนไดเกดการเรยนรดงน

ตามลาดบ

• มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชนตรโกณมตและเขยนกราฟของฟงกชนท

กาหนดใหไดและความรเรองฟงกชนตรโกณมตไปใชได

• ใชความร ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการ

แกปญหาไดอยางเหมาะสม

ดงนนในการจดกจกรรมตางๆ จงตองเออตอการคนพบ เพอเสรมสรางความรและเพอใหเกด

มโนทศนตางๆ กจกรรมตางๆ ควรทาทาย นาสนใจ เปดโอกาสใหนกเรยนทดลองปฏบต สงเกต สมผส

สารวจ คด แกปญหา ซงฟงกชนตรโกณมตเปนเรองทสามารถสรางกจกรรมตางๆ ตามความสนใจของ

ผเรยนเพอใหผเรยนเกดการเรยนรและคนพบไดทงยงเปนพนฐานในการเรยนระดบสง เนองจาก

ปจจบนมความกาวหนาทางเทคโนโลยมากขน และยงไดมการพฒนาซอฟตแวรคอมพวเตอรเพอเปน

เครองอานวยการการเรยนรแกผเรยน โดยเฉพาะในสวนของพชคณต ซงซอฟตแวรคอมพวเตอรทดจะ

ชวยใหนกเรยนสามารถสรางกราฟของสมการ และวดขนาดสวนของเสนตรง สวนโคง และมมไดอยาง

รวดเรวถกตอง ทงยงชวยให นกเรยนสรางรปสองมตและสามมตบนหนาจอแลวพลก หมน หรอเลอน

รปในมมมองตางๆ ทากจกรรมการสารวจดวยการพลก เลอน หมน ยด หด เพอนกเรยนสามารถมอง

ความสมพนธของรปแบบกราฟตางๆ

ดวยเหตผลขางตนและความสาคญดงกลาว จะเหนวาเรองฟงกชนตรโกณมตเปนเนอหา

หนงทมความสาคญและมประโยชนตอการเรยนการสอนคณตศาสตร ดงนน เพอเปนแนวทาง

สาหรบครผสอนในการจดการเรยนการสอน ผวจยจงสนใจจะสรางชดกจกรรมการเรยนการสอนเรอง

ฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

วตถประสงค เพอใหครใชเปนเครองมอในการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

เนอหา

ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ประกอบดวย 7 หนวยการเรยน ดงน

หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง เวลา 2 คาบ

หนวยท 3 ฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 1 คาบ

หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 4 คาบ

หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ เวลา 2 คาบ

หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม เวลา 3 คาบ

หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต เวลา 4 คาบ

แนวทางการใชกจกรรม

ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ประกอบดวย

1. คาชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

2. คมอการใชโปรแกรม C.a.R.

3. แผนการจดการเรยนร

4. สอการเรยนการสอน ซงประกอบดวย

4.1 ใบกจกรรม

4.2 แฟมคาสง

5. แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

6. แบบวดความพงพอใจ

ในการใชกจกรรมตางๆ ใหปฏบตตามแผนการจดการเรยนรและฝกทกษะตามใบกจกรรม

โดยแตละกจกรรมจะใชแฟมคาสงรวมกบใบกจกรรมทสรางขน เมอเสรจสนการเรยนการสอนให

นกเรยนทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต และทาแบบวดความพง

พอใจ

แผนการสอน แผนการ

จดการเรยนร เรอง

จานวนคาบ (คาบ)

1 ทบทวนความรเดมเรองอตราสวนตรโกณมต 1

2 การวดมม

- หนวยของมมเปนองศา

- หนวยของมมเปนเรเดยน

3 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง

- ระยะทางและการวดระยะทาง

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเตม π

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 2π

กรณท 4 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 6π และ

4 ฟงกชนไซนและโคไซน 1

5 คาของฟงกชนไซนและโคไซน

- คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน

- คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใดๆ

6 ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ - คาของฟงกชนตรโกณมตอน ๆของจานวนจรงบางจานวน

- คาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ 2

7 ฟงกชนตรโกณมตของมม 3

8 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

- กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x) - กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ 0k ≠

- กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ 0k ≠

- กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x+k) เมอ 0k ≠

- กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)+k เมอ 0k ≠

จดประสงคการเรยนร เรองฟงกชนตรโกณมต

หนวย การเรยน

เรอง จดประสงคการเรยนร

1 ทบทวนความรเดมเรองอตราสวน

ตรโกณมตและการวดมม

1. นกเรยนสามารถบอกความแตกตาง

ระหวางหนวยการวดมมองศากบเรเดยน

2. นกเรยนเขยนอตราสวนตรโกณมตได

2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง 1. นกเรยนสามารถบอกนยามของวงกลมหนง

หนวยไดอยางถกตอง

2. นกเรยนสามารถวดความยาวสวนโคงได

อยางถกตอง

3. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงของจดปลาย

สวนโคงไดอยางถกตอง

3 ฟงกชนไซนและโคไซน 1. นกเรยนสามารถบอกนยามของฟงกชนไซน

และโคไซนได

2. นกเรยนสามารถหาโดเมนและเรนจของ

ฟงกชนไซนและโคไซนได

3. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวน

โคงได

4 คาของฟงกชนไซนและโคไซน 1. นกเรยนสามารถบอกคาฟงกชนไซนและ

โคไซนของจานวนจรงพนฐานได

2. เมอกาหนด sin θ หรอ cos θ นกเรยน

สามารถหาจานวนจรง θ ได

3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนไซนและ

โคไซนของจานวนจรง θ ใดๆ โดยอาศยคา

ของจานวนจรงพนฐานได

4. เมอกาหนดฟงกชนไซนหรอโคไซนให

นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนทเหลอ

โดยอาศยความสมพนธของฟงกชนทงสองได

5 ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ 1. นกเรยนสามารถบอกความสมพนธของ

ฟงกชนตรโกณมตอนๆ ได

2. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชน

ตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงพนฐานได

3. เมอกาหนดฟงกชนตรโกณมตฟงกชนใด

ฟงกชนหนงนกเรยนสามารถหาคาของ

ฟงกชนทเหลอโดยอาศยความสมพนธของ

ฟงกชนเหลานนได

6 ฟงกชนตรโกณมตของมม 1. นกเรยนสามารถบอกความสมพนธของมม

ทมหนวยเปนองศาและเรเดยนได

ตรโกณมตของมมพนฐานได

ตรโกณมตของมม θ เมอ θ > 90° โดย

อาศยคาของฟงกชนตรโกณมตพนฐานได

ตรโกณมตของมม -θ เมอ θ > 0° โดย

อาศยคาของฟงกชนตรโกณมตพนฐานได

5. เมอกาหนดรปสามเหลยมมมฉากพรอม

บอกมม 1 มม และดาน 1 ดานนกเรยน

สามารถหาความยาวของดานทเหลอได

ตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก

เมอกาหนดคาของฟงกชนตรโกณมตคา

หนงใหได

7. นกเรยนสามารถอานและหาคาของฟงกชน

ตรโกณมตทงทมอยในตารางและไมอยใน

ตารางได

7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชน

ตรโกณมตทกาหนดใหได

2. นกเรยนสามารถบอกโดเมนและเรนจของ

ฟงกชนตรโกณมตทกาหนดใหได

3. นกเรยนสามารถหาคาคาบและแอมพลจด

ของฟงกชนตรโกณมตได

คมอการใชโปรแกรม C.a.R.

จดทาโดย

นายปณยพล จนทรฝอย

คมอการใชโปรแกรม C.a.R.

บทนา ซอฟตแวร C.a.R. เปนโปรแกรมซงอนญาตใหใชและเผยแพรไดโดยไมเสยคาใชจาย และม

สมบตเบองตนของซอฟตแวรเรขาคณตพลศาสตรเพยงพอ C.a.R. เปนซอฟตแวรทพฒนาขนโดย

ศาสตราจารย ดร.เรอเน โกรธมนน (Prof.Dr.Rene Grothmann ) ชาวเยอรมน โดยมวตถประสงค

สาหรบนกเรยนตงแตชนประถมศกษาจนถงระดบสงรวมทงผใหญ การใชโปรแกรมสามารถใชไดดวย

การคลกเมาสและลากเมาส หรอใชคาสงเปนขอความโดยตรง นอกจากนผสอนยงสามารถออกแบบ

การบานใหนกเรยนสราง โดยโปรแกรมจะแจงใหรเมอทาไดถกตอง จดเดนอกประการหนงคอสามารถ

นาเสนอในรป HTML ไดสะดวกเนองจากเปนโปรแกรมทพฒนาดวยภาษา JAVA

แหลงทมาของโปรแกรม C.a.R. ในทนผวจยจะขอนาเสนอตงแตทมาของโปรแกรมวามาอยางไรและตดตงอยางไร เพอเปน

ประโยชนตอนกเรยนและผทสนใจทจะศกษาโปรแกรมโปรแกรม C.a.R. ไดนาไปใชใหเปนประโยชนตอ

การเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยปฏบตตามขนตอนดงน

ขนตอนท 1 เขาไปในเวบไซด www.z-u-l.de จะปรากฏภาพหนาจอดงรปขางลาง

ขนตอนท 2 เมอเขาเวบไซดแลวใหทาการเลอกภาษาทเราตองการ ในทนผวจยเลอกเขาเวบ

ไซด ดวยภาษาองกฤษ เมอทาการคลกทคาวา English แลวจะปรากฏหนาจอท 2 ดงรป

ขนตอนท 3 หลงจากทเราไดเขามาในหนาท 2 แลวจากนนเราจะทาการ Download

โปรแกรม โดยใชเมน Download ทอยทางดานซายของรปขางบน ใหทาการคลกเขาไปแลวจะปรากฏ

หนาจอ ดงน

ขนตอนท 4 เมอทาตามขนตอนท 3 เสรจแลวจากนนกเปนการ Download โปรแกรม ซง

จากรปขางบนจะเหนหวขอ Download and Installation ในทนใหทาการคลกไปทหวขอ Windows

เพยงเทานเรากสามารถ download โปรแกรมนไปใชได แตกอนอนหากเครองคอมพวเตอรของทานม

ระบบ JAVA ในเวอรชนทตากวา 1.4 เรากสามารถ download ไดโดยเลอกไปทหวขอ Prerequisites

แลวกดคลกเขาไปท More information about JAVA

เมอเราทาการคลกไปท Windows แลวกจะปรากฏหนาจอ ดงภาพขางลาง

จากนนเรากทาการ save แลวกลงโปรแกรม เทานกสามารถใชงานโปรแกรมโปรแกรม C.a.R.

(C.a.R.)

ซอฟตแวรเรขาคณตพลศาสตร C.a.R.

อปกรณทจาเปนสาหรบการใช C.a.R. ประกอบการเรยนตามบทเรยน มดงน

1. เครองคอมพวเตอรสวนบคคล พรอมทงคยบอรด เมาส และจอภาพส

2. เครองเลนแผนบนทก 3.5 นว ( 3.5 Floppy Disk Drive ) หรอเครองเลนแผน CD

3. ฮารดดสก ( Hard Disk ) ขนาดไมนอยกวา 4 GB.

4. แผนบนทก 3.5 นว หรอ แผน CD ทมไฟลทใชตามทระบในใบกจกรรม

5. ระบบปฏบตการ Microsoft Window xp หรอรนใหมกวา

6. สนบสนนเวอรชนตงแต JAVA 1.4 ขนไป

การใชงานเบองตน คาอธบายเกยวกบ Icon bar

เครองมอพนฐาน

เปนจดทสามารถเคลอนไหวไดอยางอสระ และสามารถกาหนดพกดจดได

ตามทตองการ

เปนจดทสรางขนบนวงกลม หรอ บนเสน หรอ สวนของเสนตรง หรอ รงส

การสรางเสนตรงผานจดสองจด

การสรางสวนของเสนตรงระหวางจดสองจด

การสรางรงสจากจดหนงผานอกจดหนง

การสรางวงกลมรอบจด และผานจดๆ หนง

การสรางจดตดระหวางสง 2 สง ไมวาจะเปนวงกลม,เสนตรง,รงส เปนตน

การสรางเสนขนานผานจดๆ หนง

การสรางเสนตงฉากผานจดๆ หนง

การสรางวงกลมรอบจด โดยมรศมเทากบระยะทางระหวางจดสองจด

การสรางวงกลมรอบจด โดยสามารถกาหนดรศมของวงกลมไดตามตองการ

เคลอนไหวจด

ใชในการวดมมของจดสามจด

ใชในการสรางคาพารามเตอร

ใชในการซอนวตถทตองการ

ใชในการแสดงวตถทถกซอนทงหมด

ใชในการวาดกราฟของฟงกชนทวๆ ไป

ใชในการลบการสรางในขนตอนสดทาย

ใชในการลบวตถ (ควรระวงในการใช)

ใชในการเรยกคนสงทถกลบกอนหนาน

ใชในการเปลยนลกษณะของจด

ใชในการเปลยนลกษณะของเสน

ใชในการแสดงกรด

ตวอยางการใชงานโปรแกรมโปรแกรม C.a.R. ตวอยาง 1 การแบงครงมม เมอกาหนดมมๆ หนงมาให

ในตวอยางท 1 เปนการแบงครงมม จากมมทกาหนดให โดยใชชดคาสงทอยในการใชงาน

เบองตน ซงสามารถทาการสรางไดตามขนตอนดงน

จากรปขางบนจะเหนวาโจทยกาหนดมมมาใหหนงมม ซงเราสามารถทาการแบงครงมมไดดงน

ขนท 1 ใหใชคาสง ในการสรางวงกลมรอบจดกงกลางของมมทกาหนดให โดยกาหนด

รศมพอประมาณ จะไดดงน

ขนท 2 จากขนตอนท 1 จะเหนวาเมอเราสรางรปวงกลมแลว รปวงกลมจะตดกบสวนของ

เสนตรงอย 2 เสน ใหเราใชคาสง ในการสรางจดตดทเกดขนระหวางรปวงกลมกบสวนของ

เสนตรงทง 2 เสน ใหเปนชอ I1,I2 ดงน

ขนท 3 ใหใชคาสง เพอสรางวงกลมโดยเรมจากให I1 เปนจดศนยกลางของวงกลม

โดยมรศมเทากบระยะทางจากจด I1 ไปยง I2 จากนนกให I2 เปนจดศนยกลาง สรางวงกลมรศมเทา

เดม จะไดดงรปตอไปน

ขนท 4 สรางจดตดทเกดขนจากวงกลมทง 2 วง โดยใชคาสง ดงรป

ขนท 5 ใชคาสง ในการสรางรงสจากจดกงกลางมม ผานจด I3 ถาทาถกโปรแกรมก

จะทาการตอบสนองทนท แตถาทาไมถกโปรแกรมกจะไมทาการตอบสนองซงแสดงวาทาผดหรอ

อาจจะมตาแหนงไหนทเราวางไดไมพอดกบวตถ ดงรป

ตวอยางท 2 การสรางมมใหมขนาดเทากบ 60 องศา จากสวนของเสนตรงทกาหนดให ดงรป

ขนท 1 ใหจด P1 เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยใชคาสง กาหนดใหวงกลมมรศม

เทากบระยะทางจากจด P1 ไปยงจด P2 ดงรป

ขนท 2 ใหจด P2 เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยใชคาสง กาหนดใหวงกลมมรศมเทากบ

ระยะทางจากจด P1 ไปยงจด P2 ดงรป

ขนท 3 สรางจดตดของวงกลมทง 2 วง โดยใชคาสง โดยใหจดตดมชอวา I1 ดงรป

ขนท 4 ใชคาสง ในการสรางรงสจากจด P1 ผานจด I1 และสรางรงสจากจด P2

ผานจด I1 ถาทาถกตองโปรแกรมกจะทาการตอบสนองทนท ดงรป

ตวอยางท 3 การสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมต สามารถสรางไดโดยปฏบตดงรป

ขนท 1 ใชคาสง เพอกาหนดฟงกชนและกาหนดคาพารามเตอรของคา x ดงรป

ขนท 2 กาหนดฟงกชนทตองการสรางกราฟ (ในทนผวจยจะสาธตการสรางกราฟ rsin(x))

จากนนกกาหนดคาพารามเตอรหรอคา x (ผวจยกาหนดคา x จาก -2pi ถง 2pi) ดงรป

ขนท 3 เมอทาการกาหนดฟงกชนและคาพารามเตอรเสรจแลว ใหคลกทปม OK กจะได

กราฟของฟงกชนปรากฏดงรปตอไปน

หมายเหต : ในการสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมตเราตองพมพ r นาหนาฟงกชนตรโกณมต

เชน rsin(x), rcos(x), rtan(x) เพราะคาพารามเตอรหรอคา x ทเรากาหนดขอบเขต

นนมหนวยเปนเรเดยน ดงนนจงตองใส r นาหนาเสมอ

การเขาสบทเรยน การเขาสบทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต มขนตอนดงน

1. ใสแผน CD ทมแฟมคาสงเกยวกบชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต

2. ดบเบลคลกท My Computer

3. ดบเบลคลกทเครองเลนแผน CD

4. คดลอกโฟลเดอร กจกรรมการเรยน ไวใน Desktop

(ในทนผวจยจะใหนกเรยนคดลอกทละหนวยการเรยน)

5. ดบเบลคลกท กจกรรมการเรยน แลวคลกทคาวา เมนหลก จะปรากฏหนาจอ

ดงรป

6. ดบเบลคลกท เมนหลก จะปรากฏหนาจอ ดงน

7. คลกท สารบญ เพอเขาสกจกรรม ซงภายในสารบญกจะมกจกรรมทจะใหนกเรยนปฏบต

ทงหมด 7 หนวย ดงรปทปรากฏ

8. เลอกเรองทตองการทาชดกจกรรมการเรยนการสอน เชน กจกรรมการเรยนในหนวยท 2

กจกรรมท 1.2 เรองการวดมมทมหนวยเปนเรเดยน

9. เลอกทหนวยท 4 กจกรรมท 4.2 เลอกกรณท 1 จะไดชดกจกรรมการเรยนการสอน ดงรป

ทกลาวมาเปนตวอยางทมอยในชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. หากนกเรยนหรอผสนใจปฏบตตามคมอการใชงาน กจะชวยใหทานสามารถใช

กจกรรมไดอยางสะดวก

ภาคผนวก ง แผนการจดการเรยนรเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

หนวยท 1 ทบทวนความรเดมเรองอตราสวนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 1

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ทบทวนความรเดมเรองอตราสวนตรโกณมต จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

รปสามเหลยมมมฉาก คอ รปสามเหลยมทมมมหนงมมเทากบ 90 องศา สวนประกอบของรปสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนพจารณารปสามเหลยมมมฉากตอไปน

จากรป Δ ABC ทกาหนดให ทมมม A เปนมมแหลม มสวนประกอบดงน

ให a แทนความยาวสวนของเสนตรง BC ให b แทนความยาวสวนของเสนตรง AC ให c แทนความยาวสวนของเสนตรง AB จะไดวา

สวนของเสนตรง AC คอ ดานประชด (adjacent side) ของมม A

สวนของเสนตรง BC คอ ดานตรงขาม(opposite side)ของมม A

สวนของเสนตรง AB คอ ดานตรงขามมมฉาก (hypotenuse) ซงแตละดานมสมบตดงน 22 bca −= หรอ 222 bca −=

22 acb −= หรอ 222 acb −=

22 bac += หรอ 222 bac += จากสมบตขางบนจะเหนวาดานตรงขามมมฉากจะเปนดานทยาวทสด ซงสมบตนเรา

เรยกวา “ทฤษฎบทพทาโกรส”

อตราสวนตรโกณมต คอ อตราสวนของความยาวดานแตละดานของรปสามเหลยมมมฉาก ซงมทงหมด 6 อตราสวน ดงน (ในทนเราจะวดจากมม A เปนหลก) จากรปสามเหลยมมมฉากขางตนเราสามารถเขยนอตราสวนของดานแตละดานไดดงน

1. อตราสวน ca เราเรยกวา ไซน (sine)ของมม A

2. อตราสวน cb เราเรยกวา โคไซน (cosine) ของมม A

3. อตราสวน ba เราเรยกวา แทนเจนต (tangent) ของมม A

4. อตราสวน ac เราเรยกวา โคเซแคนต (cosecant) ของมม A

5. อตราสวน bc เราเรยกวา เซแคนต (secant) ของมม A

6. อตราสวน ab เราเรยกวา โคแทนเจนต(cotangent) ของมม A

ซงอตราสวนทง 6 เรานยมเขยน ดงน sin A อานวา ไซน - เอ แทน ไซน ของมม A (sine of A)

cos A อานวา โคไซน - เอ แทน โคไซน ของมม A (cosine of A)

tan A อานวา แทนเจนต - เอ แทน แทนเจนต ของมม A (tangent of A)

csc A อานวา โคเซแคนต - เอ แทน โคเซแคนต ของมม A (cosecant of A)

sec A อานวา เซแคนต - เอ แทน เซแคนต ของมม A (secant of A)

cot A อานวา โคแทนเจนต - เอ แทน โคแทนเจนต ของมม A (cotangent of A)

อตราสวนทง 6 นเราเรยกวา “อตราสวนตรโกณมต” 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกสวนประกอบของรปสามเหลยมมมฉากไดถกตอง 2. นกเรยนสามารถเขยนอตราสวนตรโกณมตไดอยางถกตอง

I2A BI1

I2A BI1 FE

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร การสรางรปสามเหลยมมมฉากมขนตอนดงน

ขนท 1 กาหนดสวนของเสนตรง AB ดงรป ขนท 2 สรางเสนตรงผานจด A และ B ทกาหนดใหโดยใชคาสง ดงรป

ขนท 3 สรางวงกลมตดเสนตรงโดยให B เปนจดศนยกลาง โดยใชคาสง จะไดจดตดสองจดคอ I1 และ I2 ดงรป

ขนท 4 ใหจดตด I1 และ I2 เปนจดศนยกลางเพอสรางวงกลม โดยทรศมทงสอง เทากน โดยใชคาสง ดงรป

I2A BI1 FE

ขนท 5 กาหนดจดตด แลวสรางเสนตรงผานจดตด โดยใชคาสง ดงรป ขนท 6 ลากสวนของเสนตรง AC โดยใชคาสง ดงรป จะไดรปสามเหลยมมมฉาก ABC โดยทมมม B เปนมมฉาก จะไดวารป ΔABC มสวนประกอบดงน (ยดมม A เปนหลก)

สวนของเสนตรง AB คอ ดานประชด (adjacent side) ของมม A

สวนของเสนตรง BC คอ ดานตรงขาม (opposite side) ของมม A

สวนของเสนตรง CA คอ ดานตรงขามมมฉาก (hypotenuse) 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 1.1 เรองทบทวนความรเดมเกยวกบอตราสวนตรโกณมต 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม

5. กจกรรมการเรยนร 1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองอตราสวนตรโกณมตทนกเรยนไดเรยนในชนมธยมศกษาปท 3 ดงน - ครอธบายวาอตราสวนตรโกณมตทนกเรยนไดเรยนผานมาแลวเปนการศกษาเกยวกบรปสามเหลยมมมฉาก โดยนยามไซนและโคไซนดวยอตราสวนของความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก - ครถามนกเรยนวานยามของไซนและโคไซนเปนอยางไร - ครถามนกเรยนวาคาของไซนและโคไซนของมมในรปสามเหลยมมมฉากมอะไรบาง 2. ครแนะนานกเรยนเกยวกบการใชงานของคาสงตางๆ ทใชในกจกรรมท 1.1 โดยการสาธตและใหนกเรยนปฏบตตาม 3. ครเปดโอกาสใหนกเรยนถามสงทไมเขาใจเกยวกบการใชงานของคาสงตางๆ 4. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 1 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 1.1 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 5. ใหนกเรยนทากจกรรมท 1.1 โดยใชคอมพวเตอร และครใชกจกรรมเปนเครองมอในการสอน โดยใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามไปดวย สงทสาคญคอครจะตองชแจง และแนะนานกเรยนใหปฏบตกจกรรมไดอยางถกตอง แลวตอบคาถามลงในใบกจกรรมท 1.1

6. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมท 1.1 และทาใบกจกรรมท 1.1 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมท 1.1 ทางคอมพวเตอร

7. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมท 1.1 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรมท 1.1 - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 1.1 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 1.1

หนวยท 1 ทบทวนความรเดมเรองอตราสวนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 2

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง การวดมม จานวน 1 คาบ

การวดมม ในการวดมม หนวยของมมทเกดจากการวดจะม 2 ลกษณะ 1. หนวยของมมเปนองศา 2. หนวยของมมเปนเรเดยน 1. หนวยของมมเปนองศา

องศา (degree) คอ หนวยวดมมชนดหนงบนระนาบสองมตโดยกาหนดใหมม ทเกดขนจากการหมนแขนขางหนงของมมครบหนงรอบ มคาเทากบ 360 องศา ซงหนงองศา แทนการกวาดมมรอบจดศนยกลางของวงกลมไปได 1 สวน ใน 360 สวนและเมอมมนนอางองกบเสนเมอรเดยน องศาจะแสดงใหเหนถงตาแหนงตางๆ บนวงกลมใหญของทรงกลม อยางทมการใชอางองตาแหนงบนโลก ดาวองคาร หรอทรงกลมทองฟา เปนตน สญลกษณทใชแทนองศา คอ "๐" และเปนหนวยเดยวทเวลาเขยนไมตองเวนวรรคระหวางตวเลขกบสญลกษณ เชน 15° แทน มมขนาด 15 องศา ซงหนวยการวดทเปนองศามรปแบบการวด 2 ลกษณะ คอ 1.1 การวดมมในทศทางทวนเขมนาฬกา การวดมมในลกษณะนเหมอนกบการหมนสวนของเสนตรง AC รอบจด A ไปในทศทางทวนเขมนาฬกาจนถงสวนของเสนตรง AB ดงรป เราเรยก สวนของเสนตรง AC วาเปน ดานเรมตน (initial side) ของมม

สวนของเสนตรง AB วาเปน ดานสนสด (terminal side) ของมม

จด A วาเปน จดยอด (vertex) ของมม เรยกมมทเกดขนวา CAB หรอมม A และใชสญลกษณ BAC หรอ A

1.2 การวดมมในทศทางตามเขมนาฬกา การวดมมในลกษณะนเหมอนกบการหมนสวนของเสนตรง AC รอบจด A ไปในทศทางตามเขมนาฬกาจนถงสวนของเสนตรง AD ดงรป

เราเรยก สวนของเสนตรง AC วาเปน ดานเรมตน (initial side) ของมม

สวนของเสนตรง AD วาเปน ดานสนสด (terminal side) ของมม

จด A วาเปน จดยอด (vertex) ของมม เรยกมมทเกดขนวา CAD หรอมม A และใชสญลกษณ DAC หรอ A ในการบอกทศทางของการวดมมนน เราจะใชเครองหมายเปนตวบงบอกถงทศทางของการวด ซงเปนขอตกลงทมกนมาชานาน เชน °−= 45A ถามเครองหมายลบ แสดงวา วดในทศทางตามเขมนาฬกา และ ขนาดของมมเทากบ °45 °= 45A ถาไมมเครองหมายลบ แสดงวา วดในทศทางทวนเขมนาฬกา และ ขนาดของมมเทากบ °45 หนวยทเปนองศานนยงสามารถแบงเปนหนวยยอยๆ ไดอกดงน 1 องศา เทากบ 60 ลปดา (minute) เขยนไดดงน

061 ′=° 1 ลปดา เทากบ 60 พลปดา (second) เขยนไดดงน

061 ′′=′ 2. หนวยของมมเปนเรเดยน หนวยการวดมม 1 เรเดยน (radian) คอ มมทศนยกลางของวงกลมซงรองรบสวนโคงของวงกลมทมความยาวเทากบรศมของวงกลมนน ใชสญลกษณ “rad” หรออกษร c ตวเลกทยกสงขน(มาจาก circular measure) ซงมกไมนยมใชมากเทาทควร ตวอยางเชน มมขนาด 1.2 เรเดยน สามารถเขยนไดเปน “1.2 rad” หรอ “ c1.2 ”

ให C เปนวงกลมทม O เปนจดศนยกลาง และรศมเทากบ r ดงรป จากรป θ เปนมมทจดศนยกลางของวงกลมทมรศม r หนวย (ในทน r = 1 หนวย)ซงมสวนโคงของวงกลมทยาว a หนวย รองรบมม ดงกลาว ถาเราตองการวดมม θ หรอมม BOA ใหมหนวยเปนเรเดยน เราสามารถกระทาดงน

θ = = ra เรเดยน

จากการนยาม หนวยของมมในระบบเรเดยน จะไดวา เพอความสะดวกในการเปรยบเทยบ เราจะพจารณาในกรณทความยาวของ a เทากบความยาวเสนรอบวง นนคอ a = πr2

ดงนน θ = π2rπr2

= เรเดยน

แตเนองจากในทนเรากาหนดใหวงกลมมรศม r = 1 ดงนนเราสามารถสรปไดทนทเลยวา “มมทจดศนยกลางของวงกลมทมรศมหนงหนวย ซงรองรบสวนโคงของวงกลมทยาว a หนวย จะมขนาดเทากบ a เรเดยน หรอ θ = a เรเดยน นนเอง” จากขางตนน เราสามารถนามาสรปได ดงน ( π ≈ 3.14159) 360 องศา เทยบเทากบ π2 เรเดยน หรอ 180 องศา เทยบเทากบ π เรเดยน

ดงนน 1 องศา เทยบเทากบ 180π เรเดยน ≈ 0.01745 เรเดยน

และ 1 เรเดยน เทยบเทากบ π

180 องศา ≈ 57.295๐ หรอ 57๐18′

มมทขนาด 1 เรเดยน คอ มมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบสวนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน

ปจจบนนเรเดยนเปนหนวยพนฐานของการวดมมในวชาคณตศาสตร และสญลกษณ "rad" มกจะถกละไวในการเขยน นพจนทางคณตศาสตรตางๆ เมอใชหนวยองศาจะใชสญลกษณวงกลมเลก ° เพอใหเหนความแตกตางระหวางองศากบเรเดยน 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกความแตกตางของหนวยการวดไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถเปรยบเทยบหนวยการวดทเปนองศากบเรเดยนไดอยางถกตอง

3. สาระการเรยนร ในการวดมม หนวยของมมทเกดจากการวดจะม 2 ลกษณะ

1. หนวยของมมเปนองศา 2. หนวยของมมเปนเรเดยน

1. หนวยของมมเปนองศา องศา (degree) คอ หนวยวดมมชนดหนงบนระนาบสองมตโดยกาหนดใหมมท

เกดขนจากการหมนแขนขางหนงของมมครบหนงรอบ มคาเทากบ 360 องศา สญลกษณทใชแทนองศา คอ "๐" และเปนหนวยเดยวทเวลาเขยนไมตองเวนวรรคระหวางตวเลขกบสญลกษณ เชน 15° แทน มมขนาด 15 องศา ซงหนวยการวดทเปนองศามรปแบบการวด 2 ลกษณะ คอ 1. การวดมมในทศทางทวนเขมนาฬกา 2. การวดมมในทศทางตามเขมนาฬกา

2. หนวยของมมเปนเรเดยน หนวยการวดมม 1 เรเดยน (radian) คอ มมทศนยกลางของวงกลมซงรองรบสวนโคงของวงกลมทมความยาวเทากบรศมของวงกลมนน ใชสญลกษณ “rad” หรออกษร c ตวเลกทยกสงขน(มาจาก circular measure) ซงมกไมนยมใชมากเทาทควร ตวอยางเชน มมขนาด 1.2 เรเดยน สามารถเขยนไดเปน “1.2 rad” หรอ “ c1.2 ”

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 1.2 เรองทบทวนความรเดมเกยวกบการวดมม 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครถามทบทวนนกเรยนวานกเรยนรจกหนวยของการวดมมอะไรบาง 2. ครอธบายถงเนอหาทจะสอนอยางคราวๆ กอนแลวจงใหนกเรยนทากจกรรมในคอมพวเตอร

โดยครกลาววา การวดมมทนกเรยนจะเรยนในระดบนมดวยกน 2 ประเภท คอ

- การวดมมทมหนวยเปนองศา - การวดมมทมหนวยเปนเรเดยน 3. ครใหนกเรยนเปดกจกรรมท 1.2 ในเครองคอมพวเตอร พรอมทงแจกใบกจกรรมท 1.2 4. ครใหนกเรยนทาการศกษาการวดมมทมหนวยเปนองศาโดยนกเรยนจะตองใชกจกรรม

คอมพวเตอรหนวยท 1 เรองการวดมม ซงนกเรยนสามารถทาการหมนและเคลอนไหวภาพไดดวยตวเอง โดยครใหนกเรยนทาการสงเกตลกษณะของมมทมการหมนในทศทางทวนเขมนาฬกาและการหมนในทศทางตามเขมนาฬกาวามลกษณะแตกตางกนอยางไร แลวใหนกเรยนเตมคาตอบลงในใบกจกรรม

5. เมอนกเรยนทาการศกษาการวดมมทมหนวยเปนองศาเสรจแลว กใหนกเรยนทากจกรรมการวดมมทมหนวยเปนเรเดยนตอ

6. ครถามนกเรยนวาการวดมมทมหนวยเปนองศากบการวดมมทมหนวยเปนเรเดยนนนแตกตางกนอยางไร แลวครทาการสรป

7. ครใหนกเรยนทาแบบฝกหดเรองการเปรยบเทยบหนวยการวดทมอยในใบกจกรรมท 1.2 ถานกเรยนทาภายในหองไมเสรจกใหกลบไปทาตอเปนการบาน

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการณใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 1.2 ได ถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง แผนการจดการเรยนรท 3

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง จานวน 1 คาบ

วงกลมหนงหนวย วงกลมหนงหนวย (unit circle) หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย ซงวงกลมนเปนกราฟของความสมพนธ

{(x,y) ∈ R x R | x2 + y2 = 1}

เมอกาหนดจานวนจรง θ (theta อานวา ท-ตา) ให จากจด (1, 0) วดระยะไปตามสวนโคง

ของวงกลมหนงหนวยใหยาว | θ | หนวย จะถงจด (x, y) ซงอยบนวงกลมหนงหนวย โดยมขอตกลงสาหรบทศทางของการวดดงน

ถา θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด (1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา

ถา θ < 0 จะวดสวนโคงจากจด (1, 0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกา

ถา θ = 0 จดปลายสวนโคงคอจด (1, 0)

θ > 0 θ < 0 รปตอไปนแสดงตาแหนงของจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวยเมอกาหนดใหมคาตางๆ กน ดงรป

จะเหนวา เมอกาหนดจานวนจรง θ ให จะสามารถหาจด (x, y) ซงเปนจดปลายสวนโคงทยาว |

θ | หนวยไดเสมอ ไมวา θ จะเปนจานวนเทาใดไดเพยงจดเดยวเทานน ถา | θ | > 2π แสดงวา วดสวน

โคงเกน 1 รอบ เพราะเสนรอบวงของ วงกลมหนงหนวย ยาว 2π เรเดยน

*ขอสงเกต* มมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน เปนมมทมขนาดเทากบ 1 เรเดยน ดงรปตอไปน

จากรปวงกลมมรศมยาว r หนวย ความยาวสวนโคงยาว r หนวย จะเรยก θ วามมทมขนาด 1 เรเดยน

ระยะทางและการวดระยะทาง ในทนจะใหนกเรยนไดฝกวดความยาวสวนโคง หรอ ศกษาเสนรอบวงแลวพจารณาวา จดปลายสวนโคงนนอยตรงไหน กอนอนใหพจารณาวงกลมหนงหนวยวาแบงไดกสวนเพอพจารณาความยาวของเสนรอบวง เนองจากวงกลมหนงหนวยมรศม 1 หนวย (r = 1) ดงนน

ความยาวของเสนรอบวง = 2π เรเดยน จากรปถาแบงวงกลมออกเปน 4 สวน ดงน

หนงสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π241× =

2π เรเดยน

สองสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π242× = π เรเดยน

สามสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π243× =

2π3 เรเดยน

สสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π244× = π2 เรเดยน

หลงจากพจารณาในรปวงกลมหนงหนวยขางตนแลว เราจะเหนวาแตละสวนของความยาวของเสนรอบวงเทากบเทาไร ตอไปนเราจะทาการศกษาระยะทางและจดปลายของสวนโคง

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ π (จดปลายของสวนโคงจะตกลงบนแกน x) กรณน แบงวงกลมออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยใชแกน x เปนตวแบงวงกลม ซงความยาวสวน

โคงของครงวงกลมกคอ π เรเดยน แลวพจารณาจดปลายของสวนโคงทตกลงบนแกน x ดงน

พจารณา θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เรยกจด (x, y) วา

เปนจดปลายสวนโคงทมความยาวสวนโคง π เรเดยน เขยนแทนดวย p(θ) = (x, y) ดงรป

วดความยาวสวนโคงในทศทางทวนเขมนาฬกาจากจด A ไปยงจด B ไดระยะทาง π เรเดยน

จากจด B วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด C ไดระยะทางจาก A ถง C เทากบ 2π เรเดยน

และ จากจด C วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด D ไดระยะทางจาก A ถง D เทากบ 3π เรเดยน

และ จากจด D วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด E ไดระยะทางจาก A ถง E เทากบ 4π เรเดยน

ในทานองเดยวกน เรากสามารถวดความยาวสวนโคงเมอ θ < 0 แตในทศทางตามเขมนาฬกา ไดดงน

วดความยาวสวนโคงในทศทางตามขมนาฬกาจากจด A ไปยงจด B ไดระยะทาง - π เรเดยน

จากจด B วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด C ไดระยะทางจาก A ถง C เทากบ - 2π เรเดยน

และ จากจด C วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด D ไดระยะทางจาก A ถง D เทากบ - 3π เรเดยน

และ จากจด D วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด E ไดระยะทางจาก A ถง E เทากบ - 4π เรเดยน ขอสงเกต ไมวาจะวดความยาวสวนโคงในทศทางทวนเขมนาฬกาหรอตามเขมนาฬกา จดปลายสวนโคง

ทตกลงบนแกนบวก X จะเปนจานวนเตมคของ π และจดปลายสวนโคงทตกลงบนแกนลบ X จะเปน

จานวนเตมคของ π เสมอ เราสามารถสรป จดปลายของสวนโคงทตกลงบนแกน X ใหอยในรปทวไป ไดดงน

จดปลายของสวนโคงทตกลงบนแกนบวก X คอ 2nπ เมอ n เปนจานวนเตม

จดปลายของสวนโคงทตกลงบนแกนลบ X คอ (2n – 1)π เมอ n เปนจานวนเตม

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 2π (จดปลายสวนโคงตกลงบนแกน y)

กรณน แบงวงกลมออกเปน 4 สวนเทากนโดยใชแกน x กบแกน y เปนตวแบงวงกลมหนง

หนวย ซงความยาวสวนโคงของแตละสวนใน 4 สวน กคอ 2π เรเดยน

เปนจดปลายสวนโคงทยาว 2π หนวย เขยนแทนดวย P(θ) = (x, y) ดงรป

วดความยาวสวนโคงจากจด A ไปยงจด B ความยาวสวนโคงเทากบ 2π เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด B ตอไปยงจด C ความยาวสวนโคงจาก A ถง C เทากบ 2π3 เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด C ตอไปยงจด D ความยาวสวนโคงจาก A ถง D เทากบ 2π5 เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด D ตอไปยงจด E ความยาวสวนโคงจาก A ถง E เทากบ 2π7 เรเดยน

วดความยาวสวนโคงจากจด A ไปยงจด C ความยาวสวนโคงเทากบ 2π

− เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด C ตอไปยงจด B ความยาวสวนโคงจาก A ถง B เทากบ 2π3

และ วดความยาวสวนโคงจากจด B ตอไปยงจด E ความยาวสวนโคงจาก A ถง E เทากบ 2π5

และ วดความยาวสวนโคงจากจด E ตอไปยงจด D ความยาวสวนโคงจาก A ถง D เทากบ 2π7

ขอสงเกต ใหนกเรยนจดจานวนเทาของ 2π อยในรปจานวนคละ คอ จานวนเตม π บวกหรอลบ

ดวย 2π ดงน

2πα = nπ +

2π โดยท n เปนจานวนเตม

เมอพจารณาเทอม nπ จะสามารถตอบไดทนทวาจดปลายสวนโคงนนตกทแกน X ใด

จากนนกบวกหรอลบดวย 2π นกเรยนกจะไดจดปลายสวนโคงทตกทแกนบวก Y หรอแกนลบ Y ได

อยางแนนอน 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกนยามของวงกลมหนงหนวยไดอยางถกตอง

2. นกเรยนสามารถวดความยาวสวนโคงไดอยางถกตอง 3. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงของจดปลายสวนโคงไดอยางถกตอง

3. สาระการเรยนร วงกลมหนงหนวย

วงกลมหนงหนวย (The unit circle) หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย ซงวงกลมนเปนกราฟของความสมพนธ

{(x,y) ∈ R x R | x2 + y2 = 1} ระยะทางและการวดระยะทาง

ในทนจะใหนกเรยนไดฝกวดความยาวสวนโคง หรอ ศกษาเสนรอบวงแลวพจารณาวา จดปลายสวนโคงนนอยตรงไหน กอนอนใหพจารณาวงกลมหนงหนวยวาแบงไดกสวนเพอพจารณาความยาวของเสนรอบวง

เนองจากวงกลมหนงหนวยมรศม 1 หนวย (r = 1) ดงนน

ความยาวของเสนรอบวง = 2π เรเดยน จากรปถาแบงวงกลมออกเปน 4 สวน ดงน

หนงสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π241× =

สองสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π242× = π เรเดยน

สามสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π243× =

2π3 เรเดยน

สสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π244× = π2 เรเดยน

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทา π (จดปลายของสวนโคงจะตกลงบนแกน X) กรณน แบงวงกลมออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยใชแกน x เปนตวแบงวงกลม ซง

ความยาวสวนโคงของครงวงกลมกคอ π เรเดยน

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 2π (จดปลายสวนโคงตกลงบนแกน y)

กรณน แบงวงกลมออกเปน 4 สวนเทากนโดยใชแกน x กบแกน y เปนตวแบง

วงกลมหนงหนวย ซงความยาวสวนโคงของแตละสวนใน 4 สวน กคอ 2π เรเดยน

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 2.1 เรองวงกลมหนงหนวย และ 2.2 เรองความยาวสวนโคงกรณท 1–2 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม

5. กจกรรมการเรยนร 1. ครถามทบทวนนกเรยนเรองวงกลม ทนกเรยนเคยไดเรยนในชนมธยมศกษาปท 3 โดย

ครถามวา - วงกลมคออะไร มสมการในรปแบบใด (ใหนกเรยนตอบ) - วงกลมมพนทเทาไร และความยาวรอบรปวงกลมยาวเทาไร (ใหนกเรยนตอบ) 2. ครใหนกเรยนเปดกจกรรมหนวยท 2 แลวเลอกทกจกรรม เรองวงกลมหนงหนวย พรอมทง

แจกใบกจกรรมท 2.1 เรองวงกลมหนงหนวย ใหนกเรยน 3.ครใหนกเรยนทาการสรางวงกลมโดยมยาวเทาใดกไดตามความตองการของนกเรยน โดยใช

โปรแกรมคอมพวเตอร และใหนกเรยนทาการสงเกตสมการของวงกลมทนกเรยนสราง 4. ครถามวาจากการทนกเรยนไดทาการสรางวงกลม นกเรยนคดวาวงกลมหนงหนวยคออะไร

มสมการอยางไร แลวใหนกเรยนตอบคาถามลงในใบกจกรรมท 2.1 5. ครใหนกเรยนทาการศกษากจกรรมหนวยท 2 จากคอมพวเตอรเรองความยาวสวนโคง

โดยใหนกเรยนทาการศกษากรณท 1 พรอมทงแจกใบกจกรรมท 2.2 ซงการศกษากรณท 1 นนคร

ถามนกเรยนวาเนองจากวงกลมหนงหนวยนนมความยาวสวนโคงเทากบ 2π ถาเราทาการแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กนจะไดความยาวสวนโคงแตละสวนยาวเทาไร และจดตดทเกดบนแกน X นนมกจด(ใหนกเรยนตอบ) จากนนกใหนกเรยนทาการวดความยาวสวนโคงแลวใหนกเรยนสงเกตตาแหนงทจดปลายสวนโคงวาตกอยในแกน X ดานใด แลวสรป

6. ครใหนกเรยนทาการศกษากจกรรมหนวยท 2 จากคอมพวเตอรเรองความยาวสวนโคง โดยใหนกเรยนทาการศกษากรณท 2 พรอมทงแจกใบกจกรรมท 2.2 ซงการศกษากรณท 2 นนคร

ถามนกเรยนเนองจากวงกลมหนงหนวยนนมความยาวสวนโคงเทากบ 2π ถาเราทาการแบง ออกเปน 4 สวนเทาๆ กนจะไดความยาวสวนโคงแตละสวนยาวเทาไร และจดตดทเกดบนแกน X และแกน Y นนมกจด(ใหนกเรยนตอบ) จากนนกใหนกเรยนทาการวดความยาวสวนโคงแลวใหนกเรยนสงเกตตาแหนงทจดปลายสวนโคงวาตกอยในแกน X หรอแกน Y ดานใด แลวสรป

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 2.1 ได ถกตอง - ทาใบกจกรรมท 2.2 ได ถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 2.1 - ใบกจกรรมท 2.2

หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง แผนการจดการเรยนรท 4

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความยาวสวนโคงกรณท 3 และ 4 (ตอ) จานวน 1 คาบ

กรณนแบงวงกลมหนงหนวยออกเปน 8 สวนเทาๆ กน ซงความยาวสวนโคงในแตละสวน

เทากบ 4π เรเดยน เนองจากจดปลายของสวนโคงจะไมตกอยบนแกน X และแกน Y ดงนนเรา

จาเปนตองหาพกดของจดเสยกอน สมมตพกด C = (x, y) ซงเปนจดแบงครงของสวนโคง AG จะได ความยาวคอรด AC = ความยาวคอรด CG

( ) ( )22 01 −+− yx = ( ) ( )22 10 −+− yx ยกกาลง 2 ทงสองขาง พรอมทงกระจายกาลง 2 ออกมา 22 12 yxx ++− = 1222 +−+ yyx x = y ……………………… (1) และจด C(x, y) อยบนวงกลมทมสมการ เปน x2 + y2 = 1 ……………………… (2)

แทน y = x ลงในสมการท (2) จะได x2 + x2 = 1 2 x2 = 1

x2 = 21

แตเนองจาก C (x, y) อยในจตภาคท 1 ดงนน x เปนคาบวก

1 7071.0≈

พกด C = (2

นอกจากนเรายงสามารถหาพกดของจดทสมมาตรกบจด C ไดอก 3 จด คอ D ( -2

E ( -2

1 , -2

1 ) และ F ( 2

1 , - 2

จากขางตนจะเหนวาเราสามารถหาพกดของจดไดเปนทเรยบรอยแลว ตอมาเราจะมาหาจดปลาย

ของสวนโคงทเปนจานวนเทาของ 4π

เปนจดปลายสวนโคงทยาว 4π เรเดยน เขยนแทนดวย p(θ) = (x, y) ดงรป

จากจด A วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π เรเดยน

และตอ จากจด C วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π3

4ππ =− เรเดยน

และตอ จากจด D วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π5

4ππ =+ เรเดยน

และตอ จากจด E วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π7

4ππ2 =− เรเดยน

จากจด A วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π

4π0 −=− เรเดยน

และตอ จากจด F วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π3

4ππ0 −=+− เรเดยน

และตอ จากจด E วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π5

4ππ0 −=−− เรเดยน

และตอ จากจด D วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π7

ขอสงเกต ใหนกเรยนจดจานวนเทาของ 4π อยในรปจานวนคละ คอ จานวนเทาของ π บวกหรอลบ

4πα = nπ +

จากนนกบวกหรอลบดวย 4π นกเรยนกจะไดจดปลายสวนโคงตกทกงกลางระหวางแกนพกด

กรณนแบงวงกลมหนงหนวย ออกเปน 6 สวนและ 12 สวนเทาๆ กน ซงจะไดความยาวสวน

โคงในแตละสวนเทากบ 3π และ

6π ตามลาดบ เนองจากจดปลายของสวนโคงจะไมตกอยบนแกน X

และแกน Y ดงนนเราจาเปนตองหาพกดของจดเสยกอน การหาพกดของจดนนเราสามารถทาได เชนเดยวกนกบการหาพกดของจดในกรณท 3 ซงเราสามารถหาพกดของจดได ดงน

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเทากบ 6π จะไดพกดของจด คอ C = (

21 ), D (

− ,21 ),

− ,21

− ) และ F (23 ,

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเทากบ 3π จะไดพกดของจด คอ C = (

23 ), D (

− ,23 ),

− ,23

− ) และ F (21 ,

เมอเราไดพกดของจดในแตละกรณแลว ตอไปนเราจะมาพจารณาหาจดปลายของสวนโคง จะมความยาวสวนโคงเทาใด ดงน

พจารณากรณท 1 เมอ θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เรยก

จด (x, y) วาเปนจดปลายสวนโคงทยาว 6π เรเดยน เขยนแทนดวย p(θ) = (x, y) ดงรป

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π5

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π7

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π11

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π11

6πα = nπ +

จากนนกบวกหรอลบดวย 6π นกเรยนกจะไดจดปลายสวนโคงตกบนบรเวณระหวางแกนพกด

พจารณากรณท 2 เมอ θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เรยก

จด (x, y) วาเปนจดปลายสวนโคงทยาว 3π เรเดยน เขยนแทนดวย p(θ) = (x, y) ดงรป

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π5

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π5

3πα = nπ +

จากนนกบวกหรอลบดวย 3π นกเรยนกจะไดจดปลายสวนโคงตกบนบรเวณระหวางแกนพกด

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร

1. นกเรยนสามารถวดความยาวสวนโคงไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงของจดปลายสวนโคงไดอยางถกตอง

3. สาระการเรยนร

กรณนแบงวงกลมหนงหนวยออกเปน 8 สวนเทาๆ กน ซงความยาวสวนโคงในแตละ

สวนเทากบ 4π เรเดยน

กรณนแบงวงกลมหนงหนวย ออกเปน 6 สวนและ 12 สวนเทาๆ กนตามลาดบ ซงจะได

ความยาวสวนโคงในแตละสวนเทากบ 3π และ

6π ตามลาดบ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 2.3 เรองความยาวสวนโคงในกรณท 3–4 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม

5. กจกรรมการเรยนร 1. ครถามทบทวนความรเดมของนกเรยนเรองความยาวสวนโคงกรณท 1-2 ในคาบทแลว 2. ครใหนกเรยนทาการศกษากจกรรมหนวยท 2 จากคอมพวเตอรเรองความยาวสวนโคงโดยให

นกเรยนทาการศกษากรณท 3 พรอมทงแจกใบกจกรรมท 2.3 ซงการศกษากรณท 3 นนครถามนกเรยน

เนองจากวงกลมหนงหนวยนนมความยาวสวนโคงเทากบ 2π ถาเราทาการแบงออกเปน 8 สวนเทาๆ กนจะไดความยาวสวนโคงแตละสวนยาวเทาไร และจดตดทเกดบนแกน X นนมกจด(ใหนกเรยนตอบ) จากนนกใหนกเรยนทาการวดความยาวสวนโคงแลวใหนกเรยนสงเกตตาแหนงทจดปลายสวนโคงวาตกอยในแกน X ดานใด แลวสรป

3. ครใหนกเรยนทาการศกษากจกรรมหนวยท 2 จากคอมพวเตอรเรองความยาวสวนโคงโดยใหนกเรยนทาการศกษากรณท 4 พรอมทงแจกใบกจกรรมท 2.3 ซงการศกษากรณท 4 นนครถามนกเรยน

เนองจากวงกลมหนงหนวยนนมความยาวสวนโคงเทากบ 2π ถาเราทาการแบงออกเปน 12 สวนเทาๆ กนจะไดความยาวสวนโคงแตละสวนยาวเทาไร ซงในกรณท 4 ครถามนกเรยนวาถาเราจะแบงวงกลมใหเปน 12 สวน เราตองแบงวงกลมออกเปนกสวนกอน (ใหนกเรยนตอบ)

4. ครใหนกเรยนสงเกตจดทเกดขนบนวงกลมทไมไดอยบนแกน X หรอแกน Y ซงครอธบายวาเนองจากจดทเกดขนไมไดตกอยบนแกนพกด ดงนนนกเรยนตองทาการหาพกดของจดนนเสยกอนโดยเรมจากจดทเกดขนเมอแบงวงกลมออกเปน 6 สวนเทาๆ กน จากนนกหาพกดของจดทเกดขนเมอทาการแบงวงกลมออกเปน 12 สวนเทาๆ กน

5. ครใหนกเรยนทาการวดความยาวสวนโคง เพอใหนกเรยนทาการสงเกตตาแหนงของจดปลายสวนโคงทตก และทาการสงเกตเครองหมายของคา x และ คา y วามความแตกตางกนอยางไรเมอความยาวสวนโคงแตกตางกน

6. ครและนกเรยนรวมกนกลาวสรปความร และใหนกเรยนทาแบบฝกหดเพมเตมลงในใบกจกรรมท 2.3 ถาไมเสรจใหนกเรยนกลบไปทาตอเปนการบาน

- ทาใบกจกรรม 2.3 ได ถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

หนวยท 3 เรองฟงกชนไซนและโคไซน แผนการจดการเรยนรท 5

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จานวน 1 คาบ

ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ใหนกเรยนพจารณาวงกลมหนงหนวย โดยทให P(x, y) เปนจดใดๆ บนเสน รอบวงของวงกลมหนงหนวย ดงรป ลากเสน PA ตงฉากกบแกน X ทจด A จากรปจะไดรปสามเหลยมมมฉาก OAP ซงเมอนามาเขยนเปนอตราสวนตรโกณมต จะไดดงน

sin θ = OPPA =

1y = y

cos θ = OPOA =

1x = x

นนคอ x = cos θ และ y = sin θ เนองจาก (x, y) เปนจดใดๆ บนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวย จากความรดงกลาว สามารถสรปไดวา ตวหนาของคอนดบ (x) คอ คา cos θ ตวหลงของคอนดบ (y) คอ คา sin θ แสดงวา ถาเรารจดบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยทาใหเรารคา cos θ กบ sin θ ดงรป

ตอไปจะพจารณาความรดงกลาวในแงของฟงกชน จากลกษณะการกาหนดจดบนเสนรอบวงดงกลาว นกเรยนจะพบวาทกครงทมการกาหนดคาของ θ มาให เราสามารถหาจด (x, y) ซงเปนจดปลายของสวนโคงทวดตามแนวเสนรอบวงโดยมจดเรมตนทจด (1, 0) ใหยาว θ หนวย ไดเพยงจดเดยวเสมอ หรอจะกลาวอยางงายๆ กคอวา แตละคาของ θ จะทาใหเกดคา x เพยง 1 คา และ คา y เพยง 1 คา จากความเขาใจดงกลาวเราสามารถนามาใชสรางฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน ไดดงน

1. ฟงกชนไซน เนองจากคาแตละคาของ θ จะมคา y เกดขนเพยง 1 คา (ไมม θ ใดเลยททาใหม คา y เกน 1 คา) ดงนนเราจะนยามฟงกชนไซน ดงน บทนยาม ฟงกชนไซน หมายถง ฟงกชน g : R → R ซงนยามวา sine = {(θ , y) ∈R × R | g(θ ) = y}

สญลกษณ ถา (θ , y) ∈sine แลว จะเขยนวา y = sine (θ ) หรอ y = sin θ จากบทนยาม อาจกลาวไดวา ถา g(θ ) = (x, y) แลว sin θ = y เนองจาก g(θ ) = (x, y) เปนจด

บนวงกลมหนงหนวย ดงนน ≤−1 y 1≤ นนคอ ถา θ∈R แลว ≤−1 sin θ 1≤ ดงนน โดเมนของฟงกชนไซน คอ R เรนจของฟงกชนไซน คอ [-1, 1]

2. ฟงกชนโคไซน เนองจากคาแตละคาของ θ จะมคา x เกดขนเพยง 1 คา (ไมม θ ใดเลยททาใหม คา x เกน 1 คา) ดงนนเราจะนยามฟงกชนโคไซน ดงน บทนยาม ฟงกชนโคไซน หมายถง ฟงกชน f : R → R ซงนยามวา cosine = {(θ , x) ∈R × R | f(θ ) = x}

สญลกษณ ถา (θ , x) ∈cosine แลว จะเขยนวา x = cosine (θ ) หรอ x = cos θ

จากบทนยาม อาจกลาวไดวา ถา f(θ ) = (x, y) แลว cos θ = x เนองจาก f(θ ) = (x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนน ≤−1 x 1≤ นนคอ ถา θ∈R แลว ≤−1 cos θ 1≤ ดงนน

โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ R เรนจของฟงกชนโคไซน คอ [-1, 1] จากทฤษฎบททกลาววา p(θ ) = p(θ + 2n π ) เมอ n เปนจานวนเตม แสดงวามจานวนจรง

มากมายทไมเทากน แตใหจดปลายสวนโคงเปนจดเดยวกน ดงนนฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จง ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง เชน

ให 1θ = 0 และ π2θ2 = จะไดวา p( 1θ ) = p( 2θ ) = (1, 0) ดงนน sin 1θ = 0 และ sin 2θ = 0 cos 1θ = 1 และ cos 2θ = 1

ตอไปนเปนการนาความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย มาหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน ณ จดบนวงกลมหนงหนวยทเราทราบพกด นนคอ เราจะหา f(θ ) เมอ f(θ ) = cos θ และหา g(θ ) เมอ g(θ ) = sin θ จากความรทกลาววา จดทกจดบนวงกลมหนงหนวย ตวหนาของคอนดบคอคาของ cos θ และตวหลงของคอนดบคอ คาของ sin θ ดงนน จากจดบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยทเราทราบ เราสามารถหาคา sin θ และ cos θ ณ ตาแหนงตางๆ ไดดงน

เนองจากสมการของวงกลมหนงหนวย คอ 1yx 22 =+ และจากรปขางบนจะเหนวา y = sin θ , x = cos θ ดงนนสงผลให 1θsinθcos 22 =+

หมายเหต θcos2 หมายถง (cos θ )(cos θ ) cosθ 2 หมายถง cos ของจานวนจรง θ 2 เชน

2πcos2 หมายถง )

2π(cos )

2π(cos

แต 2)2πcos( หมายถง cos ของจานวนจรง

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π

จากรปวงกลมหนงหนวยขางตน เราสามารถนามาเขยนใหอยในรปตารางไดดงน

ตาแหนงจดปลายสวนโคง เรเดยน องศา

x y 0 o0 1 0

2π o90 0 1

π o180 -1 0

2π3 o270 0 -1

ถาเรานาคา x = cos θ และ y = sin θ มาคานวณตอไปจะไดคาดงตารางตอไปน

หมายเหต ขอควรระวง ถา a ∈R แลว 0a ไมนยาม

มม θ ฟงกชน

o0 (0 เรเดยน) o90 (2π เรเดยน) o180 ( π เรเดยน) o270 (

2π3 เรเดยน)

sin θ 0 1 0 -1 cos θ 1 0 -1 0

tan θ =cosθsinθ 0 ไมนยาม 0 ไมนยาม

cosec θ = sinθ

1 ไมนยาม 1 ไมนยาม -1

sec θ = cosθ

1 1 ไมนยาม -1 ไมนยาม

cot θ = sinθcosθ ไมนยาม 0 ไมนยาม 0

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกนยามของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนได 2. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงของจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซน และฟงกชนโคไซนได 3. นกเรยนสามารถหาโดเมนและเรนจของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนได

3. สาระการเรยนร 1. ฟงกชนไซน

เนองจากคาแตละคาของ θ จะมคา y เกดขนเพยง 1 คา (ไมม θ ใดเลยททาใหม คา y เกน 1 คา) ดงนนเราจะนยามฟงกชนไซน ดงน บทนยาม ฟงกชนไซน หมายถง ฟงกชน g : R → R ซงนยามวา sine = {(θ , y) ∈R × R | g(θ ) = y}

สญลกษณ ถา (θ , y) ∈sine แลว จะเขยนวา y = sine (θ ) หรอ y = sin θ จากบทนยาม อาจกลาวไดวา ถา g(θ ) = (x, y) แลว sin θ = y เนองจาก g(θ ) = (x, y) เปนจด

บนวงกลมหนงหนวย ดงนน ≤−1 y 1≤ นนคอ ถา θ∈R แลว ≤−1 sin θ 1≤ ดงนน โดเมนของฟงกชนไซน คอ R เรนจของฟงกชนไซน คอ [-1, 1] 2. ฟงกชนโคไซน

เนองจากคาแตละคาของ θ จะมคา x เกดขนเพยง 1 คา (ไมม θ ใดเลยททาใหม คา x เกน 1 คา) ดงนนเราจะนยามฟงกชนโคไซน ดงน บทนยาม ฟงกชนโคไซน หมายถง ฟงกชน f : R → R ซงนยามวา cosine = {(θ , x) ∈R × R | f(θ ) = x}

สญลกษณ ถา (θ , x) ∈cosine แลว จะเขยนวา x = cosine (θ ) หรอ x = cos θ จากบทนยาม อาจกลาวไดวา ถา f(θ ) = (x, y) แลว cos θ = x เนองจาก f(θ ) = (x, y) เปนจด

บนวงกลมหนงหนวย ดงนน ≤−1 x 1≤ นนคอ ถา θ∈R แลว ≤−1 cos θ 1≤ ดงนน โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ R เรนจของฟงกชนโคไซน คอ [-1, 1] จากทฤษฎบททกลาววา p(θ ) = p(θ + 2n π ) เมอ n เปนจานวนเตม แสดงวามจานวนจรง

มากมายทไมเทากน แตใหจดปลายสวนโคงเปนจดเดยวกน ดงนนฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จง ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง เชน

ให 1θ = 0 และ π2θ2 = จะไดวา p( 1θ ) = p( 2θ ) = (1, 0) ดงนน sin 1θ = 0 และ sin 2θ = 0 cos 1θ = 1 และ cos 2θ = 1

ตอไปนเปนการนาความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย มาหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน ณ จดบนวงกลมหนงหนวยทเราทราบพกด นนคอ เราจะหา f(θ ) เมอ f(θ ) = cos θ และหา g(θ ) เมอ g(θ ) = sin θ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 3 เรองฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร 1. ครทบทวนนกเรยนเกยวกบการนยามไซนและโคไซนโดยใชอตราสวนความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉากทนกเรยนไดเรยนในชนมธยมศกษาปท 3 วามบทนยามอยางไร (ใหนกเรยนตอบ) 2. ครอธบายขอจากดของรปสามเหลยมมมฉากและอธบายวาทาไมตองใชวงกลมหนงหนวยในการนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนใหนกเรยนทราบ 3. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 3 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 3 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง

4. ใหนกเรยนทากจกรรมท 3 ในคอมพวเตอรโดยในการสอนนนครจะใหนกเรยนสงเกตวา ณ ทความยาวสวนโคงทเปนจานวนจรงใดๆ จะมจดปลายสวนโคงเพยงหนงจดเสมอ แลวถามนกเรยนวาเปนฟงกชนหรอไม เพราะอะไร และใหนกเรยนสงเกตตาแหนงของจดปลายสวนโคงวา มขอบเขตแคไหน เพอเปนการหาโดเมนและเรนจของฟงกชนไซนและโคไซน

5. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมท 3 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมท 3

6. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมท 3 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

- ทาใบกจกรรมท 3 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 3

หนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน แผนการจดการเรยนรท 6

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน จานวน 1 คาบ

ในเรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน เราจะแบงออกเปน 2 หวขอ หลกๆ ดงน 1. คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน 2. คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ 1. คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน ในหวขอนจะหาคาของ sin θ และ cos θ สาหรบ θ บางคาทสามารถหาพกดของจดปลายสวนโคงทวดจากจด (1, 0) ทยาว |θ | หนวยไดดวยวธงายๆ

ถา θ = 0 จดปลายสวนโคงทยาว 0 หนวย คอ (1, 0) ดงรป จะได sin 0 = 0

cos 0 = 1

เนองจากเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยยาว 2π (ในทน r = 1) ดงนน จดปลายสวนโคงท

ยาว 2π , π ,

2π3 หนวย จะมพกดเปนจดใดจดหนงตอไปน คอ (0, 1), (-1, 0) และ (0, -1) จะได

sin 2π = 1, sin (-

2π ) = -1

sin (π ) = 0, sin π(− ) = 0

sin 2π3 = -1, sin (-

2π3 ) = 1

cos 2π = 0, cos (-

2π ) = 0

cos π = -1, cos (- π ) = -1

cos 2π3 = 0, cos (-

2π3 ) = 0

จะเหนวา คาของ sin θ และ cos θ เมอ 2

nπθ = โดยท n เปนจานวนเตมนนหาไดจากพกด

ของจดปลายสวนโคงทยาว 2

nπ หนวย โดยการวดในทศทางทสอดคลองกบ θ ซงจดปลายนนจะเปน

จดใดจดหนงในสจดตอไปนคอ (1, 0), (0, 1), (-1, 0) และ (0, -1)

ตอไปนจะพจารณาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ เปน 4π ,

6π และ

กรณท 1 คาของ sin 4π และ cos

ให P(x, y) เปนจดปลายสวนโคงบนวงกลมหนงหนวย ซงม O เปนจดกาเนด สรางรป Δ มมฉาก PAO โดยม A เปนมมฉาก

และ m( POA ) = 4π (อยาลม o45 นะ)

แสดงวา Δ PAO เปนรปสามเหลยมหนาจว ดงนน OA = PA นนคอ x = y

จาก 222 OPPAOA =+

222 1yx =+

1xx 22 =+ 1x2 2 =

21x2 =

1x ±=

แต (x, y) เปนจดในจตภาคท 1 ดงนน x = 2

ดงนน x = y = 2

1 = 22

จะไดวา จดปลายสวนโคงทยาว 4π หนวย คอ จด (

นนคอ sin 4π = cos

22 7071.0≈

จากความรเดมในหนวยท 2 เรายงสามารถหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรง

4π5 ,

4π7 , …, ( )

4π1n2 + เมอ n เปนจานวนเตมบวก

ให P(x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ซงม O เปนจดกาเนด และ A(1, 0) เปนจดบนเสนรอบวงทอยบนแกน x

กาหนดให 6πPOA =

จากรป ให B(0, 1) เปนจดบนเสนรอบวงทอยบนแกน Y

ดงนน BOA = 2π

จะได BOP = 6π

2π− =

ให Q เปนจดในจตภาคท 4 โดยทจด Q สมมาตรกบจด P เมอมแกน X เปนแกนสมมาตร

ดงนน จด Q คอ (x, - y) และ 6πPOAQOA ==

ลากเสน PB และ PQ จะพบวา Δ POB ≅ Δ POQ

ดงนน PB = PQ

นนคอ ( ) 22 1)(y0x −+− = ( ) 22 y)(yxx ++− 22 1)(yx −+ = ( )2y2 1y2yx 22 +−+ = 2y4 ……………….. (1) เนองจาก P(x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนน 1yx 22 =+ นาไปแทนคาใน (1) จะได 1y21 +− = 2y4 2y2y4 2 −+ = 0 1yy2 2 −+ = 0 ( )( )1y1y2 +− = 0

y = 1,21−

แต (x, y) เปนจดในจตภาคท 1 ดงนน y = 21

จากสมการ 1yx 22 =+

จะได 121x

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

2x = 43

411 =−

x = 23

ดงนน จดปลายสวนโคงทยาว 6π หนวย คอ จด (

นนคอ sin 6π =

21 = 0.5

cos 6π =

23 8660.0≈

โดยอาศยความรเดมในหนวยท 2 เราสามารถหาคาฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงในรป

6πnπ2 ± ,

6π5nπ2 ± ,

6π7nπ2 ± และ

6π11nπ2 ± เมอ n เปนจานวนเตม

ในการหาคาของ sin 3π และ cos

3π เราสามารถหาได 2 วธ คอ

วธท 1 ใชความรเดมจากกรณท 2 วธท 2 ใชวธการหาแบบตรงๆ ตามปกต

วธท 1 จากการหาคา sin 6π และ cos

6π ในกรณท 2 เราสามารถนามาสการหาคา sin

3π และ

cos3π ไดโดยใชความรเรองอตราสวนตรโกณมต

ขอใหนกเรยนสงเกตลกษณะของรปสามเหลยมมมฉาก จะพบวามม 3π และ

6π จะเปนสวน

หนงของรปสามเหลยมมมฉากรปเดยวกน

เนองจาก cos

23 และ sin

ดงนน อตราสวนดงกลาวจะทาใหเกดรปสามเหลยมมมฉากไดแบบหนง ดงน

จากรปสามเหลยมมมฉาก ดงกลาวใชความรเกยวกบ อตราสวนตรโกณมต จะได

sin 3π =

cos 3π =

วธท 2 ใหจด P(x, y) เปนจดบนสวนโคง AB ททาใหสวนโคง AP ยาว 3π หนวย ใหจด M

เปนภาพสะทอนของจด P(x, y) โดยมแกน Y เปนเสนสะทอน ดงรป จากรปจะไดวา พกดของจด M คอ (- x, y) และ

สวนโคง CM ยาว 3π หนวย

เนองจากสวนโคงของครงวงกลมนยาว π หนวย

ดงนนสวนโคง PM ยาว 3π หนวย ดวย

จะไดวา ระยะทางระหวางจด PM ยาวเทากบระยะทางระหวางจด PA นนคอ PM = PA 22 y)(yx))((x −+−− = 22 )0(y)1(x −+−

2x))((x −− = 22 y)1(x +− 2x4 = 22 y1x2x ++− 2x2x4 2 −+ = 0 (เนองจาก 1yx 22 =+ ) 1)1)(xx2(2 +− = 0 เนองจาก P(x, y) เปนจดอยในจตภาคท 1 ดงนน x และ y จงเปนจานวนบวก

จะได x = 21 และ y =

23 8660.0≈

cos 3π =

21 = 0.5

โดยอาศยความรเดมจากหนวยท 2 เราสามารถหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวน

จรงในรป 3πnπ2 ± ,

3π2nπ2 ± ,

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนได 2. นกเรยนสามารถบอกคาฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวนได

3. สาระการเรยนร 1. คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน ในหวขอนจะหาคาของ sin θ และ cos θ สาหรบ θ บางคาทสามารถหาพกดของจดปลายสวนโคงทวดจากจด (1, 0) ทยาว |θ | หนวยไดดวยวธงายๆ

จดปลายสวนโคงทยาว 4π หนวย คอ จด (

นนคอ sin 4π = cos

22 7071.0≈

จากความรเดมในหนวยท 2 เรายงสามารถหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรง

4π5 ,

4π7 , …, ( )

4π1n2 + เมอ n เปน จานวนเตมบวก

21 = 0.5

cos 6π =

23 8660.0≈

โดยอาศยความรเดมในหนวยท 2 เราสามารถหาคาฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงในรป

6πnπ2 ± ,

6π5nπ2 ± ,

23 8660.0≈

cos 3π =

21 = 0.5

โดยอาศยความรเดมจากหนวยท 2 เราสามารถหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวน

จรงในรป 3πnπ2 ± ,

3π2nπ2 ± ,

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย - ใบกจกรรมท 4.1 : คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครทบทวนนกเรยนเรองความยาวสวนโคงทเรยนในหนวยท 2 ทง 4 กรณ ไดแก กรณท 1

ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ π กรณท 2 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 2π และกรณท

3 และ 4 ตามลาดบ โดยครใหนกเรยนสงเกตทคาของ x และ y 2. ครใหนกเรยนเชอมโยงความรระหวางบทนยามของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนกบ

ความยาวสวนโคง ซงนกเรยนรแลววานยามของฟงกชนไซนคอ y = sin(θ ) และนยามของฟงกชนโคไซนคอ x = cos(θ ) เมอ θ เปนจานวนจรง

3. ครใหนกเรยนทากจกรรมท 4.1 ในโปรแกรมคอมพวเตอร พรอมทงแจกใบกจกรรมท 4.1 เรองคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน ใหนกเรยนทาการสารวจและสงเกตตาแหนงพกดของจดปลายสวนโคง

4. ครและนกเรยนรวมกนสรป และทาแบบฝกหดเสรมในใบกจกรรมท 4.1

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ จานวน 1 คาบ

คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใดๆ พจารณาจานวนจรง θ > 0 และ (x, y) เปนจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทวด จากจด (1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา ยาว θ หนวย (เนองจาก θ > 0 จงได |θ | = θ ) จากการทจด (x, -y) เปนภาพสะทอนทเกดจากการสะทอนจด (x, y) โดยมแกน X เปนเสนสะทอน จงไดจด (x, -y) เปนจดปลายสวนโคงของวงกลมดงกลาวทวดจากจด (1, 0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกายาว θ หนวย หรอกลาวไดวา (x, -y) เปนจดปลายของสวนโคงทเกดจากจานวนจรง -θ ตามขอตกลงเรองการวดความยาวสวนโคงทกลาวมาแลว กรณท 1 การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก ถากาหนดให θ เปนจานวนจรงบวกแลว - θ จะเปนจานวนจรงลบ การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) สามารถหาไดจาก sin θ และ cos θ ซงมความสมพนธกนดวยสตรทจะกลาวตอไปน สมมตให p(θ ) = (x, y) เนองจาก p(θ ) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ซงวดจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เปนความยาว |θ | หนวย และ p(-θ ) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ซงวดจากจด A(1, 0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกา เปนความยาว |θ | หนวย เชนกน ดงนน จด p(θ ) และ p(-θ ) จะสมมาตรกนโดยมแกน X เปนแกนสมมาตร แสดงวา p(-θ ) = (x, -y) ดงรป

จากนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จะไดวา sin θ = y และ sin θ)(− = - y

cos θ = x และ cos θ)(− = x ดงนน จงสรปสตรความสมพนธระหวาง sin θ กบ sin θ)(− และ cos θ กบ cos θ)(− ไดดงตอไปน sin θ)(− = - sin θ

cos θ)(− = cos θ ประโยชนทนาไปใช คอ ในกรณทตองการหาคาของไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงลบ เราสามารถหาไดจากไซนและโคไซนของจานวนจรงบวกแทนไดทนท กรณท 2 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2 ตอไปนจะพจารณาเฉพาะวธหาคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบวกเทานน เพราะเราสามารถนาไปหาคาของฟงกชนดงกลาวของจานวนจรงลบได ถา θ > π2 และหาร θ ดวย π2 แลวได n เหลอเศษ α (แอลฟา) นนคอ θ = 2n π +α เมอ n เปนจานวนเตมบวก และ π2α0 <≤ จากทฤษฎบท เราทราบแลววา p(2n π +α ) = p(α ) ดงนน p(θ ) = p(α ) จงสรปเปนสตรการคานวณหา sin θ และ cos θ ไดดงน sin θ = sin (2n π +α ) = sin α cos θ = cos (2n π +α ) = cos α หรอ ถาเรามองอกแบบหนงคอใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมหนงหนวยขางลางน เพราะวา P(x, y) และ Q(x, y) เปนจดบนวงกลมหนง

หนวย ดงนนจากความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย จะได cos θ = x และ sin θ = y

จาก 420 o = 360 o + 60 o = θπ2 + จะไดวา cos ( θπ2 + ) = x และ sin ( θπ2 + ) = y

จากขางตนทกลาวมาทงหมด สรปไดวา cos ( θπ2 + ) = cos θ sin ( θπ2 + ) = sin θ ขอสงเกต ถานกเรยนใชวธดงกลาวทาไปเรอยๆ ผลทตามมากคอ ตาแหนงเรมจะซากบตาแหนงเดม นนคอ ถามมมขนาดเกน 1 รอบ จดปลายของสวนโคงจะไปอย ณ ตาแหนงเดยวกบกรณทมมมขนาดไมเกน 1 รอบ แสดงวา คาของไซนและโคไซนทมมมขนาด θπ2 + , θπ4 + , θπ6 + , … จะมคาเทากบคาของไซนและโคไซนทมมมขนาด θ นนเอง ถาสรปหรอเขยนอยางงาย กจะกลาวไดวา

sin θ = sin (2n π +θ ) เมอ n เปนจานวนเตม cos θ = cos (2n π +θ ) เมอ n เปนจานวนเตม 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซนและโคไซนได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง 3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง θ ใดๆ โดยอาศยคา ของจานวนจรงพนฐานได

3. สาระการเรยนร คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ

1. การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก นนคอ sin θ)(− = - sin θ

cos θ)(− = cos θ 2. การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2

นนคอ cos ( θπ2 + ) = cos θ sin ( θπ2 + ) = sin θ 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย - ใบกจกรรมท 4.2 : คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใด ๆกรณท 1-2 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครนาเขาสบทเรยนดวยการกลาววาในบททผานมาทนกเรยนไดเรยนไปนนเปนเพยงบางสวนเทานน ยงมคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ อก แตในการหาคาของจานวนจรงใดๆ นนยงคงอาศยความรในการหาคาของจานวนจรงบางจานวนอย

2. ครใหนกเรยนทากจกรรมท 4.2 ในกรณท 1 เรองการหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก พรอมทงแจกใบกจกรรมท 4.2

3. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ -θ แลวตอบคาถามลงไปในใบกจกรรมท 4.2

4. เมอนกเรยนทาเสรจแลวครใหนกเรยนออกมาสรปหนงคน ซงจากการสรปในกจกรรมททาในกรณท 1 จะไดวา sin(-θ ) = - sin(θ ) และ cos(-θ ) = cos(θ )

5. หลงจากทนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรในกรณท 1 เสรจแลวครใหนกเรยนทา กจกรรมคอมพวเตอรในกรณท 2 เรองการหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2

6. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา

x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ 2π + θ แลวตอบคาถามลงไปในใบกจกรรมท 4.2 7. เมอนกเรยนทาเสรจแลวครใหนกเรยนออกมาสรปหนงคน ซงจากการสรปในกจกรรมททา

ในกรณท 1 จะไดวา sin(2π + θ ) = sin(θ ) และ cos(2π + θ ) = cos(θ )

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน กรณท 3 และ 4 จานวน 1 คาบ

กรณท 3 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 2)

ใหนกเรยนทาการพจารณารปมม θ ตอไปน

จากรปถาเราใหแกน Y เปนแกนสมมาตร ดงนนจด Q(-x, y) จะเปนจดทสมมาตรกบจด P(x, y) ดงรป แตเนองจากเราตองการหามมทม OA เปนดานเรมตน และ OQ เปนดานสนสด ดงนนขนาดของมมดงกลาวเทากบ θπ− เรเดยน ดงรป

เพราะวา Q(-x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนนจากความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย พกดตวหนาคอคาโคไซน และพกดตวหลงคอคาไซน ของมม ดงกลาว นนคอ cos ( θπ− ) = - x sin ( θπ− ) = y แต x = cos θ และ y = sin θ ดงนน cos ( θπ− ) = - cos θ sin ( θπ− ) = sin θ

กรณท 4 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3 (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 3)

ให P(x, y) และ Q(-x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ซงม O เปนจดกาเนด และ A(1, 0) เปนจดบนเสนรอบวงทอยบนแกน X โดยทจด Q(-x, y) เปนจดทสมมาตรกบ P(x, y) จากรปขางลางถานกเรยนใชแกน X เปนแกนสมมาตร หาจดทสมมาตรกบจด Q จะได R(-x, -y) เปนจดทสมมาตรกบจด Q ดงรป

จากรปนกเรยนจะพบวา จด P และ R จะอยในแนวเสนตรงเดยวกน แตเนองจากเราตองการหามมทม OA เปนดานเรมตน และ OR เปนดานสนสด ดงนนขนาดของมมดงกลาวเทากบ θπ+ เรเดยน ดงรป

เพราะวา R(-x, -y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนนจากความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย จะได cos ( θπ+ ) = - x sin ( θπ+ ) = - y แต x = cos θ และ y = sin θ ดงนน cos ( θπ+ ) = - cos θ sin ( θπ+ ) = - sin θ 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซนและโคไซนได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง 3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง θ ใดๆ โดยอาศยคาของจานวนจรงพนฐานได

การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 2)

นนคอ cos ( θπ− ) = - cos θ sin ( θπ− ) = sin θ

การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3 (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 3)

นนคอ cos ( θπ+ ) = - cos θ sin ( θπ+ ) = - sin θ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย - ใบกจกรรมท 4.2.1 : คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใด ๆกรณท 3-4 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร คาบท 3

1. ครทบทวนความรเดมทนกเรยนไดเรยนในคาบทแลว โดยทบทวนในกรณท 1 และกรณท 2

2. ครใหนกเรยนทากจกรรมท 4.2 ในกรณท 3 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π

พรอมทงแจกใบกจกรรมท 4.2.1 3. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา

x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ π -θ ตกอยในจตภาคทเทาไรแลวตอบคาถามลงไป ในใบกจกรรมท 4.2.1

4. เมอนกเรยนทาเสรจแลวครใหนกเรยนออกมาสรปหนงคน ซงจากการสรปในกจกรรมททา

ในกรณท 3 จะไดวา sin(π - θ ) = sin(θ ) และ cos(π - θ ) = - cos(θ ) 5. หลงจากทนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรในกรณท 3 เสรจแลวครใหนกเรยนทา

กจกรรมคอมพวเตอรในกรณท 4 เรองการหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3

6. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา

x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ π + θ ตกอยในจตภาคทเทาไรแลวตอบคาถามลงไปในใบกจกรรมท 4.2.1

ในกรณท 4 จะไดวา sin(π + θ ) = - sin(θ ) และ cos(π + θ ) = - cos(θ ) 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

- ทาใบกจกรรมท 4.2.1 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 4.2.1

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนกรณท 5 จานวน 1 คาบ

กรณท 5 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ < 2 π (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 4)

ในทานองเดยวกน ถานกเรยนทาตอเนองจาก กรณ 4 ไปอกโดยใชแกน Y เปนแกนสมมาตร หาจดทสมมาตรกบจด R จะได S(x, -y) เปนจดทสมมาตรกบจด R ดงรป เนองจากเราตองการหามมทม OA เปนดานเรมตน และ OS เปนดานสนสด ดงนนขนาดของมมดงกลาวเทากบ θπ2 − เรเดยน ดงรป เพราะวา S(x, -y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนนจากความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย จะไดวา cos ( θπ2 − ) = x sin ( θπ2 − ) = - y แต x = cos θ และ y = sin θ

ดงนน cos ( θπ2 − ) = cos θ sin ( θπ2 − ) = - sin θ เพอใหนกเรยนไดมองเหนถงสงทเราหามาไดเปนหมวดหมยงขน จงขอรวบรวมสงทหามาไดในรปของตาราง และมขอทนาสงเกตเพมเตมดงน

คาของฟงกชนไซนและโคไซน จดปลายของสวนโคง

cos ( θπ− ) = - cos θ sin ( θπ− ) = sin θ

จตภาคท 2 พกดตวแรกเปนจานวนลบ พกดตวหลงเปนจานวนบวก

cos ( θπ+ ) = - cos θ

sin ( θπ+ ) = - sin θ

จตภาคท 3 พกดตวแรกเปนจานวนลบ พกดตวหลงเปนจานวนลบ

cos ( θπ2 − ) = cos θ sin ( θπ2 − ) = - sin θ

จตภาคท 4 พกดตวแรกเปนจานวนบวก พกดตวหลงเปนจานวนลบ

cos ( θπ2 + ) = cos θ sin ( θπ2 + ) = sin θ

จตภาคท 1 พกดตวแรกเปนจานวนบวก พกดตวหลงเปนจานวนบวก

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซนและโคไซนได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง

3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรง θ ใดๆ โดยอาศยคา ของจานวนจรงบางจานวนได ดานทกษะ/กระบวนการ

1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ < π (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 4)

นนคอ cos ( θπ2 − ) = cos θ sin ( θπ2 − ) = - sin θ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย - ใบกจกรรมท 4.2.2 : คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใดๆ 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครใหนกเรยนทากจกรรมท 4.2 ในกรณท 5 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ <π พรอม

ทงแจกใบกจกรรมท 4.2.2 2. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา

x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ 2π -θ ตกอยในจตภาคทเทาไรแลวตอบคาถามลงไปในใบกจกรรมท 4.2.2

ในกรณท 5 จะไดวา sin(2π - θ ) = - sin(θ ) และ cos(2π - θ ) = cos(θ ) 4. ครใหนกเรยนทาแบบฝกหดระคนในหองเรยน ถานกเรยนทาไมเสรจใหทาตอเปนการบาน

- ทาใบกจกรรมท 4.2.2 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 4.2.2

หนวยท 5 เรองฟงกชนตรโกณมตอน ๆ แผนการจดการเรยนรท 10

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของจานวนจรงบางจานวน จานวน 1 คาบ

ฟงกชนตรโกณมตอนๆ นอกจากฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนทกลาวมาแลวในหนวยท 3 และ 4 ยงมฟงกชนตรโกณมตทสาคญอกหลายฟงกชน ดงตอไปน บทนยาม กาหนดให θ เปนจานวนจรง 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

tangent θ = cosθsinθ เมอ cos θ 0≠

2) ฟงกชนโคแทนเจนต (cotangent) คอฟงกชนทนยามวา

cotangent θ = sinθcosθ เมอ sin θ 0≠

3) ฟงกชนเซแคนต (secant) คอฟงกชนทนยามวา

secantθ = cosθ

1 เมอ cos θ 0≠

4) ฟงกชนโคเซแคนต (cosecant) คอฟงกชนทนยามวา

cosecantθ = sinθ

1 เมอ sinθ 0≠

จากบทนยามจะพบวา ฟงกชนทงสฟงกชน นยามในรปของฟงกชนไซนและโคไซน ดงนนถาเราทราบคาของ sinθ และ cos θ เราจะทราบคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ทเหลอของจานวนจรง θ ได สญลกษณ เพอความสะดวกเราใชสญลกษณตอไปนแทนฟงกชนตรโกณมตอนๆ 1) tangent θ จะเขยนแทนดวย tanθ อานวา “แทนทตา” 2) cotangent θ จะเขยนแทนดวย cot θ อานวา “คอตทตา”

3) secantθ จะเขยนแทนดวย sec θ อานวา “เซกทตา” 4) cosecantθ จะเขยนแทนดวย cosec θ หรอ cscθ อานวา “โคเซกทตา”

การหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ กบจดปลายสวนโคง p(θ ) เราทราบมาแลวา การ sin θ และ cos θ สามารถหาไดจากจดปลายสวนโคง p(θ ) กลาวคอ ถา p(θ ) = (x, y) แลวจะไดวา sin θ = y และ cos θ = x

ดงนน จากนยาม เราสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดจากจด p(θ ) = (x, y) ไดดงน

1) tanθ = xy เมอ 0x ≠

2) cotθ = yx เมอ 0≠y

3) secθ = x1 เมอ 0x ≠

4) cosecθ = y1 เมอ 0≠y

คาของ tanθ จะเปนจานวนจรงบวกหรอจานวนจรงลบ ขนอยกบ p(θ ) = (x, y) วาเปนจดทอยจตภาคทเทาใดกลาวคอ 1) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 1 จะได x > 0 และ y > 0 ดงนน tan θ > 0

2) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 2 จะได x < 0 และ y > 0 ดงนน tan θ < 0 3) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 3 จะได x < 0 และ y < 0 ดงนน tan θ > 0 4) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 4 จะได x > 0 และ y < 0 ดงนน tan θ < 0

หมายเหต คาของ cosecθ , secθ และ cotθ จะเปนจานวนจรงบวกหรอลบ ทานองเดยวกบคาของ sinθ , cosθ และ tanθ ตามลาดบ การหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) และ cosec (-θ ) ถา θ เปนจานวนจรงททาใหหาคา tanθ , cotθ , secθ และ cosecθ ไดแลว เราสามารถหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) และ cosec(-θ ) ได สงทจะกลาวตอไปนไดมาจากความจรงท กลาวไปแลววา sin (-θ ) = - sin θ

cos (-θ ) = cos θ

ดงนน

tan θ)(− = θ)cos(θ)sin(

−− =

cosθsinθ− = - tanθ

cot θ)(− = θ)sin(θ)cos(

−− =

sinθcosθ−

= - cot θ

sec θ)(− = θ)cos(

= cosθ

1 = secθ

cosec θ)(− = θ)sin(

= sinθ1

− = - cosec θ

ซงสรปเปนสตรไดดงตอไปน tan θ)(− = - tanθ cot θ)(− = - cot θ sec θ)(− = secθ

cosec θ)(− = - cosec θ

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนตรโกณมตอนๆได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง 3. เมอกาหนดฟงกชนตรโกณมตฟงกชนใดฟงกชนหนงนกเรยนสามารถหาคาของ ฟงกชนทเหลอโดยอาศยความสมพนธของฟงกชนเหลานนได

3. สาระการเรยนร ฟงกชนตรโกณมตอนๆ นอกจากฟงกชนไซนและโคไซนทกลาวมาแลวในหนวยท 3 และ 4 ยงมฟงกชนตรโกณมตทสาคญอกหลายฟงกชน ดงตอไปน บทนยาม กาหนดให θ เปนจานวนจรง 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

secantθ = cosθ

cosecantθ = sinθ

1. การหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ กบจดปลายสวนโคง p(θ )

1) tanθ = xy เมอ 0x ≠

2) cotθ = yx เมอ 0≠y

3) secθ = x1 เมอ 0x ≠

4) cosecθ = y1 เมอ 0≠y

คาของ tanθ จะเปนจานวนจรงบวกหรอจานวนจรงลบ ขนอยกบ p(θ ) = (x, y) วาเปนจดทอยจตภาคทเทาใดกลาวคอ 1) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 1 จะได x > 0 และ y > 0 ดงนน tan θ > 0

2) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 2 จะได x < 0 และ y > 0 ดงนน tan θ < 0 3) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 3 จะได x < 0 และ y < 0 ดงนน tan θ > 0 4) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 4 จะได x > 0 และ y < 0 ดงนน tan θ < 0

2. การหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) และ cosec (-θ ) ซงสรปเปนสตรไดดงตอไปน tan θ)(− = - tanθ cot θ)(− = - cot θ sec θ)(− = secθ

cosec θ)(− = - cosec θ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 5 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 5 : ฟงกชนตรโกณมตอนๆ 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร คาบท 1

1. ครนาเขาสบทเรยนดวยการถามนกเรยนวานอกเหนอจากฟงกชนไซน ฟงกชนโคไซนและฟงกชนแทนเจนต นกเรยนรจกฟงกชนตรโกณมตอนๆ อะไรบางทนอกเหนอจากทกลาวมา

2. ครอธบายความสมพนธของฟงกชนโดยอาศยฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ครอธบายโดยขนกระดานวา 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

secantθ = cosθ

cosecantθ = sinθ

3. หลงจากทครอธบายความสมพนธในขอท 2 เสรจครกใหนกเรยนสงเกต และถามนกเรยนวาทกฟงกชนตางมความสมพนธกบอะไร (ใหนกเรยนตอบ)

4. ครอธบายวาเนองจากฟงกชนตรโกณมตอนๆ มาจากความสมพนธของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ดงนนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงบางจานวน นกเรยน สามารถหาไดโดยใชคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน ได 5. ครใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรหนวยท 4 กจกรรมท 4.1 เรองคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน เพอใหนกเรยนมองเหนความสมพนธกบฟงกชนตรโกณมตอนๆ พรอมทงแจกใบกจกรรมท 5 6. ใหนกเรยนทาใบกจกรรมท 5 ภายในหองเรยน ถาทาไมเสรจใหกลบไปทาตอเปนการบาน 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

หนวยท 5 เรองฟงกชนตรโกณมตอน ๆ แผนการจดการเรยนรท 11

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของจานวนจรงใดๆ จานวน 1 คาบ

การหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ เมอ θ เปนจานวนจรง ในทานองเดยวกบการหาคาของ sinθ และ cosθ ถา θ เปนจานวนจรงทสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ได วธการหาคาของฟงกชนดงกลาวทาไดดงน 1) ถา θ < 0 แลว ใหหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) หรอ cosec(-θ ) แทน โดยท θ เปนจานวนจรงบวก โดยใชสตรขางตนทกลาวมา 2) ถา 0θ ≥ ซงสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดและ θ = αnπ2 + เมอ n เปนจานวนเตมบวกหรอศนย และ π2α0 <≤ แลว tanθ = tanα cotθ = cot α secθ = secα

cosecθ = cosecα 3) ถา π2θ0 <≤ ซงสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดคาของฟงกชนตรโกณมตดงกลาว สามารถหาไดจาก tanα , cotα , secα และ cosecα ตามลาดบโดยท

2πα0 ≤≤ และ α คอ ความยาวของเสนโคงท p(θ ) อยหางจากแกน x ซงจะไดวา

tanθ = ± tanα cotθ = ± cot α secθ = ± secα

cosecθ = ± cosecα โดยเลอกตอบเครองหมาย + หรอ – ขนอยกบวา p(θ ) เปนจดทอยในจตภาคใด วธการเชนน กเชนเดยวกบวธการหาคาของ sinθ และ cosθ นนเอง จากขอ 1), 2) และ 3) สรปไดวา ถาเราสามารถหาคาของ tanα , cotα , secα และ cosecα

เมอ 2πα0 ≤≤ ได เรากจะสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ เมอθ เปนจานวนจรง

ซงสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตดงกลาวได

4) ความสมพนธระหวางฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตมความสมพนธกน ทเรยกวา “เอกลกษณ” ซงมเอกลกษณทสาคญดงตอไปน 1) ถา θ เปนจานวนจรง และ sinθ ≠ 0 แลว sinθ .cosecθ = 1 2) ถา θ เปนจานวนจรง และ cosθ ≠ 0 แลว cosθ .secθ = 1 3) ถา θ เปนจานวนจรง และ sinθ ≠ 0 และ cosθ ≠ 0 แลว tanθ .cotθ = 1 4) ถา θ เปนจานวนจรงใดๆ แลว 1θcosθsin 22 =+ 5) ถา θ เปนจานวนจรง ซง cosθ ≠ 0 แลว θsecθtan1 22 =+ 6) ถา θ เปนจานวนจรง ซง sinθ ≠ 0 แลว θcosecθcot1 22 =+ 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนตรโกณมตอนๆได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง 3. เมอกาหนดฟงกชนตรโกณมตฟงกชนใดฟงกชนหนงนกเรยนสามารถหาคาของ ฟงกชนทเหลอโดยอาศยความสมพนธของฟงกชนเหลานนได

3. สาระการเรยนร การหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ เมอ θ เปนจานวนจรง

1) ถา θ < 0 แลว ใหหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) หรอ cosec(-θ ) แทน โดยทθ เปนจานวนจรงบวก โดยใชสตรขางตนทกลาวมา 2) ถา 0θ ≥ ซงสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดและ θ = αnπ2 + เมอ n เปนจานวนเตมบวกหรอศนย และ π2α0 <≤ แลว tanθ = tanα cotθ = cot α

secθ = secα cosecθ = cosecα

3) ถา π2θ0 <≤ ซงสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดคาของฟงกชนตรโกณมตดงกลาว สามารถหาไดจาก tanα , cotα , secα และ cosecα ตามลาดบโดยท

2πα0 ≤≤ และ α คอ ความยาวของเสนโคงท p(θ ) อยหางจากแกน x ซงจะไดวา

tanθ = ± tanα cotθ = ± cot α secθ = ± secα

cosecθ = ± cosecα โดยเลอกตอบเครองหมาย + หรอ – ขนอยกบวา p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตใด ความสมพนธระหวางฟงกชนตรโกณมต

1) ถา θ เปนจานวนจรง และ sinθ ≠ 0 แลว sinθ .cosecθ = 1 2) ถา θ เปนจานวนจรง และ cosθ ≠ 0 แลว cosθ .secθ = 1 3) ถา θ เปนจานวนจรง และ sinθ ≠ 0 และ cosθ ≠ 0 แลว tanθ .cotθ = 1 4) ถา θ เปนจานวนจรงใดๆ แลว 1θcosθsin 22 =+ 5) ถา θ เปนจานวนจรง ซง cosθ ≠ 0 แลว θsecθtan1 22 =+ 6) ถา θ เปนจานวนจรง ซง sinθ ≠ 0 แลว θcosecθcot1 22 =+ 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 5 เรองคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 5 : ฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครอธบายความสมพนธของฟงกชนโดยอาศยฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ดงตอไปน 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

secantθ = cosθ

cosecantθ = sinθ

3. หลงจากทครอธบายความสมพนธในขอท 2 เสรจครกใหนกเรยนสงเกต และถามนกเรยนวาทกฟงกชนตางมความสมพนธกบอะไร (ใหนกเรยนตอบ) 4. ครอธบายวาเนองจากฟงกชนตรโกณมตอนๆ มาจากความสมพนธของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ดงนนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ นกเรยนสามารถหาไดโดยใชคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ ได 5. ครใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรหนวยท 5 เรองการหาคาฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ พรอมทงแจกใบกจกรรมท 5 6. ใหนกเรยนทาใบกจกรรมท 5 ภายในหองเรยน ถาทาไมเสรจใหกลบไปทาตอเปนการบาน 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

หนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม แผนการจดการเรยนรท 12

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของมม จานวน 1 คาบ

ฟงกชนตรโกณมตของมม ฟงกชนตรโกณมตทไดกลาวไปในหนวยทผานมาแลว เปนฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง ซงกาหนดไดดวยความยาวของสวนโคงบนเสนรอบวงกลมหนงหนวย แลวใชจดปลายของ สวนโคงนนมาหาคาฟงกชนตรโกณมต เนองจากมมในตาแหนงมาตรฐาน (คอมมๆ หนงทจด (0, 0) และดานเรมตนของมมนนทาบไปตามแกน X ทางบวก) สามารถกาหนดไดดวยความยาวของสวนโคงบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยเชนกน ดงนน เราจงสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ไดเชนเดยวกบการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงทกลาวไปแลว กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน ในระบบเรเดยน ดงรป θ > 0 θ < 0 โดยทสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมมทจดศนยกลางขนาด 1 เรเดยนนนจะตองยาว 1 หนวย ดงนน สวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมมทจดศนยกลางขนาด θ เรเดยน จงยาว θ หนวย จะเหนไดวา จดทดานสนสดของมมขนาด θ เรเดยน ตดกบวงกลมหนงหนวยนนมเพยงจดเดยวและเปนจดเดยวกนกบจดปลายสวนโคงทวดจากจด (1, 0) ยาว |θ | หนวยในทศทางทสอดคลอง

กบ θ เชน จดทดานสนสดของมม 4π

− เรเดยน ตดกบวงกลมหนงหนวย คอจด ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22 ซงเปน

จดเดยวกบจดปลายสวนโคงทวดจากจด (1, 0) ในทศทางตามเขมนาฬกายาว 4π หนวย

ดงนน เราจงอาศยจด p(θ ) ดงกลาวน นยามคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ ได โดยนยาม เชนเดยวกบคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง θ นนเอง บทนยาม กาหนดมม θ เรเดยน ซงเปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และใหดานสนสดของมม θ ตด กบวงกลมหนงหนวยทจด p(θ ) = (x, y) นยามฟงกชนตรโกณมตของมม θ ดงน 1) sinθ = y 2) cosθ = x

3) tanθ = xy เมอ x ≠ 0

4) cotθ = yx เมอ y ≠ 0

5) secθ = x1 เมอ x ≠ 0

6) cosecθ = y1 เมอ y ≠ 0

เนองจากหนวยในการวดมมทนยมใชกนนนมอยสองหนวย คอ เรเดยนและองศา จากทกลาวแลวขางตนจะเหนวา เมอหนวยของมมซงอยในตาแหนงมาตรฐานมหนวยเปนเรเดยน จานวนทแสดงคาของมมนนจะเปนจานวนเดยวกบจานวนจรงทแสดงความยาวและทศทางของ สวนโคงบนวงกลมหนงหนวยทรองรบมมนน ดงนนเมอตองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของ มมทมหนวยเปนเรเดยนจงหาไดตามทกลาวมาแลว สวนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ทมหนวยเปนองศานนอาจหาไดโดยเปลยนคาของมมจากหนวยองศาใหเปนหนวยเรเดยนกอน แลวจงหาคาของฟงกชนนนเชนเดยวกบการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงทวๆ ไป จงสรปไดวา ไมวาจะนยามฟงกชนตรโกณมตในแงของมม หรอในแงของความ ยาวสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมม คาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนเหลานนจะม คาเทากนเสมอ ตอไปนเปนตารางเปรยบเทยบเพอใหนกเรยนไดเหนชดเจนถงระบบเรเดยนกบ ระบบองศา วามความคลายกนอยางไร

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θ− ) = - sinθ cos( θ− ) = cosθ tan( θ− ) = - tanθ cot( θ− ) = - cotθ sec( θ− ) = secθ

cosec( θ− ) = - cosecθ

sin( θ− ) = - sinθ cos( θ− ) = cosθ tan( θ− ) = - tanθ cot( θ− ) = - cotθ sec( θ− ) = secθ

cosec( θ− ) = - cosecθ

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ− ) = sinθ

cos( θπ− ) = - cosθ tan( θπ− ) = - tanθ cot( θπ− ) = - cotθ

sec( θπ− ) = - secθ cosec( θπ− ) = cosecθ

sin( θ180 −o ) = sinθ cos( θ180 −o ) = - cosθ tan( θ180 −o ) = - tanθ cot( θ180 −o ) = - cotθ

sec( θ180 −o ) = - secθ cosec( θ180 −o ) = cosecθ

sin( θπ+ ) = - sinθ cos( θπ+ ) = - cosθ tan( θπ+ ) = tanθ cot( θπ+ ) = cotθ

sec( θπ+ ) = - secθ cosec( θπ+ ) = - cosecθ

sin( θ180 +o ) = - sinθ cos( θ180 +o ) = - cosθ tan( θ180 +o ) = tanθ cot( θ180 +o ) = cotθ

sec( θ180 +o ) = - secθ cosec( θ180 +o ) = - cosecθ

sin( θπ2 − ) = - sinθ cos( θπ2 − ) = cosθ

tan( θπ2 − ) = - tanθ cot( θπ2 − ) = - cotθ sec( θπ2 − ) = secθ

cosec( θπ2 − ) = - cosecθ

sin( θ360 −o ) = - sinθ cos( θ360 −o ) = cosθ tan( θ360 −o ) = - tanθ cot( θ360 −o ) = - cotθ sec( θ360 −o ) = secθ

cosec( θ360 −o ) = - cosecθ

ถา n เปนจานวนนบ แลว sin( θnπ2 + ) = sinθ cos( θnπ2 + ) = cosθ

tan( θnπ2 + ) = tanθ cot( θnπ2 + ) = cotθ sec( θnπ2 + ) = secθ

cosec( θnπ2 + ) = cosecθ

ถา n เปนจานวนนบ แลว

sin(n⋅ θ360 +o ) = sinθ

cos(n⋅ θ360 +o ) = cosθ

tan(n⋅ θ360 +o ) = tanθ

cot(n⋅ θ360 +o ) = cotθ

sec(n⋅ θ360 +o ) = secθ

cosec(n⋅ θ360 +o ) = cosecθ

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถอธบายความแตกตางของฟงกชนตรโกณมตของมมและจานวน จรงไดอยางถกตอง ดานทกษะ/กระบวนการ

1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

3. สาระการเรยนร ฟงกชนตรโกณมตของมม บทนยาม กาหนดมม θ เรเดยน ซงเปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และใหดานสนสดของมม θ ตดกบวงกลมหนงหนวยทจด p(θ ) = (x, y) นยามฟงกชนตรโกณมตของมม θ ดงน 1) sinθ = y 2) cosθ = x

3) tanθ = xy เมอ x ≠ 0

4) cotθ = yx เมอ y ≠ 0

5) secθ = x1 เมอ x ≠ 0

6) cosecθ = y1 เมอ y ≠ 0

เนองจากหนวยในการวดมมทนยมใชกนนนมอยสองหนวย คอ เรเดยนและองศา จากทกลาวแลวขางตนจะเหนวา เมอหนวยของมมซงอยในตาแหนงมาตรฐานมหนวยเปนเรเดยน จานวนทแสดงคาของมมนนจะเปนจานวนเดยวกบจานวนจรงทแสดงความยาวและทศทางของ สวนโคงบนวงกลมหนงหนวยทรองรบมมนน ดงนนเมอตองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของ มมทมหนวยเปนเรเดยนจงหาไดตามทกลาวมาแลว สวนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมมท มหนวยเปนองศานนอาจหาไดโดยเปลยนคาของมมจากหนวยองศาใหเปนหนวยเรเดยนกอน แลว จงหาคาของฟงกชนนนเชนเดยวกบการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงทวๆ ไป

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 6.1 : ฟงกชนตรโกณมตของมม 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร คาบท 1 1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองฟงกชนตรไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงทนกเรยนไดเรยนไปแลวพรอมทงใหนกเรยนทบทวนเรองการวดมมในหนวยท 1 2. ครแนะนานกเรยนเกยวกบการใชงานของคาสงตางๆ ทใชในกจกรรมหนวยท 6 3. ครเปดโอกาสใหนกเรยนถามสงทไมเขาใจเกยวกบการใชงานของคาสงตางๆ 4. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 6 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 6.1 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม แลวใหนกเรยน อานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 5. ใหนกเรยนทากจกรรมในคอมพวเตอรหนวยท 6 โดยครนนเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง โดยทครมหนาทสอน ชแจง และแนะนานกเรยนใหปฏบตกจกรรมไดอยางถกตอง

6. เมอนกเรยนทาใบกจกรรมท 6.1 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทาใบกจกรรมท 6.1

7. ครสรปสงทนกเรยนไดจากใบกจกรรมท 6.1 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปใน ทศทางเดยวกนทงหมด

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก จานวน 1 คาบ

ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก ประโยชนสาคญประการหนงของฟงกชนตรโกณมต คอ การนาไปใชในการหาสวนตางๆ ของรปสามเหลยม ตอไปนจะพจารณาถงฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก

จากรปให ABC เปนรปสามเหลยม ซงม BCA เปนมมฉาก ดงนน o90CAB < ให a, b, c เปนความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C ตามลาดบของรปสามเหลยม ให CAB อยในตาแหนงมาตรฐานดงรป สวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมม A คอสวนโคง FD ให DE ตงฉากกบ AC ทจด E ดงนน sin A = sin(ความยาวสวนโคง FD) = DE cos A = cos(ความยาวสวนโคง FD) = AE เนองจากรปสามเหลยม ADE และรปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมคลาย

ดงนน ADDE =

ABBC และ

ADAE =

แต AD = 1

ดงนน DE = ABBC =

ca และ AE =

ABAC =

นนคอ sin A = ca , cos A =

และ tan A = cosAsinA =

จากทกลาวมาน จงสรปไดวา sin A = cos A = tan A = สวนคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของมม A จะเปนสวนกลบของคาของฟงกชนทงสาม น สมการขางตนนมประโยชนในการหาสวนตางๆ ของรปสามเหลยมมมฉาก 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. เมอกาหนดรปสามเหลยมมมฉากพรอมบอกมม 1 มม และดาน 1 ดานนกเรยนสามารถหาความยาวของดานทเหลอได

2. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก เมอกาหนดคาของฟงกชนตรโกณมตคาหนงใหได

3. สาระการเรยนร ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก sin A = cos A =

tan A = สวนคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของมม A จะเปนสวนกลบของคาของฟงกชนทงสาม น สมการขางตนนมประโยชนในการหาสวนตางๆ ของรปสามเหลยมมมฉาก 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 1: ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองฟงกชนตรโกณมตของมมในคาบทผานมาโดยใหนกเรยนตอบคาถามทครถาม 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 6 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 1 เรองฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 3. ใหนกเรยนทากจกรรมท 6.2 ตอนท 1โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง โดยทครมหนาทสอน ชแจง และแนะนานกเรยนใหปฏบตกจกรรมไดอยางถกตอง

4. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมท 6.2 ตอนท 1 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมท 6.2 ตอนท 1

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมท 6.2 ตอนท 1 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

- ทาใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 1 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 1

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง จานวน 1 คาบ

การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง (ใหนกเรยนเปดคาตารางทอยในหนงสอหนา 101) เราทราบมาแลววา ถา θ เปนจานวนจรง และอยในโดเมนของฟงกชนตรโกณมตใด จะสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตนนไดเสมอ ซงเรากไดมการหาคาของฟงกชนตรโกณมต

ของจานวนจรงบางจานวนไปแลว เชน 4π,

6π หรอ

3π เปนตน

ในกรณท θ เปนจานวนจรงอนๆ เราจะทราบคาของฟงกชนตรโกณมตของ θ ไดอยางไร ปญหาขอน เราไดเคยมการอภปรายมากอนหนานแลววา ถาเราสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมต

ของจานวนจรง θ โดยท 2πθ0 ≤≤ ไดแลว เราจะหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงอนๆ

ได ดงนน นกคณตศาสตรจงไดสรางตารางแสดงคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงบางจานวน

ในชวง [0, 2π ] หรอของมมบางมมตงแต o0 ถง o90 ตารางน เรยกวา ตารางคาฟงกชนตรโกณมต

สวนประกอบของตารางคาฟงกชนตรโกณมต 1. ตารางจะประกอบดวยชองยอยๆ ทงหมด 10 ชอง 2. ชองท 1 และชองท 10 แสดงมม θ ซงเปนมมทมหนวยเปนเรเดยน โดยท - ในชองท 1 คาของ θ จะมคาเรมจาก .0000 เรเดยน ถง .7854 เรเดยน จากบนลงลาง - ในชองท 10 จะเรมจาก .7854 เรเดยน ถง 1.5708 เรเดยน จากลางขนบน 3. ชองท 2 และชองท 9 แสดงมม θ ซงเปนมมทมหนวยเปนองศา โดยท - ในชองท 2 คาของ θ จะมคาเรมจาก 000 ′o และเพมทละ 10 ลปดา จนถง 0045 ′o จากบนลงลาง - ในชองท 9 คาของ θ จะมคาเรมจาก 0045 ′o และเพมทละ 10 ลปดา จนถง 0090 ′o จากลางขนบน 4. ชองท 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 จะเปนตวเลขทแสดงคาของ sinθ , cosθ , tanθ , cotθ , secθ และ cosecθ ตามลาดบ จากบนลงลาง หรอ cosθ , sinθ , cotθ , tanθ , cosecθ และ secθ ตามลาดบ จากลางขนบน

การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงบางจานวนหรอมมบางมมทไมปรากฏในตาราง สมมตให θ เปนมมทตองการหาคาฟงกชนตรโกณมต (ซงไมปรากฏในตาราง) 1) หามม α ทมากทสด และมม β ทนอยทสด ซง βθα << 2) หาคาของฟงกชนตรโกณมตของ α และของ β 3) ใชสดสวนแสดงความสมพนธระหวางผลตางของมม และผลตางของคาฟงกชนของมม หมายเหต สงทควรระวงกคอ จะตองพจารณาใหถองแทวา ในขณะทมมเพมขนนน คาของฟงกชนตรโกณมตของมมนนจะเพมขนหรอลดลง ตวอยาง จงหาคาของ 1) sin 7140 ′o 2) cos 7140 ′o วธทา เนองจาก 024071400140 ′<′<′ ooo 1) จากตารางจะไดวา sin 0140 ′o = 0.6450 มมเพมขน 01 ′ sin 7140 ′o = ? 0.0022 คาฟงกชนเพมขน sin 0240 ′o = 0.6472

ดงนน 107 =

0.0022d

d = 10

0022.07× = .00154

เพราะฉะนน sin 7140 ′o = 0.6450 + 0.00154 = 0.64654 2) จากตารางจะไดวา cos 0140 ′o = 0.7642 มมเพมขน 01 ′ cos 7140 ′o = ? - 0.0019 คาฟงกชนลดลง cos 0240 ′o = 0.7623

ดงนน 107 =

190.00d

d = 10

)0019.0(7 −× = -0.00133

เพราะฉะนน cos 7140 ′o = 0.7642 + (-0.00133) = 0.76287

7′ d

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถอานและหาคาของฟงกชนตรโกณมตทงทมอยในตารางและไม อยในตารางได

3. สาระการเรยนร การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง สวนประกอบของตารางคาฟงกชนตรโกณมต 1. ตารางจะประกอบดวยชองยอยๆ ทงหมด 10 ชอง 2. ชองท 1 และชองท 10 แสดงมม θ ซงเปนมมทมหนวยเปนเรเดยน โดยท - ในชองท 1 คาของ θ จะมคาเรมจาก .0000 เรเดยน ถง .7854 เรเดยน จากบนลงลาง - ในชองท 10 จะเรมจาก .7854 เรเดยน ถง 1.5708 เรเดยน จากลางขนบน 3. ชองท 2 และชองท 9 แสดงมม θ ซงเปนมมทมหนวยเปนองศา โดยท - ในชองท 2 คาของ θ จะมคาเรมจาก 000 ′o และเพมทละ 10 ลปดา จนถง 0045 ′o จากบนลงลาง - ในชองท 9 คาของ θ จะมคาเรมจาก 0045 ′o และเพมทละ 10 ลปดา จนถง 0090 ′o จากลางขนบน 4. ชองท 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 จะเปนตวเลขทแสดงคาของ sinθ , cosθ , tanθ , cotθ , secθ และ cosecθ ตามลาดบ จากบนลงลาง หรอ cosθ , sinθ , cotθ , tanθ , cosecθ และ secθ ตามลาดบ จากลางขนบน การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงบางจานวนหรอมมบางมมทไมปรากฏในตาราง สมมตให θ เปนมมทตองการหาคาฟงกชนตรโกณมต (ซงไมปรากฏในตาราง) 1) หามม αทมากทสด และมม β ทนอยทสด ซง βθα << 2) หาคาของฟงกชนตรโกณมตของ α และของ β 3) ใชสดสวนแสดงความสมพนธระหวางผลตางของมม และผลตางของคาฟงกชนของมม

หมายเหต สงทควรระวงกคอ จะตองพจารณาใหถองแทวา ในขณะทมมเพมขนนน คาของฟงกชนตรโกณมตของมมนนจะเพมขนหรอลดลง 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 2: การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองฟงกชนตรโกณมตของมมในคาบทผานมาโดยใหนกเรยนตอบคาถามทครถาม 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 6 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 2 เรองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 3. ใหนกเรยนทากจกรรมท 6.2 ตอนท 2โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง โดยทครมหนาทสอน ชแจง และแนะนานกเรยนใหปฏบตกจกรรมไดอยางถกตอง

4. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมท 6.2 ตอนท 2 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมท 6.2 ตอนท 2

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมท 6.2 ตอนท 2 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด

- ทาใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 2 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 2

หนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 15

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต กรณท 1 y = T(x) และกรณท 2 y = k⋅T(x) จานวน 1 คาบ

กราฟของฟงกชนตรโกณมต ในการแกปญหาไมวาจะเปนปญหาทางคณตศาสตร หรอปญหาเกยวกบเรองแสง และเสยงในวชาฟสกส บางครงจาเปนตองอาศยความรเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมต การศกษากราฟของฟงกชนตรโกณมตกเหมอนกบฟงกชนทวๆไป กลาวคอ ศกษาเกยวกบลกษณะของกราฟ พรอมทงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน กรณท 1 กราฟของฟงกชนตรโกณมตเมอ y = T(x) 1. กราฟของฟงกชนไซน ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน) จะได y = sine x หรอเขยนสนๆ วา y = sin x เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = sin x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

sin(x) 0 21

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = sin x เมอ πx0 ≤≤ มลกษณะดงน

ชวงท 2 กราฟของ y = sin x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

sin(x) 0 21

− 22

− 23

− - 1 23

− 22

− 21

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = sin x เมอ π2xπ ≤≤ มลกษณะดงน

เมอเรานากราฟทง 2 ชวงมารวมกน จะไดลกษณะของกราฟ y = sin x เมอ π2x0 ≤≤ ดงน

หรอนกเรยนสามารถดไดจากวงกลมหนงหนวยตอไปน

เนองจากเรนจของฟงกชนไซนคอเซตของจานวนจรงตงแต -1 ถง 1 ดงนนคาของฟงกชนไซนจงม คาตงแต -1 ถง 1 ซงคาของ sin x เมอ x เปนจานวนจรงตงแต 0 ถง π2 จะมคาเพมขนหรอลดลง ดงแสดงในตารางตอไปน

x : 0 2π π

2π3 π2

1 sin x : 0 0 0

สรป

1. ขณะท θ เพมจาก 0 ถง 2π

กราฟของ y = sin θ จะเรมจาก 0 และสงขนไปเรอยๆ จนถง 1

2. ขณะท θ เพมจาก 2π ถง π

กราฟของ y = sin θ จะเรมจาก 1 และลดตาลงไปเรอยๆ จนถง 0

3. ขณะท θ เพมจาก π ถง 2π3

กราฟของ y = sin θ จะเรมจาก 0 และลดตาลงไปเรอยๆ จนถง -1

4. ขณะท θ เพมจาก 2π3 ถง π2

กราฟของ y = sin θ จะเรมจาก -1 และสงขนไปเรอยๆ จนถง 0 5. ลกษณะกราฟของ y = sinθ จะเปนไปตามขอ 1 ถงขอ 4

เรยงตามลาดบ ถา θ เพมขนอกชวงละ 2π เรเดยน ตามลาดบ

นกเรยนลองพจารณากราฟของฟงกชนไซน ตอไปน

จากกราฟดงกลาวเนองจาก sin( θnπ2 + ) = sinθ เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ นกเรยนจะพบวาในชวง [ π2 , π4 ] หรอในชวง [ π2− , 0] ลกษณะของกราฟจะเหมอนกบกราฟในชวง [ 0 , π2 ] และจะมลกษณะเชนนไปเรอยๆ ฟงกชนทมลกษณะเชนนเราเรยกวา ฟงกชนทเปนคาบ (periodic function)และคาบของฟงกชนดงกลาวเทากบ π2 ซงกคอความยาวของชวงจาก 0 ถง π2 นนเอง ในกรณทฟงกชนทเปนคาบมคาตาสดและคาสงสด เราจะเรยกคาทเทากบครงหนงของผลตางของคาสงสดกบคาตาสดของฟงกชนนนวา แอมพลจด (amplitude) นนคอ ถา M และ m เปนคาสงสดและคาตาสดของฟงกชนทเปนคาบตามลาดบ จะไดวา

แอมพลจดของฟงกชน เทากบ m)(M21

เชน ฟงกชน y = sin x คาสงสดของฟงกชน y = sin x เทากบ 1 คาตาสดของฟงกชน y = sin x เทากบ -1

ดงนน แอมพลจดของฟงกชน เทากบ 11))((121

=−−

สรปลกษณะของฟงกชนไซน จากลกษณะกราฟของ y = sin x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1sinx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน

ในชวง ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2π ฟงกชนไซนเปนฟงกชนเพม

⎜⎝⎛

2π ฟงกชนไซนเปนฟงกชนลด เปนตน

2. กราฟของฟงกชนโคไซน ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนโคไซน) จะได y = cosine x หรอเขยนสนๆ วา y = cos x เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = cos x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

cos(x) 1 23

1 0 21

− 22

− 23

− -1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = cos x เมอ πx0 ≤≤ มลกษณะดงน

ชวงท 2 กราฟของ y = cos x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

cos(x) -1 23

− 22

− 21

− 0 21

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = cos x เมอ π2xπ ≤≤ มลกษณะดงน

เมอเรานากราฟทง 2 ชวงมารวมกน จะไดลกษณะของกราฟ y = cos x เมอ π2x0 ≤≤ ดงน

เนองจากเรนจของฟงกชนโคไซนคอเซตของจานวนจรงตงแต -1 ถง 1 ดงนนคาของ ฟงกชนโคไซนจงมคาตงแต -1 ถง 1 ซงคาของ cos x เมอ x เปนจานวนจรงตงแต 0 ถง π2 จะมคาเพมขนหรอลดลงดงแสดงในตารางตอไปน

x : 0 2π π

2π3 π2

1 1 cos x : 0 0

สรป

1. ขณะท θ เพมจาก 0 ถง 2π

กราฟของ y = cos θ จะเรมจาก 1 และลดลงไปเรอยๆ จนถง 0

2. ขณะท θ เพมจาก 2π ถง π

กราฟของ y = cosθ จะเรมจาก 0 และลดตาลงไปเรอยๆ จนถง -1

3. ขณะท θ เพมจาก π ถง 2π3

กราฟของ y = cos θ จะเรมจาก -1 และสงขนไปเรอยๆ จนถง 0

4. ขณะท θ เพมจาก 2π3 ถง π2

กราฟของ y = cos θ จะเรมจาก 0 และสงขนไปเรอยๆ จนถง 1 5. ลกษณะกราฟของ y = cosθ จะเปนไปตามขอ 1 ถงขอ 4

เรยงตามลาดบ ถา θ เพมขนอกชวงละ 2π เรเดยน ตามลาดบ

นกเรยนลองพจารณากราฟของฟงกชนโคไซน ตอไปน

จากกราฟดงกลาวเนองจาก cos( θnπ2 + ) = cosθ เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ นกเรยนจะพบวา

ในชวง [ π2 , π4 ] หรอในชวง [ π2− , 0] ลกษณะของกราฟจะเหมอนกบกราฟในชวง [ 0 , π2 ] และจะมลกษณะเชนนไปเรอยๆ ฟงกชนทมลกษณะเชนนเราเรยกวา ฟงกชนทเปนคาบ (periodic function) และคาบของฟงกชนดงกลาวเทากบ π2 ซงกคอความยาวของชวงจาก 0 ถง π2 นนเอง สรปลกษณะของฟงกชนโคไซน จากลกษณะกราฟของ y = cos x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {x| 11 ≤≤− x } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1cosx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน ในชวง ( π , π2 ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนเพม ในชวง (0, π ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนลด เปนตน 3. กราฟของฟงกชนแทนเจนต

tangent = {(x, y) ∈ RR× |y = tan x = xx

cossin เมอ cos x ≠ 0}

ดงนน คา x ททาใหเราไมสามารถหาคา y ได กคอคา x ททาให cos x = 0 จะไดวา rD = {x ∈R| cos x ≠ 0} = R - {x ∈R| cos x =0}

= R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

rR = R เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนแทนเจนตในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนแทนเจนตจากแตละคาของ x ทกาหนดให

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = tan x เมอ π2x0 ≤≤ มลกษณะดงน

จากรปขางบนจะพบวา

1) tan 2π หาคาไมได เพราะ cos

2π = 0

2) tan )2π(− หาคาไมได เพราะ cos )

2π(− = 0

3) ถา x < 2π และมคาเขาใกล

2π แลว คาของ tan x จะเปนจานวนจรงบวกและมคามากขน

อยางไมมทสนสด ดงนนกราฟในสวนน จงสงขนๆ แตจะไมตดกบเสนตรง x = 2π

4) ถา x > 2π และมคาเขาใกล

2π แลว คาของ tan x จะเปนจานวนจรงบวกและมคาลดลง

อยางไมมทสนสด ดงนนกราฟในสวนน จงลดลงๆ แตจะไมตดกบเสนตรง x = 2π

เพราะฉะนนกราฟของ y = tan x เมอ x เปนจานวนจรงทหาคา tan x ได จะมลกษณะดงรป

x 0 6π

6π5 π

tan(x) 0 33 1 3 - 3− -1

x 6π7

6π11 π2

tan(x) 33 1 3 - 3− -1

สรป สงทนกเรยนควรรเกยวกบฟงกชน y = tan x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ ∞− < tan x < ∞ 3) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

4. กราฟของฟงกชนโคเซแคนต

cosecant = {(x, y) RR×∈ |y = cosec x = xsin

1 เมอ sin x ≠ 0}

ดงนน คา x ททาใหเราไมสามารถหาคา y ได กคอคา x ททาให sin x = 0 จะไดวา rD = {x ∈R| sin x ≠ 0}

= R - {x ∈R| sin x =0}

= R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} ถา x เปนจานวนจรงในโดเมนของ cosecant แลว จะได ≤−1 sin x < 0 หรอ 0 < sin x 1≤

ดงนน 1sin

1−≤

x หรอ 1

นนคอ cosec x 1−≤ หรอ cosec x 1≥ เพราะฉะนน rR = ( ∞− , - 1] U [1, ∞ )

เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคเซแคนตในชวง [- π2 , π4 ] เสยกอนโดยหา คาของฟงกชนโคเซแคนตจากแตละคาของ x ทกาหนดให (ทาในทานองเดยวกนกบทผานมา)

สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ cosec x 1−≤ หรอ cosec x 1≥ 3) ฟงกชน y = cosec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

5. กราฟของฟงกชนเซแคนต

secant = {(x, y) RR×∈ |y = sec x = xcos

1 เมอ cos x ≠ 0}

ดงนน คา x ททาใหเราไมสามารถหาคา y ได กคอคา x ททาให cos x = 0 จะไดวา

rD = {x ∈R| cos x ≠ 0} = R - {x ∈R| cos x =0}

= R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

ถา x เปนจานวนจรงในโดเมนของ secant แลว จะได ≤−1 cos x < 0 หรอ 0 < cos x 1≤

ดงนน 1cos

1−≤

x หรอ 1

นนคอ sec x 1−≤ หรอ sec x 1≥ เพราะฉะนน rR = ( ∞− , - 1] U [1, ∞ )

เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนเซแคนตในชวง [- π2 , π4 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนเซแคนตจากแตละคาของ x ทกาหนดให (ทาในทานองเดยวกนกบทผานมา)

2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ sec x 1−≤ หรอ sec x 1≥ 3) ฟงกชน y = sec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

6. กราฟของฟงกชนโคแทนเจนต

cotangent = {(x, y) RR×∈ |y = cot x = xtan

1 เมอ tan x ≠ 0}

ดงนน คา x ททาใหเราไมสามารถหาคา y ได กคอคา x ททาให tan x = 0 จะไดวา

rD = {x ∈R| tan x ≠ 0} = R - {x ∈R| tan x =0}

= R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม}

rR = R เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคแทนเจนตในชวง [- π2 , π4 ] เสยกอนโดยหาคา

ของฟงกชนโคแทนเจนตจากแตละคาของ x ทกาหนดให (ทาในทานองเดยวกนกบทผานมา)

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง หรอ ∞− < cot x < ∞ 3) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) ถา x ∈ (0, π ) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชน 1 – 1 5) คาบของฟงกชนเทากบ π 6) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กรณท 2 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k 0≠ 1. กราฟของฟงกชนไซน ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน)

จะได y = k⋅sine(x) หรอเขยนสนๆ วา y = k⋅sin(x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = k⋅sin(x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

k⋅sin(x) k⋅0 k⋅21 k⋅

22 k⋅

23 k⋅1 k⋅

23 k⋅

22 k⋅

21 k⋅0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว นาคาของฟงกชนไปวาดกราฟ

ชวงท 2 กราฟของ y = k⋅sin(x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

k⋅sin(x) k⋅0 k⋅(21

− ) k⋅(22

− ) k⋅(23

− ) k⋅(- 1) k⋅(23

− ) k⋅(22

− ) k⋅(21

− ) k⋅0

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = k.sin(x) จากลกษณะกราฟของ y = k.sin(x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1⋅k, 1⋅k] นนคอ rR = {y| k1k1 ⋅≤≤⋅− y } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1sin(x)kk1 ⋅≤⋅≤⋅− 3) ฟงกชน y = k.sin(x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ |k| 2. กราฟของฟงกชนโคไซน

ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนไซน)

จะได y = k⋅cosine(x) หรอเขยนสนๆ วา y = k⋅cos(x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = k⋅cos(x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

k⋅cos(x) k⋅1 k⋅23 k⋅

22 k⋅

21 k⋅0 k⋅(

− ) k⋅(22

− ) k⋅(-23 ) k⋅(-1)

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว นาคาของฟงกชนไปวาดกราฟ

ชวงท 2 กราฟของ y = k⋅cos(x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

k⋅cos(x) k⋅(-1) k⋅(-23 ) k⋅(-

22 ) k⋅(-

21 ) k⋅0 k⋅

21 k⋅

22 k⋅

23 k⋅1

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = k⋅cos(x)

จากลกษณะกราฟของ y = k⋅cos (x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1⋅k, 1⋅k] นนคอ rR = {x| k1k1 ⋅≤≤⋅− x } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1cos(x)kk1 ⋅≤⋅≤⋅−

3) ฟงกชน y = k⋅cos(x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ |k| สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราสามารถใชความสมพนธระหวางฟงกชนไซนและโคไซนในการวาดกราฟไดในทานองเดยวกน 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร

1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตทกาหนดใหได 2. นกเรยนสามารถบอกโดเมนและเรนจของฟงกชนตรโกณมตทกาหนดใหได 3. นกเรยนสามารถหาคาคาบและแอมพลจดของฟงกชนตรโกณมตได

3. สาระการเรยนร 1. กราฟของฟงกชนไซน สรปลกษณะของฟงกชนไซน จากลกษณะกราฟของ y = sin x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1sinx1 ≤≤−

3) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน

⎜⎝⎛−

2π ฟงกชนไซนเปนฟงกชนเพม

⎜⎝⎛

2π ฟงกชนไซนเปนฟงกชนลด เปนตน

2. กราฟของฟงกชนโคไซน สรปลกษณะของฟงกชนโคไซน จากลกษณะกราฟของ y = cos x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {x| 11 ≤≤− x } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1cosx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน ในชวง ( π , π2 ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนเพม ในชวง (0, π ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนลด เปนตน 3. กราฟของฟงกชนแทนเจนต สรป สงทนกเรยนควรรเกยวกบฟงกชน y = tan x

4. กราฟของฟงกชนโคเซแคนต สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ cosec x 1−≤ หรอ cosec x 1≥ 3) ฟงกชน y = cosec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

5. กราฟของฟงกชนเซแคนต สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

6. กราฟของฟงกชนโคแทนเจนต สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง หรอ ∞− < cot x < ∞ 3) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) ถา x ∈ (0, π ) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชน 1 – 1 5) คาบของฟงกชนเทากบ π 6) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กรณท 2 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k 0≠ สรปลกษณะของฟงกชนไซน

จากลกษณะกราฟของ y = k⋅sin(x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1⋅k, 1⋅k] นนคอ rR = {y| k1yk1 ⋅≤≤⋅− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1sin(x)kk1 ⋅≤⋅≤⋅−

3) ฟงกชน y = k⋅sin(x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ |k| สรปลกษณะของฟงกชนโคไซน

จากลกษณะกราฟของ y = k⋅cos (x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1⋅k, 1⋅k] นนคอ rR = {x| k1k1 ⋅≤≤⋅− x } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1cos(x)kk1 ⋅≤⋅≤⋅−

3) ฟงกชน y = k⋅cos(x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ |k| สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราสามารถใชความสมพนธระหวางฟงกชนไซนและโคไซนในการวาดกราฟไดในทานองเดยวกน 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต 2.1) ใบกจกรรมท 7 : กราฟของฟงกชนตรโกณมตกรณท 1 กราฟของฟงกชนตรโกณมตกรณท 2 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม

5. กจกรรมการเรยนร 1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตเพอนามาใชในการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตในกรณท 1 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 7 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 7 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 3. ใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 1 y = T(x)โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟในกรณท 1 มคาเทากบเทาไร และมแอมพลจดเทาไร 4.เมอนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 1 y = T(x) เสรจแลวครใหนกเรยนทากจกรรม

ในกรณท 2 y = k⋅T(x) ตอเลยโดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความ สามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟในกรณท 2 มคาเทากบเทาไร และม แอมพลจดเทาไร

5. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมกรณท 1 และ 2 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมกรณท 1 และ 2

6. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมกรณท 1 และ 2 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

- ทาใบกจกรรมท 7 กรณท 1 ไดถกตอง - ทาใบกจกรรมท 7 กรณท 2 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 7 กรณท1 - ใบกจกรรมท 7 กรณท 2

เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k 0≠ และ 1 จานวน 1 คาบ

กรณท 3 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k 0≠ และ 1 1. กราฟของฟงกชนไซน ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน)

จะได y = sine (k⋅x) หรอเขยนสนๆ วา y = sin (k⋅x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = sin (k⋅x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

k⋅x k⋅0 K⋅6π k⋅

4π k⋅

3π k⋅

2π k⋅

3π2 k⋅

4π3 k⋅

6π5 k⋅ π

เมอเราหาคาของ y = sin(k⋅x) ไดแลว กนาไปวาดกราฟโดยใชวธเดยวกนกบกรณท 1

ชวงท 2 กราฟของ y = sin(k⋅x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

k⋅x k⋅ π k⋅6π7 k⋅

4π5 k⋅

3π4 k⋅

2π3 k⋅

3π5 k⋅

4π7 k⋅

6π11 k⋅ π2

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin(k⋅x)

จากลกษณะกราฟของ y = sin (k⋅x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1x)sin(k1 ≤⋅≤− 3) ฟงกชน y = sin (k.x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ kπ2 และมแอมพลจด เทากบ 1

2. กราฟของฟงกชนโคไซน ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนโคไซน)

จะได y = cosine (k⋅x) หรอเขยนสนๆ วา y = cos (k⋅x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = cos (k⋅x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

k⋅x k⋅0 k⋅6π k⋅

4π k⋅

3π k⋅

2π k⋅

3π2 k⋅

4π3 k⋅

6π5 k⋅ π

เมอเราหาคาของ y = cos(k⋅x) ไดแลว กนาไปวาดกราฟโดยใชวธเดยวกนกบกรณท 1

ชวงท 2 กราฟของ y = cos(k⋅x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

k⋅x k⋅ π k⋅6π7 k⋅

4π5 k⋅

3π4 k⋅

2π3 k⋅

3π5 k⋅

4π7 k⋅

6π11 k⋅ π2

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k⋅x)

จากลกษณะกราฟของ y = cos (k⋅x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ fR = 1x)cos(k1 ≤⋅≤−

3) ฟงกชน y = cos (k⋅x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ kπ2 และมแอมพลจด เทากบ 1

สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราใชความสมพนธของฟงกชนไซนและโคไซนในการสรางกราฟ โดยสรางกราฟไดในทานองเดยวกน

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถทาการวเคราะหและอธบายลกษณะของกราฟ ฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin(k⋅x)

จากลกษณะกราฟของ y = sin (k⋅x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1x)sin(k1 ≤⋅≤−

3) ฟงกชน y = sin (k⋅x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ |k|π2 และมแอมพลจด เทากบ 1

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k⋅x)

จากลกษณะกราฟของ y = cos (k⋅x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ fR = 1x)cos(k1 ≤⋅≤−

3) ฟงกชน y = cos (k⋅x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ |k|π2 และมแอมพลจด เทากบ 1

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต 2.1) ใบกจกรรมท 7 : กราฟของฟงกชนตรโกณมตกรณท 3 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครทบทวนนกเรยนเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตในกรณท 2 คอ y = k⋅T(x) โดยเนนไปทการหาคาของฟงกชนตรโกณมต รองลงมาคอการหาคาบและแอมพลจดของกราฟ 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 7 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 7 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการ สอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง

3. ใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 3 y = T(k⋅x)โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟในกรณท 3 มคาเทากบเทาไร และมแอมพลจดเทาไร

4. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมกรณท 3 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมกรณท 3

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมกรณท 3 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปใน ทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

- ทาใบกจกรรมท 7 กรณท 3 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 7 กรณท 3

เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅k+x) เมอ b และ k 0≠ และ 1 จานวน 1 คาบ

กรณท 4 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅k+x) เมอ b และ k 0≠ และ 1 1. กราฟของฟงกชนไซน ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน) จะได y = sine (k+x) หรอเขยนสนๆ วา y = sin (k+x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน ชวงท 1 กราฟของ y = sin (k+x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

k+x k+0 k+6π k+

4π k+

3π k+

2π k+

3π2 k+

4π3 k+

6π5 k+ π

เมอเราหาคาของ y = sin(k+x) ไดแลว กนาไปวาดกราฟโดยใชวธเดยวกนกบกรณท 1 ชวงท 2 กราฟของ y = sin (k+x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

k+x k+ π k+6π7 k+

4π5 k+

3π4 K+

2π3 k+

3π5 k+

4π7 k+

6π11 k+ π2

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin (k+x) จากลกษณะกราฟของ y = sin (k+x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1x)sin(k1 ≤+≤− 3) ฟงกชน y = sin (k+x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π21π2

|b|π2

== และมแอมพลจด เทากบ 1

2. กราฟของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k+x) ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนโคไซน) จะได y = cosine (k+x) หรอเขยนสนๆ วา y = cos (k+x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน ชวงท 1 กราฟของ y = cos (k+x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

k+x k+0 k+6π k+

4π k+

3π k+

2π k+

3π2 k+

4π3 k+

6π5 k+ π

เมอเราหาคาของ y = cos (k+x) ไดแลว กนาไปวาดกราฟโดยใชวธเดยวกนกบกรณท 1 ชวงท 2 กราฟของ y = cos (k+x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

k+x k+ π k+6π7 k+

4π5 k+

3π4 K+

2π3 k+

3π5 k+

4π7 k+

6π11 k+ π2

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k+x) จากลกษณะกราฟของ y = cos (k+x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {x| 11 ≤≤− x } หรอกลาวอยางงายๆ ได 1x)cos(k1 ≤+≤− 3) ฟงกชน y = cos (k+x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2

|b|π2

สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราใชความสมพนธของฟงกชนไซนและโคไซนในการสรางกราฟ โดยสรางกราฟไดในทานองเดยวกน

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถทาการวเคราะหและอธบายลกษณะของกราฟ ฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง

3. สาระการเรยนร สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin (k+x) จากลกษณะกราฟของ y = sin (k+x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1x)sin(k1 ≤+≤− 3) ฟงกชน y = sin (k+x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π21π2

|b|π2

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k+x) จากลกษณะกราฟของ y = cos (k+x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {x| 11 ≤≤− x } หรอกลาวอยางงายๆ ได 1x)cos(k1 ≤+≤− 3) ฟงกชน y = cos (k+x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π21π2

|b|π2

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต 2.1) ใบกจกรรมท 7 : กราฟของฟงกชนตรโกณมตกรณท 4 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครทบทวนนกเรยนเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตในกรณท 3 คอ y = T(k⋅x) โดยเนนไปทการหาคาของฟงกชนตรโกณมต รองลงมาคอการหาคาบและแอมพลจดของกราฟ 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 7 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 7 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการ สอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง

3. ใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 4 y = T(b⋅k + x)โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟ ในกรณท 4 มคาเทากบเทาไร และมแอมพลจดเทาไร

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมกรณท 4เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปใน ทศทางเดยวกนทงหมด

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(x) + k เมอ k 0≠ จานวน 1 คาบ

กรณท 5 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(x) + k เมอ k 0≠ 1. กราฟของฟงกชนไซนกรณ y = sin(x) + k ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน) จะได y = sine(x) + k หรอเขยนสนๆ วา y = sin(x) + k เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน ชวงท 1 กราฟของ y = sin(x) + k เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

sin(x)+ k 0+ k 21 + k

22 + k

23 + k 1+ k

23 + k

22 + k 2

1 + k 0+ k

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว นาคาของฟงกชนไปวาดกราฟ ชวงท 2 กราฟของ y = sin(x) + k เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin(x) + k จากลกษณะกราฟของ y = sin(x) + k มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

x π 6π7

6π11 π2

sin(x) + k 0+k )21(− + k )

22(− + k )

23(− + k (-1)+ k )

23(− + k )

22(− + k )

21(− + k 0+ k

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1+k, 1+k] นนคอ rR = {y| k1yk1 +≤≤+− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1ksin(x)k1 +≤+≤+− 3) ฟงกชน y = sin(x) + k เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 2. กราฟของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos(x) + k

ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนโคไซน) จะได y = cosine(x) + k หรอเขยนสนๆ วา y = cos(x) + k เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน ชวงท 1 กราฟของ y = cos(x) + k เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

cos(x)+k 1+ k 23+ k

22 + k

21 + k 0+ k )

21(− + k )

22(− + k )

23(− +k (-1)+ k

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว นาคาของฟงกชนไปวาดกราฟ ชวงท 2 กราฟของ y = cos(x) + k เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos(x) + k จากลกษณะกราฟของ y = cos (x) + k มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1+ k, 1+ k] นนคอ rR = {x| k1k1 +≤≤+− x } หรอกลาวงายๆ ไดวา k1kcos(x)k1 +≤+≤+− 3) ฟงกชน y = cos(x) + k เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

x π 6π7

6π11 π2

cos(x)+k (-1) + k )23(− + k )

22(− + k )

21(− + k 0+ k

21 + k

22 + k

23 + k 1 + k

4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราสามารถใชความสมพนธระหวางฟงกชนไซนและโคไซนในการวาดกราฟไดในทานองเดยวกน 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถทาการวเคราะหและอธบายลกษณะของกราฟ ฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง

3. สาระการเรยนร สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin(x) + k จากลกษณะกราฟของ y = sin(x) + k มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1+k, 1+k] นนคอ rR = {y| k1yk1 +≤≤+− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1ksin(x)k1 +≤+≤+− 3) ฟงกชน y = sin(x) + k เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos(x) + k จากลกษณะกราฟของ y = cos (x) + k มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1+ k, 1+ k] นนคอ rR = {y| k1k1 +≤≤+− y } หรอกลาวงายๆ ไดวา k1kcos(x)k1 +≤+≤+− 3) ฟงกชน y = cos(x) + k เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต 2.1) ใบกจกรรมท 7 : กราฟของฟงกชนตรโกณมต กรณท 5 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครทบทวนนกเรยนเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตในกรณท 4 คอ y = T(x+k) โดยเนนไปทการหาคาของฟงกชนตรโกณมต รองลงมาคอการหาคาบและแอมพลจดของกราฟ 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 7 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 7 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการ สอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 3. ใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 5 y = T(x) + kโดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟในกรณท 5 มคาเทากบเทาไร และมแอมพลจดเทาไร

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมกรณท 5 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปใน ทศทางเดยวกนทงหมด

ภาคผนวก จ ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

ใบกจกรรมท 1.1 ทบทวนความรเดมเกยวกบอตราสวนตรโกณมต

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 ทบทวนสวนประกอบของสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนสรางรปสามเหลยมมมฉากจากเสนตรงทกาหนดให โดยใชคาสงตอไปน

1.1 คาสง ใชในการสรางจดบนเสนตรง 1.2 คาสง ใชในการสรางเสนตรงผานจดสองจด 1.3 คาสง ใชในการสรางสวนของเสนตรง 1.4 คาสง ใชในการสรางรปวงกลม 1.5 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของเสน (เสนบาง, เสนหนา, เสนประ) 1.6 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของจด 1.7 คาสง ใชในการกาหนดสของเสน จด เปนตน 1.8 คาสง ใชในการวดมมระหวางจด 3 จด 1.9 คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด 1.10 คาสง ใชในการลบสงทเราไมตองการ

2. จากการสรางใหนกเรยนบอกนยามของรปสามเหลยมมมฉาก รปสามเหลยมมมฉาก คอ ..............................................................................................................

3. กาหนดให มม A เปนมมหลก 3.1 สวนของเสนตรง AB เรยกวา .................................................................. 3.2 สวนของเสนตรง BC เรยกวา ................................................................... 3.3 สวนของเสนตรง CA เรยกวา ................................................................... 4. กาหนดใหมม C เปนมมหลก 5.1 สวนของเสนตรง AB เรยกวา .................................................................. 5.2 สวนของเสนตรง BC เรยกวา ................................................................... 5.3 สวนของเสนตรง CA เรยกวา ................................................................... 5. จากรปขางบนนอกจากสามเหลยมมมฉากแลว สวนประกอบในขอ 3-4 สามารถใชกบสามเหลยม อนๆ (ได/ไมได)................... เพราะ .............................................................................................. ตอนท 2 ทบทวนอตราสวนของรปสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนใชคาสง ในการทาการศกษา 2. ใหนกเรยนใชปม a และ b ในการเปลยนแปลงความยาวของเสนตรง เพอทาการศกษากจกรรม

3. จากชดกจกรรมขางบนและจากความรเดมของนกเรยน จะไดวา (วดจากมม A เปนหลกกอน) 3.1 อตราสวนไซน A (sin A) = ............................................................................ 3.2 อตราสวนโคไซน A (cos A) = ..................................................................................................... 3.3 อตราสวนแทนเจนต A (tan A) = ........................................................................ 4. ใหนกเรยนเขยนอตราสวนของไซน ,โคไซน และแทนเจนต โดยกาหนดใหความเปน a, b, c ตามลาดบ โดยยดมม A และ C ตามลาดบ จากการสารวจจะไดวา 4.1 sin A = ........................ 4.4 sin C = ........................... 4.2 cos A = ........................ 4.5 cos C = ........................... 4.3 tan A = ........................ 4.6 tan C = ............................. 5. ใหนกเรยนวดความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก (ตามทนกเรยนตองการ) แลว หาอตราสวนของ ไซน, โคไซน และแทนเจนต ตามลาดบ โดยยดมม A และ C ตามลาดบ จากการสารวจจะไดวา (ในทน a =......... , b = …… , c = ……. , มม A = ........ , มม C = ……) 5.1 sin A = ........................ 5.4 sin C = ........................... 5.2 cos A = ........................ 4.5 cos C = ........................... 5.3 tan A = ........................ 5.6 tan C = ............................. 6. จากการสารวจในขอท 4-6 นกเรยนสามารถตงขอคาดการณไดวา ....................................... .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................

7. กาหนด ΔABC เปนรปสามเหลยมมมฉากท B มขนาดตามทกาหนดใหในตารางตอไปน ใหนก เรยนหาความยาวของดานทเหลอของรปสามเหลยมแตละรปทกาหนดใหแลวเขยนคาของ อตราสวนเตมในตาราง

คาของอตราสวน Δ ABC ขนาดของ A

sin A cos A tan A

8. จากการสารวจในขอ 7 นกเรยนสรปไดวา

ฟงกชน 30๐ 45๐ 60๐ sin cos tan

ใบกจกรรมท 1.2 ทบทวนความรเดมเกยวกบการวดมม

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 ทบทวนการวดมมหนวยทเปนองศา ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนเขากจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยเขาไปทหนวยการเรยนร ท 1 แลวคลกเลอกกจกรรมท 1.2 2. ใหนกเรยนศกษาคานยามของการวดมมหนวยทเปนองศา แลวสรปจากสงทไดเปนขอ ดงน .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... 3. ใหนกเรยนคลกทากจกรรมการวดมมในทศทางทวนเขมนาฬกา ดงรป มม 1 แทนสนาเงน มม 2 แทนสแดง

ใหนกเรยนใชคาสง ในการควบคมจดในทนเราใชจด B ในการทากจกรรม แลวตอบคาถาม ดงน 3.1 สวนของเสนตรง AC เรยกวา ........................................................................ 3.2 สวนของเสนตรง AB เรยกวา ........................................................................ 3.3 จด A เรยกวา................................................................................................ เรยกมมทเกดขนวา ................หรอมม.....................และใชสญลกษณ.............หรอ..........

3.4 จากการสารวจลกษณะของมมพบวา ............................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3.5 ใหนกเรยนสรปสงทไดจากการทากจกรรม ....................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3.6 ใหนกเรยนใชกจกรรมท 1.2 เพอตอบคาถามตอไปน (คลกขวาเพอสารวจมม) 3.6.1 มม °30 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 3.6.2 มม °45 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 3.6.3 มม °60 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 3.6.4 มม °90 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 3.6.5 มม °180 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง...................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 4. จากการศกษาในชดกจกรรมใหนกเรยนเปลยนหนวยองศาใหเปนลปดา และฟลปดาดงตอไปน 4.1) ถา °= 60θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา 4.2) ถา °−= 150θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.3) ถา °= 270θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.5) ถา °−= 60θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.6) ถาให 06 ′ แลวเทากบ ........................................................ องศา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.8) ถาให 036 ′′ แลวเทากบ ........................................................ องศา แลวเทากบ......................................................... ลปดา

4.10) ถา °= 30θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา ตอนท 2 ทบทวนการวดมมหนวยทเปนเรเดยน ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนเขากจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยเขาไปทหนวยการเรยนร ท 1 แลวคลกเลอกกจกรรมท 1.2 2. ใหนกเรยนศกษาคานยามของการวดมมหนวยทเปนเรเดยน แลวสรปจากสงทไดเปนขอ ดงน .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... 3. ใหนกเรยนทาการศกษาและสารวจการวดมมเรเดยน โดยใชชดกจกรรมการเรยนการสอน ดงรป

ใหนกเรยนบอกสวนประกอบแตละอยางของรปทกาหนดให ขางตน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4. จากการศกษากจกรรม ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน 4.1 มม =θ ................................................................ เรเดยน หรอเขยนในรปทวไปจะไดวา มม =θ ................. เรเดยน 4.2 นยามของมม 1 เรเดยน คอ .......................................................................................... ..........................................................................................................................................................

4.3 จากความรเดมของนกเรยน ความยาวของเสนรอบรปวงกลมเทากบ ........................... นนคอ a = ........................................................ ดงนน =θ ................. เรเดยน

และเนองจากวงกลมทเรากาหนดใหนนมรศม r = ..................... เพราะฉะนนนกเรยนสามารถสรปไดวา ................................................................................................... เรเดยน 5. จากการทากจกรรมท 4 นกเรยนสามารถอธบายความแตกตางระหวางหนวยการวดมมทเปน องศากบเรเดยน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

แบบฝกหดเสรมสรางความแกรง ใหนกเรยนฝกหดการเปรยบการวดมมทมหนวยเปนองศากบเรเดยน 1. จงเปลยนมมเรเดยนตอไปน ใหเปนหนวยองศา 1) π 2) π2 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

3) 2π 4)

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

5) 5π 6)

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

7) 5π2 8)

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

9) 2π3 10)

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

11) 4π5 12)

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

13) 6π5

− 14) 3π2

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

15) 4π7

− 16) 12π11

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

17) 6π11

− 18) 4π3

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 2. จงเปลยนมมองศาตอไปน ใหเปนหนวยเรเดยน 1) o1 2) o30 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 3) o45 4) o60 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 5) o90 6) o180 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 7) o150 8) o210 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 9) o330 10) o540 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 11) o360− 12) o120− วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 13) o300− 14) o225− วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 15) o75− 16) o54− วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

ใบกจกรรมท 2.1 วงกลมหนงหนวย

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 วงกลมหนงหนวย ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนเขากจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยเขาไปทหนวยการเรยนร ท 2 แลวคลกเลอกกจกรรมท 2.1 2. ใหนกเรยนสรางรปวงกลมจากจดทกาหนดใหโดยมรศมเทาใดกไดจานวน 3 รป โดยใชคาสงตอไปน

2.1 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของเสน (เสนบาง, เสนหนา, เสนประ) 2.2 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของจด 2.3 คาสง ใชในการกาหนดสของเสน จด เปนตน 2.4 คาสง ใชในการลบสงทเราไมตองการ 2.5 คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด 2.6 คาสง ใชในการสรางรปวงกลม 2.7 คาสง ใชในการแสดงชอของวตถ 2.8 คาสง ใชในการสรางจดตด

3. ใหนกเรยนวาดรปวงกลมทนกเรยนสรางลงในชองวางพรอมทงเขยนสมการวงกลม ดวย 3.1 3.2 รศมยาว................................ หนวย รศมยาว...................................หนวย สมการ ................................. สมการ.................................... 3.2 รศมยาว................................ หนวย สมการ ................................. 4. จากการสรางรปวงกลมในขอ 3 นกเรยนลองตงขอคาดการณซวานยามของวงกลมหนงหนวยคอ อะไร มสมการเปนอยางไร และสรางรปวงกลมหนงหนวยพรอมทงบอกตาแหนงของจดตด ……………….………………………………………… …………………………………………………………. …………………….…………………………………… …………………………………………………………. …………………….…………………………………… …………………………………………………………. …………………….…………………………………… ………………………………………………………….

ตอนท 2 เมอนกเรยนตอบคาถามในขอท 4 เสรจแลวใหนกเรยนทากจกรรมวงกลมหนงหนวย โดยเลอกท หนาถดไปของกจกรรม โดยใชคาสง ในการทาการสารวจกจกรรม 5.1 จากการศกษากจกรรมดงภาพขางลางน ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน เราเรยก θ วา .....................................วดในทศทาง......................................... เราเรยกพกดจด (x, y) วา ........................................................... ความยาวรอบรปวงกลมเทากบ................................................... 5.1.1 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, 1) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ......................................................................

5.1.2 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (-1, 0) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.1.3 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, -1) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.1.4 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (1, 0) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.1.5 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาตาแหนงของจดปลายสวนโคงม................จด

5.2 จากการศกษากจกรรมดงภาพขางลางน ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน เราเรยก θ วา .....................................วดในทศทาง......................................... เราเรยกพกดจด (x, y) วา ........................................................... ความยาวรอบรปวงกลมเทากบ................................................... 5.2.1 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, 1) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ......................................................................

5.2.2 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (-1, 0) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.2.3 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, -1) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.2.4 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (1, 0) คดเปน.................. สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.2.5 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาตาแหนงของจดปลายสวนโคงม................จด

6. จากการทากจกรรมในขอท 5 นกเรยนสรปอะไรไดบาง (ตอบเปนขอๆ ) ……………….…………………………………………………………………………………………………….…………………….…………………………………………………………..…………………………………….…………………….…………………………………………..…………………………………………………….…………………….………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………

ใบกจกรรมท 2.2 จดปลายและความยาวสวนโคง

คาชแจง ในกจกรรมท 2.2 จะแบงออกเปนกจกรรมยอยๆ 2 กรณ ดงน

กรณท 1: ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ π กรณท 2: ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ

กรณท 1 คาสง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง คาชแจง ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยใชคาสงตอไปน

1. คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด

2. คาสง ใชในการแสดงคาของวตถ

3. คาสง ใชในการแสดงแกน x และแกน y 1. ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กน แลวใหนกเรยนตอบคาถามจากสงทนกเรยนไดทาการสารวจ ดงน 1.1 ใหนกเรยนวาดรปวงกลมททาการแบงวงกลมเปน 2 สวนเทาๆ กน เสรจแลวลงในกรอบดานลางน

จากวงกลมหนงหนวยทนกเรยนสรางเสรจแลวนกเรยนลองคดซวาแตละสวนโคงมความยาวสวนโคงเทาไหรและมแกนอะไรเปนตวแบง เพราะอะไรใหนกเรยนเขยนอธบาย

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

กรณท 1 เมอกาหนดให 0θ > 1.1.1 จากA (1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา B(-1, 0) ไดความยาวสวนโคง......................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 1.1.2 จาก B (-1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา C (1, 0) ไดความยาวสวนโคง..................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... กรณท 2 เมอกาหนดให 0θ <

1.1.3 จากC (1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา B(-1, 0) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 1.1.4 จาก B (-1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา A (1, 0) ไดความยาวสวนโคง..................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 1.1.5 ใหนกเรยนทาการสงเกตจดปลายสวนโคง ของแตละความยาวสวนโคง และเขยนสงทนกเรยนไดจากการสงเกต

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

กรณท 2 คาสง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง คาชแจง ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยใชคาสงตอไปน

3. คาสง ใชในการแสดงแกน x และแกน y ใหนกเรยนทากจกรรมท 2.2.2 แลวตอบคาถาม ตอไปน พรอมทงวาดรปประกอบ 1. ใหนกเรยนทาการแบงวงกลมออกเปน 4 สวนเทาๆ กน เมอสรางเสรจแลวใหนกเรยนตอบคาถามจากสงทนกเรยนไดทาการสารวจ และคนพบดวยตนเอง ดงน 1.1 ใหนกเรยนวาดรปวงกลมททาการแบงวงกลมเปน 4 สวนเทาๆ กน เสรจแลววาดรปลงในกรอบดานลางน

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... กรณท 1 เมอกาหนดให 0θ >

1.1.1 จาก A(1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา B (0, 1) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 1.1.2 จาก B (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา C (-1, 0) ไดความยาวสวนโคง..................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.3 จากC(-1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา D(0, -1) ไดความยาวสวนโคง......................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... กรณท 2 เมอกาหนดให 0θ <

1.1.5 จาก A(1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา D(0, -1) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.6 จาก D(0, -1) วดความยาวสวนโคงไปหา C(-1, 0)ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.7 จาก C(-1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา B(0, 1) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.8 จาก B (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา A(1, 0) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.9 ใหนกเรยนทาการสงเกตจดปลายสวนโคง ของแตละความยาวสวนโคง และเขยนสงทนกเรยนไดจากการสงเกต

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

แบบฝกหดระคน 1. ใหนกเรยนใชเครองมอทอยในชดกจกรรม หาความยาวสวนโคงเมอกาหนด p(θ ) กคอพกด (x, y) ทจดสนสดของการวดความยาวสวนโคง θ พรอมทงวาดรปตอไปน 1.1 จงหา p(π ) เทากบ......... องศา 1.2 จงหา p( π2 ) เทากบ......... องศา จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 1.3 จงหา p( π5 )เทากบ......... องศา 1.4 จงหา p( π20 ) เทากบ......... องศา จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

1.5 จงหา p( π1002 )เทากบ......... องศา 1.6 จงหา p( π− ) เทากบ......... องศา จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 1.7 จงหา p( π2− ) เทากบ......... องศา 1.8 จงหา p( π35− ) เทากบ......... องศา จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 1.9 จงหา p( π446− ) เทากบ......... องศา 1.10 จงหา p( π5337− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

2. จากทนกเรยนไดตอบคาถามในขอ 2 ใหนกเรยนตอบสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. ใหนกเรยนใชเครองมอทอยในชดกจกรรม หาความยาวสวนโคงเมอกาหนด p(θ ) กคอพกด (x, y) ทจดสนสดของการวดความยาวสวนโคง θ พรอมทงวาดรปตอไปน

2.1 จงหา p(2

3π ) เทากบ......... องศา 2.2 จงหา p(2

9π )เ ทากบ......... องศา

23π ) เทากบ......... องศา

17π ) เทากบ......... องศา 2.6 จงหา p(27π− ) เทากบ......... องศา

201π− ) เทากบ......... องศา 2.8 จงหา p(231π− ) เทากบ......... องศา

2.9 จงหา p(249π− ) เทากบ......... องศา 2.10 จงหา p(

25337π− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 3. จากทนกเรยนไดตอบคาถามในขอ 2 ใหนกเรยนตอบสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

ใบกจกรรมท 2.3 จดปลายและความยาวสวนโคง

คาชแจง ในกจกรรมท 2.3 จะแบงออกเปน 2 กรณ ดงน กรณท 3: ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ

กรณท 4: ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 3π และ

กรณท 3 คาสง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง คาชแจง ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงวงกลมเปน 8 สวนเทาๆ กน โดยใชคาสงตอไปน

3. คาสง ใชในการแสดงแกน x และแกน y 2. ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงวงกลมเปน 8 สวนเทาๆ กน เมอสรางเสรจแลวให

นกเรยนตอบคาถามจากสงทนกเรยนไดทาการสารวจ และคนพบดวยตนเอง ดงน 2.1 ใหนกเรยนวาดรปวงกลมททาการแบงวงกลมเปน 8 สวนเทาๆ กน เสรจแลววาดรปลงในกรอบดานลางน

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

2.2 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาในการแบงสวนโคง 8 สวน ซงจะมอย 4 จดปลายสวนโคงทเราไมทราบตาแหนงของพกดจดปลายสวน โคง ดงนนใหนกเรยนทาการหาตาแหนงพกด จดทง 4 จด ดงน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... กรณท 1 เมอกาหนดให 0θ > 2.1.1 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา B ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.2 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา C ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.3 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา D ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.4 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา E ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... กรณท 2 เมอกาหนดให 0θ <

2.1.5 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา E ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทางทศทางทวนเขมนาฬกา จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.6 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา D ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.8 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา B ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... กรณท 4 คาสง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง คาชแจง ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงวงกลมเปน 12 สวนเทาๆ กน โดยใชคาสงตอไปน

3. คาสง ใชในการแสดงแกน x และแกน y

2. ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงวงกลมเปน 12 สวนเทาๆ กน เมอสรางเสรจแลวใหนกเรยนตอบคาถามจากสงทนกเรยนไดทาการสารวจ และคนพบดวยตนเอง ดงน 2.1 ใหนกเรยนวาดรปวงกลมททาการแบงวงกลมเปน 12 สวนเทาๆ กน เสรจแลววาดรปลงในกรอบดานลางน

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

2.2 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาในการแบงสวนโคง 12 สวน ซงจะมอย 8 จดปลายสวนโคงทเราไมทราบตาแหนงของพกดจดปลายสวน โคง ดงนนใหนกเรยนทาการหาตาแหนงพกดจดทง 8 จด ดงน กรณท 1 ความยาวสวนโคงเทากบ...................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... กรณท 2 ความยาวสวนโคง เทากบ.................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเทากบ 3π

กรณท 1.1 เมอกาหนดให 0θ > 2.1.1 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา C ไดความยาวสวนโคง..............................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 2.1.2 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา D ไดความยาวสวนโคง..............................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 2.1.3 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา G ไดความยาวสวนโคง...............................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 2.1.4 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา H ไดความยาวสวนโคง...............................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... กรณท 1.2 เมอกาหนดให 0θ <

2.1.5 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา H ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทางทศทางทวนเขมนาฬกา จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.6 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา G ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.7 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา D ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเทากบ 6π

2.1.2 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา E ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.3 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา F ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.4 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา I ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.5 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา I ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทางทศทางทวนเขมนาฬกา จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.6 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา F ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.7 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา E ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................

จากการศกษาความยาวสวนโคงในกรณท 3 และ 4 ใหนกเรยนใชความร ความเขาใจ ตอบคาถามตอไปน โดยใชโปรแกรม C.a.R. เปนตวชวยในการทากจกรรม 1. ใหนกเรยนใชเครองมอทอยในชดกจกรรม หาความยาวสวนโคงเมอกาหนด p(θ ) กคอพกด (x, y) ทจดสนสดของการวดความยาวสวนโคง θ พรอมทงวาดรปตอไปน

1.1 จงหา p(4π ) เทากบ......... องศา 1.2 จงหา p(

47π− ) เทากบ......... องศา

417π− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................

2.7 จงหา p(3π

− ) เทากบ......... องศา 2.8 จงหา p(3

2π− ) เทากบ......... องศา

28π− ) เทากบ......... องศา 2.10 จงหา p(

311π− ) เทากบ......... องศา

3.7 จงหา p(6π

− ) เทากบ......... องศา 3.8 จงหา p(6

5π− ) เทากบ......... องศา

19π− ) เทากบ......... องศา 3.10 จงหา p(

− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 4. จากทนกเรยนไดตอบคาถามในขอ 3 ใหนกเรยนตอบสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

แบบฝกหดเพมเตม ใหนกเรยน หาตาแหนงจดปลายสวนโคง ตอไปน

1. )4π17p(

วธทา เนองจาก =4π17

4π4 = π4

4π+ = π)2(2

จะไดวา )4π17p( = p( π)2(2

4π+ )

= )4πp(

ดงนน )4π17p( = (

หมายเหต : ถานกเรยนไมสามารถแยกใหเปน 2(n π ) โดยท n คอจานวนเตม กไมเปนไร แตถาทาได ใหทานะครบ

2. )3π91p(

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

3. )6π49p(

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

4. )2π9p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

5. )6π37p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

6. )4π11p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

7. )4π45p(

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

8. )6π5p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

9. )4π7p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

10. )6π41p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. จากขอ 1 – 10 ใหนกเรยนเขยนสรปสงทนกเรยนไดจากการทาแบบฝกหด ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................

ใบกจกรรมท 3 ฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 3 เรองฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง

1. ใหนกเรยนทาการศกษาการนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนโดยใชวงกลมหนงหนวย 2. จากขอ 1 ใหนกเรยนสารวจกจกรรมแลวเตมคาตอบลงในตารางตอไปน

หนวยการวดมม พกดจด

เรเดยน องศา x y 0 0๐

6π 30๐

4π 45๐

3π 60๐

2π 90๐

32π 120๐

43π 135๐

65π 150๐

π 180๐

34π 210๐

45π 225๐

67π 240๐

23π 270๐

35π 300๐

47π 315๐

611 π 330๐

π2 360๐

หมายเหต : คาของ 23 = 0.866 ,

22 = 0.7071

3. จากความรเดมในหนวยท 2 จะเหนวาคาของความยาวสวนโคง θ เมอθ เปนจานวนจรงใดๆ จะสามารถกาหนดจดปลายของสวนโคงไดเพยง ............. จด เทานน นกเรยนคดวาเปนฟงกชนหรอไมเพราะเหตใด.......................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................................

4. จากขอมลในขอ 1- 3 ทนกเรยนไดตอบใหนกเรยนเขยนนยามของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ตามความเขาใจของนกเรยน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

5. เมอนกเรยนไดบทนยามในขอท 4 แลว ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน 5.1 โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ .................................................. เรนจของฟงกชนโคไซน คอ .................................................. 5.2 โดเมนของฟงกชนไซน คอ .................................................. เรนจของฟงกชนไซน คอ ..................................................

6. ใหนกเรยนตอบคาถามลงในวงกลมหนงหนวยตอไปน

เนองจากสมการของวงกลมหนงหนวย คอ....................................... และจากรปขางบนจะเหนวา y = …….. , x = ………… ดงนนสงผลให .............................................. 7. ใหนกเรยนเตมคาตอบลงในตารางขางลางน

o0 30๐ 45๐ 60๐ 90๐ 180๐ 270๐

sin θ cos θ

tan θ =cosθsinθ

cosec θ = sinθ

sec θ = cosθ

cot θ = sinθcosθ

ใบกจกรรมท 4.1 คาของฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซน และฟงกชนไซน ในกจกรรมนจะแบงออกเปน 2 สวน กรณท 1 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน 1. ใหนกเรยนทากจกรรม 4.1 ในหนวยท 4 แลวตอบคาถามลงในใบงาน 2. ใหนกเรยนหาความยาวสวนโคงของจดปลายสวนโคงตอไปน (ภายใน 1 รอบ ทศทางทวนเขมนาฬกา) 2.1 พกดจดปลาย p(1, 0) 2.2 พกดจดปลาย p(0, 1) θ = ………….. θ = ………… sin (…..) = ………… sin (…..) = ………… cos (….) = ………… cos (…..) = …………

2.3 พกดจดปลาย p(-1, 0) 2.4 พกดจดปลาย p(0, -1) θ = ………….. θ = ………… sin (…..) = ………… sin (…..) = ………… cos (….) = ………… cos (…..) = …………

2.5 ให θ = 2π

− 2.6 ให θ = π−

พกดจดปลายสวนโคง............ พกดจดปลาย .............. sin (…..) = ………… sin (…..) = ………… cos (….) = ………… cos (….) = …………

2.7 ให θ =2

3π− 2.8 ให θ = π2−

พกดจดปลายสวนโคง............ พกดจดปลาย .............. sin (…..) = ………… sin (…..) = ………… cos (….) = ………… cos (….) = …………

3. ใหนกเรยนใชความรเดมในหนวยท 2 แบงวงกลมออกเปน 8 สวน จะไดดงรป

เมอนกเรยนสรางรปเสรจแลวใหกาหนดจด P(x, y) เปนจดตดทอยบนวงกลม และใหนกเรยนปฏบตดงน 3.1 ใหนกเรยนสรางรป Δ มมฉาก PAO โดยม A เปนมมฉาก จะไดวา m( POA ) = …………. เรเดยน หรอ ............... องศา จะเหนวา Δ PAO เปนสามเหลยม.......................................... ดงนน ...................................................... นนคอ ...................................................... 3.2 จากขอ 3.1 นกเรยนทราบแลววา ............................................... หนาทของนกเรยนคอตองหาพกดจดปลายสวนโคง ใหไดซงสามารถหาได 2 วธ ดงน

วธท 1 ใชความรเรองทฤษฏบทพทาโกรส วธท 2 ใชความรเรองการหาระยะทางระหวางจด (คลายๆ กบหนวยท 2)

3.3 ใหนกเรยนหาจดปลายสวนโคง โดยใชวธใดวธหนง ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

นอกจากคาของ 4π แลว เรายงสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

4π5 ,

4π7 , …, ( )

4π1n2 + เมอ n คอ จานวนเตมบวก

4. ใหนกเรยนใชความรเดมในชน ม. 1 สรางมม 60 องศา โดยทให Oกางเทากบ o60 เมอนกเรยนสรางรปเสรจแลวใหกาหนดจด P(x, y) เปนจดตดทเกดจากการสรางมม o60 เปนจดตดทอยบนวงกลม และใหนกเรยนปฏบตดงน 4.1 ใหนกเรยนสรางรป Δ มมฉาก PAO โดยม A เปนมมฉาก จะไดวา m( POA ) = ............... องศา หรอ ..................... เรเดยน จะเหนวา Δ PAO เปนสามเหลยม..........................................

4.2 หนาทของนกเรยนคอตองหาพกดจดปลายสวนโคง ใหไดซงถาเราพจารณาแลวการหาจดปลายสวนโคงในขอน เราสามารถหาไดในกรณเดยวคอ.............................................................. เพราะ......................................................... ดงนนนกเรยนตองหาจดทสมมาตรกบจด P(x, y) ขนมาอกหนงจด คอ M(-x, y) โดยทจดนเกดจากการใหแกน.......... เปนเสนสะทอนของจด P(x, y) 4.3 ใหนกเรยนหาจดปลายสวนโคง (ใชแนวคดเดยวกนกบในหนวยท 2) ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ในรป 3πnπ2 ± ,

3π2nπ2 ± ,

5. จากขอ 4 จะไดวาจากการหา sin 3π และ cos

6π และ

ขอใหนกเรยนสงเกต รป Δ PAO ในขอ 4 จะพบวามมแตละมมเทากบ............................... มความยาวสวนโคง........................................... เรเดยน ตามลาดบ และมม.................. เปนสวนหนงของรปสามเหลยมมมฉากเดยวกน ดงรป

จากขอ 4 จะไดวา sin 3π = ………. และ cos

3π = ………….

ดงนน อตราสวนดงกลาวจะทาใหเกดรปสามเหลยมมมฉากไดแบบหนง ดงน จากรปสามเหลยมมมฉาก ดงกลาวใชความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมต จะได

sin 6π = ……………

cos 6π = ……………

แบบฝกหดเสรม 1. จงหาคาของ sinθ และ cosθ เมอ θ เปนจานวนจรงตอไปน 1) π3 2) π8 p( π3 ) = ………………. p( π8 ) = ………………….. sin( π3 ) = …………….. sin( π8 ) = …………….. cos( π3 ) = …………….. cos( π8 ) = …………….. 3) π5− 4) π2− p( π5− ) = ………………. p( π2− ) = ………………….. sin( π5− ) = …………….. sin( π2− ) = …………….. cos( π5− ) = …………….. cos( π2− ) = ……………..

5) 2π

− 6) 2π3

− ) = ………………. p(2π3

− ) = …………………..

sin(2π

− ) = …………….. sin(2π3

− ) = ……………..

cos(2π

− ) = …………….. cos(2π3

− ) = ……………..

7) 2π7 8)

p(2π7 ) = ………………. p(

− ) = …………………..

sin(2π7 ) = …………….. sin(

− ) = ……………..

cos(2π7 ) = …………….. cos(

− ) = ……………..

9) 2π9 10)

p(2π9 ) = ………………. p(

− ) = …………………..

sin(2π9 ) = …………….. sin(

− ) = ……………..

cos(2π9 ) = …………….. cos(

− ) = ……………..

11) π57 12) π57− p( π57 ) = ………………. p( π57− ) = ………………….. sin( π57 ) = …………….. sin( π57− ) = …………….. cos( π57 ) = …………….. cos( π57− ) = …………….. 13) π35 14) π35− p( π35 ) = ………………. p( π35− ) = ………………….. sin( π35 ) = …………….. sin( π35− ) = …………….. cos( π35 ) = …………….. cos( π35− ) = ……………..

15) 2π27 16)

p(2π27 ) = ………………. p(

− ) = …………………..

sin(2π27 ) = …………….. sin(

− ) = ……………..

cos(2π27 ) = …………….. cos(

− ) = ……………..

2. จากรปวงกลมหนงหนวยใหนกเรยนบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงทยาว 4π ,

6π ลงไปในรป

และบอกคาของฟงกชนไซนและโคไซน พรอมทงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

ตอไปน 3π2 ,

4π3 ,

6π5 ,

6π7 ,

4π5 ,

3π4 ,

3π5 ,

4π7 และ

3. จงหาผลลพธตอไปน

1) sin3π cos

4π + tan

4π sec

6π 2) 3

6πtan2

6πcos

4πcosec

3πsin

31 222 +−−

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

3) sin2π3 secπ + sec 2

6sin ππ

− 4) ooooo 60cos2360cos60sec45cot720sin −+

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

5) sin3π +2 sin

2π 6) sin

3π cos

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

7) 3πtan

2π3cos

2π3sin

6πcos

6πsin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 8) oooooo 60cot60sec45cot60cosec30tan90sin −−

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

9) ooooo 45cot60cos60sec30cos60tan − 10) 3

4cot 222 ππππ

−−+

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

sin31 2222 πππππ

+− 12) oo

oo 45sec8160sin30cot

2145tan3 2222 +−−

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

ใบกจกรรมท 4.2 คาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงใดๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซนและไซน และเลอกทากจกรรมท 4.2 คาชแจง ในกจกรรมท 4.2 จะแบงการหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงออกเปน 2 กรณ กรณ 1 การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก กรณ 2 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2 กรณ 1 การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก 1. ใหนกเรยนทาการสารวจกจกรรมในกรณท 1 แลวเขยนสงทนกเรยนไดจากการสารวจ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

2. ใหนกเรยนใชวงกลมหนงหนวยในกรณท 1 ตอบคาถามตอไปน

2.1) ให θ = 6π 2.2) ให θ =

ทศทาง........................................ ทศทาง......................................... p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 2.1 และ 2.2 จะไดวา …………………………………………………………….. ……………………………………………………….…….

2.3) ให θ = 4π 2.4) ให θ =

2.5) ให θ = 3π 2.6) ให θ =

ทศทาง........................................ ทศทาง......................................... p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ………………………..

cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 2.5 และ 2.6 จะไดวา …………………………………………………………….. ……………………………………………………….…….

2.7) ให θ = 3

2π 2.8) ให θ = 3

2π−

2.9) ให θ = 4

3π 2.10) ให θ = 4

3π−

ทศทาง........................................ ทศทาง......................................... p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 2.9 และ 2.10 จะไดวา …………………………………………………………….. ……………………………………………………….……. 3. จากทนกเรยนทาทงหมดในขอ 2 เราสามารถสรปเปนสตรไดคอ …………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………….………

กรณ 2 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2 ใหนกเรยนทาการสารวจกจกรรมท 4.2 ในกรณท 2 ตามรป 1. จากการสารวจกจกรรมในกรณท 2 นกเรยนไดอะไรบาง ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จากคณสมบตทไดจากการสารวจในขอท 1 ใหนกเรยนนาความรมาตอบคาถามตอไปน

2.1) กาหนดใหθ = 6π จงหาจานวนจรง θ มา 4 จานวนทมคาของฟงกชนตรโกณมตเทากน

จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. 2.2) กาหนดใหθ =

4π จงหาจานวนจรง θ มา 4 จานวนทมคาของฟงกชนตรโกณมต

จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. 2.3) กาหนดใหθ =

จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. 2.4) กาหนดใหθ =

จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

2.5) กาหนดใหθ = π จงหาจานวนจรง θ มา 4 จานวนทมคาของฟงกชนตรโกณมต จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปสตรทนกเรยนไดจากการปฏบต ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ใบกจกรรมท 4.2.1 คาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงใดๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซนและไซน และเลอกทากจกรรมท 4.2 คาชแจง ในกจกรรมท 4.2.1 จะแบงการหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงออกเปน 2 กรณ

กรณ 3 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π

กรณ 4 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3

กรณ 3 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π

1. ใหนกเรยนทาการศกษาสารวจกจกรรมท 4.2 ในกรณท 3 ดงรป

2. ใหนกเรยนเขยนสงทไดจากการสารวจ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

3. ใหนกเรยนใชความรทไดจากการสารวจตอบคาถามตอไปน

3.1) ให θ = 3π 3.2) ให θ =

p(θ ) = (21 ,

23 ) p(θ ) =

32π = (

3ππ − ) = (

− , 23 )

sin(θ ) = 23 sin(θ ) =

cos(θ ) = 21 cos(θ ) =

tan(θ ) = 3 tan(θ ) = 3− sec(θ ) = 2 sec(θ ) = - 2

cosec(θ ) = 3

2 cosec(θ ) = 3

cot(θ ) = 3

1 cot(θ ) = 3

จากขอ 3.1 และ 3.2 จะไดวา sin(3ππ − ) = sin (

3π ), cos(

3ππ − ) = - cos (

tan(3ππ − ) = - tan(

3π ), sec(

3ππ − ) = - sec(

cosec(3ππ − ) = cosec(

3π ), cot(

3ππ − ) = - cot(

3.3) ให θ = 4π 3.4) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.3 และ 3.4 จะไดวา …………………………………………….………………. ………………………………………………………….…. ……………………………………………………………..

3.5) ให θ = 6π 3.6) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.5 และ 3.6 จะไดวา ……………………………………………………..………. ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… 4. จากขอ 1-3 นกเรยนสามารถสรปใหอยในรปสตรทวไปไดแก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

กรณ 4 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3

1. ใหนกเรยนทาการศกษาสารวจกจกรรมท 4.2 ในกรณท 4 ดงรป 2. ใหนกเรยนเขยนสงทไดจากการสารวจ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. ใหนกเรยนใชความรทไดจากการสารวจตอบคาถามตอไปน

3.1) ให θ = 6π 3.2) ให θ =

P(θ ) = (23 ,

21 ) P(θ ) =

67π = (

6ππ + ) = (

− ,21

sin(θ ) = 21 sin(θ ) =

cos(θ ) = 23 cos(θ ) =

tan(θ ) = 3

1 tan(θ ) = 3

sec(θ ) = 3

2 sec(θ ) = 3

cosec(θ ) = 2 cosec(θ ) = 2− cot(θ ) = 3 cot(θ ) = 3

จากขอ 3.1 และ 3.2 จะไดวา sin(6ππ + ) = - sin (

6π ), cos(

6ππ + ) = - cos (

tan(6ππ + ) = tan(

6π ), sec(

6ππ + ) = - sec(

cosec(6ππ + ) = - cosec(

6π ), cot(

6ππ + ) = cot(

3.3) ให θ = 4π 3.4) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.3 และ 3.4 จะไดวา …………………………………………………….………. …………………………………………………………….. ……………………………………………………………..

3.5) ให θ = 3π 3.6) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.5 และ 3.6 จะไดวา …………………………………………………….………. …………………………………………………………….. ……………………………………………………………..

3.7) ให θ = 2π 3.8) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ………………………..

จากขอ 3.7 และ 3.8 จะไดวา …………………………………………………….………. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. 4. จากขอ 1-3 นกเรยนสามารถสรปใหอยในรปสตรทวไปไดแก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ใบกจกรรมท 4.2.2 คาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงใดๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซนและไซน และเลอกทากจกรรมท 4.2 คาชแจง ในกจกรรมท 4.2.2 จะแบงการหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงออกเปน 1 กรณ

กรณ 5 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ < π

กรณ 5 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ < π2

1. ใหนกเรยนทาการศกษาสารวจกจกรรมท 4.2 ในกรณท 5 ดงรป 2. ใหนกเรยนเขยนสงทไดจากการสารวจ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

3. ใหนกเรยนใชความรทไดจากการสารวจตอบคาถามตอไปน

3.1) ให θ = 6π 3.2) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.1 และ 3.2 จะไดวา …………………………………………………………..…. ……………………………………………………………... ………………………………………………………………

3.3) ให θ = 4π 3.4) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.3 และ 3.4 จะไดวา …………………………………………………………..…. ……………………………………………………………... ………………………………………………………………

3.5) ให θ = 3π 3.6) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ………………………..

cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.5 และ 3.6 จะไดวา …………………………………………………………..…. ……………………………………………………………... ………………………………………………………………

3.7) ให θ = 2π 3.8) ให θ =

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.7 และ 3.8 จะไดวา …………………………………………………………..…. ……………………………………………………………... ……………………………………………………………… 4. จากขอ 1-3 นกเรยนสามารถสรปใหอยในรปสตรทวไปไดแก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

แบบฝกหดระคน

1. จงเขยนคาของ sinθ และ cosθ ในรปของ sinα และ cosα โดยท 2πα0 ≤≤ เมอกาหนด θ

ดงตอไปน (ในทน π = 3.14159) 1.1) θ = 3 1.2) θ = -3

วธทา เนองจาก π32π

<< วธทา ............................................................

ดงนน p(3) อยในควอดรนตท 2 ......................................................................

ให α = 3π− จะได 2πα0 << และ ......................................................................

sin 3 = sin( 3π− ) ...................................................................... cos 3 = - cos( 3π− ) ...................................................................... 1.3) θ = 4 1.4) θ = - 4 วธทา ............................................................ วธทา ............................................................ ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ......................................................................

1.5) θ = 5 1.6) θ = - 5 วธทา ............................................................ วธทา ............................................................ ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ......................................................................

2. กาหนดให 2πθ0 ≤≤ และ sinθ = 0.5075 จงหาคาของ

2.1) sin(-θ ) 2.2) sin( θπ − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 2.3) sin( θπ + ) 2.4) sin( πθ − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

2.5) sin( θπ −2 ) 2.6) sin( πθ 2− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

3. กาหนดให 2πθ0 ≤≤ และ cosθ = 0.8090 จงหาคาของ

2.1) cos( θπ − ) 2.2) cos( πθ − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 2.3) cos( θπ −2 ) 2.4) cos( πθ 2− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

2.5) cos( θπ −3 ) 2.6) cos( πθ 3− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 4. จงพจารณาดวาขอตอไปถกหรอผด พรอมทงอธบายเหตผล 1. ถา sinθ = 0.5 แลว p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตท 1 เทานน ตอบ ................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 2. ถา sinθ = -0.309 และ cosθ = -0.951 แลว p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตท 3 เทานน ตอบ ................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... 3. ถา sinθ =cosθ แลว p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตท 1 เทานน ตอบ ................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 4. ถา sinθ = - cosθ แลว p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตท 2 หรอ 4 ตอบ ................................................................................................................................................ .........................................................................................................................................................

5. กาหนดให 2πθ0 1 ≤≤ และ

2πθ0 2 ≤≤ โดยท sinθ = 0.1045 และ cosθ = 0.8090 จงหาคาของขอ

ตอไปน 5.1) sin( πθ1− ) 5.2) cos( πθ2− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 5.3) sin( 1θπ3 + ) 5.4) cos( 2θπ3 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 5.5) sin( 1θπ3 − ) 5.6) cos( 2θπ3 − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

5.7) sin( 1θπ5 + ) 5.8) cos( 2θπ5 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

5.9) sin( 1θπ5 − ) 5.10) cos( 2θπ5 − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

5.11) sin( π2θ1− ) 5.12) cos( π2θ2− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 6. ให o90θ0 << จงพจารณาวาขอใดตอไปนถกตอง 6.1) sin ( )o180θ− < 0 เปน..............

6.2) cos ( )o360θ2 − < 0 เปน.............. 6.3) cos ( )θ270 −o > 0 เปน.............. 6.4) tan ( )θ90 +o > 0 เปน..............

ใบกจกรรมท 5 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 5 เรองฟงกชนตรโกณมตอนๆ โดยใชความรเดมในหนวยท 4 นามาใชกบใบกจกรรมในหนวยท 5 1. จงทาใหอยในรป tanθ 1.1) tan ( θπ− ) 1.2) tan ( θπ+ ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

1.3) tan ( θπ2 − ) 1.4) tan ( θπ2 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 2. จงทาใหอยในรป cosecθ 2.1) cosec ( θπ− ) 2.2) cosec ( θπ+ ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

2.3) cosec ( θπ2 − ) 2.4) cosec ( θπ2 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

3. จงทาใหอยในรป secθ 3.1) sec ( θπ− ) 3.2) sec ( θπ+ ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

3.3) sec ( θπ2 − ) 3.4) sec ( θπ2 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 4. จงทาใหอยในรป cotθ 4.1) cot ( θπ− ) 4.2) cot ( θπ+ ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

4.3) cot ( θπ2 − ) 4.4) cot ( θπ2 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 5. จงหาคาของ

5.1) tan3

5π - cos3

4π - cosec6

5π 5.2) tan4

7π - cot4

3π - cosec3

วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

5.3) sec3π5 tan

43π 5.4)

7tan2π3cosec

4π3tan

6π7sec

3π7sin4

วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

5.5) sin )540cos()765sec(240tan300 ooo

o −− 5.6) o

630tan2π3cosec240tan)765sec(300sin4 +−

วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 6. จงหาจานวนจรง θ โดยท π2θ0 ≤≤ และสอดคลองกบสมการในขอตอไปน 6.1) |sinθ | = sinθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ..................................................... 6.2) |cosθ | = - cosθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ....................................................

6.3) |tanθ | = tanθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.4) |cotθ | = - cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.5) |secθ | = secθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.6) |cosecθ | = - cosecθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.7) sinθ = cosθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.8) tanθ = cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.9) sinθ = tanθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.10) cosθ = cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ....................................................

ใบกจกรรมท 6.1 ฟงกชนตรโกณมตของมม

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม คาชแจง ในกจกรรมท 6.1 จะแบงออกเปน 2 ตอน ดงน ตอนท 1 ทบทวนความรเดมเรองการวดมม ตอนท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมม ตอนท 1 ทบทวนความรเดมเรองการวดมม 1. ใหนกเรยนใชความรเรองการวดมมในหนวยท 1 เปลยนมม θทกาหนดให ใหมหนวยเปนองศา และเรเดยน 1.1) o1θ = 1.2) o60θ = วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ .......................................................................

1.3) o501θ −= 1.4) o270θ = วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ .......................................................................

1.5) 6

11θ π= เรเดยน 1.6)

32θ π

วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ ....................................................................

1.7) 5

θ π= เรเดยน 1.8)

45θ π

−= เรเดยน

วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ .......................................................................

1.9) 6

7θ π−= เรเดยน 1.10) 3θ = เรเดยน

วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ .......................................................................

ตอนท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมม ในกจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมตของมมจะแบงเนอหาออกเปน 5 กรณเชนเดยวกนกบฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง ดงน กรณ 1 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม -θ เมอ θ เปนมมบวก กรณ 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ θ > o360 กรณ 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o90 <θ < o180 กรณ 4 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o180 <θ < o270 กรณ 5 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o270 <θ < o360

ใหนกเรยนใชความสมพนธระหวางหนวยการวดมมทเปนองศากบหนวยการวดมมเรเดยนเตมคาตอบลงในตารางทง 5 กรณตอไปน กรณ 1 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม -θ เมอ θ เปนมมบวก

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θ− ) = …………..

cos( θ− ) = ………….. tan( θ− ) = ………….. cot( θ− ) = ………….. sec( θ− ) = …………..

cosec( θ− ) = …………..

กรณ 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ θ > o360

ระบบเรเดยน ระบบองศา ถา n เปนจานวนนบ แลว

sin( θnπ2 + ) = ………….. cos( θnπ2 + ) = …………..

tan( θnπ2 + ) = ………….. cot( θnπ2 + ) = ………….. sec( θnπ2 + ) = …………..

cosec( θnπ2 + ) = …………..

กรณ 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o90 <θ < o180

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ− ) = ………….. cos( θπ− ) = ………….. tan( θπ− ) = ………….. cot( θπ− ) = …………..

sec( θπ− ) = ………….. cosec( θπ− ) = …………..

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ+ ) = ………….. cos( θπ+ ) = ………….. tan( θπ+ ) = ………….. cot( θπ+ ) = ………….. sec( θπ+ ) = ………….. cosec( θπ+ ) = …………..

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ2 − ) = ………….. cos( θπ2 − ) = …………..

tan( θπ2 − ) = ………….. cot( θπ2 − ) = …………..

sec( θπ2 − ) = ………….. cosec( θπ2 − ) = …………..

แบบฝกหดเสรมทกษะ 1. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนของมมตอไปน 1) 150๐ 2) 120๐ วธทา วธทา sin(150๐) = …………………. sin(120๐) = …………………. cos(150๐) = …………………. cos(120๐) = …………………. tan(150๐) = …………………. tan(120๐) = …………………. sec(150๐) = …………………. sec(120๐) = …………………. csc(150๐) = …………………. csc(120๐) = …………………. cot(150๐) = …………………. cot(120๐) = ………………….

3) 315๐ 4) –315๐ วธทา วธทา sin(315๐) = …………………. sin(–315๐) = …………………. cos(315๐) = …………………. cos(–315๐) = …………………. tan(315๐) = …………………. tan(–315๐) = …………………. sec(315๐) = …………………. sec(–315๐) = …………………. csc(315๐) = …………………. csc(–315๐) = …………………. cot(315๐) = …………………. cot(–315๐) = …………………. 5) 930๐ 6) 225๐ วธทา วธทา sin(930๐ ) = …………………. sin(225๐) = …………………. cos(930๐) = …………………. cos(225๐) = …………………. tan(930๐) = …………………. tan(225๐) = …………………. sec(930๐) = …………………. sec(225๐) = …………………. csc(930๐) = …………………. csc(225๐) = …………………. cot(930๐) = …………………. cot(225๐) = ………………….

2. จงหาคาของ

°° −330sin2

300sec135tan3 22

2) )390cos(

)840sin()480tan(°

−−−−

วธทา …………………………………………. วธทา ………………………………... ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. 3) cos240๐cos120๐ – sin120๐cos150๐ 4) sin300๐tan240๐sec(-765๐)cos(-540๐) วธทา …………………………………………. วธทา ………………………………... ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ……………………………………….

5) sec2(-240๐) + cosec2(6π5

− ) + cot2(315๐)

วธทา …………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

3. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากจดปลายสวนโคงของมม 1. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(15, -8) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ 180๐ < θ < 270๐ และมดานสนสดของมม θ อยบนเสนตรง 4y = 3x จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 3. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(-1, -4) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

4. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(1, - 2 ) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 5. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(- 3 , 1) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

ใบกจกรรมท 6.2 ฟงกชนตรโกณมตของมม

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม คาชแจง ในกจกรรมท 6.2 จะแบงออกเปน 2 ตอน ดงน ตอนท 1 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก ตอนท 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง ตอนท 1 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก 1. จากทนกเรยนไดทาการศกษามาทงหมดจะเหนวาจะมรปสามเหลยมมมฉากเขามาเกยวของเสมอ นกเรยนคดวาเราสามารถนาความรเกยวกบฟงกชนตรโกณมตมาใชประโยชนในดานใดไดบาง ......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. นกเรยนคดวานกเรยนสามารถหาความยาวของรปสามเหลยมมมฉากแตละรปตอไปนไดอยางไร 2.1) 2.2) เราสามารถ หา x ไดจาก.................................. เราสามารถ หา x ไดจาก.................................. หา y ไดจาก.................................. หา y ไดจาก.................................. จะได x = ……………… , y = ……………… จะได x = ……………… , y = ………………

2.3) 2.4) เราสามารถ หา x ไดจาก.................................. เราสามารถ หา x ไดจาก.................................. หา y ไดจาก.................................. หา y ไดจาก.................................. จะได x = ……………… , y = ……………… จะได x = ……………… , y = ………………

2.5) จงหา cosecθ ถา cosθ = 23 2.6) จาก secθ =

45 จงหา tanθ cosθ +sinθ -cotθ

จะได................................................................... จะได............................................................ ............................................................................ .................................................................... ............................................................................ .................................................................... ............................................................................ .................................................................... ............................................................................ .................................................................... ตอนท 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง คาสง ใหนกเรยนใชตารางคาของฟงกชนตรโกณมตทครแจกใหนกเรยนหาคาของมมตอไปน 1. 0535θ ′= o 2. 7999.0θ = เรเดยน วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... 3. 04102θ ′= o 4. 2201.3θ = เรเดยน วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... .........................................................................

5. 01210θ ′= o 6. 7639.16θ = เรเดยน วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... 7. 02930θ ′−= o 8. 746.6θ = เรเดยน วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... 9. 02159θ ′= o 10. 04178θ ′= o วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... จากขอ 1-10 นกเรยนจะเหนวาทกๆ จานวนจรง θ ไมวาจะเปนองศาหรอเรเดยน เราสามารถหาคาไดจากในตารางไดทงหมด ตอไปนเปนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตทเราไมสามารถหาไดจากในตาราง ซงเราสามารถหาคาไดดงปญหาตอไปน 1) sin 7140 ′o วธทา เนองจาก 024071400140 ′<′<′ ooo 1) จากตารางจะไดวา sin 0140 ′o = 0.6450 มมเพมขน 01 ′ sin 7140 ′o = ? 0.0022 คาฟงกชนเพมขน sin 0240 ′o = 0.6472

ดงนน 107 =

0.0022d

d = 10

0022.07× = .00154

เพราะฉะนน sin 7140 ′o = 0.6450 + 0.00154 = 0.64654

7′ d

2) cos 7140 ′o วธทา cos 0140 ′o = 0.7642 มมเพมขน 01 ′ cos 7140 ′o = ? - 0.0019 คาฟงกชนลดลง cos 0240 ′o = 0.7623

ดงนน 107 =

190.00d

d = 10

)0019.0(7 −× = -0.00133

เพราะฉะนน cos 7140 ′o = 0.7642 + (-0.00133) = 0.76287 3) กาหนดให oo 90θ0 ≤≤ จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4862 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 4) กาหนดให oo 018θ0 ≤≤ จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4759 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

7′ d

5) กาหนดให π2θ0 ≤≤ จงหาคาของ θ เมอกาหนดให cosθ = - 0.7302 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 6) จงหาคาของฟงกชนตรโกณมต tan 27 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

แบบฝกหดเสรมสรางความแขงแกรง 1. จากรปสามเหลยมมมฉากในขอตอไปน จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม A 1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

1.5) 1.6)

ขอ sin A cos A tan A cosec A sec A cot A

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

2. จากรปสามเหลยมเหลยมมมฉากในขอตอไปน จงหาคาของ x 2.1) 2.2) วธทา...................................................................... วธทา ............................................................. ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... 2.3) 2.4) วธทา...................................................................... วธทา ............................................................. ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... 2.5) 2.6) วธทา...................................................................... วธทา ............................................................. ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ......................................................................

3. จงหาคาตอบของขอตอไปน

3.1) กาหนดให cot A = 5

12− เมอ π2A0 ≤≤ จงหาคาของ cos A

รปภาพ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

3.2) ถา πθ0 ≤≤ และ cos θ = 23 จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θทเหลอ

รปภาพ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

3.3) กาหนดให cos θ = 23

− เมอ π2θ0 ≤≤ จงหาคาของ cosecθ

รปภาพ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 3.4) กาหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC โดยมมม C เปนมมฉาก ลากเสนจากจด C ไปตงฉากกบ AB ทจด D ถา AC และ BC ยาว 8 และ 15 เซนตเมตรตามลาดบ จงหาความยาวของ CD, BD และ AD รปภาพ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

3.5) จากรป กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก AE ขนานกบ BC , AB = 100 เมตร จงหาความยาวของ CD วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 4. จงใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต หาคาฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน ของ θ ทกาหนดให 4.1) 0472θ ′= o 4.2) 2356.0θ = วธทา ........................................................... วธทา ................................................................. ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ...........................................................................

4.3) 0365θ ′= o 4.4) 0588.1θ = วธทา ........................................................... วธทา ................................................................. ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ...........................................................................

5. จงใชหาคาของฟงกชนตรโกณมตในขอตอไปน 5.1) cos 1 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... 5.2) sec 18.1271 = sec(3.1416(6) – 0.7225) = sec(0.7225) วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 5.3) cosec (-3.76) = - cosec(3.1416 + 0.6184) = cosec(0.6184) วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

5.4) sin 4226.0θ = จงหา θ เมอ oo 360θ0 ≤≤ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 5.5 cos 3173.0θ −= จงหา θ เมอ oo 360θ0 ≤≤ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 5.6) tan 197.6θ −= จงหา θ เมอ oo 360θ0 ≤≤ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

5.7) ให ABC เปนรปสามเหลยม มม A มขนาด o50 มม B มขนาด o70 โดยท AC ยาว 10 ซม. จากจด C ลากเสนไปตงฉากกบ AB ทจด D จงหา CD, AD, BC และ BD วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

ใบกจกรรมท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต คาชแจง ในกจกรรมท 7 จะแบงออกเปน 5 ตอน ดงน ตอนท 1 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)

ตอนท 2 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ , k 1≠

ตอนท 3 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ , k 1≠

ตอนท 4 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅x+k) เมอ b, k เปนจานวนจรงไมเทากบ 0 ตอนท 5 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)+k เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠

ตอนท 1 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x) กราฟของฟงกชนไซน y = sin x

1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนไซน y = sin x เมอ π2x0 ≤≤ โดย ใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

x 0 6π

6π5 π

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได…………………

คาสงสดของฟงกชน คอ ………………… (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ………………… (m = minimum) 2.2) โดเมนของฟงกชนไซน คอ ………………… เรนจของฟงกชนไซน คอ …………………

x π 6π7

6π11 π2

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ………………… ชวงท 2 ………………… แตละชวงหางกน ………………… 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ………………… 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนไซนเมอ y = sin x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนโคไซน y = cos x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคไซน y = cos x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใช คาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

x 0 6π

6π5 π

x π 6π7

6π11 π2

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) 2.2) โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ ................................ เรนจของฟงกชนโคไซน คอ ................................

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคไซนเมอ y = cos x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนแทนเจนต y = tan x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนแทนเจนต y = tan x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = tan x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

ชวงท 2 กราฟของ y = tan x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ...............................................................

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนแทนเจนต คอ ................................................................ เรนจของฟงกชนแทนเจนต คอ ...............................................................

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ ชวงท 3 ................................ ชวงท 4 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนแทนเจนตเมอ y = tan x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนโคเซแคนต y = cosec x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคเซแคนต y = cosec x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cosec x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

cosec x

ชวงท 2 กราฟของ y = cosec x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

cosecx

นามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................................................

2.2) โดเมนของฟงกชนโคเซแคนต คอ ............................................................... เรนจของฟงกชนโคเซแคนต คอ ................................................................

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคเซแคนตเมอ y = cosec x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนเซแคนต y = sec x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนเซแคนต y = sec x เมอ π2x0 ≤≤ โดย ใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = sec x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

ชวงท 2 กราฟของ y = sec x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ...............................................................

2.2) โดเมนของฟงกชนเซแคนต คอ ............................................................... เรนจของฟงกชนเซแคนต คอ ................................ 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนเซแคนต เมอ y = sec x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนโคแทนเจนต y = cot x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคแทนเจนต y = cot x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cot x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

6π5 π

ชวงท 2 กราฟของ y = cot x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

6π11 π2

ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................................................

2.2) โดเมนของฟงกชนโคแทนเจนต คอ ................................................................ เรนจของฟงกชนโคแทนเจนต คอ ................................ 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ ชวงท 3 ................................ ชวงท 4 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคแทนเจนตเมอ y = cot x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

ตอนท 2 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ ,k 1≠ 1. ใหนกเรยนทากจกรรมกราฟของฟงกชนตรโกณมตในตอนท 2 โดยใหนกเรยนทาการสารวจกราฟและวาดกราฟพรอมทงตอบคาถามตอไปน

1.1) จงวาดกราฟของ y = xsin21 โดยท π2x0 ≤≤

x 0 6π

6π5 π

xsin21⋅

6π11 π2

xsin21⋅

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 1.2) จงวาดกราฟของ y = xsin2− โดยท π2x0 ≤≤

x 0 6π

6π5 π

-2⋅sin(x)

x π 6π7

6π11 π2

-2⋅sin(x)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

1.3) จงวาดกราฟของ y = xcos3 โดยท π2x0 ≤≤ x 0

6π5 π

3⋅cos(x)

x π 6π7

6π11 π2

3⋅cos(x)

1.4) จงวาดกราฟของ y = xsec2 โดยท π2x0 ≤≤ x 0

6π5 π

2⋅sec(x)

x π 6π7

6π11 π2

2⋅sec(x)

2. ใหนกเรยนใชคอมพวเตอรสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมตตอไปน พรอมทงตอบคาถาม 2.1) y = 3sin x โดยท π2x0 ≤≤ 2.2) y = 2tan x โดยท π2x0 ≤≤ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 2.3) y = -cot x โดยท π2x0 ≤≤ 2.4) y = 2sec x โดยท π2x0 ≤≤ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.5) y = cosec21 xโดยท π2x0 ≤≤ 2.6) y = -4sin x โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ............................... โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.7) y = 3sec x โดยท π2x0 ≤≤ 2.8) y = 2cot x โดยท π2x0 ≤≤ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

3. ใหนกเรยนสรปขอ 2 ใหอยในรปทวไป ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

ตอนท 3 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ ,k 1≠ 1. ใหนกเรยนทากจกรรมกราฟของฟงกชนตรโกณมตในตอนท 3 โดยใหนกเรยนทาการสารวจกราฟและวาดกราฟพรอมทงตอบคาถามตอไปน 1.1) จงวาดกราฟของ y = x2sin โดยท π2x0 ≤≤

x 0 6π

6π5 π

sin(2x)

6π11 π2

sin(2x)

1.2) จงวาดกราฟของ y = 2

sin x โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

6π5 π

sin(2x )

x π 6π7

6π11 π2

sin(2x )

1.3) จงวาดกราฟของ y = x2cos3 โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π ) x 0

6π5 π

x2cos3

x π 6π7

6π11 π2

x2cos3

1.4) จงวาดกราฟของ y = x3sin2− โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

X 0 6π

6π5 π

x3sin2−

X π 6π7

6π11 π2

x3sin2−

2. ใหนกเรยนใชคอมพวเตอรสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมตตอไปน พรอมทงตอบคาถาม

2.1) y = cos 2x โดยท π2x0 ≤≤ 2.2) y = 6cos πx โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.3) y = tan 2x โดยท π2x0 ≤≤ 2.4) y = cot (-x) โดยท π2x0 ≤≤

2.5) y = sin (-4x) โดยท π2x0 ≤≤ 2.6) y = 31 cos(2x)โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. ใหนกเรยนสรปขอ 2 ใหอยในรปทวไป ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

ตอนท 4 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅x+k) เมอ b, k เปนจานวนจรง และไมเทากบ 0 1. ใหนกเรยนทากจกรรมกราฟของฟงกชนตรโกณมตในตอนท 4 โดยใหนกเรยนทาการสารวจกราฟและวาดกราฟพรอมทงตอบคาถามตอไปน

1.1) จงวาดกราฟของ y = )2πsin(x+ โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

X 0 6π

6π5 π

)2πsin(x+

x π 6

π7 4π5

6π11 π2

)2πsin(x+

1.2) จงวาดกราฟของ y = )2πtan(x− โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

6π5 π

x - 2π

)2πtan(x−

x π 6

π7 4π5

6π11 π2

)2πtan(x−

1.3) จงวาดกราฟของ y = π)xsin(23 + โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

6π5 π

2x + π

π)xsin(23 +

x π 6

π7 4π5

6π11 π2

2x + π

π)xsin(23 +

1.4) จงวาดกราฟของ y = )2πcos(x+ โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

6π5 π

)2πcos(x+

x π 6

π7 4π5

6π11 π2

)2πcos(x+

2. ใหนกเรยนใชคอมพวเตอรสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมตตอไปน พรอมทงตอบคาถาม

2.1) y = 4sin (2πx− )โดยท π2x0 ≤≤ 2.2) y = 4cos( πx3 + )โดยท π2x0 ≤≤

2.3) y = tan(2πx+ ) โดยท π2x0 ≤≤ 2.4) y = cosec (

2πx+ )โดยท π2x0 ≤≤

2.5) y = sec (2x + π3 ) โดยท π2x0 ≤≤ 2.6) y = 2cos( π2x31

+ )โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. ใหนกเรยนสรปขอ 2 ใหอยในรปทวไป ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

ตอนท 5 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)+k เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ 1. ใหนกเรยนทากจกรรมกราฟของฟงกชนตรโกณมตในตอนท 5 โดยใหนกเรยนทาการสารวจกราฟและวาดกราฟพรอมทงตอบคาถามตอไปน 1.1) จงวาดกราฟของ y = 4sin(x) + โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

6π5 π

sin(x) sin(x) + 4

x π 6

π7 4π5

6π11 π2

sin(x)

sin(x) + 4

1.2) จงวาดกราฟของ y = 2cos(x) + โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

6π5 π

cos(x)

cos(x) + 2

x π 6

π7 4π5

6π11 π2

cos(x)

cos(x) + 2

1.3) จงวาดกราฟของ y = cos3− x โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

6π5 π

- cos(x)

3 - cos(x)

x π 6

π7 4π5

6π11 π2

- cos(x)

3 - cos(x)

1.4) จงวาดกราฟของ y = sinx2 −− โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

- sin(x)

-2 - sin(x)

x π 6

π7 4π5

6π11 π2

- sin(x)

-2 - sin(x)

ภาคผนวก ฉ แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

คาชแจง

1. แบบทดสอบฉบบนสรางขนเพอวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต ของ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนดวยกจกรรมการเรยนการสอนเรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

2. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบแบบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 30 ขอ และ

แบบทดสอบแบบอตนยแสดงวธทา จานวน 5 ขอ

3. ใหนกเรยนทาเครองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบในแตละขอ โดยเลอกคาตอบท

ถกตองเพยงคาตอบเดยวและแสดงวธทาลงในแบบทดสอบฉบบนใหถกตองครบถวน

4. ในแตละขอคาถามจะมคาตอบทถกตองเพยง 1 คาตอบเทานน

5. เวลาทใชในการทาแบบทดสอบ 100 นาท

ชอ.......................................................................... ชน .................... เลขท ...............

ตอนท 1 จงเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว 1. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก.

จากรป sin A มคาตรงกบขอใด

ก. 5

1 ข. 5

ค. 21 ง. 5

3. จากรป sin B มคาตรงกบขอใด

ก. ca ข.

ค. ba ง.

4.กาหนดให cot A = 34 คาของ

tan A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 4

ค. 43 ง.

5.กาหนดให tan A = 3 คาของ

cot A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 3

ค. 31 ง.

6. จากรป sin °60 มคาตรงกบขอใด

ก. 21 ข. 2

ค. 23 ง.

7. ขอใดตอไปนผด

ก. 061 ′=° ข. 061 ′′=°

ค. π2360 =° เรเดยน ง. π180 =° เรเดยน

8. 2π3 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 135๐ ข. 270๐

ค. 405๐ ง. 540๐

9. 2 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 6157 ′° ข. 7257 ′°

ค. 63114 ′° ง. 55114 ′°

10. 210 ๐ เทากบกเรเดยน

ก. 6π7 ข.

ค. 7π6 ง.

11. °75 เทากบกเรเดยน

ก. 125π ข.

ค. 12π ง.

12. สาหรบวงกลมหนงหนวยขอใด

ตอไปน ถกตอง

ก. แบงความยาวสวนโคงเปน 4 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ข. แบงความยาวสวนโคงเปน 8 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ค. แบงความยาวสวนโคงเปน 12 สวนเทาๆ

ง. แบงความยาวสวนโคงเปน 6 สวนเทาๆ กน

13. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด

ก. 2π ข.

ค. 2π

− ง. 2

3π−

14. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด เมอ

กาหนดให 0 � θ � 2π

ก. 4

7π ข. 6

ค. 3

11π ง. 4

15. กาหนดให p(θ ) = (54,

53 ) ดงรป

พกดของจด p( π3θ+− ) ตรงกบขอใด

ก. (54,

53 ) ข. (

53−− )

ค. (54,

53− ) ง. (

16. โดเมนและเรนจของฟงกชนไซนตรงกบขอ

ใด

ก. โดเมน คอ R และ เรนจ คอ [-1, 1]

ข. โดเมน คอ I+ และ เรนจ คอ [0, 1]

ค. โดเมน คอ I- และ เรนจ คอ [-1, ∞ )

ง. โดเมน คอ จานวนค และ เรนจ คอ [-1, 1]

17. ขอใดตอไปนมคาเทากบ 1

ก. 6

sin ππππ−

ข. 6

sin ππππ+

ค. 6

cos ππππ−

ง. 6

cos ππππ+

18.คาของ

2sin πππππ

ตรงกบขอใด

ก. – 1 ข. 1

ค. 21

− ง. 21

19. ถา cos θ = -1 และ 04 <<− θπ

แลว θ คอจานวนในขอใด

ก. 2

ππ−− ข.

23 ππ

−−

ค. ππ 3,−− ง. ππ 4,2 −−

20.ขอใดถกตอง

ก. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( =− ข. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( −=− ค. θθ sin)sin( −=− และ

θθ cos)cos( =− ง. θθ sin)sin( −=− และ

21. ขอใดถกตอง

ก. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( =+ ข. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( =+ ค. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( −=+ ง. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( −=+

22. sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4π7 มคาเทาไร

ก. 2

2 ข.

ค. 22

− ง. 23

23. ถา secθ = 5

13 เมอ π2θ2π3

แลว sinθ มคาเทากบขอใด

ก. 135 ข.

ค. 135

− ง. 1312

24. ถา cosθ = 65 เมอ π2θ

แลว cosecθ มคาเทากบขอใด

ก. 56 ข.

ค. 56

− ง. 11

116−

25. จากรป AB ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 33 ง.

26. จากรป BC ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 3

315 ง. 2

27. รปสามเหลยม ABC ถาม CBA

เปนมมฉาก AB ยาว 16 หนวย และ

ACB = °30 แลว BC ยาวเทาใด

ก. 216 หนวย ข. 316 หนวย

ค. 2

216 หนวย ง. 3

316 หนวย

28. กราฟของ y = sin 3x เมอ

320 π

≤≤ x หรอ π20 ≤≤ X คอขอใด

29. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = sin 2X ข. y = cos 2X

ค. y = 2 + sin X ง. y = 2 + cos

ก. y = 4cos X ข. y = 4sin X

ค. y = - 4cosX ง. y = -4sin X

_______________________________________________________________________________

สาหรบทด

ตอนท 2 จงแสดงวธทา 1. จงหาคาของ cos 18.9910 โดยแสดงวธทาอยางละเอยด

วธทา ................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

2. ให οθ 900 ≤≤o จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4862 (แสดงวธทาอยางละเอยด)