บทท�� 7การคำานวณเลขฐานและและการ

แทนรหั�สข�อมู�ล

การคำานวณเลขฐาน (CALCULATE BASE NUMBER)

การคำ�านวณเลขฐานเป็�นการคำ�านวณเลขฐานต่�างๆ ซึ่��งเป็�นการคำ�านวณในการบวกเลขฐาน และการคำ�านวณในการลบเลขฐาน เช่�นการบวกและลบของเลขฐานสอง การบวกและลบของเลขฐานแป็ด การบวกและลบของเลขฐานส�บ และการบวกและลบของเลขฐานส�บหกเป็�นต่!น

การบวกเลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานส�บหัก

หล"กการคำ�านวณพื้$%นฐานในการบวกของเลขฐานสอง เลขฐานแป็ด และเลขฐานส�บหากหร$อเลขฐานต่�างๆ จะกระทำ�าคำล!ายก"นก"บการคำ�านวณเลขฐานส�บทำ)�เราน�ยมใช่! ถ้!ากระทำ�าการบวกได!เก�นเลขฐานให!ทำ�าการทำดไป็ย"งบ�ต่ทำ)�ม)น"ยส�าคำ"ญส.งกว�าถ้"ดไป็ เพื้$�อใช่!ในการคำ�านวณในส�วนของบ�ต่ทำ)�ม)น"ยส�าคำ"ญส.งกว�าถ้"ดไป็

หัล�กการบวกเลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานส�บหัก

1. ให!บวกเลขแต่�ละหล"กต่ามป็กต่�เหม$อนการบวกเลขฐานส�บ2. ถ้!าผลบวกได!ไม�เก�นเลขฐาน ให!ใส�ผลบวกทำ)�ได!เป็�นผลล"พื้ธ์13. ถ้!าผลบวกได!เทำ�าก"นก"บเลขฐานหร$อเก�นเลขฐานน"%น ให!ใส�ผลล"พื้ธ์1ของคำ�าผลบวกของเลขฐานทำ)�เก�นเลขฐานน"%นแล!วทำดคำ�าไป็ย"งบ�ต่ถ้"ดไป็ (ทำดไป็ย"งบ�ต่ทำ)�ม)น"ยส�าคำ"ญส.งกว�า: MSD)

ตั�วอย่!างท�� 7.1 ให!ทำ�าการบวกเลขฐานด"งน)% (6547)10 + (1234)10

ว�ธ์)ทำ�า6 5 4 7

+1 2 3 4

7 7 8 1 คำ�าต่อบคำ$อ(6547)10 + (1234)10 = (7781)2

ตั�วอย่!างท�� 7.2 ให!ทำ�าการบวกเลขฐานด"งน)% (1111)2 + (1011)2

ว�ธ์)ทำ�า1 1 1 1

+1 0 1 1

1 1 0 1 0 คำ�าต่อบคำ$อ(1111)2 + (1011)2 = (11010)2

ตั�วอย่!างท�� 7.3 ให!ทำ�าการบวกเลขฐานด"งน)% (375)8 + (421)8

ว�ธ์)ทำ�า3 7 5

+4 2 1

1 0 1 6 คำ�าต่อบคำ$อ(375)8 + (421)8 = (1016)8

ตั�วอย่!างท�� 7.4 ให!ทำ�าการบวกเลขฐานด"งน)% (235A)16 + (3B71)16

ว�ธ์)ทำ�า2 3 5 A

+3 B 7 1

5 E C B คำ�าต่อบคำ$อ(235A)16 + (3B71)16 = (5ECB)16

ตั�วอย่!างท�� 7.5 ให!ทำ�าการบวกเลขฐานด"งน)% (1234)8 + (55)16 = (?)8

ว�ธ์)ทำ�าแป็ลง (55)16 ให!อย.�ในร.ป็แบบของเลขฐานแป็ด(55)16 = (01010101)2 = (125)8

1 2 3 4+ 1 2 5

1 3 6 1 คำ�าต่อบคำ$อ(1234)8 + (55)16 = (1361)8

การลบเลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานส�บหัก

หล"กการคำ�านวณพื้$%นฐานในการลบของของเลขฐานสอง เลขฐานแป็ด และเลขฐานส�บหากหร$อเลขฐานต่�างๆ จะกระทำ�าคำล!ายก"นก"บการคำ�านวณเลขฐานส�บทำ)�เราน�ยมใช่! ถ้!าต่"วต่"%งน!อยกว�าต่"วลบจะไม�สามารถ้กระทำ�าการลบได! ด"งน"%นจ�งจ�าเป็�นต่!องย$มต่"วย$มทำ)�อย.�ในบ�ต่ทำ)�ม)น"ยส�าคำ"ญส.งกว�ามาทำ)ละหน��งบ�ต่ จ�งจะสามารถ้ทำ�าการลบได!

หัล�กการลบเลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานส�บหัก

1. กรณ)หล"กต่"วต่"%งเทำ�าก"นหร$อมากกว�าให!ลบต่ามป็กต่�2. กรณ)ทำ)�หล"กต่"วต่"%งน!อยกว�าต่"วลบ จะต่!องม)การย$ม โดยการย$มแต่�ละคำร"%งม)หล"กเกณฑ์1คำ$อ ให!ย$มต่"วทำ)�บ�ต่ทำ)�ม)น"ยส�าคำ"ญส.งกว�ามา 1 บ�ต่ (ย$มบ�ต่ทำ)�ม)บ�ต่น"ยส�าคำ"ญส.งกว�าถ้"ดไป็) ต่"วทำ)�ย$มจะม)คำ�าลดลงไป็ 1 คำ�า โดยคำ�าทำ)�ย$มมาจะม)คำ�าเทำ�าก"บคำ�าของเลขฐานน"%น (เช่�นเลขฐานส�บคำ�าทำ)�ย$มเข!ามาจะม)คำ�าเทำ�าก"บ 10 เลขฐานสองคำ�าทำ)�ย$มเข!ามาจะม)คำ�าเทำ�าก"บ 2 เลขฐานแป็ดคำ�าทำ)�ย$มเข!ามาจะม)คำ�าเทำ�าก"บ 8 และเลขฐานส�บหกคำ�าทำ)�ย$มเข!ามาจะม)คำ�าเทำ�าก"บ 16) จากน"%นให!น�าคำ�าทำ)�ย$มเข!ามาไป็บวกก"บต่"วต่"%ง ได!เทำ�าไรก4ให!น�ามาลบออกก"บต่"วลบ ก4จะได!ผลล"พื้ธ์1ต่ามต่!องการ

ตั�วอย่!างท�� 7.6 ให!ทำ�าการลบเลขฐานด"งน)% (9211)10 – (1234)10

ว�ธ์)ทำ�า9 2 1 1

-1 2 3 47 9 7 7

 คำ�าต่อบ(9211)10 – (1234)10 = (7977)10

ตั�วอย่!างท�� 7.7 ให!ทำ�าการลบเลขฐานด"งน)% (1101)2 – (1011)2

ว�ธ์)ทำ�า1 1 0 1

-1 0 1 10 0 1 0

 คำ�าต่อบ(1101)2 – (1011)2 = (0010)2

ตั�วอย่!างท�� 7.8 ให!ทำ�าการลบเลขฐานด"งน)% (6753)8 – (5736)8

ว�ธ์)ทำ�า6 7 5 3

-5 7 3 61 0 1 5

 คำ�าต่อบ(6753)8 – (5736)8 = (1015)8

 

ตั�วอย่!างท�� 7.9 ให!ทำ�าการลบเลขฐานด"งน)% (77AE)16 – (5B0F)16

ว�ธ์)ทำ�า7 7 A E

-5 B 0 F1 C 9 F

 คำ�าต่อบ(77AE)16 – (5B0F)16 = (1C9F)16

ตั�วอย่!างท�� 7.10 ให!ทำ�าการบวกเลขฐานด"งน)% (1234)8 - (55)16 = (?)8

ว�ธ์)ทำ�าแป็ลง (55)16 ให!อย.�ในร.ป็แบบของเลขฐานแป็ด(55)16 = (01010101)2 = (125)8

1 2 3 4- 1 2 5

1 1 0 7 คำ�าต่อบคำ$อ(1234)8 + (55)16 = (1107)8

ตั�วอย่!างท�� 7.11 ให!ทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (1234)8 - (55)16 + (110101)2 = (?)2

ว�ธ์)ทำ�าแป็ลง (1234)8 ให!อย.�ในร.ป็แบบของเลขฐานสอง(1234)8 = (001010011100)2

แป็ลง (55)16 ให!อย.�ในร.ป็แบบของเลขฐานสอง(55)16 = (01010101)2

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1 1 1+

1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 คำ�าต่อบคำ$อ(1234)8 - (55)16 + (110101)2 = (1001111100)2

การลบเลขฐานสองโดย่ใช้�ส!วนเตั�มูเตั%มู (COMPLEMENT)

หล"กการคำ�านวณพื้$%นฐานของคำอมพื้�วเต่อร1ในการลบสามารถ้กระทำ�าได!หลายว�ธ์)ด"งเช่�นการใช่!ส�วนเต่�มเต่4มหร$อคำอมพื้ล)เม!น เน$�องจากบางระบบคำอมพื้�วเต่อร1จะทำ�าการลดวงจรบางอย�างออกไป็ ถ้!าสร!างวงจรบวก และวงจรลบ ก4หมายคำวามว�าจะต่!องสร!างทำ"%งวงจรบวกและลบ แต่�ถ้!าต่!องการป็ระหย"ดวงจบลบ ก4จะสามารถ้ต่"ดวงจรลบทำ�%งไป็แต่�จะใช่!วงจรบวกเพื้)ยงอย�างเด)ยวในการคำ�านวณการลบเลขฐานโดยจะใช่!วงจรบวกและส�วนเต่�มเต่4มในการคำ�านวณการลบของระบบน"%น โดยส�วนเต่�มเต่4มในระบบเลขฐานสองจะม)อย.� 2 แบบ คำ$อ 1’s ส�วนเต่�มเต่4ม (1’s Complement) และ 2’s ส�วนเต่�มเต่4ม (2’s Complement)

หัล�กการลบเลขฐานโดย่ใช้� 1’S ส!วนเตั�มูเตั%มู 1. ให!ทำ�าการกล"บบ�ต่ทำ5กหล"กของต่"วลบ เช่�นจาก “0” กลายเป็�น “1” จาก “1” กลายเป็�น “0”2. ให!ทำ�าการบวกต่"วต่"%งและต่"วลบทำ)�ทำ�าการกล"บบ�ต่3. ถ้!าบวกก"นม)บ�ต่ต่"วทำด ในต่�าแหน�งน"ยส�าคำ"ญส.งส5ด แสดงว�าคำ�าต่อบทำ)�ได!จะม)คำ�าเป็�นบวก จากน"%นให!ทำ�าการบวกคำ�าต่อบก"บบ�ต่ต่"วทำด จะได!คำ�าต่อบออกมา4. ถ้!าบวกก"นแล!วไม�ม)บ�ต่ต่"วทำด ในต่�าแหน�งน"ยส�าคำ"ญส.งส5ด แสดงว�าคำ�าต่อบทำ)�ได!จะม)คำ�าเป็�นลบ จากน"%นให!ทำ�าการกล"บบ�ต่ผลล"พื้ธ์1ทำ"%งหมด จะได!คำ�าต่อบออกมา

ตั�วอย่!างท�� 7.12 ให!ทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (11011)2 - (10111)2

ว�ธ์)ทำ�าแป็ลง (10111)2 โดยใช่! 1’s ส�วนเต่�มเต่4ม(10111)2 = (01000)2

1 1 0 1 1

+0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 1 + 10 0 1 0 0คำ�าต่อบคำ$อ(11011)2 - (10111)2 = (00100)2

ตั�วอย่!างท�� 7.13 ให!ทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (101101)2 - (110010)2

ว�ธ์)ทำ�าแป็ลง (110010)2 โดยใช่! 1’s ส�วนเต่�มเต่4ม(110010)2 = (001101)2

1 0 1 1 0 1

+0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 0 1 0กล"บบ�ต่

- 0 0 0 1 0 1  คำ�าต่อบคำ$อ(101101)2 - (110010)2 = (-101)2

หัล�กการลบเลขฐานโดย่ใช้� 2’S ส!วนเตั�มูเตั%มู 1. ให!ทำ�าการกล"บบ�ต่ทำ5กหล"กของต่"วลบ เช่�นจาก “0” กลายเป็�น “1” จาก “1” กลายเป็�น “0” จากน"%นบวกด!วย “1”2. ให!ทำ�าการบวกต่"วต่"%งและต่"วลบทำ)�ทำ�าการกล"บบ�ต่3. ถ้!าบวกก"นม)บ�ต่ต่"วทำด ในต่�าแหน�งน"ยส�าคำ"ญส.งส5ด แสดงว�าคำ�าต่อบทำ)�ได!จะม)คำ�าเป็�นบวก จากน"%นให!ทำ�าการต่"ดบ�ต่ต่"วทำดทำ�%ง จะได!คำ�าต่อบออกมา4. ถ้!าบวกก"นแล!วไม�ม)บ�ต่ต่"วทำด ในต่�าแหน�งน"ยส�าคำ"ญส.งส5ด แสดงว�าคำ�าต่อบทำ)�ได!จะม)คำ�าเป็�นลบ จากน"%นให!ทำ�าการกล"บบ�ต่ผลล"พื้ธ์1ทำ"%งหมด จากน"%นบวกด!วย “1” จะได!คำ�าต่อบออกมา

ตั�วอย่!างท�� 7.14 ให!ทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (11011)2 - (10111)2

ว�ธ์)ทำ�าแป็ลง (10111)2 โดยใช่! 2’s ส�วนเต่�มเต่4ม(10111)2 = (01000)2 + (1)2 = (01001)2

 

1 1 0 1 1+

0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0คำ�าต่อบคำ$อ(11011)2 - (10111)2 = (00100)2

ตั�วอย่!างท�� 7.15 ให!ทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (101101)2 - (110010)2

ว�ธ์)ทำ�าแป็ลง (110010)2 โดยใช่! 2’s ส�วนเต่�มเต่4ม(110010)2 = (001101)2 + (1)2 = (001110)2

1 0 1 1 0 1+0 0 1 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1กล"บบ�ต่

0 0 0 1 0 0 + 1

- 0 0 0 1 0 1  คำ�าต่อบคำ$อ(101101)2 - (110010)2 = (-101)2

7.2 การแทนรหั�สข�อมู�ล (DATA REPRESENTATION)

คำอมพื้�วเต่อร1ในป็6จจ5บ"นป็ระมวลผลในร.ป็แบบของเลขฐานสอง คำ$อ “0” ก"บ “1” ซึ่��งใช่!แทำนข!อม.ลต่�างๆ ของระบบคำอมพื้�วเต่อร1 ด"งน"%นการน�าเอาข!อม.ลทำ)�มน5ษย1เข!าใจเช่�น เส)ยง ร.ป็ภาพื้ ต่"วอ"กษร ต่"วเลข หร$อส"ญล"กษณ1ต่�างๆ ไป็ป็ระมวลผลจะต่!องน�าข!อม.ลด"งกล�าวให!อย.�ในร.ป็ของด�จ�ทำ"ลก�อน โดยมาต่รฐานในการแทำนรห"สข!อม.ลทำ)�น�ยมใช่!ก"นในป็6จจ5บ"นได!แก�แอสก) หร$อรห"สมาต่รฐานของสหร"ฐอเมร�กาเพื้$�อการส"บเป็ล)�ยนสารสนเทำศ (ASCII: American Standard Code for Information Interchange) และ ย.น�โคำด (Unicode)

มูาตัรฐานรหั�สแอสก� (ASCII)

พื้$%นฐานของกล5�มต่"วอ"กษรเหล�าน)%จะอย.�ในร.ป็แบบต่ารางต่"วอ"กษร โดยแต่�ละต่"วจะถ้.กแทำนด!วยรห"สเลขฐานสองขนาด 7 บ�ต่ ซึ่��งสามารถ้แทำนรห"สต่"วอ"กษรได! 27 = 128 ต่"วอ"กษร ต่�อมารห"สแอสก)ได!ร"บคำวามน�ยมอย�างแพื้ร�หลายและเร��มไม�เพื้)ยงพื้อต่�อการแทำนข!อม.ล จ�งม)การน�าเอารห"สแอสก)มาป็ร"บป็ร5งให!สามารถ้แทำนข!อม.ลได!มากข�%น เร)ยกว�า ส�วนขยายรห"สแอสก) (Extend ASCII) ซึ่��งจะใช่!เลขฐานสองขนาด 8 บ�ต่ โดยเลขฐานสอง 8 บ�ต่ใช่!แทำนอ"กษรหน��งต่"วทำ�าให!สามารถ้แทำนอ"กษรได! 28 = 256 ต่"วอ"กษร โดยอ"กษรทำ)� 0 – 127 ย"งต่รงต่ามมาต่รฐานเด�ม ส�วนอ"กษรทำ)� 128 – 255 ใช่!แทำนอ"กษรทำ)�ป็ระเทำศน"%น ๆ ต่!องการ ว�ธ์)การน)%ทำ�าให!แทำนอ"กษรอ$�นทำ)�นอกเหน$อจากภาษาอ"งกฤษได!

ตั�วอย่!างตัารางรหั�สแอสก� ASCII

มูาตัรฐานรหั�สย่�น�โคำด (UNICODE)

เน$�องจากต่"วอ"กษรต่ามรห"สแอสก) แทำนอ"กษรภาษาอ"งกฤษก"บภาษาทำ!องถ้��นได!ภาษาเด)ยวเทำ�าน"%น ถ้!าต่!องการแสดงผลหลายๆ ภาษาจะทำ�าให!ล�าบาก จ�งม)การคำ�ดมาต่รฐานการแทำนอ"กษรใหม�ทำ)�เร)ยกว�าย.น�โคำด ทำ)�สามารถ้แทำนต่"วอ"กษรได!มากข�%นกว�าเด�มมาต่รฐานย.น�โคำด (Unicode Standard) เป็�นมาต่รฐานการเข!ารห"สต่"วอ"กษรแบบสากล โดยสามารถ้เข!ารห"สต่"วอ"กษรของภาษาต่�างๆ ได!จ�านวนมาก โดยมาต่รฐานย.น�โคำดจะใช่!เลขฐานสองแทำนต่"วอ"กษร เร��มต่!นแบ�งเป็�น UCS-2 จะใช่!รห"สเลขฐานสองขนาด 16 บ�ต่ ทำ�าให!สามารถ้แทำนต่"วอ"กษรได!ถ้�ง 65,536 ต่"วอ"กษร และ UCS-4 จะใช่!รห"สเลขฐานสองขนาด 32 บ�ต่ ทำ�าให!สามารถ้แทำนต่"วอ"กษรได!ถ้�ง 2,147,483,647 ต่"วอ"กษร

แบบฝึ'กหั�ดทบทวน1 . จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (11011)2 + (10011)2 = ( ? )8

2. จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (273)8 + (1011010)2 = ( ? )2

3. จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (354)8 + (1110)2 = ( ? )8

4. จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (5364)8 – (4756)8 = ( ? )8

5. จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (6753)8 – (5736)8 = ( ? )16

6. จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (FA89)16 – (DC6A)16 = ( ? )16

7. จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (100101)2 – (110110)2 = ( ? )2 โดยใช่!ว�ธ์) 1’s ส�วนเต่�มเต่4ม

8. จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (111101)2 – (100110)2 = ( ? )2 โดยใช่!ว�ธ์) 1’s ส�วนเต่�มเต่4ม

9. จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (101101)2 – (100110)2 = ( ? )2 โดยใช่!ว�ธ์) 2’s ส�วนเต่�มเต่4ม

1 0 .จงทำ�าการคำ�านวณเลขฐานด"งน)% (111101)2 – (100110)2 = ( ? )2 โดยใช่!ว�ธ์) 2’s ส�วนเต่�มเต่4ม

1 1 .รห"สแอสก)คำ$ออะไรจงอธ์�บาย1 2 .รห"สย.น�โคำดคำ$ออะไรจงอธ์�บาย http://www.udru.ac.th

http://www.udru.ac.th http://www.udru.ac.th

เอกสารอ�างอ�งงามน�จ อาจอ�นทำร1, คำวามูร��ท��วไปเก��ย่วก�บว�ทย่าการคำอมูพิ�วเตัอร*., กร5งเทำพื้ฯ, 2542.ธ์ว"ช่ช่"ย เล$�อนฉว), และ อน5ร"กษ1 เถ้$�อนศ�ร�, ด�จิ�ตัอลเทคำน�คำเล!มู 1., กร5งเทำพื้ฯ, ศ5ภาล"ยม)เด)ยจ�าก"ด, 2537.ธ์)รว"ฒน1 ป็ระกอบผล, ด�จิ�ตัอลอ�เล%กทรอน�กส*., กร5งเทำพื้ฯ, แมคำกรอ-ฮิ�ล อ�นเต่อร1เนช่"นแนล เอ4นเต่อร1ไพื้ร1ส, อ�งคำ1., 2540.