x s14 binomio de newton

83SAN MARCOS REGULAR 2009 - III ÁLGEBRA14

TEMA

BINOMIO DE NEWTON

ÁLGEBRA - TEMA 14

Isaac Newton (1642–1727) hijo de una familia pobre, nacióen un pueblito agrícola de Inglaterra, tuvo grandesproblemas de salud y dificultades en los estudios. A losquince años lo sacaron de la escuela para que ayudara enla granja familiar, pero allí le fue peor que en la escuela,hasta que un día su tío lo encontró bajo un árbol,completamente absorto, leyendo un libro de matemática,decidieron que el joven Isaac tenía que volver a la escuela.

En 1661 ingreso al Trinity College de Cambridge comoestudiante, tres años después cerró la universidad debidoa una plaga que invadió la región y Newton volvió a supueblo; allí en dos años de experimentos y reflexionessolitarias, sentó las bases de sus grandes descubrimientos:La ley de la gravitación universal, el cálculo infinitesimal, elteorema del binomio y la naturaleza de la luz; tenía 23años.

I. FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+

Llamamos así al producto que resulta de multiplicartodos los números enteros y positivos de manera con-secutiva desde la unidad hasta el número indicado.

Notación: n! ó n ó nSe lee: Factorial de "n".Así:2! = 1.2 = 23! = 1.2.3 = 64! = 1.2.3.4 = 245! = 1.2.3.4.5 = 1206! = 1.2.3.4.5.6 = 720

En general:

n! 1.2.3...(n 2)(n 1)n

o también:

n! n(n 1)(n 2)...3.2.1

Observaciones

1. (a b)! a! b!

2. (ab)! (a!).(b!)

3.a a!

!b b!

Propiedades1. on! existe n

Luego:• (–5)! No existe• –5! Si existe• (2/3)! No existe• 7! Si existe

2. Por definición 1! = 1.Por acuerdo 0! = 1.Ejemplo:Hallar "x" en: (x – 4)! = 1.Luego:

x 4 0 x 1 1

x 4 x 5

a! = 1 a = 1 a = 0

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TEMA ÁLGEBRA

3. Si: a! = b! a = ba; b 0; 1

Ejemplo:(x – 5)! = 6 (x – 5)! = 3! x – 5 = 3

x = 8

4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otrofactorial menor.

(n 2)!

(n 1)!

n! n (n 1) (n 2)...3.2.1.

n! = n(n–1)!n! = n(n–1) (n–2)!

II. NÚMERO COMBINATORIORepresenta el número de combinaciones de "n" ele-mentos tomados de "k" en "k".

Notación:

n nk k n kC C C

Definición:

nk

n!C ; n kk !(n k)!

Donde:n 0k .

Ejemplo:

52

5! 120C 10

2!(5 2)! 2.6

Regla práctica

nk

n!Ck !(n k)!

"k " factores

nk

n(n 1)(n 2)...(n k 1) (n k)C

"k " factores

!

1.2.3...k. (n k) !

Propiedades1. n

k

o

C Existe n

k z

k n

2. Propiedad complementaria

n nk n kC C

Ejemplo:

58 5048 2

50.49C C 1225

2.1

3. Propiedad de igualdad:

n np qC C

1.a posibilidad: p = q

2.a posiblidad: p + q = n

Ejemplo:

Hallar la suma de valores de "n" en: 10 10n 6C C .

1.a posibilidad: n1 = 6.

2.a posibilidad: n + 6 = 10 n2 = 4.

Luego n1 + n2 = 10.

4. Suma de combinatorios:

n n n 1k k 1 k 1C C C

Ejemplo:Hallar:

4 5 6 70 1 2 3S C C C C

.

Luego:

5 5 6 70 1 2 3S C C C C

6 6 71 2 3S C C C

7 72 3S C C 83S C

8.7. 6S

3 . 256

.1

5. Reglas de degradación:

1. n n 1k k 1

nC Ck

Ejemplo:

10 93 2

10C C

3

Luego:73

52

7.6.5C = = 35

3.2.15.4

C = = 102.1

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14TEMA

2. n nk k 1

n k 1C .Ck

Ejemplo:

8 85 4

8 85 4

8 5 1C C

54

C C5

3. n n 1k k

nC Cn k

Ejemplo:

9 84 4

9 84 4

9C C

9 49

C C5

III. BINOMIO DE NEWTON(Para exponente entero y positivo)

Definición:

nn n n k k

kk 0

(x a) C x a

Donde: x; a 0; n

Así:( x + a )

2 = x2 + 2 x a + a2

(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4

(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5

Nos damos cuenta:5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5

0 1 2 3 4 5(x a) c x c x a c x a c x a c xa c a

Luego:

n n n n n 1 n n 2 2 n n 3 3 n n0 1 2 3 n

Desarrollooexpansióndelbinomio

(x a) c x c x a c x a c x a ... C a

Propiedades1.

n

N. de términos Exponente "n" 1

de (x a)

Hallar el nº de términos en el desarrollo de:(x + 3y)7.

N.º de términos = 7 + 1 = 8.

2. Si: x = a = 1; se obt iene la sumatoria decoeficientes:

n n n n n n0 1 2 3 nc c c c ... c 2

5 5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5c c c c c c 2 32

n 2 n 2 n 2 n 2 n 20 1 2 n 2c c c ... c 2

Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de:

(5x2+y4)40

Luego: x = y = 1

(5(1)2 + (1)4)60

660

3. Término de lugar general:

Siendo: (x + a)n.

En su desarrollo:

n n k kk 1 kT c x a

Donde: "k + 1" es el lugar.

Ejemplo:Hallar el T61 en el desarrollo de:

B(x; y) = (3x2 + 2y3)90.90 2 30 3 60

61 60T c (3x ) (2y )

90 30 60 60 18061 60T c 3 x .2 y

90 30 60 60 18061 60T c 3 .2 x y

4. Término central ("n" exponente del binomio):Si "n" par existe un sólo T central:

c m1

2

T T

Si "n" impar existen 2 términos centrales

1.erc n 1

2

T T

2.o c n 11

2

T T

5. Suma de exponentesSiendo: B(x,a) = (xp + aq)n

(p q)n(n 1)Exponentes

2

Ejemplo:Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:

393 x 4 .

Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.

1 1.39(39 1)

3 2exp onentes

2

Exponentes 650



TEMA ÁLGEBRA

NIVEL I

1. Reducir:

"n" sumandos

0! 1! 2! 3! ...2! 3! 4! 5!

A) n

n 1

B)n

n 1

C) n

n 2

D) n

n 2

E)n2

2. Hallar el equivalente de:n n n n1 2 3 n1C 2C 3C ... nC

A) n×2n

B) n×2n – 1

C) 2nn2C

D) (n + 2)×2n – 2

E) n×22n

3. Calcular el valor de "n" si:

A) 1 B) 3

C) 4 D) 5

E) 6

4. Hallar:

nn n n31 2 n

n n n n0 1 2 n 1

3CC 2C nC...

C C C C

A) n2 + 1

B) 2n2 + n

C) n3 + n

D)n(n 1)2

E) 2n(n + 1)

Problema 1Si "x" es un número real tal que eltérmino central en el desarrollo de:

122 3x3 2

es 924, hallar el valor de:1 + x

2 + x4 + x6

San Marcos 2008-I

Nivel intermedio

A) 4 B) 8 C) 6

D) 16 E) 2

Resolución:Sabemos que:

n n k kK 1 kT C x a

C (13 1)/2 7T T T

12 6 612

7 62 3xT C 9243 2

6 6 6

6 612.11.10.9.8.7 2 3 xx x 924

6.5.4.3.2.1 3 2

x = 1

E n t o n c e s : 1 + 1

2 + 14 + 16 = 4

Respuesta: A) 4

Problema 2

Hallar el valor de "n" de modo que:

nn 4

r 0

n(2r 1) 2

r

San Marcos 2005-I

Nivel difícil

A) 18 B) 16

C) 17 D) 15

E) 20

Resolución:

Sabemos:

n nn n 1

r 0 r 0

n n2 ; r n.2

r r

Entonces:

n nn 4

r 0 r 0

n n2r 2

r r

2.n.2n-1 + 2n = 2n+4

(n+1).2n = 2n . 24

n = 15

Respuesta: D) 15

Problema 3

Si:

n!.(n! 3)n! 4

18

Determinar el valor de:

2K n 3n 7

San Marcos 2003

Nivel intermedio

A) 47 B) 17

C) 3 3 D) 35

E) 61

Resolución:Tenemos:

(n!)2 - 3(n!) = 18(n!) + 18.4

(n!)2 - 21(n!) - 72 = 0

( n! - 24 )( n! + 3 ) = 0

n ! = 2 4 ; n! = -3 n = 4

Entonces:

2K 4 4 .3 7

K 35

Respuesta: D) 35

BINOMIO DE NEWTON

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14TEMA

NIVEL II

5. Reducir:

2 1 4 2 6 3 8 4 ... 2n n

A) 4 n B) 2n n

C) 2 n 2 D) 2 n 1

E) 2 n 1 1

6. Sea:F(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

Entonces:E = F(1) + F(2) + F(3)+ ... + F(20)es equivalente a:

A) 20420C B) 15

35C

C) 2455C D) 24

524C

E) 21421C

7. Hallar cuál es el resultado de efectuar:

E = 210 + 10×29 + 45×28 +

120×27 + ... + 20 + 1

Indicar la cifra de centenas delresultado:

A) 1 B) 2

C) 0 D) 4

E) 8

8. Calcular la suma límite de la serie:

2 3

1 3 5 ...2 1 2 3 2 5

A) 2 B) 1C) +10 D) 4

E) 3

9. Calcule el término independientede la expansión de:

227

32T(x) xx

A) 1 B) 21 x 221

C) –1 D) 22 x 221

E) –22

10. Un término en el desarrollo de:

(x2 – 5y7)n donde n tiene

como parte literal x6y35. Hallar el

coeficiente del segundo término:

A) 10 B) –20

C) 30 D) –40

E) 15

11. Determinar el valor de "n" en:

n3

3123

Sabiendo que el de-sarrollo delbinomio la relación entre el sétimotérmino contado de izquierda a de-recha y el sétimo término contadodesde el final es igual a 1/6.

A) 1 B) 9

C) 7 D) 2

E) 5

12. El término central en el desarrollode (ax + x – 1)6 es –5/2; deacuerdo a esta condición, calcularla suma de coeficientes:

A) 1/2 B) 1/24

C) 1/32 D) 1/64

E) 1

NIVEL III

13. Hallar el coeficiente de x100 en:

2

24 3x(1 x)

A) 3570 B) 5754

C) 1257 D) 107

E) 3745

14. El valor de "x" es muy pequeño;de modo que su cuadrado y demáspotencias superiores puedanomitirse. Entonces el valor de:

x 9M

x 1

Se puede escribir como:A) 3 – x

B)173 x6

C) x 3

D)17 x6

E)171 x8

15. Hallar el coeficiente de xy4z3 en eldesarrollo de (x – 2y + 2z)8:

A) 12 B) 124

C) 348 D) 35840

E) 1280

1. Calcular "n", si n en:

n6 6

4 4y xF(x;y)x y

Para que en el desarrollo de dicha potencia de dos

términos consecutivos del mismo sean independientes

de "x" e "y" respectivamente.

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2. Dado los términos semejantes uno del desarrollo de

x(xa + yb)a y otro de y(xb + ya)b ambos ocupan la

misma posición en cada polinomio. Determinar el valor

de:

2 2 2

2 2(a b )1 a b

________________________________________



TEMA ÁLGEBRA

3. Hallar el término central del desarrollo de:

B(x, y) = (x–2 + yn)2n

si dicho término central es de grado "n".

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4. Los coeficientes de los términos centrales de los

desarrollos de: (a + b)n + 2; n ; son entre sí como

15 es a 4. Calcular "n".

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5. Calcular: a + b, si:

(30a!.24a!)a+1 = ((b!)!)720

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6. En el desarrollo de: (2 + 3x2)n, el coeficiente de x24

es 4 veces el coeficiente de x22. Calcular el término

independiente del desarrollo.

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7. Indicar cuántos términos fraccionarios hay en el desarrollo de:

1003 32x

x

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8. Determinar el valor de "m" en la expresión:

m2(m)! 1

92 .m!.1.3.5...(2m 1)

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9. Indicar cuántos términos irracionales presenta el

desarrollo de: 484 3x x

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10. Calcular "n + k", en:

n 1 n n 1 30k 1 k k 1 13

n k 2C C C Cn 1

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