TEOREMA DEL BINOMIO

Teorema del BinomioConducta de entrada

YO SÉ Muy bien Bien Poco Nada

Lógica y teoría de conjuntos        

Propiedades en el Sistema de los números reales        

Método de inducción        

Análisis combinatorio        

Teorema del Binomio

• El teorema del binomio, (o, binomio de Newton), expresa la -ésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo de  es de singular importancia, pues, aparece con mucha frecuencia en la matemática y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

• Newton en 1685 y Abu Bekribn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.

• El teorema del binomio para  se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.).

INTRODUCCIÓN

Teorema del BinomioOBJETIVOS

GENERALGENERAL

Utilizar el análisis combinatorio para la determinación de la expansión del binomio de Newton y aplicar éste a

situaciones prácticas.

ESPECÍFICOS ESPECÍFICOS

Identificar la posición de un determi-nado término que cumpla ciertascondiciones

Obtener el desarrollo de un binomiodado

Determinar un término en particularconociendo su posición sin desarrollartodos los términos del binomio

Teorema del Binomio

Sean . Consideremos el binomio 

Al multiplicar por sí mismo a este binomio, se obtienen las siguientes potencias:

1. Binomio a la potencia –ésima

Teorema del Binomio

De lo anterior, podemos inferir que, para , se tiene:

a) El desarrollo  tiene la forma:

e incluye  términos.

b) Las potencias de entre el 1er y último términos del desarrollo son: ,,, …, ,,

c) Las potencias de  entre el 1er y último términos del desarrollo son: , , , …, ,,

d) Para cada término, la suma de los exponentes de e  es .

1. Binomio a la potencia –ésima

Teorema del Binomio

e) y .f) Si  es el –ésimo término, el coeficiente  es igual a:

g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

Observación: Se observan algunas regularidades en el desarrollo de los binomios que pueden ser estudiadas utilizando la teoría del análisis combinatorio, como se muestra a continuación

1. Binomio a la potencia –ésima

Teorema del BinomioLos términos del desarrollo  para , , , , pueden obtenerse a través del siguiente diagrama de árbol:

𝒙

𝒚

𝒙𝒙

𝒙 𝒚

𝒚 𝒙

𝒚𝒚

𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒙𝒙 𝒚 𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒚𝒙 𝒚 𝒙𝒙𝒙 𝒚 𝒙 𝒚𝒙 𝒚𝒚 𝒙𝒙 𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒙𝒙𝒙𝒚 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒙 𝒚 𝒙𝒚 𝒙 𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒙𝒙𝒚𝒚 𝒙 𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒙𝒚𝒚𝒚𝒚

𝒙𝒙𝒙

𝒙𝒙 𝒚

𝒙 𝒚 𝒙

𝒙 𝒚𝒚

𝒚 𝒙 𝒚

𝒚𝒚 𝒙

𝒚𝒚𝒚

𝒚 𝒙𝒙

(𝒙+𝒚 )𝟏 (𝒙+𝒚 )𝟐 (𝒙+𝒚 )𝟑 (𝒙+𝒚 )𝟒

¿ 𝒙𝟒

¿ 𝒙𝟑𝒚¿ 𝒙𝟑𝒚

¿ 𝒙𝟑𝒚

¿ 𝒙𝟑𝒚

¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐

¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐

¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐

¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐

¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐

¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐

¿ 𝒙 𝒚𝟑

¿ 𝒙 𝒚𝟑

¿ 𝒙 𝒚𝟑

¿ 𝒙 𝒚𝟑

¿ 𝒚𝟒

Teorema del BinomioPor ejemplo si: 

1. Binomio a la potencia –ésima

𝒄𝟏=𝟒 (𝟏 )𝟏

𝒄𝟐=𝟒 (𝟑 )𝟐

𝒄𝟒=𝟔 (𝟐 )𝟑

4 (3 ) (2 ) (1 )[2 (1 ) ] [2 (1 ) ]

𝒄𝟓=𝟒 (𝟏 )𝟒

4 !2! (4−2 )!

(42)

4 (3 ) (2 ) (1 )[3 (2 ) (1 ) ] [ (1 ) ]

4 !3 ! (4−3 )!

(43)(41) (44)

𝒄𝟎=𝟏

(40)

4 !1! (4−1 )!

4 !4 ! (4−4 ) !

4 !0 ! (4−0 )!

Teorema del Binomio

Si utilizamos los resultados obtenidos para el ejemplo anterior, podemos escribir el desarrollo de  como:

Y al generalizar para , tenemos el siguiente resultado.

Teorema 2.1 (Teorema del Binomio) Dados , , el desarrollo del binomio , está dado por,

2. Formulación del Teorema del Binomio

Teorema del Binomio

Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes binomiales de .

3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal

Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de el.

Teorema del Binomio3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal

Teorema del Binomio

Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes binomiales de .

3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal

(𝒙+𝒚 )𝟎=𝟏(𝒙+𝒚 )𝟏=𝟏𝒙+𝟏 𝒚(𝒙+𝒚 )𝟐=𝟏𝒙𝟐+𝟐𝒙𝒚 +𝟏 𝒚𝟐

(𝒙+𝒚 )𝟑=𝟏𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐𝒚+𝟑𝒙 𝒚𝟐+𝟏 𝒚𝟑

(𝒙+𝒚 )𝟒=𝟏𝒙𝟒+𝟒𝒙𝟑𝒚+𝟔𝒙𝟐𝒚 𝟐+𝟒𝒙 𝒚𝟑+𝟏 𝒚𝟑

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

(𝒙+𝒚 )𝟓

(𝒙+𝒚 )𝟔

Teorema del Binomio

Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes binomiales de .

3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal

¿𝟏¿𝟐¿𝟒¿𝟖

¿𝟏𝟔

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1¿𝟑𝟐¿𝟔𝟒

Teorema del Binomio4. Problemas de aplicación

1. Desarrolle: 

2. En  determine: a) el quinto término; b) el(los) término(s) central(es)

3. Determine el coeficiente de  (si existe), en el desarrollo de