SUMÁRIO

Álgebra I 31. Grupos 4

1.1 Exercícios 202. Subgrupos 232.1 Exercícios 31

3. Homomorfismo de Grupos e Aplicações 353.1 Exercícios 43

ÁlgebraI

ÁLGEBRA IGrupos, Subgrupos e Homomorfismos de GruposAndré Luiz Galdino

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ÁlgebraI

1. Grupos

A essência por trás da Teoria dos Grupos é tomar dois elementos deum conjunto, combinar eles de alguma maneira e retornar um terceiroelemento do mesmo conjunto, e é este o papel das operações binárias.

Definição 1.1. Seja G um conjunto não vazio. Uma operação bináriasobre G é uma função ∗ que associa a cada par ordenado (a, b) ∈ G×Gum elemento a ∗ b ∈ G. De mais a mais, representamos uma operaçãobinária sobre G da seguinte maneira:

∗ : G×G → G

(a, b) 7→ a ∗ b

Observe que a ∗ b (lê-se: a estrela b) é uma outra forma de indicar afunção ∗(a, b), e que uma operação binária combina dois elementos, nemmais, nem menos. No mais, quando há qualquer operação ∗ definidasobre G, seja ela binária ou não, dizemos que G é um conjunto munidoda operação ∗. Em particular, se ∗ é operação binária sobre G, entãodizemos que G é fechado com relação à operação ∗.

Exemplo 1.2. Sejam N o conjunto dos números naturais, incluindo onúmero 0, Z o conjunto dos números inteiros, Q o conjunto dos númerosracionais, R o conjunto dos números reais e C o conjunto dos númeroscomplexos.

1. ∗ = +: A adição sobre N, Z, Q, R ou C é uma operação binária.

2. ∗ = −: A subtração sobre N, Z, Q, R ou C é uma operação binária.

3. ∗ = ·: A multiplicação sobre N, Z, Q, R ou C é uma operaçãobinária.

4. ∗ = ÷: A divisão N, Z, Q ou R é uma operação binária.

5. ∗ = ◦: A composição de funções é uma operação binária sobre oconjunto F(A) = {f | f : A→ A} de todas as funções de A em A.

6. A adição e multiplicação de matrizes são operações binárias sobre oconjuntoMn(R) de todas as matrizes quadradas n×n com entradasem R. Da mesma forma sobre Mn(Q) e Mn(C), respectivamente,os conjuntos das matrizes quadradas n×n com entradas racionaise complexos.

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ÁlgebraI

7. A adição de vetores em um espaço vetorial V é uma operaçãobinária, pois,

+ : V × V → V

(u, v) 7→ u+ v

No entanto, a multiplicação por escalar não é uma operação biná-ria, pois, tal multiplicação é definida por:

· : R× V → V

(k, v) 7→ k · v

8. A função ? : N × N → N, dada por a ? b = ab, é uma operaçãobinária sobre N, chamada de potenciação. No entanto, esta mesmafunção sobre Z e Q não é uma operação binária. De fato, sendo

(3,−1) ∈ Z× Z e(

5, 12

)∈ Q×Q temos, respectivamente, que:

3 ? (−1) = 3−1 = 13 /∈ Z,

5 ? 12 = 5 1

2 =√

5 /∈ Q.

Analogamente, a função de potenciação ? não é uma operaçãobinária sobre R pelo mesmo motivo anterior, já que

√5 /∈ R.

Definição 1.3. Seja G um conjunto não vazio munido de uma operação∗. Dizemos que G é um grupo com respeito à operação ∗ se, e somentese, as seguintes acontecem:

i) ∀a, b ∈ G ⇒ a ∗ b ∈ G;

ii) ∀a, b, c ∈ G ⇒ a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c;

iii) ∃ e ∈ G : ∀a ∈ G ⇒ e ∗ a = a;

iv) ∀a ∈ G ⇒ ∃ a−1 ∈ G : a−1 ∗ a = e.

Veja que na Definição 1.3 o item i) nos diz que G deve ser fechadocom relação à operação ∗, ou seja, da operação ∗ sobre os elementos deG sempre resulta um elemento de G. O item ii) requer que ∗ seja umaoperação associativa, isto é, a operação ∗ deve nos permitir operar maisde dois elementos sem a necessidade de usar parênteses, uma vez quequalquer associação entre os elementos nos fornece o mesmo resultadofinal. Por exemplo,

a ∗ b ∗ c ∗ d = (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = a ∗ (b ∗ (c ∗ d)) = a ∗ ((b ∗ c) ∗ d) = · · · .

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ÁlgebraI

Na sequência, o item iii) exige a existência de um elemento especiale ∈ G, com relação à operação ∗, chamado de elemento neutro. Por fim,o item iv) pede a garantia de que todo elemento a ∈ G possua, comrelação à operação ∗, um inverso a−1 ∈ G.

Note que para se formar um grupo precisamos de um par de objetos:um conjunto G não vazio e uma operação ∗ definida sobre ele. Logo, umanotação intuitiva para grupo é (G, ∗) e por vezes a usaremos, porém,por simplicidade costumamos dizer apenas que “G é um grupo” ou “ogrupo G”, o que evidentemente pressupõe a existência de uma operação∗ definida sobre G. Contudo, quando falamos de um grupo G específico,devemos deixar claro qual operação esta associada a ele.

Exemplo 1.4.

1. Considere o conjunto Z com a operação usual de adição (+). Comoa operação + é uma operação binária associativa sobre Z temos:

i) ∀a, b ∈ Z ⇒ a+ b ∈ Z;ii) ∀a, b, c ∈ Z ⇒ a+ (b+ c) = (a+ b) + c;iii) ∃ 0 ∈ Z : ∀a ∈ Z ⇒ 0 + a = a;iv) ∀a ∈ Z ⇒ ∃ − a ∈ Z : (−a) + a = 0.

Logo, (Z,+) é um grupo.

2. Analogamente ao item anterior, (Q,+), (R,+) e (C,+) são gruposcom suas respectivas operações usuais de adição, onde em todos oscasos o 0 é o elemento neutro e o inverso de x é −x.

3. O conjunto Z munido da operação subtração (−) não caracterizaum grupo. De fato, apesar da operação − ser binária e associativa,o conjunto Z não possui elemento neutro com relação à −. Istoporque não existe um elemento e ∈ Z de forma que, para todox ∈ Z, se tenha:

e− x = x.

4. Seja Q∗, conjunto dos números racionais sem o zero, munido damultiplicação usual em Q. Afirmamos que (Q, ·) é um grupo. Ve-jamos:

i) ∀a, b ∈ Q∗ ⇒ a 6= 0 e b 6= 0 ⇒ a · b 6= 0 ⇒ a · b ∈ Q∗.ii) Já é sabido que · é uma operação binária associativa, ou seja,

para todo a, b, c ∈ Q∗,

a · (b · c) = (a · b) · c.

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ÁlgebraI

iii) Q∗ possui o 1 como elemento neutro da multiplicação, pois,para todo a ∈ Q∗ temos:

1 · a = a.

iv) Todo elemento a ∈ Q∗ possui inverso multiplicativo que é1a∈ Q∗. De fato,

1a· a = 1.

Logo, (Q∗, ·) é um grupo.

5. Analogamente ao item anterior, (R∗, ·) e (C∗, ·) são grupos comsuas respectivas operações usuais de multiplicação, onde em todosos casos o 1 é o elemento neutro e o inverso de x é 1

x.

6. O conjunto R∗ munido da operação divisão (÷) não é um grupo.De fato, a operação ÷ é binária, porém não é associativa, pois:

(48÷ 12)÷ 4 = 4÷ 4 = 1

48÷ (12÷ 4) = 48÷ 3 = 16

Logo, (48÷ 12)÷ 4 6= 48÷ (12÷ 4).

7. Seja G = {1,−1}. Afirmamos que G é um grupo com a operaçãode multiplicação usual dos números reais. Vejamos, mas antes,sempre que possível e por simplicidade omitiremos a partir daquio · que representa a multiplicação usual.

i) Para todo a, b ∈ G, temos ab ∈ G, pois,

1·1 = 1 1·(−1) = −1 (−1)·1 = −1 (−1)·(−1) = 1

ii) Sem dúvida, para todo a, b, c ∈ G, tem-se a(bc) = (ab)c.iii) G possui elemento neutro que é 1.iv) Para todo a ∈ G, o própria a é seu inverso, ou seja, a−1 = a.

De fato, para a = 1 ou a = −1 temos que a−1a = aa = 1.

Logo, G é um grupo multiplicativo.

8. O conjunto N munido da operação de potenciação ?, dada pora ? b = ab, não forma um grupo. Verdade, N é fechado para ?, mas? não é associativa. De fato, sendo 2, 3, 4 ∈ N temos:

(2 ? 3) ? 4 = 23 ? 4 = (23)4 = 23.4 = 212

2 ? (3 ? 4) = 2 ? 34 = 2(34) = 281

Portanto, (2 ? 3) ? 4 6= 2 ? (3 ? 4) e (N, ?) não é um grupo.

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9. O conjuntoMn(R) munido da operação de multiplicação usual dasmatrizes não constitui um grupo. De fato, sendo In ∈ Mn(R) amatriz identidade temos:

i) ∀A,B ∈Mn(R) ⇒ AB ∈Mn(R).ii) ∀A,B,C ∈Mn(R) ⇒ A(BC) = (AB)C.iii) ∀A ∈Mn(R) ⇒ InA = A.

iv) Porém, nem toda matriz A ∈Mn(R) possui um inverso, pois,nem toda matriz quadrada possui determinante diferente dezero.

Portanto, Mn(R) não é um grupo com a operação de multiplicaçãousual das matrizes.

10. Considere o conjunto GLn(R) = {A ∈ Mn(R) | det(A) 6= 0}.A operação de multiplicação usual de matrizes é uma operaçãobinária sobre GLn(R). De fato, para todo A,B ∈ GLn(R) temosque det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0, consequentemente,

det(AB) = det(A)det(B) 6= 0.

Isto nos leva a concluir que AB ∈ GLn(R). Já é sabido que aoperação de multiplicação de matrizes é associativa, e que a matrizidentidade In é o elemento neutro de GLn(R). Além disso, todamatriz A ∈ GLn(R) possui um inverso A−1, pois, toda matrizquadrada que possui determinante diferente de zero é inversível, e

det(A−1) = 1det(A) 6= 0 ⇒ A−1 ∈ GLn(R).

Portanto, GLn(R) é um grupo multiplicativo. Similarmente, tam-bém é um grupo multiplicativo o conjunto GLn(Q).

11. Sejam n ∈ N∗, X = {x1, x2, x3, . . . , xn} e Sn o conjunto de todasas funções bijetoras de X em X, ou seja,

Sn = {φ : X → X | φ é uma função bijetora}.

Afirmamos que Sn é um grupo com a operação de composição defunções, chamado de Grupo Simétrico de grau n. De fato, como acomposição de funções bijetoras é também bijetora, temos que Sn

é fechado com relação à composição de funções. Sem nenhuma dú-vida, a operação composição de funções é associativa. Temos aindaque o elemento neutro de Sn é a função identidade, e como todafunção bijetora possui inversa, que também é bijetora, concluímosa afirmação, isto é, (Sn, ◦) é um grupo.

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ÁlgebraI

12. Seja G = {x ∈ R | x 6= −1}. Vamos mostrar que G é um grupocom relação à operação ⊕ dada por:

x⊕ y = x+ y + xy.

i) G é fechado para a operação ⊕. De fato, para todo x, y ∈ G,x 6= −1 e y 6= −1, temos:

x⊕ y = x+ y+ xy = (x+ 1)(y+ 1)− 1 6= −1 ⇒ x⊕ y ∈ G.

ii) Para todo x, y, z ∈ G vem que:

x⊕ (y ⊕ z) = x⊕ (y + z + yz)

= x+ (y + z + yz) + x(y + z + yz)

= x+ y + z + yz + xy + xz + x(yz)

= x+ y + z + yz + xy + xz + (xy)z

= (x+ y + xy) + z + (x+ y + xy)z

= (x+ y + xy)⊕ z

= (x⊕ y)⊕ z.

Logo, a operação ⊕ é associativa.iii) Para todo x ∈ G, verifiquemos se existe e ∈ G tal que e⊕x = x.

e⊕ x = x

e+ x+ ex = x

e+ ex = 0

(1 + x)e = 0

e = 0.

Logo, G possui elemento neutro que é e = 0.iv) Por fim, todo x ∈ G possui um inverso x−1 ∈ G, pois,

x−1 ⊕ x = e

x−1 + x+ x−1x = 0

x−1 = − x

1 + x= −1 + 1

1 + x6= −1.

Logo, (G,⊕) é um grupo.

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ÁlgebraI

Definição 1.5. Dizemos que um grupo (G, ∗) é abeliano ou comutativose, e somente se, ∗ é uma operação comutativa.

Exemplo 1.6.

1. Para todo a, b ∈ Z temos a+ b = b+ a, ou seja, (Z,+) é um grupoaditivo abeliano. Analogamente, (Q,+), (R,+) e (C,+), com suasrespectivas operações usuais de adição, são grupos abelianos.

2. Para todo a, b ∈ Q∗ temos a · b = b · a, isto é, (Q∗, ·) é um grupomultiplicativo abeliano. Igualmente, (R∗, ·) e (C∗, ·), com suas res-pectivas operações usuais de multiplicação, são grupos abelianos.

3. É fácil ver que o grupo multiplicativo G = {1,−1} é um grupoabeliano.

4. O conjunto F(R), de todas as funções de R em R, é um grupoabeliano com a operação de adição usual entre funções, a saber,para todo x ∈ R:

i) Para todo f, g ∈ F(R) temos (f+g)(x) = f(x)+g(x) ∈ F(R).ii) Para todo f, g, h ∈ F(R) temos

[f + (g + h)](x) = f(x) + (g + h)(x)

= f(x) + (g(x) + h(x))

= (f(x) + g(x)) + h(x)

= (f + g)(x) + h(x)

= [(f + g) + h](x).

iii) A função nula f(x) = 0 é o elemento neutro de F(R) comrelação à operação +, pois, para todo g ∈ F(R) temos:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 0 + g(x) = g(x).

iv) Para todo f ∈ F(R), existe −f ∈ F(R) tal que:

(−f + f)(x) = −f(x) + f(x) = 0.

Logo, (F(R),+) é um grupo. Ademais,

v) Para todo f, g ∈ F(R) temos:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x).

Portanto, (F(R),+) é um grupo abeliano.

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5. O conjunto Mn×m(Z) é um grupo aditivo abeliano com a opera-ção de adição usual das matrizes. De fato, o elemento neutro deMn×m(Z) é a matriz nula n×m, denotada por 0n×m, e o inverso damatriz A ∈Mn×m(Z) é a matriz −A ∈Mn×m(Z). Assim temos:

i) ∀A,B ∈Mn×m(Z) ⇒ A+B ∈Mn×m(Z).ii) ∀A,B,C ∈Mn×m(Z) ⇒ A+ (B + C) = (A+B) + C.

iii) ∀A ∈Mn×m(Z) ⇒ 0n×m +A = A.

iv) ∀A ∈Mn×m(Z) ⇒ −A) +A = 0n×m.

v) ∀A,B ∈Mn×m(Z) ⇒ A+B = B +A.

Logo, (Mn×m(Z),+) é um grupo abeliano aditivo. Também sãogrupos abelianos (Mn×m(Q),+), (Mn×m(R),+) e (Mn×m(C),+).

6. Sejam n > 1 um inteiro e r = {kn + r | k ∈ Z, 0 ≤ r < n}.Considerando o conjunto

Zn = {0, 1, 2, . . . , n− 1},

e definindo a operação de adição sobre Zn como sendo

x+ y = x+ y,

temos que (Zn,+) é um grupo abeliano. De fato,

i) Para todo x, y, z ∈ Zn temos:

x+ (y + z) = x+ (y + z) = x+ (y + z)

= (x+ y) + z = (x+ y) + z

= (x+ y) + z.

ii) Para todo x ∈ Zn, existe 0 ∈ Zn tal que:

x+ 0 = x+ 0 = x.

iii) Para todo x ∈ Zn, existe n− x ∈ Zn tal que:

x+ n− x = x+ (n− x) = n = 0.

iv) Para todo x, y ∈ Zn,

x+ y = x+ y = y + x = y + x.

Portanto, (Zn,+) é um grupo abeliano.

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7. Considere o conjunto F(R) das funções de R em R munido daoperação composição de funções. Apesar do conjunto F(R) sernão vazio, ser fechado com relação à operação, possuir a funçãoidentidade iR como elemento neutro e a operação composição serassociativa, ele não é um grupo, pois, nem toda f ∈ F(R) possuiinverso f−1. De fato, f ∈ F(R) possui uma inversa f−1 se, e so-mente se, f é bijetora. No entanto, nem toda f ∈ F(R) é bijetora,por exemplo, a função f(x) = x2 não é injetora e nem sobrejetora.

8. Seja S3 o grupo de todas as funções bijetoras de X = {x1, x2, x3}nele mesmo, ou seja,

S3 =

x1 x2 x3

x1 x2 x3

,

x1 x2 x3

x2 x1 x3

,

x1 x2 x3

x3 x2 x1

,

x1 x2 x3

x1 x3 x2

,

x1 x2 x3

x2 x3 x1

,

x1 x2 x3

x3 x1 x2

,

onde a notação

x1 x2 x3

xi xj xk

representa a função tal que:

x1 → xi, x2 → xj , x3 → xk.

Como vimos no item 11 do Exemplo 1.4, S3 é um grupo com a ope-ração composição de funções. Porém, S3 não é um grupo abeliano.De fato, considere as funções φ e ψ, dadas como segue:

φ =

x1 x2 x3

x2 x1 x3

e ψ =

x1 x2 x3

x2 x3 x1

.

Temos que:

(a) φψ =

x1 x2 x3

x2 x1 x3

x1 x2 x3

x2 x3 x1

=

x1 x2 x3

x1 x3 x2

.

(b) ψφ =

x1 x2 x3

x2 x3 x1

x1 x2 x3

x2 x1 x3

=

x1 x2 x3

x3 x2 x1

.

Portanto, φψ 6= ψφ e S3 não é abeliano.

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ÁlgebraI

Lema 1.7. Sejam (G, ∗) um grupo e a ∈ G. Se a ∗ a = a, então a = e.

Demonstração: Como a ∈ G, existe a−1 ∈ G tal que a−1∗a = e. Logo,

a−1 ∗ (a ∗ a) = a−1 ∗ a = e.

Por outro lado,

a−1 ∗ (a ∗ a) = (a−1 ∗ a) ∗ a = e ∗ a = a.

Portanto, a = e.

Teorema 1.8. Se (G, ∗) é um grupo, então para todo a ∈ G temos que:

1. a ∗ a−1 = e. 2. a ∗ e = a.

Demonstração: Se (G, ∗) é um grupo, então para todo a ∈ G,

a−1 ∗ a = e e e ∗ a = a.

1. (a ∗ a−1) ∗ (a ∗ a−1) = (a ∗ (a−1 ∗ a)) ∗ a−1 = (a ∗ e) ∗ a−1 = a ∗ a−1,consequentemente, pelo Lema 1.7 temos o resultado desejado, queé, a ∗ a−1 = e.

2. a ∗ e = a ∗ (a−1 ∗ a) = (a ∗ a−1) ∗ a = e ∗ a = a. Como queríamosdemonstrar.

O Teorema 1.8 nós diz que a ordem em que operamos o elementoneutro e o elemento inverso é indiferente, ou seja,

a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e e e ∗ a = a ∗ e = a.

Teorema 1.9. Seja (G, ∗) um grupo. Então,

1. G possui um único elemento neutro.

2. cada elemento a ∈ G possui um único inverso.

Demonstração: Para mostrar que o elemento neutro e o inverso sãoúnicos, suponhamos que existem dois de cada e mostramos que eles são,respectivamente, iguais.

1. Sejam e, e′ ∈ G elementos neutros com relação à ∗. Logo,

i) se e é um elemento neutro, então e ∗ e′ = e′.ii) se e′ é um elemento neutro, então e ∗ e′ = e.

De i) e ii) temos e = e′, isto é, o elemento neutro é único.

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ÁlgebraI

2. Suponhamos que a−1 e b sejam dois inversos de a ∈ G, isto é,

a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e e b ∗ a = a ∗ b = e.

Então,

b = e ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ e = a−1.

Logo, b = a−1. Isto é, o inverso de cada elemento a ∈ G é único.

O Teorema 1.9 mostra que se o elemento neutro existe, então ele éúnico. Em particular, por definição, temos e ∗ e = e, ou seja, e−1 = e.

Corolário 1.10. Se G é um grupo e a ∈ G, então (a−1)−1 = a.

Demonstração: Seja a−1 o inverso de a, ou seja, a ∗ a−1 = e. PeloTeorema 1.9 o inverso é único, consequentemente, observando esta últimaigualdade podemos concluir, por definição, que a é o inverso de a−1, ouseja, (a−1)−1 = a.

Lema 1.11. Sejam G um grupo e a, x, y ∈ G. Então, as seguintes leisde cancelamento são válidas:

1. a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y.

2. x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y.

Demonstração:

1. Suponha que a ∗ x = a ∗ y. Então,

x = e ∗ x = (a−1 ∗ a) ∗ x = a−1 ∗ (a ∗ x)

= a−1 ∗ (a ∗ y)

= (a−1 ∗ a) ∗ y = e ∗ y = y.

Logo, x = y.

2. Suponha que x ∗ a = y ∗ a. Então,

x = x ∗ e = x ∗ (a ∗ a−1) = (x ∗ a) ∗ a−1

= (y ∗ a) ∗ a−1

= y ∗ (a ∗ a−1) = y ∗ e = y.

Portanto, x = y.

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ÁlgebraI

Lema 1.12. Seja (G, ∗) um grupo. Mostre que para todo a, b ∈ G,

(a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.

Demonstração: Para todo a, b ∈ G temos:

(a ∗ b) ∗ (a ∗ b)−1 = e ⇒ a ∗ (b ∗ (a ∗ b)−1) = e.

Pelo item 1 do Lema 1.11, podemos operar a−1 à esquerda de ambos oslados da última igualdade, sem que a mesma se altere:

a ∗ (b ∗ (a ∗ b)−1) = e ⇒ a−1 ∗ a ∗ (b ∗ (a ∗ b)−1) = a−1 ∗ e

⇒ e ∗ (b ∗ (a ∗ b)−1) = a−1 ∗ e

⇒ b ∗ (a ∗ b)−1 = a−1.

Do mesmo modo, sem que a última igualdade se altere, podemos operarb−1 à esquerda de ambos os lados:

b ∗ (a ∗ b)−1 = a−1 ⇒ b−1 ∗ b ∗ (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1

⇒ e ∗ (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1

⇒ (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.

Como queríamos demonstrar.

Lema 1.13. Seja G um grupo. Se a, b ∈ G e x é uma variável emG, então a equação a ∗ x = b possui uma única solução em G, que éx = a−1 ∗ b.

Demonstração: Claramente x = a−1 ∗ b é uma solução da equaçãoa ∗ x = b, pois,

a ∗ (a−1 ∗ b) = (a ∗ a−1) ∗ b = e ∗ b = b.

Por outro lado, se x0 é uma solução da equação, então a∗x0 = b. Dondeobtemos,

x0 = e ∗ x0 = (a−1 ∗ a) ∗ x0 = a−1 ∗ (a ∗ x0) = a−1 ∗ b.

Portanto, a equação a ∗ x = b possui uma única solução em G, que éx = a−1 ∗ b.

Como consequência do Lema 1.13 temos: para mostrar que um deter-minando elemento x ∈ G é igual ao elemento neutro do grupo G, bastamostrar que a ∗ x = a para algum a ∈ G.

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Lema 1.14. Sendo (G, ∗) um grupo e n ∈ Z, definida recursivamente an-ésima potência de a ∈ G da seguinte forma:

a0 = e,

an+1 = an ∗ a n > 0,

an = (a−n)−1 n < 0.

Então, para todo n,m ∈ Z:

1. an ∗ am = an+m 2. (an)m = anm

Demonstração: As provas se dão por indução em m e, sem perca degeneralidade, vamos supor n > 0 e m > 0. Os casos n = 0 ou m = 0 sãotriviais e de fácil entendimento. Já os casos onde n < 0 ou m < 0, bastalevar em conta a definição da n-ésima potência para o caso de expoentenegativo, se valer da propriedade apresentada pelo Lema 1.12, e aplicara propriedade para o caso em que os expoentes são positivos.

1. BI - Para m = 1 temos: an ∗ a1 = an+1. Portanto, a igualdade éverdadeira para m = 1.

HI - Vamos supor que a igualdade seja verdadeira para m = k,ou seja, an ∗ ak = an+k.

PI - Na sequência, vamos verificar se a igualdade é verdadeirapara m = k + 1, ou seja, verificar se an ∗ ak+1 = an+(k+1).

an∗ak+1 = an∗ak∗a HI= an+k∗a = a(n+k)+1 = an+(k+1).

Logo, a igualdade é verdadeira param = k+1 e, consequentemente,a igualdade é verdadeira para todo a ∈ G e para todo n,m ∈ N.

2. BI - Para m = 1 temos: (an)1 = an = an.1. Portanto, a igualdadeé verdadeira para m = 1.

HI - Vamos supor que a igualdade seja verdadeira para m = k,ou seja, (an)k = ank.

PI - Verifiquemos se a igualdade é verdadeira para m = k+ 1, ouseja, vamos verificar se (an)k+1 = an(k+1).

(an)k+1 = (an)k ∗ an HI= ank ∗ an = ank+n = an(k+1).

Portanto, a igualdade é verdadeira para m = k + 1. Consequente-mente, a igualdade é verdadeira para todo a ∈ G e todo n,m ∈ N.

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ÁlgebraI

Definição 1.15. A ordem de um grupo G é definida como sendo onúmero de elementos em G e é denotada por |G|.

Exemplo 1.16.

1. O grupo G = {−1, 1} é um grupo finito de ordem 2, que é, |G| = 2.

2. Como Z é infinito, então o grupo (Z,+) possui ordem infinita.

Deste ponto em diante, sempre que possível e não causar prejuízos oudúvidas, não mais explicitaremos a operação ∗ de um grupo (G, ∗). Istoposto, em vez de a ∗ b apenas escreveremos ab. Além disso, lembremosque por definição a n-ésima potência de a ∈ G é dada por:

an = aaa · · · a︸ ︷︷ ︸n

.

Definição 1.17. Seja G um grupo. Dizemos que um elemento a ∈ Gpossui ordem n se, e somente se, n > 0 e é o menor inteiro tal que an = e.No mais, se a ∈ G possui ordem n, então denotamos por |a| = n.

Exemplo 1.18.

1. Considere o grupo Z6. O elemento 2 ∈ Z6 possui ordem 3. Defato,

21 = 2, 22 = 2 + 2 = 4, 23 = 2 + 2 + 2 = 6 = 0.

2. Os elementos −1, i ∈ C∗ possuem, respectivamente, ordens 2 e 4.Vejamos,

(−1)1 = −1, (−1)2 = (−1)(−1) = 1.

i1 = i, i2 = −1, i3 = i2i = −i, i4 = i2i2 = 1.

Lema 1.19. Seja a ∈ G, onde G é um grupo. Se |a| = n, então am = ese, e somente se, n | m.

Demonstração: (⇒) Seja |a| = n e suponha que am = e. Pelo algo-ritmo da divisão de Euclides temos que existem únicos q, r ∈ Z, tal quem = qn + r e 0 ≤ r < n. Sendo assim temos:

am = e ⇒ aqn+r = e ⇒ aqnar = e ⇒ (an)qar = e ⇒ ar = e.

Como |a| = n, isto é, n é o menor inteiro tal que an = e, concluímos der < n e ar = e que a única possibilidade é termos r = 0. Consequente-mente, m = qn e, por definição, n | m.

(⇐) Por outro lado, se n | m, então m = kn e am = akn = (an)k = e.

17

ÁlgebraI

Corolário 1.20. Seja a ∈ G tal que |a| = n. Para todo k, t ∈ Z, temosak = at se, e somente se, k ≡ t(mod n).

Demonstração: ak = at ⇔ ak−t = e⇔ n | (k − t)⇔ k ≡ t(mod n).

Na verdade, sendo a ∈ G de ordem finita n, podemos comparar oucorrelacionar as ordens de a e ak. De fato, observe que

(ak)n = (an)k = e.

Então, pelo Lema 1.19, a ordem de ak divide n. Em outras palavras, aordem de ak divide a ordem de a. Por exemplo, suponhamos que a ∈ Gtenha ordem 12. Pela observação feita anteriormente, sabemos que aordem de qualquer potência de a, digamos ak, divide a ordem de a, queé 12. Neste sentido é natural pensar que a ordem de a2 é 6. De fato,

(a2)1 = a2, (a2)2 = a4, (a2)3 = a6,

(a2)4 = a8, (a2)5 = a10, (a2)6 = a12 = e.

Isto é, |a2| = 6 = 122 .

Mas, de maneira geral, sendo |a| = n será que podemos adotar comoregra que |ak| = n

k? Infelizmente não, pois, dessa forma teríamos que

|a8| = 128 , o que nos leva a um absurdo, uma vez que 12

8 /∈ Z. Nãoobstante,

(a8)1 = a8, (a8)2 = a16 = a12a4 = a4, (a8)3 = a24 = (a12)2 = e.

Portanto, concluímos que de fato |a8| = 3 = 124 .

Sendo assim, a pergunta que surge naturalmente é: Já que a ordemde ak divide |a|, então qual é sua ordem? Ou de outra forma, qual é ofator de |a| que é a ordem de ak? Ou ainda, qual é a correlação entre |ak|e |a|? A resposta para essa pergunta vem através da seguinte proposição.

Proposição 1.21. Sejam G um grupo e a ∈ G. Se |a| = n, então|ak| = n

mdc(n, k) .

Demonstração: Seja |a| = n e |ak| = m. Observe que:

(ak)n/mdc(n,k) = (an)k/mdc(n,k) = e.

Isto implica, pelo Lema 1.19, que m divide n

mdc(n, k) . Por outro lado,

akm = (ak)m = e,

18

ÁlgebraI

o que, de acordo com o Lema 1.19, nos diz que n divide km. Dondeobtemos que n

mdc(n, k) divide km

mdc(n, k) = k

mdc(n, k)m. Por fim,

mdc

(n

mdc(n, k) ,k

mdc(n, k)

)= 1,

concluímos que n

mdc(n, k) divide m. Portanto, m = n

mdc(n, k) .

Corolário 1.22. Sejam G um grupo e a ∈ G tal que |a| = n. Se k | n,então |ak| = n

k.

Demonstração: Se k | n, então n = qk e mdc(n, k) = mdc(qk, k) = k.Pela Proposição 1.21,

|ak| = n

mdc(n, k) = n

k.

Corolário 1.23. Sejam G um grupo e a ∈ G tal que |a| = n. Semdc(n, k) = 1, então |ak| = n.

Demonstração: Se mdc(n, k) = 1, então pela Proposição 1.21,

|ak| = n

mdc(n, k) = n.

Corolário 1.24. Seja G um grupo. Se a ∈ G e |a| = n, então |a−1| = n.

Demonstração: Como mdc(n,−1) = 1, é fácil ver que |a−1| = n.

Exemplo 1.25. Seja a ∈ G tal que |a| = 12. Como |ak| = 12mdc(12, k)

temos:

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

mdc(12, k) 12 1 2 3 4 1 6 1 4 3 2 1 12

|ak| 1 12 6 4 3 12 2 12 3 4 6 12 1

k −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10

mdc(12, k) 1 2 3 4 1 6 1 4 3 2

|ak| 12 6 4 3 12 2 12 3 4 6

19

ÁlgebraI

1.1 Exercícios

1. Em cada item abaixo, considere a operação binária ∗ sobre A everifique se ela é associativa e se ela é comutativa.

a) A = R e x ∗ y = x+ y

2 .

b) A = Z e x ∗ y = x+ xy.

c) A = R∗ e x ∗ y = x

y.

d) A = R e x ∗ y = x2 + y2.

2. Seja B = Z × Z. Considerando as operações a seguir, verifique seelas são associativas e/ou comutativas.

a) (a, b) ∗ (x, y) = (ax, 0)b) (a, b) ◦ (x, y) = (a+ x, b+ y)c) (a, b) � (x, y) = (a+ x, by)d) (a, b)⊕ (x, y) = (ax− by, ay + bx)

3. Seja ∗ a operação sobre Z dada por a∗b = ma+nb. Que condiçõesdevem satisfazer m,n ∈ Z de forma que ∗ seja associativa? e paraser comutativa?

4. Considere o grupo (F(R), ◦) e seja f ∈ F(R) a função dada porf(x) = 2x+ 3 para todo x ∈ R. Calcule f3 ∈ F(R).

5. Sejam n > 1 um inteiro e r = {kn + r | k ∈ Z, 0 ≤ r < n}.Considerando o conjunto das classes de restos módulo n dado porZn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}, mostre que as operações ⊕ e � definidassobre Zn a seguir são associativas e comutativas.

a) x⊕ y = x+ y b) x� y = xy

6. Prove que é associativa a operação ∗ sobre Z3 dada por:

(a, b, c) ∗ (x, y, z) = (ax, by, cz).

7. Mostre que a multiplicação de matrizes 2× 2 sobre o conjunto dosnúmeros reais é associativa, mas não comutativa.

8. Mostre que o conjunto dos números inteiros positivos Z+ não éfechado sob a operação de subtração usual.

9. Prove que o conjunto G a seguir é um grupo com a operação demultiplicação usual de matrizes.

G =

1 0

0 1

, −1 0

0 1

, 1 0

0 −1

, −1 0

0 −1

.

20

ÁlgebraI

10. Considere o grupo (GL2(R), ·). Determine o inverso de

A =

1 3

−2 −5

∈ GL2(R).

11. Mostre que se G é um grupo abeliano, então para todo a, b ∈ G epara todo n ∈ N temos que:

(a ∗ b)n = an ∗ bn.

12. Seja G um grupo. Mostre que se x2 = e para todo x ∈ G, então Gé abeliano.

13. Seja G um grupo. Mostre que se a, b ∈ G e x é uma variável emG, então a equação x ∗ a = b possui uma única solução em G, queé x = b ∗ a−1.

14. Mostre que se (ab)2 = a2b2 para todo a, b ∈ G, então G é um grupoabeliano.

15. Verifique se (R,⊗) é um grupo abeliano, onde ⊗ é dada por:

a⊗ b = a+ b− 3.

16. Seja R2 o produto cartesiano de R por ele mesmo. Considerandoa soma de vetores usual em R2,

(x, y) + (a, b) = (x+ a, y + b),

verifique se (R2,+) é um grupo.

17. Seja S3 o grupo das permutações dos 3 elementos x1, x2 e x3.Considere as funções φ e ψ, dadas como segue:

φ =

x1 x2 x3

x2 x1 x3

e ψ =

x1 x2 x3

x2 x3 x1

.

Mostre que:

a) φ2 = e.b) ψ3 = e.

c) ψ−1 = ψ2.d) φψ = ψ−1φ.

18. Sejam (G, ∗) um grupo e a ∈ G. Mostre que a função Ta : G→ G,definida por Ta(x) = a ∗ x, é bijetora.

21

ÁlgebraI

19. Considere o conjunto Q8 = {1,−1, i,−i, j,−j, k,−k}, tal que:

ij = k, jk = i, ki = j, kj = −i, ik = −j,

ji = −k, (±i)2 = (±j)2 = (±k)2 = 1.

Mostre que Q8 é um grupo, chamado de Grupo dos Quatérnios.

20. Mostre que D3 = {e, r, r2, s, rs, r2s} é um grupo, onde

r3 = e, s2 = e sr = r2s.

O grupo D3 é chamado de Grupo Diedral de Ordem 3.

21. Mostre que D4 = {e, r, r2, r3, s, rs, r2s, r3s} é um grupo, onde

r4 = e, s2 = e, sr = r3s.

O grupo D4 é chamado de Grupo Diedral de Ordem 4.

22. Mostre que E = {a+ b√

2 ∈ R∗ | a, b ∈ Q} é um grupo multipli-cativo abeliano.

23. Seja Pn o conjunto de todos os polinômios de grau n com variávelreal x, ou seja, se p(x) ∈ Pn, então

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0.

Mostre que (Pn,+) é um grupo, onde a operação + é a adiçãousual dos polinômios.

24. Determine as ordens de A,B ∈ GL2(R).

a) A =

−1 1

0 1

b) B =

−1 0

0 1

25. Determine a ordem de η =

x1 x2 x3

x3 x1 x2

∈ S3.

26. Seja a ∈ G tal que |a| = 5. Determine a |ak| para −8 ≤ k ≤ 8.

27. Seja G um grupo finito. Mostre que as seguintes condições sãoequivalentes:

a) Para todo a ∈ G, a|G| = e.b) Para todo a ∈ G, |a| divide |G|.

22

ÁlgebraI

2. Subgrupos

Definição 2.1. Sejam G um grupo e H subconjunto não vazio de G.Dizemos que H é um subgrupo de G, e denotamos por H ≤ G, se, esomente se, H é um grupo com a operação binária de G.

Observe que {e} e G são sempre subgrupos de G, chamados de sub-grupos triviais, e cujo interesse de estudo é diminuto.

Definição 2.2. Dizemos que H é um subgrupo próprio ou não trivialde G, e denotamos por H < G, se H é um subgrupo de G com H 6= Ge H 6= {e}.

Exemplo 2.3. É fácil ver que:

1. Z < Q < R com relação a operação usual de adição.

2. Q∗ < R∗ e R+ < R∗ com relação a operação usual de multiplicação.

3. o conjunto de todos os números pares, a saber, 2Z = {2k | k ∈ Z},é um subgrupo de (Z,+).

Na sequência, apresentamos formas de verificar se um determinandosubconjunto H de G é um subgrupo de G, sem ter que mostrar que elepor si só é um grupo com a operação de G.

Teorema 2.4. Se H é um subconjunto de um grupo (G, ∗), então H éum subgrupo de G se, e somente se, as seguintes acontecem:

i) e ∈ H; (elemento neutro de G)

ii) ∀a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H; (fechado para inverso)

iii) ∀a, b ∈ H ⇒ a ∗ b ∈ H. (fechado para a operação)

Demonstração: (⇒) Suponhamos que H ≤ G e mostremos que ascondições i), ii) e iii) são satisfeitas. Se eh é o elemento neutro de H,então eh ∗ eh = eh. Além disso, eh ∈ H ⊆ G, consequentemente, sendoe o elemento neutro de G temos e ∗ eh = eh. Dessas duas igualdadesconcluímos que e ∗ eh = eh ∗ eh. Portanto, pelo Lema 1.11, vem quee = eh ∈ H, o que prova a condição i).

Desde que (H, ∗) é um grupo, temos que H é fechado com relação àoperação ∗, ou seja, para todo a, b ∈ H temos a ∗ b ∈ H. Além disso,temos que para todo a ∈ H existe o inverso de a em H, isto é, a−1 ∈ H.Consequentemente, se verifica as condições ii) e iii).

23

ÁlgebraI

(⇐) Agora suponhamos que as condições i), ii) e iii) são satisfeitas, eprovemos que H é um subgrupo de G, ou seja, provemos que (H, ∗) é umgrupo. De fato, de i) temos que H 6= ∅ e possui elemento neutro, pois,e ∈ H. Por iii) vem que H é fechado com relação à operação ∗. Como aoperação ∗ é a mesma operação sobre o grupo G, segue imediatamenteque ∗ é uma operação associativa sobre H. Finalmente, por ii), todoelemento de H possui inverso, donde concluímos que H é um grupo.

Teorema 2.5. Se H é um subconjunto de um grupo (G, ∗), então H éum subgrupo de G se, e somente se, as seguintes acontecem:

i) H 6= ∅;

ii) ∀a, b ∈ H ⇒ a ∗ b−1 ∈ H.

Demonstração: (⇒) Suponhamos que H é um subgrupo de G. PeloTeorema 2.4 sabemos que e ∈ H, ou seja, H 6= ∅. Além disso, paratodo b ∈ H temos que b−1 ∈ H. Sendo assim, para todo a, b ∈ H vemque a, b−1 ∈ H, donde concluímos que a ∗ b−1 ∈ H. Logo, se H é umsubgrupo de G, então as condição i) e ii) são satisfeitas.

(⇐) Agora suponhamos que as condições i) e ii) são satisfeitas, eprovemos que H é um subgrupo de G. Pelo item i) temos que H 6= ∅,ou seja, existe a ∈ H. Agora pelo item ii) temos:

a ∗ a−1 ∈ H ⇒ e ∈ H.

Ainda pelo item ii) vem que:

∀a ∈ H ⇒ e ∗ a−1 ∈ H ⇒ a−1 ∈ H.

Por fim, observando a implicação anterior, para todo b ∈ H temos queb−1 ∈ H. Dessa forma,

∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H ⇒ a ∗ (b−1)−1 ∈ H ⇒ a ∗ b ∈ H.

Portanto, pelo Teorema 2.4, H é um subgrupo de G.

Daqui em diante, por uma questão de simplicidade e sem prejuízo,usaremos a notação ab, em vez de a ∗ b, para representar a operação en-tre dois elementos quaisquer de um grupo qualquer, com uma operaçãoqualquer. Porém, sempre que houver a possibilidade de uma interpreta-ção dúbia, ou se fazer necessário, recorremos à explicitação da operaçãoenvolvida.

Na sequência, apresentamos “roteiros” com intuito de fornecer umaorientação de como provar ou não, que determinando subconjunto H deum grupo G é um subgrupo ou não.

24

ÁlgebraI

De acordo com o Teorema 2.4, para provar que um subconjunto nãovazio H de um grupo G é um subgrupo de G, é necessário e suficienteque se verifique todas as seguintes:

i) Mostre que o elemento neutro de G pertence a H.

ii) Assuma que a ∈ H e mostre que a−1 ∈ H.

iii) Assuma que a, b ∈ H e mostre que ab ∈ H.

Já de acordo com o Teorema 2.5, para provar que um subconjuntonão vazioH de um grupo G é um subgrupo de G, é necessário e suficienteque todas as seguintes sejam verdadeiras:

i) Mostre que H não é vazio. Em particular, mostre que o elementoneutro de G pertence a H.

ii) Assuma que a, b ∈ H e mostre que ab−1 ∈ H.

Por outro lado, para provar que um subconjunto não vazio H de umgrupo G não é um subgrupo de G, é necessário e suficiente que apenasuma das seguintes se verifique:

i) Mostre que o elemento neutro de G não pertence a H.

ii) Ou encontre um elemento a ∈ H e mostre que a−1 /∈ H.

iii) Ou encontre dois elementos a, b ∈ H e mostre que ab /∈ H.

Exemplo 2.6.

1. Considere o grupo (R∗, ·) e R∗+ = {x ∈ R | x > 0}. Afirmamosque R∗+ é um subgrupo de R∗. De fato, pois,

i) Como 1 > 0 temos que 1 ∈ R∗+, ou seja, R∗+ 6= ∅.

ii) Para todo b ∈ R∗+ temos que b > 0. Portanto, b−1 = 1b> 0 e

∀a, b ∈ R∗+ ⇒ a > 0 e b−1 > 0 ⇒ ab−1 > 0 ⇒ ab−1 ∈ R∗+.

Consequentemente, pelo Teorema 2.5, R∗+ ≤ R∗.

2. O conjunto dos números inteiros pares 2Z = {. . . ,−2, 0, 2, 4, . . .}é um subgrupo de (Z,+). De fato, a identidade de Z é o 0, eseguramente 0 ∈ 2Z. A soma de dois números inteiros pares é umnúmero inteiro par, assim 2Z é fechado para a adição de inteiros.Por fim, se x ∈ 2Z, isto é, x é um inteiro par, então o seu inversoaditivo −x também é um número inteiro par, que é −x ∈ 2Z.Portanto, 2Z ≤ Z.

25

ÁlgebraI

3. O subconjunto N de Z não é um subgrupo de (Z,+), pois, N nãocontém todos os inversos de seus elementos. Neste sentido, e pelomesmo motivo, N não é um subgrupo de Q∗ com relação à operaçãode multiplicação.

4. Seja H =

1 n

0 1

| n ∈ Z. Afirmamos que H ≤ GL2(R).

De fato, 1 0

0 1

∈ H e

1 n

0 1

−1

=

1 −n

0 1

∈ H.Além disso, 1 n

0 1

1 m

0 1

=

1 n+m

0 1

∈ H.Portanto, pelo Teorema 2.4, H ≤ GL2(R).

5. O conjunto SL2(R), de toda matriz 2× 2 com determinante iguala 1, é subgrupo de GL2(R) com a multiplicação usual de matrizes.De fato,

SL2(R) =

a b

c d

| a, b, c, d ∈ R e ad− bc = 1

.

Uma vez que

1 0

0 1

pertence a SL2(R), temos SL2(R) 6= ∅.

Além disso, SL2(R) é fechado para a multiplicação usual de ma-trizes. Verdade, se A,B ∈ SL2(R), então AB ∈ SL2(R), pois,

det(AB) = det(A)det(B) = 1.1 = 1.

Por fim, SL2(R) é fechado para inverso, pois, se A ∈ SL2(R), entãodet(A) 6= 0. Consequentemente, existe A−1 e

det(A−1) = 1det(A) = 1

1 = 1.

Portanto, SL2(R) é subgrupo de GL2(R).

26

ÁlgebraI

Lema 2.7. Seja G um grupo, H ≤ G e K ≤ G. Então H ∩K ≤ G.Demonstração: Como H ≤ G e K ≤ G temos que e ∈ H e e ∈ K, ouseja, e ∈ H ∩ K. Consequentemente, H ∩ K 6= ∅. Agora suponhamosque a, b ∈ H ∩K, ou seja, a, b ∈ H e a, b ∈ K. Uma vez que por hipóteseH ≤ G e K ≤ G temos que ab−1 ∈ H e ab−1 ∈ K, isto é, ab−1 ∈ H ∩K.Portanto, pelo Teorema 2.5, H ∩ K ≤ G.

Na verdade, o Lema 2.7 é verdadeiro para uma família qualquer{Ha}a∈A de subgrupos de um grupo G. Por outro lado, se H,K ≤ G,então H ∪ K não é necessariamente um subgrupo de G, como mostrao exemplo a seguir.Exemplo 2.8. Seja o grupo Z com a operação adição usual. Temos que,

2Z = {2k | k ∈ Z} ≤ Z e 3Z = {3k | k ∈ Z} ≤ Z.

No entanto,2Z ∪ 3Z � Z.

De fato, por exemplo,

2 + 3 = 5 /∈ 2Z ∪ 3Z,

ou seja, 2Z ∪ 3Z não é fechado para a operação adição.Definição 2.9. Seja G um grupo e a ∈ G. Definimos o conjunto geradopor a, denotado por 〈a〉, como sendo o conjunto de todas as potênciasinteiras de a, ou seja,

〈a〉 = {an | n ∈ Z} .Exemplo 2.10. Considere o grupo (R∗, ·) e −2,−1 ∈ R∗. Assim temos:

1. 〈−2〉 = {(−2)n | n ∈ Z} ={. . . ,−1

8 ,−14 ,−

12 , 1,−2, 4,−8, 16, . . .

}.

2. 〈−1〉 = {(−1)n | n ∈ Z} = {−1, 1}.Lema 2.11. Seja G um grupo e a ∈ G. Então 〈a〉 é um subgrupoabeliano de G, chamado de subgrupo cíclico gerado por a.Demonstração: Claramente 〈a〉 6= ∅, pois, a = a1 ∈ 〈a〉. Agora, sex, y ∈ 〈a〉, então por definição temos que x = an e y = am para algumn,m ∈ Z. Sendo assim, temos:

xy−1 = an(am)−1 = ana−m = an−m ∈ 〈a〉.

Finalmente,

xy = anam = an+m = am+n = aman = yx.

Portanto, 〈a〉 é um subgrupo abeliano G.

27

ÁlgebraI

Proposição 2.12. Seja G um grupo. Se a ∈ G e |a| = n, então:

1. 〈a〉 = {e, a, a2, . . . , an−1}.

2. |〈a〉| = n.

Demonstração: Note que para mostrar a primeira afirmaçãoé suficiente mostrar que 〈a〉 ⊂ {e, a, a2, . . . , an−1}, isto porque{e, a, a2, . . . , an−1} ⊂ 〈a〉.

Seja |a| = n e considere uma potência qualquer de a, digamos ak.Pelo algoritmo da divisão de Euclides existem inteiros q e r tais quek = qn + r onde 0 ≤ r < n. Logo,

ak = aqn+r = aqnar = (an)qar = ar,

ou seja, toda potência ak ∈ 〈a〉 é igual a alguma potência ar,onde 0 ≤ r < n, isto é, ak ∈ {e, a, a2, . . . , an−1}. Portanto,〈a〉 = {e, a, a2, . . . , an−1}.

Por fim, para mostrar a segunda afirmação, ou seja, mostrar que|〈a〉| = n, é suficiente mostrar que todos os elementos do conjunto{e, a, a2, . . . , an−1} são distintos. Para isto, por contradição, suponha-mos que existem duas potências iguais no conjunto {e, a, a2, . . . , an−1},que é,

ai = aj com 1 ≤ i < j < n.

Donde obtemos, aj−i = e. Como 0 < j − i < n temos uma contradição,pois, n é o menor inteiro tal que an = e. Portanto, todos os elementosdo conjunto {e, a, a2, . . . , an−1} são distintos e concluímos que |〈a〉| = n.

Definição 2.13. Um grupo G é chamado cíclico se, e somente se, existea ∈ G tal que G = 〈a〉. Neste caso, diz-se que G é cíclico gerado por a.

Exemplo 2.14. Seja o grupo (Z,+) e 1 ∈ Z. Então Z é um grupocíclico gerado por 1, ou seja, Z = 〈1〉. De fato, com a operação adiçãotemos que an = a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸

n

= n.a, ou seja:

0 = 0.1 = 10

1 = 1.1 = 11

2 = 2.1 = 12

3 = 3.1 = 13

4 = 4.1 = 14

5 = 5.1 = 15

6 = 6.1 = 16

7 = 7.1 = 17

8 = 8.1 = 18

...n = n.1 = 1n

...

Não obstante, Z também é um grupo cíclico gerado por −1, ou seja,Z = 〈−1〉, donde podemos concluir que um grupo pode ter mais de umgerador.

28

ÁlgebraI

Lema 2.15. Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.

Demonstração: Seja G = 〈a〉 um grupo cíclico. Se H ≤ G, entãoexistem duas posibilidades, que é: H é um subgrupo trivial, ou seja,H = {e} ou H = G. Em qualquer um desses casos temos que H écíclico. A outra possibilidade é H ser um subgrupo próprio de G, ouseja, H 6= {e} e H 6= G. Neste caso, existe um inteiro positivo mínimon tal que an ∈ H. Claramente, temos que 〈an〉 ⊆ H. Por outro lado,se h ∈ H, então h é da forma am, pois H é um subgrupo de G. Peloalgoritmo da divisão de Euclides existem inteiros q e r tais que:

am = anq+r = anqar, com 0 ≤ r < n,

ou seja,

ar = a−nqam ∈ H.

Dessa forma, somente podemos ter r = 0, já que supomos que n é omenor menor inteiro positivo para o qual an ∈ H. Assim todo elementoh ∈ H é da forma aqn = (an)q, o que nos leva a concluir que H ⊆ 〈an〉.Consequentemente, temos H = 〈an〉 e, portanto, H é cíclico.

Definição 2.16. Seja G um grupo. O centro de G, denotado por Z(G),é o conjunto de todos os elementos a ∈ G tal que a comuta com todoelemento de G. De outra forma,

Z(G) = {a ∈ G | ∀x ∈ G, ax = xa}.

Note que Z(G) é sempre não vazio. De fato, desde que ex = xe paratodo x ∈ G, temos que e ∈ Z(G), ou seja, Z(G) 6= ∅. Além disso, é fácilver que o centro Z(G) é sempre abeliano.

Exemplo 2.17. Vamos determinar o centro do grupo GL2(R) detodas as matrizes 2 × 2 inversíveis. Para isto, vamos supor que a b

c d

∈ Z(GL2(R)). Dessa forma, a matrix

a b

c d

comuta com

todas as matrizes pertencentes a GL2(R). Em outras palavras, para

toda matrix

x y

z w

∈ GL2(R) temos:

a b

c d

x y

z w

=

x y

z w

a b

c d

.

29

ÁlgebraI

Donde obtemos, ax+ bz ay + bw

cx+ dz cy + dw

=

ax+ cy bx+ dy

az + cw bz + dw

.Note que da igualdade anterior devemos ter:

ax+ bz = ax+ cy ⇒ bz = cy.

Como b, c ∈ R são fixos e a escolha de y, z ∈ R é arbitrária, a únicaforma da igualdade bz = cy ser verdadeira para todo y, z ∈ R é fazendob = 0 e c = 0. Daí, consequentemente,

ay + bw = bx+ dy ⇒ ay = dy ⇒ a = d.

Portanto, o centro de GL2(R) é dado por:

Z(GL2(R)) =

a 0

0 a

| a 6= 0

.

Lema 2.18. Se G é um grupo, então Z(G) é um subgrupo de G.

Demonstração: Claramente, Z(G) 6= ∅, pois, e ∈ Z(G). Também, seg ∈ Z(G), então g−1 ∈ Z(G). Isto porque, para todo x ∈ G temos:

g−1x = g−1xe = g−1(xg)g−1 = g−1(gx)g−1 = exg−1 = xg−1.

Agora, se a, b ∈ Z(G), então ab−1 ∈ Z(G). De fato, se a, b ∈ Z(G),então para todo x ∈ G temos:

ax = xa e bx = xb.

Além disso, como vimos anteriormente, ambos a−1 e b−1 pertencem aoZ(G). Sendo assim,

(ab−1)x = a(b−1x) = a(xb−1) = (ax)b−1 = (xa)b−1 = x(ab−1).

Portanto, Z(G) é um subgrupo de G.

Definição 2.19. Seja G um grupo e x ∈ G. O centralizador de x emG, denotado por CG(x), é o conjunto de todos os elementos x ∈ G talque a comuta com x. Em outras palavras,

CG(x) = {a ∈ G | ax = xa}.

30

ÁlgebraI

Exemplo 2.20. Sendo A =

1 0

0 2

∈ GL2(R), vamos determinar o

CGL2(R)(A). Por definição, uma matriz B =

a b

c d

∈ CGL2(R)(A)

se, e somente se, AB = BA, a saber: a b

c d

1 0

0 2

=

1 0

0 2

a b

c d

.Donde obtemos, a 2b

c 2d

=

a b

2c 2d

.Esta última igualdade é verdadeira se, e somente se, 2b = b e c = 2c, istoé, se, e somente se, b = 0 e c = 0. Portanto,

CGL2(R)(A) =

a 0

0 d

| a, d ∈ R, ad 6= 0

.

Lema 2.21. Seja G um grupo. Se x ∈ G, então CG(x) é um subgrupode G.

Demonstração: É fácil ver que e ∈ CG(x), ou seja, CG(x) 6= ∅. Agora,se g ∈ CG(x), então g−1 ∈ CG(x), pois,

g−1x = g−1xe = g−1(xg)g−1 = g−1(gx)g−1 = exg−1 = xg−1.

Por fim, se a, b ∈ CG(x), então ab−1 ∈ CG(x). De fato,

(ab−1)x = a(b−1x) = a(xb−1) = (ax)b−1 = (xa)b−1 = x(ab−1).

Portanto, CG(x) é um subgrupo de G.

2.1 Exercícios

1. Verifique se H2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .} ⊆ Z, o conjunto dos númerosinteiros positivos, é um subgrupo de (Z,+). E o que podemos dizersobre o conjunto H3 = {. . . ,−3,−1, 1, 3, 5, 7, . . .} ⊆ Z?

2. É verdade que Q ≤ R? Justifique sua resposta!

31

ÁlgebraI

3. Mostre que nZ = {nx | x ∈ Z} é um subgrupo de Z com a operaçãode adição usual.

4. Seja S3 o grupo das permutações dos 3 elementos x1, x2 e x3.Considere as aplicações φ e ψ dadas por:

φ =

x1 x2 x3

x2 x1 x3

ψ =

x1 x2 x3

x2 x3 x1

Mostre que S3 = {e, ψ, ψ2, φ, φψ, φψ2}. Além disso, mostre que osseguintes são subgrupos de S3.

H1 = {e}

H2 = {e, φ}

H3 = {e, φψ}

H4 = {e, φψ2}

H5 = {e, ψ, ψ2}

H6 = {e, ψ, ψ2, φ, φψ, φψ2}

5. a) Mostre que GL2(R) é um grupo com a operação de multiplica-ção de matrizes usual.

b) Mostre que o conjunto D =

a 0

0 a

| a ∈ R e a 6= 0

é

um subgrupo de GL2(R).c) Mostre que o conjunto SL2(R) das matrizes 2 × 2 cujo deter-

minante é igual a 1, é um subgrupo de GL2(R).

6. Seja Q∗ o grupo dos números racionais não nulos sob a operaçãode multiplicação usual, e considere o conjunto

H ={

12m| m ∈ Z

}.

H é um subgrupo de Q∗?

7. Seja R2 o produto cartesiano de R por ele mesmo. Considerando asoma de vetores usual em R2, ou seja, (x, y)+(a, b) = (x+a, y+b),responda:

a) (R2,+) é um grupo?b) A = {(a, 0) | a ∈ R} é um subgrupo de R2?c) B = {(0, b) | b ∈ R} é um subgrupo de R2?d) A ∪B é um subgrupo de R2?

32

ÁlgebraI

8. Verifique se:

a){

1 + 2m1 + 2n | m,n ∈ Z

}é um subgrupo de (Q∗, ·).

b) {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, . . .} é um subgrupo de (Q∗ \ {1}, ∗), ondex ∗ y = x+ y − xy.

c) {a+ b√

2 | a, b ∈ Q} é um subgrupo de (R,+).d) {a+ b

√2 ∈ R∗ | a, b ∈ Q} é um subgrupo de (R∗, ·).

e)

cos(x) sen(x)

−sen(x) cos(x)

| x ∈ R é subgrupo de (GL2(R), ·).

9. Seja G o grupo dos números reais não nulos com a operação demultiplicação usual. Verifique se o conjunto H dado a seguir é umsubgrupo de G.

H = {x ∈ G | x = 1 ou x é um número irracional}.

10. Considere o grupo Q∗ com a operação multiplicação usual, e oconjunto Q∗+ = {x ∈ Q | x > 0} de todos os racionais positivos.Podemos afirmar que Q∗+ é um subgrupo de Q∗?

11. Mostre que:

a) o grupo aditivo dos inteiros Z é cíclico gerado pelo número −1.b) o grupo multiplicativo G = {−1, 1,−i, i} é cíclico gerado por i,

com i2 = −1.c) o grupo multiplicativo G = {−1, 1,−i, i} é cíclico gerado por−i, onde i2 = −1.

d) o grupo aditivo 2Z = {2k | k ∈ Z} é cíclico gerado por 2.e) o grupo aditivo nZ = {nk | k ∈ Z} é cíclico gerado por n.f) o grupo aditivo nZ = {nk | k ∈ Z} é cíclico gerado por −n.

12. Seja {Ha}a∈A uma família de subgrupos de um grupo G. Mostreque a interseção H = ∩a∈AHa, da família de subgrupos {Ha}a∈A,ainda é um subgrupo.

13. Seja Q8 = {1,−1, i,−i, j,−j, k,−k}. Mostre que Z = {1,−1} éum subgrupo de Q8.

14. Mostre que Z(S3) = {e}.

15. Mostre que se G é abeliano, então Z(G) = G.

33

ÁlgebraI

16. Sejam G um grupo e S um subconjunto de G. Considere os se-guintes conjuntos:

a) S−1 = {a−1 | a ∈ S}.b) 〈S〉 = {a1a2a3 · · · an | n ∈ N, ai ∈ S ou ai ∈ S−1}.

Mostre que o conjunto 〈S〉 é um subgrupo de G, chamado de Sub-grupo gerado por S.

17. Seja G = GL2(R) com a multiplicação de matrizes usual. Deter-mine CG(x), onde

x =

1 1

1 1

.18. Prove que se G é um grupo e x ∈ G, então Z(G) ≤ CG(x).

19. Prove que o grupo G é abeliano se, e somente se, G = CG(x) paratodo x ∈ G.

34

ÁlgebraI

3. Homomorfismo de Grupos e Aplicações

Definição 3.1. Sejam (G, ∗) e (H,⊗) grupos.1. Uma aplicação f : G→ H é um homomorfismo se, e somente se,

∀a, b ∈ G, f(a ∗ b) = f(a)⊗ f(b).

2. Uma aplicação f : G → H é um isomorfismo se, e somente se, fé um homomorfismo bijetor. Neste caso, dizemos que G e H sãogrupos isomorfos e denotamos por G ∼= H.

Exemplo 3.2.1. Sejam os grupos G = (R∗+, ·) e H = (R,+). Defina a aplicaçãof : G→ H por f(x) = log(x). A aplicação f assim definida é umhomomorfismo. De fato, para todo x, y ∈ R∗+ temos:

f(xy) = log(xy) = log(x) + log(y) = f(x) + f(y).

2. Os grupos G = (R,+) e H = (R+, ·) são isomorfos. De fato, aaplicação f : G → H definida por f(x) = 2x é um isomorfismo,pois:

i) a aplicação f é um homomorfismo.

f(x+ y) = 2x+y = 2x · 2y = f(x) · f(y).

ii) a aplicação f é injetora.

∀x, y ∈ G, f(x) = f(y) ⇒ 2x = 2y ⇒ x = y.

iii) a aplicação f é sobrejetora.

∀y ∈ H ⇒ ∃ x = log2(y) ∈ G : f(x) = 2log2 (y) = y.

3. Obviamente, por definição, todo isomorfismo é um homomorfismo.No entanto, nem todo homomorfismo é um isomorfismo. De fato,seja ψ : Z6 → Z6 dada por:

ψ(x) = 2x.

A aplicação ψ assim definida é um homomorfismo, pois

ψ(x+ y) = 2(x+ y) = 2x+ 2y = 2x+ 2y = ψ(x) + ψ(y).

Porém, a aplicação ψ não é bijetiva, pois, ψ não é sobrejetiva, umavez que:

ψ(Z6) = {0, 2, 4}.

35

ÁlgebraI

Definição 3.3. Seja G um grupo.

1. Uma aplicação φ : G→ G é um endomorfismo se, e somente se, φé um homomorfismo.

2. Uma aplicação φ : G→ G é um automorfismo se, e somente se, φé um isomorfismo.

Exemplo 3.4.

1. A aplicação φ : (R,+) → (R,+) definida por φ(x) = x3 não éum automorfismo. De fato, apesar de φ ser bijetiva, φ não é umhomomorfismo, pois existem números reais x e y tais que

(x+ y)3 6= x3 + y3.

ou seja,φ(x+ y) 6= φ(x) + φ(y).

2. A aplicação η : (R∗, ·) → (R∗, ·) definida por η(x) = x3 é umautomorfismo. De fato, a aplicação η é um homomorfismo, poispara todo x, y ∈ R∗ temos

η(xy) = (xy)3 = x3y3 = η(x)η(y).

Além disso, a aplicação η é bijetora, pois para todo y ∈ R∗ aequação η(x) = y possui uma única solução, que é x = 3

√y. Logo,

η é um automorfismo sobre R∗.

Na sequência, omitiremos a indicação da operação dos grupos. Noentanto, sendo (G, ∗) e (H,⊗) grupos, e a aplicação f : G → H, ficasubentendido que quando escrevemos f(ab) a operação aplicada entre abé a operação ∗ de G, domínio da aplicação f . Da mesma forma, que aoperação aplicada entre f(a)f(b) é a operação ⊗ de H, contradomínioda aplicação f .

Lema 3.5. Sejam G e H grupos, e f : G → H um homomorfismo.Então:

1. f(eG

) = eH

onde eG∈ G, e

H∈ H são os elementos neutros.

2. f(a−1) = f(a)−1 para todo a ∈ G.

3. f(an) = f(a)n para todo n ∈ Z.

Demonstração: Sejam eG

e eH

os respectivos elementos neutros deG e H. Se a ∈ G, n ∈ Z, e f : G→ H é um homomorfismo, então:

36

ÁlgebraI

1. f(eG

) = eH. De fato, f(e

G) = f(e

Ge

G) = f(e

G)f(e

G).

Logo, como f(eG

) ∈ H, pelo Lema 1.7 vem que f(eG

) = eH.

2. f(a−1) = f(a)−1. De fato, f(a)f(a−1) = f(aa−1) = f(eG

) = eH.

Consequentemente, pela unicidade do elemento inverso vem quef(a)−1 = f(a−1).

3. f(an) = f(a)n. De fato,

f(an) = f(aa · · · a︸ ︷︷ ︸n

) = f(a)f(a) · · · f(a)︸ ︷︷ ︸n

= f(a)n.

Geralmente, os algebristas não fazem qualquer distinção entre gruposisomorfos. Em outras palavras, não se preocupam com a natureza doselementos que compõem os grupos, mas apenas com a forma como elesse operam. Neste sentindo, como mostra o lema a seguir, não fazemosnenhuma distinção entre um grupo cíclico infinito e o grupo aditivo dosinteiros, a menos possivelmente da natureza de seus elementos.

Lema 3.6. Todo grupo cíclico infinito é isomorfo ao grupo aditivo dosinteiros.

Demonstração: Seja G um grupo cíclico infinito, ou seja, existe a ∈ Gtal que G = 〈a〉. Defina f : Z → G por f(n) = an. A aplicação f éum homomorfismo:

f(n+m) = an+m = anam = f(n) + f(m).

Por outro lado,

f(n) = f(m) ⇒ an = am.

ComoG é um grupo cíclico infinito gerado por a, então todas as potênciasde a são distintas, o que nos leva a concluir que an = am se, e só se,temos n = m. Isto é, f é injetiva. Que f é sobrejetiva é fácil ver. Logo,a aplicação f é um isomorfismo e, portanto, G ∼= Z.

Lema 3.7. Seja G um grupo cíclico finito de ordem n. Então, G ∼= Zn.

Demonstração: Sejam Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1} e G um grupo cíclicogerado por a, isto é,

G = {e, a, a2, . . . , an−1}.

37

ÁlgebraI

Considere a aplicação φ : Zn → G dada por φ(m) = am. Afirma-mos que φ assim definida é um isomorfismo. De fato, a aplicação φ éinjetora, pois,

φ(r) = φ(s) ⇒ ar = as ⇒ ar−s = e ⇒ n | (r− s) ⇒ r ≡ s(mod n).

Donde concluímos que r = s. Obviamente, φ é sobrejetora. Resta entãomostrar que φ é um homomorfismo. Note que:

φ(r + s) = φ(r + s) = ar+s = aras = φ(r)φ(s).

Portanto, φ é um isomorfismo e, consequentemente, G ∼= Zn.

Note que para mostrar que dois grupos G e H são isomorfos, bastaseguir os seguintes passos, não necessariamente na ordem:

i) Defina uma aplicação f : G→ H.

ii) Mostre que f é injetora.

iii) Mostre que f é sobrejetora.

iv) Mostre que f é um homomorfismo.

Não obstante, seguindo a linha de pensamento dos algebristas,quando desejamos mostrar que dois grupos não são isomorfos, umadas formas é encontrar uma propriedade algébrica que seria preservadapela existência de qualquer isomorfismo entre os dois grupos, mas queé satisfeita somente por um dos grupos envolvidos. Por exemplo, se háum isomorfismo entre dois grupos e um deles é abeliano, então o outrotem por obrigação ser também abeliano, como mostramos a seguir.

Lema 3.8. Sejam G e H grupos, e f : G→ H um isomorfismo. Se G éabeliano, então H é abeliano.

Demonstração: Se G é um grupo abeliano, então para todo a, b ∈ Gtemos ab = ba. Sendo assim,

f(ab) = f(ba) ⇒ f(a)f(b) = f(b)f(a),

ou seja, para todo a, b ∈ G vem que f(a)f(b) = f(b)f(a). Como f ébijetora concluímos que H é abeliano.

Em geral, um homomorfismo de grupo f : G → H envia subgruposde G em subgrupos de H, como mostra o Lema 3.9 a seguir. Masantes relembremos que dados dois conjuntos G e H, e uma aplicaçãof : G→ H, o conjunto imagem de f , denotado por Im(f), é dado por:

Im(f) = {y ∈ H | y = f(x) para algum x ∈ G}.

38

ÁlgebraI

Além disso, dado S ⊆ G, a imagem de S por f , denotada por f(S), é:

f(S) = {f(x) | x ∈ S}.

Também, sendo E ⊆ H, a imagem inversa de E por f , denotada porf−1(E), é o subconjunto de G dado por:

f−1(E) = {x ∈ G | f(x) ∈ E}.

Lema 3.9. Sejam G e H grupos, S um subgrupo de G, e f : G → Hum homomorfismo. Então, f(S) é um subgrupo de H. Em particular,Im(f) = f(G) é um subgrupo de H.Demonstração: Sejam e

Ge e

Hos respectivos elementos neutros de

G e H. Como S é um subgrupo de G temos que eG∈ S. Logo, sendo

f(S) = {f(x) | x ∈ S},

temos que:1. f(e

G) = e

H∈ f(S), ou seja, f(S) 6= ∅.

2. Para todo x, y ∈ f(S) existem a, b ∈ S tal que f(a) = x e f(b) = y.Como S é um subgrupo de G temos que ab−1 ∈ S, consequente-mente,

xy−1 = f(a)f(b)−1 = f(a)f(b−1) = f(ab−1) ∈ S.

Portanto, f(S) é um subgrupo de H.

Lema 3.10. Sejam G e H grupos, e f : G→ H um homomorfismo. Sef é injetiva, então G ∼= Im(f).Demonstração: Pelo Lema 3.9, a Im(f) é um subgrupo de H. Definaa aplicação φ : G → Im(f) por φ(x) = f(x). Como f : G → H éum homomorfismo, obviamente, φ também é um homomorfismo. Alémdisso, como f é injetora e sobrejetora de G em Im(f), vemos claramenteque φ é bijetora. Portanto, φ é um isomorfismo e G ∼= Im(f).

Lema 3.11. Seja G um grupo cíclico gerado por a. Se φ : G→ H é umhomomorfismo de grupos, então para todo x ∈ G, φ(x) é completamentedeterminado por φ(a).Demonstração: Para todo x ∈ G = 〈a〉 temos x = ak, para algumk ∈ Z. Logo, φ(x) = φ(ak) = φ(a)k, isto é, todo φ(x) pode ser escritocomo uma potência de φ(a), como queríamos demonstrar.

Na verdade, o Lema 3.11 nos diz que: Se G = 〈a〉 e φ, ψ : G → Hsão isomorfismos, tais que φ(a) = ψ(a), então φ(x) = ψ(x) para todox ∈ G. Isto é, φ e ψ são o mesmo isomorfismo.

39

ÁlgebraI

Lema 3.12. Sejam G, H e J grupos. Se g : G → H e f : H → J sãohomomorfismos, então f ◦ g : G→ J é um homomorfismo.

Demonstração: Sejam g : G → H e f : H → J homomorfismos.Então, para todo a, b ∈ G temos:

(f◦g)(ab) = f(g(ab)) = f(g(a)g(b)) = f(g(a))f(g(b)) = (f◦g)(a)(f◦g)(b).

Portanto, f ◦ g : G → J é um homomorfismo.

Lema 3.13. Se f : G → H é um isomorfismo, então f−1 : H → Gtambém é um isomorfismo.

Demonstração: Seja f : G → H um isomorfismo. Como f é bijetora,a inversa f−1 : H → G de f existe e também é bijetora. Logo, nos restaprovar apenas que f−1 é um homomorfismo de grupos. Sendo assim,

∀x, y ∈ H ⇒ ∃a, b ∈ G tal que x = f(a) e y = f(b) ⇒ f−1(x) = a e f−1(y) = b

Portanto, f−1 é um homomorfismo pois:

f−1(xy) = f−1(f(a)f(b)) = f−1(f(ab)) = ab = f−1(x)f−1(y)

Definição 3.14. Sejam G e H grupos, e f : G→ H um homomorfismo.Definimos o núcleo de f , denotado por Ker(f), como segue:

Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = eH}.

Exemplo 3.15.

1. Seja f : Z → C dada por f(n) = in. Lembrando que o elementoneutro de C é igual a 1 e que i2 = −1, então

Ker(f) = {n ∈ Z | f(n) = eC}

= {n ∈ Z | in = 1}

= {n ∈ Z | in = (−1)2m, com m ∈ Z}

= {n ∈ Z | in = (i2)2m = i4m, com m ∈ Z}

= {n ∈ Z | n = 4m, com m ∈ Z}

= {0,±4,±8,±12, . . .}.

2. Seja φ : Z → Z definida por φ(x) = 2x para todo x ∈ Z. Clara-mente, φ é um homomorfismo e

Ker(φ) = {x ∈ Z | φ(x) = 0} = {x ∈ Z | 2x = 0} = {0}.

40

ÁlgebraI

O resultado apresentando a seguir é uma ferramenta muito útil paradeterminar quando um homomorfismo é injetor ou não.

Lema 3.16. Seja f : G→ H um homomorfismo. Então:

1. Ker(f) é um subgrupo de G.

2. f é injetora se, e somente se, Ker(f) = {eG}.

Demonstração: Considere eG

e eH

os respectivos elementos neutrosde G e H, e f : G → H um homomorfismo.

1. Ker(f) é um subgrupo de G. De fato, como f(eG

) = eH, vem

que eG∈ Ker(f). Além disso, para todo x, y ∈ Ker(f) temos

f(x) = eH

e f(y) = eH, então:

f(xy−1) = f(x)f(y−1) = f(x)f(y)−1 = eHe−1

H= e

H.

Portanto, xy−1 ∈ Ker(f) e, consequentemente, Ker(f) ≤ G.

2. (⇒) Suponhamos que f seja injetora. Para todo x ∈ Ker(f) temosf(x) = e

H. Como f(e

G) = e

Hvem que f(x) = f(e

G). Uma vez

que f é injetora injetora, por definição, temos que x = eG. Logo,

para todo x ∈ Ker(f) temos x = eG, ou seja, Ker(f) = {e

G}.

(⇐) Suponhamos que Ker(f) = {eG}. Sejam a, b ∈ G tais que

f(a) = f(b). Temos que:

f(a) = f(b) ⇒ f(a)f(b)−1 = f(ab−1) = eH⇒ ab−1 ∈ Ker(f).

Como Ker(f) = {eG}, temos que ab−1 = e

G, o que nos leva a

concluir que a = b. Portanto, f é injetora e concluímos a demons-tração.

Exemplo 3.17.

1. A aplicação φ : (R∗, ·) → (R∗, ·) dada por φ(x) = |x| é um homo-morfismo, porém não um isomorfismo. De fato,

φ(xy) = |xy| = |x||y| = φ(x)φ(y)

mas

Ker(φ) = {x ∈ R∗ | φ(x) = 1} = {x ∈ R∗ | |x| = 1} = {−1, 1} 6= {1}

Portanto, φ não é injetiva, e consequentemente, φ não é um iso-morfismo.

2. Vimos no Exemplo 3.15 que φ : Z→ Z, definida por φ(x) = 2x paratodo x ∈ Z, é um homomorfismo cujo Ker(φ) = {0}. Portanto, φé injetiva.

41

ÁlgebraI

Um dos principais resultados da Teoria de Grupos é, incontestavel-mente, o Teorema de Cayley. Este teorema coloca todos os grupos nummesmo nível, e mostra que estudar o Grupo das Permutações, definidona sequência, é de extrema relevância, pois ele mostra que todo grupoé isomorfo a um grupo de permutações. Respondendo assim a seguintepergunta: De que realmente são formados os grupos abstratos?

Definição 3.18. Seja X um conjunto não vazio. Definimos o grupodas permutações sobre X, denotado por SX , como sendo o conjunto detodas as aplicações bijetoras de X em X munido da operação bináriacomposição de aplicações. Em particular, quando X é finito com nelementos, digamos X = {x1, x2, x3, . . . , xn}, escrevemos Sn em vez deSX , e chamamos Sn de Grupo Simétrico de grau n.

Teorema 3.19 (Teorema de Cayley). Todo grupo é isomorfo a um grupode permutações.

Demonstração: Seja G um grupo. Para todo a ∈ G defina a aplicaçãoTa : G → G por

Ta(x) = ax

Como vimos no Exercício 18 do Capítulo ??, a aplicação Ta é bijetora,ou seja, uma permutação dos elementos de G pela esquerda.

Seja H = {Ta | a ∈ G} o conjunto de todas as permutações Ta.Considerando a composição de aplicações, H é um grupo. De fato, paratodo a, b ∈ G temos

(Ta ◦ Tb)(x) = Ta(Tb(x)) = Ta(bx) = (ab)x = Tab(x).

Logo, para todo x ∈ G temos (Ta ◦ Tb)(x) = Tab(x), donde resulta queTa ◦ Tb = Tab.

Sendo assim Te é o elemento neutro de H e, para todo Ta ∈ H,(Ta)−1 = Ta−1 . Como a composição de aplicações é associativa, concluí-mos que H é um grupo.

Agora defina φ : G → H como sendo φ(a) = Ta para todo a ∈ G.Dessa forma, φ é um homomorfismo, pois, para todo a, b ∈ G temos:

φ(ab) = Tab = Ta ◦ Tb = φ(a) ◦ φ(b).

Temos também que φ é injetora, pois, se φ(a) = φ(b), então Ta = Tb,em particular, Ta(e) = Tb(e), ou seja, ae = be o que nos leva a concluirque a = b. Por fim, pela própria definição de H, φ é sobrejetora.

Portanto, φ é um isomorfismo e, consequentemente, G ∼= H, o queconclui a demonstração.

42

ÁlgebraI

3.1 Exercícios

1. Seja V um espaço vetorial qualquer. Mostre que V é um grupoabeliano com relação a adição usual de vetores.

2. Sejam V e W espaços vetoriais. Considerando a adição usual devetores, mostre que toda transformação linear T : V → W é umhomomorfismo de grupo.

3. Sejam G, H, I e J grupos. Se f : G → I e g : H → J sãoisomorfismos, então mostre que φ : G×H → I × J dada por

φ(x, y) = (f(x), g(y)),

para todo (x, y) ∈ G×H, é também um isomorfismo.

4. Seja H =

1 x

0 1

| x ∈ R. Mostre que:

(a) H ≤ GL2(R).(b) R ∼= H.

5. Mostre o Lema 3.8 por contradição.

6. Sejam G e H grupos, e φ : G → H. Mostre que, se H não éabeliano, então G não é abeliano ou G � H.

7. Seja G =

m b

0 1

| b,m ∈ R e m 6= 0

. Mostre que:

(a) (G, ·) é um grupo.(b) G � R∗ × R.(c) Dado u ∈ Z, fu : G→ R definida por

fu

a b

0 1

= au

é um homomorfismo.

8. Seja φ : Z→ Z definida por φ(x) = 2x para todo x ∈ Z. DetermineIm(φ).

9. Seja φ : Z3 → Z6 definida por φ(x) = 2x. Mostre que φ é umhomomorfismo e determine Ker(φ) e Im(φ).

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ÁlgebraI

10. Seja ψ : Z6 → Z3 definida por ψ(x) = x. Mostre que φ é umhomomorfismo e determine Ker(ψ) e Im(ψ).

11. Seja f : G → H umhomomorfismo, e K o núcleo de f , isto é,K = Ker(f). Mostre que para todo k ∈ K e x ∈ G, temos quexkx−1 ∈ K.

12. Seja φ : R → C∗ dada por φ(x) = eix, para todo x ∈ R. Mostreque φ é um homomorfismo, determine o Ker(φ) e a Im(φ).

13. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Prove que se a ∈ G,então o subconjunto

aHa−1 = {g ∈ G | g = aha−1 para algum h ∈ H}

é um subgrupo de G e H ∼= aHa−1.Sugestão: Considere φ : G→ G dada por φ(x) = axa−1.

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